Elettronica Risoluzione dei circuiti elettrici; serie e...

Elettronica – Risoluzione dei circuiti elettrici;serie e parallelo di bipoli

Valentino Liberali

Dipartimento di FisicaUniversità degli Studi di [email protected]

Elettronica – Risoluzione dei circuiti; serie e parallelo – 18 marzo 2015

Valentino Liberali (UniMI) Elettronica – Risoluzione dei circuiti; serie e parallelo – 18 marzo 2015 1 / 36

Contenuto

1 Risoluzione dei circuiti in continua

2 Teorema di Tellegen

3 Bipoli in serie

4 Bipoli in parallelo

5 Resistenze in serie e in parallelo

6 Generatori in serie e in parallelo


1

Programma – parte 2

2 Circuiti in continua.f. . . .g. Risoluzione dei circuiti elettrici in continua.h. Teorema di Tellegen.i. Resistenze in serie e in parallelo.j. Generatori in serie e in parallelo.k. Dualità.l. Uso dei concetti di serie e parallelo per la semplificazione dei circuiti.

m. . . .


Risoluzione di un circuito elettrico

Risolvere un circuito significa calcolare la tensione e la corrente per ogni bipolo.Per i circuiti in continua, si usano:

la legge di Ohm per i resistori:

V = RI

la legge di Kirchhoff per le tensioni alle maglie:∑

k∈maglia

Vk = 0

la legge di Kirchhoff per le correnti ai nodi:∑

k∈nodo

Ik = 0


2

Esempio: risoluzione di un circuito

Risolvere il circuito illustrato, calcolando la tensione e la corrente per ogni bipolo.

V0 = 4.5 V; R1 = 1.2 kΩ; R2 = 1 kΩ; R3 = 1.5 kΩ.

R 1

R 3 R 2

V 0

+

-


Esempio (1/13)

Primo passo: definire per ogni bipolo il terminale positivo (+) e quello negativo(–). In questo modo risultano fissati i versi delle tensioni e delle correnti.In ogni caso, adottare la convenzione degli utilizzatori.

Per i bipoli simmetrici (come le resistenze), la scelta dei segni è indifferente.Per i bipoli non simmetrici (come i generatori), seguire il verso indicato per latensione o per la corrente.

R 1

R 3 R 2

V 0

+

-

+ -

+

-

+

-

V 1

V 2

V 3 I 0 I 1

I 2 I 3


3

Esempio (2/13)

Secondo passo: identificare i nodi e le maglie del circuito.Questo circuito ha tre nodi (A, B, C) e tre maglie (1, 2, 3).

R 1

R 3

A

R 2

V 0

+

-

C

1 2

3

-

B


Esempio (3/13)

Terzo passo: determinare il numero di incognite del circuito, che è anche ilnumero di equazioni indipendenti che bisogna scrivere.

Per ogni resistenza, occorre calcolare la tensione e la corrente (2 incogniteper bipolo).Per ciascun generatore occorre calcolare una sola grandezza (la corrente per igeneratori di tensione, e la tensione per i generatori di corrente).

Per il circuito assegnato, il numero di incognite è 7 (cioè 4 correnti e 3 tensioni).Occorre scrivere 7 equazioni tra loro indipendenti nelle 7 incognite, e risolvere ilsistema di equazioni.


4

Esempio (4/13)

Quarto passo: scrivere le equazioni.Anzitutto, per ogni resistenza vale la legge di Ohm. Abbiamo le tre equazioni:

V1 = R1I1 V2 = R2I2 V3 = R3I3

R 1

R 3 R 2

V 0

+

-

+ -

+

-

+

-

V 1

V 2

V 3 I 0 I 1

I 2 I 3


Esempio (5/13)

Legge di Kirchhoff per le correnti (KCL) ai nodi:

−I0 − I1 = 0 I1 − I2 − I3 = 0 I0 + I2 + I3 = 0

Utilizziamo solo due di queste equazioni, perché la terza è dipendente dalle altredue.

R 1

B

R 3

A

R 2

V 0

+

-

C

+ -

+

-

+

-

V 1

V 2

V 3 I 0 I 1

I 2 I 3


5

Esempio (6/13)

Legge di Kirchhoff per le tensioni (KVL) alle maglie:

−V1 − V2 + V0 = 0 − V3 + V2 = 0 − V1 − V3 + V0 = 0

Utilizziamo solo due di queste equazioni, perché la terza è dipendente dalle altredue.

