Trasmissione del calore - convezione.pdf

8/14/2019 Trasmissione del calore - convezione.pdf

1/58

!"#$%&'#() +# ,-./0#12

32451() +# 6"7%7"%

!"#$" &' ()*#+) ,&'-+./#01'2+22*#)

/33" /00)&+4'0" 5677. 5675

/88*32'&

)--+

(+9'"3'&':'$'0);

+03'0)

!"#$%&

$$&'()+),

-#,'")

./012&&3-4

56278452


2/58

Appunti dalle Lezioni di

Fisica Tecnica

Fisica Tecnica Ambientale

Fondamenti di

Trasmissione del Calore

Parte II - Convezione

Prof. F. Marcotullio

A.A. 2011-2012


3/58

Indice

Avvertenze iii

Testi Consigliati iv

1 La Convezione termica 11.1 Richiami di fluidodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 La viscosit dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Moto laminare e moto turbolento . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Il problema termico convettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Il coefficiente di convezione . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Il numero di Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Metodi di determinazione dih e di N u. . . . . . . . . . . 9

1.3 Concetto di strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Strato limite di velocit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Strato limite di temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Equazioni dello strato limite laminare . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Equazione di continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Seconda legge del moto di Newton . . . . . . . . . . . . . 151.4.3 Equazione di conservazione dellenergia . . . . . . . . . . 16

1.5 Equazioni in convezione forzata e moto laminare su lastra piana 201.6 Equazioni in convezione naturale e moto laminare su lastra piana 211.7 Parametri adimensionali nella convezione forzata . . . . . . . . . 231.8 Parametri adimensionali nella convezione naturale . . . . . . . . 251.9 Convezione mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10 Significato fisico dei parametri adimensionali . . . . . . . . . . . 28

2 Equazioni di pratico utilizzo 32

2.1 Equazioni in convezione forzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.1 Lastra piana e flusso laminare . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2 Lastra piana e flusso turbolento . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.3 Lastra piana e flusso combinato laminare e turbolento . . 352.1.4 Flusso normale a tubi circolari . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.5 Flusso normale a tubi non circolari . . . . . . . . . . . . . 382.1.6 Flusso normale a banchi di tubi circolari . . . . . . . . . . 382.1.7 Flusso interno a tubi circolari . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Equazioni in convezione naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.1 Lastra piana verticale isoterma . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Lastra piana verticale con flusso imposto . . . . . . . . . 43

i


4/58

INDICE ii

2.2.3 Intercapedini chiuse verticali . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.4 Superfici alettate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A Formule di analisi vettoriale 47

A.1 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.2 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.3 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.4 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.5 Derivata materiale o sostanziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

B Propriet dellacqua satura 50

C Propriet dellaria secca 51


5/58

Avvertenze

La presente dispensa didattica rivolta agli allievi dei Corsi di Fisica Tecnica(Corsi di Laurea in Ingegneria Elettrica, Civile ed Ambiente e Territorio) ecostituisce la raccolta completa degli argomenti svolti in aula.

Disporre della dispensa tuttavia non esime n dai doverosi approfondimentisui testi consigliati, n soprattutto dalla frequenza delle lezioni e delle esercita-zioni.

Saranno graditi suggerimenti nonch la segnalazione di errori ed inesattezze.

iii


6/58

Testi Consigliati

Testi consigliati in lingua italiana:

1. Kreith F., Principi di Trasmissione del calore, Liguori, Napoli 1975

2. Guglielmini G., Pisoni C., Elementi di Trasmissione del Calore, Masson,Milano 1996

3. Bonacina C., Cavallini A., Mattarolo L., Trasmissione del Calore, Cleup,Padova 1989

4. Cammarata G., Fisica Tecnica Ambientale, McGraw-Hill, Milano 2007

Testi consigliati in lingua inglese:

1. ziik M.N., Heat Transfer - A Basic Approach, McGraw-Hill, New York1985

2. Chapman A.J., Heat Transfer - Fourth Edition, Mcmillan, New York 1987

3. Lienhard J.H. IV, Lienhard J.H. V,A Heat Transfer Textbook, 3rd edition,20011

1Il testo pu essere scaricato gratuitamente in formato PDF dal sitohttp://web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html

iv


7/58

Capitolo 1

La Convezione termica

1.1 Richiami di fluidodinamica

Si gi definitoconvezionequel meccanismo di trasmissione del calore che nasceallinterno di una massa fluida in conseguenza della combinazione della condu-zione potenziata dal moto del fluido, questultimo originato da mezzi artificiali(agitatori, pompe, ...) o dai gradienti di densit sempre presenti in un mezzofluido sede di fenomeni di scambio termico e quindi di gradienti di temperatura.Se, tuttavia, il moto imposto da mezzi artificiali dominante rispetto a quellodeterminato dai gradienti di densit si usa parlare di convezione forzata. Si par-la, al contrario, di convezione naturale se i moti imposti da mezzi esterni non presente o trascurabile. Si parla, poi, di convezione mista se i moti imposti

dallesterno sono paragonabili a quelli causati dai gradienti di densit.Poich il moto del fluido una caratteristica peculiare della convezionetermica, sono doverosi alcuni richiami di fluidodinamica.

1.1.1 La viscosit dinamica

L

R

R

r

i

e

w=w(r)

e

i

w = w(R )

w = w(R ) = 0

Figura 1.1: Gradiente di velocit in una intercapedine

1


8/58

CAPITOLO 1. LA CONVEZIONE TERMICA 2

La Figura 1.1 mostra una intercapedine cilindrica di raggi Rie Ree spessore

L= Re Ri realizzata tra due cilindri coassiali. Un fluido posto nellinterca-pedine e i due cilindri sono posti in moto relativo. Supponiamo, per semplicit,che il cilindro esterno ruoti intorno al suo asse con velocit angolare ecostantementre quello interno sia mantenuto fermo. Lesperienza mostra che:

a. il fluido aderisce alle superfici solide per cui le particelle a ridosso della su-perficie del cilindro interno (r = Ri) sono ferme mentre quelle aderential cilindro esterno (r =Re) sono in moto con velocit we = eRe (m/s).Ne consegue linstaurarsi, nel fluido presente nellintercapedine, di un gra-diente di velocit w

r

1s

in direzione radiale e, quindi, di un trasferimento

di quantit di moto tra strati contigui di fluido in direzione radiale e nelverso crescente di r.

b. per mantenere fermo il cilindro interno necessaria lapplicazione di unaforza tangenziale esterna la quale si oppone a quella di trascinamentoindotta dal fluido in moto. Questultima, se riferita allunita di area, detta sforzo di attrito viscoso e indicata con . Lesperienza evidenziache proporzionale al gradiente di velocit localeper il tramite di unagrandezza caratteristica del fluido che detta viscosit dinamica ()1:

r=Ri =w

r

r=Ri

(1.1)

O

A A'

x

wx

wL

wx dy

y

w+ x

dydyL

dx

(a) (b)

d

y

y

wx

Figura 1.2: Distribuzione della velocit in un fluido viscoso tra due piastre.

Un analogo effetto di trascinamento presente allinterno del fluido in moto

da parte delle particelle pi veloci verso quelle pi lente per cui si pu scrivere,in generale, che:

=w

r (1.2)

che nota comelegge della viscosit di Newton.

1Ci allo scopo di distinguerla dalla viscosit cinematica . La viscosit cinematica legataalla viscosit dinamica per il tramite della densit :

=


9/58


Se la viscosit dinamica presente nella (1.2) indipendente dal gradiente

di velocit

w

r, allora lineare il legame tra lo stato di tensione e quello del-la deformazione. I fluidi che seguono questo comportamento sono detti fluidinewtoniani.

Al contrario, se la viscosit dipende in una qualche misura dal gradiente divelocit, allora il legame tra lo sforzo tangenziale e w

r non pi lineare ed ifluidi che seguono questo comportamento sono genericamente detti fluidi nonnewtoniani2. Nel seguito si far costante riferimento ai soli fluidi newtoniani.

50.00 150.00 250.00 350.00

0.00 100.00 200.00 300.00 400.00

Temperatura (C)

50.00

150.00

250.00

350.00

0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

Viscosit

(Pa

s)

1.00

3.00

5.00

0.00

2.00

4.00

6.00

50.00 150.00 250.00 350.000.00 100.00 200.00 300.00 400.00

Acqua

Alcol butilico

Aria

Vapor d'acqua

Figura 1.3: Dipendenza della viscosit dalla temperatura

Liquidi 105

Gas 105

(Pas) (Pas)

Acqua (21C) 97.8 Aria (38C) 1.910Freon 12 (0C) 29.8 Vapor dacqua (100C) 1.290Olio leggero (27C) 4140 Os. di Carbonio (93C) 2.067Glicerina (21C) 148 Anid. Carbonica (38C) 1.562

Tabella 1.1: Viscosit dinamica di alcuni fluidi newtoniani.

La viscosit dinamica ha le dimensioni:

[] =

Forza Lunghezza

Area Velocit =

ForzaArea

Tempo

e si misura, nelle unit del sistema internazionale, in Pa s (ovvero Kg

ms)3. Essa

dipende fortemente dalla temperatura, molto meno dalla pressione. In partico-lare, la viscosit diminuisce con la temperatura nei liquidi mentre, al contrario,aumenta con la temperatura nei gas (vedi Fig.1.3). Nella Tab.1.1 sono riportatii valori della viscosit dinamica di alcuni fluidi newtoniani.

Per concludere riconsideriamo la (1.2). Dalla Fig.1.2.b si vede che in unintervallo di tempodt lelemento fluidodxdysubisce una deformazione angolare

2Allinterno di questa classe una ulteriore distinzione viene fatta in relazione alla legge chelega la viscosit al gradiente di velocit.

3Lunit di misura della viscosit cinematica nel S.I. m2/s.


10/58


la cui entit misurata dalla rotazioneddel segmento verticaleOAche vale:

d= AA

O A =wxy

dy

dt

dy =

wxy

dt

La velocit con cui tale deformazione avviene data dalla:

d

dt = =

wxy

Sostituendo nella (1.2) si ha:= (1.3)

Lequazione pone in evidenza la differenza di comportamento, nei riguardi delladeformazione, tra i solidi elastici ed i fluidi. Infatti i primi offrono una re-

sistenza alla deformazione che proporzionale alla deformazione stessa (leggedi Hooke). I secondi (equazione 1.3) offrono una resistenza alla deformazioneche proporzionale alla velocit di deformazioneper il tramite della viscositdinamica.

