1 ESERCITAZIONE con confronto Matlab/SAP2000 Corso di Meccanica Computazionale delle Strutture Professore: Prof. Ing. M. Gioffr Studente: Alessandro Cancelli Universit degli studi di Perugina. Facolt di Ingegneria. 2 1 Introduzione La presente relazione tecnica descrive le procedure eseguite nella risoluzione di un telaio piano costituito da profilati in acciaio e sottoposto allazione di forze sia di natura statica sia dinamica. Lanalisi,effettuatamedianteilprogrammaMatlabR2010b,hariguardatolostudiodelproblema staticoedelproblemadinamico;irisultatiottenutisonostaticonfrontaticonquelliconseguiti risolvendo la struttura con il programma di calcolo SAP 2000 v14. In prima istanza stata eseguita lanalisi statica sottoponendo la struttura a carichi statici. Una volta determinatalamatricedirigidezzadellastrutturaedefinitiicarichi,sonostativalutatigli spostamentideinodinonvincolatiedeterminatelereazionivincolari.Quindistatopossibile plottare la deformata della struttura considerando gli spostamenti dei nodi non vincolati. Sono stati poi calcolati gli spostamenti a livello locale dei singoli nodi nonch le sollecitazioni in tutte le aste checompongonoiltelaio.Infinesonostatiplottatiidiagrammidellesollecitazionidisforzo normale, taglio e momento flettente asta per asta. Ilproblemadinamicostatoaffrontatoanalizzandoilcomportamentodellastrutturasiain oscillazionilibere,consmorzamentonullo,siainoscillazioniforzate,causatedaunaforzantedi tiposinusoidale.Lostudiodellastrutturainoscillazioniliberestatoeseguitoconsiderandoquali condizioniinizialiglispostamentideinodiottenutidallanalisistatica.Lanalisiinoscillazioni forzateconsmorzamentonullostataaffrontataintroducendounaforzanearmonicadiassegnata frequenzaedampiezza.TaleanalisistataeseguitamedianteiMetodidiintegrazionediretta: Metodo alle differenze centrali, Metodo di Hubolt, Metodo di Wilson-u, Metodo di Newmark ed il MetododellaSovrapposizioneModale,mettendoinevidenzaledifferenzeriscontratefrale suddette procedure di calcolo. Alterminesiandrinoltreadanalizzareunaplateadifondazioneinc.a.mediantelutilizzodi elementishell,cioelementifinitipiani,allinternodelcodicedicalcoloSAP2000.Inparticolare verrannoutilizzatielementitipo membrane,chesonoadattiasimulareilcomportamentoapiastra della platea di fondazione in esame, sia di tipo thin che di tipo thick e si discuter poi su quale sia la scelta migliore fra i due. 32 Analisi Statica 2.1 Definizione della geometria della struttura La struttura oggetto di studio un telaio piano in acciaio [2 8KN 10 2.1 E m = ] avente la seguente conformazione e soggetto ai seguenti carichi: La struttura caratterizzata esternamente da tre vincoli a incastro, mentre internamente sono presenti anche delle sconnessioni a cerniera. 2.2 Discretizzazione Definita la geometria del sistema si procede alla sua discretizzazione, individuando i nodi della struttura e i conseguenti elementi finiti presenti fra questi.Si utilizzano due tipi di elementi finiti frame: - gli elementi tipo trave che nel piano hanno 6 gradi di libert, 3 per ogni nodo, che sono traslazione lungo lasse dellelemento, traslazione in direzione ortogonale allasse e la rotazione nel piano; - gli elementi di tipo biella che nel piano hanno 2 gradi di libert, 1 per ogni nodo, ed solamente la traslazione lungo lasse dellelemento. Quindi si suddivisa la struttura in 8 nodi, individuando 13 aste; tali nodi e aste vanno opportunamente numerate in modo da consentire lacquisizione dei dati geometrici in ambiente Matlab. Inoltre unopportuna numerazione diventa molto importante per curare due aspetti fondamentali: -Consente di individuare il sistema di riferimento dellelemento finito, fissandone il nodo iniziale e quello finale e consentendo quindi una corretta interpretazione dei risultati sia in termini di spostamenti che in termini di sollecitazioni. quindi opportuno che lorientamento del sistema di riferimento degli elementi finiti sia omogeneo in tutta la struttura (ad esempio sempre dal basso verso lalto e sempre da sinistra verso destra) 4-Il secondo aspetto riguarda lampiezza della banda della matrice di rigidezza della struttura Ks, pi precisamente unopportuna numerazione consente di far addensare i valori intorno alla diagonale principale di tale matrice; ci semplifica notevolmente le elaborazioni svolte dal calcolatore. Per quanto riguarda la struttura in esame il risultato della discretizzazione pu essere osservato nella figura precedente.Allinterno del programma Matlab linserimento delle coordinate dei nodi avviene attraverso la definizione della matrice Mxy (=matrice delle coordinate x e y) nella quale sono inserite le coordinate x e y dei vari nodi in due righe separate, seguendo lordine della loro numerazione: Con il comando di riga 11 si definita la grandezza n che rappresenta il numero di nodi della struttura. 2.3 Collegamenti Una volta definita la discretizzazione della struttura, cio il numero di nodi e la loro posizione, necessario andare a definire come questi nodi sono collegati dai vari elementi computazionali; per fare ci in ambiente Matlabsi definita una matrice M_coll (=matrice dei collegamenti) in cui si pone: 1 se i due nodi sono collegati da una trave, 2 se i due nodi sono collegati da una biella, 0 se i due nodi non sono collegati. 52.4 Attribuzione sezioni e Matrice riassuntiva Ora che abbiamo definito sia i nodi che le aste della struttura possiamo passare allassegnazione delle sezioni strutturali alle aste stesse. Per la nostra struttura si decide di utilizzare un HEB 240 per quello che riguarda i pilastri, un IPE 240 per quello che riguarda le travi e un profilato angolare accoppiato 2Lx100x100x10 per quel che riguarda i controventi. Per definire la caratteristiche delle varie sezioni in Matlab si sono create le 3 variabili IPE240_valori, HEB240_valori, doppia_L_valori mediante lettura delle caratteristiche da un file Excel (preventivamente realizzato) in cui sono racchiuse le caratteristiche di molteplici tipologie di sezioni; di seguito si riporta la parte di codice che realizza ci: Aquestopuntonelprogrammasidefinisceunamatriceriassuntivadeglielementichiamata M_ele_riass in cui si elencano gli elementi (ordinando gli elementi a partire dai pilastri, poi le travi epoiicontroventi)eadognunodiessisiassocia(nellordine):-tipoelemento,-identificativo dellelemento,-identificativodelprimonododellelemento,-coordinataxdelprimonodoxi, -coordinataydelprimonodoyi,-identificativodelsecondonododellelemento,-coordinataxdel secondonodoxj,-coordinataydelsecondonodoyj,-lunghezzadellelementol,-angolodi inclinazione o [cio langolo che il sistema di riferimento locale dellelemento (che da adesso verr indicato con SRL) forma con il sistema di riferimento globale fissato per la struttura(che da adesso indicheremo con SRG)], -modulo elastico E, -area della sezione A, -momento di inerzia intorno a y Iy; -momento di inerzia intorno ad x Ix. Di seguito si riporta la parte di codice Matlab necessaria a creare tale matrice (compresa la parte necessaria al calcolo di l e o): 6 7 82.5 Calcolo delle rigidezze delle singole aste. Come gi accennato in precedenza la struttura presa in esame comprende al suo interno sia elementi tipo trave che elementi tipo biella le cui matrici di rigidezza verranno trattate in maniera separata.Perquantoriguardalamatricedirigidezzadeglielementitravedobbiamoricordarcichetali elementi(nelpiano)offronounarigidezzaa6gradidilibert,3perogninodo,epercilaloro matrice di rigidezza sar una 6x6.Talematricesiottieneapartiredallelementonelsistemageometricamentedeterminatoanodi bloccati, da qui si sbloccano uno alla volta i vari gradi di libert e ogni volta si assegna al grado di libertsbloccatounospostamentounitarioconilqualesivannoadeterminaretutteleforzeche insorgononellelementoacausaditalespostamento;propriotaliforzesonolecomponentidi rigidezza della trave per tale spostamento unitario. Quindi il generico elemento della matrice di rigidezzadellelementolaforzaindirezionedelli-esimogradodilibertprovocatadauno spostamento unitario in direzione del j-esimo grado di libert; inoltre per il Teorema di Betti risulta che quindi tali matrici risulteranno simmetriche. ijKji ijK K =Quindi per lelemento trave la matrice di rigidezza la seguente: ((((((((((((((

=l4EJ l6EJ- 0l2EJ l6EJ0 l6EJ-l12EJ0l6EJ-l12EJ- 0 0 0lEA 0 0lEAl2EJ l6EJ- 0l4EJl6EJ 0 l6EJ-l12EJ- 0l6EJ l12EJ 0 0 0lEA- 0 0lEA ] [K2 22 3 2 32 22 3 2 3' A differenza della trave, lelemento biella (nel piano) ha 2 gradi di libert per i quali offre rigidezza (cio le due traslazioni assiali ai due nodi) quindi la sua matrice di rigidezza sar una 2x2, e avr la seguente forma: | |((

=11 -1 - 1lEAK' In ambiente Matlab si realizzata un apposita parte di codice che a seconda del particolare tipo di elementocomputazionalecrealarelativamatricedirigidezza;perfarecisiutilizzailcomando switchchecipermettedipassaredaunacasoadunaltroasecondadelvalorecheassumeuna determinatavariabile,piprecisamenteintalecasoquandolavariabilehhpilastrootrave allelemento viene associata la matrice di rigidezza dellelemento computazionale trave, mentre se talevariabilecontroventoallelementovieneassegnatalamatricedirigidezzadellelemento computazionale biella. Di seguito si riporta la parte di codice relativa a quanto appena descritto: 9 Tuttavia tali matrici di rigidezza cos calcolate sono riferite al SRL dellelemento, per riportarle nel SRGnecessarioutilizzarelamatriceditrasposizione(chenonaltrocheunamatricedi cambiamentodibase)| chedefinitaapartiredaicosenidirettoridellelementochesono| Lo cos nx= o ot'x sin) ( cos ny= = -21 nz= ,doveo langolofralassexdelSRGelasse (cio quello lungo lasse dellelemento) del SRL. 10 Pi precisamente la matrice di trasposizione per un elemento trave ha la seguente forma: | |(((((((((

