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Esatta-MEntEScopri che i numeri sono amici divertendoti con il calcolo mentale

Gianni Golferaa cura di Vladimiro Martini

Alessio Roberti Editore

Titolo dellopera Esatta-Mente Sottotitolo ??? Prima edizione: settembre 2008 Pubblicata da Alessio Roberti Editore Srl Via Conti Albani, 342 Urgnano (BG) Italy Copyright 2008 Alessio Roberti Editore Srl ISBN 978-88-88612-47-8 Direttore di collana Alessio Roberti Coordinamento di redazione e impaginazione Lorenzo Locatelli Progetto grafico della copertina zeronovecomunicazione Fabio Rizzoli Nlp Italy un marchio registrato in Italia da Nlp Italy Srl, utilizzato su licenza del titolare. Tutti i diritti riservati. vietata la riproduzione con qualsiasi mezzo.

A mio padre, che mi ha insegnato ad amare i numeri insegnandomi a volare

IndIcE

Premessa

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PartE PrIMaLe biografie dei pi grandi calcolatori mentaliIntroduzione 1. Jedediah Buxton 2. Thomas Fuller 3. Zerah Colburn 4. Frederica Murray 5. George Parker Bidder 6. Johann Martin Zacharias Dase 7. Henri Mondeux 15 17 26 28

8. Truman Henry Safford 9. Giacomo Inaudi 10. Pericles Diamanti 11. Frank D. Mitchell 12. Gottfried Rckle 13. Louis Fleury 14. Alexander Craig Aitken 15. Arthur Griffith 16. Salo Finkelstein 17. Wim Klein 18. Maurice Dagbert 19. Mademoiselle Osaka 20. Shakuntala Devi 21. Hans Eberstark 22. Shyam Marathe 23. Arthur Benjamin

PartE SECONDaLa Mate-magicaIntroduzione 1. La cifra perduta 2. 1089 3. Calcoli prodigiosi 4. Doppia fatica 5. Numeri amici 6. Numero fortunato 7. Divisioni aggiustate 8. Spiccioli 9. Conteggio sulle dita 10. Tabelline sulle dita 11. Giorno della settimana 12. Quadrati magici 13. Lultimo colpo

PartE tErZaLe operazioniIntroduzione 1. Addizioni 2. Verifiche 3. Sottrazioni 4. Moltiplicazioni 5. Divisioni 6. Potenze 7. Radici 8. Soluzioni Bibliografia

PrEMEssa

Che utilit pu avere un libro che illustra le biografie dei pi grandi calcolatori e i metodi per eseguire calcoli mentali e giochi numerici? Certamente lobiettivo non pu essere solo quello di presentare delle storie di uomini dalle particolari caratteristiche o eliminare lutilizzo di calcolatrici e personal computer, che ormai fanno pienamente parte delle nostre vite. Ci che stato fatto in questo libro estrarre quegli schemi che rendono alcune personalit geniali. Lestrazione dei metodi e delle strategie di grandi calcolatori e matematici ci permettono di muoverci continuamente verso lo sviluppo e laccrescimento del nostro potenziale. Tutti noi, nella vita, ci affidiamo a strategie e programmi che, in stretta analogia con il software di un computer, ci consentono di ottenere dei risultati specifici. Comprendendo le strategie di personalit che

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hanno ottenuto risultati eccellenti possiamo scegliere se continuare a fare sempre le stesse cose o, piuttosto, migliorare i nostri talenti individuali. A questo punto pu sorgere nel lettore unaltra domanda. Qual lutilit di prendere a modello proprio dei matematici e proporre i loro metodi? Il messaggio che vogliamo diffondere che i numeri non sono lo spauracchio che molti si immaginano fin dalle scuole elementari; con loro ci si pu divertire, a tutte le et! In questo libro, infatti, i neofiti e i pi giovani scopriranno metodologie che consentiranno loro di eseguire calcoli mentali prima nemmeno immaginabili, mentre gli appassionati di numeri troveranno molte curiosit e nuovi stimoli con cui misurarsi. Il recente interesse di riviste e programmi verso giochi numerici e di brain-training sono il risultato di studi scientifici che hanno dimostrato che attivit come calcolare, memorizzare e creare collegamenti logici stimolano in modo costruttivo le nostre funzioni cognitive, permettendo al cervello in primis di svilupparsi e, in secondo luogo, di mantenersi attivo negli anni, rallentando il progredire inesorabile dellet celebrale. A questo punto possiamo andare a scomodare il vecchio adagio popolare, secondo cui bene unire lutile al dilettevole, quindi conoscere le vite dei migliori, imparare le loro strategie divertendosi, nutrire il proprio spirito e mantenere il cervello in salute.

PartE PrIMa LE bIografIE dEI PIgrandI caLcoLatorI MEntaLI3 49 17 5 8

IntroduzIonE

In questa prima parte verranno illustrati alcuni aspetti, sia biologici che sociali, che hanno caratterizzato e ancora caratterizzano la figura del calcolatore prodigio. Per molto tempo, questi personaggi sono stati considerati dei fenomeni da spettacolo, in grado di stupire con le loro esibizioni e di incuriosire studiosi e appassionati per le loro capacit al di sopra della media. In realt non si pu fare una classificazione precisa dei tratti caratteristici degli uomini e delle donne di cui abbiamo inserito le biografie. Alcuni di questi aspetti, per, sono decisamente frequenti e vale la pena di dar loro rilievo. Cominciamo con il dire che ci sono due tipologie di calcolatori prodigio, quelli a cui basta vedere i numeri che dovranno manipolare e quelli che preferiscono sentirli pronunciare da qualcun altro e/o ripeterli

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LE biografiE dEi pi grandi caLcoLatori MEntaLi

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per conto proprio. Al primo tipo si possono attribuire caratteristiche come: una spiccata gestualit durante lattivit di calcolo, lessere autodidatti e riportare le soluzioni da sinistra a destra, laver cominciato a calcolare ancora prima di aver imparato a leggere e scrivere. Con il secondo tipo, invece, possibile eseguire un tipo di associazione diversa, individuando due sottogruppi: chi, dopo averli sentiti o ripetuti, visualizza i numeri come se li avesse scritti lui stesso davanti a s e chi se li immagina associandoli a colori, immagini, sensazioni. Analizziamo ora schematicamente le caratteristiche (curiose e, magari, poco conosciute) di questi calcolatori prodigio: proprio vero che hanno qualcosa in pi rispetto agli altri o sono cos bravi perch hanno un dono dalla nascita che li ha favoriti? Calcoli: attivit concia o inconscia? Normalmente, quando una persona esegue dei calcoli, lo fa consciamente sfruttando criteri e metodi imparati in precedenza. Differentemente, parlare la lingua madre, un processo inconscio. Possiamo paragonare leseguire i calcoli a mente al parlare una lingua non familiare. Cos come avviene per lapprendimento della propria lingua, si pensa che per molti calcolatori prodigio alcune regole di calcolo siano, in qualche modo, inconsciamente applicate; per alcuni sembra,

addirittura, ci sia anche la presenza di un controllo inconscio che impedisce loro di commettere errori, una sorta quindi di routine di verifica che evita le risposte errate. Il paragone con le lingue ci permette di fare unaltra considerazione: inizialmente, quando ci apprestiamo a parlare una lingua straniera, eseguiamo consciamente un processo di traduzione dalla nostra lingua madre tentando di rispettare per la grammatica e la sintassi dellaltra lingua; poi, con la pratica, c unacquisizione inconscia che, progressivamente, elimina questo processo e ci permette di esprimerci direttamente nella seconda lingua senza il passo intermedio della nostra. Similmente con i metodi di calcolo: in primo luogo si imparano delle metodologie che vengono applicate consciamente; queste, poi, diventano via via inconsce grazie alla pratica. Et, scolarit e sesso cosa nota che i bambini imparino pi facilmente di un adulto grazie alla loro possibilit di assorbire informazioni che pressoch illimitata. cos che alcuni di loro, precocissimi, riescono a suonare uno strumento, a parlare pi lingue o a calcolare in modo non comune. Gli specialisti della materia tendono a identificare una certa et critica durante la quale i bambini hanno un potenziale enorme nellacquisire delle informazioni.

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Anche la capacit di calcolo ha una sua et critica, e se andiamo a controllare le et di inizio attivit dei maggiori calcolatori della storia troviamo che sono tutte comprese tra 3 e 9 anni (vedi Colburn, Safford, Bidder, Inaudi, Mondeux, Dase). In questi casi, dato che spesso i bambini piccoli non sanno leggere e scrivere, si parla di calcolatori auditivi, che riescono cio a calcolare sentendo i numeri da manipolare e non hanno necessariamente bisogno di vedere le cifre scritte, come gi accennato a inizio capitolo. vero anche che molti calcolatori visivi hanno cominciato relativamente tardi (tra i 16 e i 30 anni) ad affermare le loro capacit (vedi Diamanti, Finkelstein, Osaka, Eberstark e Dagbert). La capacit di calcolo mentale non dipende dal grado di istruzione, infatti ci sono esempi lampanti per entrambi i casi: sia illetterati completi che laureati hanno raggiunto risultati strabilianti. In passato si cercato di dimostrare che se una persona poteva eseguire mentalmente quei calcoli cos complessi, allora poteva imparare a fare qualunque altra cosa; in realt gli esempi di Dase, Colburn e Mondeux hanno dimostrato lesatto contrario. Daltro canto, stato anche sostenuto che i grandi calcolatori mentali sono deficitari in molte altre aree, dato che investono tutte le loro risorse nel calcolo. In realt le capacit dei calcolatori prodigio non sono segno n di deficienza negli altri campi n di superio-

rit intellettuale, ma dipendono semplicemente da un grande interesse per la materia e da una robusta pratica. Inoltre, la capacit di calcolo non ha niente a che vedere con il sesso: lo scarso numero di donne nellalbo doro dei grandi calcolatori dipende solo dal fatto che, storicamente, stata data loro minor possibilit di sviluppare le capacit a disposizione: socialmente la pratica di calcolo sempre stata ad appannaggio degli uomini. Non mancano per figure come la Devi, la figlia della Contessa di Mansfield, e come Mademoiselle Osaka. Quanto dura la capacit di calcolo per un calcolatore prodigio? Alcuni calcolatori prodigio sono riusciti a mantenere le loro capacit fino a tarda et (alcuni fino alla morte), come dimostrano gli esempi di Buxton, Fuller, Bidder, Inaudi, Aitken, Dagbert e Klein, mentre altri hanno perso tali capacit completamente, come successo a Colburn a circa 20 anni, o comunque in modo sostanziale, come Safford, con lavanzare dellet. Indubbiamente, quando una qualunque capacit non viene esercitata a sufficienza, questa diviene inevitabilmente pi debole fino a spegnersi: tanto pi brillante si era manifestata tanto pi velocemente si perde.

