Corso di Fisica per Agraria

Esercitazione 11 Argomenti: essiccazione e trasmissione del calore

ú Per essiccare un lotto di granella si devono fare evaporare 600 kg di acqua. Se l’essiccatoio funziona a gasolio, trascurando le dispersioni, quanto combustibile è necessario per ogni lotto ?

Soluzione

Q = m CLE = 1380 MJ

Volume gasolio = 1380 MJ / 42 MJ/kg = 33 L

ú Si vogliono essiccare 100 kg di erbe officinali con un’umidità relativa iniziale del 70% fino a raggiungere un’umidità del 20%. Calcolare l’energia necessaria per il processo.

Soluzione

mw1 = 0.7· 100 = 70 kg acqua (u = 70%)

msecca = 30 kg

(mw2 + msecca )· 0.2 = mw2 (u = 20%)

mw2 = 0.2/0.8· msecca = 7.5 kg

? m = 62.5 kg

L = 2,3 MJ/kg

ET = m L = 144 MJ

ú Problema 20

Una serra riscaldata con dimensioni 4 x 15 x 3 m (approssimiamo con un parallelepipedo) è costruita in vetro semplice di spessore s=5 mm. Qual è l’energia necessaria per mantenere una temperatura interna di 18 °C, quando quella esterna è in media di 3 °C. Supponendo che il riscaldamento a gasolio sia attivato durante 5 mesi invernali nel solo periodo notturno (10 h/d in media), quanto è il consumo annuale di gasolio (Potere calorifico del Gasolio Pcg = 42 MJ/kg; efficienza termica del bruciatore approssimato ad 1) ?

Confrontare il consumo con il caso di serra con copertura in vetro doppio con camera d’aria (3mm + 9mm + 3mm). Conducibilità termica Aria = 0,02 W / m⋅K Conducibilità termica Vetro = 1 W / m⋅K

Metodo di soluzione:

a) Superficie dissipante = superficie laterale + superficie superiore b) Potenza termica dissipata = coeff. conduzione ⋅ superficie ⋅ salto termico /

spessore

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c) Calore necessario = Potenza termica dissipata ⋅ tempo d) massa combustibile = calore necessario / potere calorifico

Soluzione: S = 2 ⋅ 3 ⋅ 15 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 15 ⋅ 4 = 174 m2 Pt= k S ? T / s = 1 W/mC· 174 m2 · 15°C / 5 10-3 m = 522 kW (svetro5mm / kvetro = 0.005 m2°C/W) t= 5 ⋅ 30 ⋅ 10 ⋅ 60 ⋅ 60 = 5,4 ⋅ 106 s Q = Pt ⋅ t = 2,8 ⋅ 1012 J mg = Q/ Pcg = 67 ⋅ 103 kg !!! (nessuno userebbe una serra riscaldata cosi’) svetro doppio / kvetro doppio = svetro / kvetro + saria / karia + svetro / kvetro

= 0.45 m2°C/W kvetro doppio = 0,04 W/m°C svetro doppio = 15 mm Pt = 0,04 W/m°C * 174 m2 * 15°C / 15 10-3 m = 7 kW Q = Pt ⋅ t = 3,7⋅1010 J mg = Q/ Pcg = 880 kg

ú In una serra fredda di 16 m2, in una giornata d'inverno con temperatura esterna (Te) di 2° C, a mezzo giorno si ha una potenza termica dovuta all'irraggiamento solare che si stima pari a PT = 1500 W.

Noti i valori delle costanti riportate in calce si calcoli la temperatura di equilibrio dell'aria all'interno della serra nei tre casi: 1 vetro, 2 vetri, 2 vetri che confinano una camera d'aria di 1 cm (doppivetri).

k vetro = 1 Wm-1K-1 conducibilità termica vetro

k aria = 0.023 Wm-1K-1 conducibilità termica aria secca

sv = 4 mm spessore di 1 vetro

sa = 10 mm spessore camera d'aria

S = 50 m2 superficie vetrata della serra

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Svolgimento

All'equilibrio abbiamo che la potenza termica trasferita attraverso le vetrate sarà uguale alla potenza termica che riscalda la serra ovvero al riscaldamento dovuto alla radiazione solare.