1.1.2 Moto laminare e moto turbolento

Lapparato sperimentale mostrato in Figura 1.4, dovuto a Reynolds, consentedi realizzare un flusso di acqua attraverso un piccolo tubo trasparente a sezionecircolare di diametro D. La portata di efflusso del fluido regolabile attraver-so una valvola posta allestremit del tubo stesso. Dellinchiostro colorato, didensit pari a quella dellacqua, viene iniettato in corrispondenza dellasse dellasezione di ingresso del condotto.

Valvola

Valvola

Valvola

Acqua

Acqua

Acqua

Inchiostro

Inchiostro

Inchiostro

D

D

D

w = w (r)

Moto laminare

Moto turbolento

Transizione

w = w (r)

Figura 1.4: Esperienza di Reynold. Moto laminare, transizione e mototurbolento

Lesperienza mostra che, se la velocit della corrente mantenuta entro certilimiti, le particelle di inchiostro si muovono attraverso il condotto lasciandouna traccia ben definita in forma di un filo sottile disposto secondo lasse del


11/58


tubo. Ci indicativo di un moto che si sviluppa secondo traiettorie rettilinee

e parallele con velocit uguali in corrispondenza di superfici cilindriche coassiali(moto laminare).Lesperienza di Reynolds mostra che, aprendo gradualmente la valvola, si

raggiunge un regime di moto che evidenzia la comparsa di instabilit delle tra-iettorie. Il filo di inchiostro colorato, infatti, inizia a mescolarsi con lacquacosicch la sua traccia, in origine ben definit, comincia a sfilacciarsi. Ci de-nuncia linizio di un processo di transizione da uno stato di moto laminareverso uno stato di moto instabile che, in genere, persiste per un certo intervallodi velocit.

Lapertura ulteriore della valvola determina la completa dispersione dellatraccia dellinchiostro che tende a colorare uniformemente lacqua. Ci indicedi un moto (moto turbolento) caratterizzato da traiettorie del tutto casuali che,a differenza di quanto accadeva nel moto laminare, si intersecano. Ne consegue

che le particelle fluide si trasferiscono rapidamente da un punto allaltro dellacorrente incrementando nettamente il trasferimento di quantit di moto. Laconseguenza una maggiore uniformit della velocit in seno alla corrente.

Se lesperienza di Reynolds viene ripetuta cambiando le caratteristiche dellasuperficie o il diametro del tubo o il fluido, cambiano i campi di esistenza, intermini di velocit di deflusso, del regime laminare, della zona di transizione e delregime turbolento. Reynolds ha determinato, attraverso numerosi ed accuratiesperimenti, che il regime di moto pu essere legato al valore assunto dal Numerodi Reynolds, un raggruppamento adimensionale, espresso come:

Re=wl

=

wl

dove = , che prende il nome di viscosit cinematica, ha le dimensioni diLunghezza

2

Tempo

e si misura in m

2

s . La velocit w rappresenta quella caratteristica

della corrente e l una lunghezza scelta allo scopo di caratterizzare il sistema.Lesperienza mostra che bassi valori del numero di Reynolds caratterizzano

stati di moto laminare. Al contrario, elevati valori del numero di Reynoldscaratterizzano stati di moto turbolento. Nel caso di flusso interno ad un tubo,come accade per lesperienza di Reynolds, la lunghezza caratteristica assuntapari al diametro della sezione retta per cui:

Re=wD

=

wD

Lesperienza mostra che nelle medesime condizioni si ha:

Re


12/58


ed i campi di esistenza per moto laminare e turbolento sono:

Re


13/58


Sebbene gi ricordato a suo tempo, si ribadisce qui che il legame espresso

dalla (1.4) convenzionale e come tale costituisce solo una equazione di de-finizione del coefficiente di convezione h; questo dipende, infatti, da numerosifattori e la sua individuazione costituisce il problema dello scambio termico perconvezioneil quale si presenta, in generale, matematicamente molto complesso.

Per meglio chiarire si riconsideri la situazione di Fig.1.5. Se, come usual-mente ipotizzabile, la rugosit della superficie fa s che un sottile stato di fluidoa diretto contatto della superficie solida sia in quiete, possibile esprimere ilmodulo del flusso termico convettivo q(P, t) presente nella (1.4) attraverso lalegge di Fourier:

q= Tn

S

(1.5)

dove n rappresenta la normale esterna ad Snel punto considerato e rispetto

alla quale misurato il gradiente termico; con si indicata la conducibilittermica interna del fluido. Uguagliando le (1.4; 1.5), si ricava che:

h= Tn

S

(Ts T) (1.6)

da cui si vede che la valutazione di h possibile a patto che sia nota la distri-buzione della temperatura nel fluido in moto.

T

(a) (b)

T1 1

w

w = 0w

2

c

k

2T

q

l l

q

T

Figura 1.6: Flusso termico per convezione pura (a) e conduzione pura (b)

1.2.2 Il numero di Nusselt

La forma adimensionale della (1.6) si ottiene modificandola prima come:

h

=

Tn

S

(Ts T)ed osservando poi che il primo membro dellequazione cos ottenuta ha le di-mensioni dellinverso di una lunghezza.


14/58


Figura 1.7: Wilhelm Nusselt, Germania (1882 - 1957)

Indicando con l una lunghezza caratteristica del sistema, si pu scrivere:

hl

=

Tn

S

(Ts T) /l (1.7)

nella quale ambo i membri sono adimensionali. Il raggruppamento hl

che com-pare nella (1.7) ricorda nella forma il numero di Biotvisto nello studio dellaconduzione. Da questo si differenzia per il solo fatto che la conducibilit termica

che vi compare si riferisce al fluido per cui, anche allo scopo di evitare confu-sioni, il suddetto raggruppamento adimensionale viene denominato numero diNusselte indicato con N u:

N u= hl

(1.8)

Moltiplicando e dividendo per una differenza di temperatura di riferimento Tsi ha:

N u= hT

T /l

Il numero di Nusselt pu essere visto, pertanto, come una misura quantitativadel rapporto tra due flussi termici (Fig.1.6) :

il primo, pari a hT, quello che attraversa lo strato fluido di spessorel

per convezione (Fig.1.6,a);

il secondo, pari a T /l, quello che attraversa lo stesso strato fluido perconduzione (Fig.1.6,b).

Ora, se come affermato a suo tempo, la convezione rappresenta uno scambiotermico conduttivo potenziato dal moto del fluido, il numero di Nusselt costi-tuisce la misura quantitativa di questo potenziamento. Bassi valori del numerodi Nusselt (quelli dellordine di grandezza dellunit) sono perci tipici di situa-zioni in cui i moti convettivi sono praticamente inesistenti e lo scambio termicoavviene, in effetti, per conduzione. Elevati valori del numero di Nusselt (102 oanche103) sono, al contrario, indicativi di uno scambio convettivo efficace.


15/58


1.2.3 Metodi di determinazione di h e di Nu

Allo scopo di determinare la distribuzione di temperatura allinterno del fluidoin moto come richiesto dalle (1.6, 1.7), necessario risolvere un problema dimeccanica dei fluidi nella regione a ridosso della superficie solida. Nel caso pigenerale la descrizione dei moti convettivi richiede la conoscenza di seifunzioni,del punto e del tempo, costituite dalle tre componenti della velocit (wx, wy ,wz), dalla pressione p, dalla densit e della temperatura T. Cinque delle seiequazioni necessarie sono derivate da leggi fisiche fondamentali la cui validitprescinde dalla natura del fluido considerato. Tali leggi sono rappresentate:

1. dal principio di conservazione della massa;

2. dalla seconda legge del moto di Newton;

3. dal principio di conservazione dellenergia ovvero dal primo principio dellatermodinamica.

Esse possono venire applicate indifferentemente:

al fluido presente allinterno del cosiddettovolume di controlloossia ad unaentit geometrica scelta arbitrariamente efissanello spazio. Attraverso lafrontiera del volume di controllo, detta superficie di controllo, pu fluiremassa, quantit di moto ed energia (punto di vista Euleriano);

ad una porzione di materia di identit fissa e definita (sistema) in motonel fluido. Essa presenta massa costantee pu interagire con ci che lacirconda (punto di vista Lagrangiano).

Lequazione mancante in genere costituita dallequazione di stato del fluidoovvero dallequazione della trasformazione che il fluido subisce nel corso delfenomeno4.

Nel caso generale, quindi, necessario risolvere simultaneamente queste seiequazioni associate con le opportune condizioni al contorno ed iniziale che iden-tificano il particolare problema trattato. Una volta che la temperatura T(P, t) stata determinata, la valutazione di h si ottiene applicado la (1.6) ovvero la(1.7) se il problema viene posto in forma adimensionale.

Si comprende sin da ora che la soluzione analitica del problema termicoconvettivo posto nella sua generalit presenta difficolt non superabili ancheper sistemi relativamente semplici e di limitato interesse applicativo.

Una semplificazione pu essere introdotta ricorrendo allausilio della teoriadello strato limitedi Prandtl. Se il moto laminaretale approccio porta allascrittura delle cosiddette equazioni dello strato limite laminare le quali posso-no essere risolte, sia pure con una certa difficolt, per sistemi geometricamentesemplici (deflusso su lastra piana o allinterno di tubi circolari) e fluido in-comprimibile5 . Se il moto turbolento il problema si complica sensibilmente.Infatti, in questo caso le traiettorie delle particelle sono del tutto casuali e legrandezze cinematiche assumono i caratteri delle variabili aleatorie. Ci no-nostante, se lattenzione viene rivolta ai valori medi temporali delle grandezze

4Si parla in questo caso di equazione ausiliaria in quanto, a differenza delle altre, caratteristica del fluido considerato.

5Si veda allo scopo, tra i testi consigliati, ad esempio Guglielmini G., Pisoni C. oppureziik M.N.


16/58


Figura 1.8: Ludwig Prandtl, Germania (1875 - 1953)

cercate e non a quelli istantanei, possibile sviluppare le cosiddette equazionidello strato limite turbolento la cui soluzione stata tentata, ancora, per casigeometricamente semplici.

