23

45

Esempi per ingressi costanti

Esempi di analisi di transitori

46

Esempio 1

Un alimentatore con tensione V0 e resistenza R carica un condensatore C, inizialmente scarico.Quanto vale l’energia erogata dal generatore?

24

47

Esempio 1

Un alimentatore con tensione V0 e resistenza R carica un condensatore C, inizialmente scarico.Quanto vale l’energia erogata dal generatore?

( ) [ ]VvC 00 =con

R

( )ti

( )tvC0V

+C

48

Esempio 1

0

per 0

( ) exp

t

V ti t -

R t

+≥

=

⇒

( )R

Vi 00 =+

RC=τ

0=∞i

⇒C

R ( )+0i+

0V

R

( ) 00 =Cv

R

RReq =

0=∞i

0V

+

a regime circuito aperto

25

49

Esempio 1

erogata 00 0

2 220 0

0 C0

( ) d ( ) d

exp 2 ( )

W p t t V i t t

V Vt- C V W t

R t Rτ τ

+∞ +∞

+∞

= = =

= − = = = → ∞

∫ ∫

( ) [ ]VvC 00 =con

R( )ti

( )tvC

+C

0V

50

Esempio 1

L’energia erogata dal generatore non dipende dal valore di R , ed il processo di carica del condensatore ha rendimento ½

erogata 00 0

2 220 0

0 C0

( ) d ( ) d

exp 2 ( )

W p t t V i t t

V Vt- C V W t

R t Rτ τ

+∞ +∞

+∞

= = =

= − = = = → ∞

∫ ∫

( ) [ ]VvC 00 =con

R( )ti

( )tvC

+C

0V

26

51

Esempio 2

Calcolare e diagrammare v(t) ed iL(t) per t =0+

A2 Ω2 Ω2

Ω3

0=t( )tv

( )tiL

H6

52

Esempio 2

Condizioni inizialiCalcolo la corrente iL nell’ induttore (variabile di stato) prima dell’apertura dell’interruttore, al tempot =0 -

−=0tA2 Ω2 Ω2

Ω30=t

( )tv( )tiL

H6

AiL 21

)0(−

=−

partitore di corrente

A2 Ω2 Ω2

Ω3

27

53

Esempio 2

supponendo la rete in condizioni di regime stazionario permanente (=in continua) al tempo t =0 -

−=0tA2 Ω2 Ω2

Ω30=t

( )tv( )tiL

H6

AiL 21

)0(−

=−

partitore di corrente

A2 Ω2 Ω2

Ω3

54

Esempio 2

Si osserva v(0 -) = -3/2 V. Non è però necessario conoscere questo valore per esprimere la soluzione per t>0 (occorre solo ricavare la variabile di stato al tempo t=0)

−=0tA2 Ω2 Ω2

Ω30=t

( )tv( )tiL

H6

AiL 21)0( −=−

partitore di corrente

A2 Ω2 Ω2

Ω3

28

55

Esempio 2

Condizioni inizialiAl tempo t =0+, appena attivato l’interruttore, la corrente nell’induttore rimane la stessa di quella al tempo t =0 -

Calcolo la tensione v al tempo t =0+

+= 0t

A

iL

21

)0(

−=

=+[ ](0 ) 1

2 (0 )L

v V

i

+

+

= + =

= − Ω ∗

A2 Ω2 Ω2

Ω30=t

( )tv( )tiL

H6

A2 Ω2 Ω2 ( )+0v

Ω3

56

Esempio 2

Condizioni inizialiAppena attivato l’interruttore, al tempo t =0+:

Corrente iL (0+)=-0,5 ATensione v (0+)=+1 V

A2 Ω2 Ω20=t

( )tv( )tiL

H6

Ω3

29

57

Esempio 2

Condizioni di regimeIn condizioni di regime stazionario permanente (=incontinua), per t ⇒ 8 , l’induttore si comporta come un corto circuito

∞⇒tA2 Ω2 Ω2

Ω30=t

( )tv( )tiL

H6

Ω3

Ω2 0=∞v0=∞Li

58

Esempio 2

Costante di tempoÈ comunque una proprietà della rete resa passiva (generatori indipendenti spenti), anche se nel nostro caso la rete in analisi non contiene nessun generatore

A2 Ω2 Ω20=t

( )tv

( )tiL

H6

Ω3

30

59

Esempio 2

La resistenza vista dall’ induttore ai suoi due morsetti (con interruttore aperto) vale Req=2+3=5 ohm. La costante di tempo t vale t=L/Req=6/5 s