=(((((((((

=1 0 0 0 0 00 cos sin- 0 0 00 sincos 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 cos sin-0 0 0 0 sincos1 0 0 0 0 00 n n - 0 0 00 n n 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 n n -0 0 0 0 n nLx yy xx yy xo oo oo oo o Invece la matrice di trasposizione per lelemento biella ha la seguente forma: | |((

=((

=o oo osincos 0 00 0 sincosn n 0 00 0 n nLy xy x Per calcolare tali matrici in ambiente Matlab stato previsto un apposito ciclo sempre utilizzando il comando switch come visto sopra per le matrici di rigidezza locali; di seguito si riporta tale parte di codice: 11 Ora che abbiamo a disposizione le matrici di trasposizione possiamo passare le matrici di rigidezza del singolo elemento dal SRL al SRG mediante la seguante relazione: | | | | | || | L K L KlocTglob = NellambienteMatlabtalerelazioneimplementatainappositiciclichecalcolanolematricidi rigidezza dei vari elementi nel SRG e li salvano in delle matrici tridimensionali; di seguito si riporta la parte di codice relativa: 2.6Ripristino della congruenza e determinazione della matrice delle rigidezze della struttura necessario ora ripristinare la congruenza, poich finora sono state sempre prese in considerazione lesingoleasteinmodoseparato.Siprocedequindialladeterminazionedellamatricetopologica [A]; essa costituita da 0 e da 1 e serve a correlare gli spostamenti nodali dei singoli elementi agli spostamenti globali dei nodi della struttura secondo la relazione: su [A] u = Dove: - u il vettore degli spostamenti nodali delle singole aste ed ha dimensioni dove1)] d [(1 ) p n m ( ) p n m ( d2 1 2 1 1 1 1 + =con:=1m numero delle travi,=2mnumero delle bielle, numero di nodi x elemento, gdl del singolo nodo della trave, gdl del =1n =1p =2p singolo nodo della biella - il vettore degli spostamenti globali dei nodi della struttura ed ha dimensioni[( su )] 1 d2 dovedcon: n = numero di nodi della struttura, p = numero di gdl del singolo nodop n2 = della struttura 12- [A] la matrice topologica che quindi avr dimensioni)] d d [(2 1 dove e hanno il lla struttura tramite la seguente razione:1d2d significato visto precedentemente Si pu quindi ricavare la matrice di rigidezza de ] K [s ] A [ ] K [ ] A [ ] K [Ts = ovecon] K [ siindicatalamatriceabandacontenetetuttelematricidirigidezzadeisingoliDelementi nel sistema di riferimento globale, di dimensioni] d d [1 1 , cio: ((((

=m1K 00 K] K [ ambienteMatlabperfarecisiprimacreatalamatrice] K [ , In sipoicreatalamatrice topologicamedianteunappositociclocheassegnagliunoeglizerodellamatriceainbase allidentificativodeinodiinizialiefinalidellelemento,inmododagarantirelacongruenzafra spostamenti locali dellelemento e spostamenti globali della struttura; si riportano di seguito le parti di codice relative: 13 142.7 Introduzione dei vincoli vincoli vengono inizialmente introdotti mediante il ibiledefinireq Ivettore tipo_vincolo in cui si inserisce 0 se il nodononvincolato,1seilnodoincastrato,2seilnodoincernierato(sempreallesterno); dopodichtalicondizionidivincolovengonosalvateallinternodellavariabilenum_punti,incui sono contenuti (in ordine): - identificativo del nodo, -coordinata x del nodo, - coordinata y del nodo, - condizione di vincolo del nodo.Grazieaquestagrandezzaposs ualigradidilibertsonovincolatiattraversoun appositociclochetramitelacondizionedivincoloelidentificativodelpuntovincolatocalcolail numero dei gdl vincolati (ad esempio se la condizione di vincolo 1 e lidentificativo del punto 2 inumerideigdlvincolatisar4,5e6)eliinseriscetuttiinunappositavariabilechiamatagdlr (=gradi di libert vincolati); dopodich vengono calcolati i gradi di libert non vincolati togliendo ai gdl totali della struttura quelli vincolati gi calcolati. Di seguito si riportano le varie parti di codice con cui si realizzato quanto esposto pocanzi: 15 2.8 Inserimento dei carichi er quanto riguarda i carichi essi vengono definiti mediante lausilio di due variabili, che sono: della struttura medianteil na volta determinate tali forze per ogni elemento esse vanno sottratte al vettore dei carichi esterni zioni che vengono di seguito riportate: P-F che il vettore delle forzanti applicate nei nodi della struttura -q che il vettore dei carichi distribuiti applicati nei vari elementiUnavoltadefinitetalivariabilinecessarioricordarsichepereseguireilcalcolo metodo degli spostamenti necessario togliere al vettore dei carichi esterni il vettore delle forze del sistemageometricamentedeterminatoanodibloccati;perfarecisisonoimpostatiduecicliche trasformano gli eventuali carichi distribuiti presenti su travi e pilastri nelle equivalenti forze nodali chesonolereazionivincolaridellelementocalcolateconloschemaincastro-incastro,come riportato nella figura sottostante: Ucos da trovare il vettore dei carichi necessario alla risoluzione della struttura. Quanto sopra riportato stato implementato in Matlab tramite una serie di istru16 17 182.9 Determinazione degli spostamenti ai nodi non vincolati e reazioni vincolari he per una generica struttura vale la relazione: Oracheabbiamodefinitosialamatricedirigidezzacheicarichiagentisulsistemaciricordiamo c | | | |s sKsF = o Perintalerelazionesorgeilproblemache| | Kmensunamatricesingolare,quindinonpossiamo invertirla,poichancoranonabbiamousatoladefinizionedeivincolipereliminareilorogdldal calcolo.Perfarecisidivideilvettoresposta tiinduesottovettori f r e o o cherappresentano rispettivamenteglispostamentideinodivincolati(chesonoginotiessendonullinelcasodi vincoli perfetti) e gli spostamenti dei nodi non vincolati (che sono incogn poi si suddivide la matrice di rigidezza nelle seguenti quattro sottomatrici: -| |rrKs che la sottomatrice ottenuta eliminandoiti), e da| |sKle righe e le colonne relative ai gdl non vincolati sottomatrice ottenuta eliminando da-| |ffKsche la | |sKle righe e le colonne relative ai gdlvincolati elasottomatriceottenutaeliminandoda-| |rfKs ch | |sK lerigherelativeaigdlnon vincolati e le colonne relative ai gdlvincolati o da -| |frKsche la sottomatrice ottenuta eliminand | |sKle righe relative ai gdl vincolati e le colonne relative ai gdl non vincolati rtata secondo questa nuova suddivisione si ottiene che: Che lespressione matriciale di due equazioni, se lo esplicitiamo otteniamo che : Quindi riarrangiando lespressione sopra ripo )` (

