Elementi spettrali in geometrie complesse e mezzi ... · eterogenei: teoria, algoritmi,...

Formulazione Validazione Applicazioni

Universita degli Studi di MilanoFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea Quadriennale in Matematica

Elementi spettrali in geometrie complesse e mezzieterogenei: teoria, algoritmi, applicazioni

Luca Ghezzi

Relatore Prof.ssa Elena Zampieri, Correlatore Prof. Luca PavarinoAnno Accademico 2006 - 2007

Luca Ghezzi Elementi spettrali in geometrie complesse e mezzi eterogenei

1 Formulazione del metodoIl problema differenziale modelloDiscretizzazione in spazio (SEM) e tempo (DF Newmark)

2 Analisi e validazione del metodo numericoAccuratezzaStabilitaCondizioni al contorno assorbentiPrecondizionatore Overlapping Schwarz (OS)

3 Applicazioni alla Fisica MatematicaElettromagnetismoAnalisi ModaleMeccanica Quantistica

4 Conclusioni

Formulazione Validazione Applicazioni Problema differenziale Problema algebrico

Forma forte

1 PDE iperbolicaαu −∇ • β∇u + γu = f in Ω× (0,T )

2 Condizioni al contorno (BC)

di Dirichlet su ΓD

di Neumann su ΓN

di Robin su ΓR

assorbenti su ΓA (Clayton, Engquist ’77)

3 Condizioni iniziali (IC)

Forma forte

di Dirichlet su ΓD

di Neumann su ΓN

di Robin su ΓR

Forma forte

di Dirichlet su ΓD

di Neumann su ΓN

di Robin su ΓR

Forma forte

di Dirichlet su ΓD

di Neumann su ΓN

di Robin su ΓR

Forma forte

di Dirichlet su ΓD

di Neumann su ΓN

di Robin su ΓR

Forma forte

di Dirichlet su ΓD

di Neumann su ΓN

di Robin su ΓR

Forma debole

1 Spazio funzionale

V := H1D(Ω) = v ∈ H1(Ω) | v = 0 su ΓD

2 Trovare q.o. in (0,T ) una funzione u ∈ V t.c.

forma bilineare, V-ellittica e simmetrica

a(u, v) :=

((β∇u) • ∇v + γuv) dΩ +

∫ΓR

βδuv dΓ

funzionale lineare

b(v) :=

(fv − αuDv − (β∇uD) • ∇v − γuDv) dΩ

∫ΓN

βgNv dΓ +

∫ΓR

βgRv dΓ

Forma debole

1 Spazio funzionale

V := H1D(Ω) = v ∈ H1(Ω) | v = 0 su ΓD

(αu, v)Ω + (√β/αu, v)ΓA

+ a(u, v) = b(v) ∀v ∈ V

a(u, v) :=

((β∇u) • ∇v + γuv) dΩ +

∫ΓR

βδuv dΓ

funzionale lineare

b(v) :=

∫ΓN

βgNv dΓ +

∫ΓR

βgRv dΓ

Forma debole

1 Spazio funzionale

V := H1D(Ω) = v ∈ H1(Ω) | v = 0 su ΓD

+ a(u, v) = b(v) ∀v ∈ V

a(u, v) :=

((β∇u) • ∇v + γuv) dΩ +

∫ΓR

βδuv dΓ

funzionale lineare

b(v) :=

∫ΓN

βgNv dΓ +

∫ΓR

βgRv dΓ

Forma debole

1 Spazio funzionale

V := H1D(Ω) = v ∈ H1(Ω) | v = 0 su ΓD

+ a(u, v) = b(v) ∀v ∈ V

a(u, v) :=

((β∇u) • ∇v + γuv) dΩ +

∫ΓR

βδuv dΓ

funzionale lineare

b(v) :=

∫ΓN

βgNv dΓ +

∫ΓR

βgRv dΓ

Forma debole

1 Spazio funzionale

V := H1D(Ω) = v ∈ H1(Ω) | v = 0 su ΓD

+ a(u, v) = b(v) ∀v ∈ V

a(u, v) :=

((β∇u) • ∇v + γuv) dΩ +

∫ΓR

βδuv dΓ

funzionale lineare

b(v) :=

∫ΓN

βgNv dΓ +

∫ΓR

βgRv dΓ

Discretizzazione in spazio e tempo

1 Metodo degli elementi spettrali (SEM)

nodi di Gauss-Lobatto-Legendre (GLL)base di polinomi di Lagrangeprodotto tensoriale in 2D