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Calcoli e memoria numerica Riguardo alla capacit dei grandi calcolatori prodigio di memorizzare numeri, sono state spese molte parole e proposte varie congetture. Di certo, la pratica continua di certi argomenti porta inevitabilmente una sviluppata familiarit con essi. La memoria va allenata e, per usare le parole di Cicerone, Questa [la memoria] come un muscolo, se non esercitata si indebolisce. Ovviamente ci sono informazioni pi istintive da ricordare (immagini, profumi, sensazioni) e altre meno ma, con lesercizio, tutto diventa fattibile. Della capacit di Inaudi di memorizzare i numeri fu detto che era una combinazione di facolt mentale, attenzione, volont e perseveranza, ma soprattutto un appassionato gusto per materie connesse con la memoria (Binet). Due emisferi per tante attivit Il nostro cervello, o meglio la materia grigia di cui esso formato, diviso in due emisferi che gestiscono funzioni specifiche e peculiari. Ad esempio, lemisfero sinistro responsabile dellattivit del parlare, del riconoscere e gestire determinati aspetti grammaticali e sintattici, del sentire il ritmo e di altre funzionalit chiamate, dagli specialisti del settore, lineari. Quello destro, invece, responsabile delle attivit inerenti compiti visivo-spaziali (come la con-

sapevolezza di s e il riconoscere la propria immagine, il variare delle forme, dei colori e dei suoni) dette non lineari. Quanto esposto sopra confermato dal fatto che, quando il lato sinistro del cervello risulta danneggiato, si ha nel paziente un conseguente blocco della capacit di parlare (cfr. Area di Broca). La funzione del calcolo tipicamente unattivit dellemisfero sinistro, anche se alcuni esperimenti dimostrano che quello destro non ne completamente incapace. Questa situazione vera anche per alcuni mancini, mentre esattamente rovesciata negli altri. Inoltre il lato sinistro del cervello governa il movimento del lato destro del corpo e viceversa per laltro emisfero. Ereditariet delle capacit di calcolo Gli studi eseguiti sulle possibilit di ereditariet delle facolt di calcolo hanno mostrato che non ci sono legami tra le capacit dei genitori, o dei parenti stretti, e quelle dei figli: infatti, anche quando un calcolatore prodigio ha avuto dei figli abili nel calcolo, questi sono stati al massimo dei bravi emuli ma non hanno mai raggiunto il livello del padre (vedi G.P. Bidder padre e figlio). A proposito delle abilit di calcolo si preferisce parlare di condizionamento ambientale piuttosto che ereditariet.

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Questo argomento rientra in una ricerca molto pi ampia, che ha cercato di stabilire quanto, tra le capacit di un individuo, sia da attribuire alla sua genetica ereditata e quanto, invece, allambiente in cui cresce e vive. A tale riguardo va detto che in passato si sono scontrate, con alterni successi, due teorie contrapposte di cui una, detta innatismo, sostiene che ci che un individuo pu fare dipende esclusivamente dal suo bagaglio genetico mentre laltra, detta culturalismo, afferma che lambiente in cui viviamo condiziona a tal punto le nostre facolt, da essere direttamente responsabile delle reali possibilit e capacit di ciascun individuo. Le due posizioni, cos nettamente distinte, hanno portato gli studiosi a una situazione di stallo. Oggi, quindi, si sostiene che alcune capacit (come il linguaggio) siano condizionate dalla genetica mentre lambiente di vita sia responsabile di altre e della evidente differenza tra individuo e individuo con le stesse caratteristiche genetiche. Di conseguenza, recentemente si affermata una terza corrente, che approssimativamente si colloca tra le due precedenti; essa sostiene che ogni individuo avrebbe a disposizione, per genetica, una certa gamma di possibilit o facolt che, per, lambiente in cui vive amplifica o meno ma che non pu modificare: il fondamento su cui poggia questa ultima teoria si chiama principio di selezione.

Di seguito verranno riportate le biografie dei maggiori calcolatori prodigio del passato, remoto e pi recente, e del presente. Queste non hanno la pretesa di essere esaustive di tutti gli aspetti, sia storici che umani, ma serviranno allo scopo di far conoscere al maggior numero di lettori possibile alcuni personaggi che, diversamente, non avrebbero la giusta considerazione, e a far comprendere quanto indietro affondi le sue radici lantica pratica di calcolare a mente.

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JEdEdIah buxtonNacque in Inghilterra nel 1702, come ci perviene da fonti storiche dellepoca, e sappiamo che non ricevette alcun tipo di istruzione, sebbene il nonno paterno fosse stato il vicario del villaggio di Elmton, luogo in cui venne alla luce, e il padre il maestro dellunica scuola. Il motivo per cui gli manc listruzione ci ignoto, ma gli storici riportano che Buxton era considerato un ritardato mentale, tanto da non saper scrivere neppure il proprio nome; questo, per, non gli imped di sposarsi e di avere una figlia. Buxton era un grande appassionato di numeri e riusciva a eseguire mentalmente dei calcoli sorprendenti, sia perch, appunto, illetterato, sia perch essi erano oggettivamente complessi; una rivista dellepoca, il Gentlemans Magazine, riporta alcune lettere di un giornalista, un certo Saxe, che avendo

sentito delle capacit di Buxton volle incontrarlo per proporgli alcuni quesiti di cui abbiamo una traccia: Quanto misura larea di un terreno di dimensioni 423 yard per 383 yard?. Buxton rispose dopo 2 minuti: 33 acri, 1 rood (unit di misura pari a circa un ettaro), 35 pertiche pi 20 yard e un quarto esatte!. Unaltra caratteristica straordinaria era la capacit di Buxton di bere pinte di birra (in media 5 o 6 al giorno) e ricordarsi chi gliele aveva offerte e dove le aveva bevute: sono rimaste famose le 72 pinte, pari a circa 9 galloni, bevute per dimenticare la morte della sua mucca.

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thoMas fuLLErNato in Africa circa nel 1710, fu portato negli Stati Uniti come schiavo. Della sua vita sappiamo ben poco se non che aveva manifestato una spiccata attitudine a eseguire calcoli mentalmente e che la sua padrona non voleva disfarsene per nessun motivo. Ci pervenuta unintervista che fu fatta a Fuller quando aveva gi 80 anni da alcuni esponenti della Societ per labolizione della schiavit nello Stato della Pennsyilvania, durante la quale gli fu anche chiesto: Quanti secondi ci sono in un anno e mezzo?. E lui, dopo un paio di minuti, rispose: 47.304.000. Poi: Quanti secondi ha vissuto un uomo dellet di 70 anni, 17 giorni e 12 ore? E lui, dopo i soliti due minuti scarsi, rispose: 2.210.500.800. A questo punto i vari esperti, che si erano gi fatti i conti, gli fecero notare che la ri-

sposta non era esatta; dopo una brevissima riflessione Fuller fece notare che la loro, piuttosto, non era esatta, perch non avevano tenuto conto degli anni bisestili. Come ultimo test gli chiesero di calcolare il prodotto 78*6, che lui esegu in 10 minuti e che trov essere, correttamente, 34.588.806. Mor due anni dopo, sempre al servizio della sua affezionata padrona.

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zErah coLburnAllinizio del XIX secolo, per un breve periodo, Colburn fu probabilmente tra le persone pi famose degli Stati Uniti e dEuropa, bench avesse solo 10 anni! Nacque nel 1804 nello stato del Vermont, quinto di sette figli di un allevatore. Abbiamo la fortuna di sapere molte cose sulla sua vita, dato che ci ha lasciato unautobiografia dettagliata dei suoi primi 28 anni durante i quali pass dalla fama intercontinentale alloblio pi assoluto. Che fosse un bambino particolare lo si evince anche dal fatto che avesse sei dita in entrambe le mani e in entrambi i piedi: allepoca si credeva che gli servissero per contare meglio. Quando il padre si accorse delle straordinarie capacit di calcolo del figlio, questultimo non aveva ancora 6 anni e non aveva nemmeno cominciato la scolarizza-

zione. Per questo motivo fu deciso di portarlo in giro per farlo conoscere e per trovare il modo migliore per provvedere alla sua istruzione. Il piccolo Zerah dava spettacoli pubblici delle sue abilit di calcolo mentale moltiplicando numeri a 2 o 3 cifre, dando le risposte cos velocemente che i suoi verificatori non riuscivano a tenere il suo passo, pur eseguendo i conti sulla carta. E anche lestrazione di radici quadrate o cubiche veniva eseguita rapidamente e senza sforzo apparente. Uno dei pezzi forti del repertorio di Colburn era la fattorizzazione di numeri interi e il riconoscimento dei numeri primi, oltre naturalmente alla risoluzione dei classici quesiti dellepoca, gi visti nelle biografie di Buxton e Fuller, basati sul calcolo dei secondi presenti in determinati archi di tempo o dei pollici quadrati in aree di terreno dalle misure pi disparate. Dopo un anno e mezzo di esibizioni, il padre di Colburn cap che in quella parte degli Stati Uniti suo figlio aveva gi dimostrato a sufficienza le sue capacit e decise che era giunto il momento di portarlo a Londra. Il bambino ancora non era riuscito a iniziare ufficialmente liter scolastico. Le esibizioni continuarono con grande successo anche in Gran Bretagna: in una di cui abbiamo traccia Colburn calcol che 816 era uguale a 281.474.976.710.656 in pochi minuti e che, se la base da elevare era composta da due cifre, i tempi si allungavano di poco.

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Nella miniera di informazioni che la sua autobiografia, troviamo un estratto in cui Colburn descrive il suo personale metodo di esecuzione delle moltiplicazioni tra numeri a 3 e 4 cifre: non le eseguiva direttamente, ma passando attraverso la fattorizzazione. Una volta trovati i fattori, eseguiva le varie moltiplicazioni intermedie, che erano pi semplici, fino al raggiungimento del risultato finale. Come successo a molti altri calcolatori prodigio, anche Colburn fu oggetto di studi medici per capire da dove venisse tutta quellabilit di calcolo. Fu cos che nel 1814, pi o meno nel periodo in cui Napoleone torn dallisola dElba, Colburn fu visitato da un dottore esperto di craniologia e colse loccasione per farsi togliere tutte le dita in soprannumero, dato che quelle dei piedi gli impedivano di ballare con disinvoltura; adesso aveva 10 anni e gli fu possibile iniziare a prendere lezioni in una famosa scuola in Francia. Purtroppo la scuola costava molto e il padre riusc a mantenere il figlio solo per un anno, quindi decise di riportarlo in Inghilterra cercando altre soluzioni che per non gli consentirono unistruzione completa. A un certo punto della sua vita, a Colburn padre venne in mente che il figlio era abbastanza famoso da poter fare lattore e lo mand in una scuola darte; Zerah apparve, in effetti, in alcune rappresentazioni teatrali di basso profilo. Nel 1824 Colburn padre mor e Zerah decise che era

giunto il momento di tornare in Vermont dalla sua famiglia; quando arriv alla casa paterna trov la madre e i fratelli in condizioni di semi-povert. Rinvi cos i suoi progetti di lavoro per aiutarli. Grazie allamicizia con il conte di Bristol, che gli procur finanziamenti e contatti con le autorit del luogo, Colburn riusc ad aprire una piccola scuola dove insegnava francese. In patria, per, era rimasto senza riferimenti ed era molto giovane. Fu cos che si avvicin alla religione cristiana, che divenne la sua ragione di vita. Dopo un lungo periodo di studi e difficolt riusc perfino a diventare reverendo ma dopo poco, a 35 anni, mor. Dopo la sua scomparsa stato detto di lui che va indubbiamente riconosciuto come prodigio dellaritmetica e che era senzaltro un genio dei calcoli, ma anche che eccetto che per i calcoli, era negato per tutto il resto. Indubbiamente fu il pi giovane prodigio a manifestarsi nel campo aritmetico che lasci traccia di s e dei suoi metodi di calcolo; un peccato che il suo indiscutibile talento non sia stato messo a frutto in nessuna branca dellaritmetica n in nessunaltra disciplina. Alcuni storici riportano che a 20 anni, cio quando torn dalla sua famiglia dopo la morte del padre, aveva gi perso gran parte delle sue straordinarie capacit.