A2 Ω2 Ω20=t

( )tv

( )tiL

H6

Ω3

60

Esempio 2

SoluzioneLe condizioni iniziali e di regime trovate, e la costante di tempo porgono, per t = 0+

( ) 0,5exp( / ) A

1exp( / )V con 6 / 5 s

i t t

v(t) t

τ

τ τ

= − −

= + − =

( )tv65 t

e−

V23

−

)(tiL

A21

−65

21 t

e−

−

t

t

31

61

Esempio per ingressi costanti a tratti

Esempi di analisi di transitori

62

Noto l’andamento temporale di e(t) fornire un’espressione analitica per la corrente i(t)

Nota: Si debbono studiare due transitori. La costante di tempo dei due transitori è però la stessa

Esempio

( )teV10+

V10−

1 )(st +

( )te

Ω2

Ω2

)(ti

Ω2

F2

32

63

Esempio

Costante di tempoLa costante di tempo è una proprietà della rete resa passiva. La resistenza vista dal condensatore vale Req=2//2+2=3 ohm, che porge t=Req C=6s

( )teV10+

V10−

1 )(st +

( )te

Ω2

Ω2

)(ti

Ω2

F2

64

Esempio

Condizione inizialePer tutti i tempi t<0, il generatore di tensione è spento e quindi il condensatore, in t=0-, si può supporre scarico, si ha cioè vC(0)=0

Al tempo t=0+ si misura una corrente i(0+)=5/3 A

+

( )te

Ω2

Ω2

)(ti

Ω2

F2

⇓ += 0t

+

)0( +gi

0)0( =Cv

Ω2 Ω2

)0( +iV10

2/)0()0(3

102//22

10)0(

++

+

=

=+

=

g

g

ii

Ai

Ω2

33

65

Esempio

Primo transitorio: per 0<t<1Condizione di regimeLa rete va a regime come se la tensione del generatore rimanesse sempre costante ed uguale a +10V

AAe

i 5,225

221==

+=∞

+

( )te

Ω2

Ω2

)(ti

Ω2

F2+

V10

Ω2

Ω2

i

Ω2

F2

66

Esempio

Primo transitorio: per 0<t<1

per 0<t<1 si ottiene

con

( )5 5 5( ) exp /

3 2 2i t t τ = − − +

6 st =

34

67

Esempio

Primo transitorio: per 0<t<1La tensione sul condensatore

condizione iniziale del secondo transitorio

( )( )

( ) 5 1 exp / , 6 s

( 1) ( 1 ) 5 1 exp 1/6

C

C C

v t t t

v t v t

τ= − − =

= = = + = − −

Ω2

Ω2

Ω2( )te

+ )(ti F2( )tvC

Ω2

Ω2 Ω2

VvC 5=∞

V10+

con porge:

68

Esempio

Secondo transitorio: per t>1(dove si ha e(t)=-10V ∀t>1s)

Condizione iniziale

⇒

+

( )te

Ω2

Ω2

)(ti

Ω2

F2Ω2 A

B

Ve 10−= Ω2 Ω2

+ +( )+=1tvC

3C

AB

vev

+=

+= 1t

35

69

Esempio

Condizione inizialeAl tempo t=0+ la tensione sul condensatore valevC=5[1-exp(-1/t )],risultato che porge corrente

( )5 1 exp 1/( 1 )

6i t

τ+ − = + = −

⇒

+

( )te

Ω2

Ω2

)(ti

Ω2

F2Ω2 A

B

Ve 10−= Ω2 Ω2

+ +( )+=1tvC

3C

AB

vev

+=

+= 1t

70

Esempio

Secondo transitorio: per t>1(dove si ha e(t)=-10V ∀t>1s)

Condizione di regime

Ai 5,225

2210

2 −=−

=+

−=∞

+V10−

Ω2Ω2

2∞i Ω2( )te

Ω2

Ω2

)(ti

Ω2

F2+

36

71

Esempio

Condizione di regimeLa rete va a regime per tensione del generatore costante ed uguale a -10V

