Elettrostatica 630 maggio 2011

Capacità elettrica

Condensatore piano

Condensatore cilindrico

Costante dielettrica

Cariche indotte nel dielettrico

Energia elettrostatica

Composizione di capacità

Capacità elettrica

• Si puo` definire per un numero arbitrario di conduttori• Noi ci limiteremo a due conduttori caricati con cariche

uguali e opposte• La capacita` e` il rapporto tra la carica (in valor

assoluto) presente su ciascun conduttore e la differenza di potenziale (pure in valor assoluto) tra i conduttori

• Ha le dimensioni di carica diviso ddp• La sua unità è il coulomb diviso volt, cioè il farad

V

QC

1 VQC

V

CF

2

Condensatore piano• Data una carica Q, per trovare C

si determina preventivamente il campo E e da questo si trova il potenziale V

• Per il condensatore piano si usa anche il principio di sovrapposizione per i campi generati dalla carica +Q sul primo piatto e –Q sul secondo

• Poiché le densità di carica sui due piatti sono uguali in modulo, otteniamo infine

00 22

EEEtot

0

totE

3

Condensatore piano• Cioè il campo E è costante tra le due piastre• La ddp tra i due piatti è

• E la capacità è

dA

QddlEdlldEV

000

d

A

V

QC 0

4

- +

E

dl

Condensatore cilindrico

• Applichiamo la legge di Gauss ad una superficie cilindrica di raggio r e lunghezza L, coassiale al conduttore interno

• Da cui ricaviamo il campo

0

int|Q

SE

rrE

1

2)(

0

0

2)( L

rLrE

5

-

+

E

dl

Condensatore cilindrico

• La ddp è

• E la capacità è

r

r

L

Qdrr

EdrldEV ln2

1

2 00

rrL

Cln

2 0

6

Campo elettrico nella materia

• Se i conduttori non sono nel vuoto, ma immersi in un dielettrico, l’unico cambiamento macroscopico nel campo è una diminuzione di intensità per una costante r (maggiore di 1) che dipende dalla natura del dielettrico

• Ne segue che anche la ddp diminuisce dello stesso fattore

• Mentre la capacità aumenta dello stesso fattore

r

vuotoEE

r

vuotoVV

rCC 0

7

Campo elettrico nella materia

• La carica libera sulle piastre del condensatore polarizza il dielettrico, che si carica superficialmente con cariche legate

• La carica libera produce il campo

• La carica legata produce il campo

• Il campo del dielettrico diminuisce il campo delle piastre del condensatore

• Si ottiene così il campo risultante

liberalegata

00 liberaE

0 legatalegataE

legatatot EEE 0

8

Campo elettrico nella materia

• Poiché sappiamo che il campo totale vale

• Possiamo trovare il campo dovuto alla carica legata

• Dato che campo e densità superficiali sono proporzionali, otteniamo anche

0

1EE

r

rlegata

rtot

EE

0

liberar

rlegata

1

9

Costante dielettrica

• r prende il nome di costante dielettrica relativa, è adimensionale

• Il prodotto =0 r prende il nome di costante dielettrica del materiale

• Per studiare i fenomeni elettrici nei materiali dielettrici si introduce, accanto a E, il campo D

• Ove si e` evidenziato che r puo` dipendere dal punto considerato nel dielettrico

rErErD r

0

10

Energia elettrostatica

• Sia data una distribuzione di carica q che genera un potenziale V. Un aumento di carica dq comporta un aumento di energia potenziale elettrica dU pari a

• L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale nulla a carica finale Q è

• Espressioni alternative

dqC

qVdqdUe

C

Qdq

C

qU

Q

e

2

0 2

1

22

2

1

2

1

2

1CVQV

C

QU e

11

Energia elettrostatica

• Nel processo di carica di un condensatore, viene generato un campo E tra le armature

• Il lavoro speso per caricare il condensatore può considerarsi come il lavoro necessario per generare il campo E

• Condensatore piano di area A, distanza d e con dielettrico

• Sostituendo nell’espressione dell’energia elettrica

AQE

AdEEdAEQVU e2

2

1

2

1

2

1

EdV

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Energia elettrostatica

• La quantità Ad è il volume V compreso tra le piastre• Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo

l’energia per il volume

• Nel caso generale la densita` di energia puo` cambiare da punto a punto e quindi dev’essere espressa in termini differenziali

• Inversamente l’energia si trova integrando la densita` nello spazio

2

2

1E

V

Uu ee

dV

dUue

13S

dVuU e

Energia elettrostatica

• Si puo` estendere la relazione

al caso generale, di cui non diamo la dimostrazione, nella forma

2

2

1Eue

DEue

2

1

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Composizione di capacità

• Composizione in parallelo. 1 e 2 hanno la stessa caduta di potenziale ai loro capi. Su 1 c’è la carica Q1 e su 2 la carica Q2

• Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che a parità di ddp V accumuli la stessa carica totale Q=Q1+Q2

• La capacità del condensatore equivalente è quindi la somma delle capacità dei condensatori 1 e 2

CVQ VCVCQQ 2121

21 CCC

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Composizione di capacità• Composizione in serie. La ddp ai capi di 1

è V1 e ai capi di 2 è V2. Su 1 si accumula la carica Q1 e su 2 la carica Q2

• Poiché tra i due condensatori la carica inizialmente è nulla, per la conservazione della carica avremo che Q1 è uguale a Q2

• Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che su una ddp pari alla somma delle cadute su 1 e 2, accumuli la stessa carica Q

• L’inverso della capacità del condensatore equivalente è quindi la somma degli inversi delle capacità dei condensatori 1 e 2

2121 C

Q

C

QVV

C

QV

21

111

CCC

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Rigidita` dielettrica

• E` il massimo campo elettrico sostenibile dal dielettrico, prima che avvenga una scarica distruttiva

• Normalmente sui condensatori si riporta pero` la differenza di potenziale massima sostenibile

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