Errori inferenza statistica Analisi della Varianza -...
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1 M Q Errori inferenza statistica Analisi della Varianza - I Marco Perugini Milano-Bicocca Lez: XXVIII
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M
Q
Errori inferenza statistica
Analisi della Varianza - I
Marco Perugini
Milano-Bicocca
Lez: XXVIII
Errori nell’inferenza statistica
• La statistica viene usata per fare inferenze a
partire dei dati empirici osservabili
• Le inferenze possono essere errate
• Tre tipi di errori
• NHST*: Errore I tipo (Falsi positivi)
Errore II tipo (Falsi negativi)
• IC: Errore di stima (imprecisione)
NHST= Null Hypothesis Significance Testing
(quello che vi è stato insegnato: H0 vs. H1)
Lezione: XXVIII
Nullo è vero (H0 è corretta)
Nullo è falso (H1 è corretta)
Nullo è
vero
N
ullo è
fals
o
Mondo reale (POPOLAZIONE) Conclu
sio
ni del te
st
di
sig
nific
atività (
CA
MP
IO
NE)
Decisione corretta
Decisione Corretta
Errore II tipo
Errore I tipo
Errori di inferenza nel NHST
Lezione: XXVIII
• Errore I Tipo: Rifiutare erroneamente l’ipotesi
nulla (Falso positivo).
Il risultato nel campione è significativo (p < .05),
quindi l’ipotesi nulla è rifiutata, ma in realtà essa è
vera nella popolazione.
• Errore II Tipo: Accettare erroneamente l’ipotesi
nulla (Falso negativo). Il risultato nel campione
non è significativo (p > .05), quindi l’ipotesi nulla
non è rifiutata, ma in realtà essa è falsa nella
popolazione.
Errori di inferenza nel NHST
Lezione: XXVIII
Come tenere sotto controllo l’errore di I tipo?
• L’errore di I tipo (Falso positivo) è tenuto sotto controllo dal ricercatore.
• E’ chiamato il livello dell’alfa, e corrisponde al valore di probabilità che si usa per dichiarare il risultato significativo.
• Per convenzione, viene usato un alfa (a) minimo di .05. Ciò significa che l’ipotesi nulla è rifiutata quando un valore come quello trovato è probabile che accada il 5% delle volte o meno quando l’ipotesi nulla è corretta.
• Il test può essere a due code (più comune) o ad una coda (direzionale)
Lezione: XXVIII
Lezione: XXVIII
• Anche l’errore di II tipo (Falso negativo) può essere tenuto
sotto controllo dal ricercatore.
• L’errore di II tipo è chiamato beta (b) come complemento
ad alfa.
• Il modo più semplice per tenere sotto controllo l’errore del
II tipo è aumentare la potenza statistica di un test.
• Potenza statistica = probabilità di trovare un effetto nel
campione, se esso esiste nella popolazione
• Potenza = 1 – b
• Per convenzione, una potenza di almeno .80 (b=.20) è
considerata accettabile. Ciò significa che si ha una
probabilità di 80% o più di trovare un effetto se esso esiste
Come tenere sotto controllo l’errore di II tipo?
Lezione: XXVIII
• La potenza dipiende dalla forza dell’effetto e dalla numerosità
campionaria, dato un certo livello alfa (ad es., a=.05)
Cosa influenza la potenza?
Potenza tra (between) Ss
Gpower, http://www.gpower.hhu.de/en.html
• La potenza per studi entro i soggetti (within Ss) è maggiore
(ceteris paribus) ma dipende da r (ad es., r = .50) tra VD
Cosa influenza la potenza?
• O ci si aspetta un effetto forte o c’è bisogno di
un campione sostanziale
• L’effetto medio in Psicologia è di circa d=0.5
• Si può avere un campione ampio (ad es., N=274)
per trovare un effetto piccolo (ad es., d=0.30)
• Si può avere un campione piccolo (ad es., N=26)
per trovare un effetto grande (ad es., d=1.0)
• Ma non si può avere un campione piccolo per
trovare un effetto piccolo
• Studi entro i soggetti possono avere più potenza
Implicazioni
Lezione: XXVIII
Errore IC
• In un approccio IC (ad es., AIPE, Maxwell, ARP
2008) l’errore è dato dall’imprecisione nella stima.
