Dis Pensado Tt

APPUNTI

A.A. 2009-10

Indice

1 Deformazioni finite 91.1 Gradiente di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Corrispondenza tra elementi lineari . . . . . . . . . . . . . 111.2 Misure di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Variazioni di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Variazioni di lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Variazioni angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4 Variazioni d’area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.5 Ellissoide di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Deformazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Deformazioni rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Dilatazione omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Estensione semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.4 Estensione monoassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.5 Scorrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.6 Deformazione pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Piccole deformazioni 332.1 Gradiente di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Espressione approssimata delle misure di deformazione . . . . . . 352.4 Condizioni di compatibilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Cinematica dei mezzi continui 433.1 Velocita e accelerazione, rappresentazione materiale . . . . . . . . 433.2 Rappresentazione spaziale di un campo . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Derivata materiale di un campo spaziale . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Gradiente di velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Alcuni esempi e definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Cinematica delle masse 514.1 Lemma di Green e teorema della divergenza . . . . . . . . . . . . 514.2 Massa ed equazioni di bilancio per essa . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1 Bilancio della massa in forma lagrangiana o materiale . . 53

3

4 INDICE

4.2.2 Bilancio della massa in forma euleriana o spaziale . . . . . 544.2.3 Regione di controllo e conservazione della massa . . . . . 55

4.3 Teorema Del Trasporto (di Reynolds) . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Meccanica dei mezzi continui 595.1 Le forze esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Equazioni di bilancio dei risultanti e dei momenti . . . . . . . . . 605.3 Forze interne di contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4 Le equazioni di bilancio per una porzione interna . . . . . . . . . 625.5 Il tensore di stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.6 Forma locale del bilancio dei risultanti . . . . . . . . . . . . . . . 685.7 Simmetria del tensore di stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.8 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.9 Forma materiale delle equazioni dei continui . . . . . . . . . . . . 735.10 Cenno alle equazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.11 Direzioni e componenti principali dello stress . . . . . . . . . . . 775.12 Parti idrostatica e deviatorica dello stress . . . . . . . . . . . . . 785.13 Stati di tensione piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.13.1 Pura trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.13.2 Puro taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.14 Cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.15 Fluidi ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.15.1 Equilibrio di un fluido perfetto pesante . . . . . . . . . . . 875.15.2 Spinta archimedea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.15.3 Equilibrio di un fluido in un riferimento ruotante . . . . . 895.15.4 Moto stazionario di un fluido perfetto pesante . . . . . . . 905.15.5 Applicazioni del teorema di Bernoulli . . . . . . . . . . . 91

5.16 Equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.17 Lavoro delle forze interne di contatto . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.17.1 Potenza delle forze interne per un fluido non viscoso . . . 965.18 Teorema delle potenze virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.18.1 Forma materiale del teorema delle potenze virtuali . . . . 99

6 Equazioni costitutive 1016.1 Cenni alla termodinamica dei mezzi continui . . . . . . . . . . . . 101

6.1.1 Corpi termoelastici (omogenei) . . . . . . . . . . . . . . . 1026.1.2 Fluidi linearmente viscosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2 Thermodynamic potentials and their invariance . . . . . . . . . . 1046.2.1 Stability of equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.2 An outline of crystal symmetry . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2.3 Energetics of simple lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2.4 The elasticity tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3 Bifurcation patterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.2 Isolated critical points and bifurcation points . . . . . . . 1346.3.3 Reduced bifurcation problems; order parameters . . . . . 138

INDICE 5

6.3.4 Analysis of the reduced bifurcation problems . . . . . . . 141

7 Condizioni di salto di Rankine-Hugoniot 1477.1 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.2 Condizioni di compatibilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.2.1 Superfici singolari per un moto e condizioni di compatibilita1507.2.2 Equazioni di bilancio in presenza di superfici singolari deboli151

7.3 Onde d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6 INDICE

Elenco delle figure

1.1 Deformazione finita; corrispondenza fra elementi lineari . . . . . 101.2 Dilatazione cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Scorrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Dilatazione superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Deformazione rigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Dilatazione omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Estensione semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8 Scorrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9 Scorrimento in (1.90) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.10 The ‘shear elements’ K1,K2, η1, η2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 Vettore spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 Esempio di piccola deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Esempio di deformazione non piccola . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Gradiente di velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1 Regione di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1 Forze interne di contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Bilancio per una porzione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Tetraedro di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4 Notazione ingegneristica delle tensioni . . . . . . . . . . . . . . . 685.5 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.6 Significato geometrico del tensore di Piola . . . . . . . . . . . . . 745.7 Significato geometrico del tensore di Piola-Kirchhoff . . . . . . . 755.8 Pura trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.9 Puro taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.10 Autovettori puro taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.11 Il cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.12 Costruzione grafica delle direzioni principali di stress . . . . . . . 865.13 Equilibrio di un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.14 Teorema di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.1 Cambiamento di base reticolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7

8 ELENCO DELLE FIGURE

6.2 Hexagonal close-packed unit cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3 Una versione bidimensionale dell’esempio di Ericksen . . . . . . . 1116.4 I 5 tipi di reticoli piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.5 Rappresentazione proiettiva dello spazio C +(Q2) . . . . . . . . . 1136.6 The tree of holohedral subgroups PL(ea) . . . . . . . . . . . . . . 1146.7 Primo esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.8 Diagrammi di biforcazione per l’esempio 1 . . . . . . . . . . . . . 1226.9 Secondo esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.10 Secondo esempio: a) equilibri e biforcazioni; b) stabilita degli

equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.11 Equilibri e stabilita per A = 1 e varie scelte del parametro ε . . . 1266.12 Equilibri e stabilita per A = −1 e varie scelte del parametro ε . . 1276.13 Grafico della funzione in (6.97) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.14 Curve di equilibrio per l’asta caricata quasi di punta . . . . . . . 1296.15 Pitchforks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.16 A 1-dimensional example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.1 Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Capitolo 1

Deformazioni finite di uncontinuo

1.1 Gradiente di deformazione

Si consideri un corpo B , indicheremo con B la regione dello spazio euclideooccupata dal corpo nell’istante iniziale, t = 0, e con b la regione che esso occupanell’istante attuale, t. Nel seguito B verra detta configurazione di riferimento(o anche indeformata) e b configurazione attuale (o anche deformata) del cor-po. Va comunque detto che ogni posizione assunta dal corpo precedentementeall’istante attuale puo essere usata come configurazione di riferimento; il partico-lare caso concreto puo suggerire una scelta piu conveniente della configurazionedi riferimento. Indicheremo con X e x le posizioni occupate dalla medesimaparticella del corpo nell’istante iniziale e, rispettivamente, nell’istante attuale t.

La meccanica dei corpi continui tratta i fenomeni di movimento che noncomportano lacerazioni, sovrapposizione di particelle o fenomeni d’urto. Sia

x = x(X, t) (1.1)

la funzione, detta deformazione, che stabilisce la corrispondenza tra i punti Xe x e cioe che associa alla posizione iniziale X di una particella la posizione xoccupata dalla stessa particella nella configurazione b all’ istante t.

Nel riferimento cartesiano avente origine in O e versori c1, c2, c3, i punti Xe x sono individuati dalle terne di co-ordinate (X1, X2, X3) e (x1, x2, x3). Larelazione (1.1) e equivalente alle tre relazioni scalari

x1 = x1(X1, X2, X3, t), x2 = x2(X1, X2, X3, t), x3 = x3(X1, X2, X3, t). (1.2)

Per le ipotesi fatte sul moto del corpo continuo si suppone che le (1.2) sianocontinue e derivabili con continuita (fino a un certo ordine di derivazione ≥2) rispetto sia alle variabili posizionali (cio esclude fenomeni di lacerazione odi distacco tra parti del continuo), sia alla variabile temporale (e cio esclude

9

10 CAPITOLO 1. DEFORMAZIONI FINITE

X

dXx

dx = F dX

O

Bb

c

cc1 2

3

Figura 1.1: Deformazione finita; corrispondenza fra elementi lineari

fenomeni d’urto). Inoltre si suppone che le (1.2), fissato un qualsiasi istante,siano invertibili, stabiliscano cioe una corrispondenza biunivoca tra i punti Xe x. Per precisare le condizioni in cui la biunivocita delle (1.2) e garantita, siconsideri la matrice F (X, t), detta gradiente di deformazione, definita da

F (X, t) =

∂x1

∂X1

∂x1

∂X2

∂x1

∂X3∂x2

∂X1

∂x2

∂X2

∂x2

∂X3∂x3

∂X1

∂x3

∂X2

∂x3

∂X3

, (1.3)

nella quale le derivate s’intendono calcolate nel punto X e all’istante t:

∂xi∂XJ

=∂xi(X, t)

∂XJ. (1.4)

Nel seguito, in qualche caso, per rendere piu concisa la scrittura, verra utilizzataanche la seguente notazione per indicare le derivate parziali :

∂xi∂XJ

= xi,J . (1.5)

Affinche la corrispondenza tra i punti X e x sia biunivoca e quindi la relazione(1.1) risulti invertibile in ogni istante t, e sufficiente che sia (vedi il teorema sullefunzioni implicite)

J(X, t) = DetF (X, t) 6= 0 ∀X ∈ B. (1.6)

Nella teoria dei continui deformabili e ragionevole ritenere soddisfatta la (1.6)in ogni punto del continuo e ad ogni istante; anzi, come verra chiarito nellaseguente Osservazione 1.1, si assumera sempre soddisfatta la relazione

J(X, t) = DetF (X, t) > 0 ∀X ∈ B. (1.7)

1.1. GRADIENTE DI DEFORMAZIONE 11

In tali ipotesi si possono considerare le funzioni

X = X(x, t), (1.8)

X1 = X1(x1, x2, x3, t), X2 = X2(x1, x2, x3, t), X3 = X3(x1, x2, x3, t), (1.9)

inverse delle (1.1), (1.2), che alla posizione, x, di una particella all’istante t,fanno corrispondere la posizione, X, da essa occupata nell’istante iniziale. Ilgradiente della funzione inversa (1.8) ha componenti

∂XI

∂xj=∂XI(x, t)

∂xj(1.10)

ed e l’inverso di F :

(F−1)Ij =∂XI(x, t)

∂xj. (1.11)

Infatti (F F−1)ij = FiL(F−1)Lj = ∂xi∂XL

∂XL∂xj

= ∂xi∂xj

= δij .