)`f ff fr fKs Ks F o ( = r rf rr rKs Ks F o { } | | { } | |{ } + =f rf r rr rKs Ks F o o { } | | { } | | { } + =f ff r fr fKs Ks F o o Dove=forzeneinodivincolati(chesonolereazionivincolari)e=forzeneinodinon vincolati;oraricordandocicheglispostamentideigdlvirFfFncolatisonotuttinulli,cio{ } { } 0r= o , avremo he gli spostamenti nei nodi non vincolati sono dati dalla relazione: c{ } | | { }f1ff fF Ks =o In ambiente Matlab si prima provveduto alla suddivisione di| |sKa definitenelle quattro sottomatrici e di nei due sottovettorimediante le variabili gdlr e gdlf prim : {} F 19 { }fo Una volta fatto ci semplice determinare gli spostamenti dei nodi non vincolatimediante la emplicerelazionesopraesposta;dopodichsipossonoanchefacilmentecalcolarelereazionisvincolari tramite la relazione { } | |{ }f rf rKs F o = Si riporta qui di seguito la relativa parte di codice Matlab: .10 Calcolo delle sollecitazioni interne lementonecessarioperprimacosaconosceregli postamenti dei nodi del singolo elemento nel SRG cos da poter usare la relazione: 2 Percalcolarelesollecitazionisuognisingoloes | |'i'i'iK F o = Per determinare tali spostamenti del singolo elemento per prima cosa si crea un vettore contenete gli postamentideigdlliberinelleposizionideigdlliberieglispostamentideigdlvincolati(chesricordiamoessere0)nelleposizionideigdlvincolatichevienepoimoltiplicatoperlamatrice topologica [A] cos da ottenere un vettore in cui sono racchiusi gli spostamenti dei singoli elementi nelsistemadiriferimentoglobale;infinesiestraggonodivoltainvoltaglispostamentidiun elementodatalevettore,lisimoltiplicaperlamatriceditrasposizione[L]dellelementocosda riportarlinelSRLepoisisalvanoinunvettoreincuisonocontenutituttiquestispostamenti (elemento per elemento) nel SRL. Tutto ci implementato mediante le seguenti istruzioni Matlab: 20 Unavoltanotitalispostamentipossiamoandareadeterminarelesollecitazionisuivarielementi ediante la relazione sopra descritta, ricordandoci per che per il calcolo degli spostamenti si eranomtolte le forze del sistema a nodi bloccati che ora dovranno essere risommate alle sollecitazioni cos calcolate per ottenere i valori finali delle sollecitazioni stesse; di seguito si riporta la parte di codice Matlab che realizza il calcolo di tali sollecitazioni: 21 Ora non ci rimane che andare a cambiare i segni delle sollecitazioni, poich quelle appena calcolate anno il segno riferito al sistema di riferimento locale dellelemento mentre, per una pura semplicithdi esposizione,a noi fa pi comodo riferirlo alla convenzioni dei segni di scienza delle costruzioni; di seguito si riporta la parte di codice che effettua questo cambiamento di segno: 22 2.11 Confronto grafico-numerico fra i risultati ottenuti con Matlab e quelli ottenutinfronteremo con quelli ttenuti utilizzando il codice di calcolo SAP2000 sia in maniera grafica che in maniera numerica. e con il codice di calcolo SAP2000 in termini di spostamento Ora andremo ad esporre i risultati si qui ottenuti con il codice Matlab e li cooPerprimacosasiriportalapartedicodicecheinMatlabdisegnaloschemadellastruttura comprensivo di identificativi grafici quali: - dei quadrati rossi ove siano presenti vincoli esterni (chsiano essi cerniere o incastri), - dei pallini gialli in corrispondenza delle varie sconnessioni interne a cerniera, - dei puntini blu per identificare la presenza di un nodo generico; vengono inoltre stampati a video gli identificativi numerici dei nodi e degli elementi. 23 24 25 Ilrisultatochesiottienedaquestapartedicodicelaseguentefiguracherappresentaloschema ella struttura in esame:d 26 Adesso si va a riportare la parte di codice che a partire dagli spostamenti dei nodi dei vari elementi elsistemadiriferimentoglobaleprimacalcolalecostantidellalineaelasticaelementopernelemento(medianteglispostamentiortogonaliallassedellelementoeallerotazioni,neinodi inizialiefinali)epoicontalicostantivaadisegnareladeformatadiognielementocosda disegnareladeformataglobaledellastruttura;taledeformataottenutatramiteMatlabverrpoi confrontata con quella ottenuta dal codice di calcolo SAP2000. 27 28 29 30 31 32La deformata che si ottiene mediante tale pavece la deformata che si ottiene mediante il codice SAP2000 la seguente: rte di codice Matlab la seguente: In 33Comesivedeleduedeformatesonouguali,perperunraffrontopiprecisodiseguitosiriporta natabellaconivalorinumericideglispostamentinodalicalcolaticonilMatlab,unacontenenteuquelli calcolati con il SAP2000 e una con il confronto fra i due calcoli in termini percentuali: TABLE:Joint Displacements SAP2000 JointOutputCaseCaseTypeU1U2U3 R1R2R3 TextTextTextmmm RadiansRadiansRadians 1COMBOC ombination 000000 2C Com ionOMBO binat 000000 3COMBOCombination000000 4COMBOCombination0,002063 -0,000497 -0,002367 000 5COMBOCombination0,001894 -0,000974 -0,002304 000 6COMBOCombination0,001578 -0,000378 0000,004233 7COMBOCombination0,008058 -0,000781 000-0,0085878COMBOCombination0,006866 -0,001325 0000,007164 TABLE:p M abJoint Dis lacementsatlJointOutputCaseCaseTypeU1U2U3 R1R2R3 TextTextTextmmm RadiansRadiansRadians 1COMBO 000000 2C OMBO000000 3COMBO 000000 4COMBO 0,002063-0,000497-0,002367000 5COMBO 0,001894-0,000974-0,002304000 6COMBO 0,001578-0,0003780000,004233 7COMBO 0,008058-0,000781000-0,008587 8COMBO 0,006866-0,0013250000,007164 n nodospo amen a 0 diff. Percen st toMatl bSAP20 0tuale ////(%) U10,0020630,002063-0,016 U2-0,000497 -0,0004970,0304 R2 -0,002367 -0,002367-0,017 U10,0018940,001894-0,022 U2 -0,000974 -0,0009740,0045 R2 -0,002304 -0,0023040,002 U10,0015780,001578-0,026 U2 -0,000378 -0,0003780,0656 R2 0,0042330,0042330,008 U10,0080580,008058-0,002 U2 -0,000781 -0,000781-0,0317 R2 -0,008587 -0,0085870,002 U10,0068660,0068660,005 U2 -0,001325 -0,001325-0,0048 R2 R 0,0071640,0071640,005 342.12 Confronto grafico-numerico fra i risucon il codice di calcolo SAP2000 in tehesonogistatecalcolatealpunto2.10)mediiconsiderichelefibrediriferimentosonosemuardato a partire dal nodo i fino al nodo j.ltati ottenuti con Matlab e quelli ottenutirmini di sollecitazioni interne azioni interne anteilcomandofillchepermettediriempireuna

Si va ora a riportare la parte di codice Matlab che disegna idiagrammidellesollecit(cdata area con un determinato colore, in particolare per i nostri diagrammi quando la sollecitazione interna(siachesiaN,ToM)positivaildiagrammavieneriempitoconilcoloreblu,invece quandoessanegativavieneriempitaconilcolorerosso;ladefinizionedipositivoenegativofa riferimento alla convenzione di scienza delle costruzioni cio: S prepostealladestradellelementocheviene a dello sforzo normale: g Partiamo dal codice per il plot del diagramm 35 36 37Ora andiamo a riportare il diagramma cos ottenuto e lo codice SAP2000: SAP2000 confrontiamo con quello ottenuto mediante MATLAB il 38Adesso verr riportata la parte di codice che permette di effettuare il plot del diagramma del taglio: 39 Ora andiamo a riportare il diagramma cos ottenuto e lo confrontiamo con quello ottenuto mediante codice SAP2000:il 40MATLAB SAP2000 41Infine si riporta la parte di codice che permette di effettuare il plot del diagramma del momento: 42 43 44 45 Ora andiamo a riportare il diagramma cos ottenuto e lo confrontiamo con quello ottenuto mediante codice SAP2000: ilMATLAB 46SAP2000 omegifattoperladeformata,peravereunraffrontopiprecisofrairisultati,siriportauna bella contenente i valori delle sollecitazioni, elemento per elemento, ottenute mediante il SAP200, Ctauna contenente le sollecitazioni ottenute con il Matlab e una con le loro differenze percentuali: TABLE:Element Forces Frames SAP2000 FrameStationOutputCaseCaseTypePV2V3TM2M3 TextmTextTextKNKNKNKN-mKN-m KN-m 10,000COMBOC -221,199 -8 0 0, 0 10,683ombination ,751 ,000 000 ,00015 COMBOCom ion-221,199 - 0 ,000 binat 8,751 ,0000,0000,000 -33,074 20,000COMBOCombination-433,606 -8,7750,0000,0000,000 11,041 25,000COMBOCombination-433,606 -8,7750,0000,0000,000 -32,833 30,000COMBOCombination-168,177 27,6040,0000,0000,000 -48,992 35,000COMBOCombination-168,177 27,6040,0000,0000,000 89,026 40,000COMBOCombination-158,261 -70,5550,0000,0000,000 104,344 44,000COMBOCombination-158,261 -70,5550,0000,0000,000 -177,876 50,000COMBOCombination-195,381 65,1330,0000,0000,000 -74,298 54,000COMBOCombination-195,381 65,1330,0000,0000,000 186,233 60,000COMBOCombination-18,494117,9130,0000,0000,000 -137,419 67,500COMBOCombination-18,494-125,837 0,0000,0000,000 -167,131 70,000COMBOCombination-43,244129,8570,0000,0000,000 -125,666 76,000COMBOCombination-43,244-125,143 0,0000,0000,000 -111,52647 80,000COMBOCombination-130,555 -158,261 0,0000,0000,000 -177,87687,500COMBOCombination-130,555 160,4890,0000,0000,000 -186,23390,000COMBOCombination18,8260,0000,0000,0000,000 0,000 99,014COMBOCombination18,8260,0000,0000,0000,000 0,000 100,000COMBOCombination-36,2060,0000,0000,0000,000 0,000 109,014COMBOCombination-36,2060,0000,0000,0000,000 0,000 110,000COMBOCombination20,3590,0000,0000,0000,000 0,000 117,810COMBOCombination20,3590,0000,0000,0000,000 0,000 120,000COMBOCombination-43,5980,0000,0000,0000,000 0,000 127,810COMBOCombination-43,5980,0000,0000,0000,000 0,000 130,000COMBOCombination74,1450,0000,0000,0000,000 0,000 138,500COMBOCombination74,1450,0000,0000,0000,000 0,000 TABLE:Element Forces - Frames Matlab FrameStationOutputCaseCaseType PV2V3TM2M3 TextmTextTextKNKNKNKN-mKN-mKN-m 10,000COMBO-221,199 -8 0,000 0 0,00010,682,751 ,00015 COMBO-221,199 - 0 ,000 8,751 ,000 0,0000,000-33,074 20,000COMBO-433,606 -8,7750,000 0,0000,00011,041 25,000COMBO-433,606 -8,7750,000 0,0000,000-32,8326 30,000COMBO-168,177 27,6040,000 0,0000,000-48,992 35,000COMBO-168,177 27,6040,000 0,0000,00089,026 40,000COMBO-158,261 -70,5550,000 0,0000,000104,344 44,000COMBO-158,261 -70,5550,000 0,0000,000-177,876 50,000COMBO-195,381 65,1330,000 0,0000,000-74,298 54,000COMBO-195,381 65,1330,000 0,0000,000186,233 60,000COMBO-18,494117,9130,000 0,0000,000-137,419 67,500COMBO-18,494-125,837 0,000 0,0000,000-167,131 70,000COMBO-43,244129,8570,000 0,0000,000-125,666 76,000COMBO-43,244-125,143 0,000 0,0000,000-111,526 80,000COMBO-130,555 158,2610,000 0,0000,000-177,876 87,500COMBO-130,555 -160,489 0,000 0,0000,000-186,233 90,000COMBO18,8260,0000,000 0,0000,0000,000 99,014COMBO18,8260,0000,000 0,0000,0000,000 100,000COMBO-36,2060,0000,000 0,0000,0000,000 109,014COMBO-36,2060,0000,000 0,0000,0000,000 110,000COMBO20,3590,0000,000 0,0000,0000,000 117,810COMBO20,3590,0000,000 0,0000,0000,000 120,000COMBO-43,5980,0000,000 0,0000,0000,000 127,810COMBO-43,5980,0000,000 0,0000,0000,000 130,000COMBO74,1450,0000,000 0,0000,0000,000 138,500COMBO74,1450,0000,000 0,0000,0000,000 48 CONFRONTO SOLLECITAZIONI MATLAB-SAP2000 ELEMENTOSTAZIONEAPAVAM //(%)(%)(%) 0,0000,0 0-0,0 10,0009360009 04571 5, 00, 0-0, 10,00000000 00009 004570,000-0,0000460,003419-0,000906 2 5,000-0,0000460,003419-0,000305 0,0000,0001190,0014490,000000 3 5,0000,0001190,0014490,000000 0,0000,0001900,0000000,000000 4 4,0000,0001900,0000000,000000 0,000-0,0001020,000461-0,000135 5 4,000-0,0001020,0004610,000000 0,0000,002163-0,0003390,000000 6 7,5000,0021630,0003180,000000 0,0000,0009250,0003080,000000 7 6,0000,000925-0,0003200,000000 0,0000,0000000,0001900,000000 8 7,5000,000000-0,0001870,000000 0,0000,0000000,0000000,000000 9 9,0140,0000000,0000000,000000 0,0000,0002760,0000000,000000 10 9,0140,0002760,0000000,000000 0,0000,0009820,0000000,000000 11 7,8100,0009820,0000000,000000 0,000-0,0006880,0000000,000000 12 7,810-0,0006880,0000000,000000 0,000-0,0004050,0000000,000000 13 8,500-0,0004050,0000000,000000 492.13 Confronto numerico fra i risultati ottenuti con Matlab e quelli ottenuti con il codice di calcolo SAP2000 in termini di reazioni vincolari zionivincolaricalcolate edianteilMatlab(comevistoalterminedelparagrafo2.9);-unaltratabellacontenenteivalori