• Una cosa conta molto: più è grande il campione,
meglio è (ceteris paribus)
• Il punto non è se un effetto esiste (oppure no) ma
quanto è precisa la nostra stima
• All’estremo, tutti gli effetti esistono dato un camione
di dimensioni infinite
• If you want to get it right, increase sample size
Lezione: XXVIII
Example from Schonbrodt & Perugini
(2013)
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Statistica Inferenziale
II
Lez: XXVIII
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Analisi della Varianza
(ANOVA, Analysis of Variance)
Obiettivo
- Confrontare due o più gruppi per stabilire se differiscono
significativamente nella media di una variabile (ANOVA,
ANCOVA)
Variabile indipendente o fattore
- La variabile (o le variabili) categoriale che definisce l’appartenenza
ai gruppi
Variabile dipendente
- La variabile misurata almeno su scala a intervalli, che viene
confrontata tra i gruppi
Lezione: XXVIII
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Diversi tipi di ANOVA
ANOVA a una via
- Una sola V.I., una sola V.D.
- Esempio: Ricerca di marketing – 3 diverse comunicazioni pubblicitarie (V.I.), valutazione del
prodotto (V.D.)
ANOVA fattoriale
- Più di una V.I., una sola V.D.
- Esempio: Ricerca di marketing – 3 diverse comunicazioni pubblicitarie (V.I.) valutate da
uomini e donne (V.I.), valutazione del prodotto (V.D.)
ANCOVA (Analysis of Covariance; Analisi della Covarianza)
- Presenza di Covariate (variabili di cui si desidera controllare statisticamente l’effetto sulla
V.D.)
- Esempio: Ricerca di marketing – 3 diverse comunicazioni pubblicitarie (V.I.), valutazione del
prodotto (V.D.) – Tenendo sotto controllo la quantità d’uso del prodotto (covariata)
Lezione: XXVIII
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Diversi tipi di ANOVA - II
Condizioni sperimentali
- Tutte le diverse modalità che si creano a seconda del valore assunto dalle
V.I.
- Qui sopra: due fattori (Spot a 3 livelli, Sesso a 2 livelli), 6 condizioni
sperimentali. Disegno fattoriale 3 x 2.
ANOVA tra i soggetti (between subjects) - Ogni soggetto partecipa a una sola condizione sperimentale
ANOVA entro i soggetti (within subjects) - Ogni soggetto partecipa a tutte le condizioni sperimentali
ANOVA mista - Presenza di fattori entro e fattori tra i soggetti
Lezione: XXVIII
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ATTENZIONE
Lezione: XXVIII
19
Tutto ciò che è presentato dalla
prossima slide NON sarà parte del
programma di esame
(Nel compito d’esame NON ci
saranno domande relative alle
prossime slides, incluse quelle della
prossima lezione «virtuale»
aggiuntiva)
Lezione: XXVIII
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ANOVA a una via tra i soggetti - Esempio
Studio sui consumi
- Obiettivo: studiare il livello di soddisfazione degli acquirenti di 4 tipi di
automobili ad un anno dall’acquisto.
- Intervista a 20 acquirenti per ogni marchio, calcolo di un indicatore di
soddisfazione
Ci sono differenze significative nel
livello medio di soddisfazione degli acquirenti dei 4 tipi di auto?
H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4
Ossia: la variabilità osservata tra le 4 medie campionarie può essere
attribuita al caso?