Per casi geometricamente complessi e moto turbolento (quelli che ricorrononelle applicazioni dellingegneria) lapproccio generale resta quello sperimentale.In questa ipotesi corre lobbligo di razionalizzare lattivit di laboratorio limi-tando la misura ai soli parametri che influenzano in modo significativo il feno-meno studiato. E questo un passo molto delicato che pu influenzare non poco

la mole di dati sperimentali da determinare, ordinare e interpretare. Stabilirequali siano e, soprattutto, quanti siano questi parametri richiede una profondaconoscenza del fenomeno che pu essere guadagnata dalla formulazione di mo-delli matematici adeguati. E questultima la strada seguita in queste pagine.Dopo aver illustrato il concetto di strato limite e le relative peculiarit (1.3), sidetermineranno le equazioni dello strato limite laminare per geometrie bidimen-sionali e fluido incomprimibile (1.4). Successivamente dette equazioni vengonospecializzate per lo studio della convezione forzata e naturale (1.5 e 1.6).

Ladimensionalizzazione di tali ultime equazioni evidenzia, come mostratopi volte nello studio della conduzione, che lo scambio termico convettivo puessere formulato attraverso parametri adimensionaliil cui numero risulta net-tamente inferiore6 a quello delle variabili indipendenti dimensionalicon note-vole vantaggio sulla interpretazione, rappresentazione e lutilizzo delle misuresperimentali.

Questo approccio allo studio della convezione, che prevede la combinazione dimetodi analitici ed indagine sperimentale, si concretizza in equazioni semplici astruttura monomia le quali sono idonee a rispondere alle esigenze dellingegneria.Alcuni esempi di tali equazioni sono riportate nel Capitolo 2 al solo scopo dimostrarne la struttura e le modalit di utilizzo.

6Il numero n effettivo dei parametri adimensionali dato dal numero N delle variabiliindipendenti che influenzano il fenomeno diminuito dal numeromdelle grandezze fondamentalinecessarie a descrivere le prime (Teorema di Buckingham).


17/58


u

u

s

s

x

T

T - T

w

T

(x)(x)

y

HT

x

Figura 1.9: Lastra piana investita da una corrente in moto laminare

1.3 Concetto di strato limite

1.3.1 Strato limite di velocit

A solo titolo di esempio si faccia riferimento al caso semplice illustrato in Fig.1.9dove una lastra molto sottile investita da una corrente fluida isoterma (T =T) in moto laminarecon velocit uniforme wx = u.

Allorch la corrente incontra la lastra lassetto delle velocit allinterno dellamassa fluida si modifica (vedi Fig.1.9). In particolare si osserva che:

wx = wy = 0 per y= 0wx = u; wy = 0 per y (1.9)

conwxe wy le componenti della velocit wnella direzionexey rispettivamente.Ne deriva la nascita di gradienti di velocit (in precedenza assenti) che sonomassimi per y = 0 (dove le particelle sono ferme) e si attenuano rapidamenteal crescere di y sebbene in misura diversa con x. Alla nascita dei gradienti divelocit consegue quella degli sforzi viscosi proporzionali ai primi per il tramitedella viscosit dinamica.

Sono pertanto riconoscibili nel dominio fluido due regioni:

la prima, quella pi lontana dalla superficie solida, nella quale la corrente

fluida conserva, a tutti gli effetti pratici, le caratteristiche cimematiche edinamiche originarie;

la seconda, quella pi prossima alla superficie, nella quale i gradienti di ve-locit sono intensi e gli sforzi viscosi non possono, perci, essere trascurati.Tale regione denominata strato limite idrodinamico7.

Lo strato limite idrodinamico ha uno spessore. Lospessore dello strato limiteidrodinamico H(x) definito convenzionalmente come il luogo dei punti incui la velocit raggiunge il 99% della velocit della corrente indisturbata u,

7Detto anche strato limite di velocit.


18/58


Regione laminare

Sottostrato laminare

Transizione Regione turbolenta

Figura 1.10: Transizione tra regime laminare e turbolento. Sottostrato laminare.

ossiawxu = 0.99. Sebbene lo spessore dello strato limite idrodinamico dipendadalle caratteristiche del fluido, dalla forma della superficie e dallo stato di motonella corrente, esso si presenta usualmente molto piccolo se confrontato con ledimensioni del corpo immerso nel fluido.

Al crescere di x cresce il numero di Reynold locale Rex = xu per cui se ladimensione della lastra l (quella nella direzione del moto della corrente fluida) tale chel > xc con:

xc = Rec

u 2 105

u

ha inizio una fase di transizione al termine della quale il moto turbolento(vedi Fig.1.10). Lo strato limite turbolento caratterizzato da un profilo divelocit che assume un andamento approssimativamente lineare a ridosso della

lastra. Ci giustificato dalla permanenza, a causa degli elevati sforzi viscosi,di un sottile strato di fluido in moto laminare (substrato laminare) che avvolgela superficie solida. Al di fuori del substrato laminare il profilo della velocitpresenta un andamento relativamente piatto se confrontato con quello tipico(approssimativamente parabolico) della regione laminare.

1.3.2 Strato limite di temperatura

Se la temperatura Ts della superficie solida esposta al fluido, che possiamosupporre per semplicit uniforme, diversa da T, allora la distribuzione dellatemperatura nel fluido, inizialmente uniforme per ipotesi, si modificher nelrispetto delle seguenti condizioni al contorno (vedi Fig.1.9):

T =Ts per y= 0T =T per y (1.10)

Ne consegue la comparsa di gradienti di temperatura che si presentano pimarcati in corrispondenza della superficie solida e si attenuano con la distanzaysebbene in misura diversa conx (vedi Fig.1.9). In analogia a quanto visto peril campo delle velocit, ragionevole pensare di dividere il dominio del fluido indue regioni:

la prima, quella pi lontana dalla parete, nella quale i gradienti di tem-peratura sono, a tutti gli effetti pratici, inesistenti e la temperatura puessere ritenuta uniforme e pari a quella della corrente indisturbata T;


19/58


la seconda, quella pi prossima alla parete solida, nella quale sono presenti

gradienti di temperatura significativi; tale regione viene denominata stratolimite termico.

Anche lo strato limite termico ha uno spessore. Lo spessore dello strato limitetermico T(x) definito convenzionalmente come il luogo dei punti in cui ladifferenza di temperatura T Ts ha raggiunto il 99% della differenzaT Ts( TTsTTs

= 0.99). Esso dipende dalle propriet del fluido e dal regime di moto.Nonostante le forti analogie tra il concetto di strato limite idrodinamico e

termico, vale la pena di osservare che mentre il primo sempre presente, ilsecondo nasce solo se T= Ts. Inoltre, sebbene siano in generale diversi, lospessore dello strato limite termico ed idrodinamico presentano lo stesso ordinedi grandezza:

O(H) =O(T)

1.4 Equazioni dello strato limite laminare

Nel seguito vengono ricavate le equazioni differenziali dello strato limite lami-nare. Si assumeranno lecite le seguenti ipotesi:

a. processo stazionario;

b. moto bidimensionale (wz = 0);

c. fluido incomprimibile (= cost);

d. propriet termofisiche del fuido costanti8.

Si vedr che in tali condizioni le equazioni cercate si ottengono applicando inmodo opportuno il principio di conservazione della massa, la seconda legge delmoto di Newton e il principio di conservazione dellenergia.

x

y

x

y

x

y

x+dx

y+dy

( w )

( w )

dx1

dy1

( w )

( w )

y

x

Superficie dicontrollo

Figura 1.11: Volume di controllo allinterno dello strato limite di velocit

8Il fluido perci newtoniano.


20/58


1.4.1 Equazione di continuit

Lequazione di continuit esprime il principio di conservazione della massa. Essaviene qui ottenuta operando un bilancio di massa su un volume di controlloinfinitesimodV =dx dy 1fisso nello spazio costruito nellintorno di un puntoPqualunque allinterno dello strato limite idrodinamico (vedi Fig.1.11). Per lastazionariet (ipotesia.) il principio di conservazione della massa del volume dicontrollodVrichiede che:

la massa entrantenellunit di tempoindV

=

alla massa uscentenellunit di tempo

dadV

(1.11)

Lo schema di Fig.1.11 mostra che per flusso bi-dimensionale (ipotesi b.) si hache: la massa entrantenellunit di tempo

in dV

= (wx)x dy 1 + (wy)ydx 1e: la massa uscentenellunit di tempo

dadV

= (wx)x+ wxx dx

dy1+

(wy)y+

wyy

dy

dx1

Sostituendo le equazioni precedenti nella (1.11) e semplificando si ottiene che:

(wx)

x +

(wy)

y = 0

Tenuto conto dellipotesi c. (fluido incomprimibile) si ha infine:

wxx

+wyy

= 0 (1.12)

la quale pu essere impiegata senza errori apprezzabili anche nel caso di correntigassose purch la pressione subisca modeste variazioni9.

La (1.12) consente di ricavare che:

O (wy) =O (wx)O (y)

O (x)

Ora, allinterno dello strato limite di velocit vale la:

O (y) =H O(x)

per cui:O (wy) O (wx) (1.13)

9Si pensi, ad esempio, a tutte quelle applicazioni in cui il il moto del fluido avviene conbasse perdite di carico.


21/58


1.4.2 Seconda legge del moto di Newton

Si consideri un sistema di volume dVe massa costantedm = dVin moto con ilfluido allinterno dello strato limite idrodinamico. La legge del moto di Newtonapplicata al sistema suddetto si scrive:

[Massa accelerazione] = [Risultante delle forze applicate]

ossia:

dVD w

Dt =d F (1.14)

dove con D wDt si indicata la derivata materialedi w10.

La d Frappresenta la risultantedi due distinti sistemi di forze:

leforze di volume(quelle che nascono allorch lelemento di volume vienea trovarsi in un campo di forze come quello gravitazionale, magnetico,elettrico,. . .) di risultante d Fv ;

leforze di contatto o di superficie(quelle che agiscono direttamente sullasuperficie del sistema) di risultante d Fs.

p(x)

w=

= w

y

y

x

x

yy

y+dyy+dy

p(x+dx)

y

x

Sistemainfinitesimo

Figura 1.12: Forze di superficie agenti nella direzione x ed y su un sistemainfinitesimo di volume dV =dx dy 1in moto allinterno dello strato limite

Ricordando la (1.13) appare lecito assumere che, allinterno dello strato li-mite, la velocit w coincida a tutti gli effetti pratici con la wx. Ne consegueimmediatamente che una semplificazione importante si pu ottenere sotituendoallequazione vettoriale (1.14) la sola scalare:

dVDwx

Dt =dFx =dFx,v + dFx,s (1.15)

con ovvio significato dei simboli.