Diseguitosiriportanotretabelle:-unacontenenteivaloridellereamdelle reazioni vincolari calcolate mediante il SAP2000; - infine unultima contenente le differenze percentuali fra le due metodologie di calcolo TABLE:Joint Reactions SAP2000 JointOutputCaseCaseTypeF1F2F3M1M2M3 TextTextTextKNKNKNKN- m KN- m KN- m 1COMBOC -6 210,756 0,000 0 0 -10,683 ombination ,913 ,000,0002C Com ion-36,990 440,656 0 OMBO binat ,000 0,0000,000-11,041 3COMBOCombination-61,097 196,088 0,000 0,0000,00048,992 TABLE:Joint Reactions SAP2000 JointOutputCaseCaseTypeF1F2F3M1M2M3 TextTextTextKNKNKNKN-mKN-mKN-m 1COMBO -6 21 6 0,000 0,0000,000- ,913 0,75 10,682 2C -3 44 0 OMBO,000 0,0000,0006,990 0,656 -11,041 3COMBO 0,000 0,0000,000-61,097 196,088 48,992 CONFRONTO REAZIONI MATLAB-SAP2000 NODOOutputCaseAF1AF2AM3 /(%)(%)(%)Text 1COMBO0, 2-0,0000090,00047400299 2 COMBO-0,001252-0,000048-0,000507 3 COMBO0,0004190,000117-0,000064 503 Analisi Dinamica matrice delle masse della struttura eto,cheproprioilcasodella truttura oggetto di studio, la seguente: 3.1 Costruzione della Lequazionediequilibriodinamicoperunsistemaelasticodiscrs {} {} { } { } ) t ( F u ] K [ u ] C [su ] M [s= + + Vistochesistatrattandoilcasodiunanalisidiunastrutturapercuiilcomportamentodello morzamentononbennotomasoloapprossimabile(adesempioconunaformulazioneallasRayleighincui| |s sK ] M [ ] C [ + = | o )sidecisodisvolgeretutteleanalisiconsiderandolo smorzamento nullo, cio [C] = 0, cos terminare i massimi della risposta e non il reale decorso della risposta neli questa ipotesi lequazione della dinamica diventa: da detempo; quindi a causa d{ } { } { } ) t ( F u ] K [ u ] M [s s= + Siccome la matrice di rigidezza della struttura gi nota, in quanto determinata nellanalisi statica, on ci rimane che andare a determinare la matrice di massa della struttura. Per fare ci in generale nnecessariodefiniteperprimacosalamatricedimassadeisingolielementinellorosistemadi riferimento locale e poi riportarla nel sistema di riferimento globale tramite la relazione | | | | L ] M [ L ] M [_loc eleT_glob ele = Fattocisideveandareacomporrelamatricedellemassedellastrutturamediantelamatrice pologica [A] ( gi definita per lassemblaggio della [Ks] ) mediante la relazione:to | | | | | | A ] M [ A Mglob _ eleTs = Quantosopraespostovalenelcasogeneraleincuilamatricedellemassedellelementononsia iagonale ma sia del tipo congruente, cio ottenuta a partire dalle funzioni di forma dellelemento eddovequindiesistonoancheterminifuoridiagonalesiaperglielementitravecheperglielementi biella; per nel nostro caso si utilizzer una formulazione a masse concentrale (lumped mass) ove la massa dellelemento divisa equamente fra i due nodi dellelemento per entrambi i gradi di libert traslazionali del nodo stesso mentre a quello rotazionale non viene assegnata nessuna massa. Quindi in questa formulazione la matrice di massa dellelemento verr definita direttamente nel sistema di riferimento globale, poich sarebbe inutile definire la matrice delle masse nel SRL e poi passarla nel SRGinquantoessadiagonaleequindinelpassaggiodisistemadiriferimentononverrebbe modificata.Quindilaformadellamatricedimassadellelementotraveediquelladellelemento biella (nel SRG) sono le seguenti: | |(((((((((

=0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 12l AM Trave Elementoele_glob 51| |((((((

=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 12l AM Biella Elementoele_glob TaleformulazioneperlamatricedellemassestatrisultatidelprogrammadicalcoloSAP2000cheutilizzapropridelle masse. Unavoltacostruitalamatricedellemasseperstrutturapartecipanosolamenteigdlnonvincolati inizialeselezionandosolamentelerigheelecolvincolati, riducendo quindi il sistema asceltaperottenereunmigliorriscontroconi otaleformulazioneperlamatrice cidobbiamoricordarecheallarispostadella epercidovremoandarearidurreilproblema onnedellamatricedimassarelativeagdlnon iniziale al seguente sistema: { } {} { }ff ff _ s ff _ s) t ( F u ] K [ u ] M [ = + DiseguitosiriportalapartedicodiceMatlab necessariaacostruirelamatricedimassadella struttura (sia quella completa che quella ridotta): 52 533.2 Analisi in oscillazioni libere con smorzamento nullo uellocheciproponiamodifareadessoandareastudiareilnostrosistemanelcasoincuinon ianopresentiforzantiesterne,malecondizioniinizialiinterminidispostamentoevelocitsono iverse da 0 (o entrambe o almeno una delle due), in pratica ci proponiamo di andare a risolvere il eguente sistema di equazioni differenziali: Qsds { } {} { } 0{ }== + ff _ s ff _ su ) 0 ( u0 u ] K [ u ] M [ { }=0u ) 0 ( u Per risolvere tale problema si ipotizza che la soluzione sia del tipo{ } { } ) t ( f ) t ( u =|dove f(t) una { } | un vettore di numeri di dimifunzione del tempo valida per tutti i gradi di libert eensioni pari alnumerodigradidilibertdelsistema,inpraticasipensachelasoluzioneabbialostesso andamentoperognimassamasiaproporzionalealvaloredello| relativoallamassastessa.Ora derivando due volte questa espressione e sostituendola nellequazione iniziale si ottiene il seguente sistema lineare omogeneo: | | | | | | { } 0 K Mff _ s ff _ s2= + | e Tale sistema ammette una soluzione (che non sia quella banale di{ } { } 0 = | ) se e solo se verificata la seguente relazione: | | | | | | 0 K M det2= + eff _ s ff _ s La risoluzione di questo problema detta problema agli autovalori e si risolve tramite lequazione i grado N ( = numero di gdl del sistema) che si ottiene dalla condizione sopraesposta e che ha per forme mdincognite gli N autovalori 2e ; a tali N autovalori sono associate N odali{ } |della struttura (che si ottengono reinsere uno alla volta i valori dinellequazione inizia a volti noti liautovalorisipossono laresi a ndo calco 2ealepulsazionipropriedelsistemle). Un2ie gie= siaiperiodi propri del sistema i i2 T e t = . importante notare che a causa della matrice delle masse utilizzata sulla diagonale della stessa ci sono dei termini nulli, tali termini corrispondono ad autovalori con valore numerico non finito (cio )equindiadautovettorinulli,diconseguenzasiavrcheilsistemadefinitodaunnumerodi forme modali non nulle minore rispetto al numero di gdl del sistema, precisamente si avrannoN32 formemodali;talenumeroderivadalfattochesidevetogliereunaform perognigdl rotazionale (a cui non assegnata alcuna massa) e quindi, essendo i gdl rotaz erzo di quelli totali, ne risulta che noamodale ionali un t i restanti sodue terzi. sisdice InambienteMatlabilcalcolodegliautovettoriedegliautovaloridieffettuamedianteilcomando eig,medianteilqualesiottengonolamatricediagonale[aut_val]contenentegliautovaloridel tema e la matrice [aut_vett] contenente gli autovettori del sistema; una volte note tali quantit facilecalcolarelepulsazionieiperiodipropridelsistema.Diseguitosiriportalapartedicoche realizza tali operazioni: 54 Gli autovettori che si sono trovati sono definiti a meno di una costante moltiplicativa che pu essere ualunque(poichpergliautovettorinonimportanteilvaloreassolutodellecomponentima portanteilrapportofralecomponentistesse),alloranormalmentetalecostantevienesceltain aniera che siano soddisfatte le due seguenti relazioni: qimm | | | | | | | || | | | | | | |2ff _ sTff _ sTKI Me | || |= = Perfarecibastamoltiplicareli-esimoautovetture i| perilcoefficiente iim1= o ,dovemi li-esimodellamatrice

| | | | | | | | =ff _ sTff _ sM M cheunamatricediagonale.InMatlabtale rocedura stata implementata nel seguente ciclo: p55 racheabbiamoadisposizionesialepulsazioninaturalicheleformemodalisipuandarea eterminare la risposta del problema in oscillazioni libere come combinazione lineare delle risposte ssociate ai singoli modi di vibrare e cio: Oda ) t ( sen ) t ( uj jN1 jj j1u e | + == ove Dje jusono due parametri che dipendono dalle condizioni iniziali e N1 il numero di modi propridelsistema(comegivistopariaN3).Ilparametro j2 prendeilnomedicontributo modale , in quanto rappresenta il contributo della j-esima forma modale sulla risposta complessiva del sistema.Per analizzare le oscillazioni libere si assumo due diversi set di condizioni al contorno: -nel primo si assumerannovelocitnulleespostamentiproporzionaliallaprim formamodale;-nelsecondosi assumeranno sempre velocit nulle ma spostamenti pari a quelli ottenuti nel calcolo della deformata a statica. =0 (0) uu(0)1 Set o

