EERA

Equivalent –linear Earthquake site Response Analyses of Layered Soil Deposits

Manuale d’uso

2

1. INTRODUZIONE

Nel corso dei passati terremoti, si è osservato che il comportamento dei terreni

dipende dalle condizioni locali.

Le amplificazioni dovute agli effetti locali, sono simulate usando numerosi

programmi che assumono condizioni di suolo semplificate, come strati di terreno

orizzontali ed estesi infinitamente.

Uno dei primi programmi sviluppati per questo scopo è stato SHAKE che è basato

sulle soluzioni delle propagazioni delle onde di taglio, dovute a Kanai (1951),

Roesset e Whitman (1969) e Tsai e Housner (1970).

Shake assume che il comportamento ciclico del terreno, può essere simulato usando

un modello lineare equivalente.

SHAKE91 è una delle recenti versioni di Shake.

Nel 1998 è stato presentato il programma EERA, sviluppato in Fortran 90 partendo

dagli stessi concetti di base di Shake; Eera è una moderna implementazione del

concetto di analisi di risposta sismica.

2. MODELLO LINEARE EQUIVALENTE

2.1 Relazioni tra tensioni e deformazioni in un modello monodimensionale

Il modello lineare equivalente, studia il comportamento tensione – deformazione del

terreno basandosi sul modello di Kelvin-Voigt, illustrato in Fig.1

La tensione t dipende dalla deformazione g e dalla sua derivata g’, secondo la

relazione:

'ηγγτ += G (1)

dove:

3

G è il modulo di taglio e h è la viscosità.

In un sistema monodimensionale, la deformazione e la sua derivata, sono definite in

base allo spostamento orizzontale u (z,t) alla profondità z ed al tempo t secondo le

relazioni:

ttzu

∂∂= ),(γ e

tztzu

ttz

∂∂∂=

∂∂= ),(),('

2γγ (2)

Figura1. Rappresentazione schematica del modello tensione-deformazione in un modello lineare equivalente.

Nel caso di moto armonico, lo spostamento e i valori di g e g’ sono:

ti

ezUtzuω

)(),( = titi ezedzdUtz ωωγ )(),( Γ== ),(),(' tzitz ωγγ = (3)

dove:

U (z) e G (z) sono rispettivamente le ampiezze dello spostamento e la deformazione a

taglio.Usando le (3), la relazione (1) diventa, in caso di carichi armonici:

),(**()(),( tzGedzdUGe

dzdUiGeztz tititi γωητ ωωω ==+=Σ= (4)

dove:

4

G* è il modulo a taglio complesso

S (z) è l’ampiezza delle t.

Dopo aver introdotto il rapporto critico di smorzamento x tale che G2

ωηξ = , il modulo

di taglio complesso diventa:

)21(* ξωη iGiGG +=+= (5)

L’energia dissipata Wd durante un ciclo completo di carico è uguale a:

γττ

dWcd .∫= (6)

In caso di carico armonico a deformazioni controllate di ampiezza gc (es. ticet ωγγ =)(

l’equazione (6) diventa:

[ ] dtdtdtW

t

td

= ∫+

γτω

π

Re)(Re2

(7)

dove sono considerate solo le parti reali di t e g’ . Usando le (4) le parti reali di t e

g’ sono:

[ ] )sincos()(Re ttGt c ωωηωγτ −= e tdtd

c ωωγγ sinRe −=

(8)

Pertanto, la (7) diventa:

[ ] 2

2

2 )2cos1(2sin21

c

t

tcd dtttGW πωηγωωηωωγ

ωπ

=−+−= ∫+

(9)

5

La massima energia immagazzinata nel sistema è

2

21

21

cccs GW γγτ == (10)

Il rapporto critico di smorzamento x può essere espresso in termini di Wd e Ws come

segue:

s

d

WWπ

ξ4

= (11)

2.2 Approssimazione lineare equivalente del comportamento non lineare di

tensione e deformazione.