1.1.1 Corrispondenza tra elementi lineari

Siano X,X ′ due elementi di B e x,x′ le rispettive posizioni in b all’istante t.Se X ′ e vicino a X, per la continuita della deformazione, anche x′ risulta vicinoa x e i vettori dX = X ′ −X e dx = x′ − x soddisfano la relazione

dxi = xi(X+dX, t)−xi(X, t) =∂xi(X, t)

∂XJdXJ+oi(|dX|), i = 1, 2, 3. (1.12)

dove le quantita oi(|dX|) sono infinitesimi di ordine superiore rispetto all’infi-nitesimo |dX| =

√(dX1)2 + (dX2)2 + (dX3)2 ossia:

lim|dX|→0

oi(|dX|)|dX| = 0 i = 1, 2, 3. (1.13)

La relazione (1.12) si puo scrivere nella seguente forma vettoriale

x(X + dX, t)− x(X, t) = F dX + o(|dX|). (1.14)

Dalla relazione (1.14) si vede che in ogni istante t e in ogni punto X delcorpo risulta definito un operatore lineare F (X, t) tale che F dX differiscedall’incremento

x(X + dX, t)− x(X, t)

per un vettore o(|dX|) che e infinitesimo di ordine superiore a |dX|.La (1.14) assicura l’esistenza di un tensore F che trasforma elementi infini-

tesimi di B nei corrispondenti elementi infinitesimi di b:

dx = F dX, (1.15)


con l’approssimazione sopra precisata. Il tensore F (X, t) prende il nome di gra-diente di deformazione; esso dipende in generale dall’elemento X e dall’istantet. La relazione (1.15) tra elementi infinitesimi, in forma matriciale diventa: dx1

dx2

dx3

=

∂x1

∂X1

∂x1

∂X2

∂x1

∂X3∂x2

∂X1

∂x2

∂X2

∂x2

∂X3∂x3

∂X1

∂x3

∂X2

∂x3

∂X3

dX1

dX2

dX3

. (1.16)

Poiche DetF (X, t) > 0, al tensore F (X, t) si puo applicare il teorema didecomposizione polare e valgono le relazioni:

F (X, t) = R(X, t)U(X, t), F (X, t) = V (X, t)R(X, t). (1.17)

I tensori U e V caratterizzano la deformazione pura del corpo in prossimita delpunto P ; U e detto tensore destro di deformazione pura (o di stretch) (locale),V e detto tensore sinistro di deformazione pura (o di stretch) (locale). Il tensoreR e detto rotazione (locale).

Pertanto la deformazione di un intorno I(X) del puntoX si puo immaginarerealizzata mediante:

a) una traslazione dell’intorno I(X), caratterizzata dal vettore u(X, t) =x(X, t)−X, che porta il punto X in x e I(X), in I ′(x) ;

b) una deformazione dell’intorno I ′(x) caratterizzata dal tensore F (X, t).Quest’ultima, con riferimento alla decomposizione polare destra, si puo pensareottenuta tramite

b’) una deformazione pura dell’intorno I ′(x) caratterizzata dal tensore

U(X, t);

b”) una rotazione caratterizzata da R(X, t).

E evidente che quanto detto descrive la deformazione di un ‘piccolo’ in-torno di X; se si desidera descrivere la deformazione dell’intorno di un altropunto del corpo bastera rifare le stesse considerazioni valutando il gradiente dideformazione, F , in tale punto.

Nel seguito il vettore infinitesimo dX verra chiamato elemento infinitesimoindeformato (o fibra indeformata) relativo al puntoX mentre il vettore dx ad es-so corrispondente nell’istante t, sara chiamato elemento infinitesimo deformato(o fibra deformata).

1.2 Misure di deformazione

La deformazione pura del continuo e caratterizzata dal tensore U ( o da V ) mail calcolo di U , noto che sia F , risulta alquanto laborioso ( vedi Esercizio (1.9)seguente). Vedremo ora come sia possibile esprimere i parametri che caratte-rizano la deformazione del corpo, tramite il tensore F o altri tensori da essofacilmente deducibili.

1.2. MISURE DI DEFORMAZIONE 13

XdX

x

Bb

’

"

dXdX

dx

dx

dx

’

"dV

dv

Figura 1.2: Dilatazione cubica

1.2.1 Variazioni di volume

In questo paragrafo si mette in relazione la variazione del volume che una porzio-ne del corpo circostante il punto X subisce nel passaggio dalla configurazione Ba quella attuale b, con il determinante J del gradiente di deformazione valutatoin X.

Siano dX, dX ′, dX ′′, tre elementi indeformati non complanari relativi alpunto X di B e dx, dx′, dx′′, i corrispondenti elementi, relativi al punto x dib, per la (1.15) valgono le relazioni

dx = F (X, t)dX, dx′ = F (X, t)dX ′, dx′′ = F (X, t)dX ′′. (1.18)

Si consideri il parallelepipedo indeformato, di volume dV , avente per spigoli i trevettori dX, dX ′, dX ′′, uscenti da P e il parallelepipedo deformato, di volumedv, avente per spigoli i tre vettori dx, dx′, dx′′, uscenti da x.

Osservazione 1.1 E ragionevole ritenere che in una reale deformazione delcorpo ogni elemento materiale (indeformato) individuato dalla terna levogira divettori non complanari dX, dX ′, dX ′′ venga trasformato in un elemento mate-riale (deformato) individuato dai vettori dx, dx′, dx′′, anch’essi non complanari(altrimenti volumi di materia verrebbero schiacciati in un piano o su una retta!)e costituenti una terna levogira (altrimenti vi sarebbe compenetrazione tra leparti del corpo). Questi due requisiti si traducono analiticamente nella relazioneJ > 0.

Proposizione 1.2 Il rapporto tra volumi corrispondenti dv e dV e dato da

dv

dV= DetF (X, t) = J(X, t). (1.19)

Dim. Per una proprieta del determinante di un tensore si ha

J = DetF =F dX × F dX ′·F dX ′′dX × dX ′· dX ′′ =

dx× dx′· dx′′dX × dX ′· dX ′′ =

dv

dV(1.20)

Si osservi che l’ultima uguaglianza e vera dato che DetF > 0.


Come misura delle variazioni di volume, oltre al rapporto dv/dV si usa ilcoefficiente di dilatazione cubica δc che e definito da

δc =dv − dVdV

(1.21)

e rappresenta l’aumento di volume per unita di volume iniziale. Il coefficientedi dilatazione cubica, per la (1.19) si esprime facilmente tramite J :

δc = J(X, t)− 1. (1.22)

Infatti da (1.21) si ottiene δc = dvdV − 1 = J − 1.

Una deformazione del continuo si dice isocora o a volume costante se avvienesenza variazioni di volume. Per deformazioni isocore si ha dunque δc = 0 equindi J(X, t) = 1. Un continuo si dice incomprimibile se per esso sono possibilisolo deformazioni isocore. Si osservi che l’incomprimibilita di un corpo dipendedal materiale che lo costituisce, si dice quindi che e una proprieta costitutiva.Il fatto che una trasformazione sia isocora invece puo dipendere dal particolaremovimento cui e sottoposto il corpo, il quale potrebbe anche essere comprimibile.Si osservi che la relazione (1.19) e gia nota, dal corso di Analisi, nella formadv = |J(X, t)|dV valida anche per J < 0.

1.2.2 Variazioni di lunghezza

Sia dX un elemento infinitesimo indeformato di versore N , relativo al puntoX di B, dx l’elemento deformato corrispondente di versore n. Dette dS e ds lelunghezze di dX e di dx rispettivamente, si ha

dX = NdS, dx = nds. (1.23)

Il quadrato del modulo dell’elemento deformato e fornito dalla relazione:

ds2 = F TF dX·dX. (1.24)

Infatti da ds2 = dx·dx = F dX·F dX segue la (1.24) tenuto conto della defini-zione del trasposto di un tensore.

Introduciamo il tensore di deformazione di Cauchy-Green C, simmetrico edefinito positivo, come segue:

C = F TF ; (1.25)

in componenti si ha

CIJ = FsIFsJ =∂xs(X, t)

∂XI

∂xs(X, t)

∂XJ.

Utilizzando questo tensore la relazione (1.24) diventa

ds2 = CdX·dX . (1.26)


Una misura dell’allungamento delle fibre e lo scalare

Λ(X,N) =ds

dS, (1.27)

detto stretch nella direzione N ed e il rapporto tra la lunghezza dell’elementodeformato dx e la lunghezza dell’elemento indeformato dX di direzione N ,relativo al punto X. Dividendo entrambi i membri di (1.26) per dS2 e tenutoconto delle (1.23) si ottiene

ds2

dS2= C

dX

dS·dXdS

= CN ·N . (1.28)

Dunque lo stretch nella direzioneN e fornito tramite il tensore C dalla relazione

Λ(X,N) =√C(X, t)N ·N . (1.29)

Esempio 1.3 Lo stretch relativo all’elemento indeformato di direzione c1, perla (1.29 ) e dato da

Λ(c1) =√Cc1 · c1 =

√C11 . (1.30)

In modo analogo si vede che le componenti diagonali, CJJ , del tensore di

Cauchy-Green danno il rapporto ds2

dS2 dei quadrati delle lunghezze di un elementoche inizialmente e parallelo al versore co-ordinato cJ :

Λ2(cJ) = CJJ (nessuna somma su J). (1.31)

Oltre allo stretch si trovano in letteratura vari tipi di misura della deforma-zione di una fibra. Ad esempio la misura di Green definita dal rapporto

1

2

ds2 − dS2

dS2, (1.32)

e la misura di Cauchy, di utilita ingegneristica, definita da

εN =ds− dSdS

. (1.33)

Quest’ultima e detta anche coefficiente di dilatazione lineare o allungamento(specifico) per unita di lunghezza indeformata, o anche deformazione nominale,nella direzione N . Dalla (1.26) si ottiene

ds2 − dS2 = CdX · dX − dX · dX = (C − I)dX · dX. (1.34)

Dividendo ambo i membri di (1.34) per 2dS2, si puo esprimere la misura diGreen (1.32) tramite il tensore C, mediante la relazione

1

2

ds2 − dS2

dS2=

1

2(C − I)N ·N . (1.35)


Anche la misura di Cauchy si puo esprimere tramite (1.29) in termini di C:

εN =ds

dS− 1 = Λ(N)− 1 =

√CN ·N − 1. (1.36)

Un altro importante tensore utilizzato per caratterizzare la deformazione deicontinui e il tensore simmetrico E, detto tensore lagrangiano di strain:

E =1

2(C − I), (C = 2E + I); (1.37)

esso ha per componenti

EIJ =1

2

( ∂xs∂XI

∂xs∂XJ

− δIJ). (1.38)

La (1.34) tramite (1.37) diventa

ds2 − dS2 = 2EdX · dX. (1.39)

Si puo esprimere la misura di Green (1.32), la misura di Cauchy (1.33) e lostretch (1.27), tramite il tensore E, mediante le relazioni

1

2

ds2 − dS2

dS2= EN ·N , εN =

√1 + 2EN ·N − 1, (1.40)

Λ(N) =√

1 + 2EN ·N .

Esercizio 1.4 Ricavare le espressioni (1.40) delle misure di deformazione diGreen, di Cauchy e dello stretch.

Osservazione 1.5 L’annullarsi del tensore E(X) implica che la deformazionepura dell’intorno di X sia nulla dato che risulta ds = dS per ogni elementoinfinitesimo relativo a X. Dunque l’intorno del punto subisce uno spostamentorigido (traslazione piu rotazione). Cio e evidente anche per il fatto che perE(X) = 0 , risulta C(X) = I e quindi F TF = C = I, da cui si vede che ilgradiente di deformazione F e una rotazione.