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frEdErIca MurrayEra la figlia della Contessa di Mansfield ed era coetanea di Zerah Colburn. Allet di 8 anni circa riusc a incontrare il famoso calcolatore che di lei ebbe a dire: Ha una grande prontezza mentale, non comune per la sua et e per il suo sesso!. Si dice che a 13 anni fosse capace di estrarre radici quadrate e cubiche, di numeri a 9 cifre, con grande facilit.

gEorgE ParkEr bIddErNato nella regione del Devonshire nellanno 1806, a differenza di Colburn, ebbe la fortuna di ricevere unottima istruzione, fino a laurearsi in Ingegneria. Si dice che abbia imparato a contare dal fratello maggiore, ma a scuola non dimostr di essere un gran talento. Dopo qualche tempo, per, il padre si accorse della sua precoce abilit nel far di conto e cominci a portarlo in giro per i salotti buoni dellaristocrazia britannica per farlo esibire, trascurando completamente la sua educazione scolastica. Fu soltanto molto pi tardi, nel 1821, che Bidder riusc ad avere un tutore personale che laiut a farsi ammettere allUniversit di Edimburgo; in questo ateneo pot

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dimostrare il suo talento, al punto da vincere vari premi nel campo dellaritmetica. A noi pervenuta una raccolta di esercizi eseguiti da Bidder nel periodo 1816-19, cio quando aveva 10-13 anni, corredata anche dai tempi di risposta; proviamo a immaginarci la scena. Capo commissione: Allora, piccolo, prova a calcolare linteresse composto di 4444 sterline per 4444 giorni con un tasso del 4% annuo. Bidder, dopo un paio di minuti: Fa 2434 sterline, 16 scellini e 5 pence e un quarto. In realt i pence sono pi vicini a 6 che a 5,25, ma da un bambino di 10 anni che volete di pi? Capo commissione: Una cisterna di 1 miglio cubo quanto pu essere riempita da un fiume che versa 120 galloni al minuto?. Bidder, dopo i soliti 2 minuti: 14.300 anni, 285 giorni, 12 ore e 46 minuti. La risposta naturalmente esatta, ma per capire quanto possa essere complessa diamo questa chiave di lettura: a differenza delle misure di capacit del Sistema Internazionale, che sono tutte in base 10 (1 km = 1000 m, 1 kg = 1000g, 1 hl = 100 litri), quelle usate ancora oggi nei paesi anglosassoni sono drammaticamente diverse: 1 gallone = 282 pollici cubi. Come gi detto, Bidder si laure in Ingegneria e riusc ad applicare le sue doti in situazioni di vita quotidiana: contribu, in collaborazione con lingegner Stephenson, alla costruzione della prima ferrovia

in Norvegia, fece costruire i famosi ponti Vittoria a Londra, si occup anche di problemi navali e fond la Compagnia dei Telegrafi Elettrici; fu addirittura eletto parlamentare con importanti incarichi nel settore ferroviario. Testimonianze dellepoca riportano che Bidder avesse ancora grande abilit di calcolo anche poco prima di morire, nel 1878, a 72 anni.

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Johann MartIn zacharIas dasEMolte informazioni sulla sua personalit e la sua bravura ci giungono direttamente dalla corrispondenza di due eminenti matematici tedeschi della met dellOttocento: Gauss e Schumacher. Anchegli tedesco, essendo nato ad Amburgo nel 1824, cominci prestissimo a farsi notare per la sua abilit nel calcolo, e gi a 15 anni si esibiva come professionista. A questo periodo risale il suo iniziale sforzo, durato quasi 2 mesi, per determinare le prime 205 cifre dei decimali di , migliorando il precedente record di ben 47 cifre. La sua perizia nellestrazione di radici di ordine superiore al secondo lo port direttamente al cospetto di Schumacher, che a Gauss scrisse di lui: Questo ragazzo riesce a calcolare le radici quinte, anche di numeri a molte cifre, con estrema facilit. Purtroppo, al primo incontro con Schumacher, Dase fece una pessima esibizione a causa di un terribile mal di testa, ma le frequentazioni continuarono e le performance successive furono decisamente migliori: moltiplic mentalmente 2 numeri di 20 cifre in 6 minuti, 2 numeri di 48 cifre in 40 minuti e 2 numeri

di 100 cifre in 8 ore e 45 minuti; inoltre, estrasse la radice quadrata di un numero di 60 cifre in pochi minuti. Dase voleva conoscere il grande matematico Gauss ma, nonostante lintercessione di Schumacher, il vecchio maestro non era granch interessato a incontrare il ragazzo, perch riteneva che fosse solo un bravo calcolatore e non un buon matematico. Dase si mise quindi a calcolare i logaritmi naturali, fino a 7 decimali, dei numeri interi fino a 1.500.000, nella speranza che qualche editore pubblicasse il suo lavoro: voleva riscattarsi dello smacco ricevuto da Gauss e lasciare una traccia di s nel mondo dellaritmetica. Alla fine di tanti sforzi e difficolt, Dase riusc a farsi pubblicare almeno una parte del suo lavoro che, per, al giorno doggi non viene mai utilizzata, dato che quel tipo di conteggi viene svolto egregiamente dai moderni computer. Forse il grande Gauss non aveva tutti i torti. Mor prematuramente allet di 37 anni.

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hEnrI MondEuxNacque nel 1826 in un paesino delle campagna francese. Fonti storiche dicono che cresceva bello e in carne finch, a 4 anni, si ammal seriamente. Da quel momento la sua infanzia fu un susseguirsi di peripezie. Le sue attivit erano sostanzialmente legate alla pastorizia, molto diffusa nella sua zona, e come spesso accade nello svolgimento di queste mansioni, per combattere la noia, cominci a giocare con alcuni sassolini che furono i suoi primi strumenti di calcolo. Avendo molto tempo a disposizione e grazie a una mente molto ricettiva, il bambino svilupp rapidamente una spiccata attitudine al calcolo che, nel suo caso, non poteva che essere mentale. Quando si diffuse la notizia di questa sua abilit fu avvicinato da alcune personalit dellambiente scolastico locale, che si accorsero immediatamente che non sapeva n leggere n scrivere. Quando gli proposero di prendere lezioni, il piccolo Mondeux rifiut. Alla morte della madre i suoi problemi di salute furono aggravati da quelli familiari: fu mandato a vivere da uno zio che, per non tenerlo a casa, lo faceva lavo-

rare a servizio da un signorotto locale. I risultati per furono pessimi: il carattere del giovane era ribelle a qualunque tipo di regola. Dopo questo insuccesso, Mondeux fu rispedito dallo zio alla casa paterna. Nel frattempo il padre si era risposato con una donna che aveva dei figli gi grandi che misero il fratellastro in condizione di scappare di casa. Dopo un lungo periodo di vagabondaggio, durante il quale visse di espedienti, Mondeux si decise a presentarsi a scuola e dal parroco: sia i maestri che il religioso furono felici della sua scelta, ma la loro gioia si spense di l a poco. Mondeux era un ragazzo dal carattere molto difficile e lo dimostr anche in quella situazione. Un giorno, mentre si trovava in un campo, incontr delle donne e per fare una bella impressione su di loro si offr di calcolare il numero di secondi vissuti da colei che gli avesse detto let. Una di queste ragazze era la sorella di mile Jacoby, insegnante nel pi importante istituto di Tours, e raccont al fratello lincontro con Mondeux e il risultato del calcolo. Jacoby si accorse che era corretto e decise di andare a cercare il giovane calcolatore. Quando riusc a trovarlo, fece del suo meglio per convincerlo a trasferirsi a Tours e a studiare presso il suo istituto. Alla fine Mondeux accett la proposta. Quando Mondeux padre fu informato del trasferi-

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mento del figlio, avvert il maestro cos: un piccolo selvaggio, faccia molta attenzione!. Jacoby scopr presto che queste parole non erano un avvertimento esagerato. Escluso il calcolo puro e semplice, il ragazzo non era in grado di applicarsi a niente per pi di un quarto dora; ricominci a esercitarsi nel calcolo mentale e recuper velocemente la brillantezza degli anni dellinfanzia: adesso aveva 14 anni ed era in grado di esibirsi in pubblico. I suoi pezzi di bravura erano i quadrati di numeri a tre o quattro cifre e le differenze tra potenze. Immaginiamo un esempio dei suoi: Mondeux: Datemi un numero a 4 cifre: ne calcoler mentalmente il quadrato!. Pubblico: 1204. Dopo pochi secondi: 1.449.616. Oppure, alla domanda: Quali sono i due quadrati la cui differenza 133?. Mondeux, dopo alcuni secondi, avrebbe risposto: 66 e 67. Si fa presente che il giovane Mondeux si era costruito autonomamente il metodo per eseguire questi calcoli: nel primo caso utilizzava la famosa formula algebrica (a+b)2 = a2+2ab+b2 che, nel caso proposto, diventava (1200+4)2 = 12002+2*1200*4+42 = 1440000+9600+16. Nel secondo si pone a-b = d quindi a = b+d; nel caso in esame, c = 133 e se supponiamo d = 1, allora a = b+1 e quindi b = (c-1)/2, ovvero b = (133-1)/2 = 66, perci a = 67.

Ripreso lallenamento grazie alla protezione di Jacoby, Mondeux si esib frequentemente e collabor con lo stesso Jacoby alla produzione di un trattato sui criteri di divisibilit di un numero qualsiasi per un altro numero (intero) compreso tra 1 e 50. Anche lui, come Dase, si spense allet di 37 anni, nel 1861. opinione diffusa che le notevoli capacit di calcolo di Mondeux siano state molto condizionate dalle limitate conoscenze matematiche di Jacoby. I criteri e i metodi sui quali Mondeux lavorava erano gi tutti noti nellambiente matematico, ma egli era particolarmente abile nel maneggiarli mentalmente. Se, invece, avesse potuto avere un altro tipo di supporto, probabilmente avrebbe potuto dare un contributo migliore al mondo dellaritmetica.

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truMan hEnry saffordNacque nel 1836 nello stato del Vermont, 30 anni dopo Colburn. Cominci ad appassionarsi ai calcoli allet di 6 anni con le misure di lunghezza e i vari sottomultipli, non appartenenti al Sistema Internazionale, come gi prima di lui avevano fatto Buxton, Fuller e Colburn. Ad aiutarlo furono i genitori, entrambi insegnanti. Il piccolo Safford era molto affascinato dai libri in generale: ne possedeva molti di algebra (in particolare sui logaritmi), di chimica e di astronomia. La sua passione fu cos forte e costante, che riusc a laurearsi allUniversit di Harvard. Divenne professore alla Chicago University e direttore del Deaborn Observatory. La sua carriera fu molto longeva e si concluse al Williams College praticamente con la sua morte, avvenuta allet di 65 anni.

Viene riportato uno dei suoi pi mirabolanti conteggi, eseguito in una performance giovanile, durante la quale gli fu chiesto: Quanto fa 365.365.365.365. 365*365.365.365.365.365.365?. E lui, dopo poco pi di un minuto, rispose: 133.491.850.206.566. 925.016.658.299.941.583.225. Aveva 10 anni e aveva eseguito lintero calcolo mentalmente. Va detto che, purtroppo, queste sue strabilianti capacit andarono via via spegnendosi fino a scomparire totalmente dopo qualche anno.