Lezione: XXVIII
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ANOVA a una via – la struttura dei dati
Fattore MODELLO D’AUTOMOBILE
→ 4 CATEGORIE
→ sono tutte
osservazioni
indipendenti
→ MEDIE OSSERVATE
NEL CAMPIONE
→ MEDIE NELLA
POPOLAZIONE
𝑋 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑒 𝑙𝑒 𝑜𝑠𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑒 μ = valore medio nella popolazione
Lezione: XXVIII
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ANOVA a una via – la struttura dei dati
Fattore MODELLO D’AUTOMOBILE
xij = μ + αi + εij
𝑋 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑒 𝑙𝑒 𝑜𝑠𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑒
μ = valore medio nella popolazione
La generica osservazione xij può essere scomposta in 3 elementi:
μ = media generale
αi = μi - μ = effetto del fattore i
εij = componente d’errore specifica dell’osservazione
ij (scostamento rispetto alla media della condizione)
Non abbiamo i valori μ e α della popolazione, li stimiamo dal campione:
μ = X
α𝑖 = (X𝑖 − X )
ε𝑖𝑗 = (X𝑖𝑗 − X𝑖 )
xij = X + (X𝑖 − X ) + (X𝑖𝑗 − X𝑖 )
εij indica la variabilità nei punteggi non attribuibile al fattore
(attribuibile ad errore di misurazione e differenze tra i soggetti)
Lezione: XXVIII
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ANOVA a una via – la logica
Fattore MODELLO D’AUTOMOBILE
xij = X + (X𝑖 − X ) + (X𝑖𝑗 − X𝑖 )
Permette di stimare la variabilità della popolazione
nell’ipotesi
Se è vera H0, dobbiamo aspettarci che X1 , X2
, X3 , X4 non siano identiche, ma nemmeno
molto diverse. Quanto possono essere diverse? Dipende dalla variabilità della popolazione
A partire dalla variabilità delle medie campionarie possiamo ottenere una seconda stima della variabilità della popolazione. Se è vera H0 questa seconda stima non sarà (significativamente) superiore alla prima.
H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4
Lezione: XXVIII
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ANOVA a una via – scomposizione della varianza
xij = X + (X𝑖 − X ) + (X𝑖𝑗 − X𝑖 )
Variabilità tra i gruppi
Variabilità entro i gruppi
Dobbiamo capire se la variabilità osservata tra le medie dei campioni sia superiore a quella che è lecito aspettarsi sulla base della variabilità
entro i gruppi.
Lezione: XXVIII
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ANOVA a una via – la DEVIANZA
DEVIANZA (= SOMMA DEI QUADRATI, SQ) = 𝑥𝑖 − 𝑋 2𝑖
Possiamo distinguere
- Devianza totale: SQTOT = 𝑖 𝑥𝑖𝑗 − 𝑋 2𝑗
- Devianza entro: SQENTRO = 𝑖 𝑥𝑖𝑗 − 𝑋𝑖 2
𝑗
- Devianza tra: SQTRA = 𝑖 𝑋𝑖 − 𝑋 2
𝑗
Si può dimostrare che:
SQTOT = SQENTRO + SQTRA
→ La devianza tra i punteggi dei soggetti può essere scomposta in due
parti:
- La parte dovuta alla deviazione dei punteggi dei soggetti dalla media del gruppo cui appartengono
- La parte dovuta alla deviazione del punteggio medio del loro gruppo dalla media complessiva
SQTOT
SQENTRO SQTRA
Lezione: XXVIII
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Partizione della varianza
Lezione:
XXVIII
gruppi i entro variazione
gruppi travariazionestatisticotest =
Varianza totale (SST) =
Tra gruppi (SSM)
Entro i gruppi (SSR)
Come decido se la variazione legata al trattamento (variabilità osservata tra i gruppi) è superiore a quella non legata al trattamento?
Al test statistico è associato un valore di significatività = un valore di probabilità di ottenere quel risultato – o risultati più estremi – per effetto del caso
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ANOVA a una via – la VARIANZA
Possiamo stimare la varianza (MQ = media dei quadrati)
- Varianza totale: MQTOT = SQTOT
(N −1)
- Varianza entro: MQENTRO = SQENTRO
(N − k)
- Varianza tra: MQTRA = SQTRA
(k −1)
N = numerosità complessiva; k = numero di livelli
Gradi di libertà (g.l.)
