Dispositivi a semiconduttore 1

La diffusione

Esiste un gradiente di concentrazione dei portatori n, p ( Giunzione, illuminazione non uniforme,etc.)

n(x-x) n(x+x)S

€

Φ(x) =1

6v ⋅n(x − Δx) −

1

6v ⋅n(x + Δx) = −

1

3

∂n(x)

∂xvΔx

Per convenzione il flusso è >0 verso destra

Dispositivi a semiconduttore 2

€

x = v ⋅τ

Φ(x) = −1

3v 2τ

∂n(x)

∂x

< v 2 >=3kBT

m*

Φ(x) = −kBT

m*

∂n(x)

∂x= −D

∂n(x)

∂x

segue ⏐ → ⏐ ⏐ Jdiff = −D∂n(x)

∂x

r J diff = −D∇n

De(h ) =kBT

me(h )*

τ e(h )

I legge di Fick

€

De =kBT

me*

τ e

ee =

kBT

eμ e

Dh =kBT

eμh

Rel. di Einstein

Dispositivi a semiconduttore 3

Conservazione del numero di particelle

€

∂n

∂t+∇ ⋅

r J diff = 0 segue ⏐ → ⏐ ⏐ ∂n

∂t= D∇ 2n

II legge di Fick: equ.diffusione

Corrente totale

€

Je = neμ e E + eDe∇n

Jh = peμh E − eDh∇p

Le correnti di drift hanno lo stesso segno, mentre quelle di diffusione hanno segno opposto

€

JTOT = JDrift + JDiff

Dispositivi a semiconduttore 4

La diffusione

Dispositivi a semiconduttore 5

Esprimiamo EF in funzione della concentrazione intrinseca ni

Quasi livello di Fermi EF

Livello intrinseco di Fermi Ei

€

n = nieEF −E i

kBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

EF = E i + kBT lnn

ni

Dispositivi a semiconduttore 6

Caso 1D

€

Jx = eμnnE + eDe

∂n

∂xdEF

dx=

dE i

dx+ kT

1

n

∂n

∂x

In condizioni di equilibrio:

Jx=0

Se varia n varia EF: il livelloEi cambia a causa della presenza del campo E

€

eμnnE = −eDe

dn

dx

μn =De

n

dn

(−Edx)=

De

n

dn

(dVpot )=

De

ne

dn

dEF

n = NceEF −Ec

kBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

μn =eDe

kBT

Rel. Einstein

Dispositivi a semiconduttore 7

Come si misura la mobilità

Effetto Hall

In questa geometria

rFL =q

rvD ×

rB

Fy =−qvDBz

vD =μEx

Fy =−qμExBz

qEy =−qμExBz

VHall =Eyw=−μwExBz

€

RH =Ey

JxBz

=1

nq

Dispositivi a semiconduttore 8

Processi di generazione e ricombinazione

A differenza del caso del trasporto:Interazione fra popolazioni e-h

• Transizioni interbanda : Assorbimento, Emissione

Assorbimento: h=Ee+Eh

Emissione radiativa: Ee’+Eh’= h

Emissione non radiativa

Dispositivi a semiconduttore 9

Regola aurea Fermi

€

| i >,| f >

W i→ f =P(t)

t=

2π

h|< f | H if | i >|2 δ (E f − E i − hω)

Dispositivi a semiconduttore 10

€

H =1

2m( p + eA)2 + V (r)

A(r, t) =1

2Ao

ˆ e (e i(r k p ⋅

v r −ωt ) + e−i(

r k p ⋅

v r −ωt ))

H ≈p2

2m+ V (r) +

e

mA ⋅ p = H0 + H1

W =2π

h|< ck' |

e

mA ⋅ p | vk >|2 δ (Ec (k') − Ev (k) − hω)

Considerando transizioni ad 1 fotone

ck’: stato b.cond. con vettore k’

vk: stato b.val. con vettore k

Dispositivi a semiconduttore 11

€

Wcv =πe2

2hm2 A02 |< ck' | exp(i

v k p ⋅

r r ) ˆ e ⋅ p | vk >|2 δ (EC − Ev − hω)

| jk >= u jk (r)exp(ir k ⋅

r r )

€

ˆ e ⋅ pcv =1

Ve−ik'r

V∫ uck'

* (r)e ikp r ˆ e ⋅ pe ikruvk (r)d3r

=1

Ve i(kp +k −k' )r

V∫ uck'

* (r) ˆ e ⋅(p + hk)uvk (r)d3r

Trasformando l’integrale sul volume sulla somma in cui compare l’integrale su cella unitaria e sfruttando le proprietà delle f.Bloch si ha:

€

ˆ e ⋅ pcv =1

Vexp(i(kp + k − k ') ⋅Rl )

l∑ ⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ e i(kp +k −k ' )r

Ω∫ uck'

* (r) ˆ e ⋅(p + hk)uvk (r)d3r

≠0 solo per kp+k-k’=Gm vettore ret.reciproco Gm=mG0

Dispositivi a semiconduttore 12

Kp<<Gm in particolare Kp<<G0 : contributo max perGm=0 quindi k’=k conservazione impulso: transizione verticali o Transizione diretta

€

e i(kp +k −k ' )r

Ω∫ uck'

* (r) ˆ e ⋅(p + hk)uvk (r)d3r

L’integrale su hk è 0 per ortogonalità f.Bloch

€

ˆ e ⋅ pcv =1

ΩΩ∫ uck '

* (r)(ˆ e ⋅ p)uvk (r)d3rδ k,k '

Dispositivi a semiconduttore 13

A ordini superiori anche transizioni indirette:fononi

Dispositivi a semiconduttore 14

Processi di rilassamento

• Scale temporali : sub ps, ps, ns..• Perdita coerenza: sub ps, ps• Perdita energia : rilassamento intrabanda: ps• Perdita energia comporta anche

termalizzazione• Ricombinazione interbanda radiativa e non:

ns, ms• Anche processi estrinseci di cattura e

ricombinazione radiativa e non

Dispositivi a semiconduttore 15

Eccitone Interazione

coulombiana e-h: formazione di stati legati di tipo idrogenoide

€

EX = Eg +h2 KX

2

2MXTOT − EX

b 1

n2

EXb = 13.6

μ

me

1

ε r2 eV GaAs: EX=4meV: no

eccitoni @RT

GaN : EX=25meV: eccitoni @RT

Dispositivi a semiconduttore 16

Risonanze eccitoniche

Assorbimento

GaN 77 K

Emissione

Dispositivi a semiconduttore 17

GaAs: effetto della temperatura e drogaggio

Dispositivi a semiconduttore 18

La coda di Urbach

Parametro Urbach legato a localizzazione-disordine

Dispositivi a semiconduttore 19

•Ricombinazione diretta,•via trappole profonde (Shockley-Read-Hall)•Processi Auger•Ricombinazione da stati superficiali

Dispositivi a semiconduttore 20

Emissione assistita da fononi: repliche fononiche

Tipica in semiconduttori polari: necessaria “ forte” interazione con il reticolo.

Dispositivi a semiconduttore 21

Attivazione termica di processi non radiativi

€

IPL (T) =I(0)

1 + Ai exp −E ikB

T ⎛ ⎝

⎞ ⎠

i∑

Legge di Arrhenius: Ei i-sima energia di attivazione