TRASMISSIONE DEL CALORE - univpm.it · TRASMISSIONE DEL CALORE In Termodinamica il calore è stato...

TRASMISSIONE DEL CALORE

In Termodinamica il calore è stato definito come quella forma di energia scambiata con l’ambiente nel passaggio da uno stato di equilibrio ad un altro. Lo scambio di calore, attraverso il confine del sistema, è conseguenza di una differenza di temperatura ed avviene nel rispetto del principio di conservazione dell’energia. In particolare:

• Il Primo Principio della Termodinamica stabilisce che il calore scambiato è uguale alla variazione dell’energia del sistema.

• Il Secondo Principio stabilisce che il calore si propaga nella direzione delle temperature decrescenti.

La termodinamica non fornisce esplicite informazioni sulle modalità del processo di scambio durante la fase transitoria e sul valore dell’energia termica scambiata nell’unità di tempo, ovvero sul flusso termico q.

Lo studio dei fenomeni termici che accompagnano la propagazione del calore ed il calcolo del calore scambiato nell’unità di tempo, costituiscono l’obiettivo fondamentale della Trasmissione del Calore.

FLUSSO TERMICO

Il flusso termico q è definito come l’energia termica scambiata Q nell’intervallo di tempo Δτ. Le dimensioni nel SI sono quelle di un’energia diviso un tempo, ovvero J s -1 = W

τΔ=

Qq (J s -1 = W) passando al limiteτττ d

dQQq =Δ

=→Δ 0

lim da cui

∫=2

112 τqdQ (J)

Torna utile considerare il flusso termico scambiato riferito ad una superficie unitaria. In questo caso si parla di flusso termico specifico .Il flusso termico specifico viene indicato con q*. L’unità di misura nel sistema SI sono W m-2.

AQq =* (W m-2)

q = 24 W

A = 6 m

2

2 m

3 m

q* = 4 W m-2

Modalità di trasmissione del calore

Conduzione Termica È il meccanismo di scambio termico che si attua in un mezzo solido, liquido o aeriforme, dalle regioni a temperatura maggiore verso quelle a temperatura minore. Nei gas e nei liquidi è dovuta alle collisioni tra le molecole durante il loro moto; nei solidi è dovuta alla vibrazione delle molecole all’interno del reticolo ed al trasporto di energia da parte degli elettroni liberi.

La quantità di calore scambiata dipende dalla geometria e dalle caratteristiche del corpo così come dalla differenza di temperatura.

Per esempio in condizioni stazionarie (temperatura che non varia nel tempo) il flusso scambiato attraverso una grande parete piana di spessore L ed area A, soggetta alla differenza di temperatura ΔT= T1 -T2 con T1 > T2, raddoppia al raddoppiare della differenza di temperatura e al raddoppiare dell’area della sezione normale alla direzione del flusso, mentre si dimezza al raddoppiare dello spessore L.

q

A

L

T1 T2

L

T1

T2

q

( ) ( )spessore

ra temperatudi differenzasuperficiedella area termicoflusso ⋅∝

AA


Conduzione Termica La proporzionalità può essere tolta considerando la natura del materiale, ovvero introducendo la conducibilità termica λ definita come la capacità del materiale a condurre calore.

Δx

T1

T2

q xTAq

ΔΔ

−= λxTAq

x ΔΔ

−=→Δ

λ0

lim

dxdTAq λ−=

dxdTq λ−=*

dx

q

T1

T2

1 m

30°C

20°C

q* = 4010 W m -2

Rame

λ = 401 W m -1 K -1

1 m

30°C

20°C

Silicio

λ = 148 W m -1 K -1

q* = 1480 W m -2

Postulato di FOURIER

dxdTAq λ−=

L’espressione è nota come postulato di Fourier. L’espressione è valida allo stato stazionario per un mezzo omogeneo ed isotropo e nel caso in cui lo scambio termico sia monodimensionale (nel caso dell’espressione nella direzione x).