2 Interpolazione transfinita

approssimazione dello spazio funzionale

3 Discretizzazione nel tempo

metodi di Newmark espliciti (Leap Frog)metodi di Newmark implicitimetodo di Houbolt (BFD, implicito)

Lp(ξ)p-esimo polinomio di Legendre

ξipi=0 p + 1 zeri di

(1− ξ2)d

dξLp(ξ)

nodi di Gauss-Lobatto-Legendre (GLL)

base di polinomi di Lagrangeprodotto tensoriale in 2D

li ,p(ξj) = δij

nodi di Gauss-Lobatto-Legendre (GLL)base di polinomi di Lagrange

prodotto tensoriale in 2D

φij(ξ, η) = li ,p1(ξ)lj ,p2(η)

ϕq : [−1, 1]2 → Qq ⊆ Ω

h max diametro elementi

p grado spettrale

V ≈ Vh,p

Sistema di ODEdel 2 ordine

Mu(t) + Cu(t) + Ku(t) = F(t)

M matrice di massa

C matrice di smorzamento

K matrice di rigidezza

Mu(t) + Cu(t) + Ku(t) = F(t)

M matrice di massa

metodi di Newmark espliciti (Leap Frog)metodi di Newmark impliciti

metodo di Houbolt (BFD, implicito)

Mu(t) + Cu(t) + Ku(t) = F(t)

M matrice di massa

Precondizionatore Overlapping Schwarz

1 Sistema lineare

matrice simmetrica e definita positiva

2 Gradiente coniugato (CG)

κ2 = O(p3h−2)

3 Precondizionatore Overlapping Schwarz (OS)

decomposizione in sottodominiproblema fine su ogni sottodominio estesoproblema coarse su griglia τH a sottodomini(o su griglia τh a elementi)

4 Scalabilita

calcolo parallelo

1 Sistema lineare

κ2 = O(p3h−2)

4 Scalabilita

calcolo parallelo

1 Sistema lineare

κ2 = O(p3h−2)

4 Scalabilita

calcolo parallelo

1 Sistema lineare

κ2 = O(p3h−2)

4 Scalabilita

calcolo parallelo

1 Sistema lineare

κ2 = O(p3h−2)

4 Scalabilita

calcolo parallelo

1 Sistema lineare

κ2 = O(p3h−2)

decomposizione in sottodomini

problema fine su ogni sottodominio estesoproblema coarse su griglia τH a sottodomini(o su griglia τh a elementi)

4 Scalabilita

calcolo parallelo

1 Sistema lineare

κ2 = O(p3h−2)

decomposizione in sottodominiproblema fine su ogni sottodominio esteso

problema coarse su griglia τH a sottodomini(o su griglia τh a elementi)

4 Scalabilita

calcolo parallelo

1 Sistema lineare

κ2 = O(p3h−2)

4 Scalabilita

calcolo parallelo

1 Sistema lineare

κ2 = O(p3h−2)

4 Scalabilita

calcolo parallelo

Formulazione Validazione Applicazioni Accuratezza Stabilita ABC OS

Accuratezza spettrale

Soluzione “liscia” (C∞) ⇒ convergenza piu che algebrica

10−13

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Numero di nodi

||u−

u esat

ta|| L2 (Ω

) / ||u

ta|| L2 (Ω

4 ≤ p ≤ 16u(x , y) = sin(πx) sin(πy)

Schemi impliciti vs. espliciti

Soglia di stabilita ∆t ≤ k∆x per schemi espliciti(Courant, Friederichs, Lewy)

Dipendenza dal grado spettrale p

Houboltimplicito

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

,∆t)

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

,∆t)

Leap Frogesplicito

Dipendenza dalla finezza h della griglia

Houboltimplicito

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

el,∆

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

el,∆

Leap Frogesplicito

Houboltimplicito

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

,∆t)

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

,∆t)

Leap Frogesplicito

Houboltimplicito

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

el,∆

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

el,∆

Leap Frogesplicito

Houboltimplicito

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

,∆t)

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

,∆t)

