1INDICE 1.Capitolo. Correnti a Superficie Libera Stazionarie ed Uniformi .......................................... 3 1.1Nozione di moto stazionario uniforme delle correnti a superficie libera............................. 3 1.2Caratteristiche geometriche di una corrente uniforme. ........................................................ 5 1.3Caratteristiche cinematiche. ................................................................................................. 8 1.4Distribuzione idrostatica della pressione nelle correnti stazionarie uniformi.................... 12 1.5Carico piezometrico, carico effettivo e carico specifico. ................................................... 12 1.6Le equazioni del moto delle correnti a superficie libera stazionarie e uniformi................ 14 1.7La forma di Chzy dellequazione del moto: coefficiente di conduttanza e coefficiente di resistenza. ....................................................................................................................................... 16 1.8Valutazione del coefficiente di conduttanza. ..................................................................... 18 1.9I problemi di progetto e di verifica. ................................................................................... 22 1.10Cenno al caso degli alvei naturali. ..................................................................................... 23 1.11Scale di deflusso................................................................................................................. 24 2.Capitolo. I Possibili Stati delle Correnti a Superficie Libera .............................................. 27 2.1Profondit critica per assegnata portata. ............................................................................ 27 2.2Velocit critica delle correnti a superficie libera. .............................................................. 30 2.3Profondit critica per assegnato carico specifico. .............................................................. 31 2.4Velocit critica per assegnato carico specifico. ................................................................. 34 2.5Quale relazione fra grandezze critiche per assegnata portata e grandezze critiche per assegnato carico specifico? ............................................................................................................ 35 2.6La nozione di pendenza critica per assegnata portata. ....................................................... 35 2.7Alvei fluviali ed alvei torrentizi. ........................................................................................36 3.Capitolo. Correnti Stazionarie a Superficie Libera.............................................................. 38 3.1Le equazioni del moto delle correnti stazionarie a superficie libera.................................. 38 3.2Equazione del moto delle correnti stazionarie a superficie libera nel caso di alvei cilindrici. ........................................................................................................................................ 41 3.3Andamento qualitativo dei profili di rigurgito per alvei cilindrici declivi......................... 42 3.4Andamento qualitativo dei profili di rigurgito per alvei cilindrici declivi critici. ............. 45 3.5Andamento qualitativo dei profili di rigurgito per alvei cilindrici orizzontali. ................. 46 3.6Andamento qualitativo dei profili di rigurgito per alvei cilindrici acclivi. ........................ 46 3.7Integrazione dellequazionedei profili di rigurgito nel caso di alveo rettangolare declive e sezione infinitamente larga.......................................................................................................... 47 3.8Condizioni al contorno per il tracciamento dei profili ....................................................... 49 4.Capitolo. Fenomeni Localizzati nelle Correnti Stazionarie a Superficie Libera ............... 53 4.1Il risalto idraulico o salto di Bidone................................................................................... 53 4.2Il risalto idraulico negli alvei rettangolari.......................................................................... 56 4.3Forme deboli del risalto idraulico. ..................................................................................... 59 4.4Imbocco da un serbatoio. ................................................................................................... 60 4.5Sbocco in un serbatoio. ...................................................................................................... 64 4.6Brusche variazioni di pendenza. ........................................................................................ 65 4.7Deflusso attraverso pile di ponti. ....................................................................................... 67 4.8Deflusso attraverso luci di fondo. ...................................................................................... 73 4.9Deflusso in prossimit di traverse. ..................................................................................... 78 5.Capitolo. Cenni sulla Propagazione delle Onde nelle Correnti a Superficie Libera ......... 83 5.1Nozione elementare di onda............................................................................................... 83 5.2Le equazioni del moto di correnti non stazionarie per onde molto lunghe........................ 84 5.3Il pi semplice modello di propagazione delle onde nelle correnti a superficie libera: il modello dellonda cinematica. ....................................................................................................... 86 5.4Limiti del modello dellonda cinematica. .......................................................................... 90 2 5.5Scala di deflusso di una piena. ........................................................................................... 91 6.Capitolo. Elementi Introduttivi sulla Meccanica del Trasporto Solido.............................. 94 6.1Origine dei sedimenti. ........................................................................................................ 94 6.2Propriet dei sedimenti....................................................................................................... 95 6.3Meccanismi di trasporto dei sedimenti. ............................................................................. 99 6.4Incipiente trasporto di fondo. ........................................................................................... 102 6.5Trasporto di sedimenti al fondo nelle correnti uniformi a superficie libera. ................... 106 6.6Velocit di sedimentazione. ............................................................................................. 109 6.7Incipiente trasporto in sospensione. ................................................................................. 113 6.8Trasporto solido in sospensione nelle correnti uniformi a superficie libera. ................... 115 7.Capitolo. Elementi Introduttivi sul Deflusso dei Liquidi negli Acquiferi......................... 121 7.1Acque sotterranee ed acquiferi......................................................................................... 121 7.2Modello continuo dei mezzi porosi: definizioni. ............................................................. 123 7.3La legge di Darcy. ............................................................................................................ 125 7.4Limiti della legge di Darcy. ............................................................................................. 127 7.5Conduttivit e permeabilit dei mezzi porosi. ................................................................. 127 7.6Una semplice applicazione: deflusso stazionario verso un pozzo circolare artesiano. .... 128 7.7Equazione di continuit per i mezzi porosi incomprimibili. ............................................ 130 7.8Formulazione del problema della filtrazione stazionaria in mezzi porosi omogenei e incomprimibili.............................................................................................................................. 132 7.9Lapprossimazione di Dupuit (1863) per gli acquiferi freatici. ....................................... 133 7.10Applicazione dellapprossimazione di Dupuit al caso del deflusso stazionario indotto da un pozzo circolare in un acquifero freatico omogeneo. ............................................................... 134 7.11Qualche generalizzazione: le equazioni generali del moto negli acquiferi freatici. ........ 136 3 1.Capitolo.Correnti a Superficie Libera Stazionarie ed Uniformi 1.1Nozione di moto stazionario uniforme delle correnti a superficie libera. Ilmototurbolentodiunacorrenteasuperficielibera(mediamente) uniformeestazionario se soddisfa alle seguenti propriet: i)(mediamente)unidirezionale,ciolelineedicorrentedelmotomediosono rettilinee e parallele: in altre parole, scelto un sistema di coordinate cartesiane (x, y, z) conxasselongitudinaleallineatoconladirezionedelmoto,lavelocit(media)del fluido v ha ununica componente non nulla che indicheremo conu;ii)le sue propriet, dunque la velocit (media) delle particelle u e la pressione (media) p, risultanoindipendentidaltempo(stazionariet)edallacoordinatalongitudinaleche definisce la direzione (media) del moto (uniformit). Illettoreavrcoltochelamediaacuisifariferimentonelladefinizioneprecedentelamedia rispettoallaturbolenza,quelloperazione,cio,cherimuovedaisegnalidivelocitepressione leffettodellefluttuazioniturbolente(caratterizzatetipicamente,comnoto,damedianullasu periodi dellordine di alcuni secondi). Il lettore simpadronisca di questo concetto di media, che non dovressereconfusoconulteriorioperazionidimediaspazialicheinterverrannoneglisviluppisuccessividellatrattazione.Nelseguito,salvospecificaprecisazione,leproprietdelmotocuisi far riferimento saranno intese sempre come grandezze mediate rispetto alla turbolenza. zxySuperficie liberageneratricidirettrice =contorno della sezione Fig.2.1 Schema di alveo cilindrico in cui defluisce una corrente stazionaria uniforme Affinchrisultinoverificateleproprietdelmotoenunciateinprecedenza,debbonoessere soddisfatte alcune condizioni. Esaminiamole.4 i)Perchilmotopossaesserestrettamenteunidirezionale,ilcontenitorechelodelimita, ciolalveo,deveesserecilindrico(vedifig.2.1):legeneratricidelcilindrosonorette parallelealladirezionedelmotochesiappoggianoadirettrici,cherappresentanoil contorno solido delle sezioni della corrente. ii)Perchilmotosiastazionario,lalimentazionedeverisultaretale(ciolimmissionedi fluido nellalveo deve avere caratteristiche che si mantengono inalterate nel tempo) e tali devono risultare le condizioni allo scarico, anchesse costanti nel tempo. Ma non basta: anche lalveo non deve subire variazioni della sua conformazione geometrica (il fondo e lespondedevonoesserefisse)edilmotodeveaverpersoilricordodellecondizioni iniziali da cui ha preso le mosse (dunque il transitorio temporale iniziale attraverso cui il moto si sviluppato deve essersi esaurito) (fig. 2.2) Regione in cui il moto risulta sensibilmente uniformeTransitorio spaziale indotto dalle condizioni allo sboccoTransitorio spaziale indotto dalle condizioni all' imboccoLivello costante nel tempo affinch il moto sia stazionario Fig. 2.2 Schema di corrente a superficie libera che evidenzia le condizioni necessarie per la stazionariet e luniformit . iii)Affinchilmotorisultiuniformeancheiltransitoriospazialeattraversocuilacorrente subisce leffetto delle condizioni al contorno imposte dai vincoli esterni nelle sezioni di estremitdellacorrenteconsiderata,sideveessereesaurito:inaltreparole,lacorrente deve aver perso memoria delle condizioni imposte alle sue estremit (vedi fig. 2.2). Lecondizionicosrigorosamentedefinitepossonoabbastanzafacilmenterealizzarsiin laboratorio,masonosoloapprossimativamentesoddisfattenellarealt:cos,mentreicanali artificialisonospessocilindriciconbuonaapprossimazione,glialveinaturalipossonoessere schematizzaticometalisoloinprimaapprossimazione:lalarghezzaelaformadellasezionedegli alvei infatti soggetta a variazioni longitudinali spesso significative (figure 2.3 e 2.4); e, inoltre,lecondizionidistazionarietsonoverificateinuncorsodacquasolosesifa riferimento a scale temporali sufficientemente piccole (molto pi brevi delle scale temporali su cui si manifestano le fluttuazioni stagionali) e se si sono esauriti gli effetti di eventuali eventi di pienacuiilcorsodacquapossaesserestatoassoggettato;e,ancora,glialveinaturalisono tipicamentecaratterizzatidafondoincoerente,dunquemobilepereffettodellacapacitdella corrente di mobilitare i sedimenti di cui il fondo costituito; e, infine, lasse degli alvei naturali 5 quasi sempre curvilineo (fig. 2.3), il che induce la generazione di moti, detti secondari, che si sovrappongono al moto longitudinale prevalente. Malgradoquestenumerosecausedinonconformitalloschemadialveocilindrico, lapplicazionedelmodellodimotouniformeaglialveinaturalirivesteunimportanza fondamentale nellambito dellIngegneria fluviale e costituisce premessa indispensabile per tutti i successivi sviluppi. 1.2Caratteristiche geometriche di una corrente uniforme. Definiamo linea di fondo di un alveo cilindrico la generatrice del cilindro caratterizzata dalla minimaquota rispetto ad un riferimento orizzontale. Detta f (x) tale quota, definiamo pendenza del fondo ifla quantit

dxdiff = . (2.1) Il lettore osserver che la presenza del segno negativo a secondo membro della (2.1) assicura che la quantit ifrisulti positiva se la quota f (x) decresce con x (condizione, questultima, necessaria se il deflusso della corrente avviene nel senso delle x positive). Fig. 2.3 Planimetria di un tratto del fiume Tanaro che evidenzia le variazioni spaziali della larghezza dellalveo e landamento curvilineo del suo asse. Definiamo,quindi,sezionidellacorrenteleintersezionidiquestaconpianiortogonalialla linea di fondo. Caratteristiche geometriche della sezione sono (fig. 2.5) la larghezza della superficie 6 liberab,ilcontornobagnatoB,laprofonditYdefinitacomedistanzadellalineadifondodalla superficie libera e larea della sezione definita nella forma: ( )= 21bbldy y Y (2.2) con Ylprofondit locale funzione della coordinata laterale y. Fig. 2.4 Sezioni del corso dacqua indicate con A e B nella figura precedente. Legrandezzeb,B,Y,,chesonoingeneralefunzionideltempotedellacoordinata longitudinale x, risultano costanti nei moti uniformi. fbBYYcos xzU22gHh Fig. 2.5 Correnti uniformi: notazioni 7E infine opportuno definire unulteriore grandezza, il raggio idraulico R, che, come emerger nel seguito, rappresenta la grandezza geometrica dinamicamente significativa per il moto uniforme della corrente in esame. Essa si definisce come segue:

BR=(2.3) NondifficilemostrarechelaquantitRstrettamentelegataallaprofondit Yeadunaqualche misura del rapporto larghezza profondit della sezione, dipendente dalla forma di questultima. In particolare si ottengono facilmente i seguenti risultati.-Per una sezione rettangolare di larghezza b, si ha: ||.|

\|+=+=2 2 YY bbYR (2.4) dovesiindicatoconilrapportolarghezzaprofondit(b/Y):illettoredimostrer facilmenteche,pervalorigrandidi,RtendeacoincidereconlaprofonditY(quando assume il valore 10, R differisce da Y del 16,7 %); -Perunasezionetrapeziadibaselescarpas(lascarpalatangentedellangolochela sponda obliqua forma con lorizzontale), si ha: ||.|

\|+ ++=+ +||.|

\|+=1 2122222222ssYsYY lsYlYR;(2.5) avendoindicatoconilrapporto(l/Y).Illettoredimostrerfacilmentechelespressione (2.5)tendeaquellarelativaallesezionirettangolariquandolascarpatendeazero(sponde verticali); -Ilcasodellasezionetriangolarediscarpasevidentementeuncasoparticolaredella sezione trapezia: posto infatti l= = 0, dalla (2.5) segue:

||.|

\|+=1 212sY R ; (2.6) -Infine, nel caso di una sezione circolare di raggio r, si ha: ( ) r Yrrr rR |.|

\| ==cos sin12 2cos sin2 2 (2.7) ( )( )( ) r Y cos sin rrcos sin r r rR |.|

\|+ = = 12 22 2 2(2.8) avendo indicato con (2) langolo al centro sotteso dalla superficie libera della sezione. Le principali caratteristiche geometriche delle sezioni pi comuni sono riassunte nella tabella 2.1. 8 Yb Lb b r22r ( ) r Ycos sin rR |.|

\| = 12 Tabella 2.1: Caratteristiche geometriche principali delle sezioni dei canali pi comuni. 1.3Caratteristiche cinematiche. Le correnti a superficie libera di rilievo per lingegneria civile e ambientale sono quasi sempre turbolente. La distribuzione della velocit u nella sezione presenta un andamento non molto lontano daunadistribuzioneuniformenellaregioneesternaadunostratodiparete(dispessore caratteristico dellordine di 0,2 Yl )dove si presenta una rapida riduzione della velocit: questultima si annulla alla parete dove risulta soddisfatta la cosiddetta condizione di aderenza. La distribuzione bY = Y b B 2 + =||.|

\|+==2 YBR tan2==L bYs||.|

\|+ = sYLY2222222sYY L B + + =YL= ||.|

\|+ ++=1 212ssY R tan2= =bYs||.|

\|= sY2222222sYY B + =( ) r Ycos sin rR |.|

\|+ = 129divelocitrelativaalmotouniformedicorrentiturbolenteinalveicilindricipuricavarsipervia teorica,construmentidindaginepiraffinatidiquelliattualmentedisponibiliallettore,o attraverso rilievi sperimentali. Per gli scopi della trattazione elementare qui proposta la conoscenza ditaledistribuzionenonsirivelatuttaviaindispensabile:sufficientelaconoscenzadialcuni parametri globali che la caratterizzano, introdotti nel seguito.Definiamoportatavolumetricadiunacorrenteunamisuraistantaneadelrapportofrail volumedifluidoVcheattraversalasezioneinunintervalloditempotelostessot. Formalmente si scrive: tVlim Qt 0 = (2.9) La (2.9) pu essere interpretata affermando che, per misurare la portata volumetrica in un moto non stazionario,occorremisurareilvolumeVinunintervalloditemposufficientementepiccoloaffinchilrapportoincrementalechecompareasecondomembrodella(2.9)risultisensibilmente indipendentedat.Se,poi,ilmotostazionario,comeipotizzatonelcasoinesame,laportata volumetricanondipendedaltempo:cisignificacheilvolumedifluidocheattraversalasezione nellintervallo di tempo t risulta proporzionale a t, la misura di Q cio indipendente dalla scelta di t. Laportatavolumetricainoltre,ingenerale,funzionedellacoordinatalongitudinalex: variazioni longitudinali di Q possono essere indotte da afflussi laterali (per esempio in presenza di affluentidelcorsodacquaprincipale)odeflussilaterali(peresempioassociatiasfioratorilaterali chesottraggonounapartedellaportataalcorsodacquaascopiirriguiodilaminazionedelle piene).Noncosinunmotouniforme,incuiQrisulta,perdefinizione,costanteepuesserepi semplicemente definita come volume fluido che attraversa la sezione nellunit di tempo . EutilenotarecheladefinizionediQpuessereespressainfunzionedelladistribuzionedi velocit. Si consideri infatti una porzione sufficientemente piccola dellarea della sezione e sia u la velocit delle particelle fluide che attraversano tale areola. Poich u rappresenta il rapporto fra lo spostamentoindirezioneortogonaleasubitodalleparticelleinunintervalloditempotelo stessot,neconseguecheilvolumefluidocheattraversanellunitditempopuporsinella forma(u)(fig.2.6).SelasezionesuddivisainNareolei(i=1,.N)ciascuna caratterizzata da velocit ui, sommando i contributi di ciascuna areola si ottiene: = =Nii iu Q1(2.10) Il lettore avr colto che la (2.10) rappresenta la forma discreta della definizione integrale di Q, che si scrive: = d u Q(2.11) La(2.10)siprestaadimmediatautilizzazioneperlamisuradellaportatadellecorrentia superficie libera attraverso lutilizzo di misuratori di velocit.10 ydiuzxVolume fluido che attraversa l'elemento areale d nel tempo dtudt =spostamento Fig. 2.6 La portata volumetrica rappresentata in funzione della distribuzione di velocit. AccantoallaportatavolumetricaQsipossonodefinireunaportatamassicaQeduna portata ponderale Qp , definite nella forma: Q= Q ,Qp = g Q(2.12 a, b) essendo la densit del fluido e ( g) il suo peso specifico. NotelaportatavolumetricaQelareadellasezione,immediatocalcolarelavelocit media nella sezione U, definita nella forma:

=QU (2.13) Illettorepiaccortonoterperaltrochela(2.13)siottieneimmediatamentecomerisultatodiuna applicazione del teorema della media alla definizione integrale (2.11). Ladefinizionediportatavolumetricasiestendefacilmente alla nozione di flusso di quantit dimotodellacorrenteM,osservandochelaquantitdimotodellamassa m(= ut)che attraversalareolainunintervalloditempotparia[ mu]seguono,peranalogiaconle (2.10) e (2.11), le forme discreta e continua della definizione di M:

= =Nii2iu M1 , = d u M2(2.14) Ladefinizioneprecedenteassumeunaformapiidoneaalleapplicazioniingegneristiche utilizzando la definizione di velocit media (2.13). E infatti conveniente porre: U M =2 (2.15) concoefficientecorrettivodellaquantitdimotoche,comeemergeconfrontandole(2.14)e (2.15), si scrive: 11

Ud u2=2 (2.16) Il coefficiente correttivo rappresenta dunque il rapporto fra il flusso di quantit di moto effettivo dellacorrenteedilflussodellaquantitdimotochecaratterizzerebbelacorrenteselavelocit fosseuniformenellasezioneeparialvalormedioU.Inaltreparole,sefossesoddisfatta questultimacondizione,assumerebbevaloreunitario.Poichledeviazionidelleffettiva distribuzione di velocit dalla distribuzione uniforme significativa solo entro lo strato di parete, si trovache,almenonelcasodisezioniabbastanzaregolari,ilcoefficienteassumevalorimolto prossimi ad uno (vedi gli esercizi suggeriti in appendice alla lezione 3). Analogamentesidefinisceilflussodienergiacinetica(opotenza)dellacorrenteEcnella forma = =Nii3i cu E121 , = d u E3c21 (2.17a, b) Ancheladefinizioneprecedenteassumeunaformapiidoneaalleapplicazioni ingegneristiche utilizzando la definizione di velocit media (2.13). E qui conveniente porre: U Ec|.|

\| =321 (2.18) concoefficientecorrettivodellenergiacineticache,comeemergeconfrontandole(2.17b)e (2.18), si scrive:

Ud u3=3(2.19) Ilcoefficientecorrettivorappresentailrapportofrailflussodienergiacineticaeffettivodella correnteedilflussodellenergiacineticachecaratterizzerebbelacorrenteselavelocitfosse uniformenellasezioneeparialvalormedioU.Inaltreparole,sefossesoddisfattaquestultima condizione, assumerebbe valore unitario. Anche in questo caso, poich le deviazioni delleffettiva distribuzione di velocit dalla distribuzione uniforme significativa solo entro lo strato di parete, si trovache,almenonelcasodisezioniabbastanzaregolari,ilcoefficienteassumevalorimolto prossimi ad uno. Esercizi suggeriti. Es.1Illettorederivileespressionidellavelocitmediaedeicoefficienticorrettividella quantit di moto e dellenergia cinetica per il moto uniforme in sezioni semicircolari di raggio R. Si adotti per la distribuzione di velocitla seguente espressione:

0rrlnkuu= dove u* la cosiddetta velocit dattrito il cui significato verr introdotto nella lezione 4 (si veda la 2.41), k la costantediVonKarmanparia0.41,rlacoordinataradialeerorappresentaladistanzadallaparetealla 12 qualesiassumeconvenzionalmentechelavelocitsiannulli(taledistanzaassociataadunamisuradella rugosit della parete). 1.4Distribuzione idrostatica della pressione nelle correnti stazionarie uniformi. Ladeterminazionedelladistribuzionedellapressionemedianelmotostazionariouniforme dellecorrentiturbolenterichiederebbelasoluzionedelleequazionideimotiturbolenti,ciola disponibilitdistrumentidindaginepisofisticatidiquelliattualmentedisponibiliallettore.Il carattereunidirezionaleuniformedelmotoconsentetuttaviadiaccettarecomeintuitivealcune propriet della pressione p. Elenchiamole.- pnonvarianelladirezionelongitudinalex:inaltreparole,sesisegueunalineadi correntetraiettoriadelmoto(medio)siincontranovaloridellapressionecostanti. Infatti,comevedremomeglionelseguito,lacomponentelongitudinaledellaforzadi gravitanzichdarluogoadunincrementolongitudinaledellapressionecome avverrebbeseilfluidofosseinquiete,costituiscelaforzamotricechedeterminail motodelfluidoessendobilanciatadallazioneresistenteesercitatasulcontornodella corrente fluida dallalveo. -p non varia neppure nella direzione laterale y (orizzontale): in tale direzione non si ha infattimoto(medio),equindinonsussistealcunacausadinamicadipossibili variazionidellapressione.Inoltrelagravitnonhacomponenteorizzontale,non sussiste dunque neppure una causa statica di variazione laterale della pressione.-psubisceunavariazioneidrostaticanelladirezionez(ortogonalealladirezionedel moto):intaledirezione,infatti,nonsihamotomediomalagravitpresentauna componente non nulla. Questultima d quindi luogo ad un incremento della pressione dal valore nullo in corrispondenza della superficie libera ad un valore massimo che si presenta in corrispondenza del fondo. Inconclusione,essendo(gcos)lacomponentedellagravitnelladirezionez,la distribuzionedellapressione(media)diunacorrenteturbolentastazionariauniformepresentala forma idrostatica (fig. 2.7): ( ) z - Y cos g p = (2.20) Illettoreosservichela(2.20)forniscevalorenullodellapressioneperz=Y,ciosulla superficielibera:p,dunque,lapressionerelativa.Siosservi,inoltre,chela(2.20)trascura leffetto, peraltro modesto e ingegneristicamente irrilevante, delle fluttuazioni turbolente di velocit chesipudimostrarefornisconouncontributoallaquantit(p/g)dellordinealpidiqualche mm. 1.5Carico piezometrico, carico effettivo e carico specifico. Ilcarattereidrostaticodelladistribuzionedellapressionenellasezioneimplicache,comesi verifica in un fluido in quiete, si possa definire una quantit che si mantiene costante sulla sezione, il carico piezometrico: cos Ygpcos z hf f+ = + + = (2.21) Il carico piezometrico rappresenta lenergia potenziale per unit di peso della corrente e comprende duecontributi,quellogravitazionaleequelloassociatoallapressione.Essendohcostantenella 13sezione,hasignificato,perlecorrenti,definireunalineadeicarichipiezometriciassociandoa ciascunasezioneilrelativocaricopiezometrico,definitorispettoadunriferimentoorizzontale arbitrario. Nonpoiinfrequentechelapendenzadelfondosiasufficientementepiccolaaffinchsialecito utilizzare lapprossimazionecos 1. In tal caso le sezioni della corrente possono confondersi con le loro proiezioni su piani verticali e la (2.21) assume la forma: Y hf+ = (2.22) Dunque: Il carico piezometrico delle correnti a superficie libera stazionarie ed uniformi risulta costante nella sezione e pari alla quota della superficie libera rispetto ad un riferimento orizzontale arbitrario. Inoltre, la linea dei carichi piezometrici coincide con la linea del pelo libero, inteso come intersezione della superficie libera con il piano verticale xz. Dal carattere uniforme e stazionario della correntederiva unulteriore ovvia conseguenza: derivando le (2.22) rispetto alla coordinata longitudinale x si ottiene:

ffidxddxdhi = = = (2.23) Dunque la pendenza motrice i coincide con la pendenza della linea di fondo if. Come apparir meglio nel paragrafo che segue, la precedente affermazione equivale ad affermare che la dinamica delle correnti stazionarie ed uniformi governata dalla gravit che svolge il ruolo di unica azione motrice essendo nullo leffetto motore della pressione. Definiamo carico effettivo (o totale) H della corrente la somma del carico piezometrico e del cosiddetto carico cinetico. Questultimo rappresenta lenergia cinetica media per unit di peso del fluido che attraversa la sezione. Tale quantit facilmente ricavabile dividendo il flusso di energia cinetica Ec, cio lenergia cinetica della massa fluida che attraversa la sezione nellunit di tempo, per la portata ponderale (gQ), cio per il peso di fluido che attraversa la sezione nellunit di tempo. Ricordando la (2.18) si ottiene: gUh H22 + =(2.24) Con riferimento al carico effettivo possono quindi darsi definizioni analoghe a quelle appena fornite per il carico piezometrico. In particolare, data la costanza del carico effettivo nella sezione, si pu definire una linea dei carichi effettivi, che associa ad ogni sezione il relativo carico effettivo e dista dalla linea dei carichi piezometrici di una quantit costante pari al carico cinetico.E poi immediato osservare che la pendenza di tale linea (una retta nella fattispecie) risulta costante e pari alla pendenza motrice, quindi alla pendenza del fondo. Infatti, essendo la velocit media indipendente dalla coordinata longitudinale, si ha: te tan cos idxddxdhdxdHjff= = = = = (2.25) 14 Dunque: poich il carico effettivo rappresenta lenergia meccanica totale della corrente per unit di peso, la (2.25) suggerisce che tale quantit va diminuendo in modo lineare lungo la direzione longitudinale, esattamente nella misura imposta dal progressivo ridursi dellenergia potenziale di posizione della corrente: si conferma, quindi, che la gravit la sola azione motricenel moto delle correnti uniformi e stazionarie a superficie libera. Nello studio delle correnti a superficie libera non uniformi infine di notevole utilit la nozione di carico specifico. Questultima quantit, che indicheremo con E, rappresenta il carico effettivo riferito al fondo della sezione: in altre parole, nella definizione di E il livello di riferimento adottato tale per cui frisulta nullo. Segue: gU Y E22 + = (2.26) 1.6Le equazioni del moto delle correnti a superficie libera stazionarie e uniformi. IlmotodellecorrentiasuperficieliberadevesoddisfareilPrincipiodiconservazionedella massa ed il Principio della quantit di moto. Essendo il fluido un liquido in moto con velocit di almeno due ordini di grandezza inferiore allavelocitdelsuonoedessendoifenomenioggettodiinteresseindipendentidaltempo(o comunquelentamentevariabiliquandosiconsiderilapropagazionediondedigravit),la comprimibilitdelfluidononsvolgealcunruolo.Dunque,ilfluidosicomportacome incomprimibile,ciolasuadensitrisultacostanteelaconservazionedellamassaequivalealla conservazionedelvolume.Ilprincipiodiconservazionedellamassasitraduce,quindi,nella semplice affermazione: La portata volumetrica Q della corrente risulta costante nello spazio e nel tempo ovvero: Q = costante (2.27) Appare ovvia linterpretazione di tale affermazione se si considera il bilancio della massa riferito ad un volume di controllo (si veda la figura 2.7). Si consideri, infatti, un volume di controllo delimitato daduesezionidellacorrente,dallasuperficieliberaedallasuperficiebagnatadellalveo:poich nonpu esservi flusso di massa n attraverso la superficie libera n attraverso lalveo (qui supposto fissoedimpermeabilealfluido)ilflussodimassa(e,quindi,laportatavolumetrica)entrante attraversolasezionedimontedeveeguagliarelaportatauscenteattraversolasezionedivalle. Poichtalebilanciosiapplicaindifferentementeaqualsiasivolumedicontrollo,neconseguela necessaria costanza di Q. Veniamo ora allapplicazione del principio della quantit di moto nella forma globale idonea a trattare la dinamica delle correnti in esame. Essendoilmotostazionarioeduniforme,leforzedinerziaagentisulfluidosono identicamentenulle:risultainfattinullalaccelerazione(media)delleparticelle,sianellasua componente convettiva che in quella locale. In tali condizioni, il principio della quantit di moto si riduceallasempliceaffermazionechedeverisultareidenticamentenulloilrisultantedelleforze esterneagenteistantaneamente sulla massa fluida contenuta nel volume di controllo. Distinguendo fra risultante delle forze di massa G e risultante delle forze di superficie segue: 15G + = 0(2.28) Larelazioneprecedenteunarelazionevettorialecheequivaleatreequazioniscalariottenibili proiettandola nelle direzioni di ciascun asse cartesiano. Nel nostro caso, sufficiente considerare la proiezione della (2.28) in direzione x, dunque: Gx + x= 0(2.29) zLB0 f 1f 2x1Volume di controlloG sin 3G1Gxzx2= x1Y2Gzx Fig. 2.7Distribuzione idrostatica della pressione in correnti stazionarie uniformi eillustrazione delle equazioni di bilancio. Conriferimentoalvolumedicontrolloadottatoinfig.2.7,immediatoosservarecheGx,componente secondo x del peso del fluido contenuto nel volume di controllo, si scrive: Gx = g L sin(2.30) 16 La quantit xcomprende tre contributi: la componente secondo x del risultante delle forze di pressione sulla sezione di monte della frontiera del volume di controllo: x1 = g (YzG1) cos(2.31)

avendo indicato con zG1 il baricentro di tale sezione; lacomponentesecondoxdelrisultantedelleforzedipressionesullasezionedivalledella frontiera del volume di controllo: x2 =- g (YzG2) cos(2.32)

dove, per luniformit del moto, si ha zG2 = zG1; la componente secondo x, cio lazione tangenziale, esercitata dallalveo sulla massa fluida contenutanelvolumedicontrollo;indicatoconoilmodulodellatensionetangenziale media esercitata sulla porzione bagnata della superficie di controllo, segue: x3 =- B L o (2.33) Sostituendo le (2.30 33) nella (2.29), si ottiene infine lequazione che governa il moto stazionario uniforme delle correnti a superficie libera: = Ri if (2.34) dove, si noti, abbiamo posto sin tan = if , approssimazione normalmente adeguata essendo le correntinaturalicaratterizzateusualmentedapendenzamoltopiccola.(Sinotituttaviache costituiscono uneccezione le correnti montane). Il lettore rifletta sul significato fisico della (2.34): nel moto delle correnti a superficie libera stazionarie e uniformi la pressione non svolge alcun ruolo(al contrario di quanto accade nelle correntiin pressione!): la solaazione motrice la gravitche risulta bilanciata dallazione resistente esercitata dallalveo sul contorno bagnato. Illettorenoterinoltrechela(2.34)suggerisceche,dalpuntodivistadelladinamica della corrente, il raggio idraulico la grandezza geometrica caratteristica della sezione. 1.7La forma di Chzy dellequazione del moto: coefficiente di conduttanza e coefficiente di resistenza. La forma dellequazione del moto utilizzata nella pratica si ottiene dalla (2.34) esprimendo la tensionetangenzialemediainunaformacheconsentediintrodurreunimportanteparametro adimensionalechecaratterizzailmotodellacorrente:ilcoefficientediconduttanzaC.La derivazione di tale relazione che, in una forma lievemente diversa, fu proposta per la prima volta da Chzy (1925), pu eseguirsi utilizzando il teorema di Buckingham. Sul piano puramente intuitivo , infatti, ragionevole assumere che o risulti funzione delle propriet del fluido (dunque e ), della 17velocit media della corrente U, di una dimensione spaziale caratteristica della sezione (dunque Ri) oltrechdellasuaforma(identificataperesempiodaunparametrodiformaf)e,infine,diuna misura della scabrezza assoluta della parete che indicheremo con . Posto, dunque: o = f( , , U, Ri , , f)(2.35) edassumendoqualigrandezzedimensionalmenteindipendenti,RiedU,lapplicazionedel teorema di Buckingham fornisce immediatamente (si veda lesercizio 1): o = U 2 Cf (Re, ks,f) (2.36)

avendoindicatoconReilnumerodiReynoldsdellacorrenteeconksunparametrodiscabrezza relativa, entrambi parametri adimensionali definiti nella forma:

isieRk ,URR= =4 (2.37a, b) Il coefficiente adimensionale Cf detto coefficiente di resistenza: a parit di densit e velocit media,la(2.36)suggerisce,infatti,chelatensionetangenzialemediacrescaalcrescerediCf. Sostituendo la (2.36) nella (2.34) si ottiene:

f i f ifi R g C i R gCU = =1 (2.38) dovesiintrodottounnuovocoefficienteC,anchessoadimensionale,chedenomineremo conduttanza della corrente. La (2.38) la forma dellequazione del moto delle correnti a superficie liberauniformiestazionarienormalmenteutilizzatanelleapplicazioni.Larelazionepropostasu basi empiriche da Chzy differiva dalla (2.38) solo per la presenza di un coefficiente di conduttanza dimensionale legato alla conduttanza C dalla relazione: g C = (2.39) Dunque le dimensioni del coefficiente di Chzy sono: [] = L1/2 T-1. La(2.39)costituisceunostrumentoindispensabileperlaprogettazionedeicanalieperil calcolodelleportatedefluentineglialveinaturali:perpoternefareuso,occorretuttaviaesserein gradodivalutareilcoefficientediconduttanzaC(oilsuoequivalentedimensionale).Questa importante questione trattata nel paragrafo che segue. Esercizi suggeriti. Es. 1 Il lettore ricavi la (2.36) applicando il teorema di Buckingham alla (2.35).Soluzione. Scgliamo,RiedUqualigrandezzedimensionalmenteindipendenti.Cherisultinotalisidimostra immediatamente. La rappresentazione dimensionale di tali grandezze infatti la seguente: [ ]= M L-3 T0 , [ Ri ] = M0 L1 T0, [ U ] = M0 L T-1(e1) Il determinante della matrice degli esponenti di tale rappresentazione dunque: 0 11 =1 -1 00 1 003 - 18 Essendotaledeterminantenonnullo,legrandezzeesaminatesonodunquedimensionalmente indipendenti. Esprimiamo, allora, dimensionalmente le restanti grandezze o, ed in funzione delle tre grandezze scelte come fondamentali. Poniamo, dunque: [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]5 5 54 4 40 0 U RU RU Riaiaiaoo===(e2) Essendo [ 0 ]= M L-1 T-2 , [ ] = M0 L2 T-1, [ ] = M0 L T0(e3) Confrontando (e2) ed (e3) e con lausilio della (e1), seguono le relazioni: 0= 1 0 = 1 -30 + 0 + 0 = 10 = 0 - 0 = 20 = 2 4= 0 4 = 0 -34 + 4 + 4 = 20 = 1 - 4 = 14 = 1 5=05 = 0 -35 + 5 + 5 =15 = 1 - 5 =05 = 0 I parametri adimensionali che emergono sono dunque:

R,UR ,Ui5i4 = = = 200 donde la (2.36). 1.8Valutazione del coefficiente di conduttanza. Lanalisipropostanelparagrafo2.7haevidenziatoche,comeaccadeperlecorrentiin pressione, il coefficiente di conduttanza dipende in generale dal numero di Reynolds della corrente,dalla scabrezza relativadella parete e da un parametro che caratterizza la forma della sezione. Lacomprensioneprofondadeimeccanismifisici che giustificano tale dipendenza richiede la conoscenzadeifondamentidellameccanicadellaturbolenza,unostrumentochenonpuessere reso disponibile al lettore nellambito di un corso di primo livello. E tuttavia necessario riassumere le principali conclusioni che emergono da tale studio. Facciamoriferimentoanzituttoadunmotouniformepiano,cioalmotodiunacorrentea superficieliberachedefluisceinunasezionerettangolareinfinitamentelarga.Ladistribuzione della velocit (media rispetto alla turbolenza) risulta in tal caso dipendente solo dalla coordinata z. Inoltre,lericerchesperimentali e teoriche relative al moto turbolento di correnti in pressione nelle condottecircolarihannoevidenziatochelastrutturadelladistribuzionedivelocitdipendedalla scabrezzadellaparete.Piprecisamente,laparetesicomportacomefluodinamicamenteliscia(fluodinamicamentescabra)seladimensionecaratteristicadellesueasperitrisultamoltopi piccola (pi grande) dello spessore dello strato fluido adiacente la parete in cui il moto del fluido dominatodaglieffettidellaviscosit(ilcosiddettosubstratolaminare)(fig.2.8).Talespessore 19risultaproporzionalealrapporto(/u)essendoulacosiddettavelocitdattritodefinitanella forma o/ , con o tensione tangenziale che agisce sulla corrente in corrispondenza del contorno.substrato laminarenucleo turbolentoa) /udistribuz. logaritmica(2.40 b)u u Fig. 2.8 Schema che illustra la differenza fra pareti fluodinamicamente lisce a) e fluodinamicamente scabre b). Lafondamentaleclassificazioneenunciatainprecedenzarichiedenaturalmentechevenga quantitativamenteprecisataladefinizionedellascabrezzaassoluta .Adessasipervenuti originariamente per confronto fra il comportamento idraulico di condotte rese artificialmente scabre incollandosullaparetesabbiaomogeneacalibrata(unostudiodovutoaNikuradse,allievodi Ludwig Prandtl) ed il corrispondente comportamento delle condotte commerciali. In altre parole, il valoredellascabrezzaassolutacheinterpretainmedialeffettodelleirregolariasperitpresenti sulleparetidellecondottecommercialiquellaequivalenteadunascabrezzaomogeneaartificiale che d luogo agli stessi effetti dissipativi. Nellapraticaingegneristicailproblemadellastimadellascabrezzaassolutacostituisceuna questione importante e delicata che affidata da una parte allutilizzo di opportune tabelle (tab. 2.3) fondate su pratiche ormai consolidate, dallaltra allesperienza del progettista.

Il lettore potr interrogarsi sul perch il carattere scabro o liscio di una parete sia legato alla fluodinamica della corrente. La cosa immediatamente chiarita se si osserva che la velocit dattrito, essendo proporzionale alla radice della tensione tangenziale al fondo, cresce al crescere della portata volumetrica della corrente, come si evince dalla (2.34). Ne consegue che: al crescere della portata, lo spessore del substrato laminare decresce e la parete si comporta progressivamentecomesemprepiscabra:inaltreparole,ilcaratterediunaparetenonpuramente legato alla sua geometria, ma dipende dal regime fluodinamico della corrente. Irisultatiteoriciesperimentalisuggerisconopoicheladistribuzionedivelocitsia interpretabileattraversounaleggelogaritmicainvicinanzadellaparetediscostandosidipocoda tale andamento nella regione esterna. Pi precisamente nei due casi limite di parete liscia o scabra si ottiene:

scabra) (parete.zln .uuliscia) (parete .u zln .uu5 8 5 25 5 5 2+ =+ =(2.40) mentreuncomportamentointermediofraidueprecedenticaratterizzailcosiddettoregimedi transizione. 20 Laconoscenzadelladistribuzionedivelocitconsentedideterminareilcoefficientedi conduttanza. Confrontando le (2.36) e (2.38) si ottiene infatti: uUC = (2.41) Dunque il coefficiente di conduttanza si ottiene semplicemente mediando sulla sezione la distribuzione di velocit. Le nozioni brevemente riassunte stanno alla base dei procedimenti moderni attraverso i quali sono state ricavate relazioni teoricamente fondate per il coefficiente di conduttanza C. In particolare Marchi(1961)hamostratocome,assumendounadistribuzionelogaritmicadellavelocitlungole normalialcontornodellasezione,sipervengaadunaleggediresistenzaditipologaritmicoche tienecontoanchedellaformadellasezioneattraversolintroduzionediuncoefficientediformaf secondo la relazione:

||.|

\|+ =i eR f . R fCln . C3 135 2(2.42) con i valori difriportati nella tabella 2.2. Tab. 2.2 Coefficienti di forma fper sezioni diverse (Marchi, 1961). La(2.42)implicitanelparametroC.Essatuttaviaevidenziauncomportamentotipicoanchedel coefficiente di conduttanza delle correnti in pressione: Per valori sufficientemente grandi del numero di Reynolds Re la conduttanza diventa indipendente da Re. Taleindipendenzasi realizza per valori di Re tanto minori quanto maggiore la scabrezza relativa / Ri.Equestoilcomportamentodettoappuntodiparetefluodinamicamentescabra(odimoto assolutamenteturbolento),quasiinvariabilmenteverificatoneldeflussodellecorrentinaturali:per un alveo naturale, infatti, la velocit media della corrente dellordine del m/s ed il raggio idraulico pu assumere valori tipici nellintervallo 1 10 m, sicch Re assume valori che si aggirano intorno a 106107.PoichCcadetipicamentenellintervallo1030,ilprimotermineentroparentesia secondomembrodella(2.42)dellordinedi10-5-10-6.Convaloridellascabrezzaequivalente assoluta tipicamente non inferiori al cm negli alvei naturali, la scabrezza relativa non minore di Formadella sezione f Rettangolare con b=2Y Rettangolare larga Trapezia larga Trapezia semiesagonale Semicircolare Triangolare (2 = 90) Triangolare equilatera 0.95 0.80 0.80 1.00-0.90 0.90 1.20-1.15 1.30-1.252110-3 sicch il secondo termine entro parentesi a secondo membro della (2.42) di almeno un ordine di grandezza maggiore del primo. In tali condizioni la (2.42) tende alla forma esplicita: |.|

\|=iR f .ln . C3 135 2 (2.43) LinfluenzadelnumerodiReynoldssulvaloredi Cpurisultaretuttaviaapprezzabilenelcasodi piccoli canali artificiali. La valutazione di C per alvei scabri pu effettuarsi anche facendo uso delle formule empiriche (2.44)riportatequisotto.Sitrattadirelazionipropostenell800,maancoralargamenteutilizzate nellapraticaprofessionale.Essefornisconolaconduttanzadimensionale([]=L1/2T-1)e coinvolgonoparametridiscabrezzaassolutadimensionalicherappresentanolequivalentedella scabrezzaassolutadellerelazionilogaritmiche.Lastimadeivaloriditaliparametriancora affidata alluso di tabelle ed alla pratica del progettista. La tab. 2.3 ne fornisce un esempio.

( )( )( ) 1869 Kutter, e Ganguillet Rm1100 1865 Bazin,R187 1923 , Strickler 1868; Gauckler, R kii/i s+=+==6 1(2.44 a, b, c) Si noti che le dimensioni dei parametri di scabrezza che compaiono nelle (2.44) sono: [ ] [ ] [ ]2 1 2 1 1 3 1 / / /sL m, L, T L k = = =(2.45) Tipo di pareti del canale Scabr. omogenea equivalente [mm] Bazin [m1/2] Kutter m [m1/2] Gauckler-Strickler ks

[m1/3s-1] Cementoperfettamentelisciato, legnopiallato,metallosenzarisalti n giunti 0,15 0,2 0,06 0,12 100 - 90 Idem, con curve0,2 0,40,100,1890 - 85 Cementononperfettamentelisciato, muraturadimattonimoltoregolare,metallo con chiodatura ordinaria 0,4 1,0 0,16 0,20 0,25 85 - 75 Cementoinimperfettecondizioni, muraturaordinariapiomeno regolare,legnogrezzocon eventuali fessure 2 - 5 0,23 0,36 0,35 0,55 70 - 65 Cementosoloinparteintonacato, qualchedepositosulfondo, muraturairregolare(odipietrame), terramoltoregolaresenza 8 0,46 0,55 0,75 60 22 vegetazioneTerraabbastanzaregolare,muratura vecchiainnonbuonecondizioni, deposito di limi sul fondo 15 - 30 0,60 0,85 0,75 1,25 50 Terraconerbasulfondo,corsi dacqua naturali regolari 70 1,30 1,50 40 Terraincattivecondizioni,corsi dacqua naturali con ciottoli e ghiaia 120 200 1,75 2,00 35 Canaliinabbandonocongrande vegetazione,corsidacquaconletto ghiaiosoetrasportosolido,oppure con letto in roccia e sporgenze 300 - 400 2,0 2,3 3,00 30 Tab. 2.3 Parametri di scabrezza assoluta per i canali (da Marchi e Rubatta, 1981) Nella letteratura tecnica anglosassone infine largamente utilizzata una relazione empirica dovuta a Manning, molto simile alla relazione di Gauckler Strickler: ( ) Manning Rn1 1/6i= (2.46) Appare evidente che il parametro di scabrezza assoluta n di Manning linverso del parametro ks di Gauckler Strickler e pu quindi essere immediatamente stimato utilizzando la tab. 2.3. 1.9I problemi di progetto e di verifica. Lenozionipresentate ai punti precedenti consentono di formulare e risolvere il problema di progetto di un canale.I dati assegnati sono usualmente: -lapendenzadelcanale,cherisultadeterminatadallequotedellesezioniinizialee finale e dalla lunghezza del canale che dipende dalla scelta del tracciato planimetrico adottato per il canale; -la portata che si intende far defluire; -la forma della sezione e la natura delle pareti. Lincognita del problema la profondit di moto uniforme, che indicheremo con Yu. LasoluzionedelproblemaconsistenellaricercadelvaloreYuchesoddisfalequazionedel moto uniforme che si ottiene sostituendo la (2.38) nella (2.13):

ifR CgiQ =(2.47) Ilsecondomembrodella(2.47)risultafunzionedellaprofonditdimotouniformeYu.La (2.47)quindiunequazioneimplicitaperYuallacuisoluzionesipervienepertentativi,come illustrato nellesercizio 1. 23Illettoreosservichela(2.47)diventaesplicitainYusesifariferimentoadunasezione rettangolare molto larga e si utilizza la relazione empirica di Gauckler Strickler per C:

u/u s/i su ibY,gY kgR kC, Y R = = 6 1 6 1 (2.48) donde: 5 3 /f sui bkQY||.|

\|=(2.49) Ingenerale,ilproblemadiprogettononhaununicasoluzione.Sipensi,adesempio,alcasodel progetto di un canale a sezione trapezia: in tal caso il progetto prevede la scelta di una larghezza del fondoedellascarpa.Fissataquestultima,alcresceredellalarghezzadiminuiscelaprofonditdi motouniforme.Lasceltadellasoluzioneprogettualesifondaquindisuconsiderazionidiminimo costo(vediesercizio2):questultimoprevalentementedeterminatodalcostodelloscavoche dipende sia dal tipo di terreno sia dalla profondit di scavo. Assaipisemplicelasoluzionedelproblemadiverificaperuncanaleo un corso dacqua naturale.I dati assegnati sono in questo caso: -la pendenza del canale; -la profondit della corrente uniforme; -la forma della sezione e la natura delle pareti. Lincognita del problema la portata di moto uniforme defluente nel canale. Utilizzando la (2.47) il problema di verifica si risolve in modo diretto. Esercizi. Es. 1 1.10Cenno al caso degli alvei naturali. Lostudiodelmotoneicorsidacquanaturaliriguardaspessosezionitrasversalidiforma irregolare,costituitedaporzionicaratterizzatedaprofonditescabrezzerelativesensibilmente diverse. In particolare, spesso opportuno distinguere fra un alveo inciso pi profondo e localizzato nella parte centrale della sezione ed aree laterali, dette golene, delimitate spesso da argini maestri e destinateacontenereleportatedipiena.Espessotecnicamenteutiledescrivereilmoto complessivoattraversounmodellomonodimensionale,cheassumeildeflussosostanzialmente unidirezionale. Si pone allora il problema di come tener conto della disuniforme distribuzione delle caratteristiche geometriche e cinematiche nella sezione. Ilprocedimentopisempliceconsistenelsuddividerelasezioneinporzionidistintecaratterizzate davelocitmediediversemaugualivaloridellapendenzadelfondo(edellasuperficielibera).In altre parole, questo procedimento assume orizzontale lassetto trasversale della superficie libera. La valutazionedellaportatacomplessivasieseguequindisommandoicontributirelativiallediverse porzioni di sezione (Esercizio 1).Lasuddivisionedellasezionenonovviamenteunivoca:peresempio,nelcasodellafig.2.9,la suddivisionepuessereoperataattraversolineeverticaliodoblique:inquestultimocasola porzionecentralecostituitadaunasezionetrapezia.Aciascunaporzionedellasezionesi 24 applicano quindi le considerazioni usuali per il calcolo del moto uniforme, tenendo conto dei diversi valorideiraggiidraulici(determinatidalleporzionidicontornosolidepresentiinciascuna porzione) e delle diverse scabrezze assolute e relative. Si noti, a questo proposito che, non di rado, le aree golenali sono occupate da vegetazione, trattandosi talvolta di vere e proprie aree coltivate. fYyhzgolena golena alveo incisox Fig. 2.9 Schema di sezione di alveo naturale: si distinguono un alveo inciso edaree di espansione golenali. Una generalizzazione del procedimento precedente, facilmente implementabile nellambito di programmidicalcolo,quellopropostodaEngelund(1964),discussonellambitodellenozioni complementari fornite in appendice alla presente lezione. 1.11Scale di deflusso. La condizione di moto uniforme e stazionario istituisce, per ogni sezione di un alveo, assunto cilindrico, una relazione biunivoca fra portata Q ed area della sezione .La cosa appare ovvia se si fa riferimento alla forma di Chzy (2.38) dellequazione del moto dellacorrenteutilizzando,peresempio,larelazionediGaucklerStricklerperilcoefficientedi conduttanza. Si trova:

3 2 3 5 2 1 3 2 2 1 / / /f s/i/f sB i k R i k U Q = = =(2.50) Poich, per ogni assegnata forma della sezione, il contorno bagnato B esprimibile come funzione biunivocadellareadellasezione,larelazioneprecedenteconfermalanostraaffermazione iniziale. Si noti che larea della sezione inoltre biunivocamente legata alla quota h della superficie libera,misuratarispettoadunassegnatolivellodiriferimento:neconsegueche,senotala strutturadellarelazioneQ(),risultaimmediatamentemisurabilelaportatadefluentenelcorso dacquamisurandolaquotah.Questultimaoperazionefacilmenteeffettuabilefacendousodi unastagraduataimmersanelcorsodacqua,strumentolargamenteutilizzatodaiServiziTecnici dello Stato detto idrometro. LastrutturadellarelazioneQ()vienedeterminataempiricamenteeddenominatascala di deflusso. Essa viene in genere posta nella forma: mk Q = (2.51) 25 assumendo,ciochela(2.50)possaapprossimarsiconunaleggedipotenza.Lesponentemedil coefficienteksonodeterminatiestrapolandoirisultatidimisureeffettuateinunregimedibasse portatedelcorsodacqua,nelqualeingeneralepossibileutilizzarestrumentidimisuradiretta dellavelocitincorrispondenzadiunagrigliadipuntidellasezionesufficientementefittada consentire il calcolo della portata con adeguata precisione. Lapossibilitdiutilizzareunaleggedeltipo(2.51)perapprossimarela(2.50)appareovvia nelcasodisezionirettangolariinfinitamentelarghe.Inquestocaso,infatti,ilcontornobagnatoB puconfondersiconlalarghezza(costante)delpeloliberob,sicchla(2.50)assumelaforma (2.51) con 35m , b i k k2/3 - /f s= =2 1 (2.52) In generale, tuttavia, lesponente m non si mantiene costante al crescere della profondit. Ci si dimostra facilmente sviluppando in serie di Taylor le (2.50) e (2.51) in un intorno di un generico stato della corrente, identificato dai valori B0 ed 0 del contorno bagnato e dellarea della sezione. Si trova: ( )||.|

\|+ = + =0010 01dm Q d k m k Qm m (2.53) (((

||.|

\| + == ||.|

\| + = 0 000 02 10 02 10 02 1003 5 3 5 3 2 3 2 3 2 3 5323513235dddBBQdddBB i k B i k B i k Q0/f s/f s/f s/ / / / / / (2.54) donde:

(2.55) Lapplicazionedella(2.55)alcasodiunasezionerettangolaredilarghezzabeprofonditY fornisce immediatamente: ( )( )( )( ) b / Yb / Ym b / Yb / Yb2 Y bbYddBB bb Y b B000000002 1 34352 1222 20+ =+=+=+ = + = (2.56) La(2.56)mostracheilvaloredimvariadalminimo5/3persezionimoltolarghe(Y0 /b0)al massimo 1 per sezioni molto strette (Y0 / b ). Larelazione(2.55)puesserefacilmenteapplicataasezioniregolaridiformadiversa.In particolare, il lettore dimostri che, nel caso di sezioni triangolari, m risulta costante e pari a 4 /3. 0003235 =ddBBm26 Esercizi. Es. 1 Complementi. C1. Metodo di Engelund (1964) per il moto uniforme in alvei irregolari. C2. Il caso delle sezioni composite. 272.Capitolo.I Possibili Stati delle Correnti a Superficie Libera Premessa. Ci proponiamo di esaminare le condizioni nelle quali pu avvenire il deflusso di una corrente a superficie libera.Sonodiversiipuntidivistachesipossonoassumerenellosviluppoditaleindagine.Un primopuntodivistaassumeassegnatalaportatavolumetricaQdellacorrenteedesaminainche modolaprofonditYchepuassumerelacorrentedipendedalsuostatoenergetico,misuratodal carico specifico E. Un secondo punto di vista assume assegnato il carico specifico E ed esamina la dipendenza della profondit della corrente Y dalla portata volumetrica Q . Entrambe queste indagini si rivelano molto proficue e stanno alla base del tracciamento dei profili delle correnti a superficie libera negli alvei naturali.Il punto di partenza dellanalisi la definizione di carico specifico, che qui richiamiamo: 222 + =gQY E (3.1) 2.1Profondit critica per assegnata portata. AssegnatelaformadellasezioneelaportatavolumetricaQ,la(3.1)istituisceunarelazione fraprofonditYecaricospecificoErappresentatainfig.3.1.Esaminiamonelecaratteristiche principali,tenendocontodelfattochelareadellasezioneunafunzionecrescentedella profondit Y. E=YYcQEminQ EYQ Fig. 3.1 Relazione fra profondit Y e carico specifico E di una corrente per assegnata portata Q. 28 Al crescere della profondit la velocit della corrente e, quindi, il carico cinetico diminuiscono, sicch, per Y la (3.1) tende allasintoto costituito dalla bisettrice del piano (E, Y). Per valori piccoli della profondit, pi precisamente per Y 0, la velocit tende a crescere indefinitamente sicch E . In altre parole, lenergia specifica di cui deve disporre la corrente per far defluire la portata assegnata tende ad infinito sia per valori molto piccoli sia per valori molto grandi della profondit. Ci suggerisce che esista un valore finito della profondit che consente il deflusso della data portata con un contenuto energetico (cio un carico specifico) minimo: il valore della profondit della corrente per cui ci accade detta profondit critica per lassegnata portata e viene indicata con Yc|Q. La determinazione di Yc|Q si ottiene imponendo che risulti: 0 == t cos QYE (3.2) Ricordando la (3.1), la (3.2) fornisce: 0 132= YgQ(3.3) donde, osservando che risulta: ( ) Y bY= (3.4) con b(Y) larghezza del pelo libero, segue: QcY Yb gQ ==3 2(3.5) Larelazione(3.5)definisceladipendenzadellaprofonditcriticadallaassegnataportatae dallageometriadellasezione.Ilcaricospecifico(minimoperlassegnataportata)associatoallo stato critico definito dalla (3.5) si ottiene sostituendo la (3.5) nella(3.1). Si trova: QcYQbY EYmin2=((

+ = (3.6) Vediamone alcuni esempi relativi ad alvei cilindrici. i)Il caso di sezione rettangolare. Essendo in questo caso: QcY YY bQc= =(3.7) la (3.5) porge: 32322gq gbQYQc = = (3.8) avendo indicato con q la portata volumetrica per unit di larghezza. 29 ii)Il caso di sezione triangolare. Con le notazioni della tabella 2.1, si ha:

( )( ) ( ) tgYtgYQcQcQcY2b , 2Y= = =(3.9) la (3.5) porge: 3252 28 2 qgtg QgYQc= = (3.10) dove,sinoti,qassumequiilsignificatodiportataperunitdilarghezzadelpelo libero. iii)Il caso di sezione trapezia. Con le notazioni della tabella 2.1, si ha: ( ) ( ) ( ) tg Y 2 b b , tg Y Y bQcQcQcY YQc+ = + = =020 (3.11) Sostituendo le (3.11) nella (3.5), e definendo:

( )0032020btg Y ,gbQYcc = =(3.12a, b) con qualche manipolazione, si perviene alla seguente equazione algebrica di VI grado: YYYYYYcQccQccQc030302 1 1 + =||.|

\|+||.|

\| (3.13) Lasoluzionedella (3.13) rappresentata in fig. 3.2. Si noti che, per 0, la (3.13) tende correttamente al comportamento tipico delle sezioni rettangolari ( Yc|Q Yco). 30 Fig. 3.2 Dipendenza della profondit critica per assegnata portataper sezioni trapezie dal parametro definito dalla (3.11b) iv)Il caso di sezione circolare. Utilizzando ancora le notazioni della tabella 2.1, si ha: ( ) ( ) sin 2R b, cos sin - RQcY Y= = =2(3.14) E pi semplice, in questo caso, valutare il valor critico di , legato ad Yc|Q attraverso la relazione: ( )cQccos R Y = 1 (3.15) Ricordando la (3.5) si ottiene:

( )532 gRQ,sincos sin2cc c c = = (3.16a, b) Ladipendenzadicdalparametroadimensionale definitodalla(3.16b) rappresentata in fig. 3.3. Fig. 3.3 Dipendenza della profondit critica per assegnata portata per sezioni circolaridal parametro definito dalla (3.16b) 2.2Velocit critica delle correnti a superficie libera. LostatocriticorelativoadunassegnataportatacaratterizzatodaunvaloredivelocitUc dettaanchessacritica.Talevelocitsvolgeunruolofondamentalenellinterpretazionedel comportamentodellecorrentiasuperficielibera.Essaconsenteinfattididistingueredueclassidi correnti, dette rispettivamente lente e veloci, a seconda che risulti U minore o maggiore di Uc.La definizione analitica della velocit critica si ottiene immediatamente utilizzando la (3.5). Si ottiene:31 [ ]QcY YQcY Ybg QUc= =((