L’approccio lineare equivalente consiste nel modificare il modello di Kelvin-Voigt

Il comportamento non lineare dei terreni, durante un ciclo di carico, è approssimato

come mostrato in figura 2. Il modulo di taglio equivalente, G, è preso considerando il

modulo di taglio secante Gs.

Come mostrato dalla figura 2a alla fine di un ciclo controllato e simmetrico di

tensioni si ha:

c

csG

γτ

= (12)

6

Figura 1. Modello lineare equivalente: (a) curve tensioni - deformazioni; (b) variazione del modulo secante e del rapporto di smorzamento con g

Il comportamento dei materiali è generalmente rappresentato come in fig2b.

La curva Gs – g, non può avere una forma arbitraria ma deriva dalla curva t-g, e

sono legati dalla relazione:

0)( ≥+= γγ

γγτ

ddGG

dd S

S (13)

Nel caso che le curva Gs – g siano specificate da una serie di punti, l’eq. 13 diventa:

γγγ ∆−≥∆

maxmax

)(G

GG

G Ss (14)

dove SG∆ è il decremento di Gs corrispondente ad un incremento γ∆ di g, e Gmax è il

massimo valore di Gs.

L’equazione (15) è equivalente alla relazione:

iiii GG γγ 11 2 ++ −≥ (15)

7

La fig 2b il modello lineare equivalente, mette in evidenza la variazione del modulo

di taglio e del rapporto di smorzamento, al variare di g.Ulteriori relazioni sono

necessarie per specificare gli effetti della frequenza sulle relazioni tra tensioni e

deformazioni. A tale scopo, sono stati proposti due modelli base:

2.2.1 Modello 1

Il modello 1 è stato usato nella versione originale di Shake.

Esso assume che x sia costante ed indipendente da w, il che implica che anche il

modulo complesso G* sia indipendente da w. L’energia dissipata durante un ciclo di

carico è:

ωπηγγπξξπ 2224 ccsd GWW === (16)

Da cui si vede che l’energia dissipata aumenta linearmente con x ed è indipendente

da w.

Le ampiezze dei moduli di taglio complessi e reali sono in relazione attraverso la

241* ξ+= GG (17)

dove *G aumenta con x.

La figura 3 mostra la variazione di GG*

con x.

8

Figura 3. Variazione del modulo di taglio complesso con il rapporto critico di smorzamento (modello1)

2.2.2 Modello 2

Il modello 2 è usato in Shake91; esso assume che il modulo di taglio complesso è

funzione di x attraverso la relazione:

{ }22 12)21(* ξξξ −+−= iGG (18)

L’energia dissipata durante un ciclo di carico è:

2

2

222 121221

c

t

tcd GdtGW γξξπξξωγ

ωπ

∫+

−=−= (19)

La figura 4 mostra la variazione dell’energia dissipata con x.

9

Figura 4. Variazione dell'energia dissipata durante un ciclo di carico in funzione del rapporto critico di smorzamento per i modelli 1 e 2

3. Analisi monodimensionale del comportamento del terreno

In fig.5 è schematizzato un modello di analisi 1D, equivalente lineare. La figura

mostra la propagazione di onde di taglio armoniche in un sistema di piani 1D.

L’equazione del moto 1D, per la propagazione delle onde è:

ztu

∂∂=

∂∂ τρ 2

2

(20)

dove r è la densità di ogni strato.

Assumendo che in ogni strato il comportamento sia alla Kelvin-Voigt si ha:

tzu

zuG

tu

∂∂∂+

∂∂=

∂∂

2

3

2

2

2

2

ηρ (21)

10

Figura 5 Schema 1D per un deposito

Per onde armoniche, lo spostamento può essere scritto come:

tiezUtzu ω)(),( = (22)

Usando le (22) le (21) diventano:

Udz

UdiG 22

2

)( ρωωη =+ (23)

La soluzione dell’integrale generale è:

zikzik FeEexU **)( −+= (24)

dove *

*22

2

GiGk ρω

ωηρω =+

= è il numero d’onda complesso.