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gIacoMo InaudINacque in Piemonte nel 1867, figlio di una famiglia di italiani emigrati in Francia. Durante linfanzia si ritrov a fare il pastore e, come gi visto per Mondeux, si ingegn a trovare un metodo per combattere la noia: lo trov nel contare le pecore, mentalmente; va detto che Inaudi impar a leggere e scrivere solo allet di 20 anni. La lotta alla noia nelle lunghe giornate pastorali lo port a raggiungere una precoce abilit nei calcoli mentali, tanto che a 7 anni riusciva a moltiplicare tra loro due numeri di 5 cifre. Non sopportando pi il genere di vita condotto fino a quel momento, si accord col fratello maggiore e scapp di casa per andare in Provenza: per sopravvivere, il fratello suonava lorganetto e lui si esibiva nei calcoli mentali. A 10 anni tenne unesibizione a Parigi, dove fu notato da due famosi antropo-

logi che lo convinsero a farsi istruire e studiare da loro. Gli studi su Inaudi durarono per anni: dai diari dei due professori sappiamo che egli aveva una testa sproporzionata rispetto al corpo piccolo e magro; la sua altezza era di poco superiore al metro e mezzo. Era riservato, intelligente e, come gi accaduto in passato per personaggi di questo tipo, tanto era brillante nei calcoli quanto incapace di gestirsi in tutto il resto: dimenticava gli appuntamenti presi, le citt in cui si era esibito etc.. Normalmente le sue performance consistevano in sottrazioni di due numeri di 21 cifre, somme di cinque numeri di 6 cifre ciascuno, estrazione di radici quadrate di numeri di 4 cifre, di radici cubiche di numeri a 9 cifre e radici quinte di numeri a 12 cifre. Durante gli spettacoli, Inaudi non guardava mai la lavagna: teneva lo sguardo fisso sulla platea che gli diceva i numeri su cui eseguire le varie operazioni. Si ripeteva tali numeri due o tre volte e poi, mentalmente e rapidissimamente, annunciava il risultato: tutto quello che stato elencato sopra, Inaudi lo eseguiva in un tempo massimo di 12 minuti. Un altro pezzo di bravura del suo repertorio, che a quei tempi riscuoteva grande successo, era il calcolo del giorno della settimana di una data proposta dal pubblico: la risposta era pressoch immediata. Dato che eseguiva tutto a mente, dalla memorizzazione dei numeri alla loro manipolazione, stato sti-

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mato che, per ogni performance, Inaudi si ricordava circa 230 cifre ed egli era in grado di ripeterle tutte in sequenza, anche a distanza di qualche giorno. La sua attivit continu fino al 1934 allargandosi a tutte le maggiori citt dEuropa e degli Stati Uniti. Purtroppo la sua sbalorditiva abilit nei calcoli, che continu imperterrito a esercitare fino allultimo, non fu ben sfruttata: mor in povert allet di 83 anni.

PErIcLEs dIaMantINato in una piccola isola greca dello Ionio (Pylanos) nel 1868, era figlio di commercianti. Nella sua carriera scolastica fu sempre il primo della classe. Conosceva cinque lingue e si dimostr bravissimo nei calcoli mentali, tanto da presentarsi allAccademia delle Scienze di Francia poco pi che ventenne. A Parigi seppe di una performance di Inaudi, che allepoca era considerato il miglior calcolatore mentale, e decise di prepararsi per sfidare il grande maestro; lauspicato testa-a-testa, tuttavia, non avvenne mai. Chi conosceva bene Diamanti riporta che egli vedeva i numeri e associava loro un colore; questa connessione gli permetteva di memorizzare centinaia di numeri apparentemente senza grande sforzo. Per questa abilit fu fatto oggetto di studi per testare quanti numeri poteva memorizzare, sia solamente sentendoli, sia vedendoli scritti: pur dimostrando capacit non comuni, non arriv mai alle quantit e alle tempistiche (necessarie alla memorizzazione) di Inaudi.

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frank d. MItchELLNon sappiamo granch sul suo conto; ci pervengono informazioni da un articolo di una rivista specializzata in cui si parla di un ragazzo che ha imparato a contare molto presto, allet di 3 o 4 anni, e da subito rimasto affascinato dalle serie di potenze delle prime nove cifre. Nellaffinamento di queste successioni si accorto che le ultime due cifre di tali potenze sono in stretta correlazione con la loro radice e ha cercato di sistematizzare tale relazione, un po come soleva fare Colburn molti anni prima. Ci significa che, determinate le ultime due cifre del moltiplicatore e del moltiplicando, Mitchell sapeva esattamente quali erano le ultime due cifre del loro prodotto. Questo, per, non si traduce nel saper eseguire mentalmente calcoli di una certa difficolt. Infatti, labilit di

calcolo di Mitchell non ha prodotto risultati rilevanti dopo la sua infanzia. Questo tipo di procedimento era sfruttato da Colburn nel modo inverso: dovendo eseguire la divisione di grandi numeri, preferiva individuare gli eventuali fattori e quindi procedere con le divisioni. In questottica, la relazione tra le ultime cifre di un numero e quelle degli eventuali divisori ha uneffettiva valenza pratica.

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gottfrIEd rckLEQuesto personaggio, pi che un brillante calcolatore mentale, fu un formidabile memorizzatore di numeri, migliore anche di Inaudi e Diamanti, ma non di Finkelstein. Anchegli era dotato di unottima memoria visiva: a 12 anni aveva gi memorizzato tutti i numeri primi e le fattorizzazioni dei numeri composti fino a 1000. Per questo motivo aveva una predilezione per i numeri dispari e, tra questi, per quelli primi. A detta degli storici, era molto abile in somme e sottrazioni, che riusciva a eseguire bene quasi quanto Inaudi, ma non altrettanto nelle moltiplicazioni e nelle divisioni.

LouIs fLEuryNato in Francia nel 1893 gi cieco, si dice sia stato abbandonato dai genitori allet di un anno e mezzo e quindi adottato da una famiglia di contadini. A 10 anni non era ancora capace di lavarsi e vestirsi. Fu mandato alla scuola per ciechi di Arras ma senza grandi risultati, specialmente in matematica, materia in cui aveva le difficolt maggiori. A 15 anni i suoi precettori decisero che non era educabile e fu inviato in un istituto. In quellambiente ebbe unesperienza drammatica: il suo vicino di posto a tavola fu colpito da un attacco epilettico. Essendo cieco e incapace di comprendere cosa gli succedesse intorno, Fleury rimase fortemente impressionato. Per reazione si rifugi in se stesso e, per sfuggire a quellorrore, si dedic a quanto di pi difficile conoscesse: laritmetica. Fu cos che scopr che poteva studiare qualunque cosa e chiese di essere rimandato alla scuola di Arras, ma gli fu negato. Finse quindi di aver perso la ragione e fu mandato in un ospedale psichiatrico, dove scoprirono le sue capacit di calcolo mentale. A 21 anni riusc a uscire dallospedale e tenne di-

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mostrazioni pubbliche in Francia, Gran Bretagna e Stati uniti, durante le quali eseguiva in pochi secondi calcoli mentali come: 20.700/48 = 431 e resto 12 52872 = 27.952.369 220 = 1.048.576 3456.609 = 77 e resto 7 La data della sua morte ci sconosciuta, cos come il luogo e le circostanze.

aLExandEr craIg aItkEnNacque in Nuova Zelanda nel 1895. Fu un grande matematico e diede grandi contributi allalgebra, allanalisi matematica e alla statistica; fu violinista autodidatta di considerevole livello. Fino allet di 13 anni, epoca in cui and alle scuole secondarie, era sempre stato il primo della classe, ma non aveva mai dimostrato le sue incredibili doti. Ad appassionarlo erano, pi che altro, le lingue e la letteratura. Durante la prima Guerra Mondiale si arruol nellesercito e combatt con gli alleati inglesi in India e, in Europa, specialmente in Francia, dove fu ferito due volte. Tornato in patria, ricominci a studiare, ma la matematica ancora non era entrata nella sua vita; le sue preferenze erano il latino e il francese. Allet di 25 anni, Aitken si ritrov laureato, sposato, reduce di guerra

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e decorato. Trov un impiego come insegnante di lingue alle scuole superiori e contemporaneamente gareggiava in salto in alto e con lasta, fino a vincere perfino i campionati della sua regione nel 1923. Due anni dopo vinse un dottorato alluniversit di Edimburgo, dove conobbe il famoso professor Whittaker, che lo indirizz ai calcoli e allanalisi matematica. La novit lo conquist istantaneamente, tanto che fu ammesso alla facolt di Ingegneria (come Bidder molti anni prima), proprio per la sua abilit nei calcoli mentali. Le sue specialit erano le radici quadrate, fino a 5 decimali, di numeri a 3 o 4 cifre (eseguite in pochi secondi) e la classificazione, tramite fattorizzazione, di numeri di 3 o 4 cifre in numeri primi o composti (anche questa eseguita in tempi brevissimi). Aitken va ricordato, inoltre, per il calcolo dei decimali di , arrivando fino a 1000 cifre che, naturalmente, teneva a mente.

arthur grIffIthNacque nello stato dellIndiana nel 1880 e cominci a contare pi o meno nello stesso periodo in cui pronunci le sue prime parole. La madre, per tenerlo buono, gli dava da contare vari oggetti. Buxton ricordava le pinte di birra che gli erano state offerte; Fuller cont i peli della coda di una vacca e il piccolo Griffith ricordava la quantit di chicchi di grano data alle galline: in tre anni arriv a 42.173, dicendo di ricordarsi perfino i parziali di ciascun giorno. Allet di 12 anni cominci a sviluppare un proprio metodo per calcolare mentalmente. Negli anni si appassion talmente allo studio, che riusc a entrare alluniversit

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dellIndiana. Qui il professor Lindley lo not e decise di eseguire un test sul nuovo arrivato: lo tenne sotto osservazione per cinque mesi, durante i quali gli fece eseguire varie performance di calcolo mentale per registrarle. Queste consistevano in 10 addizioni di numeri a 1, 2, 3 e 4 cifre (la pi complessa terminata in un tempo massimo di 50 secondi); 10 sottrazioni di numeri a 1, 2, 3 e 4 cifre (anche in questo caso la pi complessa terminata in un massimo di 50 secondi); 10 divisioni di numeri a 1, 2, 3 e 4 cifre (la pi complessa eseguita in un massimo di 78 secondi); moltiplicazioni tra numeri di 3 e 4 cifre, in modalit sia visiva che auditiva (tempo massimo di esecuzione 9 secondi); fattorizzazione di numeri a 3 e 4 cifre in 5 secondi; radici cubiche di numeri a 9 cifre (tempo massimo di esecuzione 45 secondi) e radici quadrate di numeri a 6 e 7 cifre (tempo massimo di esecuzione 35 secondi). Secondo i suoi supervisori, Griffith era leggermente inferiore a Inaudi in rapidit di calcolo, ma migliore di Diamanti. C da dire che le prove a cui egli fu sottoposto furono abbastanza facili, specialmente rispetto agli standard dei calcolatori mentali progigio citati in precedenza. Un infarto spense prematuramente Griffith nel 1911, allet di 31 anni.

fInkELstEInNacque nel 1896 a Lodz, oggi in territorio polacco, ma allepoca appartenente alla Russia. Fin da bambino si dimostr abile nel contare tanto che, terminati gli studi, trov un impiego come contabile per il governo polacco. Nel 1927 sent parlare di un uomo che dava esibizioni di calcolo e memorizzazione di numeri, e cos anche lui volle dimostrare di poter fare altrettanto; aveva lavorato per 11 anni per il governo del suo paese come revisore del budget del Tesoro, e in tutto quel periodo non era mai stato trovato un suo errore. Si sa poco altro di lui; nel 1932 decise di andare a New York per farsi assumere in una delle famose banche della Grande Mela. L misero subito alla prova le sue capacit con test di grande difficolt e il risultato fu che, pur non essendo particolarmente abile nelle moltiplicazioni n come velocit n come accuratezza, era velocissimo e preciso nel sommare i numeri mentalmente: riusciva a sommare 4 cifre al secondo. Il suo maggior talento consisteva, comunque, nel memorizzare i numeri: gli bastava un secondo tra luno

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e laltro. Poteva memorizzare, dopo un solo secondo di visione, numeri da 20 a 25 cifre e ripeterli anche a ritroso; questa sbalorditiva capacit per diminuiva sensibilmente se i numeri non erano rappresentati in linea orizzontale, ma gli venivano proposti in colonne verticali. Sembra che associasse sequenze numeriche a date o situazioni a lui familiari, nello spazio temporale di 1 o 2 secondi al massimo. Le notizie sulla sua vita, una volta ripartito da New York, sono poco chiare.

