Esercitazione I - Ripasso di matematica

Potenze

Le proprietà fondamentali delle potenze sono

a0 = 1 ,

an · am = an+m ,

an

am= an−m .

Da queste proprietà segue che

(an)m

= an·m ,

a−n =1

an.

Esercizio 1

Si verifichi che

103 · 102 = 105 ,(

103)2

= 106 ,

103

102= 10 ,

(3 · 106) · (8 · 10−2)

(2 · 1017) · (6 · 105)= 2 · 10−18 ,

320 · 0, 0048

0, 32 · 2400= 2 · 10−3 .

Esercizio 2

L’età dell’universo è circa 13, 7 miliardi di anni. Si dimostri che essa equivalea 4, 3 · 1017 secondi.

Soluzione

1 anno = 365 giorni ,

1 giorno = 24 ore ,

1 ora = 60 minuti ,

1 minuto = 60 secondi .

Perciò

1 anno = 365 · 24 · 60 · 60 secondi = 3, 15 · 107 secondi ,

da cui

13, 7 miliardi di anni = 13, 7 · 109 · 3, 15 · 107 secondi = 4, 3 · 1017 secondi .

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Equivalenze e notazione scientifica

Esercizio 1

Se camminiamo per due km verso l’università, quanto tempo impiegamo? Sup-

poniamo mezz’ora, ovvero circa 30 minuti. Data questa stima, qual è la velocità

media in metri al secondo?

Soluzione

La velocità può essere calcolata come:

velocita =spazio

tempo

Sostituendo i valori:

v =2km

30min=

2km

1/2h= 4

km

h

Ma noi siamo interessati alla velocità in metri al secondo. Tenendo conto che

1km = 103 m e che 1h = 60min = 60 ·60s = 3600s = 3.6 ·103 s, otteniamo:

v = 4km

h= 4

103 m

3.6 ·103 s= 1.1

m

s

Esercizio 2

Tenendo conto che la velocità della luce nel vuoto è c = 3 · 108 m/s, calcolare

quanti a chilometri corrisponde un anno luce.

Soluzione

L’anno luce (ly) viene definito come lo spazio percorso dalla luce in un anno,

ovvero:

1 ly = c ·1anno.

Abbiamo visto che 1 anno corrispone a 3.15 ·107 secondi. Sostituendo si ottiene:

1 ly = 3 ·108 m/s ·3.15 ·107 s = 9.45 ·1015 m

Noi però siamo interessati ai chilometri. Sappiamo che 1m = 10−3 km, quindi

abbiamo:

1 ly = 9.45 ·1015·10−3 km = 9.45 ·1012 km

1

Logaritmo

Si definisce logaritmo in base a di x (scriviamo loga x) la quantità da dare comeesponente ad a per ottenere x.

Ad esempio

log2 4 = 2 infatti 22 = 4 ,

log2 8 = 3 infatti 23 = 8 ,

log10 100 = 2 infatti 102 = 100 .

Sulle calcolatrici il tasto log è una abbreviazione di log10 mentre il tasto ln

indica loge, dove e = 2, 7182 . . .

Le proprietà fondamentali del logaritmo sono

loga 1 = 0 ,

loga(x · y) = loga x + loga y ,

loga

(

x

y

)

= loga x − loga y .

Da queste proprietà segue che

loga xn = n loga x .

Soluzione delle equazioni di secondo grado

Per risolvere l’equazione

ax2 + bx + c = 0 ,

come prima cosa si calcola ∆,

∆ = b2 − 4ac .

Dopodiché

• Se ∆ < 0 non esiste alcun numero reale che sia soluzione dell’equazione.

• Se ∆ > 0 l’equazione ha due soluzioni distinte

x+ =−b +

√∆

2a,

x− =−b −

√∆

2a.

• Se ∆ = 0 l’equazione ha una sola soluzione

x = −b

2a.

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Esercizio 3

Si studino le soluzioni delle seguenti equazioni

1) 2x2 − 4x + 3 = 0 ,

2) 2x2 − 4x + 2 = 0 ,

3) 2x2 − 4x + 1 = 0 .

Soluzione

Per la prima equazione si calcola che ∆ = −8. Perciò la prima equazionenon ha soluzioni.

Per la seconda equazione si calcola che ∆ = 0. Perciò la seconda equazioneha una sola soluzione,

x = 1 .