== (3.16) o, osservando che il rapporto ( / b) la profondit media Ym: [ ]QcY Ym cYgU==(3.17) Definito il numero di Froude della corrente nella forma:

cUUF = (3.18) la (3.17) suggerisce che: -sono lente (o subcritiche) le correnti caratterizzate dalle condizioni: U < Uc, Y > Yc|Q,F < 1 ;(3.19) - le correnti sono veloci (supercritiche) se: U > Uc, Y < Yc|Q,F > 1(3.20) - o, infine,critiche quando: U = Uc, Y = Yc|Q ,F = 1 (3.21) Sidimostrainoltrechelavelocitcriticarappresentalaceleritrelativaconcuisi propaganoondedipiccolaampiezzanellecorrentiasuperficielibera:taliondepossonodunque propagarsisoloversovalleselacorrenteveloce,inentrambeledirezioniselacorrentelenta. Tale propriet di particolare importanza perch suggerisce che le correnti lente sono influenzabili sia da valle che da monte: in altre parole, la corrente in grado di trasmettere informazioni relative allimposizionediunaqualchecondizionesiasequestultimavieneimpostaamontesiase imposta a valle. Al contrario, le correnti veloci sono influenzabili solo da monte, almeno attraverso la propagazione di onde di piccola ampiezza. Vedremo nel capitolo 4 che tale propriet costituisce unodegliaspetticrucialiperiltracciamentodeicosiddettiprofilidirigurgito,ciodeiprofili assunti dalla superficie libera delle correnti per assegnate condizioni al contorno. 2.3Profondit critica per assegnato carico specifico. Assegnate la forma della sezione ed il carico specifico E la (3.1), riscritta nella forma: ( ) Y EgQ =2 (3.22) istituisceunarelazionefraprofonditYeportatavolumetricaQ,rappresentatainfig.3.4. Esaminiamone le caratteristiche principali. 32 QmaxEYcYE QE Fig. 3.4 Relazione fra profondit Y e portata Q di una corrente a sezione rettangolare per assegnato carico specifico E. Anzitutto lintervallo di valori di profondit compatibili con lassegnato contenuto energetico (cio carico specifico) della corrente un intervallo finito. La (3.22) mostra infatti che la portata Q tendeadannullarsisiapervalorimoltopiccolidellaprofonditsiapervaloridiYprossimiadE. Cisuggeriscecheesistaunvalorefinitodellaprofonditperlaqualelaportatadellacorrente compatibileconlassegnatocontenutoenergeticorisultamassima:ilvaloredellaprofonditdella correntepercuiciaccadedettaprofonditcriticaperlassegnatocaricospecificoeviene indicata con Yc|E. La determinazione di Yc|E si ottiene imponendo che risulti: 0 == t cos EYQ(3.23) Ricordando la (3.22), la (3.23) fornisce: ( )( )021 2 2=(((

=EcY YY EgYY Eg (3.24) donde

EcY YbY E=((

+ =2 (3.25) Larelazione(3.25)definisceladipendenzadellaprofonditcriticadallassegnatocarico specificoedallageometriadellasezione.Laportata(massimaperlassegnatocaricospecifico) associata allo stato critico definito dalla (3.25) si ottiene sostituendo la (3.25) nella (3.22). Si trova: EcY YbgQmax=((

=(3.26) Vediamoalcuniesempidiapplicazionedella(3.25)adalveicilindrici,utilizzandoancorale notazioni della tab. 2.1. 33 v)Il caso di sezione rettangolare. Essendo in questo caso: EcY YY bEc= =(3.27) la (3.25) porge: E YEc32= (3.28) vi)Il caso di sezione triangolare. Utilizzando le (3.9), con Yc|E sostituita a Yc|Q, la (3.25) porge: E YEc54= (3.29) vii)Il caso di sezione trapezia. Utilizzando le (3.11), con Yc|E sostituita a Yc|Q, e definendo tg Eb 0= (3.30) con qualche manipolazione, si perviene alla seguente relazione: [ ] ( ) 16 16 9 4 3102+ + + + == EYt cos E c (3.31) La(3.31)rappresentatainfig.3.5.Sinotiche,perb00,la(3.31)tende correttamentealcomportamentotipicodellesezionitriangolari(Yc|E0.8E);per 0 essa tende al comportamento tipico delle sezioni rettangolari ( Yc|E 0.66E) . Fig. 3.5 Dipendenza della profondit critica per assegnato carico specifico relativa a sezioni trapezie dal parametro definito dalla (3.30) 34 viii)Il caso di sezione circolare. Utilizzando la (3.14), con Yc|E sostituita a Yc|Q, la (3.25) porge: 1 -REcos45sin 4= ccc(3.32) La dipendenza di c dal parametro adimensionale E / R rappresentata in fig. 3.6. Fig. 3.6 Dipendenza della profondit critica per assegnato carico specificorelativa a sezioni circolari dal parametro E/R. 2.4Velocit critica per assegnato carico specifico. Lostatocriticorelativoadunassegnatocaricospecificoanchessocaratterizzatodaun valore di velocit Uc|E detta critica (per lassegnato carico).La sua definizione analitica si ottiene immediatamente utilizzando la (3.26). Si ottiene: [ ]EcY YEcY Ybg QUc= =((

== (3.33) o, in termini della profondit media Ym: [ ]EcY Ym cYgU==(3.34) Il lettore noter la perfetta analogia delle (3.33) e (3.34) con le corrispondenti definizioni per assegnata portata , le (3.16) e (3.17), fatta salva, tuttavia, la sostituzione di Yc|E a Yc|Q . Illettoresiinterrogher,aquestopunto,sullarelazioneesistentefraledueclassidi definizioni,introdottenellalezione6enellalezionepresente.Ataleinterrogativocercadi rispondere il paragrafo seguente.35 2.5Quale relazione fra grandezze critiche per assegnata portata e grandezze critiche per assegnato carico specifico? Per comprendere quale relazione sussista fra grandezze critiche definite per assegnata portata e grandezze critiche relative ad un assegnato carico specifico, necessario che il lettore osservi che la curva del piano (Y,E) riportata nella fig. 3.1 rappresenta una sezione con un piano Q = costante della superficie Y =Y(E,Q) con cui si rappresenta la relazione (3.1) nello spazio tridimensionale (E, Q, Y).Analogamente la curva del piano (Y,Q) riportata nella fig. 3.4 rappresenta una sezione con un piano E = costante della stessa superficie Y =Y(E,Q).Da tale osservazione, con qualche riflessione (si faccia riferimento alla fig. 3.7), si evince che le due classi di grandezze critiche sono in generale distinte: esse coincidono solo se la sezione a Q costante viene confrontata con la particolare sezione ad E costante caratterizzata da E = Emin (Q), o, viceversa,selasezioneadEcostantevieneconfrontataconlaparticolaresezioneaQcostante caratterizzata da Q = Qmax (E). Dunque: ( ) Q EcQcminY Y = (3.35) e, analogamente: ( ) E QcEcaxnY Y =(3.36) Simile considerazioni possono effettuarsi con riferimento alla velocit critica. Il lettore rifletta in profondit sul significato delle (3.35) e (3.36). EEminQYcQYQQmaxEY1b(Y)Y2EEYEQ QYcEEminQ Fig. 3.7 Illustrazione della relazione che sussiste fra grandezze critiche definiteper assegnata portata e per assegnato carico specifico. 2.6La nozione di pendenza critica per assegnata portata. Lenozionifinoraintrodottenellambitodelcapitolopresentesiriferisconoastatipossibili cheildeflussodellacorrentepuassumereinunassegnatasezione,nonnecessariamente nellambito di correnti uniformi n stazionarie. Ilconfrontofraprofonditdimotouniformeeprofonditcriticaperassegnataportata consentediintrodurreunulterioreutileclassificazionedeglialvei.Inparticolare,sidefinisce pendenzacriticaperunassegnataportataQlapendenzaic|Qchedluogoadunaprofonditdi 36 moto uniforme coincidente con la profondit critica. La determinazione di ic|Q si ottiene applicando la relazione di moto uniforme (2.38) alle condizioni ipotizzate nella definizione; si ottiene:

[ ]QcY Y iQcR C gQi==2 22 (3.37) Sostituendo la (3.5), che definisce la profondit critica per assegnata portata, nella (3.37) si perviene ad unespressione per ic|Q: QcQcY YY YiQcbCBR C bi==((

=((

=2 2 (3.38) Illettoreosserviche,insezioniabbastanzaregolari,contornobagnatoelarghezzadelpelo liberonondifferisconomolto,sicch,essendoprossimoaduno,lapendenzacriticarisulta allincircainversamenteproporzionalealquadratodellaconduttanzaadimensionaleC.Poich questultimaassumetipicamentevalorinellintervallo(1030),neconseguechelapendenza critica assume tipicamente valori che cadono nellintervallo (10-2 10-3). In particolare, nel caso di sezione rettangolare, la (3.38) fornisce: (((

||.|

\|+((

==3 1222211/Y YQcgbQb CiQc (3.39) o, nel caso di sezione infinitamente larga:

QcY YQcCi=((

=21 (3.40) Per il caso di sezioni regolari di forma diversa dalla rettangolare si veda lesercizio 1. 2.7Alvei fluviali ed alvei torrentizi. Glialveiconpendenzaifinferioreallapendenzacriticaic|Qdiconsifluviali.Peressila profonditdimotouniformeYurisultamaggioredellaprofonditcriticaYc|Qrelativaallassegnata portata Q. Tale affermazione si dimostra facilmente. Infatti, la relazione di moto uniforme porge: [ ] [ ]Qcu Y YQc iY Yf ii gR C i gR C Q== = = (3.41) donde: [ ][ ]QcuY Y iY Y ifQcgR CgR Cii===2 22 2 (3.42) Essendolaquantit[ 2C 2Ri]unafunzionecrescentedellaprofondit,il numeratore della (3.42) risulta maggiore del denominatore, il che dimostra laffermazione iniziale. 37Glialveiconpendenzaifsuperioreallapendenzacriticaic|Qdiconsitorrentizi.Peressila profonditdimotouniformeYurisulta,ovviamente,minoredellaprofonditcriticaYc|Qrelativa allassegnata portata Q. Dunque, riassumendo: Negli alvei fluviali le correnti uniformi sono lenteNegli alvei torrentizi le correnti uniformi sono veloci Sinoticheunalveoconpendenzaifassegnatapumutareilsuocaratterealvariaredella portata.Inparticolare,aldecresceredellaportata,lalveotendeatrasformarsidatorrentizioin fluvialeeviceversa.Aldecresceredellaportata,infatti,laprofonditcriticaYc|Qdecresce,sicch decresce il denominatore della (3.42). Esercizi proposti. Es. 1Il lettore dimostri che, nel caso di sezione triangolare,con le notazioni della tab.2.1,la (3.38) porge: cos CiQcY YQc1 12=((

= Si noti che per 0 la relazione precedente tende alla relazione (3.40) valida per il caso di sezioni rettangolari infinitamente larghe. Il lettore dimostri inoltre che, nel caso di sezioni trapezie, sempre con le notazioni della tab. 2.1, si ha: ( )( ) tan b / Ysin b / YCiccY YQcQc0022 12 1 1++((

== Perb0 larelazioneprecedentetendeallarelazione(3.40)validaperilcasodisezionirettangolari infinitamente larghe, mentreper b0 0tende alla relazione valida per il caso di sezioni triangolari.. Il lettore dimostri infine che, nel caso di sezioni circolari, con le notazioni della tab. 2.1, si ha: ccY YQcsin CiQc=((