[→quanti valori sono
liberi di variare]
Il rapporto F
𝑭 = 𝑴𝑸𝑻𝑹𝑨
𝑴𝑸𝑬𝑵𝑻𝑹𝑶
F è il rapporto tra la varianza stimata a partire dalla variabilità tra i gruppi (BETWEEN) e la varianza stimata a partire dalla variabilità entro i gruppi (WITHIN). Segue la distribuzione F di Fisher. http://web.utah.edu/stat/introstats/anovaflash.html
Lezione: XXVIII
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Rappresentazione grafica
Lezione:
XXVIII
W W W
B
B B
29
Alcuni esempi
Lezione:
XXVIII
F1=B/W
B=, W>
F2<F1
B>, W=
F3>F1
B
W
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ANOVA – Esempio
H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4
Ipotesi alternativa: almeno una delle medie,
nella popolazione, è diversa dalle altre
F = 𝑀𝑄
𝑇𝑅𝐴
𝑀𝑄𝐸𝑁𝑇𝑅𝑂
= 446.42
26.976=16.549
SQ gl MQ
Lezione: XXVIII
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ANOVA – Ampiezza dell’effetto
Eta quadrato: la proporzione di variabilità osservata attribuibile al fattore
η2 = 𝑆𝑄𝑀𝐴𝑅𝐶𝐴
𝑆𝑄𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿𝐸
= 1339.261
3389.454 = .395
Lezione: XXVIII
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ANOVA - assunzioni
Distribuzione normale della V.D. entro le condizioni
Omoschedasticità (= varianza uguale in ogni condizione)
Indipendenza delle osservazioni : il punteggio di un soggetto non deve essere
correlato con quello di altri soggetti (ad es., non si può usare questo modello per
osservazioni ripetute di uno stesso soggetto – vedi ANOVA entro i soggetti).
Lezione: XXVIII
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ANOVA a una via – interpretazione
Possiamo rigettare H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 :
- la probabilità di osservare le differenze che abbiamo osservato tra le medie dei 4
campioni è molto bassa, se provengono tutti da una stessa popolazione.
- Il fattore marca ha un effetto statisticamente significativo sul grado di
soddisfazione dei clienti. Il livello di soddisfazione è influenzato dalla marca
acquistata.
Possiamo allora affermare che tutte le medie differiscono significativamente tra
loro?
NO: sappiamo che nel complesso differiscono significativamente tra di loro.
Lezione: XXVIII
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ANOVA – confronti post hoc
post hoc = dopo il fatto (non abbiamo ipotesi a priori) – confronto tra diversi livelli di
un fattore, effettuato dopo un’analisi iniziale dei dati.
nei confronti post hoc generalmente ogni media viene confrontata con tutte le altre.
aumentando il nr. di confronti, aumenta la probabilità che almeno uno risulti
significativo per caso
è opportuno apportare delle correzioni alla significatività di ogni singolo test.
DISUGUAGLIANZA DI BONFERRONI:
Dati c confronti post hoc,
probabilità che almeno uno sia significativo per caso ≤ c * αc
dove αc è il valore che adotto per decidere se il singolo confronto è significativo.
Scelgo il valore αc = α / c
Esempio: se il nr di confronti totale è 6 e voglio che il valore complessivo α = .05,
per ciascun confronto giudico la differenza come significativa solo se p < (.05 /6), ossia
se p < .0083.
= criterio di Bonferroni
Anche se ci limitassimo a confrontare, per esempio, la condizione Audi e la condizione Peugeot perché sono le più estreme, avremmo implicitamente fatto anche tutti gli altri 5 confronti
Lezione: XXVIII
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ANOVA – confronti post hoc
Ci sono anche altre possibilità comunemente usate (ad es. Scheffè e
Dunnett)
Una delle più usate è il Tukey HSD (Honestly Significant Difference)
E’ un approccio più liberale della correzione di Bonferroni ma più
conservatore rispetto al verificare semplicemente le significatività delle
differenze considerando tutti i gruppi a due a due. E’ un buon compromesso
L’approccio della Least Significant Difference (LSD) proposto da Fisher è
anche usato spesso ma è più liberale del Tukey HSD
Lezione: XXVIII
)x x qMS
ni j
W
h
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Lezione: XXVIII
T-test senza correzioni
37’
ANOVA a una via – riportare i risultati
Il livello di soddisfazione dei clienti, a un anno dall’acquisto, è significativamente
diverso a seconda del modello acquistato, F (3,76) = 16.55, p < .001, η2 =.39.
Le principali statistiche descrittive (medie e deviazioni standard) relative all’indice
di soddisfazione, a seconda della condizione sperimentale, sono riportate nella
tabella x.