Ai 5,225

2210

2 −=−

=+

−=∞

+V10−

Ω2Ω2

2∞i Ω2( )te

Ω2

Ω2

)(ti

Ω2

F2+

72

Esempio

( ) ( )15 5 5( ) 1 exp 1/ exp

6 2 2t

i t ττ− = − + − + − −

Soluzione per t>1

per t>1 si ottiene

con 6 st =

37

73

Esempio

Soluzione

dove

[ ] ( ) ( ) ( )15 5 5 5 5( ) ( ) ( 1) exp / 6 ( 1) exp 1/6 exp

2 6 3 6 6 2

ti t u t u t t u t

− = − − − − + − − − − −

Ω2

Ω2

Ω2( )te

+ )(ti F2 ( )tvC

( )teV10+

V10−

1 )(st

[ ]

[ ]Ae

i

AVe

i C

6

6∆

=∆

+=

2 4 6 8 10

1−

2−

1

i

t

1 per x 0u(x)

0 per x 0

>=

<

74

Esempio per rete con generatori pilotati

Esempi di analisi di transitori

38

75

Noto l’andamento temporale di e(t) fornire un’espressione analitica per la tensione v(t)

Esempio

( )te

V8

V0t

Ω= 2R xi

iA

BFC

31=

Ω= 2R

xiiAKCL 3: =nodo

( )te

+ xi2( )tv

76

Esempio

Equazione KVL: v(t)=e(t)-R ix(t)Posso calcolare ix(t)Conviene utilizzare l’equivalente Thevenin ai morsetti AB

( )te

V8

V0

Ω= 2R xi

iA

BFC

31=

Ω= 2R

xiiAKCL 3: =nodo

( )te

+ xi2( )tv

t

39

77

Esempio

Equivalente Thevenin - Prova a vuoto.Si ottiene subito vAB(t)=e(t) (a vuoto)

+

( )te

R xiA

B ABV

xi3

xi2

0=xi equazione pilota

78

Esempio

Equivalente Thevenin - Prova in cortocircuito.Si ottiene subito icc_AB=3 e(t)/4R

Da cui si ottiene Req=VAB/icc_AB=4R/3

+

( )te

A

Bxcc ii 3=

R

xi2

R xi( )

( )3

4

x x

x

e Ri R i

e ti

R

= +

⇒ =

KVL:

equazione pilota

40

79

Esempio

Abbiamo ricondotto il problema originale (figura a sinistra) al calcolo della corrente ix(t) nel circuito di destra, con equazione (KVL) che porge:v(t)=e(t)-R ix(t)

Ω= 2R xiiA

BFC

31=

Ω= 2R

( )te+ xi2

( )tv

KCL nodo A: xii 3=

Ω=38

34

R

xi3+

( )teA

BFC

31

=

( ) ( )( ) Vv

tvtv

C

CAB

00 =

= condizione iniziale

80

Esempio

Costante di tempo: t =ReqC =8 sCondizione iniziale: 3 ix(0+) = e(t=0+)/Req =3 Ada cui ix(t=0+) = 1 ASoluzione a regime ix8 =0 ACon equazione finale (KVL): v(t)=e(t)-R ix(t)

( )te

V8

V0t

Ω=38

34 R

xi3+

( )teA

BFC

31=

( ) ( )( ) Vv

tvtv

C

CAB

00 == condizione

iniziale

41

81

Esempio

Soluzione:Cond. iniziale v(0+)=6V, soluz. a regime v8 =8 V

[ ]0 0

( )8 2exp( /8) 0

t v t

t t <

= − − >

per

per

( )te

V8

V0t

Ω= 2R xiiA

BFC

31=

Ω= 2R

( )te+ xi2

( )tv

KCL nodo A: xii 3=

82

Esempio per rete con diodo ideale

Esempi di analisi di transitori

42

83

Esempio

Sapendo che la tensione iniziale sul condensatore è nulla, calcolare la tensione vAB(t) , e le correnti i(t), iC(t) ed i*(t)

Ω10 A

( )ti ( )tiC

( )ti∗

+V50

V100

+

B

Fµ10

0=t

84

Esempio

La tensione ai capi del condensatore tende esponenzialmente, con costante di tempo 100 microsecondi, alla tensione di 100 V, ma non li raggiunge perchè il diodo inizia a condurre quando questa tensione prova a superare i 50 V

Ω10 A

( )ti ( )tiC

( )ti∗

+V50

V100

+

B

Fµ10

0=t

43

85

Esempio

Ω10 A( )ti ( )tiC

( )ti∗

+V50

V100+

B

Fµ10

0=t

V100

V50

( )tvAB

A10

A5

( )ti

A10

A5

( )tiC

A5

( )ti∗