10Data un funzione f(x,y,z,t) si definisce derivata sostanziale o materiale di f la DfDt

=ft

+wxfx

+wyfy

+wzfz

. Sul significato della derivata materiale si veda lappendice A.7.


22/58


Lasciando da parte le forze di volume su cui si ritorner pi avanti, la Fig.1.12

mostra che la risultante dFx,s delle forze di superficie agenti sul sistema nelladirezionex vale:

dFx,s = (p)xdy 1 ()ydx 1+

(p)x+p

xdx

dy 1 +

()y+

ydy

dx 1

Semplificando si ha:

dFx,s =

px

+

y

dV

Ricordando che = wxy

si ottiene:

dFx,s = p

x

+ 2wx

y2 dV

nella quale si tenuto conto dellipotesi d. (propriet termofisiche del fuidocostanti).

Sostituendo nella (1.15) si ha:

Dwx

Dt =Fx,v p

x+

2wxy2

(1.16)

con Fx,v = dFx,vdV . Considerando le ipotesi a. e b.

11 e riordinando, si ha infine:

wx

wxx

+ wywxy

= Fx,v p

x+

2wxy2

(1.17)

I termini che compaiono nella (1.17) rappresentano forze per unit di volume Nm3

agenti nella direzionex. Pi esattamente: i termini presenti a primo membro sono forze dinerzia;

i termini a secondo membro costituiscono, nellordine, forze di volume,forze di pressionee forze viscose.

Concludiamo osservando che discende immediatamente dalla (1.13) la:

O(Fy) O(Fx)dalla quale deriva, in particolare, che:

O

p

y

O

p

x

(1.18)

1.4.3 Equazione di conservazione dellenergia

Consideriamo ancora il sistema infinitesimo di massa costante in moto conil fluido allinterno dello strato limite termico. Per il primo principio dellatermodinamica si pu scrivere il bilancio energetico seguente:

lenergia termicanetta entrante

in dV neltempo unitario

+

il lavoro nettofatto su dV dalle

forze esternenel tempo unitario

=

Aumentodellenergia

totale di dV neltempo unitario

11Fenomeno stazionario e bidimensionale.


23/58


y

y

x

x

y

y

y+dy

x

x

x+dx

(q )

(q )

(q )

(q )

dx1

dy1

Sistema

infinitesimo

Figura 1.13: Potenza termica scambiato da un sistema infinitesimo di volumedV =dx dy 1 in moto allinterno dello strato limite

In simboli:

Q +L= dVDe

Dt

nella quale conesi indicata lenergia totale riferita allunit di massa del siste-

ma

Jkg

. Poich lenergia termica viene scambiata localmente per conduzione,

lo schema di Fig.1.13 mostra che:

Q= qxdy 1 + qydx 1+

qx+ qxx

dx

dy 1

qy+ qyy

dy

dx 1

Semplificando si ottiene che:

Q= qxx

+qyy

dV

Ricordando lequazione di Fourier e supponendo la conducibilit termica delfluido indipendente daT (ipotesi d.), si ha:

Q= 2T

x2 +

2T

y2 dVPoich anche per lo strato limite termico si pu ipotizzare che:

O(y) O(x)

si pu affermare che:2T

x2

2T

y2

per cui:

Q= 2T

y2dV (1.19)


24/58


w

w

ww

w

( )

( ) w

y

y

x

x

xx

x x

y

x

x+dx

y

x

x

y

y+dy

(pw )

(pw )

-(pw )

y+dyy-(pw )

Sistemainfinitesimo

y

y+dy

y

x

=

=

Figura 1.14: Lavoro delle forze di superficie sullelemento di volumedV in motoallinterno dello strato limite.

Per il calcolo del lavoro fatto sul sistema nellunit di tempo dalle forze divolume sufficiente considerare che:

LV =Fv w

dV Fx,v wxdV

in virt della (1.13).Il lavoro fatto sul sistema dalle forze di superficie nellunit di tempo dato

dalla somma di quello dovuto alla pressione (Lp) e quello dovuto agli sforziviscosi(L). La Fig.1.14 evidenzia che il primo dato dalla:

Lp= (p wx)

x +

(p wy)

y

dV

Se si sviluppano le derivate si ricava facilmente che12:

Lp wx px

dV

Il secondo conseguente al solo sforzo viscoso agente nella direzione x. Infatti semplice verificare che:

O (w)x= O

w2xH

; O (w)y =O

w2yx

da cui consegue che (w)x (w)y . Ci premesso, dallosservazione dellaFig.1.14 si ricava che:

L = (wx)y+ (wx)y+dy

dx 1

12Infatti si ottiene p(wxx

+ wyy

) wxpx wy

py

. Ma wxx

+ wyy

= 0per la (1.12)

e wxpx wy

py

per le (1.13, 1.18).


25/58


Sviluppando in serie di Taylor, riordinando e ipotizzando costante la viscosit

dinamica si ottiene infine:

L =

y

wxy

wx

dV =

wx

2wxy2

+

wxy

2dV

La DeDt si pu ricavare facilmente se si tiene conto che lenergia pu essere ac-cumulata nel sistema sotto forma di energia interna ed energia cinetica13. Siha:

De

Dt =

D

Dt

u +

1

2w2

=

D

Dt u +1

2 w2x+ w

2y

D

Dt u +1

2w2x

Ricordando lipotesid. (propriet del fluido costanti) e tenuto conto che il fluido considerato incomprimibile (cp = cv =c)14 si ha che:

Du

Dt =c

DT

Dt

Inoltre, poich DDt1

2w2x

= wxDwxDt si ottiene:

De

Dt =

c

DT

Dt + wx

DwxDt

Lequazione di conservazione dellenergia diventa pertanto:

c DT

Dt + wx

DwxDt

=

2Ty2

+ Fx,v wx wx px

+

+

wxy

2+ wx

2wxy2

(1.20)

nella quale i singoli elementi hanno le dimensioni di una potenza per unit divolume.

Lequazione appena ottenuta, per, poco si presta allo studio dei problemitermici per la presenza di alcuni termini che si riferiscono ad energia meccanica.Allo scopo di eliminare tali termini, si riconsideri la (1.16) e si moltiplichinoentrambi i membri per wx. Si ottiene:

wx DwxDt

=

Fx,v px

+ 2

wxy2

wx

nella quale tutti gli elementi hanno le dimensioni di una potenza per unit divolume (W/m3). Sottraendo la precedente dalla (1.20) si ha:

cDT

Dt =

2T

y2 +

wxy

213Lenergia potenziale inclusa nel lavoro compiuto dalle forze di massa.14Si dimostra che cp cv = T

2B

con = 1

T

p

e B = p

T

. Se = Cost,

= B = 0e cp = cv =c.


26/58


Sviluppando, considerando le ipotesi a. eb.15 e riordinando, si ha infine:

wxT

x + wy

T

y =

2T

y2 +

c

wxy

2

(1.21)

in cui e =

rappresentano la diffusivit termica e la viscosit cinematicarispettivamente.

Vale la pena di notare che la (1.21) pu essere applicata anche nel caso dicorrenti gassose in tutti quei casi in cui la pressione subisca piccole variazioni.

1.5 Equazioni in convezione forzata e moto lami-

nare su lastra piana

In generale, la soluzione di un problema di convezione forzata bi-dimensionalestazionaria e moto laminare richiede la determinazione di quattro funzioni in-cognite: wx(x, y), wy(x, y), p(x)e T(x, y).

Allo scopo possono essere impiegate le equazioni dello strato limite laminarericavate nel precedente paragrafo. In particolare , la (1.12), la (1.17) nella qualesono state trascurate le forze di volume16 e la (1.21):

wxx

+wyy

= 0 (1.22a)

wx

wxx

+ wywxy

=

2wxy2

px

(1.22b)

wxT

x + wy

T

y =

2T

y2 +

cwx

y2

(1.22c)

Il gradiente di pressione si pu ricavare considerando che la (1.22b) per y Hfornisce17:

px

=uux

(1.23)

la quale mostra che il gradiente di pressione presente nella (1.17) pu esserericavato dalla funzione, nota, u(x)che esprime la velocit della corrente indi-sturbata. Se si assume, per semplicit, che la u sia costante, il gradiente dipressione si annullaallinterno dello strato limite e la (1.22b) si modifica nella:

wxwxx

+ wywxy

=2wxy2

(1.24)

con =

. Alle (1.22a, 1.24, 1.22c) vanno aggiunte le condizioni al contornoproprie del particolare problema trattato. Nel caso di deflusso laminare su lastrapiana le condizioni al contorno cinematiche e termiche sono espresse dalle:

wx = wy = 0 per y= 0wx = u; wy = 0 per y

T =Ts per y= 0T =T per y

(1.25)

15Fenomeno stazionario e bidimensionale.16Questa una ipotesi generalmente lecita in convezione forzata.17Quando y Hwx u(x)e wy 0.


27/58


Come si vede, se le propriet del fluido possono essere assunte costanti (ipotesi

d.) la temperatura noncompare n nellequazione di continuit n in quelladel moto per cui il problema della determinazione della velocit si presentadisaccoppiato da quello della determinazione della temperatura.

Inoltre, se si tiene conto che O(wx) =ue O(y) =Hla (1.24) permette diricavare che:

O

u2

x

= O

u2H

da cui:

O (H) =O

x

u

Si pu affermare, pertanto, che lo spessore dello strato limite laminare cresce conla distanza dal bordo di attacco (x) e diminuisce con la velocit della corrente. A

parit di queste, lo spessore dello strato limite idrodinamico tanto pi grandequanto pi grande la viscosit cinematica del fluido.In termini adimensionali, si ricava altres che:

O

H

x

= O

ux

= O

1

Rex

in cui si indicato con Rex il numero di Reynold locale.