R 1

R 3 R 2

V 0

+

- 1 2

3

+ -

+

-

+

-

V 1

V 2

V 3


Esempio (7/13)

Ohm

V1 = R1I1

V2 = R2I2

V3 = R3I3

KCL

−I0 − I1 = 0

I1 − I2 − I3 = 0

KVL

−V1 − V2 + V0 = 0

−V3 + V2 = 0

Il sistema di 7 equazioni in 7 incognite (V0, R1, R2 e R3 sono noti) può essererisolto con un metodo qualsiasi. Ad esempio, si possono sostituire le V date dallalegge di Ohm, ottenendo un sistema nelle 4 incognite I0, I1, I2, I3.


6

Esempio (8/13)

4 equazioni in 4 incognite:

−I0 − I1 = 0I1 − I2 − I3 = 0

−R1I1 − R2I2 + V0 = 0−R3I3 + R2I2 = 0

L’incognita I0 compare solo nella prima equazione; quindi è possibile risolvereseparatamente il sistema costituito dalle restanti tre equazioni.


I1 − I2 − I3 = 0−R1I1 − R2I2 + V0 = 0

−R3I3 + R2I2 = 0


Esempio (9/13)


I1 − I2 − I3 = 0−R1I1 − R2I2 + V0 = 0

−R3I3 + R2I2 = 0

Ricavando dalla prima equazione I3 = I1 − I2 e sostituendo nelle altre due:


−R1I1 − R2I2 + V0 = 0−R3I1 + R3I2 + R2I2 = 0


7

Esempio (10/13)

Dall’ultima equazione si ricava

I1 = I2R3 + R2

R3

che sostituita nell’altra equazione dà:

−R1R3 + R2

R3I2 − R2I2 + V0 = 0

da cui si ricava la soluzione per l’incognita I2:

I2 =V0

R1R3+R2

R3+ R2

=4.5 V

1.2 kΩ 1.5 kΩ+1 kΩ1.5 kΩ + 1 kΩ

=4.5 V3 kΩ

= 1.5 mA


Esempio (11/13)

Dopo avere ricavato I2, si procede a ritroso, ricavando le altre incognite dalleequazioni del sistema:

I1 = I2R3 + R2

R3= 1.5 mA

1.5 kΩ+ 1 kΩ1.5 kΩ

= 2.5 mA

I3 = I1 − I2 = 2.5 mA− 1.5 mA = 1 mA

e così via, calcolando anche l’ultima corrente (I0) dall’equazione −I0 − I1 = 0, e letre tensioni (V1, V2, V3) con la legge di Ohm.

Un consiglio: per evitare errori di calcolo, è meglio ricavare la soluzione in formasimbolica, e solo alla fine sostituire i valori numerici.


8

Esempio (12/13)

La soluzione completa del sistema è:

V1 = 3 V; V2 = 1.5 V; V3 = 1.5 V;I1 = 2.5 mA; I2 = 1.5 mA; I3 = 1 mA;I0 = −2.5 mA.

Si verifica immediatamente che:per i componenti passivi (resistori) i segni della tensione e della corrente sonoconcordi e la potenza è positiva (assorbita);per il generatore i segni di tensione e corrente sono discordi e la potenza ènegativa (erogata).


Esempio (13/13)

Calcolo della potenza dissipata:

Resistenza R1: P1 = V1I1 = 7.5 mWResistenza R2: P2 = V2I2 = 2.25 mWResistenza R3: P3 = V3I3 = 1.5 mWGeneratore V0: P0 = V0I0 = −11.25 mW

La potenza erogata dal generatore è pari alla somma delle potenze assorbite dalleresistenze: infatti la somma algebrica delle potenze è:

P1 + P2 + P3 + P0 = 7.5 mW + 2.25 mW + 1.5 mW− 11.25 mW = 0


9

Teorema di Tellegen

In qualsiasi circuito, la somma algebrica delle potenze di tutti i bipoli è nulla.

Infatti, poiché l’energia si conserva, W = costante e

P =dW

dt= 0

Quindi la potenza totale è nulla.

Questo risultato, noto come teorema di Tellegen, si scrive di solito nella forma:

P =∑

k

Pk =∑

k

Vk Ik = 0

dove la sommatoria è estesa a tutti i bipoli.


Serie di bipoli (1/2)

Due bipoli sono detti in serie quando sono percorsi dalla stessa corrente:

I1 = I2

2 1 + + - -

I 1 I 2


10

Serie di bipoli (2/2)

Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni, si ricava che per due bipoli in seriela tensione complessiva ai capi è data dalla somma delle tensioni di ciascun bipolo:

V = V1 + V2

2 A

1 + + - -

V 1 V 2

I 1 I 2

V


Parallelo di bipoli (1/2)

Due bipoli sono detti in parallelo quando hanno la stessa tensione ai capi:

V1 = V2

2 1

+

-

+

-

V 2 V 1


11

Parallelo di bipoli (2/2)

Applicando la legge di Kirchhoff per le correnti, si ricava che per due bipoli inparallelo la corrente complessiva è data dalla somma delle correnti di ciascunbipolo:

I = I1 + I2

2

A

1

+

-

V 1 V 2 I 1 I 2

+

-

B

I


Resistenze in serie

Due resistenze in serie sono percorse dalla stessa corrente:I1 = I2 = I .