=21 38 3.Capitolo.Correnti Stazionarie a Superficie Libera Premessa In questo capitolo ci proponiamo di fornire le nozioni elementari richieste al lettore al fine di tracciareilprofilodiunacorrenteasuperficieliberastazionaria.Lipotesifondamentalequindi ancorachegliapportiidricinonvarinoneltempocoscomelecondizionialcontorno.Queste ultimeoriginanodavincolichedevonoesseresoddisfattidallacorrentepereffettodisvariate possibilicause,qualilapresenzadiopereinalveo,corpiidriciricettori,vincoligeometrici,etc.Il lettoredovrquindiimparareavalutareglieffettilocalizzatiditalivincoli,chesiripercuotono sullassettodelprofilodellacorrentecondizionandolosudistanzechepossonoancheraggiungere molte decine di chilometri. 3.1Le equazioni del moto delle correnti stazionarie a superficie libera. Come nel caso delle correnti stazionarie e uniformi, anche il moto delle correnti a superficie libera puramente stazionarie deve ovviamente soddisfare il Principio di conservazione della massa ed il Principio della quantit di moto. Siconsideri,dunque,unvolumedicontrollodelimitatodaduesezionidellacorrentemolto prossime(posteadistanzainfinitesimadx),dallasuperficieliberaedallasuperficiebagnata dellalveo (fig. 4.1). Poich nonpu esservi flusso di massa n attraverso la superficie libera n attraverso lalveo (ancheinquestocasosuppostofissoedimpermeabilealfluido)ilflussodimassa(e,quindi,la portatavolumetrica,essendoilfluidoincomprimibile)entranteattraversolasezionedimonte(la sezione1)deveeguagliareilflussodimassauscenteattraversolasezionedivalle(lasezione2). Poichtalebilanciosiapplicaindifferentementeaqualsiasivolumedicontrollo,neconseguela necessariacostanzadiQ.Ilprincipiodiconservazionedellamassasitraduce,quindi,anchein questo caso, nella semplice affermazione: La portata volumetrica Q della corrente risulta costante nello spazio e nel tempo ovvero: Q = costante (4.1) Sinoti,tuttavia,che,alcontrariodiquantoaccadenelcasodellecorrentiuniformi,larea dellasezionenonrisultaquicostante: di conseguenza, anche la velocit media nella sezione U risulta variabile nella direzione longitudinale. Veniamo ora allapplicazione del principio della quantit di moto in forma globale. Essendoilmotostazionario,linerzialocaleIdellamassafluidacontenutanelvolumedi controllorisultaidenticamentenulla:ricordiamoinfattichetalecontributoorigina dallaccelerazione locale del fluido, quantit proporzionale alla derivata locale u/t della velocit, quiidenticamentenulladatoilcaratterestazionariodelmoto.Intalicondizioni,ilprincipiodella quantit di moto impone che il risultante delle forze esterne (di massa G e di superficie )agente 39istantaneamente sulla massa fluida contenuta nel volume di controllo sia bilanciato dalla differenza( M2 M1 ) fra flusso di quantit di moto uscente e flusso di quantit di moto entrante. f f GG sin Volume di controllo1x2x3x= gdyx1YGdYgdYf d+dxdxdxx1x= U 22(U ) dxx2x1=dxd+ Fig. 4.1Correnti stazionarie: volume di controllo per la derivazione delle equazioni di bilancio. Dunque: G + = M2 M1(4.2) Proiettando la (4.2) in direzione x, segue: Gx + x= M2x M1x (4.3) Con riferimento al volume di controllo di fig. 4.1, si ha: Gx = g dx sin(4.4) La quantit xcomprende tre contributi: la componente secondo x del risultante delle forze di pressione sulla sezione di monte della frontiera del volume di controllo: x1 = g G1 (4.5)

avendo indicato con G1 la profondit del baricentro di tale sezione; lacomponentesecondoxdelrisultantedelleforzedipressionesullasezionedivalledella frontieradelvolumedicontrollo;mostriamo,conlaiutodellafig.4.1,chex2puporsi nella forma: x2 = - x1 - g dY(4.7)

40 La spinta agente sulla sezione 2 risulta infatti modificata rispetto al valore corrispondente nella sezione 1 per effetto di due possibili cause: -lapossibilevariazionedellaprofonditdY:amenodiinfinitesimidiordinesuperiore, lincrementodix1associatoatalevariazionepuvalutarsicalcolandolincremento dellaspintaconseguenteallincrementouniformedellapressione( g dY)agentesulla porzionedellasezione2.Sinotiinfatticheleffettoditaleincrementodipressione sullaporzionediareadellasezione(bdY)dluogoauncontributotrascurabile perch infinitesimo del secondordine. -Lavariazionedellareadellasezioneindottadalleventualenoncilindricitdellalveo, esprimibilenellaforma(/x)|Ydx:adessaassociatounincrementodellaspinta idrostatica,cherisultatuttaviabilanciatadallacomponentelongitudinaledellaspinta agente sulla superficie bagnata del volume di controllo. Si consideri infatti questultima comeunasuperficiegobba:lacomponentelongitudinaledellaspintasutalesuperficie risultapariallaspintaesercitatasullaproiezionedellasuperficiegobbasullasezione2, lacuiarea,amenodiinfinitesimidiordinesuperiore,coincideproprioconlaquantit(/x)|Y dx. la componente secondo x, cio la componente tangenziale, dellazione esercitata dallalveo sullamassafluidacontenutanelvolumedicontrollo,espressainfunzionedio(modulo della tensione tangenziale media esercitata sulla frontiera bagnata del volume di controllo) si scrive: x3 =- B dx o (4.8) Valutiamo, infine, la quantit M2x M1x. Ricordando la definizione (2.15), si ha: M1x = U 2(4.9) con coefficiente correttivo della quantit di moto definita dalla (2.16). Procedendo dalla sezione 1 allasezioneprossima2,ilflussodiquantitdimotovariaperchvarianolareadellasezione,la velocit media ed anche il coefficiente correttivo della quantit di moto. Dato il carattere cilindrico dellalveo, questultimo contributo certamente minore. Segue: M2x = U 2+ d ( U 2 )(4.10) donde: M2x M1x =d( U 2) =d( QU) = Q d( U2/2) (4.11) Sostituendole(4.4-11)nella(4.3)siottieneinfinelequazionechegovernailmoto stazionario delle correnti a superficie libera: 0R 2Ui02= +||.|

\|+ghdxd (4.12) dove, si noti, abbiamo utilizzato luguaglianza sin = df /dx.

Il lettore rifletta sul significato fisico della (4.12): nel moto delle correnti a superficie libera stazionarie, accanto allazione motrice della gravit (lunica presente nel caso uniforme, doverisultavabilanciata dalla sola azione resistente 41esercitata dallalveo sul contorno bagnato) svolge un ruolo la variazione della spinta statica associata alle variazioni di profondit della sezione e linerzia della corrente associata allaccelerazione convettiva indotta dalle variazioni longitudinali della velocit media. Illettorenoti,inoltre,che,sesiconfondeilcoefficientecorrettivodellaquantitdimoto con il coefficiente correttivo dellenergia cinetica e se ne assume la costanza, la (4.12) pu porsi nella forma sintetica: jdxdH =(4.13) avendo indicato conj la perdita di carico effettivo (cio di energia meccanica totale della corrente per unit di peso) per unit di lunghezza. Se poi si assume, come duso nella pratica ingegneristica, chetaliperditepossanovalutarsiconsiderandoil moto come una sequenza lentamente variabile di motilocalmenteapprossimabilicomeuniformi(conlecaratteristichelocali)laquantitj facilmente stimata utilizzando la (2.36):

i igR CURj220= =(4.14) con Ccoefficiente di conduttanza da valutarsi in funzione delle caratteristiche locali, attraverso le relazioni introdotte per i moti uniformi.Sostituendola(4.14)nella(4.12)siottieneinfinelequazionedelmotodellecorrenti stazionarie a superficie libera: 02h22 2= +||.|

\|+igR CUgUdxd(4.15) La(4.15),utilizzandoanchela(4.1)cheistituisceunarelazionefralavelocitmediaUelarea dellasezione(e,quindi,ilcaricopiezometricoh),dovressererisoltaconunopportuna condizione al contorno imposta in unopportuna sezione di controllo. A tali questioni sono dedicati i paragrafi che seguono. 3.2Equazione del moto delle correnti stazionarie a superficie libera nel caso di alvei cilindrici. Selalveocilindrico,lareadellasezionedellacorrentepuvariarenelladirezione longitudinalesolosevarialaprofondit:inaltreparole,ladipendenzadidallacoordinata longitudinalexnonpuessereesplicita,benssoloimplicita.Cisiesprimematematicamente attraverso la relazione: = (Y(x)) (4.16) Torniamo, dunque, allequazione del moto (4.13), riscritta nella forma: jdxddxdEdxdHf = + =(4.17) 42 ovvero: j idxdEf =(4.18) Ma,sevalela(4.16),analogadipendenzasiverificapertuttelealtregrandezzecinematicheche caratterizzano la corrente. In particolare, il carico specifico E risulta funzione di x solo attraverso la profondit Y. Applicando dunque la nozione di derivata composta, la (4.18) fornisce: j idxdYdYdEf =(4.19) donde lequazione del moto nella forma cercata:

dYdEj idxdYf=(4.20) 3.3Andamento qualitativo dei profili di rigurgito per alvei cilindrici declivi. Supponiamo anzitutto che lalveo, a pendenza ifcostante, sia declive. Dunque: if >0(4.21) Unesamequalitativodellequazione(4.20)fornisceimmediatamentealcunicomportamenti generali dei possibili profili della corrente per assegnata portata Q. Supponiamo, anzitutto, che la pendenza dellalveo non sia critica per lassegnata portata, cio che Y u non coincida con Y c. In tal caso: Se Y Yu , allora si ha che j i f , sicch la (4.20) suggerisce che si abbia dY/dx 0 Dunque Il profilo tende a disporsi parallelo al fondo Se Y Yc , allora si ha che dE/dY 0 , e la (4.20) suggerisce che si abbia dY/dx Dunque Il profilo tende a disporsi ortogonale al fondo

Se Y , la (4.14) suggerisce che j 0 , inoltre il carico cinetico tende a zero sicchE Y, cio dE/dY 1 e la (4.20) suggerisce che si abbia dY/dx if Dunque Il profilo tende ad un asintoto orizzontale Unopportunariscritturadella(4.20)ciconsentirdiindividuareicomportamentideiprofili di rigurgito negli intervalli di profondit compresi fra i tre limiti appena esaminati. Ricordando lespressione (4.14) dij e la definizione (3.1) del carico specifico E, segue:

||.|

\| = = f ifif fi gR CQigR CUi j i2 22221 (4.22) 43

32321 1 = =gb QdYdgQdYdE (4.23) Sostituendo le (4.22) e (4.23) nella (4.20) si ottiene: 322 2211= =gb Qi gR CQiDNidxdYf if f (4.24) Ma,ricordandolequazionedelmotouniformediChezy,sipuancheesprimerelaquantitQ2 nella forma:

[ ]uY Yf ii gR C Q= =2 2 2 (4.25) Sostituendo la (4.25) e la relazione che definisce la profondit critica per assegnata portata (la 3.5) nella (4.24) si ottiene infine:

[ ][ ]b /b /i gR Ci gR CiDNidxdYQcuY Yf iY Yf if f332 22 211= === (4.26) La (4.26) consente di determinare il segno della derivata dY/dx e, quindi, il carattere crescente o decrescente del profilo, utilizzando il fatto che sia la funzione [2C2g Ri if ], sia la funzione [3/b] sono funzioni crescenti della profondit.E opportuno, a questo punto, distinguere due casi. Il caso degli alvei fluviali. In questo caso si ha: Yu > Yc|Q. E facile allora mostrare che si ha: 0 < Y < Yc|Q N < 0; D < 0 dY/dx > 0profilo crescente Yc|Q < Y < Yu N < 0; D > 0 dY/dx < 0profilo decrescente Yu < Y 0; D > 0 dY/dx > 0profilo crescente Landamento qualitativo dei profili che discende da tali condizioni rappresentato in fig. 4.2. 44 f2f 1fuf 3YuYccorrenti velocicorrenti lenteif 0profilo crescente Yu < Y 0; D < 0 dY/dx < 0profilo decrescente Yc|Q < Y 0; D > 0 dY/dx > 0profilo crescente Landamento qualitativo dei profili che discende da tali condizioni rappresentato in fig. 4.3. YcYu>fi iQt 3t2correnti velocicorrenti lente1 tut Fig. 4.3 Andamento qualitativo dei profili nel caso di alvei cilindrici declivi torrentizi. 45 Considerazionianalogheaquellesvolteperiprofilirelativiaglialveifluvialipossono ripetersi per gli alvei torrentizi. Si noti, in generale, che negli alvei fluviali la profondit uniforme tende asintoticamente ad essere raggiunta verso monte, mentre negli alvei torrentizi la profondit di moto uniforme tende asintoticamente ad essere raggiunta verso valle. 3.4Andamento qualitativo dei profili di rigurgito per alvei cilindrici declivi critici. Supponiamoorachelalveosiacaratterizzatodapendenzaifcostanteparialvalorecritico per lassegnata portata Q, dunque: if= ic|Q, Yu = Yc|Q (4.27 a, b) Sostituendo le (4.27) nella (4.26) si ottiene: [ ][ ]b /b /B / CB / CiDNidxdYQcQcY YY Yf f332 32 311= === (4.28) Poichilnumeratoredella(4.28)differiscedaldenominatoresoloperlapresenzadel contorno bagnato B in luogo della larghezza del pelo libero b, ne consegue che, almeno per gli alvei rettangolari molto larghi e se si assume costante la conduttanza C, si ha:

fidxdY (4.29) uCif=Qicorrenti velocicorrenti lenteC=costC=cost0 CC=costC=cost1 C Fig. 4.4 Andamento qualitativo dei profili nel caso di alvei cilindrici declivi critici. Dunque il profilo della corrente tende ad essere molto prossimo allorizzontale, tanto perY > Yc|Q

quanto per Y < Yc|Q.46 Poichlaconduttanzafunzionecrescentedellaprofondit,sesimettonoincontole variazioni della conduttanza, la (4.28) suggerisce:

idxdYf>(4.30) dunque il profilo lievemente crescente verso valle tanto perY > Yc|Q(in cui si ha N > 0 e D > 0) quanto per Y < Yc|Q (in cui si ha N < 0 e D < 0). Analogo risultato si ottiene per il caso di alveo a sezione triangolare. Landamento qualitativo dei profili rappresentato in fig. 4.4. 3.5Andamento qualitativo dei profili di rigurgito per alvei cilindrici orizzontali. Supponiamo ora che lalveo sia orizzontale, cio caratterizzato da pendenzaifnulla. Dunque: if= 0, Yu (4.31a, b) doveillettorenoterchelaprofonditdimotouniformecresceindefinitamentealtendereazero della pendenza. In tal caso, il numeratore della (4.20) risulta invariabilmente negativo. Dunque: PerY > Yc|Q , si ha che dE/dY > 0 e la (4.20) suggerisce che si abbia dY/dx < 0 Dunque Il profilo risulta decrescente da monte verso valle Se Y Yc , si ha che dE/dY 0e la (4.20) suggerisce che si abbia dY/dx Dunque Il profilo tende a disporsi ortogonale al fondo PerY < Yc|Q , si ha che dE/dY < 0 e la (4.20) suggerisce che si abbia dY/dx > 0 Dunque Il profilo risulta crescente da monte verso valle Landamentoqualitativodeiprofilirappresentatoinfig.4.5.Sinotiche,ancheinquesto caso,iprofiliperdonosignificatoinunintornodiY=0edY=Yc|Qperlestessemotivazioni discusse nel caso degli alvei declivi. 3.6Andamento qualitativo dei profili di rigurgito per alvei cilindrici acclivi. Supponiamo ora che lalveo sia acclive, cio caratterizzato da pendenzaifnegativa, dunque: if< 0, Yu priva di significato (4.32) Comenelcasodeglialveiorizzontali,nelcasodeglialveiaccliviilnumeratoredella(4.20) risultainvariabilmentenegativo.Landamentodeiprofilidunquedeltuttoanalogoaquello discusso nel caso degli alvei orizzontali ed riprodotto in fig. 4.6. 47cYcorrenti velocicorrenti lenteif= 0 Fig. 4.5 Andamento qualitativo dei profili nel caso di alvei cilindrici orizzontali. correnti velocicorrenti lente< 0 ifYc Fig. 4.6 Andamento qualitativo dei profili nel caso di alvei cilindrici acclivi. 3.7Integrazione dellequazionedei profili di rigurgito nel caso di alveo rettangolare declive e sezione infinitamente larga. Ladeterminazionequantitativadellandamentodeiprofilidirigurgitorichiedelasoluzione dellequazionedeiprofilidirigurgito.Lintegrazioneditaleequazionenoneseguibilepervia analitica se non in casi eccezionali. Uno di questi, il pi significativo, fa riferimento al caso di alvei a sezione rettangolare molto (a rigori infinitamente) larga.Siassuma,dunque,assegnatalaportataQ.Sesiadottalulterioreipotesidicostanzadella conduttanza(approssimazionenontropposeveraessendolaconduttanzadebolmentedipendente dallaprofondit,comesuggerisceperesempiolarelazionediStrickler),laforma(4.26) dellequazione del moto delle correnti a superficie libera in alvei cilindrici diventa:

333 3QcufY YY YidxdY=. (4.33) E poi opportuno introdurre le seguenti definizioni: 48 f u uQcui / YxX ,YYK ,YYy = = = (4.34 a, b, c) che, sostituite nella (4.33), consentono di riscrivere la (4.33) nella forma: dyyKdX((

=33111(4.35) Integriamo la (4.35) fra una sezione iniziale x0 in cui la profondit assume un valore noto Y0 e la generica sezione x. Dunque: ((

=uuY YY YXXdyyKd0 033111 (4.36) avendo indicato con X0 il valore di X valutato in x0. Segue: ( )((

||.|

\|||.|

\| ||.|

\| = u u u uYY YYKYYYYX X0 3 001 (4.37) avendo indicato con () lintegrale indefinito: ( )=3y 1dy (4.38) Tale integrale si ottiene in forma chiusae la funzione () ha la forma: ( )( )( )te tan cos31arctg31 2arctg3111ln6122+ |.|

\|+++ += (4.39) Lutilizzodella(4.39)insiemealla(4.37)consentedideterminarelaprofonditYperogni ascissa x, una volta che sia stata assegnata la condizione iniziale Y0 (x0) e inoltre la pendenza if, la portata Q, la larghezza dellalveo b e la sua scabrezza assoluta. Queste ultime quantit consentono la valutazione della profondit di moto uniformeYu e della profondit critica Yc donde, attraverso la (4.34 b), possibile valutare la costante K. LafunzionediBresse(4.39)rappresentatainfig.4.7ilvaloredellacostanteutilizzata quello che annulla la funzione per . 49 Fig. 4.7 La funzione di Bresse () la cui struttura analitica data dalla (4.39). Il lettore osservi che il fatto che la funzione di Bresse rappresentata in fig. 4.7, assume valori che tendono ad infinito in un intorno del valore unitario dellascissa, implica che le correnti tendono araggiungerelaprofonditdimotouniformesoloasintoticamente(cioinfinitamenteavalleo infinitamente a monte a seconda che si tratti di alvei torrentizi o fluviali). 3.8Condizioni al contorno per il tracciamento dei profili

Laprecisazionedellacondizioneinizialenecessariaperlapplicazionedella(4.37)dipende daivincoliimpostialdeflussoinopportunesezionidicontrollolocalizzateamonteoavalledel tronco di corso dacqua considerato.Siosserviche,poichlequazionedelmotounequazionedifferenzialeordinariadelI ordine, una sola condizione al contorno sufficiente a determinare la soluzione. Resta da precisare una questione molto importante: la sezione di controllo in cui va assegnata la profondit deve essere situata allestremit di monte o allestremit di valle del tronco di corrente considerato? La risposta a tale domanda strettamente legata ad un fatto fisico fondamentale: le correnti veloci, essendo caratterizzate da velocit superiorealla velocit con cui si propagano le piccole perturbazioni,cio le onde di piccola ampiezza sovrapposte alla corrente in esame, non sono influenzabili da valle! In altre parole, la corrente se sottoposta ad un vincolo imposto in una sezione di controllo, non in grado di informare monte della presenza di tale vincolo: le informazioni nelle correnti a superficie liberaviaggianoinfattiattraversoondedisuperficielacuivelocitrelativarispettoallacorrente propriopariallavelocitcritica.Neconseguechelavelocitassolutadellepiccoleperturbazioni -1-0.500.511.520 0.5 1 1.5 2 2.5 3()50 nellecorrentivelocirisultasemprepositiva,sicchtaliperturbazionipossonoviaggiaresoloverso valle.Non cos nelle correnti lente: le correnti lente, essendo caratterizzate da velocit inferiorealla velocit con cui si propagano le piccole perturbazioni, sono influenzabili da valle! In conclusione:

Se la profondit imposta localmente dalla condizione al contorno (cio nella sezione di controllo), risulta inferiore alla profondit critica, cio una condizione di corrente veloce,linfluenza di tale condizione si manifesta a valle della sezione considerata.Se la profondit imposta localmente dalla condizione al contorno risulta superiore alla profondit critica, cio una condizione di corrente lenta,linfluenza di tale condizione si manifesta a monte della sezione considerata. Lanalisidellidrodinamicadellacorrenteinprossimitdellesezionidicontrollo comunemente incontrate nella pratica sar oggetto del capitolo che segue. Esercizi suggeriti. Es.1Sicalcolilandamentodelprofilodirigurgitoinunalveoapendenzacostanteesezionerettangolare molto larga che sfocia in un bacino in cui sia assegnata la quota del pelo libero. Dati:if = 3 10-4 ;Q = 1000 m3/s;b = 100 m; Y0= 7 m;ks = 40 m1/3 s-1. Soluzione. Calcoliamo anzitutto I valori della profondit di moto uniforme e della profondit critica per lassegnata portata. Essendo la sezione rettangolare infinitamente larga si pu far riferimento alla (2.49), donde: m 2,168bQgY , m 4,962i bkQYQc/f su=|.|

\|= =||.|

\|=325 3 Il parametro K assume dunque il valore 0,437. Utilizzando le (4.37) e (4.39) si pu quindi effettuare il calcolo delle ascisse (x0-x) corrispondenti ad ogni assegnataprofonditY(cioadogniassegnatorapportoY/Yu.Irisultatifacilmenteottenibiliusando programmi disponibili in ogni PC, sono riportati nella Tabella E4.1 e rappresentati nella figura E4.1. 51 Tabella E4.1 Y/Yu Y (m) (Y0-Y)/if(Y/Yu)(x0-x) (m)1,39 6,897 344,3 0,309786 525,01,38 6,847 509,7 0,315823 781,91,37 6,797 675,1 0,322075 1042,11,36 6,748 840,4 0,328555 1305,71,35 6,698 1005,8 0,335277 1573,01,34 6,649 1171,2 0,342255 1844,11,33 6,599 1336,6 0,349506 2119,41,32 6,549 1502,0 0,357047 2399,21,31 6,500 1667,4 0,364898 2683,51,3 6,450 1832,8 0,373079 2973,01,29 6,401 1998,2 0,381615 3267,71,28 6,351 2163,6 0,39053 3568,31,27 6,301 2328,9 0,399854 3875,01,26 6,252 2494,3 0,409618 4188,41,25 6,202 2659,7 0,419859 4509,01,24 6,152 2825,1 0,430616 4837,51,23 6,103 2990,5 0,441935 5174,41,22 6,053 3155,9 0,453867 5520,71,21 6,004 3321,3 0,46647 5877,11,2 5,954 3486,7 0,479812 6244,81,19 5,904 3652,1 0,49397 6624,81,18 5,855 3817,4 0,509035 7018,51,17 5,805 3982,8 0,525111 7427,61,16 5,756 4148,2 0,542324 7853,91,15 5,706 4313,6 0,560823 8299,71,14 5,656 4479,0 0,580787 8767,71,13 5,607 4644,4 0,602437 9261,31,12 5,557 4809,8 0,626045 9784,61,11 5,507 4975,2 0,651957 10342,81,1 5,458 5140,6 0,680616 10942,61,09 5,408 5305,9 0,712604 11592,91,08 5,359 5471,3 0,7