• A Area della sezione perpendicolare alla direzione dello scambio termico

• λ Conducibilità termica. È definita come il flusso termico che si trasmette attraverso uno spessore unitario del materiale per unità di superficie e per una differenza di temperatura unitaria. Le unità di misura nel SI sono W m-1 K-1 o W m-1 °C-1

• dT/dx Gradiente di temperatura. Rappresenta la variazione di temperatura nella direzione di propagazione del calore. Dato che il calore fluisce da zone a temperatura maggiore verso zone a temperatura minore, il gradiente è negativo per valori crescenti di x. È necessario introdurre il segno - per avere il flusso termico positivo nella direzione considerata

T

tan α = dT/dx

P

x


Convezione Termica È il meccanismo di scambio termico caratteristico dei fluidi dove al trasporto del calore per conduzione è associato il trasporto di massa ovvero movimenti di parti di fluido che modificano sostanzialmente lo scambio termico rispetto alla semplice conduzione termica.

Per esempio, il trasferimento di energia tra una superficie solida ed il liquido o gas adiacente in movimento implica gli effetti combinati di conduzione tra la superficie e lo strato di fluido a contatto con essa ed il trasporto di massa all’interno del fluido.

conduzione

Trasporto di massa

La convezione può essere di due tipi:

•Convezione forzata

Il fluido è forzato a fluire sulla superficie da dispositivi esterni quali: ventilatori, pompe, vento, etc.

•Convezione naturale o libera

Il movimento del fluido è causato da forze di galleggiamento indotte da differenze di densità legate a variazioni di temperatura

Legge di Newton per la convezione

Il flusso termico q trasmesso per convezione è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura ed è espresso dalla legge di Newton dove:

)( ∞−= TThAq s

A : area della superficie interessata allo scambio termico (m2)

Ts : temperatura della superficie (K)

T∞ : temperatura del fluido a distanza sufficientemente grande dalla superficie (K)

h : coefficiente di trasmissione del calore per convezione (Wm-2K-1). È un parametro determinato sperimentalmente il cui valore dipende da tutte le variabili che influenzano la convezione quali la geometria della superficie, la natura del moto, le proprietà e la velocità del fluido.

Tipo di convezione h (W m-2 K-1)

Convezione naturaledei gas

2 ÷ 25

Convezione naturaledei liquidi

10 ÷ 1000

Convezione forzatadei gas

25 ÷ 250

Convezione naturaledei liquidi

50 ÷ 20 000

Ebollizione econdensazione

2 500 ÷ 100 000


Irraggiamento termico È l’energia emessa sotto forma di onde elettromagnetice (o

fotoni) a seguito di modificazioni nelle configurazioni elettroniche elettroniche degli atomi o delle molecole.

La trasmissione del calore per irraggiamento non richiede, al contrario della conduzione e della convezione, la presenza di un mezzo interposto ed avviene alla velocità di propagazione della luce.

Nel caso della trasmissione del calore interessa l’irraggiamento termico, ovvero la radiazione emessa dai corpi a causa della loro temperatura.

A

Legge di Stefan-Boltzmann

4*

4

Tq

ATq

n

n

σ

σ

=

=W

W/m2

Tutti i corpi ad una temperatura superiore a 0 K emettono una radiazione termica il cui massimo, per la data temperatura, si ha per un corpo ideale detto corpo nero.

Il flusso termico emesso qn è dato dalla legge di Stefan-Boltzmann

q

Superfici reali

4

4

* Tq

ATq

εσ

εσ

=

= W

W/m2


Irraggiamento termico

Nel caso di una superficie reale il flusso emesso è inferiore a quello emesso dal corpo nero alla stessa temperatura. Si tiene conto di questo introducendo nell’espressione di Stefan-Boltzmann l’emissività ε della superficie. L’emissività 0 ≤ ε ≤ 1 è una misura di quanto una superficie differisce da un corpo nero per il quale ε = 1.