I risultati dei test post hoc (eseguiti con la correzione di Bonferroni/Tukey HSD-
LSD) sono riportati nella tabella y. Essi evidenziano una differenza significativa tra
le valutazioni medie della marca Peugeot e quelle delle altre marche. Anche la
differenza tra l’indice medio di soddisfazione degli acquirenti Audi e degli
acquirenti BMW è significativa. Nessun’altra differenza si è rivelata significativa ai
test post hoc.
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale tra i soggetti (between subjects)
ANOVA fattoriale = ci sono due o più variabili indipendenti (fattori)
Esempio: soddisfazione degli acquirenti di 4 modelli di automobili
di media cilindrata, di sesso femminile e maschile
tra i soggetti: ogni soggetto viene
assegnato a una sola cella
(condizione)
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale tra i soggetti (between subjects)
ANOVA fattoriale = ci sono due o più variabili indipendenti (fattori)
Esempio: soddisfazione degli acquirenti di 4 modelli di automobili
di media cilindrata, di sesso femminile e maschile
tra i soggetti: ogni soggetto viene
assegnato a una sola cella
(condizione)
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale - vantaggi
Vantaggi dei disegni fattoriali
Consentono lo studio dell’interazione
Aumentano la potenza del test (cioè la probabilità di rilevare un
effetto, se l’effetto è presente) perché consentono di ridurre la varianza
d’errore (cfr. slides successive)
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale – effetti principali e interazioni
Effetto principale: effetto medio di un fattore
sulla V.D., senza considerare i livelli degli
altri fattori.
C’è un effetto del tipo di
modello sul grado di soddisfazione.
Non c’è un effetto significativo del
sesso dell’acquirente
Interazione: L’effetto di un fattore sulla V.D.
è diverso ai diversi livelli dell’altro fattore
L’effetto del tipo di modello è
influenzato dal sesso dell’acquirente
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale – le ipotesi
Effetti principali
Gli effetti principali fanno riferimento alle medie marginali
H0: μaudi = μbmw = μpeugeot = μcitroen
H0: μdonne = μuomini
Interazioni
fanno riferimento alle differenze tra le medie nelle diverse
combinazioni sperimentali
H0: (μdonne - μuomini)audi = (μdonne - μuomini)bmw = (μdonne - μuomini)peugeot =
(μdonne - μuomini)citroen
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale – interpretazione dei risultati
Non c’è un effetto principale del sesso: non possiamo rifiutare l’ipotesi nulla che il
sesso non incida sul livello medio di soddisfazione, F(1,72) = 1,14, p = .29.
C’è un effetto principale del modello: in generale l’indice di soddisfazione è
influenzato dal modello acquistato, F(3,72) = 19.52, p < .001, η2p = .45.
L’effetto del modello è qualificato da un’interazione significativa, F(3,72) = 5.50,
p = .002, η2p = .19
- Quando c’è un’interazione significativa, bisogna sempre interpretare gli
effetti principali alla luce di tale interazione.
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale e interazione
Se l’interazione è significativa gli effetti principali vanno interpretati discutendo anche le interazioni. L’effetto principale di un fattore potrebbe verificarsi solo su un livello dell’altro fattore:
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale e interazione – gli effetti semplici
Come interpretiamo l’interazione significativa?
Scomponiamo il disegno e analizziamo gli effetti semplici.
- Effetti semplici: effetti di un fattore sulla V.D., separatamente per i
diversi valori dell’altro fattore.
- Analizziamo l’effetto del fattore ‘Modello’ separatamente per i
diversi livelli del fattore ‘Sesso’.
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale e interazione – gli effetti semplici
Lezione: XXVIII
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Nel caso delle donne, tutti i confronti a coppie sono significativi, tranne
quello tra audi e citroen.
Nel caso degli uomini, solo il confronto tra Peugeot e le altre
marche è significativo.
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale - interpretazione
Se l’interazione non è significativa Vanno analizzati e discussi gli effetti principali (con i contrasti pianificati o con i confronti post hoc, a seconda della presenza o meno di ipotesi a priori). Esempio: in un negozio d’abbigliamento si vuole testare l’effetto del tipo di servizio dato al cliente (a. cliente autonomo nel cercarsi i capi e provarli, b. viene fornita assistenza solo se richiesta, c. i commessi ‘servono’ il cliente) sulla spesa media effettuata.