1.6 Equazioni in convezione naturale e moto la-

minare su lastra piana

Variando opportunamente il sistema di riferimento (vedi Fig.1.15), lo studiodella convezione naturale bidimensionale stazionaria e moto laminare pu essereeffettuato mediante la (1.12), la (1.17) nella quale si posto Fx,v =g e la(1.21) nella quale, a causa delle basse velocit, si trascurato il termine chetiene conto degli effetti di dissipazione viscosa:

wxx

+wyy

= 0 (1.26)

wx

wxx

+ wywxy

= g p

x+

2wxy2

(1.27)

wxT

x + wy

T

y =

2T

y2 (1.28)

Il gradiente di pressione si pu ricavare considerando che quando y H levelocit tendono a zero (wx = wy = 0) e . In tali condizioni lequazionedel moto si riduce alla sola:

g p

x= 0 ovvero p

x =g

Lequazione (1.27) si modifica, pertanto, nella:

wxwxx

+ wywxy

=g

+

2wxy2

(1.29)


28/58


con =

. La densit non una variabile indipendente, ma una funzione

dalla temperatura. Tale legame pu essere espresso facilmente attraverso laconoscenza del cosiddetto coefficiente di dilatazione cubicadefinito come:

= 1

T

p

da cui si ricava che18:

d

=dT

y

H

x

(x)

x

T

T

u = 0

w

Figura 1.15: Forze di volume e profilo della velocit allinterno dello strato limitein convezione naturale

Integrando:

ln

= (T T)

Siccome le variazioni di densit conseguenti dalle variazioni di temperatura sono

molto piccole 1

, si pu porre che ln (x) 1 1x da cui:

1

= (T T)

ed in definitiva si ottiene19:

g

= g(T T)

18Essendo per ipotesi il fluido incomprimibile non influente il vincolo che il processo siaisobaro. Inoltre semplice verificare che per un gas perfetto vale la = 1/T (con T latemperatura assoluta).

19Si ricordi lipotesi e. secondo la quale le caratteristiche del fluido sono assunte costanti.


29/58


Le equazioni dello strato limite in convezione naturale sono in definitiva:

wxx

+wyy

= 0 (1.30a)

wxwxx

+ wywxy

=g(T T) +2wxy2

(1.30b)

wxT

x + wy

T

y =

2T

y2 (1.30c)

Ancora nellipotesi di deflusso laminare su lastra piana le condizioni al contornosono espresse dalle:

wx = wy = 0 per y= 0wx = wy = 0 per y

T =Ts per y= 0

T =T per y(1.31)

Come si vede, la soluzione di un problema termico in convezione naturale si pre-senta, a parit di ogni altra condizione, sensibilmente pi complesso di quello inconvezione forzatanonpotendosi disaccoppiare la determinazione della velocitda quella della temperatura.

1.7 Parametri adimensionali nella convezione for-

zata

Gi nello studio della conduzione si accennato ai vantaggi che derivano dalformulare i problemi termici in forma adimensionale. Ci risulta ancora pivalido nello studio della convezione dove, essendo la soluzione delle equazionidifferenziali che governano il fenomeno estremamente difficoltosa se non impos-sibile, obbligatorio il ricorso allapproccio sperimentale la cui efficacia si giovafortemente della riduzione del numero delle variabili indipendenti conseguentealla formulazione adimensionale del problema.

Il primo passo della procedura di adimensionalizzazione delle equazioni ri-cavate in precedenza consiste nella scelta di certe grandezze caratteristiche delsistema in studio. Poich le variabili da adimensionalizzare sono rappresenta-te da lunghezze (x, y), velocit (wx, wy) e da una differenza di temperatura(T T), si sceglier:

una lunghezza caratteristical

una velocit caratteristicauuna differenza di temperatura caratteristica T

Con tali grandezze caratteristiche si costruiscono le grandezze adimensionaliseguenti:

= xl

w+ = wxu

T+ = TTT

= yl w+ =

wyu

(1.32)

Si riconsiderino le (1.22). Se le (1.32) vengono sostituire nellequazione dicontinuit (1.22a) si ha:

w+

+w+

= 0 (1.33)


30/58


31/58


Assumendo T = TS T, le condizioni al contorno termiche (1.25) si

adimensionalizzano come:T+ = TTTST = 1 per = 0T+ = TTTST = 0 per

(1.42)

Lespressione funzionale della temperatura diventa perci:

T+ =T+, , w+, w

+, 2,3

= T+

, , w+, w

+, Re, Pr, Ec

Tenendo conto delle (1.38) la precedente pu essere riscritta come:

T+ =T+ (, ,1,2,3) =T+ (, , Re, Pr, Ec) (1.43)

Ricordiamo qui che la soluzione di un problema termico convettivo consiste nella

determinazione del coefficiente di convezione localeh(x, y)ovvero del numero diNusselt locale N u(, )che la contiene. Pertanto, adimensionalizzando la (1.7)si ottiene:

N u(, ) = Tn

S

(TS T) /l = T+

n

S

in cui n= n/l rappresenta la normale alla superficie nel sistema di riferimentoadimensionalizzato (, ). Ne consegue immediatamente, in virt della (1.43),che:

N u= N u (, , Re, Pr, Ec) (1.44)

In numerose applicazioni, pi utile riferirsi al valore medio del coefficiente diconvezioneho del numero di NusseltN uottenibili integrando opportunamente

la (1.44) sullintera superficie di scambio. In tale circostanza si ottiene:N u= N u(Re, Pr, Ec) (1.45)

1.8 Parametri adimensionali nella convezione na-

turale

Con analoga tecnica si ricava la forma adimensionalizzata delle equazioni (1.30)che governano la convezione naturale. Si ottiene:

w+

+w+

= 0 (1.46a)

w+w+

+ w+yw+

= gT l

u2 T+ +

1

Re

2w+2

(1.46b)

w+T+

+ w+

T+

=

1

Re Pr2T+

2 (1.46c)

con le condizioni al contorno:

w+ =w+ = 0 per = 0

w+ =w+ = 0 per

T+ = TTTST

= 1 per = 0T+ = TTTST = 0 per

(1.47)


32/58


Figura 1.16: Franz Grashof, Germania (1826 - 1893)

Per un corretto impiego delle equazioni adimensionalizzate nello studio dellaconvezione naturale necessario stabilire il criterio di scelta della velocit ca-ratteristicau. Ci perch nel fenomeno convettivo naturale non si ha nozionea priori della scala della velocit. Un criterio usualmente seguito consiste nelporre1 = 1Re = 1;ne consegue che in questa scala le forze dinerzia (

u2

l ) assu-mono lo stesso valore delle forze viscose ( ul2) ovvero u =

l. Con tale posizione

il nuovo parametro adimensionale gTlu2 che compare nella (1.46b) diventa:

Gr= gT l3

2 (1.48)

ed denominato numero di Grashof. Ci premesso, le (1.46, 1.47) evidenzianoche, contrariamente alla convezione forzata, ciascuna delle variabili dipendentiw+, w

+ e T

+ funzione di , , Gr, Pr.Come pi volte richiamato, la soluzione di un problema termico convettivo

consiste nella determinazione di h ovvero di Nu. Dai risultati precedenti si puscrivere pertanto che:

N u= N u (, ,Gr,Pr) (1.49)

eN u= N u(Gr,Pr) (1.50)

1.9 Convezione mista

Nel caso in cui i moti convettivi naturali e forzati giocano ruoli paragonabili necessario considerere contemporaneamente sia il numero di Reynolds che ilnumero di Grashof. In questi casi il rapporto adimensionale gTlu2 che comparea secondo membro della (1.46b) viene assunto pari a GrRe2

20. In questa forma

20E semplice verificare che:

gT l

u2 =

gT l

u2l22

l22


33/58


esso costituisce una misura dellimportanza relativa della convezione naturale

rispetto a quella forzata. Lesperienza mostra che uno scambio termico dovutocertamente alla sola convezione naturale si presenta per GrRe2 >10 nel qual casovalgono le (1.44, 1.45). Al contrario, valori del medesimo parametro tali cheGrRe2 < 0.1 caratterizzano situazioni in cui la convezione forzata a prevaleree quindi valgono le (1.49, 1.50). Valori tali che 0.1 < Gr

Re2 < 10 vedono la

convezione naturale e forzata giocare un medesimo ruolo sul fenomeno convettivoglobale.

a b

c

Figura 1.17: Combinazione di convezione naturale e di convezione forzata.

La convezione naturale pu favorire o ostacolare la convezione forzata aseconda della direzione relativa del moto indotto dallesterno rispetto a quelloindotto dalle forze di galleggiamento (vedi Figura 1.17).

Si ha moto convettivo agevolato quanto il moto indotto dalle forze di gal-leggiamento e quello indotto dallesterno presentano la stessa direzione e verso(Figura 1.17.a). In questo caso i due campi di velocit si compongono in modocostruttivo e lo scambio termico convettivo viene incrementato.

Si ha moto convettivo contrastato quando il moto indotto dalle forze di gal-leggiamento e quello indotto dallesterno presentano la stessa direzioni ma versocontrario (Figura 1.17.b). In questo caso i due campi di velocit si compongonoin modo distruttivo e lo scambio termico convettivo risulta penalizzato.

Esistono casi in cui il moto convettivo naturale e quello forzato presentanodirezioni ortogonali. In questi lo scambio termico viene favorito comunque dalrimescolamento del fluido (Figura 1.17.c).

Per una valutazione quantitativa dello scambio termico in condizioni di con-vezione forzata e naturale si procede combinando in modo opportuno i contributidella convezione naturale e forzata calcolati separatamente.

e riordinando si ha:gT l3

22

u2l2 =

Gr

Re2


34/58


Lesperienza mostra che i dati sperimentali sono ben riprodotti dalla rela-

zione seguente: N un+f =

N umn N umf

1/mdove si indicato con N un e N uf i numeri di Nusselt calcolati con le relazionivalide rispettivamente per sola convezione naturale e sola convezione forzata. Ilsegno positivo si impiega per moto convettivo agevolato mentre quello negativoper moto convettivo contrastato. Lesponente m varia tra 3 e 4 a seconda dellageometria. In genere si pu assumere m = 3per superfici verticali mentre valorimaggiori di 3 sono indicati per superfici orizzontali.

1.10 Significato fisico dei parametri adimensiona-

li

I legami funzionali espressi dalle (1.44, 1.45) e gli analoghi (1.49, 1.50), benchricavati per deflusso laminare su lastra piana, sono generalizzabili e, come ta-li, costituiscono nel senso che conservano la loro validit anche per validi perconvezione naturale su lastra piana, bench ricavati per un caso particolare co-stituiscono la base per lanalisi e la correlazione dei dati sperimentali e, benchricavati per flusso laminare, essi conservano la loro validit anche in flusso tur-bolento sebbene la struttura del legame funzionale sia ovviamente diversa per idue casi.