WIM kLEInNacque ad Amsterdam nel 1912. Cominci a interessarsi di calcolo allet di 8 anni, quando scopr la fattorizzazione. Ripetendo tante volte certe operazioni, riusc a memorizzare tutte le fattorizzazioni per i numeri interi fino a 25.000, i quadrati degli interi fino a 1000, i cubi degli interi fino a 100, i numeri primi fino a 10.000 e i logaritmi a 5 cifre dei primi 150 interi. Il suo interesse contagi il fratello Leo, che divenne anchegli un ottimo calcolatore mentale; secondo il parere dello stesso Wim, il fratello Leo era pi visivo, mentre lui pi uditivo. Per capire le differenze di metodo tra i due, Wim era solito fare questo tipo di esempi: prendiamo i numeri 426 e 843; il loro prodotto 359.118. Leo lo calcolerebbe cos: ci sono 12,78$ e 170,10$ e anche 3408,00$ che sommati

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danno 3591,18 quindi ho 359.118. Wim, invece, procederebbe cos: 426/6 = 71 e 843*6 = 5058 da suddividere in 5000+58; poi 5(000)*71 = 355(000) e 58*71 = 4118 quindi 355.000+4118 = 359.118. Leo mor durante la seconda Guerra Mondiale in un campo di concentramento. Wim, invece, sopravvisse, e al termine del conflitto, dato che tutti i beni di famiglia gli erano stati espropriati, fu costretto, per guadagnarsi da vivere, a esibirsi come calcolatore prodigio con lo pseudonimo di Pascal. Solo nel 1952 riusc a trovare lavoro come insegnante di matematica ad Amsterdam. Inviato a Parigi dal suo istituto per partecipare a un convegno, vi rimase per due anni e l, nel 1954, incontr Aitken. Nel 1954, dopo molte difficolt, riusc a entrare in contatto con il CERN e a farsi assumere rimanendoci fino al 1975, anno in cui decise che era tempo di ritornare ad Amsterdam. Lanno prima, nel 1974, alcune riviste specialistiche del settore avevano riportato la notizia che un certo de Grote di Mexico City era riuscito a estrarre la radice tredicesima di un numero a 100 cifre in 23 minuti: la cosa colp a tal punto Klein che decise di provarci anche lui. E cos cominci la sua personale sfida contro tutto e tutti nellestrazione di radici di ordine elevatissimo in tempi sempre pi brevi. Sempre nel 1974 riusc a

estrarre la radice ventitreesima di un numero di 200 cifre in 18 minuti e 7 secondi, e nel 1975 ridusse il tempo a 10 minuti e 32 secondi, entrando di diritto nel Guinness dei primati. Klein ha dichiarato in unintervista che il suo un processo di calcolo semimentale, in quanto mano a mano scrive parti della risposta finale prima che sia completamente definita. Quando gli chiesero se credeva di essere il pi grande calcolatore di sempre ha risposto: Non il pi grande, ma il pi rapido!. Si spento nel 1986 allet di 74 anni.

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MaurIcE dagbErtNacque nel 1913 a Calais. Sembra che da piccolo abbia avuto qualche problema a scuola perch risolveva gli esercizi di calcolo da sinistra a destra e non nel metodo scolastico classico. Non chiaro quando abbia cominciato a interessarsi di calcolo mentale, ma pare che la molla sia stata unesibizione di Inaudi che ebbe luogo nel 1927 o al massimo nel 1930. Comunque sia, ebbe la possibilit di affinare i suoi metodi di calcolo in drammatiche circostanze capitate anche ad altri: durante la prigionia in Germania negli anni della seconda Guerra Mondiale. Alcune riviste specialistiche, parlando di lui, riportano che nel 1939 un ragazzo di 25 anni di Calais aveva estratto la radice

settima di 31.068.554.553.807.275.169, pari a 609; mancano, tuttavia, le notizie sul tempo occorso a Dagbert per arrivare al risultato. Lincontro di Dagbert con Inaudi non fu isolato: dopo la guerra ne avvenne un altro nel quale Inaudi aveva 76 anni e si dice che si ricordasse che quel ragazzino, circa 20 anni prima, gli aveva chiesto la radice cubica di 700.227.072 (che 888). Dagbert risolveva rapidissimamente le radici dispari di numeri di 15 e 17 cifre e anche moltiplicazioni tra numeri di 3 e 4 cifre. Uno storico dellepoca riporta che durante le esibizioni in teatro suonava addirittura il violino. Unaltra particolarit di tali spettacoli era la seguente: presa una lavagna con sopra una griglia di 7 righe e 3 colonne, a mo di battaglia navale, Dagbert chiedeva al pubblico di assegnare, in ordine sparso, una coppia di numeri alle caselle vuote (tipo C4 = 41, B1 = 18 etc.) mentre lui voltava le spalle alla lavagna; quindi ripeteva mentalmente tutti i numeri in ordine corretto e infine ne calcolava la somma totale.

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MadEMoIsELLE osakaNon sappiamo quasi niente dei suoi dati anagrafici, tranne che dovrebbe essere nata tra il 1920 e il 1925. Una fonte storica ci riporta che ebbe gravi problemi di varia natura fin da bambina, tanto che non fu in grado di parlare fino allet di quattro anni e mezzo. Impar a leggere e a scrivere soltanto a 26 anni, e a quellet riusciva a eseguire solo le addizioni. Poco dopo successe qualcosa (non sappiamo che cosa) e cominci a dimostrare spiccate abilit nel calcolo mentale. Diceva: I numeri mi appaiono in mente come scritti su una lavagna e pi chiari e nitidi di quelli reali. Cominci quindi a tenere esibizioni di calcolo mentale, durante le quali calcolava le potenze di numeri a una e due cifre fino al decimo grado e le potenze di numeri a 3 cifre fino allottavo grado. Inoltre memorizzava lunghe sequenze numeriche in poco tempo ed era in grado di ripeterle in ordine di apparizione, a ritroso e in ordine sparso.

shakuntaLa dEvIShakuntala Devi nacque in India nel 1932 o nel 1940; le fonti sono discordanti in merito. Sappiamo che da bambina il padre la faceva esibire nei circhi finch lei decise di continuare da sola le sue performance in giro per lIndia. La sua fama crebbe notevolmente negli Stati Uniti, soprattutto quando alla Dallas University estrasse la radice ventitreesima di un numero a 201 cifre in 50 secondi. La soluzione ha ben 9 cifre. Oltre che a lei, il calcolo fu sottoposto anche al computer delluniversit ma non ci fu risposta. Apparve chiaro, quindi, che la signora Devi era pi potente del computer della Dallas University. In unintervista rilasciata a una rivista scientifica, Devi afferm che le sue ca-

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pacit sarebbero state favorite dalla sua preparazione sugli antichi testi religiosi scritti in sanscrito: probabilmente la difficolt della lingua e la complessit e la vastit dei testi avevano fatto s che si sviluppassero in lei le attitudini al calcolo mentale, generalmente non comuni, ma a suo giudizio trasmissibili anche ad altri.

EbErstarkNato a Vienna nel 1929, non fu un bambino calcolatore prodigio, perch il suo interesse principale erano le lingue. Al momento dellannessione dellAustria al Terzo Reich da parte della Germania nel 1939, la famiglia di Eberstark si trasfer a Shanghai e vi rimase fino alla fine del conflitto. Quando ritorn in patria, Hans si iscrisse alluniversit al corso di lingue e non di chimica, come avrebbe desiderato suo padre. Eberstark stato uno dei pochi traduttori simultanei in grado di tradurre pi di 10 lingue, dalle europee pi diffuse (tedesco, inglese, francese e spagnolo) al creolo e allhaitiano, dal cinese al giapponese (anche se non sempre fluentemente). Il suo interesse per il calcolo mentale cominci dopo una dimostrazione di Shakuntala Devi a Vienna. Letto larticolo con la descrizione dei calcoli da lei eseguiti, Eberstark scrisse al giornale che la radice quinta di un qualsiasi numero abbastanza facile da calcolare. Ne nacque un problema diplomatico con il consolato indiano ed Eberstark dovette dimostrare di essere un calcolatore mentale, per sostenere le sue tesi di fronte a Devi.

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Fu cos che si allen sulle moltiplicazioni e sullestrazione di radici, sebbene la sua specialit fosse la memorizzazione dei numeri, in avanti e allindietro, impiegando meno di 2 secondi per fissarne nella mente uno. Grazie a questa capacit, Eberstark memorizz 11.944 cifre dei decimali di , stabilendo un record per quegli anni; adesso il record gi oltre le 20.000 cifre. Quando gli chiesero perch non provava ad andare ancora oltre, rispose che non cera pi nessuno disposto ad ascoltarlo elencare tutti quei numeri.

shyaM MarathENacque in India nel 1936. Il padre insegn allEngineering College della citt di Poona fino al 1946; fin da piccolo ebbe contatti con il mondo della matematica e dei calcoli. Nella cultura ind la lingua usata negli antichi testi tradizionali il sanscrito; in questa lingua la parola numeri si dice Sankya, nome che Marathe diede alla propria figlia, sperando che continuasse la tradizione di famiglia. Dallet di 15 anni Marathe si interessato anche alla magia, oltre che alla matematica. Nelle sue esibizioni era solito risolvere problemi come: 3704.969 = 89 3491.169069 = 789 3160.288.833.718.161 = 54.321 633 = 250.047 la radice ventitreesima di un numero di 35 cifre Unaltra specialit di Marathe erano i reciproci, ovvero i calcoli del tipo 1/96 = 0,01041666 o 1/63 = 0,015873. Inoltre, era in grado di calcolare il giorno

