Equazioni di 2° grado PROBLEMA

(Es. es. 457 pag. 841 vol. 2 Zanichelli biennio)

…… siamo giunti all’equazione di 2° grado

010561002 xx con 750 x

Come risolvere le equazioni di 2° grado

Metodo 1

Scomposizione in fattori e legge di annullamento del prodotto

881210561002 xxxx

Metodo 2

Completamento del quadrato

010561002 xx

si può scrivere come

1444502x

da cui …….

X1=12 e X2=88

In generale

Applicando il metodo del completamento del quadrato all’equazione di 2° grado completa

08812 xx

X1=12

X2=88

02 cbxax con a, b, c 0

si ottiene la formula risolutiva generale

a

acbbx

2

42

2,1

, con acb 42

In sintesi

a

bx

22,1

SE 0

2 soluzioni(o radici) di-

stinte

SE 0

2 soluzioni coincidenti

SE 0

nessuna soluzione reale

CASI PARTICOLARI:

é

ò

B=0 e C=0 EQUAZIONE MONOMIA

B0 e C=0 EQUAZIONE SPURIA

B=0 e C 0 EQUAZIONE PURA

Equazione monomia

L'equazione ha la forma ax2=0

Pertanto x2=

a

0 cioè 02,1 x , un'equazione monomia ha una radice doppia nulla

Equazione spuria

L'equazione ha la forma ax2+bx=0

Posto x in evidenza si ottiene x(ax+b)=0 essendo un prodotto uguale a zero allora, per la legge

di annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori è 0, cioè si ha x=0 o ax+b=0 .

x=0 o ax+b=0 Si è ricondotta l'equazione di secondo grado alla risoluzione di due equazioni di primo grado, di cui

una ha soluzione nulla, cioè x=0;

l'altra soluzione è x =a

b .

In questo abbiamo una equazione con due soluzioni reali distinte di cui una nulla.

Equazione pura

L'equazione ha la forma ax2+c=0

L'equazione si può scrivere nella forma ax2=-c x

2=

a

c

Il primo membro è positivo poiché è un quadrato allora deve esserlo anche il secondo membro.

Se a e c sono concordi il secondo membro è negativo in quanto la frazione è preceduta dal

segno meno, di conseguenza non si hanno radici reali, essendo il primo membro positivo.

Se invece a e c sono discordi si hanno due radici reali opposte che si ottengono:

.

a

cx 2,1

Dall’equazione di 2° grado alla funzione di 2° grado

Per risolvere il problema (es. 457 pag. 841 vol. 2 Zanichelli biennio)

siamo giunti all’equazione di 2° grado

010561002 xx con 750 x

Delle due soluzioni ( o radici) trovate x1=12 e x2=88

Per le C.E. x2=88 non è accettabile, pertanto il problema ammette una soluzio-

ne x=12.

Definisco ora la funzione di 2° grado associata …

yxf :

10561002 xxy , con x

oppure

1056100)( 2 xxxf

e la rappresento graficamente ….

con Geogegra ottengo il seguente

grafico di 10561002 xxy che è una parabola.

In particolare

A(88,0) B(12,0) sono i punti in cui la parabola incontra l’asse x, cioè y=0!!!!

…………………

VEDERE file con GEOGEBRA funz2grado

Per variare parametri a,b,c

RELAZIONI TRA COEFFICIENTI E RADICI DELL'EQUAZIONE Se le radici sono reali dalla formula risolutiva otteniamo:

x1+x2= a

b e x1●x2=

a

c

Queste relazioni permettono in particolari casi di ricavare le soluzioni di un'equazione di secondo grado senza applicare la formula risolutiva. Infatti basta cercare quei numeri le cui somme ed i prodotti corrispondano ai numeri otte-nuti mediante le relazioni. Occorre notare che tali numeri sono facilmente ricavabili quando le soluzioni sono nume-ri interi. Un’altra applicazione è la

SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO Al polinomio ax2+bx+c associamo l’equazione ax2+bx+c=0 Se 0

l'equazione di secondo grado ax2+bx+c=0 ammette due soluzioni x1 ed x2, allo-ra sostituendo in b e c le precedenti relazioni l'equazione diventa:

ax2-a(x1+x2)x+ax1●x2= ossia: ax2-ax1x-ax2x+ax1● x2=0

Ponendo a in evidenza diventa:

a(x2-x1x-x2x+x1●x2)=0

applicando la scomposizione a fattore parziale diventa:

a[x(x-x1)-x2(x-x1)]=0 ossia: a(x-x1)(x-x2)=0

pertanto il polinomio iniziale si scompone

ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2)

Se <0 Se il discriminante dell’equazione è negativo allora il trinomio

ax2+bx+c non si può scomporre