Leap Frogesplicito

Houboltimplicito

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

el,∆

10−3

10−2

10−1

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

el,∆

Leap Frogesplicito

R(t) :=(2R0(t − t0)

2 − 1)e−R0(t−t0)2

Ricker wavelet

Houbolt Leap Frog

∆t=0.0005 ∆t=0.005 ∆t=0.001 ∆t=0.002

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Segnale al ricevitore #1

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Condizioni al contorno assorbenti

∂t+∂u

∂n= 0

Approssimazione parassiale del 1 ordine della condizione esatta(Clayton, Engquist ’77)

Problema di Lamb Diffrazione di onde acustiche

∂t+∂u

∂n= 0

Problema di Lamb

Diffrazione di onde acustiche

∂t+∂u

∂n= 0

Problema di Lamb Diffrazione di onde acustiche

Eterogeneita del mezzo

Diffusivita β del mezzo costante a tratti

αu −∇ • β∇u + γu = f

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Griglia SEM

Pattern regolare

Pattern casuale (∗)

Diffusivita β del mezzo costante a tratti

αu −∇ • β∇u + γu = f

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Griglia SEM

Pattern regolare

Pattern casuale (∗)

CG PCG, no coarsea iter. λmin λmax κ2 iter. λmin λmax κ20 198 7.2E-3 2.1E+01 2.9E+03 24 .126 6.00 47.781 1158 9.5E-3 1.8E+02 1.9E+04 26 .225 6.00 26.673 >2000 5.4E-3 1.8E+04 3.3E+06 20 .492 6.00 12.215 >2000 5.3E-2 1.8E+06 3.4E+07 19 .503 6.00 11.937 >2000 1.0E-2 1.8E+08 1.8E+09 18 .503 6.00 11.929 >2000 1.9E-1 1.8E+10 9.3E+10 17 .503 6.00 11.92∗ >2000 6.1E-3 2.1E+06 3.4E+08 29 .165 6.00 36.33

PCG, coarse τH PCG, coarse τha iter. λmin λmax κ2 iter. λmin λmax κ20 25 .748 6.11 8.17 27 .914 6.36 6.961 30 .638 6.12 9.60 29 .775 6.36 8.203 26 .829 6.13 7.39 28 .917 6.36 6.945 25 .854 6.13 7.18 27 .944 6.36 6.747 24 .854 6.13 7.18 27 .944 6.36 6.739 24 .854 6.13 7.18 27 .944 6.36 6.73∗ 29 .591 6.11 10.34 28 .919 6.36 6.92

Formulazione Validazione Applicazioni Elettromagnetismo Analisi Modale Meccanica Quantistica

Topologia Algebrica & Equazioni di Maxwell

1 Equazioni di Maxwell∇ • D = ρ ∇× E = −∂B

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

2 Elettrostatica ∇× E = 0 ∇ • εE = ρ

Lemma di Poincare ⇒ H1(R3) = 0∀ 1-forma chiusa e esattaLa 1-forma E e il gradiente di una 0-forma∃ potenziale scalare Φ t.c. E = −∇ΦΦ definito a meno di una 0-forma (i.e. una costante)

Formulazione: −∇ • ε∇Φ = ρ

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

2 Complesso di de Rham per R3

0incl−→ Ω0(R3)

grad−→ Ω1(R3)rot−→ Ω2(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

3 Elettrostatica

∇× E = 0 ∇ • εE = ρ

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

Lemma di Poincare ⇒ H1(R3) = 0

∀ 1-forma chiusa e esattaLa 1-forma E e il gradiente di una 0-forma∃ potenziale scalare Φ t.c. E = −∇ΦΦ definito a meno di una 0-forma (i.e. una costante)

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

Lemma di Poincare ⇒ H1(R3) = 0∀ 1-forma chiusa e esatta

La 1-forma E e il gradiente di una 0-forma∃ potenziale scalare Φ t.c. E = −∇ΦΦ definito a meno di una 0-forma (i.e. una costante)

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

Lemma di Poincare ⇒ H1(R3) = 0∀ 1-forma chiusa e esattaLa 1-forma E e il gradiente di una 0-forma

∃ potenziale scalare Φ t.c. E = −∇ΦΦ definito a meno di una 0-forma (i.e. una costante)