1.2.3 Variazioni angolari

Siano dX, dX ′ due elementi infinitesimi indeformati relativi a X di versoriN ,N ′ , dx, dx′ i corrispondenti elementi deformati di versori n,n′ e sianodS, dS′, ds, ds′ le rispettive lunghezze, cosicche valgano le seguenti relazioni:

dX = dSN , dX ′ = dS′N ′, dx = dsn, dx′ = ds′n′. (1.41)

Proposizione 1.6 L’angolo nn′ tra gli elementi deformati e espresso da

cosnn′ =1

Λ(N)Λ(N ′)CN ·N ′ =

CN ·N ′√CN ·N

√CN ′ ·N ′

(1.42)

tramite il tensore di deformazione C e le direzioni degli elementi indeformatiN ,N ′.


XN

x

Bb

’N

n

n’

c

cFc

Fc

θθ

1212

γ12 21

1

2

Figura 1.3: Scorrimento

Dim. Infatti valgono le relazioni

cosnn′ = n · n′ =dx

ds· dx

′

ds′=

1

dsds′F dX · F dX ′ =

1

dsds′F TF dX · dX ′

=dSdS′

dsds′F TF

dX

dS· dX

′

dS′=

1

Λ(N)Λ(N ′)CN ·N ′,

e la (1.42) segue quindi dalla (1.27).

Esempio 1.7 Se si assumono gli elementi indeformati paralleli ai versori de-gli assi co-ordinati c1 e c2 , l’angolo θ12, formato dai corrispondenti elementideformati e dato dalla relazione

cos θ12 =Cc1 · c2√

Cc1 · c1

√Cc2 · c2

=C12√

C11

√C22

. (1.43)

Si osservi che Cc1 · c2 = C21 ma C e un tensore simmetrico, quindi C21 = C12.

Diremo scorrimento (angolare) la differenza tra l’angolo formato dagli ele-menti indeformati e quello dei corrispondenti elementi deformati. Nel caso con-siderato nell’esempio precedente si tratta dell’angolo γ12 = π

2 − θ12. Poichecos θ12 = sin(π2 − θ12) = sin γ12, il secondo membro della (1.42) fornisce il senodello scorrimento relativo alle direzioni c1 e c2. In generale si ha

sin γij =Cij√

Cii√Cjj

, (1.44)

che fornisce lo scorrimento angolare relativo a due elementi infinitesimi aventidirezioni iniziali parallele a ci e cj .


Poiche il tensore C e simmetrico e definito positivo esso ammette autovalo-ri λ1, λ2, λ3 reali, positivi e tre autovettori mutuamente ortogonali u1,u2,u3.Nella base u1,u2,u3 il tensore C ammette la rappresentazione

C =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

. (1.45)

Dal confronto di (1.45) con (1.31) e (1.44) si vede che sono nulli gli scorrimentiangolari, γij , relativi a coppie di direzioni inizialmente parallele agli autovettoriui,uj e gli allungamenti nelle direzioni ui(i = 1, 2, 3), sono dati dagli autovaloritramite le relazioni :

Λ(ui) =√Cii =

√λi. (1.46)

Dunque un parallelepipedo avente spigoli inizialmente paralleli a u1,u2,u3 sitrasforma in un parallelepipedo avente spigoli paralleli a Fu1,Fu2,Fu3 an-cora mutuamente ortogonali, essendo

√λi il rapporto tra lunghezze di spigoli

corrispondenti.

XdX

x

Bb

’dXN

dx

n

dx’

dAda

Figura 1.4: Dilatazione superficiale

1.2.4 Variazioni d’area

Premettiamo la seguente

Proposizione 1.8 Per ogni tensore A, con DetA 6= 0, e per ogni coppia divettori u, v vale la seguente relazione:

Au×Av = DetA A−T (u× v). (1.47)

Dim. Consideriamo un arbitrario vettore w e il suo trasformato Aw. Per unanota proprieta del determinante risulta

Aw ·Au×Av = (DetA) w · u× v. (1.48)

Quindi, per note preprieta del prodotto scalare e della trasposizione di un tensore

w ·AT (Au×Av) = (DetA) w · u× v. (1.49)


Per l’arbitrarieta della scelta di w questa e equivalente all’uguaglianza

AT (Au×Av) = (DetA) u× v (1.50)

e quindi la (1.47).

Si consideri ora l’elemento di superficie indeformata, di area dA, individuatodagli elementi dX e dX ′ uscenti da X e l’elemento di superficie deformata, diarea da, individuato dagli elementi corrispondenti dx e dx′ uscenti da x. Datoil significato geometrico del prodotto vettoriale, valgono le relazioni

N dA = dX × dX ′, n da = dx× dx′ = F dX × F dX ′, (1.51)

conN = vers(dX×dX ′) ortogonale alla superficie indeformata e n = vers(dx×dx′) ortogonale a quella deformata.

Applicando la regola (1.47) alla (1.51)2 si ottiene

n da = (DetF ) F−TN dA. (1.52)

Infatti dan da = F dX × F dX ′ = (DetF ) F−T (dX × dX ′)

e dalla (1.51)1, segue la (1.52).Desiderando il rapporto da/dA tra aree corrispondenti basta elevare al qua-

drato ciascun membro della (1.52) per ottenere:

da2 = (dADetF )2F−TN · F−TN = (dADetF )2N · F−1F−TN

da cui si ottiene

da

dA= DetF

√N · F−1F−TN = DetF

√N ·C−1N , (1.53)

essendo

F−1F−T = C−1 e, in componenti,(F−1F−T )IJ = (C−1)IJ =∂XI

∂xs∂XJ

∂xs.

1.2.5 Ellissoide di deformazione

Risulta molto efficace descrivere la deformazione del corpo considerando unintorno indeformato costituito da una sfera di centro X e la regione deformataad esso corrispondente all’istante attuale. Non e riduttivo considerare unitario ilraggio della sfera: per la linearita del tensore che caratterizza la deformazione, laforma attuale di tale regione deformata sara indicativa della deformazione di ungenerico intorno di X di raggio infinitesimo. Si osservi infatti che, detto N unvettore unitario e dX = dSN , risulta F (X)dX = F (X)dSN = dS(F (X)N).Una sfera di centro X e di raggio unitario e data da

Y · Y = 1 , (Y1)2 + (Y2)2 + (Y3)2 = 1 (1.54)


c1

11

c2

c3

x

2x

3x

ξ

2ξ

3ξ

j1

j2

j3

x

B

O

X

0

RX

b

x

Figura 1.5: Deformazione rigida

avendo indicato con Y il vettore che congiunge il centro X col generico puntodella sfera. Il vettore Y e il corrispondente y sono legati dalla relazione Y =F−1y. Dunque i vettori y soddisfano l’equazione

y · F−TF−1y = 1,∂XS

∂xi

∂XS

∂xjyiyj = 1. (1.55)

L’equazione (1.55) rappresenta un ellissoide1 e prende il nome di ellissoide dideformazione o quadrica indicatrice della deformazione.

1.3 Deformazioni omogenee

Si parla di deformazione omogenea quando il gradiente di deformazione nondipende dal puntoX del corpo. Diamo alcuni esempi di deformazioni omogenee.

1.3.1 Deformazioni rigide

Si tratta di spostamenti rigidi di un corpo caratterizzati da relazioni del tipo

x = x0 +RX (1.56)

e, in componenti, dallexi = x0i +RiSXS (1.57)

1Si osservi infatti che il tensore simmetrico F−TF−1 e definito positivo e i suoi autovalorisono positivi. E evidente allora che, nella base formata dagli autovettori, la (1.55) divental’equazione canonica di un ellissoide.

1.3. DEFORMAZIONI OMOGENEE 21

dove x0 e lo spostamento del punto O e R un tensore di rotazione. Dalle (1.57)si ricava :

∂xi∂XJ

= RiS∂XS

∂XJ= RiSδSJ = RiJ (1.58)

dunque il gradiente di deformazione F coincide con la rotazione R. Pensandoalla decomposizione polare F = RU risulta evidente che la deformazione puracoincide con il tensore identico I. Anche il tensore (destro) di deformazione diCauchy-Green, C, coincide con il tensore identico:

C = F TF = RTR = I (1.59)

mentre risulta nullo il tensore lagrangiano di strain (o di deformazione di Green-Lagrange):

E =1

2(C − I) = 0. (1.60)

Risultano quindi nulli : l’allungamento unitario, gli scorrimenti angolari e ilcoefficiente di dilatazione cubica. Pertanto gli elementi del corpo si spostanomantenendo invariate le lunghezze, gli angoli, i volumi ecc.. L’ellissoide di de-formazione e la stessa sfera di raggio unitario come si vede dalla (1.55) tenutoconto che F−TF−1 = RRT = I.

1.3.2 Dilatazione omogenea

Si tratta di una deformazione del corpo caratterizzata dalla relazione

x = c+ λX, (1.61)

con λ scalare positivo. La (1.61) scritta in componenti diventa

x1 = c1 + λX1, x2 = c2 + λX2, x3 = c3 + λX3, (1.62)

e il gradiente di deformazione e dato da

F = λI , F =

λ 0 00 λ 00 0 λ

(1.63)

La deformazione del continuo, qualora si pensi λ > 1, e rappresentata grafica-mente dalla Figura 1.6. Il tensore di deformazione di Cauchy-Green e quellolagrangiano di strain hanno le seguenti espressioni:

C = F TF = λ2I E =1

2(C − I) =

1

2(λ2 − 1)I. (1.64)

Con riferimento al teorema di decomposizione polare si vede che il gradiente dideformazione e formato dalla sola deformazione pura U = V = λI e risultaassente la rotazione (R = I). Ogni versore e un autovettore della deformazionepura λI e λ ne e l’autovalore. Ad ogni elemento indeformato dX di direzione


Figura 1.6: Dilatazione omogenea

N corrisponde l’elemento deformato dx = λdX; in corrispondenza lo stretch eil coefficiente di dilatazione lineare sono dati da

Λ(N) =√CN ·N =

√λ2IN ·N = λ, εN = λ− 1. (1.65)

Il rapporto tra aree corrispondente e dato da

da

dA= J√C−1N ·N = λ3

√1

λ2IN ·N = λ2. (1.66)

Il coefficiente di dilatazione cubica e dato da

δc = DetF − 1 = λ3 − 1. (1.67)

Per il tensore F−1 si ha la seguente rappresentazione

F−1 =

1λ 0 00 1

λ 00 0 1

λ

(1.68)

e quindi

F−TF−1 =

1λ2 0 00 1

λ2 00 0 1

λ2

. (1.69)

L’ellissoide di deformazione, nel caso della dilatazione omogenea, e espressodall’equazione

F−TF−1x · x = 1, (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = λ2. (1.70)

I punti che inizialmente si trovano su una sfera di raggio unitario dopo ladeformazione si trovano dunque su una sfera di raggio λ.