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della settimana di una qualunque data, anche di secoli passati. Ma la sua vera specialit era lelevazione di un numero a una cifra fino alla ventesima potenza. Un esempio: 814 = 4.398.046.511.104, oppure 914 = 22.876.992.454.961. Per quanto riguarda laspetto mate-magico di Marathe, ovvero i suoi quadrati magici, si rimanda alla Seconda Parte di questo libro. Va poi sottolineata la sua capacit di memorizzare con grande facilit, oltre ai numeri, anche nomi, facce e oggetti: caratteristica non cos comune. Cos come gi visto nella biografia di Devi, anche Marathe riconobbe che linfluenza della filosofia ind ebbe grande impatto sulla sua mente e sulle sue capacit di manipolare i numeri.

arthur bEnJaMInNacque a Cleveland, Ohio, nel 1961. Da bambino aveva un carattere difficile, sia con i coetanei che con gli insegnanti: aveva infatti la tendenza a riprenderli e correggerli continuamente al punto che questi chiesero ai suoi genitori di non insegnargli pi niente a casa o di mandarlo in una scuola privata. Benjamin ha dichiarato di essersi interessato ai numeri fin da quando ha ricordi: sapeva leggere gi dai tempi dellasilo e riusciva a eseguire mentalmente moltiplicazioni tra numeri di due cifre gi alla scuola elementare. Solo qualche tempo pi tardi cominci a imparare lalgebra e la famosa formula con cui Aitken era solito calcolare i quadrati, a2 = (a+b)*(a-b)+b2, egli se la ricostru da solo. Anche Benjamin,

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come Marathe, era affascinato dalla magia e durante il periodo delluniversit si ciment in spettacoli per i bambini, nei quali dava prova di abilit nei calcoli mentali. Quando si trov a fare spettacoli anche davanti agli adulti fu costretto a riconoscere che il suo abituale programma non era pi adatto e svilupp la parte dei calcoli mentali, che facevano molta pi presa, tralasciando i numeri di magia. Nel periodo delluniversit Benjamin si esibiva in alcuni locali notturni eseguendo solo calcoli mentali; per puro caso fu visto da un professore del suo istituto che lo propose per un esperimento di psicologia. In seguito Benjamin si specializzato sia nei numeri di magia sia nel calcolo mentale, attivit che tuttora pratica.

PartE SECONDa La MatE-MagIca

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IntroduzIonE

La mate-magica o matematica magica consiste in una serie di operazioni o numeri particolari, basati su principi matematici. Eccetto il nome e leffetto che pu suscitare, essa non ha niente a che fare con trucchi eseguiti con le carte, i dadi o con altri strumenti. Gran parte dei procedimenti qui esposti veniva utilizzata dai calcolatori descritti nella Prima Parte di questo libro, specialmente durante le loro esibizioni pubbliche. Infatti, conoscendo come funzionano certe propriet dei numeri potevano, senza svolgere veramente dei calcoli, dare limpressione di essere in possesso di abilit superiori alla media. Normalmente si tratta di far scegliere uno o pi numeri (intesi come gruppi di cifre) a una persona, di combinarli con altri, speciali, e quindi dichiarare il risultato finale dopo aver simulato un breve ma

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intenso momento di profonda concentrazione, durante il quale il calcolatore dovrebbe aver svolto mirabolanti calcoli mentali! Per il lettore pu essere interessante apprendere questi metodi e divertente nel caso in cui volesse sperimentarli con gli amici.

La cIfraPErduta

Questo trucco il punto di partenza della vostra pratica e pu essere collegato a molti di quelli che seguiranno, dato che il principio che ne sta alla base praticissimo e immediato. La sua esecuzione si basa sulluso di una caratteristica dei numeri con Somma Interna pari a 9. La Somma Interna (SI) la somma delle varie cifre, componenti un dato numero, ridotta a ununica cifra. Ad esempio, dato 843.759 la sua SI sar data da 8+4+3+7+5+9 = 36 quindi 3+6 = 9. Sapendo che un dato numero ha la Somma Interna pari a 9 o 0, possiamo chiedere a una persona del pubblico di estrapolare da esso un numero a 6 cifre e di cambiare lordine di tali cifre, al suo interno, quanto e come vuole; dopodich dovr scegliere una cifra delle sei ed enunciare le altre cinque: a noi non rester altro da fare che tenere il conto e indovinare lultima, quella perduta. A prima vista sembra tutto molto facile e in realt lo , ma c una cosa che va chiarita: come facciamo a far credere allo spettatore che il numero con cui stiamo lavorando veramente un numero casuale e come

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facciamo noi a essere certi che questo numero sia certamente un numero con Somma Interna pari a 9? Esistono molti metodi per forzare contemporaneamente queste due condizioni. Vediamone alcune. Dato il primo numero di 6 cifre, chiediamo di mescolare le sue cifre finch lo spettatore ne sar soddisfatto; a questo punto faremo eseguire la sottrazione del minore dal maggiore e avremo ottenuto ci che vogliamo: fiducia dello spettatore e Somma Interna pari a 9, sempre. Dato il numero di 6 cifre, facciamo fare la somma delle cifre che lo compongono e le sottraiamo dal numero stesso abbastanza casuale cos? Lo sar. E anche in questo caso siamo pronti per svolgere il nostro trucco. Dato il numero di 4 o 5 cifre, chiediamo di moltiplicarlo per un multiplo di 9 (36, 54, 63, 72, ) e anche cos avremo Somma Interna pari a 9 e numero reso casuale davanti a tutti.

anche chiedere di cambiare lordine delle cifre che lo compongono o di sottrargli la somma delle sue cifre (3.287.718-18 = 3.287.700, che ha ancora una Somma Interna pari a 9). Quando il pubblico sar sufficientemente sicuro che il numero casuale, sceglier una cifra e chiamer le altre; sar quindi un gioco da ragazzi calcolare il valore di quella mancante. Attenzione: specificate bene di non scegliere uno 0 (perch non saprete se un 9 o uno 0) dicendo che altrimenti sarebbe troppo facile. Con uno di questi accorgimenti, o con una loro combinazione, sarete certamente in grado di stupire tutti con la vostra abilit!

Riportiamo qui un esempio completo: sia dato il numero 52.186 (che non ha Somma Interna pari a 9), chiediamo che venga moltiplicato per 63 dato che troppo piccolo; si ottiene 3.287.718 (che ha ovviamente Somma Interna pari a 9); adesso possiamo

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1089Questo trucco numerico basato su un concetto molto semplice: dato un numero composto da tre cifre tutte diverse, se lo invertiamo specularmente e sottraiamo il numero minore dal maggiore, otterremo sempre un risultato con un 9 centrale; a questo punto invertiamo specularmente anche questo risultato e giungeremo inevitabilmente al numero magico 1089. Proponiamo un esempio: sia dato il numero 428, lo invertiamo ottenendo 824; sottraiamo quindi il minore dal maggiore (824-428 = 396), invertiamo questo risultato (396 d 693) e sommiamoli insieme: 396+693 = 1089. Proviamone un altro: dato 671, invertiamolo (176) e facciamo la differenza (671-176 = 495); adesso invertiamo il risultato e sommiamo tutto insieme (495+594) ottenendo, guarda un po, 1089. Come possiamo utilizzare a nostro vantaggio questa propriet dei numeri a tre cifre? Unapplicazione particolarmente efficace potrebbe essere la seguente: dato che il numero iniziale fornito dal pubblico, voi non potete sapere quale sar il risultato finale (ma noi sappiamo che non cos).

Una volta ottenuto il famoso 1089, chiedete alla persona del pubblico che vi ha fornito il numero di trovare una pagina particolare (la 108) di un libro a voi noto (lelenco telefonico della nostra provincia, la Bibbia o quello che volete) e di leggere solo per s la nona parola (o se preferite la ottantanovesima a pagina 10). Con un acutissimo sforzo di concentrazione potrete dimostrare di poter leggere nel pensiero della persona che vi ha dato il numero iniziale dicendo pubblicamente cosa ha letto! Attenzione: qualora si volesse ripetere lesperimento si deve provvedere a un accorgimento; non potendo far ritornare il risultato finale pari a 1089, basta aggiungere una o pi operazioni supplementari per forzare il risultato finale voluto. Per spiegarci meglio facciamo un esempio: supponiamo che voi sappiate che in una certa pagina (la 231) c la parola cappello al posto 4; sar sufficiente che chiediate di sommare, al termine dei passaggi precedenti, il numero (2314-1089 = 1325). Quanto abbiamo visto funziona sempre, senza alcun dubbio, nel 99% dei casi; il rimanente 1% si verifica con numeri che hanno la seguente composizione: 465 e 564, 354 e 453 etc. In questi casi il risultato della sottrazione sar solo 99; nessuna paura: basta raddoppiarlo per ottenere 198 e tutto rientrato nei canoni che gi conosciamo.

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In questo trucco simuleremo una capacit fulminante di addizionare numeri composti da 4 cifre sfruttando la caratteristica del numero 9999. Supponiamo di chiedere un numero di 4 cifre e che ci venga risposto 3862; su un pezzo di carta scriveremo un risultato finale, noto solo a noi, che sar 13861. Come abbiamo fatto? Facilissimo: abbiamo sommato 9999. In realt abbiamo fatto molto meno: abbiamo tolto un 1 alla cifra pi a destra e lo abbiamo posto prima della cifra pi a sinistra; il risultato lo stesso che troveremmo se facessimo laddizione ma lo sforzo decisamente inferiore. Per continuare il trucco chiediamo un altro numero di 4 cifre (sia 5369) e lo scriviamo sopra (o sotto) il primo; adesso diciamo che ne aggiungeremo uno noi e velocemente scriviamo sotto (o sopra) il primo il complemento a 9999 del secondo (4630) di modo che appaia una sequenza del tipo: 5369 3862 4630 o 4630 3862 5369

Abbiamo svelato il nostro trucco; a questo punto possiamo chiedere alla persona del pubblico che ci ha fornito i due numeri, di calcolare il totale della somma dei tre numeri e confrontarla con quello che ci eravamo scritti sul pezzetto di carta, senza dirci quanto ; il risultato dar, inevitabilmente, 13.861. Per rendere ancora pi enfatico leffetto finale possiamo scrivere questo risultato in forma speculare (invertendo lordine delle cifre) e, quando ci faranno notare che quel risultato completamente sbagliato, dire: Che strano Ah, ma certo! Devo immaginarlo e riportare le cifre in sequenza corretta. Per rendere il trucco pi interessante e vario possibile espandere il concetto appena visto: invece di lavorare su 9999 faremo gli stessi conteggi su 99.999 anche su due coppie di numeri. Cosa cambia, chiederete voi? Cambia solo il fatto che essendoci due coppie di numeri che daranno 99.999, il risultato finale sar dato da 2abcd(e-2) invece che 1abc(d-1) come prima, dove abcde sono le cifre del numero proposto. Buio completo? Bene, vediamo un esempio pratico. Chiediamo al pubblico un numero composto da 5 cifre (siano abcde pari a 23.584) e mentalmente ci calcoliamo il nostro totalone (223.582) prevedendo un risultato; poi ne chiediamo un altro (sia 54.812) e un altro ancora (62.117), magari a persone diverse; a questo punto ci scriviamo sotto i nostri