Inoltre, i medesimi legami funzionali presentano alcuni vantaggi che riassu-miamo:

1. Le equazioni (1.44, 1.45) e (1.49, 1.50) hanno una validit che prescinde

dal sistema di unit di misura purch coerente21.

2. Se la soluzione del problema termico convettivo viene effettuata per viasperimentale risulta certamente pi comodo ed economico ricercare il le-game funzionale tra i quattro raggruppamenti adimensionali presenti nelle(1.44, 1.45) e (1.49, 1.50) piuttosto che tra la conduttanza convettiva uni-tariah e u,l,,,g , T,c,, e . Inoltre pi semplice ed economico lasuccessiva analisi e rappresentazione dei risultati su grafici o tabelle in tut-ti quei casi in cui impossibile esprimere in una forma analitica sempliceed accurata il legame funzionale cercato.

3. La possibilit di estendere i risultati sperimentali anche a situazioni non di-rettamente sperimentate. Il risultato di una determinazione sperimentale

consiste nella misurazione dei valori assunti dalle n grandezze che parteci-pano al fenomeno in quella particolare situazione e, successivamente, allacostruzione di m raggruppamenti adimensionali. Ora si comprende beneche il risultato offerto da questo singolo punto sperimentale possa fornireinformazioni su tutti quei casi non direttamente sperimentati i quali, seb-bene caratterizzati da una npladi valori diversi singolarmente da quellisperimentali, sono per tali da ricostruire, di quelli, i medesimi mvalori deiraggruppamenti adimensionali. Ci viene efficacemente evidenziato dallaFig.1.18 la quale riporta numerosi risultati sperimentali di flusso normale

21Un sistema di unit di misura si dice coerente quando il prodotto o il quoziente di piunit di tale sistema forniscono una nuova unit il cui valore sempre unitario


35/58


a tubi circolari graficati in funzione di parametri adimensionali. Come si

vede esistono situazioni in cui due risultati che si riferiscono a fluidi diver-si e a sperimentatori diversi (e quindi a valori differenti dei singoli valoridelle variabili dimensionali) forniscono risultati del tutto sovrapponibili seriferiti a parametri adimensionali.

2

m

w

0.4

0.2

5

2 3 4 5

10

1

10

10

10

(Nu

/Pr

)/(

/

)

Re

10 10 10

Water, paraffin

transformer oil

Air

Air

Water

Water

Nitrogen

Water, ethylene glycol

Figura 1.18: Numero di Nusselt medio per flusso su tubi circolari (da M. Necatiziik: Heat Transfer - A Basic Approach)

In analogia a quanto fatto a suo tempo per il numero di Nusselt, opportu-no a questo punto tentare di assegnare un significato fisico ai raggruppamentiadimensionaliRe, Gr, Ece Pr.

Numero di Reynolds Il numero di Reynolds esprime il rapporto:

Re=Forze dinerzia

Forze viscose =

u2lul2

= ul

come mostrato chiaramente dalla (1.37). Ci significa che bassi valori di Recaratterizzano situazioni in cui sono preponderanti le forze viscose mentre, alcontrario, sono preponderanti le forze dinerzia allorch si in presenza di elevati

valori di Re. Proprio per tale significato il numero di Reynolds viene impiega-to come parametro per individuare i campi di esistenza del moto laminare edel moto turbolento. Bassi valori del numero di Reynolds sono associati al mo-to laminare nel quale piccoli disturbi presenti nel fluido vengono prontamentesmorzati dai preponderanti effetti viscosi. Allaumentare del numero di Rey-nolds le forze dinerzia diventano dominanti e anche piccoli disturbi presentinel fluido vengono amplificati provocando la transizione dal moto laminare almoto turbolento. Il valore di Re a cui si presenta la transizione dipende dallecaratteristiche del sistema. Per i casi che qui pi ci interessano, quali il motodel fluido su piastra piana o allinterno di tubi circolari, il numero di Reynoldscritico assume valori dellordine di 5 105 e2000 4000 rispettivamente.


36/58


Numero di Prandtl Il numero di Prandtl presenta una particolarit rispetto

a tutti gli altri: infatti lunico che composto da sole caratteristiche fisiche delfluido. Per poter risalire al suo significato fisico conveniente riconsiderare leequazioni del moto e di conservazione dellenergia che riportiamo per comodit:

wxwxx

+ wywxy

=2wxy2

wxT

x + wy

T

y =

2T

y2

Come si vede le due equazioni scritte in questa forma sono analoghe e mostra-no che la viscosit cinematica gioca, nellequazione che governa il moto delfluido, lo stesso ruolo della diffusivit termica nellequazione che esprime laconservazione dellenergia. Sulla base di quanto detto, il numero di Prandtl pu

essere visto come il rapporto tra la grandezza responsabile della trasmissionedella quantit di moto (la viscosit cinematica detta per tale motivo anchediffusivit della quantit di moto) e che, come tale, determina lassetto del cam-po di velocit e della diffusivit termica che, invece, responsabile dellassettodel campo termico:

Pr=diffusivit della quantit di moto

diffusivit termica =

E semplice comprendere, pertanto, che al numero di Prandtl legato lo spessorerelativo dello strato limite termico e idrodinamico per cui tali spessori sono similise P r 1(gas) mentre gli stessi spessori si presentano fortemente differenziatinei casi in cui P r 1(olii in generale) ovveroP r 1.

Numero di Eckert Il numero di Eckert pu essere visto come il rapporto tradue differenze di temperatura:

Ec=Diff. di temp. dovuta alla dissipazione viscosa

Diff. di temperatura di riferimento =

u2/c

T

Infatti, mentre la differenza di temperatura che compare al denominatore (T =TST) quella alla base dello scambio termico convettivo (equazione di New-ton per la convezione), la differenza di temperatura al numeratore quella chesubirebbe lunit di massa di fluido se la relativa energia cinetica (proporzionaleal quadrato della velocit) venisse interamente dissipata, in modo adiabatico,per effetto viscoso. Ci vuol dire che bassi valori del numero di Eckert ca-ratterizzano situazioni in cui la potenza termica generata per effetto viscoso

trascurabile rispetto a quella coinvolta nello scambio termico convettivo. Il nu-mero di Eckert pu quindi costituire un criterio quantitativo per decidere se nelbilancio espresso dallequazione dellenergia possano essere trascurati o meno glieffetti della dissipazione viscosa associati al moto del fluido. A conferma di que-sta interpretazione osserviamo che Ec compare solo nellequazione dellenergiae moltiplica proprio il termine che tiene conto del lavoro fatto, nel moto, daglisforzi viscosi.

Per meglio chiarire si riconsideri la (1.39) che riportiamo per comodit:

w+

T+

+ w+

T+

=

1

RePr2T+

2 +

EcRe

w+

2


37/58


Poich O(T+) =O(w+ ) = 1, i termini a secondo membro sono confrontabili se

O 1

RePr

= OEc

Re

ovvero se O 1

Pr

= O (Ec).Possono darsi diverse circostanze:

il fluido in moto un gas. In questa ipotesi P r 1 e gli effetti viscosinon possono essere trascurati se O

u2

cT

= 1. Essendo 103 lordine di

grandezza di c la condizione precedente si presenta solo se il moto del gas supersonico e la differenza di temperatura T molto piccola (10 C omeno);

il fluido un liquido. Per i liquidi il numero di Prandtl fortementevariabile in relazione alla struttura molecolare. Per liquidi a strutturamolecolare semplice (lacqua ad esempio)O(P r) = 10mentre per liquidi astruttura molecolare complessa (oli lubrificanti) O(P r) = 105. Nel caso di

liquidi a struttura molecolare semplice lipotesi di trascurare il termine didissipazione viscosa deve essere attentamente verificata. Nel caso di liquidia struttura molecolare complessa trascuarare il termine di dissipazioneviscosa non mai possibile.

Numero di Grashof Il numero di Grashof pu essere interpretato partendodal significato fisico del raggruppamento adimensionale gTl

u2 che compare nella

(1.46b):gT l

u2 =

Forze di galleggiamentoForze dinerzia

e ricordando la scelta fatta nel definire la velocit di riferimento u. In quellaoccasione si scelse di porre Re = 1con la conseguenza che u = l e, in questa

scala, le forze dinerzia uguagliano le forze viscose. Con tali posizioni lequazioneprecedente fornisce:

gT l3

2 =Gr=

Forze di galleggiamentoForze viscose

E evidente lanalogia tra il numero di Reynolds ed il numero di Grashof ilquale gioca, nella convezione naturale lo stesso ruolo del primo nella convezioneforzata. Cos nella convezione naturale il valore del numero di Grashof ilcriterio quantitativo che consente di individuare i limiti di esistenza del regimelaminare e di quello turbolento.


38/58

Capitolo 2

Equazioni di pratico utilizzo

Se si dispone di un congruo numero di determinazioni sperimentali per un certosistema di interesse, possibile sfruttare la dipendenza funzionale espressa dallerelazioni precedenti per tentare di individuarne la struttura mediante tecnichenote di analisi (metodo dei minimi quadrati ad esempio) e/o di interpolarligraficamente. Sia nelluno che nellaltro caso, comunque, possibile risalire alvalore del numero di Nusselt (e quindi alla conduttanza convettiva unitaria) nelparticolare caso che interessa analizzare.

Nel seguito sono riportati alcuni esempi di relazioni di natura empirica nellequali il legame funzionale di tipo monomio. Sebbene ciascuna di esse siasempre accompagnata da una descrizione dettagliata del significato dei simbolie dei limiti di utilizzo, bene premettere qui alcune avvertenze di caratteregenerale. E necessario tenere presente, infatti, che le predette equazioni dilavoro sono ottenute attraverso tecniche di regressione di dati sperimentali; nederiva che i risultati che la formula fornisce sono inevitabilmente affetti da tuttauna serie di incertezze per cui un errore nella predizione del numero di Nusseltdellordine del 10% piuttosto comune sebbene errori ben pi elevati possonopresentarsi in casi complessi.