11

Introducendo il rapporto di smorzamento critico x tale che G2

ωηξ = il modulo di taglio

complesso G* diventa:

)21(* ξωη iGiGG +=+= (25)

Le soluzioni delle (25) sono:

tizikzik eFeEetzu ω)(),( ** −+= ; (26)

cui corrispondono le tensioni:

tizikzik eFEeGiktz ωτ )(**),( ** −−= . (27)

Le tensioni alla sommità (z=0) e alla base (z=hm) del generico piano m di spessore hm

sono:

ti

mmmm eFEutu ω)(),0( +== e tihikm

hikmmm eeFeEthu mmmm ω)(),(

** −+= (28)

Le tensioni tangenziali alla sommità e alla base del generico piano m sono:

ti

mmmmm eFEGikt ωτ )(),0( ** −= e tihikm

hikmmmmm eeFeEGikth mmmm ωτ )(),(

**** −−= (29)

All’interfaccia tra i piani generici m e m+1, per congruenza si ha:

),0(),( 1 tuthu mmm += e ),0(),( 1 tth mmm += ττ (30)

Usando le relazioni da 28 a 30 i coefficienti Em e Fm sono legati dalle relazioni:

12

mmmm hkm

hikmmm eFeEFE

**

11−

++ +=+ (31)

)(**

*1

*1

**

11mmmm hik

mhik

mmm

mmmm eFeE

GkGkFE −

++++ −=− (32)

Le 31 e 32 scritte in termini di Em e Fm diventano:

mmmm hikmm

hikmmm eFeEE

**

)1(21)1(

21 **

1−

+ −++= αα (33)

mmmm hikmm

hikmmm eFeEF

**

)1(21)1(

21 **

1−

+ ++−= αα (34)

dove *mα è il rapporto di impedenza complesso, all’interfaccia tra i piani m e m+1:

*11

*

*1

*1

***

++++

==mm

mm

mm

mmm G

GGkGk

ρρα (35)

Il procedimento iterativo comincia in superficie dove non sono presenti sforzi di

taglio e pertanto:

0)(),0( 11*1

*111 =−= tieFEGikt ωτ (36)

da cui:

E1 = F1 (37)

Le equazioni 33 e 34 sono successivamente applicate ai piani 2 fino a m. La funzione

di trasferimento Amn che lega lo spostamento alla sommità dei piani m e n è definita

da:

13

nn

mm

n

mmn FE

FEuuA

++

==)(ω (38)

La velocità u’ (z,t) e l’accelerazione u’’ (z,t) sono legate allo spostamento dalle

relazioni:

),(),(' tzuitutzu ω=

∂∂= e ),(),('' 2

2

2

tzututzu ω−=

∂∂= (39)

Quindi la funzione Amn è anche la funzione di trasferimento che lega la velocità e lo

spostamento alla sommità dei piani m e n:

nn

mm

n

m

n

m

n

mmn FE

FEuu

uu

uu

A++

====''''

''

)(ω (40)

La deformazione g alla generica profondità z può essere ricavata dalla 24:

tizikzik eFeEeikzutz ωγ )(),(

*** −−=∂∂= (41)

e la corrispondente tensione alla profondità z ed al tempo t diventa:

),(),( * tzGtz γτ = (42)

14

3.1 F.s. (Free surface), B.o.m. (Bedrock outcropping motions) e R.o.m. (Rock

outcropping motions)

La figura 6 definisce quattro termini usati in una analisi di risposta sismica.

Il termine F.s. definisce il moto alla superficie del deposito di terreno ;

B.o.m. rappresenta il moto alla base del deposito;

R.o.m. rappresenta il moto sulle rocce del bedrock affioranti in superficie.