=0 (0) uu u(0)2 Set s =1|=Dallasoluzionedelproblemaconilprimosetdicondizionialcontornocisiaspettadiottenere degli spostamenti sinusoidali con periodo pari al periodo del primo modo di vibrare, ci perch se si assumono spostamenti proporzionali ad una forma modale sar solo quella forma a dare contributo, cio ildi quella forma modale sar ari a 1 mentre tutti gli altri saranno nulli. Dalla soluzione del econdo ss set di condizioni al contorno invece ci si aspetta di ottenere una forma generica data dalla ovrapposizione dei contributi dei vari modi. Di seguito si riporta la parte di codice che realizza il calcolodelleoscillazionilibereperentrambiidicondizioniiniz li(mentreleelaborazioni grafiche vengono riportate nellapposito paragrafo): setia 56 57 58 3.3 Analisi in oscillazioni forzate con smorzamento nullo uello che ci proponiamo di fare adesso andare a studiare il nostro sistema nel caso in cui siano resenti forzanti esterne con andamento nel tempo di tipo sinusoidale, e che le condizioni iniziali in rminidispostamentoevelocitsonoentrambepari0,inpraticaciproponiamodiandarea solvere il seguente sistema di equazioni differenziali: Qpteri { } { } { }{ } { }== + 0 ) 0 ( u) t ( F u ] K [ u ] M [ff _ s ff _ s { } { }= 0 ) 0 ( u 59Lanalisi stata eseguita impostando come forzanti esterne due forze, agenti contemporaneamente, di ampiezza e periodo differente rispettivamente pari a:, - , - KN 80 F2 _ 0= s 1 . 0 T1 = - KN 50 F1 _ 0= , icate rispettivamva allinserimento di tali forze: - s 2 . 0 T2 = . Queste due forzanti sono applsempre in direzione x. Di seguito si riporta la parte di codice relati arisoluzioneditaleproblemapuessereeffettuatasiamediantemetodidirettisiamediante etodi indiretti, ora andremo ad analizzare nello specifico entrambe le soluzioni. .3.1 Metodi di integrazione diretta alimetodisonodettidirettipoichnonprevistaalcunatrasformazionedelleequazioniinaltre rmeprimadellintegrazionenumerica.Lideabasediquestimetodiquelladiandarea iscretizzareildominiodeltempoinunnumerofinitodiintervallidiampiezzaparia ente al nodo 4 in direzione x e al nodo 7 Lm 3 Tfod t A edi ti(ciomedianteil calcolareintalipuntiivaloridispostamentivelociteaccelerazionimedianteespressionidi carattere algebrico (e non pi differenziale) che si ottengono inserendo nellequazione generale del oto del sistema al posto della derivata prima e della derivata seconda degli spostamenti una loromapprossimazioneespressainterminifini t A ).Quindinellano alisi ione diretta nel dominio del tempo che sono: straanconfronteremo 4 diversi metodi di integraz -Metodo delle differenze centrali -Metodo di Houbolt -Metodo di Newmark -Metodo diu Wilson Concettualmentetalimetodiprevedonozialmente per: glistessipassidaseguiremadifferisconofraloro essiazioni di velocit e accelerazione in funzione degli spostamenti i si effettua lequilibrio dinamico en -espressioni delle var - istante temporale in cu60Andiamo quindi ad nalizzare n a el dettaglio questi quattro metodi di integrazione, considerando che er ogni metodo stato scelto un passo di integrazione, la scelta di tale passo stata elle differenze centrali che pari a s 10 1 t5 = A pfattatenendoinconsiderazionecheessodeveessereminoresiadelpassomassimoperilmetodo dtminmaxTt = A ssimo oltre il quale non si pu an iliche son affinchessapossaessere (che il passo maasse d realtrimentilasoluzioneesplode)siadellordinedigrandezzadeiterminitrascurab aostatiaggiuntisulladiagonaledellamatricedellemnumericamente invertita (altrimenti una matrice con uno 0 sulla diagonale non invertibile) e che nelnostrocasosonoparia 310 1 .Sempreperognimetodosidecisodistudiareunintervallo temporale che va da zero a due secondi, cios 2 t 0 s s Metodo delle differenze centrali Sia assume che: one accelerazi di zione varia ) U U 2 U (1 velocit di ionevariaz ) Ut 21Ut t t tt t t t tA +A A + A = t2Aove U assunta come funzione deUU (t t A + = gli spostamenti agli istantiD t t A , t,. Listante in cui si quilibrio dinamico t e quindi di ha che: Sostituendoleespressionidiedi sigiungeadunequazionedisolispostamenti,che espressa in maniera compatta ha la seguente forma: ove: Allinizio della procedura risolutiva necessario una inizializzazione che consiste nel calcolo degli enti allistante t t A +va a effettuare le t tst tsR U ] K [ U ] C [ U ] M [ = + + tU tU t t tRU M= A +

DC a M a1 0+ = M t t1 0t2t tU ) C a M a ( U ) M a K ( R RA = spostam t A , che pari a: con a0, a1, a2 e a3 costanti di integrazione che valgono: 030 0 tU a U t U U + A =A ;t1a20A=;t 21a21A= 0 2a 2 a =6123a1a = Di seguito si riporta la parte di codice Matlab che esegue il calcocentrali: lo con il metodo delle differenze 62 Metodo di Hubolt questo metodo le leggi di variazione di velocit e accelerazione sono definite allistanteIn t t A + e anno le seguenti espressioni:h ) 4 5 2 (12t t tUtU+ A + A= ) 2 9 18 11 (6122t t t t t tt t t t t t t t tU U UU U U UtA A AA A A + A + + + A = U Quindi lequazione di equilibrio dinamico viene scritta allistantet t A + , cio: t t t tst t t tsR U ] K [ U ] C [ U ] M [A + A + A + A += + + Sostituendoleespressionidiedisigiungeadunequazionedisolispostamenti,che espressa in maniera compatta ha la seguente forma: Dove i rig equivforza equivalente ont tUA +t tUA + t t t tRU KA + A += C a M a K K1 0+ + =matrice d idezzaalente t 2 t t t t t t t t A A A + A +R) U a U a U a ( C ) U a U a U a ( M Rt 2 t7t t5t3 6 4 2A A + + + + + + =C ;t2a20A=;t A

611a1 = ;ta22A= 5;ta3A= a43; a 20 = ;2aa06 = ;2aa35=9aa37 = Dallespressionerisolutivasiriscontrachelospostamentofunzionedeglispostamenti calcolati ai tre istanti precedenti; di conseguenza tali spostamet tUA +nti vanno calcolati con una procedura 63separata, e p isam ostra analisi tali spostamenti agli intervalli t, et t A t 2 t A ediante i prec ente nella nvengono valutati mediante il Metodo delle questopuntopossibilevalutareglispostalespressione ricorsiva sopra esposta. Di seguito si riporta la parte di codice Matlab

differenze centrali e quindi si ha chementiatuttigliintervallisuc vim che esegue il calcolo con il meDCt 2Ht 2DCtHtDCU UU UA AA A== 0H0U = UA cessitodo di Houbolt: 64Metodo diu Wilson Il metodo di integrazione nel dominio del tempou - Wilsonelineare rappresenta unestensione del metodo lavariazionediaccelerazionetraglidiaccelerazionelineare.Intalemetodosiassumtanti t e; invece nel metodo diis t t A + u - Wilsonlaccelerazione varia linearmente tra gli istanti t .Inbasealvaloreassuntodalparametrou ilmetodocondizionatamenteoppure e et t A +uincondizionatamentestabile,inparticolaresesiassum 37 ,. 1 > u ilmetododiventa incondizionatamente stabile, pertanto nellanalisi si definito4 , 1 = u . La legge di variazione dellaccelerazione viene definita allistante t + tcome: ( )t t t t tU UtU U A + =A + + u tu tcont 0 A s s u t .Integrandounavoltataleespressionesipu ttenere lespressione della velocit e integrando due volte si pu ottenere quella degli spostamenti. eleggidivariazionesceltesonoquellesopraespostescritteallistante oL t t A +u .Quindisiavr he lequazione di equilibrio dinamico va scritta allistantet t A +ue avr la segu c ente forma:on le costanti di integrazione che assumono i seguenti valori: t tRA +u Dove: t tU KA += u C a M a K+ + = K 1 0R) U a U 2 U a ( C ) U 2 U a U a ( M ) R R ( Rt3t t1t t2t0t t t t t t + + + + + + + =A + A +uu C