A, TS, ε

TC

Nel caso di due superfici, separate da un gas,(es. aria) che nonpartecipa allo scambio termico, di emissività ε, di area A e temperatura Ts completamente contenuta nell’altra di area molto più grande ( o nera), a temperatura Tc, il flusso netto scambiato è dato da:

( )44CS TTAq −= εσ

Nel forno a microonde il cibo cuoce assorbendo l’energia elettromagnetica generata dal tubo a microonde (magnetron). La radiazione non è una radiazione termica, ovvero non èdovuta alla temperatura del tubo, ma alla conversione dell’energia elettrica in una radiazione elettromagnetica avente una ben precisata lunghezza d’onda. La lunghezza d’onda della radiazione è tale da essere riflessa dalle superfici metalliche, trasmessa dai tegami di vetro, ceramica o plastica ed assorbita e convertita in energia interna dalle molecole del cibo; in particolare dall’acqua dallo zucchero e dal grasso.


Le modalità di trasmissione del calore sono tre, ma possono non essere contemporaneamente presenti. Per esempio:

Si ha trasmissione del calore solo per conduzione

Solidi opachi

Solido opaco

Conduzione

Si ha trasmissione del calore per conduzione ed irraggiamento

Solidi semitrasparenti

Si ha trasmissione del calore per conduzione ed eventualmente per irraggiamento

Fluido in quiete

Si ha trasmissione del calore per convezione ed irraggiamento

Fluido in movimento

Gas

Conduzione o

Convezione

Irraggiamento

Vuoto

Irraggiamento

T1

T1

T1

T2

T2

T2

Si ha trasmissione del calore solo per irraggiamento

Vuoto

Conduzione Termica

Lo studio dello scambio termico per conduzione all’interno di un mezzo, comporta la conoscenza delladistribuzione di temperatura, ovvero la conoscenza della funzione T(x,y,z,τ). Questa funzione puòessere ottenuta dalla risoluzione dell’equazione generale della conduzione, che esprime il bilancio dienergia in un mezzo sede di propagazione di calore.Il bilancio energetico viene impostato su un generico elemento infinitesimo individuato all’interno delmezzo.Si consideri un generico volume infinitesimo dV di spigoli dx, dy, dz e si assuma che:

1. il mezzo sia costituito da un solido opaco a baricentro fermo con proprietà fisiche definite edindipendenti dal tempo τ;

2. le variazioni di volume, conseguenti alle variazioni di temperatura, sono trascurabili in confronto alvolume stesso. Quindi, il lavoro scambiato con l’esterno sia trascurabile, δL = 0;

3. all’interno del volume dV il calore generato nell’unità di tempo e di volume, sia espresso dallafunzione g(x,y,z,τ) le cui unità di misura nel sistema S.I. sono Wm-3.

L’equazione generale della conduzione si ricava applicando al volume considerato il primo principiodella termodinamica che, nelle ipotesi fatte, diventa:

dQ = dU

Ovvero:

Il calore netto scambiato + calore generato = variazione di energia(calore entrante - calore uscente) all’interno del volume interna

x

Qy

Qx Qx+dx

y

z

dx

dy

dz

Qy+dy

Equazione generale della conduzione

τddzdyqQ xx ⋅⋅⋅= *

τ∂

∂τ ddzdydxx

qqddzdyqQ xxdxxdxx ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅⋅⋅= ++

***

τ∂

∂τ∂

∂ ddVx

qddzdydxx

qQQ xxdxxx ⋅−=⋅⋅⋅−=− +

**

τ∂

∂τ

∂∂

ddVy

qddzdydx

yq

QQ yydyyy ⋅−=⋅⋅⋅−=− +

**

τ∂

∂τ∂

∂ ddVz

qddzdydxz

qQQ zzdzzz ⋅−=⋅⋅⋅−=− +

**

dVdTcdUdU τ∂τ∂ρτ

∂τ∂

==

τddVgQg ⋅⋅=dove

q* flusso specificog calore generato

nell’unità di tempo e di volumeV volumeρ densitàτ tempo


dVTcddVgddVz

qddVy

qddV

xq zyx

∂τ∂ρττ

∂∂τ

∂∂

τ∂

∂=⋅⋅+⋅−⋅−⋅−

***

∂τ∂ρ

∂∂

∂∂

∂∂ Tcg

zq

yq

xq zyx =+−−−

***

sostituendo

Dal momento che consideriamo lo stesso volume, possiamo scrivere:

Sostituendo ai flussi specifici l’espressione di Fourier si ha:

∂τ∂ρ

∂∂λ

∂∂

∂∂λ

∂∂

∂∂λ

∂∂ Tcg

zT

zyT

yxT

x=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

per mezzi isotropi ed omogenei, l’equazione precedente diventa:

∂τ∂ρ

∂∂

∂∂

∂∂λ Tcg

zT

yT

xT

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 2

2

2

2

2

2


dividendo tutto per ρc

∂τ∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

ρλ T

cg

zT

yT

xT

c=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 2

2

2

2

2

2

postoc

aρλ

=

∂τ∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂ T

cg

zT

yT

xTa =+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 2

2

2

2

2

2

∂τ∂

ρT

cgTa =+∇2

Equazione generale della conduzione: Casi particolari

Caso monodimensionale

∂τ∂

ρ∂∂ T

cg

xTa =+2

2

Caso monodimensionalesenza generazione interna di calore (g=0)Equazione di FOURIER ∂τ

∂∂

∂ Tx

Ta =2

2

Caso monodimensionaleallo stato stazionarioEquazione di POISSON

02

2

=+c

gx

Taρ∂

∂

Caso monodimensionaleallo stato stazionario e senza generazione di caloreEquazione di LAPLACE

02

2

=x

T∂∂

Soluzione dell’equazione di LAPLACE

20°C

20°C

20°C

20°C

20°C16°C

16°C

16°C

16°C

16°C

-1.6 °C

-1.6 °C

-1.6 °C

-1.6 °C

-1.6 °C

-1.6 °C

-1.6 °C

-1.6 °C

02

2

=dx

Td

( ) 0=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

dxxdT

dxd ( )

1cdx

xdT=

( ) dxcxdT 1= ( ) 21 cxcxT +=

Conducibilità Termica

La conducibilità termica λ indica la capacità di un materiale a condurre il calore. Per esempio a temperatura ambiente il rame ha λ = 401 W/(m K), mentre l’acqua ha λ = 0.613 W/(m K). Il rame conduce il calore quasi 1000 volte più dell’acqua, per questo motivo si dice che è un buon conduttore termico, mentre l’acqua è un cattivo conduttore termico pur essendo un mezzo eccellente per accumulare calore. Infatti il calore specifico dell’acqua è cp = 4.186 kJ/(kg K), mentre per il rame è cp = 0.385 kJ/(kg K)

Materiale λ W/(m K)Diamante 2300Argento 429Rame 401Oro 317Alluminio 237Ferro 80.2Mercurio (l) 8.54Vetro 0.78Mattone 0.72Acqua (l) 0.613Legno 0.17Gomma 0.13Fibra di vetro 0.043Aria 0.026Polistirene espanso 0.036

Corso di Fisica Tecnica Prof. Massimo Paroncini

Scambio termico per conduzione

Il caso della lastra piana



Caso monodimensionale ∂τ∂

ρ∂∂ T

cg

xTa =+2

2

Caso monodimensionale senza generazione interna di calore (g=0): Equazione di FOURIER ∂τ

∂∂

∂ Tx

Ta =2

2

Caso monodimensionale allo stato stazionario:Equazione di POISSON

02

2

=+c

gx

Taρ∂

∂

Caso monodimensionale allo stato stazionario e senza generazione di calore: Equazione di LAPLACE 02

2

=x

T∂∂

∂τ∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂ T

cg

zT

yT

xTa =+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 2

2

2

2

2

2


Soluzione con condizioni del I° tipo:

x

T

0 L

Imporre condizioni del primo tipo vuol dire imporre:

• x = 0 T(0) = T1

• x = L T(L) = T2

con T1>T2

⇒= 02

2

dxTd Inserisco le

condizioni al contorno

⇒= 1CdxdT

21)( CxCxT +⋅=



⇒=+⋅= 221)( TCLCLT

12121 0)0( TCTCCT =⇒=+⋅=

121)( Tx

LTTxT +⋅

−−=

xL

TTTxT ⋅−

−= 211)(

⇒+⋅= 112 TLCTL

TTC 211

−−=


Soluzione con condizioni del I°tipo:

xL

TTTxT ⋅−

−= 211)(

x

T

0 L

T1

T2


Resistenza termica

Postulato di Fourier:

dxdTq ⋅−= λ*

xL

TTTxT ⋅−

−= 211)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=L

TTq 21* λ

λL

TTq 21* −=

RESISTENZA TERMICA SPECIFICA PER CONDUZIONE⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=

WmKLRk

2

λ


Soluzione con condizioni del I° tipo: adimensionalizzazione

xL

TTTxT ⋅−

−= 211)( 22

211)( TTx

LTTTxT −+⋅

−−=

( ) ( )LxTTTTTxT ⋅−−−=− 21212)(

( ) Lx

TTTxT

−=−

− 1)(

21

2

( ) Lxx

TTTxTT =∧

−−

= *)(*21

2

Temperatura

adimensionale

Lunghezza

adimensionale*1* xT −=


Soluzione con condizioni del I° tipo: adimensionalizzazione

*1* xT −=

x*

T*

0 1

1

1*0* =⇒= Tx

0*1* =⇒= Tx


Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:

x

T

0 L

qk* qc*

h , T∞Condizione al contorno del I° tipo:

Condizione al contorno del III° tipo:

cLxk qqLx ** =⇒==

1)0(0 TTx =⇒=

21)( CxCxT +⋅=( )[ ]∞

=

−⋅=⋅− TLThdxdT

Lx

λ

12121 0)0( TCTCCT =⇒=+⋅=



1CdxdT

Lx

==

( )[ ]∞−⋅=⋅− TLThC1λ

1121)( TLCCLCLT +⋅=+⋅=

( )∞−+⋅⋅=⋅− TTLChC 111λ ( ) ( )∞−⋅=⋅+⋅− TThLhC 11 λ

( ) ( )∞−⋅⋅+

−= TTLh

hC 11 λ

( ) ( ) 11)( TxTTLh

hxT +⋅−⋅⋅+

−= ∞λ


Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:Adimensionalizziamo:

( ) ( ) 11)( TxTTLh

hxT +⋅−⋅⋅+

−= ∞λ

( ) ( ) ∞∞∞ −++⋅−⋅⋅+

−= TTTxTTLh

hxT 11)(λ

( ) ( ) ( )∞∞∞ −+⋅−⋅⋅+

−=− TTxTTLh

hTxT 11)(λ



( ) ( ) 1)(

1

+⋅⋅+

−=−

−

∞

∞ xLh

hTT

TxTλ ( ) ( ) x

Lhh

TTTxT

⋅⋅+

−=−

−

∞

∞

λ1)(

1

( ) Lx

LhTT

TxT⋅

⋅+

−=−

−

∞

∞

λ1

11)(

1 ( ) Lxx

TTTxTTse =∧

−−

=∞

∞ *)(*1

*1

11* x

Lh

T ⋅

⋅+

−= λ?



hL ⋅λ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⋅=

KmWλ

[ ]mL =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅=

KmWh 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⋅⋅

⋅=

⋅ mWKm

KmW

hL12λ Numero

adimensionale


Numero di BiotBi

hL ⋅λ

h

L

1λ

( )∞−⋅= TThq*

( )

h

TTq 1* ∞−=

Legge di Newton

c

k

RR Resistenza termica unitaria

per conduzioneResistenza termica unitaria per convezione

Resistenza termica unitaria per convezione

λLh

RRBi

c

k ⋅==


Numero di Biot

λLh

RRBi

c

k ⋅== *11

11* x

Bi

T ⋅+

−=

A questo punto posso affermare che la mia distribuzione di temperatura dipende unicamente dal Numero di Biot.

*11

11* x

Bi

T ⋅+

−=( ) ⇒== 00* xx ( )11* TTT ==

( ) ⇒== Lxx 1*

Bi

T 11

11*+

−=


Numero di Biot

0→Bi ( )kck RRR >>→ 0

1. Se in un corpo la resistenza termica per conduzione è bassa vuol dire che è possibile ipotizzarlo come se fosse tutto alla stessa temperatura

2. Al suo interno non esistono gradienti termici: in una fase di transitorio termico si porterebbe rapidamente alla stessa temperatura