1) La potenza trasferita attraverso ad un vetro singolo risulta:

PT = S· kv· (Ti–Te)/sv

da cui la temperatura interna (Ti) risulta:

Ti = sv PT / S·kv + Te = 0.004· 1500/(50· 1) + 2 = 2.12 °C

2) Nel caso con due vetri accoppiati senza aria tra di essi si ha la stessa equazione in cui però il vetro risultante ha spessore doppio da cui:

Ti = 2· sv PTc / S·kv + Te = 0.008· 1500/(50· 1) + 2 = 2.24 °C

3) Nell'ultimo caso abbiamo un trasferimento tra materiali differenti, non possiamo semplicemente aumentare lo spessore del vetro, ragioniamo quindi come segue. La potenza termica che attraversa i 3 strati è la medesima, possiamo quindi scrivere:

PT = S· kv· (Ti–T1)/sv

PT = S· ka· (T1–T2)/sa

PT = S· kv· (T2–Te)/sv

dove T1 e T2 sono le temperature di equilibrio che si hanno sulle superfici dei vetri rivolte alla camera d'aria come da figura. Risolvendo la prima equazione per T1 , la seconda per T2 e la terza per Te otteniamo:

T1 = Ti – sv · PT / (S·kv ) = Ti – ? T1

T2 = T1 – sa· PT / (S·ka) = T1 – ? T2

Te = T2 - sv · PT / (S· kv) = T2 – ? T3

Le tre equazioni mostrano quindi come la temperatura della parte più esterna (più fredda) sia pari a quella interna (più calda) meno una quota ? T che dipende dal materiale, dalla superficie e dalla potenza termica.

Combinando le equazioni ed esplicitando Ti possiamo quindi scrivere:

Ti = Te + ? T1 + ? T2 + ? T3 =

ovvero la differenza totale di temperatura tra dentro e fuori è la somma delle differenze di temperatura. Tornando ai termini esplicitati:

Ti = Te + sv· PT/(S·kv ) + sa · PT/(S·ka) + sv· PT/(S·kv ) =

= 2 + 2· 0.004· 1500 / (50· 1) + 0.01· 1500 / (50· 0.023) = 2 + 0.24 + 13.0 =

= 15.24 °C

L'incremento termico + dovuto per la quasi totalità dalla camera d'aria.

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Facoltativo: note teoriche spiegate solo parzialmente all'esercitazione

Rivedendo l'equazione precedente osserviamo che:

Ti - Te = ? T1 + ? T2 + ? T3 = PT / S· somma(sj/kj)

Esplicitando i termini possiamo anche scrivere l'equazione precedente come:

Ti - Te = sv· PT/(S·kv ) + sa · PT/(S·ka) + sv· PT/(S·kv )

quindi se mettiamo a sistema i termini s/k abbiamo:

Ti - Te = PT/S· (sV/kV + sa/ka + sV/kV)

e quindi:

PT = S· 1/(sV/kV + sa/ka + sV/kV) · (Ti - Te)

L'equazione scritta è identica all'equazione della trasmissione di calore per un singolo strato di materiale dove però al posto del termine k/s si trova un termine composto dalle caratteristiche dei diversi materiali. Possiamo chiamare resistenze termiche i termini "s/k", infatti più alto è s e più piccola è k (la conducibilità) più i due lati del materiale sono "termicamente isolati". Risulta logico quindi che la resistenza totale sia la somma delle tre resistenze e quindi che, in generale, quando si abbiano n strati di materiale:

RTeq = RT1 + RT2 + … + RTn

ovvero:

seq/keq = s1/k1 + s2/k2 + …+ sn/kn

Quella esplicitata al lato sinistro dell'uguale è una resistenza equivalente, calcolata come somma delle singole resistenze, e che corrisponde ad un materiale equivalente con una k equivalente e spessore pari alla somma degli spessori.

Alla luce di questo possiamo scrivere l'equazione generale per pacchetti di materiali:

PT = S· keq/seq · (Ti - Te)

dove: keq/seq = 1 / (s1/k1 + s2/k2 + …+ sn/kn)