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complementari a 99.999 degli ultimi due numeri (45.187 e 37.882) e chiudiamo facendo calcolare alla persona del pubblico il totale: ovviamente, sar proprio quello che avevate previsto. Questo trucco possibile farlo anche presentandolo in modo sensibilmente diverso: invece che come una predizione di calcolo, come una dimostrazione di abilit nelladdizionare numeri a 5 cifre. Facciamo scegliere al pubblico tre numeri da 5 cifre e, pi velocemente possibile, aggiungiamo altri due numeri da 5 cifre, uno sopra e uno sotto, che siano i complementari a 99.999 ed eseguiamo il conteggio in modo fulmineo e scrivendo il risultato da sinistra a destra! Il bello che potrete scegliere quale dei tre numeri eleggere a guida. Ci significa che sui tre numeri dati possiamo calcolare i due complementari a 99.999 sui due che vogliamo, quindi possibile far tornare tre totali diversi. Vediamo un altro esempio; siano i tre numeri forniti dal pubblico i seguenti: 64.187, 24.513 e 91.742. Siamo in grado di forzare il risultato finale su uno qualunque dei tre: dal primo avremo 264.185 con i due complementari 75.486 e 8257; dal secondo avremo 224.511 con i due complementari 35.912 e il solito 8257; dal terzo avremo 291.740 e i due complementari 35.912 e 75.486.

doPPIafatIca

Adesso andiamo a vedere come sfruttare le propriet dei numeri nel campo delle moltiplicazioni. Supponiamo di chiedere al pubblico un qualunque numero a 3 cifre e che ci venga proposto il 527; lo scriviamo da una parte del foglio o della lavagna e lo ripetiamo dalla parte opposta, cos da averlo scritto due volte su due colonne immaginarie. Poi ne chiediamo un altro, ammettiamo sia il 715, e lo scriviamo sotto la prima colonna; sotto la seconda invece ci mettiamo il complementare a 999 dellultimo numero dato, il 715, che 284. Adesso la situazione grafica sar la seguente: 527 715 527 284

La nostra performance sar ora quella di eseguire entrambe le moltiplicazioni e di sommarle tra loro dando direttamente il risultato finale. Questo numero cos ardito sar composto sempre da 6 cifre, delle quali le prime tre saranno date dal numero iniziale -1 (nel caso in oggetto 527-1 = 526) e le seconde tre dal complemento a 999 delle prime tre

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(in questo caso 473); in definitiva il risultato finale 526.473. Per dimostrare che tutto vero possiamo eseguire i due prodotti parziali e sommarli: 527*715 = 376.805 e 527*284 = 149.668 e 376.805+149668 = 526.473. In realt non abbiamo fatto altro che moltiplicare 527*999, che immediato eseguire come 527*(1000-1) = 527.000-527 = 526.473. La presentazione del trucco potrebbe essere la seguente: una volta dato il primo numero casuale di tre cifre, affermiamo di voler eseguire mentalmente una doppia moltiplicazione e di sommare insieme i due prodotti; a questo punto ne chiediamo un altro, sempre di tre cifre, e quando verr fornito un numero piccolo (cio che cominci con le cifre 2, 3 o 4) diremo che ne useremo uno un po pi grande (cio, che cominci con le cifre 7, 6 o 5) per rendere lesercizio pi complesso; viceversa, se ne verr proposto uno grande potremo dire di volerne usare uno un po pi piccolo per non rendere i calcoli troppo onerosi, dato che saranno eseguiti mentalmente. Va sottolineato che lo stesso principio funziona anche con i numeri a due cifre e con il complemento a 99, senza cambiare neanche una virgola. Per concludere alla grande questo trucco, potrete collegarci direttamente quello della cifra perduta, dato che sicuramente il risultato finale sar un numero con Somma Interna pari a 9.

nuMErIaMIcI

Adesso ci occuperemo di un gruppo di numeri che hanno la particolarit di rendere le moltiplicazioni estremamente semplici da risolvere; prendere confidenza con loro vi consentir di eseguire dei calcoli apparentemente complessi con grande disinvoltura, dimostrando alla vostra platea che siete proprio dei calcolatori eccezionali! 3367 Questo numero moltiplicato per un altro numero qualunque a due cifre, ci d la possibilit di predire istantaneamente il risultato finale grazie a un semplice stratagemma: in questo caso non c un vero e proprio trucco, si tratta di eseguire effettivamente dei calcoli. Vediamo un esempio chiarificatore: supponiamo che si debba moltiplicare 3367 per 38; invece di eseguire loperazione richiesta, che comporta dei calcoli di una certa difficolt, mentalmente triplichiamo graficamente il moltiplicatore (il 38 nel nostro esempio), trasformandolo in un numero a 6 cifre e ottenendo 383.838, quindi lo dividiamo per 3. Questa divisione deve essere fatta mentalmente e

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in modo rapido cos da creare un effetto scenico dirompente. Infatti, il risultato finale sar da voi scritto da sinistra a destra, diversamente dal comune metodo di risoluzione delle moltiplicazioni. Quindi 383.838/3 = 127.946, e magicamente si riscontra anche che 3367*38 = 127.946, come potete verificare da soli. La preparazione del trucco pu essere fatta in due modi, a vostra scelta: nella prima versione potete scrivere direttamente su un foglio (o sulla lavagna) il numero 3367 e poi chiedere un numero a due cifre per eseguire mentalmente la moltiplicazione; a questo punto dovrete solo immaginarvi il numero dato trasformato in 6 cifre e dividerlo per 3: solo questione di provare un po, ma leffetto finale assicurato. Nella seconda versione, invece, potete operare in modo inverso: chiedete a una persona del pubblico di inserire in una calcolatrice un numero a due cifre e poi glielo fate ripetere altre due volte, cos da avere il famoso numero a 6 cifre; a questo punto vi fate dire quale era il numero a due cifre iniziale (nellesempio precedente era 38), fate finta di concentrarvi un po, e scrivete da una parte il nostro amico 3367 e lo comunicate riservatamente a unaltra persona. Quindi, mentalmente, calcolate il prodotto del numero iniziale per 3 (38*3 = 114) e chiedete a chi ha la calcolatrice di dividere il numero che ha sul display

(383.838) per il risultato della moltiplicazione che avete appena eseguito mentalmente (114): naturalmente, il risultato sar 383.838/114 = 3367 e potrete rendere noto a tutti che era proprio quello che doveva uscire, dando prova di grande abilit anche nelle divisioni di numeri a 6 cifre. 143 Dato che non possibile ripetere due volte allo stesso pubblico il trucco appena visto per non farne scoprire il principio funzionante, potrete sfruttare questaltra possibilit nelle stesse modalit con un paio di aggiustamenti. Il 143 funziona con i numeri di 3 cifre raddoppiati e trasformati mentalmente in numeri a 6 cifre; invece di operare la moltiplicazione tra 143 e il numero a 3 cifre fornito dal pubblico, eseguirete mentalmente la divisione per 7 del numero a 3 cifre raddoppiato. Ci significa che, dato il numero 732, mentalmente calcolerete 732.732/7 = 104.676, che ovviamente corrisponde a fare 732*143 = 104.676. 142.857 Questo numero ha la particolarit che, se moltiplicato per un numero compreso tra 1 e 6 inclusi, mantiene le 6 cifre che lo compongono nello stesso ordine, soltanto spostate a destra di qualche posizione:

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142.857*1 = 142.857 142.857*2 = 285.714 142.857*3 = 428.571 142.857*4 = 571.428 142.857*5 = 714.285 142.857*6 = 857.142 Forse non ci avete fatto caso, ma ciascuna di queste permutazioni ha una Somma Interna pari a 9. Quindi possiamo giocare su questo e farci dare dal pubblico un numero a due o tre cifre, farne calcolare il prodotto e proseguire con il trucco della cifra perduta. 12.345.679 Non lasciatevi impressionare dalla lunghezza di questo numero, soltanto la sequenza dei numeri da 1 a 9 senza l8. Questo numero vi consentir di stupire il vostro pubblico, dato che pu trasformarsi in un altro numero, interamente composto da una cifra richiesta: sar sufficiente scegliere un corretto multiplo di 9. Supponiamo, infatti, che tra chi volete stupire ci sia una bella ragazza (o un bel ragazzo, a voi la scelta) il cui numero preferito il 7; fate digitare su una calcolatrice 12.345.679 mentre mentalmente calcolate 7*9 = 63. A questo punto chiedetele (o chiedetegli) di moltiplicare per 63 il numero appena digitato: il risultato sar un numero a 9 cifre tutte uguali a 7,

guarda caso proprio il numero richiesto! Se il numero preferito fosse proprio il 9, siete in grado di soddisfare la richiesta in due modi: il primo ovviamente moltiplicare 12.345.679 per 81 oppure appoggiarsi alla recente amicizia del 142.857 e chiedere che venga eseguito il prodotto tra questultimo e 7; in entrambi i casi avremo un numero composto esclusivamente da 9, il primo a 9 cifre e il secondo a 6. 37.037 Il presente numero il frutto del prodotto 7*11*13*37 (infatti 7*11*13 = 1001) e ha la caratteristica di trasformarsi in un altro numero di 6 cifre tutte uguali; in realt funziona un po come il precedente, con la differenza che invece di sfruttare un multiplo di 9 ne usiamo uno di 3. Infatti, per trasformarsi, diciamo, in 777.777, gli basta essere moltiplicato per 21 (3*7): questo perch 37.037*3 = 111.111. La presentazione di questo trucco pu anche essere allungata moltiplicando il nostro 21 per 7, per 11, per 13 e per 37 (nellordine che preferite) ottenendo quindi il numero cercato. La combinazione con il nostro cavallo di battaglia, il trucco della cifra perduta, pu essere sempre fatta controllando che la Somma Interna presente sia pari a 9. Se non lo fosse, potete sempre rendere il numero divisibile per 9 con il sistema gi visto in precedenza e poi procedere come sappiamo. Il principio che sta alla base del trucco lo possiamo

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usare anche al rovescio, cio nel campo delle divisioni; senza renderlo troppo pesante, potreste chiedere tra i presenti del pubblico di scegliere un numero di 3 cifre, senza renderlo palese, e quindi di digitarlo in una calcolatrice due volte, ottenendo cos un numero di 6 cifre che non altro che quello di partenza moltiplicato per 1001. Adesso non resta che farlo dividere per 7, per 11 e per 13 (nellordine che vogliamo) per ritrovare il numero di partenza. Per rendere la cosa non scontata e far credere che stiamo eseguendo tutti i passaggi mentalmente possiamo chiedere, ai vari passaggi intermedi, quel la prima o lultima cifra, se un numero pari o dispari. Lunico limite di questo trucco che non ripetibile due volte davanti allo stesso pubblico.