2.1 Equazioni in convezione forzata

Per evidenti ragioni di brevit si riportano nel seguito solo alcuni esempi dicorrelazioni di natura empirica o semempirica che consentono la valutazionedel numero di Nusselt locale o mediato per alcuni sistemi di pratico interesse

applicativo. In tutti i casi considerati viene assunto che le propriet termofisichedel fluido siano costanti anche se la forte dipendenza di talune di queste dallatemperatura (meno spesso dalla pressione) si ripercuote significativamente suirisultati se non si fissa in maniera inequivocabile quale sia la temperatura a cuile predette grandezze debbano riferirsi.

Nel caso di flusso esterno tale temperatura detta temperatura del filmed pari a:

Tm = Ts+ T

2

ossia la media tra la temperatura caratteristica del fluido T e quella dellasuperficie solida Ts.

32


39/58

CAPITOLO 2. EQUAZIONI DI PRATICO UTILIZZO 33

Diverso il caso di flusso interno per il quale detta temperatura data dalla:

Tm= Ts+ Tb

2

in cui Tb la cosiddetta temperatura di massadel fluido o, anche, temperaturadi completo mescolamento. Essa rappresenta la temperatura a cui si porterebbela massa di fluido che nellunit di tempo attraversa una data sezione se venissemescolata adiabaticamente. Nel caso di una sezione circolare di raggio re lamassa 2

re0

wrdrla cui entalpia pari a2re0 cpTwrdr. Se la stessa massa

venisse mescolata adiabaticamente (conservando cio il suo contenuto entalpico)essa si porterebbe ad una temperatura Tb che si ricava dalluguaglianza:

2Tb re

0

cpwrdr = 2 re

0

cpTwrdr

da cui:

Tb=

re0 cpwTrdrre0 cpwrdr

2.1.1 Lastra piana e flusso laminare

Nel caso di deflusso laminare su lastra piana e per il quale possono essere tra-scurati gli effetti viscosi (Ec = 0), Il numero di Nusselt locale N ux pu esseredeterminato per il tramite delle:

N ux = 0.564(RexP r)1/2 (2.1)

P r 0

N ux= 0.332Re1/2x P r

1/3 (2.2)

0.6 P r 10

N ux= 0.339Re1/2x P r

1/3 (2.3)

P r

purch il numero di Reynolds locale Rex = ux

sia inferiore a 2 105 e quindiin una regione della lastra per la quale x < xc con:

xc = 2 105 u (2.4)

Nelle applicazioni si usa spesso fare riferimento al valore mediato del numero diNusselt sullintera lastra. Allo scopo utile considerare il caso in cui sia:

h(x) =kxm

In tale ipotesi il valore mediato tra x = 0e x= L di h(x):

h= 1

L

L0

kxmdx= 1

m + 1

k

L

xm+1

L0

= kLm

m + 1


40/58


e in definitiva:

h=

1

m + 1[h(x)]x=L (2.5)Consegue anche che:

N u= 1

m + 1[N ux]x=L (2.6)

Ci premesso, si osserva che dalle (2.1,2.2,2.3) si ha h(x) x1/2 per cui1:

N u= 1

1 12

[N ux]x=L= 2 [N ux]x=L

e quindi dalle medesime equazioni si ricavano le seguenti:

N u= 1.128(ReLP r)1/2 (2.7)

P r

0

N u= 0.664Re1/2L P r

1/3 (2.8)

0.6 P r 10

N u= 0.678Re1/2L P r

1/3 (2.9)

P r doveReL=

uL .

Esempio Calcolare il flusso termico sottratto ad una sottile lastra quadrataisoterma (T = 93.0 C) di 0.91 m di lato immersa in una corrente daria in moto

laminare (T = 65.0

C; u

= 6.1

m

s) e disposta parallelamente alla correntestessa.

Soluzione La temperatura media pari aT= (65+93)/2 = 79 C. A questatemperatura valgono per laria i seguenti dati:

P r= 0.71; = 21 106m2

s ; = 0.03

W

mK

La distanza critica dal bordo dattacco a cui avviene la transizione da motolaminare a moto turbolento vale:

xc= Rec

u=

5 105 21 1066.1

= 1.72 m

per cui il moto laminare su tutta la lastra. Applicando la (2.8) si ha:

N u= 0.664

ul

1/2P r1/3 =

= 0.664

6.1 0.91

21 1061/2

0.711/3 305

Il flusso termico scambiato vale:

Q= 2 0.912 0.03 3050.91

(93 65) 466 W1infatti lax compare sia in N ux = hx che in Rex =

ux


41/58


2.1.2 Lastra piana e flusso turbolento

Se il numero di Reynolds supera il limite di esistenza del flusso laminare (peruna lastra piana la transizione avviene per 2 105 < Rex < 5 105) allora siavr una regione tale che 0x xc in cui il flusso laminare ed una regionecaratterizzata da xc x L in cui il flusso turbolento. In questultima ilnumero di Nusselt locale pu essere calcolato mediante le:

N ux = 0.0296Re0.8x P r

1/3 (2.10)

2 105 < Rex 107

N ux = 0.185Rex(log10 Rex)2.584P r1/3 (2.11)

Rex > 107

valide entrambe per0.6 P r 60e per grandezze fisiche del fluido riferite allatemperaturaTm.

2.1.3 Lastra piana e flusso combinato laminare e turbo-

lento

Pi complessa la valutazione del numero di Nusselt medio N u il quale, arigore, deve essere calcolato tenendo in conto la regione laminare e quella tur-bolenta. Calcoli in tal senso hanno portato a concludere che la valutazione diN usullintera lastra si pu ottenere con buona approssimazione mediante la:

N u= 0.036P r0.43 Re0.8L 17400+ 297P r1/3 (2.12)

ReL> 2 105; 0.7< Pr


42/58


Soluzione La temperatura media : (255 + 35) /2 = 145 C. A questa tem-

peratura le propriet dellaria sono:

= 0.844 kg/m3

= 23.64 106 P a s

cp = 1017 J

kg K

= 34.27 103 WmK

(a) Dai dati precedenti si ricava che:

P r=

cp

= 1017 23.64 106

34.27

103 0.7

xc= 2 10523.64 106

40 0.844 0.14 m

Il valore medio N u pu essere determinato per mezzo della (2.8):

N uL= 0.664

2 1051/2 0.71/3 263.7da cui:

hL = N uL

xc= 263.7

34.27 1030.14

64.5 Wm2K

che vale per 0 x xc.(b) Per il calcolo di h sullintera lastra necessario calcolare il relativo N u.

Allo scopo pu essere impiegata la (2.12).Si calcola prima

ReL= uL

=

40 0.844 1.5

23.64 106 21.4 105

Quindi:

N u= 0.036 0.70.43

21.4 1050.8 17400+ 297 0.71/3 = 3310da cui:

h= N u

L= 3310

34.27 1031.5

75.6 Wm2K

La conduttanza convettiva media cos ricavata consente di valutare la potenzatotale scambiata tra la lastra e laria:

Q= Ah (Ts Taria) = 1.5 1.0 75.6 220 24950 W

2.1.4 Flusso normale a tubi circolari

In numerose applicazioni dellingegneria necessario valutare la potenza scam-biata per convezione tra un tubo (circolare o non circolare) ed un fluido che loinveste in direzione normale al suo asse.


43/58


Il valore di N u nel caso generale in cui non sia trascurabile leffetto della

viscosit pu essere calcolato mediante la correlazione empirica:

N u=hD

=

0.4Re1/2 + 0.06Re2/3

P r0.4

T=TT=Ts

0.25(2.14)

valida per:

40 Re 1050.67< Pr < 300

0.25< T=T

T=Ts0.2 (con P e si indicato il numero di Pclet) si pu impiegare la relazioneseguente:

N u= 0.3 0.62Re1/2P r1/31 + (0.4/P r)2

/31/4

1 +

Re

282000

5/84/5(2.15)

PerP e


44/58


Si ottiene allora che:

Re(300K) = uD

= 30 0.02516.1 106 = 46584

T=TT=TS

=16.2 10620.9 106 = 0.77

ed infine:

N u=

0.4 465840.5 + 0.06 465842/3 0.710.4 0.770.25 134

Dal risultato precedente si ricava:

h= N u

D

=134 26.4 103

0.025 141

W

m2

Ked il flusso termico scambiato per unit di lunghezza:

Q= 141 (3.14 0.025 1) 100 = 1110 W = 1.1 kW

Notiamo che trascurare leffetto della temperatura sulla viscosit produce unerrore di appena il 6% (N u= 143)

2.1.5 Flusso normale a tubi non circolari

Pur se relativamente ad una corrente gassosa, il valore medio del numero diNusselt stato ricavato sperimentalmente anche per tubi di sezione non circo-lare.

I risultati sono compendiati nella:

N u=hDe

=c

uDe

n(2.17)

valida nei limiti e per le situazioni riassunte nella Fig.2.1.

2.1.6 Flusso normale a banchi di tubi circolari

Un ulteriore problema che presenta numerose applicazioni ingegneristiche (pro-getto di scambiatori di calore ovvero apparecchiature industriali di scambio ter-mico o di trattamento dellaria) quello della valutazione della potenza scam-biata tra una corrente fluida e un banco di tubi. Sebbene per la sua importanzaviene qui citata, la relativa trattazione si presenta piuttosto lunga per lampiacasistica ed esula dai nostri scopi.

2.1.7 Flusso interno a tubi circolari

Le considerazioni fatte a suo tempo per una lastra piana possono essere ripe-tute per la regione di imbocco di una corrente in un condotto come mostratoin Fig.2.2. Per fissare le idee si consideri una corrente fluida isoterma in motolaminare con velocit uniformeu la quale, in z = 0, imbocca in un tubo chesupporremo per semplicit circolare di diametro D. Le particelle a contatto conla parete assumeranno velocit nulla e, in conseguenza degli effetti viscosi, tale


45/58


Geometria Re n c

Du

u

u

D

D

D

D

D

e

e

e

e

e

e

5.000-100.000

2.500-7.500

0.588

0.624

0.675

0.699

0.638

0.782

0.222

0.261

0.092

0.160

0.144

0.035

5.000-100.000

5.000-100.000

2.500-8.000

5.500-19.500

19.500-100.000

u

u

u

Figura 2.1: Costanti dellEq.2.17

Re = uDe

rallentamento si propagher nella corrente a profondit via via crescenti con z .Anche in questo caso possibile dividere, convenzionalmente, la massa fluidain moto in una regione a ridosso della parete cilindrica in cui si concentrano

i gradienti di velocit (strato limite idrodinamico di spessore H) dalla parterestante pi prossima allasse del condotto in cui il moto si conserva a velocituniforme. Poich in questo caso lo spessore dello strato limite in generaledello stesso ordine di grandezza del diametro del condotto, necessario tene-re in conto che il profilo delle velocit subisce modificazioni in accordo con ilprincipio di conservazione della massa per cui nel caso generale wz = wz(r, z)come semplice verificare osservando la Fig.2.2. La medesima figura evidenziala cosiddettaregione di ingresso idrodinamicache costituisce la porzione di tubodi lunghezza pari a LH (lunghezza dingresso idrodinamica) caratterizzata dal

H

H

z0

u

L

L

T

T

D

Figura 2.2: Regione di ingresso termica ed idrodinamica


46/58


fatto che H < D/2. La regione per la quale z > LH detta regione idrodina-

micamente sviluppata in quanto il profilo delle velocit ha assunto un assettoindipendente da z :wz =wz(r) (2.18)

ed il relativo valore medio:

w= 4 m

D2 (2.19)

con m la portata massica costante. Per tale motivo w viene impiegata peradimensionalizzare il campo di velocit nella regione idrodinamicamente svilup-pata.