Figura 6 Termini usati in un'analisi

Come mostra la figura, l’onda di taglio che si propaga verticalmente nel bedrock ha

ampiezza EN; il B.o.m. ha ampiezza EN+FN alla sommità del bedrock, sotto gli strati

di terreno; il R.o.m. ha ampiezza 2EN, perché non ci sono tensioni tangenziali sulla

superficie libera (EN=FN).

Poiché la funzione di trasferimento tra B.o.m e R.o.m. è:

NN

NNN FE

EA

+=

2)(ω (43)

quando si assume che in superficie E1=F1=1, la funzione di trasferimento tra F.s. e

R.o.m. diventa:

15

NN E

A 1)('1 =ω (44)

3.2 Moti di trasferimento

La teoria, presentata per lo studio del terreno in regime monodimensionale, è riferita

ad un moto armonico costante, per esempio nel dominio delle frequenze. Essa può

essere estesa nel dominio del tempo con la serie di trasferimento di Fourier.

I valori reali e complessi della funzione x (t), possono essere approssimati ad una

serie di N valori come segue:

∑ ∑∑−

=

−

=

−

=

∆ ===1

0

1

0

21

0

N

k

N

k

Nikn

k

N

k

tnik

tikn eXeXeXx knk

πωω n=0,…..,N-1 (45)

I valori xn corrispondono ai tempi tntn ∆= dove Dt è un intervallo di tempo costante.

Le frequenze discretizzate diventano:

tNk

k ∆= πω 2 k=0,……, N-1 (46)

Le componenti di Fourier sono:

∑−

=

−=

1

0

21 N

k

Nikm

nm exN

Xπ

m=0,……,N-1 (47)

I coefficienti Xm sono calcolati con la F.F.T.

16

3.3 Procedimento iterativo.

Come precedentemente descritto, il modello equivalente lineare assume che il

modulo di taglio ed il rapporto di smorzamento sono funzioni dell’ampiezza della

deformazione a taglio.

In Shake il valore del modulo di taglio ed il rapporto di smorzamento sono

determinate da iterazioni che diventano consistenti con il livello di deformazione

indotto in tutti gli strati.

Come mostrato in figura 7, i valori di rigidezza e smorzamento iniziali sono calcolati

per piccoli valori di deformazione ed il massimo valore delle deformazioni gmax e la

deformazione a taglio effettiva geff sono calcolati successivamente.

I valori di G1 e D1 corrispondenti a g1eff sono valutati con la successiva iterazione.

L’analisi continua con i nuovi valori di rigidezza e smorzamento, fino a che i valori

calcolati sono compatibili con i valori di deformazione indotti in tutti gli stati.

La procedura di iterazione è la seguente:

1) Valori di G e di D iniziali, valutati a piccole deformazioni;

2) Valutazione dell’ampiezza delle deformazioni a taglio gmax della storia

temporale e valutazione delle deformazioni a taglio in tutti gli strati;

3) Determinazione dei valori effettivi di deformazione geff da gmax con la relazione:

ii

eff R maxγγ γ= (48)

dove Rg è il rapporto tra le deformazioni effettive e quella massima, che è funzione

della magnitudo del terremoto; il valore di Rg è specificato in input ed e lo stesso per

tutti gli strati.

4) Calcolo dei nuovo valori di Gi+1 e Di+1 corrispondenti ai valori di deformazione

effettiva geff ;

17

5) Ripete i passi da 2 a 4 fino a che la differenza tra i valori calcolati di G e di D in

due successive iterazioni siano al di sotto di valori predeterminati per tutti gli strati.

Generalmente 8 iterazioni sono sufficienti per arrivare a convergenza.

Figura 7. Iterazione del modulo di taglio e del rapporto di smorzamento con la deformazione a taglio in una analisi lineare equivalente

4. Descrizione del programma Eera.

4.1 Requisiti del sistema:

Eera lavora sotto Windows 95/98/NT ed Excel97 o versioni successive.