Viene considerato anche il sesso dell’acquirente.
Lezione: XXVIII
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ANOVA fattoriale - interpretazione
Le donne, mediamente, hanno speso più degli uomini. L’ANOVA fattoriale tra i soggetti rivela che l’effetto principale del sesso è significativo, F (1, 54) = 64,65, p <.001, ηp
2.=.54. Anche l’effetto principale del tipo di servizio è significativo, F (2, 54) = 23.089, p <.001, ηp
2.=.46. L’interazione invece non si è rivelata
statisticamente significativa, F (2, 54) = 2.11, p =.13. L’effetto principale del tipo di servizio è stato ulteriormente indagato attraverso dei confronti multipli post hoc (correzione di Bonferroni).
Lezione: XXVIII
50
ANOVA fattoriale - interpretazione
I test post hoc hanno evidenziato che tutte e tre le medie di acquisto sono significativamente diverse tra loro, tutti i p < .02.
Lezione: XXVIII
51
ANOVA fattoriale – la scomposizione della varianza
Il modello teorico dell’ANOVA a una via tra i soggetti:
Nell’ANOVA fattoriale:
dove
- αi = μi - μ rappresenta l’effetto del livello i del fattore A
- βj = μj - μ rappresenta l’effetto del livello j del fattore B
- φij = μij - μ – (αi + βj ) rappresenta l’effetto dell’interazione: quella
parte dello scostamento della media della cella ij dalla media
generale che non dipende né dal fattore A, né dal fattore B.
- εijk rappresenta l’errore
xij = μ + αi + εij
xij = μ + αi + βj + φij + εijk
Lezione: XXVIII
52
ANOVA fattoriale – la scomposizione della varianza
Nell’ANOVA fattoriale
per esaminare empiricamente il modello consideriamo le stime
campionarie dei suoi parametri:
xij = μ + αi + βj + φij + εijk
xij = X + (X𝐴𝑖 − X ) + (X𝐵𝑗 − X ) + (X𝐴𝑖𝐵𝑗 + X − X𝐴𝑖 − X𝐵𝑗) + (X𝑖𝑗 − X𝑖𝑗)
SQTOT
SQENTRO SQTRA
SQA SQB SQA * B
g.l.: N - 1
g.l.: N – a*b
g.l.: a – 1 g.l.: b – 1 g.l.: (a–1)*(b–1)
Lezione: XXVIII
53
ANOVA fattoriale – la scomposizione della varianza
SQTOT
SQENTRO SQTRA
SQA SQB SQA * B
g.l.: N - 1
g.l.: N – a*b
g.l.: a – 1 g.l.: b – 1 g.l.: (a–1)*(b–1)
MQ = SQ / g.l.
FA = MQA / MQENTRO
FB = MQB / MQENTRO
FA*B = MQA*B / MQENTRO
Vantaggio dell’ANOVA fattoriale: SQENTRO e MQENTRO
sono tipicamente più piccole che nell’ANOVA a una via perché alcune fonti di variabilità non sono più d’errore. Questo aumenta la potenza del test.
Lezione: XXVIII
54
ANOVA fattoriale – perché aumenta la potenza del test
La devianza d’errore diminuisce Perché l’altro fattore e l’interazione spiegano parte della variabilità. Anche i g.l. dell’errore diminuiscono, ma [se l’altro fattore ha degli effetti sulla V.D.] questa diminuzione è più che compensato dalla diminuzione della devianza. L’effetto del fattore A emerge ancora più chiaramente.
Lezione: XXVIII
55
Alcuni pattern di risultati possibili
Lezione: XXVIII
A1 A2
B2
B1
A1 A2
B2
B1
MAIN EFFECTS
A1 A2
B2
B1
A1 A2
B2
B1
NO EFFECTS
Effetti principali
Nessun effetto
A1 A2
B2
B1
A1 A2
B2
B1
INTERACTIONS
A1 A2
B2
B1
A1 A4
B2
B1
A2 A3
56
Alcuni pattern di risultati possibili
Lezione: XXVIII
Interazione
57
E per finire...
58
Buone feste, buono studio ed in
bocca al lupo per l’esame!