Ho due casi limite: 0→Bi ∞→Bi

MATERIALE PERFETTAMENTE CONDUTTORE

( )∞−=∧= TThqq ck 1*0* ⇒= 1*x

*11

11* x

Bi

T ⋅+

−=

1* ≈T

T(L)=T1


Numero di Biot

( )ckc RRR >>→ 0

Ho due casi limite: 0→Bi ∞→Bi

∞→Bi1. Se in un corpo la resistenza termica per conduzione è elevata vuol dire

che al suo interno esistono forti gradienti termici

2. Esiste un’elevata disomogeneità al suo interno

( )0** 1 =∧

−= ∞

ck qLTTq

λ

⇒= 1*x

*11

11* x

Bi

T ⋅+

−=

0* →T

T(L)=T∞MATERIALE PERFETTAMENTE ISOLANTE


Numero di Biot

T*

x*0 1

1

∞→Bi

0→Bi

0>>∞ Bi


Esempio

Materiale: Polistirene espanso

KmWhmL

KmW

⋅==

⋅= 21035,0035,0λ

210035,0

35,010=

⋅=

⋅=

λLhBi

Materiale: Parete reale

KmWhmL

KmW

⋅==

⋅= 21035,0087,0λ

40087,0

35,010≈

⋅=

⋅=

λLhBi


Strato composto con condizioni I° tipo

T0 T1 T2 T3

L1 L2 L3

q1 q2 q3

Con:

T0> T1> T2> T3

λ1> λ 2> λ 3

Allo stato stazionario avrò:

q1= q2= q3= q

AL

TTq

⋅

−=

1

1

101

λ AL

TTq

⋅

−=

2

2

212

λ AL

TTq

⋅

−=

3

3

323

λ



AL

TTq

⋅

−=

1

1

101

λA

LqTT⋅

⋅=−1

1110 λ

AL

TTq

⋅

−=

2

2

212

λA

LqTT⋅

⋅=−2

2221 λ

AL

TTq

⋅

−=

3

3

323

λA

LqTT⋅

⋅=−3

3332 λ

Sommando ho:

( ) ( ) ( )A

LqA

LqA

LqTTTTTT⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅=−+−+−3

33

2

22

1

11322110 λλλ



Sapendo che: q1= q2= q3= q

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅

+⋅

⋅=−A

LA

LA

LqTT3

3

2

2

1

130 λλλ

( ) ( )32130 RRRqTT ++⋅=−

( )( )321

30

RRRTTq++

−=



T0 T1 T2 T3

L1 L2 L3

q1 q2 q3

R1 R2 R3

( )

∑=

−= n

ii

n

R

TTq

1

0 ( )

∑=

−= n

ii

n

R

TTq

1

0

**

Scambio termico per conduzione

La geometria cilindrica


Caso monodimensionale ∂τ∂

ρ∂∂ T

cg

xTa =+2

2

Caso monodimensionale senza generazione interna di calore (g=0): Equazione di FOURIER ∂τ

∂∂

∂ Tx

Ta =2

2

Caso monodimensionale allo stato stazionario:Equazione di POISSON

02

2

=+c

gx

Taρ∂

∂

Caso monodimensionale allo stato stazionario e senza generazione di calore: Equazione di LAPLACE 02

2

=x

T∂∂

∂τ∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂ T

cg

zT

yT

xTa =+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 2

2

2

2

2

2


r1r2

L

Ipotesi di partenza:

1. Assenza di generazione interna di calore;

2. Materiale omogeneo ed isotropo;

3. Caso monodimensionale in direzione radiale;

4. Stato stazionario.

Equazione della conduzione in geometria cilindrica:

012

2

=⋅+drdT

rdrTd


r1r2

L

Imposto le condizioni al contorno:

1. r = r1 T(r1) = T1;

2. r = r2 T(r2) = T2;

con T1> T2

012

2

=⋅+drdT

rdrTd 01

=⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

drdT

rdrdT

drd

Ora poniamo:

UdrdT

= 0=+rU

drdU

rdr

UdU

−=


rdr

UdU

−= *lnln CrU +−= ( ) *ln CrU =⋅

*CerU =⋅ 1CrU =⋅ 1CrdrdT

=⋅

UdrdT

=

rdrCdT ⋅= 1 21 ln)( CrCrT +⋅=

11 )() TrTa =

22 )() TrTb =

12111 ln)( TCrCrT =+⋅=

22212 ln)( TCrCrT =+⋅=

Soluzione con condizioni del I° tipo

Sottraiamo la seconda dalla prima:

2

1121 ln

rrCTT ⋅=−

2

1

211

lnrrTTC −

=

1

2

211

lnrrTTC −

−=

Sostituiamo la C1 nella prima equazione:

21

1

2

212111 ln

lnln Cr

rrTTCrCT +⋅

−−=+⋅= 1

1

2

2112 ln

lnr

rrTTTC ⋅

−+=

1

1

2

211

1

2

21 lnln

lnln

)( r

rrTTTr

rrTTrT ⋅

−++⋅

−−=

Soluzione con condizioni del I° tipo

1

1

2

211

1

2

21 lnln

lnln

)( r

rrTTTr

rrTTrT ⋅

−++⋅

−−=

rr

rrTTTrT 1

1

2

211 ln

ln)( ⋅

−+=

1

1

2

211 ln

ln)(

rr

rrTTTrT ⋅

−−=

Equazione di distribuzione della temperatura

r

T

0

1

1

2

211 ln

ln)(

rr

rrTTTrT ⋅

−−=

r1

T1

r2

T2

Il flusso termico

Partiamo da Fourier:

drdTAq ⋅⋅−= λ

rCAq 1⋅⋅−= λ

1

1

2

211 ln

ln)(

rr

rrTTTrT ⋅

−−=

rCU

drdT 1==

1

2

211

lnrrTTC −

−=

LrA ⋅⋅⋅= π2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=

1

2

21

ln

12

rrTT

rLrq πλ

1

2

21

ln2

rrTTLq −

⋅⋅⋅⋅= πλ

Il flusso termico

1

2

21

ln2

rrTTLq −

⋅⋅⋅⋅= πλ

1

2

21

ln2

1rr

L

TTq

λπ ⋅⋅⋅

−=

1

2ln2

1rr

LRk λπ ⋅⋅⋅

=kRTTq 21 −

=

Definendo ora “Rk”come la

“resistenza termica conduttiva all’interno di uno strato cilindrico”:

Soluzione con condizioni del I° e III° tipo

r1r

L

T∞,h Rk Rc T∞T1

ck RRTTq

+−

= ∞1

hLrrr

L

TTq

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅

−= ∞

πλπ 21ln

21

1

1

Resistenza termica per convezione


hLrrr

L

TTq

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅

−= ∞

πλπ 21ln

21

1

1

hLrrr

LR

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=

πλπ 21ln

21

1

Proviamo a vedere come varia la resistenza in funzione del raggio.


hLrrr

LR

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=

πλπ 21ln

21

1 drdR

02

112

12

1

1 ≥⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅

=rLhr

rrLdr

dRπλπ

0112

1≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅

⋅⋅⋅=

rhLrdrdR

λπ


0112

1≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅

⋅⋅⋅=

rhLrdrdR

λπ011

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

rhλ

0≥⋅⋅

−⋅rh

rhλ

λ

Denominatore sempre positivo

0≥−⋅ λrh

hr λ

≥

Il raggio critico

hr λ

≥h

rcλ

= RAGGIO

CRITICO

hλ

- +

Il raggio critico

R

r

1

ln2

1rr

LRk λπ ⋅⋅⋅

=

hLrRc ⋅⋅⋅⋅

=π2

1

hλ

Rc

Rk

Rtot

Il raggio critico

hrc

λ=

11 rhrrc

⋅=

λBir

rc 1

1

=

1>Bi crr >1

1=Bi crr =1

1<Bi crr <1

Il raggio critico

1>Bi crr >1

R

rrc r1

1=Bi crr =1

R

rrc= r1

1<Bi crr <1

R

rrcr1

TRASMISSIONE DEL CALORE - univpm.it · TRASMISSIONE DEL CALORE In Termodinamica il calore è stato...

Documents

Transcript of TRASMISSIONE DEL CALORE - univpm.it · TRASMISSIONE DEL CALORE In Termodinamica il calore è stato...