Figura 1.7: Estensione semplice

1.3.3 Estensione semplice

Si dice estensione semplice una deformazione caratterizzata dalle relazioni

x1 = λX1, x2 = αλX2, x3 = αλX3 (1.71)

con α, λ, scalari positivi.La Figura 1.7 fornisce una rappresentazione grafica dell’estensione semplice

per due scelte dei parametri α e λ (α = 4, λ = 12 e α = 1

2 , λ = 2).Per il gradiente di deformazione e per il suo determinante si hanno le seguenti

espressioni:

F =

λ 0 00 αλ 00 0 αλ

, J = DetF = α2λ3. (1.72)

Si osservi che F , in questo caso e un tensore simmetrico definito positivo ed e essostesso una deformazione pura. Dunque nella decomposizione polare e assentela rotazione: F = U = V . Gli autovettori di F sono : c1, con autovalore λ eogni direzione ortogonale a c1, con autovalore αλ. Il tensore di deformazionedi Cauchy-Green, il suo inverso e quello lagrangiano di strain hanno le seguentiespressioni:

C =

λ2 0 00 α2λ2 00 0 α2λ2

, C−1 =

1λ2 0 00 1

α2λ2 00 0 1

α2λ2

,

E =

12 (λ2 − 1) 0 0

0 12 (α2λ2 − 1) 0

0 0 12 (α2λ2 − 1)

.

Lo stretch nelle tre direzioni co-ordinate e dato da

Λ(c1) =√C11 = λ, Λ(c2) =

√C22 = αλ, Λ(c3) =

√C33 = αλ.

Volendo calcolare lo stretch nella direzione N = (√

22 , 0,

√2

2 )T , si ha

CN ·N = (

√2

2, 0,

√2

2)

λ2 0 00 α2λ2 00 0 α2λ2

√

220√2

2

=λ2

2(1 + α2)


e quindi

Λ(N) =√CN ·N = λ

√1 + α2

2.

Volendo calcolare il rapporto tra l’area di una superficie deformata e l’area della

corrispondente superficie indeformata di normale N = (√

22 , 0,

√2

2 )T , dalla (1.53)si ottiene

da

dA= J√C−1N ·N = αλ2

√1 + α2

2. (1.73)

Nell’estensione semplice l’ellissoide di deformazione e rappresentato dall’equa-zione

α2x21 + x2

2 + x23 = α2λ2. (1.74)

Si osservi che in questo caso, data la simmetria di F , si ha F−TF−1 = C−1. Sitratta di un ellissoide rotondo le cui intersezioni con gli assi sono date da

(±λ, 0, 0), (0,±αλ, 0) (0, 0,±αλ). (1.75)

1.3.4 Estensione monoassiale

L’ estensione monoassiale e un caso particolare di estensione semplice che siottiene da (1.71) per α = 1

λ . La deformazione, in tale caso, e data da

x1 = λX1, x2 = X2, x3 = X3, (1.76)

con λ, scalare positivo.

Per i tensori F ,C,C−1 , valgono le seguenti rappresentazioni

F =

λ 0 00 1 00 0 1

, C =

λ2 0 00 1 00 0 1

, C−1 =

1λ2 0 00 1 00 0 1

.

(1.77)Si hanno, ad esempio, le seguenti misure di deformazione:

Λ(c1) = λ, Λ(c2) = Λ(c3) = 1, (1.78)

per lo stretch nelle direzioni co-ordinate;

δc = J − 1 = DetF − 1 = λ− 1, (1.79)

per il coefficiente di dilatazione cubica;

da

dA= λ

√N2

1

λ2+N2

2 +N23 , (1.80)

per per le variazioni d’area.


Figura 1.8: Scorrimento

1.3.5 Scorrimento

Lo scorrimento e caratterizzato dalla seguente deformazione

x1 = X1 + kX2, x2 = X2, x3 = X3, (1.81)

con k scalare positivo.Per il gradiente di deformazione e per il tensore di Cauchy-Green si ha la

seguente rappresentazione matriciale:

F =

1 k 00 1 00 0 1

, C = FTF =

1 k 0k 1 + k2 00 0 1

. (1.82)

Le matrici inverse sono espresse da:

F−1 =

1 −k 00 1 00 0 1

, C−1 = F−1F−T =

1 + k2 −k 0−k 1 00 0 1

. (1.83)

Si ha anche

F−TF−1 =

1 −k 0−k 1 + k2 00 0 1

. (1.84)

Volendo determinare gli autovalori e gli autovettori del tensore C e quindi delladeformazione pura, si risolve l’equazione caratteristica

Det

1− λ k 0k (1 + k2)− λ 00 0 1− λ

= (1− λ)[λ2 − (k2 + 2)λ+ 1] = 0,

che porge gli autovalori

λ1 = 1 +k2

2− k√k2

4+ 1, λ2 = 1 +

k2

2+ k

√k2

4+ 1, λ3 = 1. (1.85)


In corrispondenza a λ1, λ2, λ3 si determinano gli autovettori (unitari) :

u1 =c1 + (k2 −

√k2

4 + 1)c2√2 + k2

2 − k√

k2

4 + 1

, u2 =c1 + (k2 +

√k2

4 + 1)c2√2 + k2

2 + k√

k2

4 + 1

, u3 = c3. (1.86)

I coefficienti di dilatazione lineare nelle direzioni co-ordinate sono dati da:

ε1 =√C11 − 1 = 0, ε2 =

√C22 − 1 =

√1 + k2 − 1, ε3 =

√C33 − 1 = 0.

(1.87)Poiche J = DetF = 1, e nullo il coefficiente di dilatazione cubica: δc = 0.

Lo scorrimento angolare γ12 relativo alle direzioni c1 e c2 si ottiene dallarelazione

sin γ12 =C12√

C11

√C22

=k√

1 + k2. (1.88)

Nel caso dello scorrimento la deformazione e schematizzata nella Figura 1.8.Il valore dello scorrimento angolare fornito dalla (1.88) si puo anche calcolaredirettamente per via geometrica dalla Figura.

Utilizzando la matrice (1.84) si ottiene la seguente equazione dell’ellissoidedi deformazione:

(x1)2 + (1 + k2)(x2)2 + (x3)2 − 2kx1x2 = 1. (1.89)

Esercizio 1.9 Si consideri il caso particolare di scorrimento ottenuto ponendok = 2 in (1.81). Tratteremo, in modo dettagliato, il problema della decomposi-zione polare di F . Le matrici (1.82) diventano

F =

1 2 00 1 00 0 1

, C = FTF =

1 2 02 5 00 0 1

, (1.90)

con le matrici inverse espresse da:

F−1 =

1 −2 00 1 00 0 1

, C−1 = F−1F−T =

5 −2 0−2 1 0

0 0 1

. (1.91)

Si ha inoltre

F−TF−1 =

1 −2 0−2 5 0

0 0 1

. (1.92)

Dalle (1.85) si ottengono gli autovalori di F TF :

λ1 = 3− 2√

2, λ2 = 3 + 2√

2, λ3 = 1, (1.93)

e dalle (1.86) gli autovettori (unitari) :

u1 =c1 + (1−

√2)c2√

4− 2√

2, u2 =

c1 + (1 +√

2)c2√4 + 2

√2

, u3 = c3. (1.94)


Nella base u1,u2,u3 i tensori C e U (vedi il teorema di decomposizione polare)assumono la rappresentazione matriciale:

(u)

C=

3−2√

2 0 0

0 3+2√

2 0

0 0 1

,(u)

U =

√3−2√

2 0 0

0√

3+2√

2 0

0 0 1

. (1.95)

La rotazione Q che trasforma la terna c1, c2, c3 nella terna u1,u2,u3 e rappre-sentata dalla matrice

Q =

1√

4−2√

2

1√4+2√

20

1−√

2√4−2√

2

1+√

2√4+2√

20

0 0 1

=

0.9238.. 0.3826.. 0−0.3826.. 0.9238.. 0

0 0 1

(1.96)

(si ricordi che la colonna j-esima di Q e formata dalla colonna delle componentidi uj rispetto alla base c1, c2, c3). Dalla relazione (1.96) e evidente che si trattadi una rotazione di un angolo di −22.50 che lascia ferma la direzione c3; perciogli autovettori u1 e u2 si ottengono dai versori c1 e c2 mediante una rotazionein senso orario di un angolo di 22.50 attorno a c3 = u3. Mediante la rotazione Qpossiamo ricavare la rappresentazione dei tensori U e U−1 nella base c1, c2, c3:

U = Q(u)

U QT =

√

22

√2

2 0√

22

3√

22 0

0 0 1

, U−1 =

3√

22

−√

22 0

−√

22

√2

2 00 0 1

(1.97)

(nell’utilizzare l’espressione (1.95)2 di U si e tenuto conto che valgono le rela-zioni

√3−2√

2=√

2−1 e√

3+2√

2=√

2+1). Dalla relazione (1.17) si ricava quindi larotazione R

R = FU−1 =

1 2 00 1 00 0 1

3√

22

−√

22 0

−√

22

√2

2 00 0 1

=

√

22

√2

2 0−√

22

√2

2 00 0 1

. (1.98)

Si tratta di una rotazione oraria di π4 attorno a c3. Si ottiene quindi la decom-posizione polare destra:

F = RU =

√

22

√2

2 0−√

22

√2

2 00 0 1

√

22

√2

2 0√

22

3√

22 0

0 0 1

. (1.99)

In Figura 1.9 e rappresentato il modo di operare del tensore F tramite i fattoriU e R. La deformazione pura U lascia inalterati in direzione i segmenti di ori-gine O e paralleli a u1 o u2, pur alterandone la lunghezza; deforma il quadratoOABC in una losanga OA′B′C ′ (o, se si vuole, la circonferenza in un ellisse) ve-di Figura 1.9 b). Si verifica facilmente ad esempio che i vettori OA = (1, 0, 0)T ,OB = (1, 1, 0)T e OC = (0, 1, 0)T , sono mutati da U rispettivamente nei vettori

OA′ = (√

22 ,√

22 , 0)T , OB′ = (

√2, 2√

2, 0)T e OC ′ = (√

22 ,

3√

22 , 0)T . Successiva-

mente si applica la rotazione R il cui effetto e quello di ruotare la losanga in


Figura 1.9: Scorrimento in (1.90). a) Configurazione di riferimento; b)deformazione pura; c) configurazione attuale.

senso orario di un angolo di π4 . Le due operazioni descritte equivalgono all’unicaoperazione che consiste nel deformare il quadrato con il tensore F .

Si osservi che la sfera di raggio unitario si deforma in un ellissoide i cui assi disimmetria si ottengono ruotando conR gli autovettori u1, u2 e u3 del tensore distretch U . Si ottiene quindi l’ellissoide di deformazione (o quadrica indicatricedella deformazione )

(x1)2 + 5(x2)2 + (x3)2 − 4x1x2 = 1. (1.100)

Esercizio 1.10 Nella precedente deformazione, calcolare il rapporto tra areedi superfici corrispondenti per una superficie indeformata di normaleN = ( 1√

3, 1√

3, 1√

3)T .

