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QuestoargomentoètrattatonelCap.13diG.Ciullo“Introduzioneallaboratoriodifisica”

LadistribuzionediPoisson(poissoniana)descrivefenomenifisiciperiqualinelloschemasuccesso-insuccessocisitrovinelleseguentisituazioni:

-  Ilnumerodieventipossibili,oprove,nsiaelevato(andamentoallimiten →∞)-  plaprobabilitàdisuccessosiabassa(andamentoallimitep →0)-  Ilnumeromediodieventiattesi,cheindicheremoconµ,

siasignificativamenteminoredi√n

-  Esempioambitidiutilizzo:Ø  Decadimentodeinucleiradioattivi

n atomi per mole 6.0225 1023 ~ 1024

Ordine di grandezza dei decadimenti al secondo (successi) 10-4-104

Ø  Nasciteinunospedalerispettoalnumerodiabitanti:A Ferrara nel 2010 in media circa 20 nascite per settimana su 105 abitanti.

Ø  Donazionidisangue,pergiorno,persettimana,rispettoalnumerodiabitanti:A Ferrara nel 2017 in media 37 donazioni al giorno, o 224 per settimana,

Qualsiasiprocedimentodiconteggio,siarispettoadunintervalloditempo,inunospazio,o

rispettoaclassi(vediverifichedelchi-quadro).

DistribuzionidiP:poissonianaodiPoisson

Dallabinomialeallapoissoniana

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LadistribuzionediPoisson(poissoniana)siderivaquindidallabinomialecomeandamentoallimiteper

n →∞,p →0

Esprimiamolasperanzamatematica,ilnumeromediodieventiattesiperladistribuzioneideale,chedobbiamoancoraformulare,comeµ.Quindidallabinomiale:

µ=np.

limn→∞

Bn,p ν( ) np=µ

=µν

ν !e−µ =Pµ (ν )

dove Bn,p ν( ) = n!ν !(n−ν )!

pνqn−ν

Dim.alla

datochep =µ/n èsufficienteconsiderarel’andamentoallimiteinfinitorispettoadn.

Dimostriamo1)e2)alla

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Proprietàdelladistribuzionebinomiale:1)Normalizzazionedelladistribuzione

2)Speranzamatematica=np3)Varianza=npq

{1) ν=0

∞

ΣPµ ν( ) =1

2) E ν[ ] =ν=0

∞

Σ ν Pµ ν( ) = µ

3) V ν[ ] =ν=0

∞

Σ v−ν( )2 Pµ ν( ) = µ

Ladimostrazionedella3)lafaremo,malalasciamoperipatitidimatematica.

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ApprossimazionediPoissonconGauss:

X ≡ µ e σ = µ

Lapoissonianaall’aumentarediµtendeadunagaussiana,conparametri:

Taleapprossimazionerisultadiutilizzopratico,perµelevati:peresempio:laprobabilitàdiottenere78contegginelcasoincuil’aspettativa,lamediadeiconteggiattesi,sia 68.

P68 78( ) = 68

78

78!e−68 =

P68 78( ) = 6878

78!e−68

a tre cifre

arrotondo

≈8.62 10142

1.13115 2.94 10−30 = 0.0234

G 68, 68 78( ) = 1σ 2π

e− (78−68)2

2 68( )2

a tre cifre

arrotondo

≈ 0.0232

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L’approssimazionedellapoissonianaconunagaussiana,risultaancorapiùutile,quandosi vuole calcolare la probabilità di ottenere un numero di conteggi superiore a uno dato.

UtilizzandolagaussianasiottieneperP(ν > 78):

G µ, µ

ν ≥ 78( )z78=

78−6868

z=ν−µµ

= G0,1(z ≥1.21)

Dallatabelladell’integralenormale(A.1):

G0, 1(z ≥1.21) =G0, 1(0 ≤ z ≤∞)−G0, 1(0 ≤ z ≤1.21)

G0, 1(z ≥1.21) = 0.5000− 0.3849 = 0.1151

P(ν > 78)~ 11.5 %

Diversamenteconlapoissonianadovremmocalcolareleprobabilitàperognisingolaνapartireda78finoaunvaloretalecheprobabilitàsiatrascurabile,epoisommaretuttiirisultatiottenuti.Sifacciaattenzionechealcunecalcolatrici,cosìcomealcunifoglielettronici,hannodellelimitazionisulnumeromaggiorecheriesconoaelaborare,percuinonsarebbepossibilecalcolarefattorialiopotenzeelevatedinumerielevati.