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

Lemma di Poincare ⇒ H1(R3) = 0∀ 1-forma chiusa e esattaLa 1-forma E e il gradiente di una 0-forma∃ potenziale scalare Φ t.c. E = −∇Φ

Φ definito a meno di una 0-forma (i.e. una costante)

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

3 Magnetostatica

∇ • B = 0 ∇×H = j

Lemma di Poincare ⇒ H2(R3) = 0∀ 2-forma chiusa e esattaLa 2-forma B e il rotore di una 1-forma∃ potenziale vettore A t.c. B = ∇× AA definito a meno di una 1-forma (i.e. un gradiente)Gauge di Coulomb ∇ • A = 0 per fissare il gradiente

Formulazione: − 1µ∇

2A = j

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

3 Magnetostatica ∇ • B = 0 ∇×H = j

2A = j

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

Lemma di Poincare ⇒ H2(R3) = 0

∀ 2-forma chiusa e esattaLa 2-forma B e il rotore di una 1-forma∃ potenziale vettore A t.c. B = ∇× AA definito a meno di una 1-forma (i.e. un gradiente)Gauge di Coulomb ∇ • A = 0 per fissare il gradiente

2A = j

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

Lemma di Poincare ⇒ H2(R3) = 0∀ 2-forma chiusa e esatta

La 2-forma B e il rotore di una 1-forma∃ potenziale vettore A t.c. B = ∇× AA definito a meno di una 1-forma (i.e. un gradiente)Gauge di Coulomb ∇ • A = 0 per fissare il gradiente

2A = j

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

Lemma di Poincare ⇒ H2(R3) = 0∀ 2-forma chiusa e esattaLa 2-forma B e il rotore di una 1-forma

∃ potenziale vettore A t.c. B = ∇× AA definito a meno di una 1-forma (i.e. un gradiente)Gauge di Coulomb ∇ • A = 0 per fissare il gradiente

2A = j

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

Lemma di Poincare ⇒ H2(R3) = 0∀ 2-forma chiusa e esattaLa 2-forma B e il rotore di una 1-forma∃ potenziale vettore A t.c. B = ∇× A

A definito a meno di una 1-forma (i.e. un gradiente)Gauge di Coulomb ∇ • A = 0 per fissare il gradiente

2A = j

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

Lemma di Poincare ⇒ H2(R3) = 0∀ 2-forma chiusa e esattaLa 2-forma B e il rotore di una 1-forma∃ potenziale vettore A t.c. B = ∇× AA definito a meno di una 1-forma (i.e. un gradiente)

Gauge di Coulomb ∇ • A = 0 per fissare il gradiente

2A = j

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

2A = j

∂t E = εD

∇ • B = 0 ∇×H = ∂D∂t + j B = µH

0incl−→ Ω0(R3)

div−→ Ω3(R3)0−→ 0

2A = j

Elettrostatica

Dipolo elettrico

Cariche concordi Cariche discordi

Elettrostatica

Dipolo elettrico

−10 −5 0 5 10−1.5

−0.5

Dipolo con cariche concordi

Dipolo con cariche discordi

Magnetostatica

Cavo coassiale

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

2.5x 10

Inclusioni ferromagnetiche (forte eterogeneita del mezzo)

Magnetostatica

Cavo coassiale

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

2.5x 10

Inclusioni ferromagnetiche (forte eterogeneita del mezzo)

Analisi modale

Mu(t) + Ku(t) = F(t)

1 Ricerca di soluzioni omogenee stazionarie u(t) = ue iωt

2 Problema di autovalori Ku = λMu , con λ := ω2

λkk autovalori (⇒ frequenze proprie, o di risonanza)ukk autovettori (modi propri di vibrare)

3 Teorema di Fourier

gli autovettori formano una base ortonormale di RN

sviluppo in serie della soluzione (non omogenea)diagonalizzazione del sistema di ODE

4 Interesse per autovalori multipli (o degeneri)

Analisi modale

λkk autovalori (⇒ frequenze proprie, o di risonanza)

ukk autovettori (modi propri di vibrare)

Analisi modale

sviluppo in serie della soluzione (non omogenea)

diagonalizzazione del sistema di ODE

Analisi modale

Simmetrie & degenerazione

1 Simmetria σ per geometria, proprieta fisiche, forzanti e BC

funzione u simmetrica rispetto a σ sse σ u = usimmetria di ordine m, i.e. σm = id