Per la terza equazione si calcola che ∆ = 8. Perciò la terza equazione hadue soluzioni,

x+ = 1 +1√

2, x− = 1 −

1√

2.

Esercizio 4

Se al tempo t0 = 0 si lancia verticalmente un sasso in aria da una quotainiziale x0 e con una velocità iniziale v0 allora al tempo t la quota x raggiuntadal sasso è

x = x0 + v0t −g

2t2 ,

dove g = 9, 8m/s2.Ammesso che x0 = 1m e v0 = 5m/s, si calcoli a quale istante x = 20m e

x = 2m.

Soluzione

Nel caso in cui x = 20m dobbiamo risolvere l’equazione

−4, 9m2

s2t2 + 5

m

st − 19m = 0 ,

dove ora la nostra incognita è t. Si calcola che ∆ = −347, 4m2

s2 < 0. Perciòl’equazione non ha soluzioni. Fisicamente ciò significa che il sasso non arriveràmai alla quota di 20m. Ma se abbassiamo la quota che il sasso deve raggiungereal livello x = 2m l’equazione da risolvere diviene

−4, 9m2

s2t2 + 5

m

st − 1m = 0 .

Si calcola che ∆ = 5, 4m2

s2 > 0. Perciò si hanno le due soluzioni seguenti

3

t+ = 0, 27s , t− = 0, 75s .

Esse rappresentano i due istanti in cui il sasso si trova alla quota di 2m: iltempo minore è relativo alla fase di ascesa del sasso mentre quello maggiore èrelativo alla fase di discesa del sasso.

Trigonometria

Si consideri il triangolo rettangolo in figura

I lati a e b sono detti cateti mentre il lato c è detto ipotenusa. Definiamo

sinϑ =a

c⇔ a = c sin ϑ ,

cos ϑ =b

c⇔ b = c cos ϑ .

In particolare definaimo tangente dell’angolo ϑ il rapporto fra il suo seno eil suo coseno,

tan ϑ =sin ϑ

cos ϑ=

a

b.

Un angolo può essere espresso in gradi oppure in radianti:

• definiamo angolo di 1 grado (scriveremo 1◦) quell’angolo che sottende unarco la cui lunghezza è 1/360 della lunghezza della circonferenza.

• definiamo angolo di 1 radiante (scriveremo 1rad) quell’angolo che sottendeun arco la cui lunghezza è pari al raggio della circonferenza.

L’angolo che sottende l’intera circonferenza è pari a 360◦ o equivalentementea 2πrad, dove π = 3, 1415 . . .

L’angolo di 1rad equivale a circa 57,3◦.Ammettiamo che l’angolo ϑ sottenda un arco di lunghezza l della circon-

ferenza di raggio r, allora

ϑ =l

rrad o equivalentemente ϑ =

180◦

π

l

r.

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Esercizio 5

Un osservatore si trova alla distanza d = 2km da un palazzo alto h = 380m.Determinare l’angolo ϑ sotteso dal palazzo.

Soluzione

L’osservatore, la cima del palazzo e la sua base formano un triangolo rettan-golo. L’angolo sotteso dal palazzo è quello dove c’è l’osservatore. Quindi

tan ϑ =h

d=

380m

2km=

380m

2 · 103m= 190 · 10−3 = 0, 19 ⇒ ϑ = 10, 76◦ .

Esercizio 6

Il Sole ha un diametro di circa dS = 1, 392 · 109m e dista dalla Terra lTS =1, 496 ·1011m. La Luna ha un diametro di dL = 3, 474 ·106m e dista dalla TerralTL = 3, 844 · 108m.

Calcolare in gradi e in radianti la larghezza angolare del Sole e della Lunavisti dalla Terra.

Soluzione

In generale, l’angolo ϑ sotteso da un corpo di diametro d distante l dall’osser-vatore è dato da

tan

(

ϑ

2

)

=d

2l.

Nel caso del Sole si ha

tan

(

ϑTS

2

)

= 0, 465 · 10−2 ⇒ ϑTS = 0, 53◦ = 0, 93 · 10−2rad

Nel caso della Luna si ha

tan

(

ϑTL

2

)

= 0, 452 · 10−2 ⇒ ϑTL = 0, 52◦ = 0, 90 · 10−2rad

Si osservi che ϑTS ∼ ϑTL, infatti il Sole ci appare nel cielo di dimensioni deltutto simili a quelle della Luna.

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