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Qual il vostro numero fortunato? Normalmente ognuno di noi si sente pi attratto da un numero piuttosto cha da un altro a seconda delle esperienze avute nel passato: il numero dellautobus giornaliero, il numero di maglia nella squadra del quartiere, una vincita al super enalotto, il numero di matricola universitaria etc. Anche io ho un numero prediletto a cui sono legato sentimentalmente, ma per il fine perseguito da questa parte del libro ve ne presenter un altro e mi auguro che questo diventi fortunato anche per voi: il 37. Sapete che ogni numero di 3 cifre composto da cifre tutte uguali tra loro, tipo 777, se viene diviso per la somma delle sue cifre d sempre 37? Proviamo: 7+7+7 = 21 e 777/21 d? 37! Forse un caso fortunato, proviamone un altro: prendiamo 555; 5+5+5 = 15 e 555/15 d? 37! Il trucco da imparare un altro: viene richiesto al pubblico un numero a 3 cifre e ci impegniamo a trasformarlo in un altro, ma a 6 cifre, che sia divisibile per 37. Per esempio, prendiamo il numero 529; una volta che ci hanno proposto questo numero non dob-

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biamo fare altro che portarlo al pi vicino numero di 3 cifre con le tre cifre tutte uguali, in questo caso 666 o 777 o quello che preferite, e porre tale differenza proprio accanto a 529: 777-529 = 248, quindi il nostro numero 529.248. Questo numero a 6 cifre divisibile per 37, infatti 529.248/ 37 = 14.304. Ma attenzione: avreste potuto mettere il 248 anche davanti al 529; infatti, anche 248.529 divisibile per 37: se provate a farlo troverete che d 6717. Notevole, non c che dire. Ma le sorprese non sono tutte qua. Riprendiamo lesempio precedente: abbiamo visto che, dato il numero iniziale 529, possiamo ricavarci un altro numero che ci consente di ottenerne un altro a 6 cifre che sia divisibile per 37; adesso vi far vedere come sia possibile crearsene uno anche di 9 cifre e con grande facilit. Se prendiamo il 777 come riferimento abbiamo visto che il complementare che ci serve 248; se avessimo scelto 888, sarebbe stato 888-529 = 359 etc. Se adesso prendiamo il 248 e lo spezziamo in due parti qualunque di tre cifre ciascuna, tipo 135 e 113, possiamo prendere queste due parti e costruirci il numero a 9 cifre che ci far fare un vero figurone con i nostri amici: infatti, il numero 135.529.113 divisibile per 37! Se non ci credete, provate e otterrete 3.662.949. Ora, provate da soli a costruirvi il vostro numero a 9 cifre utilizzando il complementare a 888.

aggIustatEQuesto trucco servir a dimostrare la vostra abilit nelle divisioni per 9 di numeri a 6 o pi cifre. Per riuscirci sufficiente chiedere al pubblico un numero di 6 cifre; supponiamo che sia 653.914, ci facciamo rapidamente il conto della sua Somma Interna (semplificando 9 e tutto quello che somma 9 otteniamo 1) e calcoliamo quanto manca a renderlo a Somma Interna pari a 9 (in questo caso 9-1 = 8). A questo punto possiamo annunciare che semplicemente aggiungendo una cifra al numero che ci hanno fornito lo renderemo divisibile per 9. Questo numero ovviamente un 8 e possiamo sbilanciarci dicendo che possiamo inserirlo ovunque desideri la persona del pubblico che ci ha fornito il numero iniziale: allinizio, in coda o nel mezzo! Ma c dellaltro: quando avrete fatto sufficiente pratica, potrete andare oltre promettendo di inserire due cifre per rendere il numero divisibile per 9! Naturalmente la loro somma dovr essere pari alla distanza da 9 della Somma Interna del numero fornito dal pubblico e la posizione in cui inserirete questi due numeri non avr alcuna influenza sul risultato finale.

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Attenzione: questo esercizio molto semplice perch si promette di trasformare un numero qualunque in uno divisibile per 9, ma non diremo mai quanto il risultato di questa divisione. A noi basta che, dopo linserimento di una o due cifre, il risultato della divisione, eseguita su una calcolatrice dal pubblico, sia un numero intero. Riprendiamo lesempio iniziale e concludiamolo: abbiamo visto che il numero iniziale, 653.914, ha Somma Interna pari a 1 e che, quindi, dobbiamo inserire un 8 in un posto qualunque; facciamo scegliere al pubblico dove inserirlo e otteniamo, per esempio, 6.538.914 che, diviso 9, d 726.546: la divisione senza resto, come previsto. Se avessimo voluto inserire due cifre sarebbe cambiato poco per noi: la loro somma deve dare comunque 8; supponiamo di voler inserire 5 e 3. Costruiamo quindi il numero 56.539.143, piazzando le due cifre in testa e in coda, e la divisione per 9 dar 6.282.127, altro risultato senza resto. Va detto, anche se sembra scontato, che se il numero dato fosse gi a Somma Interna pari a 9, sar sufficiente aggiungere un altro 9 oppure uno 0 per poter procedere con il trucco.

sPIccIoLIQuello che andremo a spiegare non un trucco numerico; esso funziona su un principio che non neanche matematico ed stato inserito per diversificare un po il vostro repertorio di mate-maghi. Si tratta di fare una scommessa con un amico o con una persona del pubblico e largomento sono gli spiccioli che normalmente ognuno si porta in tasca; prima vediamo come funziona il gioco e poi prepariamo la presentazione. Dunque, alla persona che vogliamo impressionare dichiariamo: Scommetto che in tasca ho tanti spiccioli quanti ne hai tu, pi (per esempio) 50 centesimi di extra, pi quanto serve per portare i tuoi spiccioli a (per esempio) 2,35 Euro. Per essere sicuri che tutti abbiano capito bene dobbiamo ripetere la scommessa scandendo bene le parole. Facciamo dunque mettere sul tavolo gli spiccioli della persona che accetta la scommessa e li contiamo: supponiamo che abbia 1,42 Euro composti da 2 monete da 50 centesimi, 2 da venti centesimi e una da 2 centesimi. A questo punto, tiriamo fuori i nostri e li teniamo ben separati dai suoi. Ora mettiamo da parte 2 monete da 50 centesimi, 2

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da 20 centesimi e una da 2 centesimi (cos da pareggiare i suoi 1,42 Euro), pi unaltra da 50 centesimi di extra come promesso (e siamo a 1,92 Euro), pi altre 2 da 20, una da 2 e una da 1 centesimo per arrivare ai 2,35 Euro della scommessa (0,43+1,92 = 2,35). Abbiamo vinto la scommessa! Ma dove sta il trucco, direte voi? Il trucco sta nel modo in cui ponete la scommessa e nel fatto che in tasca voi avete una cifra, che dovete conoscere, e da cui potete togliere la quantit extra per la scommessa. Supponiamo che in tasca voi abbiate 3,20 Euro; potete allora esporre la scommessa cos: Scommetto che in tasca ho tanti spiccioli quanti ne hai tu, pi 20 centesimi di extra, pi quanto serve per portare i tuoi spiccioli a 3,00 Euro. Le uniche condizioni necessarie e sufficienti affinch il trucco funzioni sono: avere questi spiccioli composti da varie monete (per muoversi bene nei conteggi della scommessa) e trovare una persona con meno spiccioli di voi; sulla prima condizione non ci sono grandi difficolt, dato che potete prepararvi il set di spiccioli in anticipo e con comodit, e sulla seconda baster esordire chiedendo a qualcuno se, per caso, si trova in tasca pi di 3 Euro di spiccioli (generalmente non succede), e se risponde affermativamente gli direte di prenderne solo un po. Da qua in poi sapete come funziona il gioco. Mi raccomando: scegliete bene la posta in gioco e non mischiate i vostri spiccioli con i suoi!

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Il prossimo trucco si basa su un principio logico e non esclusivamente numerico. Per quanti di voi non hanno mai avuto esperienze con la logica, pu essere una maniera divertente per cominciare. Ma non preoccupatevi, non ci sar niente di difficile da apprendere: il trucco viene bene anche senza sapere assolutamente niente di logica e sar sufficiente saper contare sulle dita fino a 3 per stupire il vostro pubblico! Per eseguire il numero servono 3 oggetti di piccole dimensioni, di quelli che si trovano comunemente nei salotti di tutti, come un fermacarte o un taccuino o un accendino o un qualunque soprammobile facilmente maneggiabile. Una volta reperiti i 3 oggetti in questione, li mettiamo su un tavolo, ben allineati come se ci fossero delle posizioni numerate; in effetti, la loro disposizione ci sar fondamentale per la buona riuscita del trucco. A questo punto invitiamo una persona del pubblico a sedersi al tavolo e a concentrarsi su uno degli oggetti mostrati mentre noi le volteremo le spalle; quando avr deciso quale preferisce, lo comunicher soltanto al pubblico in sala e potr cambiare la po-

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sizione degli altri 2 oggetti senza dirci alcunch. Da questo momento in poi, potr continuare a scambiare le posizioni di 2 oggetti alla volta, quante volte vorr, con lunico vincolo di dirci quali posizioni sta scambiando. Facciamo subito un esempio: ammettiamo che il fermacarte sia in posizione 1, il taccuino in posizione 2 e laccendino in posizione 3 e che loggetto scelto sia il taccuino. In questo caso, al primo scambio verranno invertite le posizioni 1-3, ma non ci verr detto niente. Dal secondo scambio in poi ci deve essere comunicata ogni doppia variazione, per esempio 2-3 o 1-2 etc. Quando sar stato effettuato lultimo scambio, ci verr detto stop, noi ci gireremo e con un rapido colpo docchio sapremo dire esattamente quale era loggetto scelto dalla persona del pubblico. Se tutto chiaro riguardo a come si deve svolgere il numero, possiamo andare a mostrare come funziona. Dopo aver spiegato cosa fare alla persona del pubblico, gireremo le spalle al tavolo, memorizzeremo loggetto in posizione 1 (che abbiamo supposto essere il fermacarte) e metteremo lindice destro sul pollice destro senza farci notare. Dal secondo scambio in poi dovremmo prestare attenzione a quali posizioni vengono coinvolte: se sentiremo chiamare 1-2 cambieremo lindice col medio e ci concentreremo sulla

posizione 2, se sentiremo 1-3 cambieremo lindice con lanulare e aspetteremo il prossimo spostamento della posizione 3. In questo modo seguiremo i vari passaggi del nostro oggetto prescelto cambiando le dita sul pollice. Quando ci daranno lo stop andremo a vedere quale dito sul pollice: supponiamo sia lindice. Guarderemo la tavola e ci troveremo di fronte a due possibili situazioni soltanto: nella posizione 1 (ricordate che sul pollice abbiamo trovato lindice) c il fermacarte come allinizio, oppure c un altro oggetto; nel primo caso potremo dire senza indugio che il fermacarte proprio loggetto scelto dalla persona del pubblico. Nel secondo caso sapremo per certo che n il fermacarte n loggetto attualmente in posizione 1 sono loggetto prescelto, ma laltro. In altre parole, se al posto del fermacarte in posizione 1 c il taccuino, significa che era stato scelto laccendino. Spiegare esattamente il principio su cui si basa questo trucco sarebbe un po lungo e per alcuni neanche molto interessante; vi basti sapere che la cosa che fa funzionare il tutto il fatto che al primo passo si cambiano le posizioni degli altri due oggetti; il resto viene da s. Quando sarete in grado di eseguire il trucco con disinvoltura, potrete misurarvi con una piccola variante: al momento dello stop non vi girerete nemmeno a guardare, chiederete la posizione attuale degli oggetti

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e, in base a quella di partenza che avrete memorizzato, saprete dire ugualmente qual loggetto prescelto. Prima di concludere, voglio darvi un ultimo consiglio: spiegate bene alla persona del pubblico come effettuare i cambi di posizione, magari facendolo direttamente voi, e come chiamare le posizioni coinvolte, altrimenti non sarete in grado di seguire correttamente gli spostamenti.

tabELLInEsuLLE dIta

Quanto andremo a illustrare pu essere sfruttato solamente per numeri dedicati ai bambini o a chi non ha assolutamente confidenza con la matematica. Infatti si tratta di costruirsi (o ricostruirsi) le tabelline, da quella del 6 a quella del 9 comprese, sulle dita delle due mani. La condizione necessaria e sufficiente per riuscire nellapplicazione di questi due m

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