2 Matrice indotta S

vettore u simmetrico rispetto a σ sse Su = uSm = I

3 Matrice simmetrizzante S :=∑m−1

k=0 Sk

SS = SS = S

4 Se u e un autovettore associato all’autovalore λ, allora

Su e simmetrico rispetto a σSu e un autovettore associato all’autovalore λ

funzione u simmetrica rispetto a σ sse σ u = u

simmetria di ordine m, i.e. σm = id

2 Matrice indotta S

k=0 Sk

SS = SS = S

2 Matrice indotta S

k=0 Sk

SS = SS = S

2 Matrice indotta S

k=0 Sk

SS = SS = S

2 Matrice indotta S

vettore u simmetrico rispetto a σ sse Su = u

Sm = I

k=0 Sk

SS = SS = S

2 Matrice indotta S

k=0 Sk

SS = SS = S

2 Matrice indotta S

k=0 Sk

SS = SS = S

2 Matrice indotta S

k=0 Sk

SS = SS = S

2 Matrice indotta S

k=0 Sk

SS = SS = S

2 Matrice indotta S

k=0 Sk

SS = SS = S

Su e simmetrico rispetto a σ

Su e un autovettore associato all’autovalore λ

2 Matrice indotta S

k=0 Sk

SS = SS = S

Modi propri di una membrana stellata

Coppia di autovettori degeneri non simmetrici

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

Modo proprio # 4 − frequenza propria: 0.80148117Hz

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

Coppia simmetrizzata

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

Modi propri di una membrana quadrata

Simmetria per specchiamento rispetto alla mediana

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Simmetria per specchiamento rispetto alla diagonale

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Modi propri di una membrana quadrata

Simmetria per specchiamento rispetto alla mediana

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Simmetria per specchiamento rispetto alla diagonale

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Equazione di Schroedinger

1 A ogni particella e associata una funzione d’onda ψ(x)

onda di probabilita: P(V ) =∫V|ψ|2dV

2 Equazione di Schroedinger (indipendente dal tempo)(− 2

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

3 Sostituisce la 2a legge della dinamica classica F = M x

4 U(x) energia potenziale delle forze agenti sulla particella

funzione nota e dipendente dal sistema

5 E energia ammissibile per lo stato stazionario ψ(x)

6 Problema di autovalori

Ekk autovaloriψkk autofunzioni

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

Ekk autovalori

ψkk autofunzioni

2M∇2 + U(x)

)ψ(x) = Eψ(x).

Oscillatore armonico quantistico

Sistema inerziale con forze elastiche di richiamo

energia potenziale U(x) = 12x

semplice modello per molecole e reticoli cristallini

Soluzione analitica

polinomi di Hermite Hm(ξ) = (−1)meξ2 dm

dξm e−ξ2

funzioni di Hermite Xm(ξ) = 1√2mm!

)1/4e−ξ2/2Hm(ξ)

ψ prodotto di funzioni di Hermite in dimensione superiore a 1

Soluzione analitica

dξm e−ξ2

)1/4e−ξ2/2Hm(ξ)

Soluzione analitica

dξm e−ξ2

)1/4e−ξ2/2Hm(ξ)

Soluzione analitica

dξm e−ξ2

)1/4e−ξ2/2Hm(ξ)

Soluzione analitica

dξm e−ξ2

)1/4e−ξ2/2Hm(ξ)

Soluzione analitica

dξm e−ξ2

)1/4e−ξ2/2Hm(ξ)

Soluzione analitica

dξm e−ξ2

)1/4e−ξ2/2Hm(ξ)

Soluzione analitica

dξm e−ξ2

)1/4e−ξ2/2Hm(ξ)

Soluzione SEM in dimensione 2

k Ek (10−12J) erroreanalitica numerica relativo

1 .305218434 .305218820 1.265E-062 .610436869 .610437640 1.263E-06

.610437640 1.263E-064 .915655303 .915656461 1.265E-06

.915656482 1.288E-06

.915656482 1.288E-067 1.22087374 1.22087530 1.278E-06

1.22087530 1.278E-061.22087566 1.573E-061.22087566 1.573E-06

11 1.52609217 1.52609414 1.291E-061.52609449 1.520E-061.52609449 1.520E-061.52609787 3.735E-061.52609787 3.735E-06

16 1.83131061 1.83131333 1.485E-061.83131333 1.485E-061.83131670 3.325E-061.83131670 3.325E-061.83134331 1.786E-051.83134331 1.786E-05

