TRASMISSIONE DEL

CALORE

IMPORTANZA DELLA TRASMISSIONE DEL CALORE

Nel campo industriale si incontrano diversi esempi:• La produzione e la conversione di energia termica tramite combustibili fossili o nucleari, la geotermia, l’energia solare.• Le apparecchiature per la conversione dell’energia termica: motori alternativi, turbine, scambiatori di calore, generatori di vapore.• Il riscaldamento, il condizionamento e la ventilazione degli edifici. • I processi produttivi.

Inoltre esempi interessanti di scambio termico si trovano anche in settori quali il campo ambientale e quello biologico. In campo ambientale, per esempio, i fenomeni di scambio termico sono molto importanti in settori quali:• L’inquinamento termico da scarichi industriali. • L’inquinamento dell’aria e dell’acqua. • Le variazioni climatiche sia su scala globale che locale.

A livello biologico, per esempio, questi fenomeni sono importanti per:• La regolazione della temperatura del corpo e quindi sono legati a quelle che sono definite le condizioni di benessere termo-igrometrico, dati di progetto per gli impianti di condizionamento.• Le condizioni ottimali per la riproduzione delle specie animali e vegetali.

LA TRASMISSIONE DEL CALORE

Anche se storicamente questo settore si è sviluppato in maniera autonoma, in realtà fa parte della termodinamica.

Nella trattazione classica della termodinamica di solito non si considera mai il tempo in cui avviene un determinato processo. Questo perché si considerano sempre stati di equilibrio come condizioni iniziali e finali; quindi, se la trasformazione è reversibile, il tempo diviene infinito; se, invece, la trasformazione è irreversibile non abbiamo alcun strumento per valutare che cosa succede all’interno della trasformazione stessa.

È evidente che le trasformazioni che considereremo saranno irreversibili, poiché avvengono a velocità finita e con salto termico finito. Quando considereremo lo scambio termico all’interno di un solido o di un fluido globalmente in quiete (definiremo questo meccanismo di scambio termico conduzione) saremo, sì, in condizioni di non equilibrio, ma almeno localmente saremo vicini all’equilibrio. Ciò significa che le variabili termodinamiche intensive come T, P, V diventano in questo caso funzione della posizione e del tempo:

T = T (x,t)P = P (x,t)V = V (x,t)

Se il fluido è in movimento (in questo caso definiremo il meccanismo di scambio termico convezione) potremmo trovarci in condizioni turbolente e quindi lontani dallo stato di equilibrio. In questo caso definiremo un coefficiente empirico che chiameremo coefficiente convettivo. L’approccio che impiegheremo per affrontare questi problemi sarà quello utilizzato in termodinamica (vedi Figura).

• Definiremo un volume di controllo • Applicheremo a questo volume di controllo le equazioni di conservazione della massa, dell’energia e l’equazione di stato.

Definiamo calore generato all’interno del volume di controllo quel calore che deriva dalla conversione di altre forme di energia in calore che avviene all’interno del volume. Queste forme di energia sono quella chimica, l’elettrica, l’elettromagnetica e quella nucleare. Per fare un esempio noto a tutti, il calore generato per effetto Joule all’interno di un filo elettrico lo esprimeremo come un calore generato.

Attraverso la superficie del volume di controllo si avrà scambio termico ogni qualvolta vi sia una differenza di temperatura tra l’ambiente e la superficie. Le modalità fisiche con cui avviene questo trasferimento di energia sono diverse. In letteratura si trovano in genere tre modalità di scambio termico:

conduzioneconvezioneirraggiamento

In realtà i primi due meccanismi si basano su gli stessi principi e sono legati alla presenza di massa in movimento nel sistema. La differenza sta nel fatto che la conduzione è associata a moti atomici o molecolari mentre la convezione è legata a moti macroscopici di massa. L’irraggiamento invece è legato a fenomeni di propagazione di onde elettromagnetiche. Per questo motivo lo scambio termico radiativo può avvenire anche nel vuoto.

MODALITA’ DI SCAMBIO TERMICO

IRRAGGIAMENTO TERMICOA differenza della conduzione e della convezione lo scambio termico radiattivo non richiede la presenza di massa tra i sistemi che scambiano energia. La sua importanza è notevole, non solo in problemi ambientali, sia su piccola, sia su grande scala, ma anche in numerosi processi industriali di riscaldamento, raffreddamento, essiccazione e nei sistemi di conversione dell’energia, caratterizzati dall’utilizzo di combustibili fossili o dall’impiego dell’energia solare.

