FUNZIONE CONTINUA E PUNTI DI DISCONTINUITA’

Sia y = f(x) una funzione reale definita in un certo intervallo I = [ a;b] e sia x0 [ a;b] .Si dice che la funzione è continua in x0 quando :

Esiste finito il limite

Esiste f (x0) f (x0) =

Es.1 f( x ) = 1 – x4 D = R e x0 = 2 D

( 1 – x4 ) = - 15

f ( 2) = - 15

( 1 – x4 )

Pertanto la funzione f(x) è continua in x0 = 2 .

Es.2 f(x) =

La funzione non è continua in = 1 , perché :

f(1) = 1 + 2 = 3 , ma quindi i due limiti sono

diversi

Se una sola delle 3 condizioni , viene a mancare , si dice che la funzione y =f(x) è DISCONTINUA e il punto x0 si dice punto di discontinuità.

PUNTI DI DISCONTINUITA’Un punto x0 di un intervallo[a;b] si dice punto di discontinuità per una funzione f(x) se la funzione non è continua in x0.

A) Punti di discontinuità di prima specie Un punto x0 si dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x ) quando, per x x0 , il limite destro e il limite sinistro di f(x ) sono entrambi finiti

ma diversi fra loro.

= l1 = l2

La differenza | l2 - l1 | si dice salto della funzione.

Es.1 f (x ) =

= -2 e = +2 .Nel punto x0 = 1 la funzione ha una discontinuità di prima specie. Il salto della

funzione nel punto vale: |2 - (-2 )| = 4.

Es. 2 f(x )=

= -1 e = +1 . Nel punto x0 = 0 la funzione ha una discontinuità di prima specie. Il salto della funzione nel punto vale: |1-(-1 )|= 2.B) Punti di discontinuità di seconda specie Un punto x0 si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f(x ) quando, per x x0 , almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di f(x ) è infinito o non esiste.

Es.1 f (x) =

La funzione nel punto x0 = 1 la funzione ha una discontinuità di seconda specie, perchè risulta: e Es.2

f(x) =

La funzione nel punto x0 = 0 ha una discontinuità di seconda specie, perché risulta : C) Punti di discontinuità di terza specie (o eliminabile)

Un punto x 0 si dice punto di discontinuità di terza specie per la funzione f(x ) quando:

1. esiste ed è finito il limite di f(x ) per x x0 , ossia

2. la funzione non è definita in x0 oppure, se lo è, risulta f ( x 0 ) ≠ l .

Es.1 f(x) =

La funzione è discontinua in x0 = 1 , perché f(1) non esiste.

= - 2 .

La discontinuità è di terza specie; la discontinuità è solo apparente . Il salto tra i 2 limiti sinistro e destro è nullo.

La discontinuità si può eliminare definendo la funzione anche nel punto x0 = 1 , ponendo f(1) = - 2 .

f(x) =

Es.2

f (x) =

Nel punto x0 = 0 la funzione presenta una discontinuità di terza specie in quanto è

definita, essendo f (0)= 3 , ma risulta: , ma f (0) = 3

ESERCIZI

1. Dall’analisi dei seguenti grafici individua e classifica gli eventuali punti di discontinuità:

2. Determina, fra quelli a fianco assegnati, quali sono i punti di discontinuità per le relative funzioni e caratterizzane la specie:

a. y = x = 1 e x = 3

b. y = x = 2

c. y = x = - 2 e x = + 2

d. y = x = - 2

3. Dai la definizione di funzione continua in un punto x 0 .

Verifica, inoltre, se la funzione y = è continua nel punto x 0 = 1 e, se non lo è,

determina il tipo di discontinuità.

4. Definisci i vari tipi di discontinuità di una funzione in un punto x 0 e fai, di ogni tipo, un esempio.

5. Rappresenta le seguenti funzioni e trova i punti in cui non sono continue come nell’esempio.

ex se x < 0

1. f (x) =

( 2x + 1 ) se x ≥ 0

La funzione è continua in x = 0 , perché = e0 = 1 e = 1

Quindi l1 = l2

ESERCIZI

(2x - 2 ) se x > 1

1. f (x) =

se x ≤ 1

( - 2x + 1) se x < 1

2. f (x) =

log x se x ≥ 1

- se x ≤ 0

3. f (x) =

(x2 + 1 ) se x > 0

ex se x < 0

4. f (x) =

( 2x + 1 ) se x ≥ 0

- x2 - 1 se x ≤ 0 5. f (x) =

2x se x >0

2x se x ≤ 1

6. f (x) =

log ( x – 1 ) se x > 1

7. Date le funzioni seguenti , trova la specie dei punti di discontinuità x0 a fianco indicati :

1) Y = x0 = 0 R . 3^ specie

2) Y = x0 = 2 R . 2^ specie

3) Y = x0 = 2 e x0 = 1 R . 2^ specie ; 3^ specie

4) Y = x0 = 0 R . 2^ specie

2x – 7 se x ≤ 5

5) Y = x0 = 5 R. 1^ specie

2x + 7 se x > 5