1 .305218434 .305218820 1.265E-062 .610436869 .610437640 1.263E-06

.610437640 1.263E-064 .915655303 .915656461 1.265E-06

.915656482 1.288E-06

.915656482 1.288E-067 1.22087374 1.22087530 1.278E-06

1.22087530 1.278E-061.22087566 1.573E-061.22087566 1.573E-06

11 1.52609217 1.52609414 1.291E-061.52609449 1.520E-061.52609449 1.520E-061.52609787 3.735E-061.52609787 3.735E-06

16 1.83131061 1.83131333 1.485E-061.83131333 1.485E-061.83131670 3.325E-061.83131670 3.325E-061.83134331 1.786E-051.83134331 1.786E-05

1 .305218434 .305218820 1.265E-062 .610436869 .610437640 1.263E-06

.610437640 1.263E-064 .915655303 .915656461 1.265E-06

.915656482 1.288E-06

.915656482 1.288E-067 1.22087374 1.22087530 1.278E-06

1.22087530 1.278E-061.22087566 1.573E-061.22087566 1.573E-06

11 1.52609217 1.52609414 1.291E-061.52609449 1.520E-061.52609449 1.520E-061.52609787 3.735E-061.52609787 3.735E-06

16 1.83131061 1.83131333 1.485E-061.83131333 1.485E-061.83131670 3.325E-061.83131670 3.325E-061.83134331 1.786E-051.83134331 1.786E-05

1 .305218434 .305218820 1.265E-062 .610436869 .610437640 1.263E-06

.610437640 1.263E-064 .915655303 .915656461 1.265E-06

.915656482 1.288E-06

.915656482 1.288E-067 1.22087374 1.22087530 1.278E-06

1.22087530 1.278E-061.22087566 1.573E-061.22087566 1.573E-06

11 1.52609217 1.52609414 1.291E-061.52609449 1.520E-061.52609449 1.520E-061.52609787 3.735E-061.52609787 3.735E-06

16 1.83131061 1.83131333 1.485E-061.83131333 1.485E-061.83131670 3.325E-061.83131670 3.325E-061.83134331 1.786E-051.83134331 1.786E-05

Funzioni d’onda

1 .305218434 .305218820 1.265E-062 .610436869 .610437640 1.263E-06

.610437640 1.263E-064 .915655303 .915656461 1.265E-06

.915656482 1.288E-06

.915656482 1.288E-067 1.22087374 1.22087530 1.278E-06

1.22087530 1.278E-061.22087566 1.573E-061.22087566 1.573E-06

11 1.52609217 1.52609414 1.291E-061.52609449 1.520E-061.52609449 1.520E-061.52609787 3.735E-061.52609787 3.735E-06

16 1.83131061 1.83131333 1.485E-061.83131333 1.485E-061.83131670 3.325E-061.83131670 3.325E-061.83134331 1.786E-051.83134331 1.786E-05

Densita di probabilita

Conclusioni

Metodologia di analisi generale

Problemi differenziali di natura variaGeometrie complesseMezzi eterogeneiInteresse applicativo

Estensione risultati validi su geometrie semplici

Convergenza SEMScalabilita OS∆t schema implicito ≈ 10∆t schema esplicito

Conclusioni

Problemi differenziali di natura varia

Geometrie complesseMezzi eterogeneiInteresse applicativo

Conclusioni

Problemi differenziali di natura variaGeometrie complesse

Mezzi eterogeneiInteresse applicativo

Conclusioni

Problemi differenziali di natura variaGeometrie complesseMezzi eterogenei

Interesse applicativo

Conclusioni

Convergenza SEM

Scalabilita OS∆t schema implicito ≈ 10∆t schema esplicito

Conclusioni

Convergenza SEMScalabilita OS

∆t schema implicito ≈ 10∆t schema esplicito

Conclusioni

Elementi spettrali in geometrie complesse e mezzi ... · eterogenei: teoria, algoritmi,...

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