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L’approssimazionediGaussperPoisson:Possiamoosservare,empiricamente,grazieall’utilizzodiexcel,comeladistribuzionedipoisson,siagiàbenapprossimatadallagaussiana(…)corrispondenteapartiredaµ > 10.

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Pµ(ν)

e

Gµ,

√ µ

(ν)

poissoniana

gaussiana

µ =10.1

ν

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Laverificadelχ2 perPoissonconGauss:UnesperimentoimmediatoperlaverificadiPoissonsonoiconteggidiradiazioneCosmicaanaturale,medianteuncontatoreGeiger.Unsistemacheseattraversatodaunaparticellaionizzante,subisceunascaricainungasrilevabilecomeimpulsodicorrente.Sonosistemianchediutilizzodidatticoesipossonoacquisirealcomputer.

Intabella13.1sonoriportatedellemisure,120,diconteggidelcontatoreGeigerinintervalliditempodi60s.

DallatabellapossiamoricavareilvaloremedioosservatoµOpossiamolimitarelasommatoriaall’ultimovaloreperilqualecontiamoqualcosa,datocheperilvaloridiνincuiOνènullo,otteniamouncontributonullo.

µO = ν=0

∞

ΣνFν =ν=0

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ΣνFν , dove Fv =Ov

N

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Nelpresentareilrisultatoforniremocomemisuradeiconteggilamedia,arratondatasecondoisoliticriteririspettoall’incertezza.

µ = 10 + 3

aggiungendochesonoiconteggialminutomisurati.

UtilizzandolatabellaotteniamoµO = 10.06, che confrontando con l’incertezza √µO ~ 3.17

AbbiamoaprioriassuntocheladistribuzionediPoissonfosseappropriataaidatiosservati.Oraneverifichiamol’ipotesielofacciamoconsiderandolaprobabilitàdiPoissonchecipermettedifornirelaaspettativeperilcorrispondentevaloreν.IngeneraleabbiamocheEν ,leaspettativeperνconteggivistochelaprobabilitàèlapoissonianasaràdatada

Eν = N Pµ(ν) Perrisolveremegliol’organizzazionedelleclassiutilizziamounacifrasignificativainpiùrispettoaµ= 10.1 eσ =3.2, e otteniamo:

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PersoddisfareilteoremadellesommadiPearson:

RaggruppoinUnaclasse

un’altraclasse

un’altraclasse

Usoperetichettareleclassiilsimbolok

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CalcologliEk nellaformuladelχ 2-ridottoda:NPk

N localcolodaN=ΣkOk (unvincolo). Pk = µν /(ν !) e-µ

Doveµ l’ho ottenutodaidati:µ=µΟ=Σνν Ον (unaltrovincolo).

Igradidilibertàinquestocasorisultanod = nclassic – c=9-2=7,χΟ2-ridotto=10.2/7=1.46,inoltredatocheχΟ2 > E [χΟ2]= d, allorafacciolaverificaadestra.

Stimoigradidilibertà:.

Pd !χ2 ≥ !χO

2( ) = P7 !χ 2 ≥1.46( ) DallatabellaC.2siosservacheèmaggioredel10%,nonpossiamorigettarel’ipotesi.

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Laverificacheabbiamofattoèpervedereseidatiosservatiseguonounapoissoniana.Sipossonofarealtreipotesiperesempiounteoricostima,chevistoilflussodiraggicosmicievistalasezionesensibiledelrivelatore,iconteggialminutosiano

µth= 10.0 (probl. 13.2)

In questo caso la media dei conteggi non è stata stimata dai dati, ma fornita, per cui avremo un solo vincolo nel calcolo del χ2-ridotto.

Allostessomodosemodificolecondizionedellamisuraemiconfrontoconlamediadeiconteggi di un’altra condizioni, si pensi di schermare il contatore Geiger con dei mattonidi piombo e verificare, se la media ottenuta dalla misura precedente è appropriata perdescrivere questi ultimi (Probl. 13.4).

Sistudierannoledonazioni,giornaliereosettimanali,perverificaresepossonoEssereconsideratepoissoniane.Comeconseguenzasicercheràdiverificare.sec’èdifferenzatraledonazioninellegiornatedilunedìedigiovedì.