+ V

-

R 1

+

R 2

+

V 1

V 2

I

V = V1 + V2 = R1I + R2I = (R1 + R2)I −→ R = R1 + R2

Le resistenze in serie si sommano


12

Resistenze in parallelo (1/3)

Due resistenze in parallelo hanno la stessa tensione ai capi:V1 = V2 = V .

R 1

+

R 2

+

I

- -

I 1 I 2

I = I1 + I2 =1R1

V +1R2

V = G1V + G2V = (G1 + G2)V

−→ G = G1 + G2

Le conduttanze in parallelo si sommano



R 1

+

R 2

+

I

- -

I 1 I 2

G = G1 + G2

R =1G

=1

G1 + G2=

11R1

+ 1R2

=1

R1+R2R1R2

=R1R2

R1 + R2

Attenzione: l’ultimo passaggio è corretto, ma dà un risultato non generalizzabilenel caso di più di due resistenze in parallelo!


13


Nel caso di tre resistenze in parallelo:

G = G1 + G2 + G3

R =1G

=1

G1 + G2 + G3=

11R1

+ 1R2

+ 1R3

=1

R1R2+R1R3+R2R3R1R2R3

=

=R1R2R3

R1R2 + R1R3 + R2R3

e NONR1R2R3

R1 + R2 + R3

che dimensionalmente non è una resistenza!


Generatori di tensione in serie

+

+

V 1

V 2

V = V1 + V2

La tensione ai capi di una serie di generatori di tensione è la somma delletensioni


14

Generatori di tensione in parallelo

+ + V 1

V 2

V = V1; V = V2 −→ V1 = V2

Se la tensione dei due generatori è la stessa abbiamo un’identità; altrimentil’uguaglianza è impossibileNon si possono collegare in parallelo generatori di tensioni DIVERSE

Quando la batteria dell’automobile è scarica, possiamo collegarla in parallelo adun’altra batteria perché tutte hanno la stessa tensione (12 V)!


Generatori di corrente in parallelo

I 2 I 1

I = I1 + I2

La corrente nel parallelo di generatori di corrente è la somma delle correnti


15

Generatori di corrente in serie

I 2

I 1

I = I1; I = I2 −→ I1 = I2

Se la corrente dei due generatori è la stessa abbiamo un’identità; altrimentil’uguaglianza è impossibileNon si possono collegare in serie generatori di correnti DIVERSE


Dualità

Coppie di grandezze elettriche, concetti e leggi DUALI:

corrente ←→ tensionegeneratore di corrente ←→ generatore di tensione

conduttanza ←→ resistenzanodo ←→ maglia

circuito aperto ←→ cortocircuitoI = GV ←→ V = RI

KCL ←→ KVLparallelo ←→ serie

stella ←→ triangolocapacità ←→ induttanza


16

Esempio bis

Risolvere il circuito, calcolando la tensione e la corrente per ogni bipolo.V0 = 4.5 V; R1 = 1.2 kΩ; R2 = 1 kΩ; R3 = 1.5 kΩ.

R 1

R 3 R 2

V 0

+

-

Questo circuito è già stato risolto in precedenza scrivendo un sistema di 7equazioni, ma l’uso intelligente dei concetti di serie e parallelo aiuta a semplificarei calcoli!


Esempio bis (1/3)

R 1

R 23

V 0

+

-

Sostituisco le due resistenze R2 e R3 con una resistenza data dal parallelo delledue:

R23 =R2R3

R2 + R3= R2//R3

Il simbolo // indica il parallelo di due resistenze.

R23 =1 kΩ · 1.5 kΩ1 kΩ+ 1.5 kΩ

= 0.6 kΩ


17

Esempio bis (2/3)

R 123

V 0

+

-

I

Sostituisco le due resistenze R1 e R23 con una resistenza data dalla serie delle due:

R123 = R1 + R23 = 1.2 kΩ+ 0.6 kΩ = 1.8 kΩ

A questo punto, il calcolo della corrente I è immediato:

I =V0

R123=

4.5 V1.8 kΩ

= 2.5 mA


Esempio bis (3/3)

R 1

R 23

V 0

+

- I I

V 1 + -

La corrente I è anche la corrente nella resistenza R1, quindi si può calcolare latensione V1:

V1 = R1I = 1.2 kΩ · 2.5 mA = 3 V

A questo punto si calcola la tensione ai capi del parallelo di resistenze R23 usandola KVL: V2 = V3 = V0 − V1 = 1.5 V.Infine si trovano le correnti in R2, in R3 e nel generatore.


18

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