4.2 Installazione e rimozione di Eera

Per installare Eera:

18

1) copiare i file Eera.dll ed Eera.xla in una directory;

2) in Excel installare Eera.xla usando Tools (Strumenti) e Add-ind

(Componenti aggiuntivi); Usare Browse (Sfoglia) per trovare il file: Non

muovere Eera.xla dalla directory dopo avere installato il file;

3) dopo avere installato Eera, apparirà il pull-down menu, sul pull-down menu

di Excel;

4.3 Comandi

Ci sono sette comandi nel pull-down menu di Eera;

1. Process Earthquake Data - Legge ed elabora l’accelerogramma in input;

2. Calcolate Compatible Strain - Legge il profilo del terreno, le curve dei materiali

ed esegue i calcoli con successive iterazioni;

3.Calcolate Output

• Accelation/Velocity/Displecement – Calcola la storia temporale

dell’accelerazione, la velocità relativa e lo spostamento in sommità dello strato

scelto;

• Stress/Strain – Calcola le tensioni e deformazioni al centro dello strato

selezionato;

• Amplification – Calcola il fattore di amplificazione tra due strati;

• Fourier Spectrum – Calcola lo spettro di Fourier alla sommità dello strato

prescelto;

• Response Spectrum – Fornisce l’analisi spettrale alla sommità dello strato

scelto;

• All of the above – Calcola tutti gli output.

19

4.Duplicate Worksheet – Duplica il foglio di lavoro selezionato per definire le curve

di nuovi materiali oppure aggiungere nuovi fogli per l’output;

5.Delete Worksheet – Elimina i fogli di lavoro non necessari;

6.Remove Eera – Disinstalla Eera da Excel;

7.About Eera – Numero della versione di Eera.

I comandi di Eera vanno usati nell’ordine:

• Process Earthquake Data

• Calcolate a Compatible Strain

• Calcolate Output

4.4 Fogli di lavoro

Il sistema Eera è costituito da nove tipi di fogli di lavoro che hanno nomi predefinito

che non possono essere cambiati; sei dei nove tipi di fogli possono essere duplicati e

modificati (Mat, Acceleration, Strain, Ampli, Fourier, Spectra), usando la funzione

Duplicate Worksheet.

Quest’aspetto è usato per ottenere output per diversi strati e per diverse curve di

materiali, che potrebbero essere aggiunte.

4.4.1 Foglio di lavoro: Earthquake Data usato per definire l’accelerogramma in

input;

4.4.2 Foglio di lavoro: Soil Profile usato per definire la geometria e le proprietà del

terreno;

4.4.3 Foglio di lavoro: Material stress-strain damping-strain curves definisce le

curve G –D per diversi valori di g;

4.4.4. Foglio di lavoro: Calculation; per questo foglio di lavoro vanno definiti tre

parametri:

• Il numero di iterazioni; 8 iterazioni sono in genere sufficienti per ottenere una

soddisfacente convergenza;

20

• Rapporto di deformazione equivalente che tiene conto degli effetti della durata

del terremoto; tipicamente l’intervallo di valori varia tra 0.4 e 0.75 in funzione

della magnitudo del terremoto e generalmente per stimare tale rapporto si usa

la relazione 10

1−= MR dove M è la magnitudo;

• Tipo di modello lineare equivalente; ci sono due opzioni:

1. Modello di Shake

2. Modello di Shake91

4.4.5 Foglio di lavoro: Output (Acceleration), definisce la storia temporale di

accelerazione/ velocità relativa e spostamento relativo nello strato selezionato;

4.4.6 Foglio di lavoro: Output (Strain), definisce la storia temporale di tensione e

deformazione ed energia dissipata in un ciclo di tensione e deformazione;

4.4.7 Foglio di lavoro: Output (Ampli), definisce il fattore di amplificazione tra due

strati;

4.4.8 Foglio di lavoro: Output (Fourier), definisce lo spettro di Fourier nello strato.