*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-Also simple shears are linear transformations of great importance in the

theory of mechanical twinning. Here we give some of their basic properties,partially following the nomenclature used in the experimental literature.

In a simple shear S any plane parallel to a given plane K1 is moved ontoitself at a distance that is proportional to its distance from K1, and in a directionwhich is the same for all planes. If n is the normal to K1, there is a vector aorthogonal to n such that S takes the form

S = 1 + a⊗ n, with a · n = 0 , (1.101)

where the vectors a and n are defined up to reciprocal multiplicative factors.Since detS = 1 + a · n, (1.101)2 implies detS = 1.

In an orthonormal basis vi with v1 and v2 parallel to a and n, respectively(hence v1,v3 ∈ K1), we have (s being called the amount of shear)

Svi = sjivj , with (sji) =

1 s 0

0 1 0

0 0 1

and s = ‖a‖‖n‖ . (1.102)


K2beforeshear

shear direction

K2

aftershear

Splane ofshear

K1

η1

η2

Figura 1.10: The ‘shear elements’ K1,K2, η1, η2

For S is as in (1.101), consider the vectors

K1 := n, η1 := a, K2 :=2a

‖a‖2 + n, η2 :=2n

‖n‖2 − a, (1.103)

the first two being introduced for later convenience. It is common practice inthe mineralogical and metallurgical literature to specify simple shears by meansof their elements K1,K2, η1, η2 (see Fig. 1.10). The plane K1 orthogonal to K1

is called the invariant plane of the shear; the oriented direction of the shearamplitude vector η1 is indicated by η1; the plane of shear containing a and n isdenoted by S; the oriented direction of the vector η2 is indicated by η2, and K2

denotes the plane containing η2 and n ∧ a. K2 is called the second undistortedplane of S because the length of neither η2 nor n∧a is affected by the shearingdeformation, so that K2 is the unique plane which is only rotated by S. It isnot difficult to see that the vector K2 in (1.103) is normal to K2 and forms anacute angle with n.

We will analyze the common twins called conventional (§8.3.5) based on thefollowing definitions and consequent identities:

Rπn = 2‖n‖−2 n⊗ n− 1, Rπ

a = 2‖a‖−2 a⊗ a− 1, (1.104)

RπnS = η2 ⊗K1 − 1 =

2η2 ⊗K1

η2 ·K1− 1, (1.105)

RπaS = η1 ⊗K2 − 1 =

2η1 ⊗K2

η1 ·K2− 1. (1.106)

By their last expressions, RπnS and Rπ

aS are independent of the lengths of η2,K1, and η1, K2, respectively; hence these tensors only depend on the directions


of the respective vector pairs. In crystallography these directions are usuallycharacterized by their crystallographic indices.

Since RπnS only depends on K1 and η2 by (1.105), and Rπ

n is determinedby K1, also S is determined by K1 and η2, the analog for K2 and η1 being trueby (1.106). This proves a well known result: a simple shear S is completelydetermined by either the pair (K1, η2) or (K2, η1) of its elements.

Notice that both RπnS and Rπ

aS have period two; this can be verified by adirect computation.

One last property of shears is important in the analysis of twinning incrystals. Given any shear S as in (1.101), the equation

Sr = R S, Sr = 1 + ar ⊗ nr, ar · nr = 0, R ∈ O+, (1.107)

has a unique nontrivial solution Sr 6= S, the reciprocal shear to S, with

ar =1

4 + s2η2, nr = s2K2, sr = s, (Sr)r = S, (1.108)

as follows, for instance, by a direct computation. This shows the remarkableproperty of the two reciprocal shears: K1 and η2 in one coincide with K2 andη1 in the other, and vice versa, and the amounts of shear are equal.

1.3.6 Deformazione pura

Si consideri la deformazione omogenea di un continuo definita dalle relazioni

x1 = λ1X1, x2 = λ2X2, x3 = λ3X3, (1.109)

con λ1, λ2, λ3 scalari positivi diversi tra loro. Il gradiente di deformazione e iltensore di Cauchy-Green sono rappresentati dalle matrici

F =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

, C =

(λ1)2 0 00 (λ2)2 00 0 (λ3)2

. (1.110)

Con riferimento al teorema di decomposizione polare si vede che il tensore dideformazione F coincide con il tensore di stretch U e la rotazione R e il tensoreidentico I. Gli autovettori di U e di C sono i versori della base: c1, c2, c3. Siha J = DetF = λ1λ2λ3 e quindi il coefficiente di dilatazione cubica e dato daδc = λ1λ2λ3 − 1.

Lo stretch nella direzione ci e dato da Λ(ci) = λi. Valgono inoltre le seguentirappresentazioni di F−1 e F−TF−1:

F−1 =

1λ1

0 0

0 1λ2

0

0 0 1λ3

, F−TF−1 =

1

(λ1)2 0 0

0 1(λ2)2 0

0 0 1(λ3)2

. (1.111)

Dunque l’ellissoide di deformazione e rappresentato dall’equazione

(x1

λ1)2 + (

x2

λ2)2 + (

x3

λ3)2 = 1 : (1.112)


una regione indeformata costituita da una sfera di raggio unitario si trasformain un ellissoide avente per assi di simmetria gli assi coordinati e semiassi dilunghezza λ1, λ2 e λ3.

Capitolo 2

Piccole deformazioni di uncontinuo

2.1 Gradiente di spostamento

Il moto di un continuo si puo descrivere mediante il campo degli spostamentidei singoli punti (vedi Figura 2.1)) definito dalla relazione vettoriale

u(X, t) = x(X, t)−X (2.1)

o, in componenti, da

u1 = x1(X, t)−X1, u2 = x2(X, t)−X2, u3 = x3(X, t)−X3.

Si indichi con il simbolo Gradu, oppure∇u, il gradiente della funzione vettoriale(2.1) che, nel riferimento cartesiano scelto, e rappresentato dalla matrice dicomponenti

∂ui∂Xj

=∂xi(X, t)

∂Xj− δij . (2.2)

Valgono le relazioni

∇u = F − I, ∇u = F − I , (2.3)

e le inverseF = ∇u+ I, F = ∇u+ I. (2.4)

E possibile, tramite le (2.4), esprimere il tensore lagrangiano di strain, E, permezzo del tensore ∇u:

E =1

2(F TF − I) =

1

2(∇uT∇u+∇uT +∇u), (2.5)

(infatti si ha F TF = (∇u+ I)T (∇u+ I) = ∇uT∇u+∇uT +∇u+ I).

33

34 CAPITOLO 2. PICCOLE DEFORMAZIONI

Figura 2.1: Vettore spostamento

Le componenti di E sono date da

Eij =1

2(∂us∂Xi

∂us∂Xj

+∂uj∂Xi

+∂ui∂Xj

). (2.6)

Esempio 2.1 Si consideri la deformazione:

x1 = (1 + 5α)X1 + 3αX2, x2 = αX1 + (1 + α)X2, x3 = (1 + 4α)X3,

con α > 0, ed il corrispondente campo di spostamenti

u1 = α(5X1 + 3X2), u2 = α(X1 +X2), u3 = 4αX3. (2.7)

Il gradiente di deformazione F e di spostamento ∇u sono rappresentati dalleseguenti matrici:

F =

1 + 5α 3α 0α 1 + α 00 0 1 + 4α

, ∇u =

5α 3α 0α α 00 0 4α

. (2.8)

Esercizio 2.2 Mediante il gradiente di spostamento del precedente esempiocalcolare la matrice del tensore di strain E.

2.2 Piccole deformazioni

Si supponga che il campo degli spostamenti u sia tale che le componenti delgradiente ∇u risultino abbastanza piccole da ritenere trascurabili i loro prodotti.In tale ipotesi si parla di teoria delle piccole deformazioni. Trascurando nella(2.6) i prodotti di quantita piccole il tensore lagrangiano di strain, E, ammettel’espressione approssimata E ≈ ε con ε definito da

ε =1

2(∇uT +∇u), εij =

1

2(∂uj∂Xi

+∂ui∂Xj

). (2.9)

2.3. ESPRESSIONE APPROSSIMATA DELLE MISURE DI DEFORMAZIONE35

Il tensore ε di componenti εij e detto tensore infinitesimo di strain.Usando ε al posto di E, le (1.40), (1.44) forniscono, con buona approssima-

zione, le varie misure di deformazione nel caso di piccole deformazioni.

Esempio 2.3 Con riferimento all’ Esempio 2.1 si consideri α piccolo, cosiccherisultano piccole anche le componenti di ∇u e si puo parlare di piccole deforma-zioni. Il tensore infinitesimo di strain ε e espresso dalla matrice

ε =

5α 2α 02α α 00 0 4α

. (2.10)

Supposto, ad esempio, α = 0.002 la (2.10) diventa

ε =

0.01 0.004 00.004 0.002 0

0 0 0.008

). (2.11)

Valutando gli allungamenti per unita di lunghezza nella direzione coordinata cimediante la relazione εi =

√1 + 2Eii − 1 (vedi (1.40)) e gli scorrimenti con la

relazione sin γij = 2Eij/√

(1 + 2Eii)(1 + 2Ejj) (vedi (1.44)) e approssimandoE con ε, si ottiene:

ε1 = 9.950 10−3, ε2 = 1.998 10−3, ε3 = 7.968 10−3,

γ12 = 07.905 10−3 (γ13 = 0, γ23 = 0).

2.3 Espressione approssimata delle misure di de-formazione

Tradizionalmente, nel campo dell’ingegneria, le piccole deformazioni sono statetrattate prima delle deformazioni finite (si pensi che molti manufatti di interes-se ingegneristico, anche in seguito all’applicazione di forze rilevanti, subisconodelle deformazioni molto piccole a causa della loro rigidita). Pertanto e statointrodotto per primo, e maggiormente utilizzato, il tensore infinitesimo di strainε. Tramite esso si sono espresse le varie misure di deformazione ricavandoledirettamente da considerazioni, di tipo geometrico-differenziale, sulla deforma-zione infinitesima di elementi inizialmente paralleli agli assi coordinati. In talemodo si sono caratterizzati gli allungamenti delle fibre, gli scorrimenti angolarie le variazioni di volume tramite le componenti del tensore infinitesimo di strainε tramite le seguenti relazioni:

εci =ds− dSdS

= εii, sin γij ≈ γij = 2εij , δc = ε11 + ε22 + ε33. (2.12)

Le espressioni (2.12) si possono anche dedurre, per mezzo di un procedimentodi approssimazione, dalle corrispondenti relazioni (1.40), (1.44) e (1.22) valide


per deformazioni finite. Volendo seguire questa seconda strada, si tenga presenteche valgono le seguenti approssimazioni :

√1 + 2x ≈ 1 + x,

1

1 + x≈ 1− x, (2.13)

nell’ipotesi che la grandezza x sia piccola (x infinitesimo del primo ordine).Le approssimazioni (2.13) si ottengono mediante sviluppo in formula di MacLaurin ritenendo trascurabili i termini infinitesimi di ordine superiore al primo.