Il problema della valutazione dell’energia emessa per irraggiamento non è banale, in quanto le caratteristiche dell’emissione sono legate, sia alla lunghezza d’onda d’emissione, sia alla direzione in cui il corpo emette. La lunghezza d’onda λ è legata alla frequenza ν tramite la relazione:

Una superficie reale riflette anche parte dell’energia che riceve dal campo circostante, che si somma a quella emessa. Da queste osservazioni si vede che le caratteristiche dell’energia effettivamente emessa da una superficie reale dipendono sia dalla superficie, sia dal campo circostante. Il calore netto scambiato tra due superfici è uguale alla differenza tra l’energia emessa e quella ricevuta dal corpo. Per poterlo valutare vi è un problema: non tutta l’energia emessa da una superficie incide sull’altra.Da queste brevissime note si comprende la complessità del problema. Dovremo ricorrere a dei modelli. Noi ne introdurremo due:

il corpo nero e il corpo grigio (o superficie grigia).

IL CORPO NERODefiniamo corpo nero un corpo che presenta le seguenti caratteristiche:

• Il corpo nero assorbe tutta la radiazione incidente. • Per ogni temperatura e lunghezza d’onda assegnata, nessuna superficie può emettere più di un corpo nero. • Il corpo nero è un emettitore diffuso, il che significa che l’emissione non è funzione della direzione.

Il comportamento del corpo nero può essere approssimato sperimentalmente con una cavità la cui la superficie interna è mantenuta a temperatura costante. Vi è solo un piccolo foro da cui entra la radiazione, per cui la probabilità che un raggio possa uscire una volta entrato è molto piccola.

IRRAGGIAMENTO - LEGGE DI PLANCK

Prima di definire la legge di Planck dobbiamo definire il potere emissivo monocromatico.

Il potere emissivo monocromatico, Eλ, è definito come la potenza radiativa di lunghezza d’onda λ, emesso in tutte le direzioni da una superficie, per unità di intervallo dλ e per unità d’area.

La legge di Planck esprime come varia il potere emissivo monocromatico di corpo nero al variare della temperatura assoluta e della lunghezza d’onda.

Tralasciamo la formula che tutto sommato per le nostre esigenze può dire poco ed analizziamo piuttosto la sua rappresentazione grafica riprodotta in Figura seguente

• Fissata la lunghezza d’onda, il valore della radiazione emessa cresce all’aumentare della temperatura.

• All’aumentare della temperatura il corpo nero tende ad emettere a lunghezze d’onda minori.

IRRAGGIAMENTO - LEGGE DI WIEN

Dall’analisi della Figura precedente si vede che il potere emissivo monocromatico del corpo nero ha un massimo e che la lunghezza d’onda, λm, a cui corrisponde questo massimo, dipende dalla temperatura.

Si nota che all’aumentare della temperatura λm si sposta verso valori minori. Wien dimostrò che questo spostamento segue la legge:

λm * T = 2897,6 (μm * K)

P.S.: La curva che rappresenta questa legge è un’iperbole. Nella figura la legge di Wien appare invece rappresentata come una retta, poiché il grafico è log-log.

IRRAGGIAMENTO - LEGGE DI STEFAN-BOLTZMANN

Per conoscere il potere emissivo globale, cioè la potenza emessa per unità d’area su tutto lo spettro e per ogni direzione, mi basterebbe integrare su tutto il campo di frequenza il potere emissivo monocromatico. Per il corpo nero, quindi, dovrei integrare la legge di Planck su tutto lo spettro di frequenze. Facendo questa operazione ottengo la legge di Stefan-Boltzmann:

E =σ * T4

dove: E è il potere emissivo globale di corpo nero, espresso in [W/m2]. σ è la costante di Stefan-Boltzmann che vale: σ =5,67 x 10-8 W/m2 K4.

In realtà Stefan ricavò nel 1879 questa formula per via empirica e Boltzmann la dimostrò nel 1884 senza ricorrere alla legge di Planck, che è di diversi anni successiva.

IRRAGGIAMENTO - LEGGE DI STEFAN-BOLTZMANN

SCAMBIO DI CALORE TRA DUE CORPI NERI

Pero ogni corpo nero vale la legge di Stefan-Boltzmann quindi:

E1 =σ * T14 Energia emessa dal corpo 1

E2 =σ * T24 Energia emessa dal corpo 2

Allora l’energia netta scambiata tra i due corpi sarà:

E = E1 - E2 = σ * (T14 - T24)

N.B. Come si vede dalle unità di misura, tale energia è per unità di superficie; per trasformarla in energia netta si deve moltiplicare per la superficie del corpo.