;aa04u= ;aa25u= ;t3a1A=u;1 2a 2 a= ;2ta3A= u;31 a6u = ;) t (620A=ua2ta7 =

A6ta8A=2Una volta fissate le condizi iali, che sonoe, si possono determinare istante peristanteivalorideglispostamentiistante 0 U0=t0 U0=t A +oni iniznell ,maseguenu anoiinteressaquelloallist e quindi dovremo ripassare a tale valore m lazioni antenteti re t t A + edia le ( )t6t5t t t t tU a U a U U + + =A + A + u 4U a 65( )t t t7t t tU U a U U + =A + A + ( )t t t8t tU 2 U a U t U + A + =A + t t A +U Di seguito si riporta limplementazione in Matlab di tale m etodo: 66 Metodo di Newmark metododiNewmarkunestensionedelmetodoIl u - Wilson ,pertantorappresentaancheun mpliamento del metodo di accelerazione lineare. questo metodo le leggi di variazione sono le seguenti: aIn 2 t t t t t t tt t t t t tt ] U U )21[( U t U Ut ] U U ) 1 [( UA + + A + =A + + =A + A +A + A + o oo o ffinch tale metodo risulti incondizionatamente stabile si deve avere che 0,5 eche 0,25 (0,5+). Ponendo UA21= oe 41= o si ottiene il metodo di accelerazione media costante serendo equazione ma compatta pu essere espressa come: Dacisideducechelequilibriodinamicovieneeffettuatoallistantet t A + ;inlespressionedelleleggidivariazioneinquelladellequilibriodinamicosiottienelrisolutiva che in forC a a K K1+ = M0+ ) U a U a U a ( C ) U a U a U a ( M R Rt5t4t1t3t2t0t t t t + + + + + + =A + A + 67Con le costanti di integrazione che assumono i seguenti valori: ;1=t20Aao ; a =t1A oo ;1a = ; 11a =t2A o32o ; 1 a4 =oo ) 2 (2ta5A=oot a7A = o ) 1 ( t a6o A = :Di seguito si riporta limplementazione in Matlab di tale metodo 68 3.3.2 Metodi di integrazione indiretta etodo della sovrapposizione modale metodi di integrazione nel dominio del tempo appena visti determinano la soluzione del problema forma discreta ovvero in un numero finito di istanti temporali. Tutte le metodologie ad ogni step i calcolo necessitano di un numero di operazioni da implementare pari a: M I ind n m oDove: le dimensioni del problema -m = met larghezza di banda delle matrici coinvolte-n = numero di gradi di libert, cio-2 > o Comedettoquestoilnumerodioperazioniperognistepdicalcolocioperogniistante mporale, quindi se S il numero totale di istanti temporali in cui si discretizzato il problema si avr che il numero complessivo di operazioni pari a:te

n m S o Perridurreilnumerodioperazioninecessariodiminuirelalarghezzadellabandadellematrici oinvolte.Atalriguardolanumerazionedeinodiimportantema,ovviamente,lariduzionedella ellasovrapposizionemodaleconsentedi tringere la larghezza della banda delle matrici operando una trasformazione di coordinate del tipo: clarghezza della banda limitata dalla discretizzazione della struttura. Da ci si deduce che sotto un certonumerodioperazioninonpossibilescendereamenodinoneffettuareunamanipolazione delleequazionirisolventi.Inparticolareilmetodods{ } )} t ( x { ] P [ ) t ( U = Inpraticasiintroduceunnuovosistemadicoordinatex(t)definitecoordinategeneralizzate;nel casoinesamecomematrice[P]sisceglielamatricedelleformemodali | | | poichcipermettedi ottenere la diagonalizzazione sia della matrice di massa sia della matrice di rigidezza, cio: | | | |T] I [ ] M [ | | = | | | | | |2 T] K [ e | | = 69Quindigrazieaquestatrasformazionelequazionediequilibriodinamico(sempreinassenzadi smorzamento) diventa la seguente: { } { } | | { } ) t ( F ) t ( x ] [ ) t ( x ] I [T 2 = + | e Avendo diagonalizzato tutte le matrici coinvolte si oil grande vantaggio di poter essere risolto mediantezareilmetorecedenza.Unavoltadeterminatelesoluzioniincalcolarelesoluzioneinterminidicoordinatedoordinate e cio: ttenuto un sistema disaccoppiato che presenta la soluzione di N equazioni distinta ad un grado dodiHoubolt,conlastessametodologiavistain terminidicoordinategeneralizzatesipu elsistemaattraversolequazionedipassaggiodi di libert ciascuna. La soluzione in termini di spostamenti generalizzati x(t) pu essere calcolata mediante vari metodi, nelnostrocasosisceltodiutilizpc { } )} t ( x { ] [ ) t ( U =| Unaltrograndevantaggiodiquestometodochecipermettediottenereunasoluzioneaccurata (dal punto di vista ingegneristico) anche non considerando tutte le N equazioni, ma considerandone solo un loro numero limitato. Tale numero significativo di forme modali da considerare dipende da vari fattori quali: -tipo di struttura; - tipo di carico, inteso come contenuto in frequenza del carico e distribuzione del carico fra le varie forme modali (comunque il linea generale si pu dire che: - per ica, - per analisi di esplosioni10 n ~ N32n = analisi sism , - per analisi di vibrazioni n = tutti i modi ompresi fra infee supe c ). Nelnostrocasosistudiersialasoluzioneottenutaconunasovrapposizioneditutteleforme modalisialasoluzioneottenutaconsiderandolametdelleformemodaliadisposizioneepoisi confronteranno i risultati per valutarne lerrore. Di seguito si riporta la parte di codice che esegue il calcolo della sovrapposizione a modi completi:

70 71 Di seguito si riporta la parte di codice che esegue il calcolo della sovrapposizione a modi troncati: 72 73 3.4 Risposta in frequenza della struttura ra pensiamo di effettuare unanalisi del sistema 000 Hz con passo di 0,01 Hz che ha messo in assima (su un tempo di 0,1 secondi). Da questo ducono risonanza. Per fare ci si impone che efinite siano uguali e che varino nellintervallo prestabilito, ediante il metodo della sovrapposizione modale (ritelle O condotta per frequenze circolari comprese tra 0 e evidenza il seguente andamento della risposta possibile desumere quale siano le frequenze che le frequenze delle due forzanti precedentemente per ognuna di queste frequenze, solto con il metodo delle differenze centrali), si essa per poi plottare i vari massimi in funzione 1mindmcalcola prima la risposta e poi il massimo della sd e . Di seguito si riporta la parte di codice che realizza quanto descritto: 74 75 3.5 Fenomeno dei battimenti ndiamo ad analizzare la risposta della struttura ventepulsazioneallaprimapulsazionepropheandremoadefiniresarannosempreduemaavrannounastessapulsazionecircaugualealla rima pulsazione propria della struttura. Una volta definite le forzanti si proceder al calcolo degli postamenti mediante il metodo della sovrapposizione modale risolto con il metodo di Houbolt. i seguito si riporta la parte di codice che realizza quanto descritto: A quando viene sollecitata con una forzante armonica riadellastruttura.Quindiquestavoltaleforzanti ~acpsD 76 77 3.6 Fenomeno della risonanza tudiamo il fenomeno della risonanza adottando due forzanti con pulsazione uguale allaprima ulsazione propria del sistema. Il fenomeno della risonanza dovuto al fatto che quando la ulsazione della forzante pari a una delle pulsazioni proprie del sistema il fattore di mplificazione di quel modo Spp) ) / ( 1 (12jje eq= atende ad infinito e quindi gli spostamenti di quel ndefinito nel tempo. Quindi ora si andr a risolvere il sistema etodo della sovrapposizione modale risolto mediante il modo tendono ad avere un aumento iottoposto a tali forzanti mediante il m smetodo di Houbolt. Di seguito si riporta la parte di codice che realizza quanto descritto: 78 79 3.7 Confronto grafico-numerico fra i risultati ottenuti con Matlab e quelli ottenuticon il codice di calcolo SAP2000 in termini di periodi propri e modi propri divibrare er prima cosa si riporta un confronto numerico fra i periodi propri calcolati con il Matlab e quelli alcolati con il SAP2000, pi precisamente si riportano due tabelle contenenti rispettivamente i dati ttenuti dal SAP e dal Matlab e poi si riporta una terza tabelle contenente le differenze percentuali

Pcofra i due sistemi di calcolo: TABLE:Modal Periods And Frequencies SAP2000 OutputCaseStepType StepNum Period CircFreq TextTextUnitlessSecrad/sec MODALMode10,0497 126,41 MO DALMode20,0259 242,65 MODALMode30,0111 568,62 MODALMode40,0094 670,18 MODALMode50,0089 704,53 MODALMode60,0072 878,77 M 0,0071 ODAL Mode7886,33 MODALMode80,0053 1184,50 MODALMode90,0036 1726,60 MODALMode100,0034 1828,90 80 Orasiandrariportarelapartedi eesegueilplotdelleformemodalidellastruttura edianteilcalcolodellalineaelastica,utilizzando divoltainvoltacomecondizionialcontornoi aloridellautovettorepresoinconsiderazione(conlastessaproceduragivistaperilplotdella eformata statica): codicechmvd TABLE:Modal Periods And Frequencies Matlab OutputCaseStepType StepNum Period CircFreq TextTextUnitlessSecrad/sec MODALMode10,0497 126,41 MODALMode20,0259 242,66 MODALMode30,0110 568,63 MODALMode40,0094 670,18 MODALMode50,0089 704,53 MODALMode60,0071 878,78 M 0,0071 ODAL Mode7886,33 MODALMode80,0053 1184,51 MODALMode90,0036 1726,60 MODALMode100,0034 1828,90 Confron odi pr ri M A to peri op atlab-S Pnmododiff. percentuale /(%) 1-0,000350 20,002206 30,002052 4-0,003655 5-0,002652 60,001192 70,0 400248-0,009028 9-0,001616 100,014443 81 82 83 84 85 Orasivannoariportareleprime5formemodalichesiottengonoconquestoploteanchequelle ttenute con il SAP in modo da avere un confronto grafico fra i due codici:o 86MATLAB SAP2000 87MATLAB SAP2000 88MATLAB SAP2000 89MATLAB SAP2000 90MATLAB SAP2000 913.8 Plot delle oscillazioni libere mediante i seguito si riporta la parte di codice che realizzaMatlab il plot delle oscillazione libere:D 92 Diseguitosiriportailrisultatoditaleplotsiaperilprimecondo: osetdicondizionialcontornosiaperil s 933.9 Plot delle oscillazioni forzate calcolmediante Matlab i seguito si riporta sia la parte di codice che re metodo delle differenze centrali che il grafico ottenuto ate con il metodo delle differenze centrali alizza il plot delle oscillazioni forzate calcolate con da tale codice :