Per ricavare la (2.13)1 si ha, essendo d√

1+2xdx |x=0 = 1√

1+2x|x=0 = 1:

√1 + 2x ≈

√1 + 2x|x=0 +

d√

1 + 2x

dx|x=0x = 1 + x, (2.14)

In modo analogo si procede per la (2.13)2.Si supponga dunque di aver approssimato il tensore lagrangiano di strain E

con il tensore infinitesimo di strain ε e dimostriamo le relazioni (2.12).Dim. [di (2.12)1] Il coefficiente di allungamento nella direzione ci e dato daεci = ds−dS

dS =√

1 + 2Eii− 1 ≈ √1 + 2εii− 1 ≈ εii avendo tenuto conto dell’ap-prossimazione (2.13)1. Dim. [di (2.12)2] Per la (1.44), tenuto conto di (1.37)2,

lo scorrimento angolare γij relativo alle direzioni indeformate ci, cj e dato da

γij ≈ sin γij =2Eij√

1 + 2Eii√

1 + 2Ejj≈ 2εij√

1 + 2εii√

1 + 2εjj≈

≈ 2εij(1 + εii)(1 + εjj)

=2εij

1 + εii + εjj + εiiεjj≈ 2εij

1 + εii + εjj≈ 2εij

(per l’ultimo passaggio si pensi εii + εjj = x e si tenga conto di (2.13)2). Siosservi che, essendo γij piccolo, vale l’approssimazione sin γij ≈ γij .

Tenendo conto delle (2.12)1, (2.12)2 il tensore infinitesimo di strain ε si puorappresentare tramite i coefficienti di dilatazione lineare lungo gli assi coordinati(termini diagonali) e tramite gli scorrimenti angolari (termini non diagonali):

ε =

ε112γ12

12γ13

12γ21 ε2

12γ23

12γ31

12γ32 ε3

. (2.15)

Si riporta di seguito la notazione ingegneristica del tensore ε:

ε =

εx12γxy

12γxz

12γyx εy

12γyz

12γzx

12γzy εz

. (2.16)

Esercizio 2.4 Si dimostri che, a meno di infinitesimi di ordine superiore, nel-l’approssimazione delle piccole deformazioni si ha

F1F2 ≈ I +∇u1 +∇u2 ≈ F2F1 (2.17)


e che quindi, per piccole deformazioni ma non per deformazioni finite, vale unprincipio di sovrapposizione degli effetti: per gli spostamenti si possono sommarei contributi di trasformazioni diverse indipendentemente dall’ordine in cui essesono eseguite.

Il tensore ε e simmetrico; siano u1,u2,u3 e λ1, λ2, λ3, gli autovettori uni-tari e, rispettivamente, gli autovalori (infinitesimi). Nella base u1,u2,u3, ε erappresentato dalla matrice

ε =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

. (2.18)

Dalla (2.18) tenuto conto del significato delle componenti di ε -vedi (2.15)- sivede che l’autovalore λi coincide con il coefficiente di dilatazione lineare nelladirezione ui e che gli scorrimenti angolari relativi a due direzioni ui e uj sononulli. Cio significa che elementi infinitesimi indeformati, inizialmente paralleliagli autovettori u1,u2,u3 ( mutuamente ortogonali), si trasformano in elementiinfinitesimi di diversa lunghezza che si mantengono ancora mutuamente orto-gonali. Le direzioni individuate da u1,u2,u3 si dicono direzioni principali dideformazione (si osservi che variano da punto a punto dato che ε dipende dallaparticella). Gli invarianti principali di ε sono dati da

I1(ε) = λ1 + λ2 + λ3, I2(ε) = λ2λ3 + λ1λ3 + λ1λ2, I3(ε) = Detε = λ1λ2λ3.(2.19)

Si consideri il tensore 2ε + I che per la (1.37) e una approssimazione di C =F TF . Nella base u1,u2,u3 il tensore 2ε+ I e espresso dalla matrice

(2ε+ I) =

2λ1 + 1 0 00 2λ2 + 1 00 0 2λ3 + 1

, (2.20)

e il suo determinante e dato da

Det(2ε+ I) = 1 + 2I1(ε) + 4I2(ε) + 8I3(ε) ≈ 1 + 2I1(ε) = 1 + 2trε; (2.21)

l’ultima approssimazione tiene conto che I2(ε) e I3(ε) sono infinitesimi di or-dine superiore (vedi (2.19)). Si osservi che la natura invariante delle quantitaI1(ε), I2(ε), I3(ε) comporta la validita della relazione (2.21) qualunque sia labase scelta.

Si puo dare, ora, la dimostrazione che il coefficiente di dilatazione cubica eespresso in forma approssimata, tramite il tensore infinitesimo di strain ε, dallarelazione (2.12)3.Dim. [di (2.12)3]. Nella relazione δc = J − 1, il determinante J si puo esprimeretramite E, e quindi, in forma approssimata, tramite ε, nel seguente modo:

J = DetF =√

DetF TDetF =√

DetC =√

Det(2E + I) ≈√

Det(2ε+ I).(2.22)


Figura 2.2: Esempio di piccola deformazione

Per la relazione (2.21) la (2.22) diventa

J ≈√

1 + 2I1(ε) ≈ 1 + I1(ε) = 1 + tr(ε). (2.23)

Dunque il coefficiente di dilatazione cubica e espresso da

dv − dVdV

= J − 1 ≈ I1(ε) = trε = ε11 + ε22 + ε33. (2.24)

La condizione di incomprimibilita J = 1 si puo allora scrivere nei seguentimodi equivalenti:

tr ε = 0, oppure div u = 0. (2.25)

Esempio 2.5 Sempre con riferimento all’Esempio 2.1 i coefficienti di dilatazio-ne lineare, gli scorrimenti e il coefficiente di dilatazione cubica, calcolati tramitele relazioni (2.12) hanno i seguenti valori:

ε1 = ε11 = 0.01, ε2 = ε22 = 0.002, ε3 = ε33 = 0.008,

γ12 = 2ε12 = 0.008, γ23 = γ13 = 0, ∂c = ε11 + ε22 + ε33 = 0.020.

Osservazione 2.6 E opportuno sottolineare che pur usando la locuzione clas-sica di piccole deformazioni si intende precisamente una deformazione in cui siapiccolo il gradiente di spostamento. Per le (2.2) cio comporta che il gradiente dideformazione sia prossimo all’identita ossia che deformazione pura e rotazionelocale siano, entrambe, prossime all’identita (per il teorema di decomposizionepolare).

I seguenti due esempi hanno lo scopo di chiarire le ipotesi di applicabilitadella teoria delle piccole deformazioni.

Esempio 2.7 Si consideri la deformazione


Figura 2.3: Esempio di deformazione non piccola

x1 = X1 +R(1− cosX2

R), x2 = R sen

X2

R, x3 = X3, (2.26)

con R > 0, nell’ipotesi che sia X2

R < π2 . Ad esempio un’asta inizialmente

verticale dopo la deformazione si trasforma in un arco di circonferenza di raggioR come evidenziato in Figura 2.2. Alla deformazione (2.26) corrisponde lospostamento

u1 = R(1− cosX2

R), u2 = Rsen

X2

R−X2, u3 = 0. (2.27)

Il gradiente di deformazione e di spostamento sono quindi rappresentati dalleseguenti matrici:

F =

1 sin X2

R 0

0 cos X2

R 00 0 1

, ∇u =

0 sin X2

R 0

0 cos X2

R − 1 00 0 0

. (2.28)

Se R >> X2 (e, nel caso rappresentato in Figura 2.2b), cio e vero se il raggio R emolto grande rispetto alla lunghezza l dell’asta ) il gradiente di spostamento ∇urisulta piccolo dato che tutte le sue componenti sono o nulle o piccole (sin X2

R ≈0, cos X2

R − 1 ≈ 0) in ogni punto del corpo. In tale caso la teoria delle piccoledeformazioni e applicabile.

Se invece R e paragonabile a l il gradiente di spostamento ∇u risulta finito(almeno nei punti non prossimi all’origine O, vedi Figura 2.2a)). In tale casola teoria delle piccole deformazioni non e applicabile.

Esercizio 2.8 Perche e stata imposta la condizione X2

R < π2 , nella deformazione

(2.26) del precedente esempio? (Si provi a disegnare l’asta dopo la deformazione,supposto che essa abbia spessore nella direzione X1).

Esempio 2.9 Si consideri la deformazione caratterizzata dalle relazioni

x1 = X1 +l

ksin(

k

lX2), x2 = X2, x3 = X3. (2.29)


La deformazione, ad esempio, di un’asta inizialmente verticale e rappresentatain Figura 2.3 nell’ipotesi che sia k >> l. Alla deformazione (2.29) corrispondelo spostamento

u1 =l

ksin(

k

lX2), u2 = 0, u3 = 0. (2.30)

Si ha quindi:

F =

1 cos(kl X2) 00 1 00 0 1

, ∇u =

0 cos(kl X2) 00 0 00 0 0

. (2.31)

Scegliendo il rapporto lk << 1, gli spostamenti (2.29) si possono rendere pic-

coli a piacere ma le componenti del gradiente di spostamento rimangono finite.Dunque la piccolezza degli spostamenti non garantisce l’applicabilita della teoriadelle piccole deformazioni.

2.4 Condizioni di compatibilita

Si supponga di voler assegnare il tensore infinitesimo di strain in ogni puntodel corpo. Le 6 funzioni del posto εij (si tratta di un tensore simmetrico ) nonpossono essere assegnate arbitrariamente dato che devono potersi dedurre dalletre funzioni scalari ui, i = 1, 2, 3, che definiscono il campo degli spostamenti,tramite le relazioni (2.9) che qui riscriviamo per esteso:

ε11 =∂u1

∂X1, ε22 =

∂u2

∂X2, ε33 =

∂u3

∂X3, (2.32)

2ε12 = (∂u2

∂X1+∂u1

∂X2), 2ε13 = (

∂u3

∂X1+∂u1

∂X3), 2ε23 = (

∂u3

∂X2+∂u2

∂X3).

Si pensi per analogia alle forze conservative: non e possibile assegnare arbi-trariamente tre funzioni

F1(X1, X2, X3), F2(X1, X2, X3), F3(X1, X2, X3)

e pretendere che siano le componenti di una forza conservativa. Affinche cioaccada e necessario che le tre funzioni soddisfino alle seguenti condizioni, dettedi chiusura :

∂F1

∂X2=∂F2

∂X1,

∂F1

∂X3=∂F3

∂X1,

∂F2

∂X3=∂F3

∂X2.

E noto dall’Analisi che, nel caso di un dominio semplicemente connesso, le pre-cedenti condizioni sono anche sufficienti a garantire l’esistenza di un potenziale.