Di solito, per convenzione, si prende la superficie del corpo più grande

E = A * σ * (T14 - T24)

IL CORPO GRIGIO

Nella pratica il corpo nero è un modello che non può essere usato; ciò che si avvicina di più tra i corpi reali sono i cosiddetti CORPI GRIGI:

un corpo si definisce grigio quando NON è in grado di assorbire tutta la radiazione incidente e quando NON è in grado di emettere onde elettromagnetiche di qualsiasi lunghezza d’onda.

In pratica un corpo grigio è un corpo nero che presenta una energia di assorbimento/emissione solo su una finestra limitata di spettro elettromagnetico.

Per tenere conto di tale limitatezza, si introduce per i corpi grigi il concetto di EMISSIVITA’ definita come l’energia che il corpo reale assorbe/emette diviso l’energia che il corpo avrebbe emesso/assorbito se, anzichè grigio, fosse stato nero.

L’emissività viene indicata con la lettera ε ed ovviamente è adimensionale

Per i corpi grigi le equazioni di scambio di energia si trasformano quindi in

E = ε * A *σ * T4

E = ε * A * σ * (T14 - T24)

Energia totale EMESSA da un corpo grigio(indipendentemente se c’è un altro corpo in grado di assorbirla)

Energia Totale SCAMBIATA TRA DUE corpi grigi

LA CONDUZIONE

La conduzione è legata a processi che avvengono a livello atomico o molecolare. Per spiegare il fenomeno consideriamo dapprima un gas macroscopicamente in quiete racchiuso in un recipiente in cui le due pareti poste orizzontalmente sono a temperatura diversa, con la parete superiore a temperatura maggiore, vedi Figura:

Le molecole vicino alla parete calda hanno una temperatura e quindi un energia cinetica maggiore. Il loro moto avviene casualmente in tutte le direzioni; quindi prima o poi collideranno con le molecole a temperatura più bassa trasferendo a queste parte della loro energia. In tal modo vi è un trasferimento di energia dalla parete calda a quella fredda.Definiremo questo meccanismo una diffusione di energia. Nei liquidi il meccanismo è analogo.

Nei solidi, invece, il meccanismo della conduzione dipende dal tipo di materiale:• Nei materiali con struttura reticolare la trasmissione termica dipende dalle vibrazioni degli atomi costituenti il reticolo.• Nei materiali conduttori, invece, la trasmissione termica dipende dal movimento degli elettroni liberi.

Dall’esperienza si è ricavata una legge fenomenologica, detta legge di Fourier.

in cui dQ è la quantità di calore trasferita a seguito di un incremento di temperatura dT e lungo una direzione specifica dx.

K è una costante definita come Conducibilità termica (o conduttività termica) del materiale.

La CONDUCIBILTA’ (o CONDUTTIVITA’) TERMICA

La conduttività termica è una proprietà termofisica della materia. Il suo valore è, quindi, strettamente legato alla struttura atomica del materiale. In termini generali si può affermare che il suo valore diminuisce passando dai solidi conduttori, alle leghe, ai liquidi e ai gas.È bene ribadire, però, che i fluidi devono essere macroscopicamente fermi, altrimenti si innescano i meccanismi propri della convezione. Nei solidi la conduttività dipende sia dal movimento degli elettroni liberi, sia dalle vibrazioni del reticolo cristallino. Il movimento degli elettroni liberi risulta essere inversamente proporzionale alla resistività elettrica del materiale. Nei materiali conduttori l’apporto alla conduttività degli elettroni liberi è preponderante rispetto alle vibrazioni del reticolo; nelle leghe i due apporti diventano comparabili.Nei materiali non metallici l’apporto principale alla conduttività termica è dato dalle vibrazioni del reticolo; la sua regolarità favorisce la conduttività termica. Questo spiega perché il quarzo ha una conduttività termica ben più alta del vetro. Il diamante, per esempio, avendo una struttura reticolare molto ordinata presenta una conduttività termica molto alta, superiore anche ai migliori metalli puri. Nei materiali isolanti la conduttività dipende da numerosi fattori, legati sia al materiale, sia alla struttura.

Nel diagramma successivo è riportata la conduttività termica per alcuni solidi in funzione della temperatura.