Dil 943.9 Plot delle oscillazioni forzate calc Matlab i seguito si riporta sia la parte di codice che re metodo di Houbolt sia il grafico ottenuto da tale codice : olate con il metodo di Houbolt mediantealizza il plot delle oscillazioni forzate calcolate con

Dil 953.10 Confronto grafico-numerico fra i risucon il codice di calcolo SAP2000 in termini di osc il metodo di Newmark i seguito si riporta sia la parte di codice che re metodo di Newmark: ra si va a riportare il confronto grafico fra la risposta calcolata con il Matlab (mediante il codice opra riportato) e quella calcolata con il SAP: MATLAB ltati ottenuti con Matlab e quelli ottenutiillazioni forzate calcolate conalizza il plot delle oscillazioni forzate calcolate con

Dil Os 96SAP2000 erilconfrontonumericofraiduecodicidicalcolo,siccomeilnumerodiintervallitemporali ecessariallanalisisufficientementeelevato(200001intervalli),eraimpensabileeseguireun onfronto su ogni singolo punto perci si eseguito un confronto su una serie di punti ad intervalli aggiori dellintervallo di analisi, pi precisamente il confronto stato effettuato con unampiezza ellintervallo di 0,1 s. Le differenze percentuali ottenuti in questi punti, per comodit di lettura dei sultati,sonostatiriportatiinunistogrammadoveinascissaabbiamoiltempoeinordinatale ifferenze percentuali fra i due codici. i seguito si riporta la parte di codice che calcola e diagramma tali differenze percentuali: PncmdridD 97 Il risultato che si ottiene da questo confronto numerico, come detto, il seguente istogramma delle ifferenze percentuali, calcolate come100uu uSAPMatlab SAP= c d(%) 98 3.11 Confronto grafico-numerico fra i risultati ottenuti con Matlab e quelli ottenuticon il codice di calcolo SAP2000 in termini di oscillazioni forzate calcolate con il metodo di

u Wilson Di seguito si riporta sia la parte di codice che realizza il plot delle oscillazioni forzate calcolate con metodo diu Wilson :il 99Ora si va a riportare il confronto grafico fra la riopra riportato) e quella calcolata con il SAP: SAP2000 sposta calcolata con il Matlab (mediante il codice MATLAB s 100Ancheinquestocasoperilconfrontonumericofrai lcuni punti (intervallati con un intervallo temporaltogramma. i seguito si riporta la parte di codice che calduecodicisicalcolanoledifferenzesoloin e di 0,1 s) e poi si riportano tali differenze in un cola e diagramma tali differenze percentuali: aisD 101 Il risultato che si ottiene da questo confronto numifferenze percentuali, calcolate comeerico, come detto, il seguente istogramma delle 100uu uSAPMatlab SAP= c(%)d .12 Plot delle oscillazioni forzate calcolate con il metodo di sovrapposizione modale a modi completi mediante Matlab i seguito si riporta sia la parte di codice che realizza il plot delle oscillazioni forzate calcolate con metodo della sovrapposizione modale a modi completi sia il grafico ottenuto da tale codice : 3

Dil

102 3.12 Plot delle oscillazioni forzate calcolate con il metodo di sovrapposizione modale a modi troncati mediante Matlab 103 3.13 Confronto grafico-numerico fra i vari metodi di integrazione nel dominio deltempo implementati in Matlab rasiandrannoariportareunaseriediconfrontifraimetodidiintegrazionesopraelencatidi atura sia solamente grafica (sovrapposizione grafica di tutti i grafici ottenuti con i vari metodi) che rafica-numericociounistogrammadelledifferenzepercentuali(calcolatocomevistosianel etodo di Newmark che in quello di

Ongm u Wilson ); tale differenze percentuali saranno calcolate per: differenzaframetododelledifferenzecentraliemetododiHoubolt,-differenzafrailmetodo elle differenze centrali e quello della sovrapposizione modale a modi completi, - differenza fra il etodo della sovrapposizione modale a modi completi e il metodo della sovrapposizione modale a di - dmmodi troncati. Si inizia riportando il codice che realizza la sovrapposizione grafica dei grafici di tutti i metodi e seguito il relativo grafico: 104 105 106Orasivaariportarelapartedicodicechecalcolelle differenze centrali e quello di Houbolt: aeplottaledifferenzepercentualifrailmetodo d 107 Il risultato che si ottiene il seguente: rasivaariportarelapartedicodicechecalcolaeplottaledifferenzepercentualifrailmetodo elle differenze centrali e quello della sovrapposizione modale a modi completi: Od 108 Il risultato che si ottiene il seguente: 109Orasivaariportarelapartedicodicechecalcolellasovrapposizionemodaleamodicomponcati: aeplottaledifferenzepercentualifrailmetodo letiequellodellasovrapposizionemodaleamodidtr 110 Il risultato che si ottiene il seguente: .14 Plot della risposta in frequenza della struttura calcolatamediante Matlab i seguito si riporta la parte di codice che esegue il plot della risposta in frequenza della struttura: 3 D 111 Il risultato che si ottiene il seguente: .14 Plot del fenomeno dei battimenti della struttura calcolatomediante Matlab i seguito si riporta la parte di codice che esegue il plot dei battimenti della struttura: 3 D 112 Il risultato che si ottiene il seguente: .14 Plot del fenomeno della risonanza della struttura calcolatomediante Matlab i seguito si riporta la parte di codice che esegue il plot dei battimenti della struttura: 3 D 113 Il risultato che si ottiene il seguente: 1144. Modellazione di una piastra quadrata tramite elementi shell elemento Shell nel SAP ha una formulazione a tre o quattro nodi che combina il comportamento eparato a membrana (lastra) e quello a piastra flettente. La formulazione a quattro nodi permette di ttenere risultati pi accurati pertanto quando possibile da preferire. comportamento a membrana (o lastra) LsoIlusa una formulazione isoparametrica che comprende le omponenti di rigidezza traslazionali nel piano e una componente di rigidezza rotazionale nella irezione normale al piano dellelemento. Il comportamento a piastra flettentecdcomprende due omponenti di rigidezza rotazionali della piastra, fuori dal piano, e una componente di rigidezza a azione di ctraslazionale nella direzione normale al piano dellelemento. Per default viene usata unrmulazione a piastra spessa (Mindlin/Reissner) che comprende gli effetti della deform fotaglio trasversale. E possibile anche scegliere una formulazione a piastra sottile (Kirchoff) che trascuri la deformazione di taglio trasversale. Per conseguire la maggiore accuratezza possibile nei risultati la posizione dei nodi dovrebbe essere scelta in modo tale da rispettare le seguenti condizioni geometriche: -il valore di ciascun angolo interno fra due lati concorrenti deve essere minore di 180; i risultati migliori si ottengono per angoli compresi fra 45 e 135. -il rapporto di forma (aspect ratio) di un elemento non dovrebbe essere troppo elevato. Per quadrilatero si considera il rapporto fra la distanza pi lunga fra i punti mediani dei lati opposti e la pi corta di queste distanze. I risultati migliori si ottengono quando i rapporti dforma sono vicini allunit o almeno minori di quattro. Il rapporto di forma non dovrebbe superare dieci. il i -per il quadrilatero, i quattro nodi non devono essere necessariamente complanari. Langolo fra le normali ai vertici fornisce una misura del grado di torsione. La normale ad un vertice perpendicolare ai due lati che si incontrano in quellangolo. Questo angolo non dovrebbesuperare i 45. almente queste condizioni vengono rispettate con unadeguata scelta Normdella maglia. Lelemento Shell attiva sempre tutti i sei gradi di libert relativi a ciascun nodo ad esso connesso. Quando lelemento viene usato solo come membrana (lastra), lutente deve assicurarsi che i gradi di libert per la traslazione normale e per le rotazioni flettenti abbiano vincoli esterni. Quando lelemento usato solo come piastra, lutente deve assicurarsi che i gradi di libert per le traslazioni nel piano e rotazione intono per la alla normale abbiano vincoli esterni. Ciascun elemento Shell ha un proprio sistema di coordinate locale usato per definire le propriet del materiale, i carichi e loutput. Gli assi di questo sistema locale sono indicati con i numeri 1,2 e 3. I primi due assi giacciono nel piano dellelemento con orientamento specificato dallutente; il terzoormale. asse n115 .1 Modellazione in SAP2000 ionedellastrutturainesamestatoutilizzatoilprogramma atichechedinamiche.Nelnostrolavoroci analisi delle sollecitazioni in una plateain calcestruzzo con le seguenti caratteristiche:

-Larghezza =2 m nti caratteristiche: -E = 33000000 KN/m2 4PeranalizzarelostatodisollecitazSap2000,chepermettedieffettuaresiaanalisistlimitiamo a studiare il comportamento della struttura in campo statico. .1.1 Definizione della struttura4La seguente relazione ha per oggetto l-Lunghezza =2 m-Spessore =0.25 m Il materiale scelto ha le segue- = 25 KN/m3 - = 0,3 116Schema della struttura nel piano xy: Schema della struttura 3d: Il modello ad elementi finiti della platea stato ricostruito mediante degli elementi bidimensionali a quattro nodi, gli shell. 117 i limite:applicata lungo lasse z in corrispondenza del baricentro della platea pari a - 400 KN e ad un carico uniformemente distribuito sul piano xy della piastra pari a - 50 KN/m2. Nellanalisi non si tenuto conto del peso proprio degli elementi (DEAD). Sono state adottate le seguenti meshature: -4x4 -8x8 -16x16 -32x32 Il modello stato vincolato ai 4 lati adottando due schema) cerniera b) incastro 4.1.2 Carichi: La piastra soggetta a una forza concentrata Fig.- Carichi applicati sulla struttura 1184.1.3 Discretizzazione e scelta del tipo di elemento La struttura stata modellata sia con elementi bidimensionali plate-thin che plate-thick in modo da izialmente la superficie totale stata suddivisa in sottoaree 0,5x0,5 m ( 4x4 mesh) raffittite rogressivamente in modo da avere una modellazione migliore. La mesh pi fitta costituita da elementi rettangolari 6,25x6,25 cm. tener conto anche delle deformazioni a taglio.Inp Mesh 4x4 Mesh 8x8 Mesh 16x16 Mesh 32x32 1194.1.4 Risultati in termini di spostamento I risultati ottenuti con il Sap2000 sono stati poi confrontati con i valori ricavati analiticamente, di seguito riportati. In particolare stato determinato labbassamento massimo della platea, che si ha in corrispondenza del baricentro della stessa, sia nel caso di carico concentrato che nel caso di carico uniformemente distribuito per entrambe le tipologie di vincolo. Lanalisi stata effettuata sia nel caso platethin che nel caso platethick. Il calcolo manuale degli spostamenti stato eseguito utilizzando le equazioni riportate nel testo Timoshenko e W ieger 1959. Introduciamo la notazione: oinowsky-Kr dove D chiamata rigidezza flessionale della piastra. Vincolo cerniera, carico uniformemente distribuito (Tab.8 pag 120, con , Timoshenko e Woinowsky-Krieger 1959) Vincolo cerniera rato , carico concent(Tab.23 pag 143, con , Timoshenko e Woinowsky-Krieger 1959) Vincolo incastro, carico uniformemente distribuito (Tab.37 pag 206, con , Timoshenko e Woinowsky-Krieger 1959) 120Vincolo incastro, carico concentrato (Tab.37 pag 206, con , Timoshenko e Woinowsky-Krieger 1959) gli spostamenti. PLATETHICKCARICOUNIFORME

U3

Di seguito sono riportate le tabelle con il confronto de PLATETHICKCARICOCONCENTRATO

U3

VINCOLO MESH SAP2000 CALCOLOERROREVINCOLO MESH SAP2000 CALCOLO ERRORE4x4 0,000515 23,694x4 0,000079 13,928x8 0,000509 22,798x8 0,000079 13,9216x16 0,0 ,82 00078 12Cerniera32x32 0,0000780,00006812,8216x16 0,000516 23,84Cerniera 0,00039332x32 0,000530 25,854x4 0,000283 33,224x4 0,000031 32,268x8 0,000287 34,158x8 0,000028 25,0016x16 0,000027 22,22Incastro 0,00002116x16 0,000297 36,36Incastro32x32 0,0003120,00018939,4232x32 0,000027 22,22 PLATETHINCARICOUNIFORME

U3

PLATETHINCARICOCONCENTRATO

U3

MESH SAP2000 CALCOLO ERRORE VINCOLO MESH SAP2000 CALCOLO ERRORE VINCOLO4x4 0,000069 1,45 4x4 0,000430 8,608x8 0,000069 1,4516x16 0,0 58x8 0,000404 2,7216x16 0,000396 00069 1,4Cerniera0,76Cerniera 0,00039332x32 0,0000690,0000681,45 32x32 0,000394 0,254x4 0,000025 16,00 4x4 0,000217 12,908x8 0,000022 4,55 8x8 0,000200 5,5016x16 0,000022 4,55Incastro 0,00002116x16 0,000193 2,07Incastro0,0001910,0001891,05 32x32 0,000021 0,00 32x32 121 I risultatindo il numero di ltati calcolati a mano.Il modello con 4 x 4 meshe lopzione thickplate, nel caso di carico concentrato, mostra una di erenza rispetto ai risultati teorici del 23% per vincolo cerniera e del 33% per vincolo incastro. Lo stesso modello, con lopzione thinplate, presenta differenze sensibilmente inferiori: 8% e 13%. Il modello con 32 x 32 meshe lopzione thickplate, nel caso di carico concentrato, mostra una d i i e inc r3 i aLo stesso modello, con lopzione thinplate, ta differenze s lm iori: 0,25% 4.1.5 Risultati in termini di tensioni one S11 nei vari casi estratti dal SAP2000estra vengono riportati le varie tensioni mediate, a sinistra le stesse sollecitazioni non mediate. Se il grado di raffittimento della mesh adeguato non si dovrebbe assistere a brusche variazione di colore e d emento e quelli ad CARICO CONCE TRATO del Sap mostrano comeaumentamesh migliori il confronto con i risuffifferenza r spetto arisultati t orici del 26% per v olo cernie a e del 9% per v ncolo inc stro. presen ensibi ente infere 1%. Di seguito vengono riportati i diagrammi della tensi , sulla dunque di sollecitazione tra un el iacenti. N 4x4 Thin incastro non mediato4x4 Thin incastro mediato 122 8x8 Thin incastro non mediato 8x8 Thin incastro mediato 16x16 Thin incastro non mediato 16x16 Thin incastro mediato 123 32x32 Thin incastro non mediato 32x32 Thin incastro mediato CARICO UNIFORMEMENTE DISTRIBUITO 4x4 Thin incastro non mediato 4x4 Thin incastro mediato 124 8x8 Thin incastro non mediato 8x8 Thin incastro mediato 1 6x16 Thin incastro non mediato 1 6x16 Thin incastro mediato125 32x32 Thin incastro non mediato 32x32 Thin incastro mediato CARICO CONCENTRATO 4x4 Thick incastro mediato 4x4 Thick incastro non mediato 126 8x8 Thick incastro non mediato 8x8 Thick incastro mediato 1 6x16 Thick incastro non mediato 1 6x16 Thick incastro mediato127 32x32 Thick incastro non mediato 32x32 Thick incastro mediato CARICO UNIFORMEMENTE DISTRIBUITO astro mediato 4x4 Thick incastr4x4 Thick inco non mediato 128 8x8 Thick incastro non mediato 8x8 Thick incastro mediato 1 6x16 Thick incastro non mediato 1 6x16 Thick incastro mediato129 32x32 Thick incastro non mediato 32x32 Thick incastro mediato 4.1.6 Conclusioni Partendo dallanalisi effettuata sugli spostamenti notiamo subito che nonostante il raffittimento della meshatura i risultati continuano a discostarsi in maniera sensibile da quelli teorici, ma questo un risultato che ovviamente ci attendiamo in quanto le formule teoriche a cui si fatto riferimento per il calcolo manuale degli spostamenti derivano da una trattazione che trascura gli effetti deformativi a taglio, ed quindi logico che tali valori non siano pari a quelli calcolati con una formulazione thickplate in cui si tiene conto di tali effetti deformativi. Quindi per poter effettuare un controllo si deve far riferimento agli spostamenti calcolati con una formulazione thinplate; come si pu vedere dalla tabella comparativa degli spostamenti tali valori cos calcolati allaumentare della meshatura tendono ad essere pressoch pari agli spostamenti calcolati con le relazioni teoriche con errori molto modesti, nellordine dello 0,25 1,5% a seconda della condizione di vincolo e di carico, nel caso di meshatura 32x32. Per si pu anche notare che gi per la meshatura 8x8 gli errori massimi riscontrati sono dellordine del 5% e quindi per una formulazione thinplate gi questa meshatura porta ad una stima degli spostamenti accettabile dal punto di vista ingegneristico. Tale consid atura non pu esdelle nsioni, difatti se analizziamo le varie meshature thinplate vediamo che, bench le tensioni non biscano bruschi salti fra un elemento e quello adiacente (anche con lopzione di mediatura delle con la meschatura 4x4, landamento globale delle tensioni molto differenti ia per forma che per valori fra le meshature pi rade (4x4, 8x8) e quelle pi fitte (16x16, 32x32) in te dierazione sulla sufficienza della mesh sere estesa alla parte del calcolotesutensioni disattivata) gisentrambi i casi di carico considerati (cio carico concentrato in mezzeria e carico distribuito sullasuperficie della piastra). Leffetto ancora pi evidente nel caso thickplate in cui non solo la forma e i valori delle tensioni sono molto diversi fra le maschiature pi rade (4x4, 8x8) e quelle pi fitte (16x16, 32x32) in entrambi i casi di carico considerati, ma nelle meschature pi rade si notano anche bruschi salti nella continuit delle tensioni fra un elemento e quello adiacente (ovviamencon lopzione di mediatura delle tensioni disattivata). Quindi in conclusione si pu dire che una meshatura 32x32 adatta a modellare il problema oggetto della nostra analisi sia in termini di accuratezza nella valutazione degli spostamenti che in termini dicalcolo tensionale sia per il modello thinplate che per quello thickplate. Detto tutto ci importante sottolineare che le valutazioni sugli spostamenti si fatte sono state riferite al modello thinplate in quanto si dispone di modelli teorici per tale formulazione, ed quin130le i n e parti.lunica con la quale possiamo fare un confronto; per nel calcolo effettivo degli spostamenti meglio far riferimento alla formulazione thickplate in quanto (come riportato nello stesso manuadel SAP2000) pi accurata nel caso in cui lo spessore superi una dimensione compresa fra un decimo e un quinto della lunghezza (che proprio il caso in esame visto che s = 0,25 m > l/10 = 2/10 = 0,20 m), tenendo per conto che tale formulazione molto soggetta ad errori nel caso si abbiano elementi molto distorti, che per non il caso in esame visto che si sono utilizzati elementbidimensionali regolari.Quindi per modellare la piastra di fondazione in esame il modo migliore (sia in termini di calcolo degli spostamenti che delle tensioni) scegliere una meshatura 32x32 utilizzando elementi shell coformulazione thickplate. 5 Allegati Si riporta di seguito la compilazione del programma Matlab in tutte le su