2.4. CONDIZIONI DI COMPATIBILITA 41

Proposizione 2.10 Come necessaria conseguenza delle relazioni (2.32) le com-ponenti del tensore infinitesimo di strain devono soddisfare le seguenti 6 condi-zioni di compatibilita

2∂2ε12

∂X1∂X2=

∂2ε11

∂X22 +

∂2ε22

∂X12 ,

2∂2ε13

∂X1∂X3=

∂2ε11

∂X32 +

∂2ε33

∂X12 ,

2∂2ε23

∂X2∂X3=

∂2ε22

∂X32 +

∂2ε33

∂X22 , (2.33)

∂2ε11

∂X2∂X3=

∂

∂X1(∂ε12

∂X3+∂ε13

∂X2− ∂ε23

∂X1),

∂2ε22

∂X1∂X3=

∂

∂X2(∂ε12

∂X3+∂ε23

∂X1− ∂ε13

∂X2),

∂2ε33

∂X1∂X2=

∂

∂X3(∂ε31

∂X2+∂ε23

∂X1− ∂ε12

∂X3). (2.34)

Dim. Per ricavare, ad esempio, la (2.33)1 si deriva la (2.32)1 due volte rispettoa X2, la (2.32)2 due volte rispetto a X1 e la (2.32)4 rispetto a X1 e X2 e siottiene

∂2ε11

∂X22 =

∂3u1

∂X22∂X1

,∂2ε22

∂X12 =

∂3u2

∂X12∂X2

, 2∂2ε12

∂X1∂X2=

∂3u2

∂X12∂X2

+∂3u1

∂X1∂X22 ,

(2.35)e quindi sostituendo le (2.35)1,2 nel secondo membro delle (2.35)3 si ottiene la(2.33)1.

Per ricavare, ad esempio, la (2.34)1, si derivi (2.32)4 rispetto a X1, X3 e(2.32)5 rispetto a X1, X2; si ottiene

2∂2ε12

∂X1∂X3=

∂3u2

∂X12∂X3

+∂2

∂X2∂X3

∂u1

∂X1=

∂3u2

∂X12∂X3

+∂2ε11

∂X2∂X3, (2.36)

2∂2ε13

∂X1∂X2=

∂3u3

∂X12∂X2

+∂2

∂X2∂X3

∂u1

∂X1=

∂3u3

∂X12∂X2

+∂2ε11

∂X2∂X3. (2.37)

Sommando membro a membro le relazioni (2.36), (2.37) si ottiene

2(∂2ε12

∂X1∂X3+

∂2ε13

∂X1∂X2)=2

∂2ε11

∂X2∂X3+

∂2

∂X12 (∂u2

∂X3+∂u3

∂X2)=2

∂2ε11

∂X2∂X3+ 2

∂2ε23

∂X12 .

(2.38)Da (2.38) si ricava

∂2ε11

∂X2∂X3=

∂2ε12

∂X1∂X3+

∂2ε13

∂X1∂X2− ∂2ε23

∂X12 (2.39)

e quindi la (2.34)1. In modo analogo si procede per ricavare le altre (2.33),(2.34).


Le equazioni (2.33), (2.34) sono dette condizioni di compatibilita per il ten-sore infinitesimo di strain e sono state ricavate come una necessaria conseguenzadelle (2.32). Nel caso in cui la regione occupata dal corpo sia un dominio sem-plicemente connesso si puo dimostrare che le (2.33), (2.34) sono sufficienti perassicurare l’esistenza di un campo di spostamenti u(X1, X2, X3) univoco, chesoddisfi le (2.32).

Capitolo 3

Cinematica dei mezzicontinui

3.1 Velocita e accelerazione, rappresentazione mate-riale

Derivando rispetto al tempo il vettore x = x(X, t) che individua la posizioneall’istante t della particella che inizialmente sta in X, si ottiene la velocita diquesta particella:

V =∂x(X, t)

∂t, Vi =

∂xi(X1, X2, X3; t)

∂t. (3.1)

Nell’effettuare la derivata che compare in (3.1) le Xi si riguardano come costanti.Per ottenere l’accelerazione della particella si deriva la (3.1) rispetto al tempocon le stesse modalita:

A =∂2x(X, t)

∂t2, Ai =

∂2xi(X1, X2, X3; t)

∂t2. (3.2)

Indichiamo con V e A le funzioni che danno la velocita e l’accelerazionedi una particella all’istante attuale in funzione delle coordinate iniziali dellaparticella stessa:

V = V (X, t) A = A(X, t). (3.3)

Le (3.1), (3.2) costituiscono una rappresentazione di tipo lagrangiano o materialedei campi delle velocita e delle accelerazioni, rispettivamente. In generale larappresentazione di un campo (sia esso scalare, vettoriale, o tensoriale) si dice ditipo lagrangiano o materiale se le variabili da cui dipende il campo, in aggiuntaa t, sono le coordinate (X1, X2, X3) della particella X nella configurazione diriferimento. Un punto di vista lagrangiano o materiale e dunque quello cheosserva l’evoluzione della medesima particella durante il suo moto.

43

44 CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI MEZZI CONTINUI

Esempio 3.1 Sia assegnato il moto del mezzo continuo mediante le seguentifunzioni:

x1 = X1 +X2t2, x2 =

X2

1 + 3t, x3 = X3 + 2X1t. (3.4)

Derivando le (3.4) rispetto al tempo si ottiene il campo delle velocita di compo-nenti:

V1(X, t) = 2X2t, V2(X, t) = − 3X2

(1 + 3t)2, V3(X, t) = 2X1. (3.5)

Derivando le (3.5) rispetto al tempo si ottiene il campo delle accelerazioni, dicomponenti:

A1(X, t) = 2X2, A2(X, t) =18X2

(1 + 3t)3, A3(X, t) = 0. (3.6)

Le (3.5), (3.6) costituiscono rispettivamente la rappresentazione materiale (olagrangiana) del campo delle velocita e delle accelerazioni.

3.2 Rappresentazione spaziale di un campo

Puo essere conveniente conoscere la velocita e l’accelerazione di una particellain funzione della posizione x che essa occupa all’istante t. Per ottenere questotipo di rappresentazione basta sostituire le (1.8) nelle (3.3) :

v(x, t) = V (X(x, t), t), a(x, t) = A(X(x, t), t). (3.7)

In componenti le (3.7) danno luogo alle relazioni

vi(x1, x2, x3, t) = Vi(X1(x1, x2, x3, t), X2(x1, x2, x3, t), X3(x1, x2, x3, t), t),(3.8)

ai(x1, x2, x3, t) = Ai(X1(x1, x2, x3, t), X2(x1, x2, x3, t), X3(x1, x2, x3, t), t).

Le (3.7) danno la velocita e l’accelerazione di una particella in funzionedelle coordinate xi della posizione occupata dalla particella all’istante t, attuale:una tale rappresentazione si dice euleriana o spaziale. E evidente che dallarappresentazione spaziale del campo di velocita o accelerazioni si puo ottenerela rappresentazione materiale mediante la sostituzione (1.1):

V (X, t) = v(x(X, t), t), A(X, t) = a(x(X, t), t). (3.9)

Esempio 3.2 Le relazioni inverse delle (3.4) sono date da :

X1 = x1 − x2(1 + 3t)t2, X2 = x2(1 + 3t), X3 = x3 − 2x1t+ 2x2(1 + 3t)t3,(3.10)

sostituendo le (3.10) in (3.5) si ottiene il campo spaziale delle velocita:

v1(x, t) = 2x2(1 + 3t)t, v2(x, t) = − 3x2

1 + 3t, v3(x, t) = 2x1 − 2x2(1 + 3t)t2,

(3.11)sostituendo le (3.10) in (3.6) si ottiene il campo spaziale delle accelerazioni:

a1(x, t) = 2x2(1 + 3t), a2(x, t) =18x2

(1 + 3t)2, a3(x, t) = 0. (3.12)

3.3. DERIVATA MATERIALE DI UN CAMPO SPAZIALE 45

3.3 Derivata materiale di un campo spaziale

Si supponga assegnato il campo spaziale di velocita (atto di moto):

v = v(x, t). (3.13)

Fissata la posizione x, al variare del tempo t la funzione v(x, t) fornisce lavelocita delle diverse particelle che successivamente transitano per il punto x.La derivata ∂v(x, t)/∂t del campo rispetto alla variabile t pertanto non esprimel’accelerazione della particella ma la rapidita con cui varia il vettore velocita nelmedesimo punto x dello spazio al variare del tempo; e quindi delle particelleche successivamente vengono a sovrapporsi a tale punto. Per avere il vettoreaccelerazione a partire dalla conoscenza del solo campo spaziale delle velocita siderivi (totalmente) rispetto al tempo la relazione (3.9)1:

∂V

∂t=∂v

∂t(x(X, t), t) +

∂v

∂xi(x(X, t), t)

∂xi(X, t)

∂t. (3.14)

Se nella relazione (3.14) si esprime ogni termine in funzione delle coordinatespaziali, tenuto conto di (3.7)1, la (3.14) stessa diventa:

a =dv

dt:=

∂v

∂t+∂v

∂xivi. (3.15)

e costituisce la derivata materiale del campo spaziale di velocita. Si osserviche tutte le quantita che compaiono nel secondo membro di (3.14) si ricavanodirettamente dalla rappresentazione spaziale (3.13) del campo.

Esempio 3.3 Se si conosce solo il campo spaziale di velocita (3.11), per ottenereil campo spaziale delle accelerazioni si calcola la derivata materiale (3.15) delcampo di velocita (3.11):

a1(x, t) =∂v1

∂t+∂v1

∂x2v2 = 2x2(1 + 6t) + 2(1 + 3t)t(− 3x2

1 + 3t) = 2x2(1 + 3t),

a2(x, t) =∂v2

∂t+∂v2

∂x2v2 =

9x2

(1 + 3t)2− 3

1 + 3t(− 3x2

1 + 3t) =

18x2

(1 + 3t)2,

a3(x, t) =∂v3

∂t+∂v3

∂x1v1 +

∂v3

∂x2v2 = −2x2(2t+ 9t2) + 4x2(1 + 3t)t−

−2(1 + 3t)t2(− 3x2

1 + 3t) = 0.

Si osservi che le componenti cosı ottenute coincidono con le (3.12).In generale se h e una qualsiasi grandezza (densita di massa, velocita, ecc.)

fornita mediante il campo spaziale (scalare, vettoriale o tensoriale) h = h(x, t),la sua derivata materiale e data da

dh

dt=∂h

∂t+∂h

∂xivi. (3.16)


(x+dx)v

(x)v

dv

dx

Figura 3.1: Gradiente di velocita

Essa rappresenta la rapidita di variazione nel tempo della grandezza h che com-pete ad una particella (identificata mediante la sua posizione attuale x), valoreche, in generale, varia durante il moto della particella.

Il termine ∂h/∂t, detto velocita di crescita locale, rappresenta la velocitadi variazione nel tempo che la grandezza h presenta nel medesimo punto dellospazio, nel quale, per effetto del moto del corpo, transitano elementi diversi.La quantita (∂h/∂xi)vi prende il nome di termine convettivo (vedi il Teorema(4.1) di Reynolds, nel capitolo seguente).