CONDUCUBILITA’ : LASTRA PIANA MONODIMENSIONALE

L’Equazione di Fourier diventa

o anche

CONDUCIBILITA’ : LASTRE PIANE MONODIMENSIONALI COMPOSTE

CONDUCIBILITA’ : GEOMETRIA CILINDRICA (TUBAZIONI)

!

!

LA CONVEZIONE Nello scambio di calore per convezione almeno uno dei due

elementi che partecipano è un fluido.

Esaminiamo il caso più semplice: una parete piana (verticale o

orizzontale) lambita da un fluido.

Se la parete ed il fluido sono alla stessa Temperatura, il fluido

rimane fermo e non si ha scambio di calore; vi sono soltanto

moti Browniani ma complessivamente il fluido rimane in

quiete.

Se la lastra ha una T maggiore di quella del fluido, il generico

volumetto di fluido (indicato per brevità con dV) a contatto

con la lastra si riscalda ed aumenta il proprio volume, poiché

tutti i corpi per effetto di un ΔT positivo tendono a dilatarsi

in misura maggiore o minore a seconda del valore del

coefficiente di dilatazione termica β. l’aumento di volume

modifica la situazione precedente di equilibrio: all’interno della

massa ogni volumetto di fluido dV è soggetto alla Forza peso

ed alla forza di Archimede che, in assenza di dilatazioni, si

equivalgono.

Quando il fluido si scalda il suo volume aumenta ma il peso

resta lo stesso, quindi la Forza di Archimede aumenta e supera

la forza peso: il generico dV di fluido tende a salire.

In conclusione, il riscaldamento del fluido provoca una dilatazione di volume generando una spinta verso l’alto: l’effetto globale

è una corrente ascensionale di fluido, ossia un MOTO CONVETTIVO che, come in questo caso in cui la parete è più calda, è

diretto verso l’alto; in caso contrario è diretto verso il basso.

In seguito alla corrente ascensionale nuovo fluido proveniente dalle zone circostanti andrà a sostituire quello caldo spinto

verso l’alto.

LA CONVEZIONE IMPLICA QUINDI NECESSARIAMENTE UN TRASPORTO DI MASSA ASSOCIATO AL TRASPORTO DI

CALORE.

Inoltre, in questo caso il trasporto di massa (cioè il moto del fluido) è diretta conseguenza dello scambio di calore: si parla di

CONVEZIONE NATURALE, ossia in quei casi in cui il trasporto di massa è funzione del solo scambio termico e viceversa

senza l’azione di agenti esterni.

In altri casi, infatti, il fluido potrebbe essere già in moto rispetto alla parete (ad esempio spinto da un compressore in caso di

gas o da una pompa centrifuga in caso di un liquido); se fluido e parete hanno la stessa temperatura non c’è ovviamente

scambio termico, ma se le due temperature sono diverse lo scambio di calore avviene come al solito: in questo caso però il

trasporto di calore non è collegato al trasporto di massa, poiché quest ultimo è regolato da componenti esterni (pompe,

compressori, ventilatori, ecc.). In questo caso si parla di CONVEZIONE FORZATA.

Il concetto di strato limite

Il moto complessivo del fluido ha per effetto il trasferimento di calore a seguito di un trasferimento di

massa.

Tutto ciò avviene ad una certa distanza dalla parete poiché, se ci si pone nelle immediate vicinanze,

essendo la parete ferma, anche il fluido a contatto sarà fermo. Tale strato di fluido fermo è dovuto anche

alla scabrezza della superficie: in pratica è come se il fluido ricoprisse le asperità superficiali del materiale,

ma esse generano ostacolo al movimento e, attaccato alla parete, il fluido è praticamente fermo.

A mano a mano che ci si allontana dalla parete la velocità v del fluido inizia a crescere fino a raggiungere il

valore medio assunto in fase massiva, ossia la velocità nominale del fluido v* (molti testi riportano v∞

cioè la velocità del fluido a distanza infinita dalla lastra, il che equivale a dire la velocità nominale del fluido

in una condizione in cui l’effetto della lastra non si esplica più).

Praticamente, allontanandosi dalla parete la velocità del fluido aumenta da v=0 fino a v=v*: si definisce

STRATO LIMITE di VELOCITA’ o STRATO LIMITE FLUIDODINAMICO lo strato di fluido all’interno del

quale la velocità aumenta da v=0 fino al 99% della velocità nominale, ossia fino a v=0,99v*.