Nella medesima regione, lo stato di moto si manterr laminare se il numerodi Raynold:

ReD =D wz

si mantenuto inferiore a 2300. Se, al contrario, si raggiungono valori diReD >4000allora il regime di moto nella regione idrodinamicamente sviluppata certamente turbolento2.

Ancora a ReD viene legata la lunghezza della regione idrodinamica LH.Nelcaso di moto laminare si ha:

LHD

= 0.0575 ReD

Pi semplicemente si pu impiegare la:

LHD 60

Non esistono relazioni capaci di una valutazione sufficientemente precisa diLHper regione di ingresso idrodinamica turbolenta; per una stima di massima sipu ricorrere alla:

LHD 25 50

Se la parete solida presenta una temperatura diversa da quella del fluido siosserva la nascita di gradienti termici concentrati in una regione di fluido aridosso della parete solida (strato limite termico di spessoreT) che cresce conz fino a raggiungere lasse del tubo. La regione in cui T < D/2 detta regionedi ingresso termicae la lunghezza LT di tale regione, misurata dalla sezione diimbocco, detta lunghezza dingresso termica.La regione per la quale z > LTviene detta regione termicamente sviluppata.

Nelle applicazioni, fatta eccezione di casi particolari in cui la lunghezza deltubo sia molto limitata, si ha interesse al calcolo del numero di Nusselt medionella regione termicamente sviluppata. Nel seguito sono riportate le equazionidi pi frequente utilizzo nel caso di moto laminare e turbolento rispettivamente.

2I valori critici del numero di Reynold per flusso allinterno di un tubo circolare sonocompresi tra 2300 e 4000.


47/58


Moto laminare Nel caso di moto laminare allinterno di un tubo circolare

con temperatura alla parete costante e per lunghezza del tubo molto elevata, ilnumero di Nusselt medio pu essere ricavato molto semplicemente dalla:

N uD= hD

= 3.66

Per tubi di lunghezza tale che leffetto della lunghezza di ingresso idrodinamicanon pu essere trascurata il calcolo del numero di Nusselt medio pu esserevalutato mediante lequazione seguente dovuta a Sieder e Tate:

N uD= 1.86

D

L

ReDP r

1/3 bs

0.14valida per

0.48< Pr < 16700(D/L) ReDP r >10

con le propriet del fluido valutate alla temperatura di miscelazione adiabaticacon leccezione di s la quale deve essere valutata alla temperatura della paretedel tubo.

Moto turbolento Il calcolo del numero di Nusselt medio per moto turbolentoallinterno di tubi lisci sufficientemente lunghi da poter trascurare gli effettidella regione di ingresso termica ed idrodinamica pu essere valutato mediantelequazione seguente dovuta a Colburn:

N uD = hD

= 0.023Re0.8P r1/3

nella quale Re = wD/ con w la velocit media calcolata mediante la (2.19).Lequazione precedente applicabile per: 0.7< Pr 10000LD >60 tubi lisci

Solo poco diversa dallequazione precedente la:

N uD = hD

= 0.023Re0.8P rn

dove n = 0.4 per Ts > Tb (riscaldamento del fluido) e n = 0.3 per Ts < Tb(raffreddamento del fluido). Il campo di applicazione lo stesso dellequazionedi Colburn.

Per situazioni caratterizzate da variazioni significative delle propriet ter-

mofisiche del fluido, raccomandata lequazione di Sieder e Tate seguente:

N uD = 0.027Re0.8P r1/3

bs

0.14applicabile per:

0.7< Pr 10000LD

>60 tubi lisci

con le propriet del fluido valutate alla temperatura di miscelazione adiabaticacon leccezione di s la quale deve essere valutata alla temperatura della paretedel tubo.

Analoghe correlazioni sono disponibili anche per tubi o condotti non circolari.


48/58


Tipo di flusso Intervallo diGrL P r c n

Laminare 10

4

109

0.59

1

4Turbolento 109 1013 0.10 13

Tabella 2.1: Costanti c e esponenten presenti nellequazione (2.20)

2.2 Equazioni in convezione naturale

Lanalisi di un sistema sede di un scambio termico in convezione naturale molto complesso ed i dati sperimentali necessari per la costruzione di correlazioniempiriche affidabili per lo studio di situazioni di pratico interesse sono spessonon disponibili.

Esistono in letteratura, comunque, correlazioni ormai accettate per lastrapiana verticale, orizzontale o inclinata. In questi ultimi due casi viene contem-

plato sia il caso di flusso termico convettivo verso lalto o verso il basso. In tuttii casi sono stati studiati, poi, due condizioni al contorno. La prima prevedeassegnata la temperatura (uniforme) della superficie della lastra nel qual caso ricercato il valore del numero di Nusselt medio. La seconda, invece, prevedeassegnato il flusso termico nel qual caso si ricerca il valore della temperaturasuperficiale della lastra.

Numerose altre situazione di interesse sono anche state studiate (convezionenaturale su cilindri in posizione verticale o orizzontale, su sfere, in cavit) ei risultati, in forma di correlazioni empiriche, sono riportate nella letteraturaspecializzata.

Nel seguito, per brevit, viene fatto riferimento al solo caso della lastra pianae dellintercapedine verticale.

2.2.1 Lastra piana verticale isoterma

Consideriamo una lastra piana verticale la quale sia mantenuta alla temperaturacostante Ts. Il numero di Nusselt medio N u pu essere determinato per iltramite della relazione molto semplice seguente:

N u= cp(GrL P r)n =cpRa

nL (2.20)

in cui L indica laltezza della lastra e RaL= GrL P r il numero di Rayleigh.Il numero di GrashofGrL definito come:

GrL=g(Ts T) L3

2

I valori di cp ed n raccomandati per regime laminare (Gr < 109) e turbolento(Gr > 109) sono riportati nella tabella (2.1) la quale mostra che per moto inregime turbolento h indipendente dalla lunghezza della lastra.

Pi recente della (2.20) la correlazione:

N u1/2

= 0.825 + 0.387 Ra

1/6L

1 + (0.492/P r)9/168/27

la quale ha il vantaggio di fornire risultati affidabili sia per regime laminare cheturbolento nellintervallo101 < RaL< 1012. Le propriet fisiche sono valutatealla temperatura media del film.


49/58


2.2.2 Lastra piana verticale con flusso imposto

La convezione naturale su lastra piana verticale con flusso termico superficialeimposto stata sufficientemente studiata.

Le correlazioni seguenti che forniscono il numero di Nusselt locale per regimelaminare e turbolento sono empiriche e basate su dati sperimentali riferiti adaria ed acqua:

N ux = 0.60 (Gr

xP r)1/5 (2.21)

105 < GrxP r


50/58


2.2.3 Intercapedini chiuse verticali

Si tratta di uno spazio confinato tra due superfici contrapposte mantenute adifferente temperatura. La superficie laterale (tratteggiata in Fig.2.3) suppostaadiabatica. Tale configurazione di sicuro interesse per lo studio dello scambiotermico in numerose situazioni pratiche. Si pensi ad esempio alle intercapedinipresenti allinterno delle pareti perimetrali degli edifici o, pi recentemente alleintercapedini realizzate tra due lastre di vetro a costituire i cosiddetti vetridoppi. Situazioni di interesse sono rappresentate anche da configurazioni incui la struttura di Fig.2.3 non verticale, ma inclinata rispetto allorizzontedi un certo angolo. Si pensi ad esempio allo spazio racchiuso tra la superficieassorbente di un pannello solare e la copertura in vetro o in plastica che lasovrasta. In questa sede si considerer, per brevit, il solo caso verticale.

T

L B

HT1 2

Figura 2.3: Schema di una intercapedine verticale.

Allo scopo introduciamo il cosiddetto rapporto di formadefinito come:

Ar =H

L

Il flusso convettivo unitario dato dalla:

q= h (T1 T2)mentre il numero di Nusselt e di Rayleigh:

N u= hL

RaL= g(T1 T2) L3

2 P r

Le propriet del fluido sono valutate alla temperatura media:

T = T1+ T2

2


51/58


S

H

L

t

Figura 2.4: Nomenclatura per una superficie alettata verticale

Per lastre verticali si ha che il numero di Nusselt valido rappresentato dalmaggiore tra i tre seguenti:

N u1= 0.0605Ra1/3L

N u2=

1 +

0.104Ra0.293L

1 +6310RaL1.36

3

1/3

N u3= 0.242

RaLAr

0.272purch:

5< Ar < 110

100< RaL< 2 107

2.2.4 Superfici alettate

Si visto a suo tempo che lefficienza di una superficie alettata influenzatafortemente dal valore della conduttanza termica convettiva h che si stabilisceallinterfaccia solido-fluido. Tale valore dipende, a sua volta, dalla natura delfluido (gas o liquido) e dallefficacia dei moti convettivi (convezione forzata onaturale).

Nel caso delle superfici alettate lefficacia dei moti convettivi dipende forte-mente dalla spaziatura tra le alette la quale influenza la resistenza al moto delfluido. Infatti se la tendenza quella di diminuire la spaziatura delle alette neltentativo di incrementare la superficie di scambio, ci produce una diminuzionedella dimensione degli spazi in cui avviene i

Trasmissione del calore - convezione.pdf

Documents

Transcript of Trasmissione del calore - convezione.pdf