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In maniera molto più esplicativa si puo’ ricorrere al caso in cui un fluido si immetta dentro una

tubazione: all’imbocco avrò un profilo di velocità per cui v=0 sulla parete e velocità crescenti via

via che il fluido percorre cammino all’interno della tubazione.

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All’interno di questo strato limite, il fluido può muoversi in regime laminare o turbolento, cosi come si può avere

regime laminare o turbolento anche in fase massiva: lo strato limite rappresenta solo lo spessore di liquido nel quale si

passa da v=0 ad un regime di velocità che al 99% è quello massivo.

E’ ovvio che se in fase massiva il fluido ha regime laminare, lo spessore dello strato limite sarà maggiore; mentre se in

fase massiva il moto è completamente turbolento lo spessore dello strato limite sarà molto piccolo.

In ogni caso, a contatto con la parete vi sarà sempre una “pellicola” di liquido ferma (una specie di “sottostrato”

laminare), il cui spessore dipende dalla scabrezza del materiale, dalla viscosità del fluido e da altri parametri chimico-

fisici.

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Il coefficiente di convezione

Come già visto, rispetto alla conduzione nella convezione i meccanismi che regolano lo scambio di calore sono molto più complessi.

Nella convezione si adotta un approccio diverso: partendo da un’equazione generale, si fa riferimento a casi reali per i quali sono note le

geometrie ed i parametri del problema (lastra piana orizzontale o verticale, tubo percorso internamente dal fluido, tubo lambito

esternamente dal fluido, serie di tubi, ecc.) e per ognuno di essi si risolvono di volta in volta le equazioni che regolano il trasferimento di

calore.

Equazione generale

Tale equazione si basa sui seguenti assunti:

• il calore scambiato deve comunque essere proporzionale al ΔT tra fluido e parete

• indipendentemente che lo strato limite coincida o meno con la pellicola, il calore, partendo dalla parete, deve attraversare uno

strato di liquido completamente fermo: praticamente è come se fosse una seconda parete attaccata alla prima. Si potrebbe usare

l’espressione di Fourier per la conduzione su pareti composte, ma il problema è che non si conosce lo spessore della pellicola

• poiché il liquido nella pellicola è fermo, tale strato di fluido è comunque anisotropo quindi non si possono assegnare gli stessi valori

dei parametri chimico-fisici calcolati per la fase massiva.

L’effetto della pellicola, con il suo spessore non calcolabile e la sua anisotropicità, viene inglobato nel parametro

h coefficiente di convezione (o coefficiente di pellicola) per cui si ha

Q = A h ΔT Formula generale di Newton per la convezione

(notare la similitudine con l’espressione di Fourier per la conduzione, dove si potrebbe affermare che h = K / s).

Il calcolo del calore scambiato per convezione si riduce quindi al calcolo dei coefficienti di pellicola, calcolo che come detto viene fatto

caso per caso (lastre, tubi, ecc.)

Calcolo dei coefficienti di convezione h

Il calcolo di h è fatto sfruttando una tecnica matematica conosciuta come ANALISI DIMENSIONALE. Essa si

basa su un importante teorema detto Teorema π o Teorema di Buckingham.

La soluzione di queste equazioni è molto complessa; in definitiva si devono calcolare dei numeri

adimensionali

Re= µ! x v x d = f o r z e v i s cose

f o r z e d i i n e r z i a

!

Pr = KC p x µ = d i f f u s i v i t a ' d e l c a l o r e

d i f f u s i v i t a ' d e l l a q . d i m o to!

Si può considerare a tutti gli effetti come una proprietà chimico-fisica del fluido: in pratica dà una misura di come un fluido diffonde simultaneamente il calore e la quantità di moto (ossia un trasferimento di massa)

Se il moto è laminare, prevalgono le forze viscose di coesione tra le molecole del fluido; viceversa, nel moto turbolento prevalgono le forze inerziali di moto.

Praticamente rappresenta l’incremento della potenza termica trasmessa per convezione rispetto a quella trasmessa per pura conduzione

Numero di NUSSELT

Numero di REYNOLDS

Numero di PRANDTL

La soluzione delle equazioni dimensionali sta nel calcolo del numero di Nusselt in funzione degli altri due ovvero

h= ! dK Re] ga Pr] gb

!

Ciò permette il calcolo del coefficiente di convezione h.

I valori delle tre costanti numeriche (Φ, a, b) sono determinati in funzione della geometria del

problema di trasmissione

A solo titolo di esempio si riportano alcune tabelle per il calcolo delle tre costanti in regime di convezione forzata e naturale