3.4 Gradiente di velocita

Si consideri il campo spaziale (euleriano) delle velocita

v = v(x, t), vi = vi(x1, x2, x3, t), (3.17)

e siano v(x, t) e v(x+ dx, t) le velocita che competono nel medesimo istante aidue punti che occupano le posizioni x e x+dx. Posto dv = v(x+dx, t)−v(x, t)si ha

dvi =∂vi(x, t)

∂xjdxj , dv = L(x, t)dx, (3.18)

ove L(x, t) e il tensore, detto gradiente di velocita, di componenti

Lij =∂vi∂xj

(x, t). (3.19)

Il tensore L, che in generale non e simmetrico, si puo decomporre nellasomma della parte simmetrica D(x, t) e della parte emisimmetrica W (x, t):

L = D +W con D =1

2(L+LT ), W =

1

2(L−LT ). (3.20)

3.4. GRADIENTE DI VELOCITA 47

Il tensore D e detto tensore di velocita di deformazione o anche stretching, iltensore W e detto tensore di vortice o anche di spin o anche velocita angolarelocale. Le componenti di D e di W sono date da

Dij =1

2(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

), Wij =1

2(∂vi∂xj− ∂vj∂xi

). (3.21)

I nomi dati ai tensori D e W trovano giustificazione nelle seguenti considera-zioni. La relazione (3.18), tenuto conto di (3.20) diventa

dv = v(x+ dx, t)− v(x, t) = (D +W )dx. (3.22)

Poiche W (x, t) e emisimmetrico, esiste un vettore w(x, t), tale che

W dx = w × dx; (3.23)

le componenti di w sono date da

wr =1

2erijWji =

1

2erij

1

2(∂vj∂xi− ∂vi∂xj

) =1

2erij

∂vj∂xi

. (3.24)

Posto x = p e x+ dx = p′ si ha dx = pp′ e la (3.22) si puo scrivere come segue

v(p′, t) = v(p, t) +w × pp′ +Dpp′. (3.25)

Dalla (3.25) si vede che la velocita del punto p′ si puo pensare come somma didue contributi. Il primo contributo,

v(p, t) +w × pp′,

e la velocita che compete al punto p′ supposto che partecipi al moto rigido,dell’intorno di p, caratterizzato dalla velocita v(p, t) del punto p e dalla velocitaangolare w(p, t).

Il secondo contributo,Dpp′,

rappresenta la velocita di deformazione. Per giustificare tale nome si ricordi che,nel moto simultaneo di due punti P , Q, la derivata temporale della distanza ltra i due punti e data dalla relazione

∂l

∂t= (v(Q)− v(P )) · versPQ. (3.26)

Nel caso in considerazione si ha PQ = pp′ = dx , l = |dx| = |pp′| e la (3.25),tenuto conto di (3.26) diventa

d|pp′|dt

= [v(p′, t)−v(p, t)] ·vers pp′ = vers pp′ ·w×pp′+vers pp′ ·Dpp′. (3.27)

Si osservi che w × pp′ · verspp′ = 0; pertanto la (3.27) diventa

d|pp′|dt

= vers pp′ ·Dpp′, (3.28)


ossia: la componente del vettore Dpp′ lungo la direzione di pp′, da la velocitacon cui varia la distanza |pp′|. Moltiplicando ambo i membri di (3.28) per |pp′|si ottiene

d|pp′|2dt

= 2dx ·Ddx. (3.29)

Dalla (3.29) si vede che la quantita 2dx · Ddx rappresenta la velocita concui varia nel tempo il quadrato della lunghezza dell’elemento dx. Pertantoil moto dell’intorno di un punto p del corpo si puo pensare composto da unmoto rigido, di velocita angolare w, deducibile dal tensore di spin W tramite le(3.24), e da un moto di deformazione, caratterizzato dal tensore di velocita dideformazione D, nel quale la (3.28) misura la rapidita con cui varia la distanzatra due particelle.

Ricordando la definizione di rotore di un campo vettoriale v(x):

rot v(x) = (∂v3

∂x2− ∂v2

∂x3)c1 + (

∂v1

∂x3− ∂v3

∂x1)c2 + (

∂v2

∂x1− ∂v1

∂x2)c3 (3.30)

che mediante notazione con indici si puo scrivere nella forma

rot v(x) = erij∂vj∂xi

cr, (3.31)

la (3.24) diventa

w =1

2rot v(x). (3.32)

Nella (3.32) si legge che il rotore del campo di velocita di un corpo deformabilevalutato in un suo punto p e pari al doppio della velocita angolare che competealla porzione di corpo circostante p, nel moto rigido che compone il moto realenel senso precisato sopra.

Il moto di un corpo si dice irrotazionale se per esso si annulla il rotore delcampo delle velocita e quindi il tensore di spin W , cioe se:

∂vj∂xi− ∂vi∂xj

= 0 per i, j = 1, 2, 3 e i 6= j. (3.33)

In un moto irrotazionale, quindi, l’intorno del punto subisce una deformazionepura in assenza di rotazione.

3.5 Alcuni esempi e definizioni

Definizione 3.4 Dato il campo spaziale di velocita v(x, t) si definisce linea diflusso (in inglese streamline) ogni linea dello spazio che, all’istante t, in ognisuo punto x, risulta tangente al vettore del campo, v(x, t).

Se il campo di velocita dipende dal tempo, in generale le linee di flussocambiano nel tempo. Ogni elemento del continuo descrive, nel suo moto, unatraiettoria o linea di corrente (in inglese path line) che, in generale, non e unalinea di flusso.

3.5. ALCUNI ESEMPI E DEFINIZIONI 49

Esempio 3.5 Si consideri il moto di un corpo rigido. Il campo euleriano dellevelocita e un torsore e, in ogni istante in cui l’atto di moto non e degenere,le linee di flusso sono delle eliche cilindriche. In generale queste linee di flussocambiano nel tempo, pur essendo sempre delle eliche cilindriche. Tuttavia unaparticella del corpo puo descrivere una traiettoria qualsiasi e quindi diversa daun’elica cilindrica.

Definizione 3.6 Un moto si dice stazionario o permanente se il campoeuleriano delle velocita non dipende dal tempo:

v = v(x).

Per un moto stazionario le linee di flusso non dipendono dal tempo e coincidonocon le traiettorie descritte dagli elementi del continuo.

Esempio 3.7 Nel moto rotatorio uniforme di un corpo rigido con asse fisso ail campo euleriano delle velocita non dipende dal tempo:

v(P ) = ω ×OP

(con O punto dell’asse fisso). Si tratta dunque di un moto stazionario. Le lineedi flusso coincidono con le traiettorie e sono circonferenze ortogonali ad a concentro appartenente ad a.

Esempio 3.8 Si consideri un campo euleriano di velocita definito dalla relazio-ne

v(x) =√

2gx3 c3

essendo g l’accelerazione di gravita e c3 il versore verticale orientato verso ilbasso. Un tale campo di velocita si puo pensare come quello che compete a unalamina di acqua che cade da un lago, tracimando da una diga rettilinea.1 Perun tale campo di velocita, indipendente dal tempo, il moto risulta stazionario ele linee di flusso sono rette verticali.

Per ottenere l’accelerazione si calcola la derivata materiale

a =∂v

∂t+∂v

∂xivi

del campo euleriano di velocita. Nel caso in esame risulta

∂v

∂t= 0,

∂v

∂xi= 0, (i = 1, 2),

∂v

∂x3=

g√2gx3

c3.

per cui si ha

a =∂v

∂x3v3 =

g√2gx3

c3

√2gx3 = gc3.

1Si suppone che l’elemento fluido cada liberamente con velocita iniziale nulla per x3 = 0 equindi ad una quota x3 = 1

2gt2, raggiunta all’istante t, la velocita sia v = gt, per cui si ricava

la precedente relazione di campo.


Esercizio. Si consideri il moto traslatorio di caduta libera verticale, di unalamina rigida piana. Si tratta di un moto stazionario? Come sono le linee diflusso? Coincidono con le traiettorie degli elementi? Come si esprime il campoeuleriano delle velocita? Calcolare l’accelerazione tramite derivazione materialedel campo euleriano delle velocita.

Capitolo 4

Cinematica delle masse deimezzi continui

4.1 Lemma di Green e teorema della divergenza

Sia f(x1, x2, x3) una funzione di classe C1, cioe continua e derivabile con de-rivate parziali continue, in una regione V dello spazio R3 la cui frontiera, ∂V ,sia una superficie regolare. Detto n il campo dei versori normali alla superficie,orientati verso l’esterno di V , valgono le seguenti relazioni:∫

∂V

fns dS =

∫V

∂f

∂xsdV , s = 1, 2, 3. (4.1)

Se n e orientato verso l’interno il secondo membro di (4.1) va cambiato di segno.La (4.1), nota come teorema di Green (per la dimostrazione si rinvia a testi dianalisi), consente di trasformare un integrale su una superficie chiusa in unintegrale esteso alla regione in essa racchiusa. Detto v(x1, x2, x3) un campovettoriale le cui componenti siano funzioni di classe C1, dalle formule (4.1) sideducono le seguenti relazioni∫

∂V

fn dS =

∫V

gradf dV ,∫∂V

v · n dS =

∫V

div v dV , (4.2)∫∂V

v × n dS = −∫V

rot v dV .

Infatti, (per dimostrare la (4.2)1):

∫∂V

f( 3∑i=1

nici

)dS =

∫V

3∑i=1

∂f

∂xici dV =

∫V

grad f dV . (4.3)

51

52 CAPITOLO 4. CINEMATICA DELLE MASSE

Per dimostrare la (4.2)2 (in notazione compatta)∫∂V

v · n dS =

∫∂V

vsns dS =

∫V

∂vs

∂xsdV =

∫V

div v dV . (4.4)

Per dimostrare la (4.2)3 (in notazione compatta)∫∂V

(v × n)r dS =

∫∂V

erijvinj dS =

∫V

erij∂vi∂xj

dV = −∫V

(rot v)r dV . (4.5)

Oppure (in notazione estesa e per la sola componente lungo x1)∫∂V

(v × n)1 dS =

∫∂V

(v2n3 − v3n2) dS

=

∫V

(∂v2

∂x3− ∂v3

∂x2) dV = −

∫V

(rotv)1 dV . (4.6)

4.2 Massa ed equazioni di bilancio per essa

Per descrivere la distribuzione di massa, relativamente alla configurazione attua-le b di un corpo continuo deformabile, si introduce la funzione continua ρ(x, t)detta densita euleriana di massa (in rapporto al volume). La massa m(∆v) dellagenerica porzione ∆v del corpo e espressa dalla relazione

m(∆v) =

∫∆v

ρ(x, t) dv. (4.7)

Applicando il teorema della media alla relazione (4.7) si ottiene

m(∆v) = ρ(x∗)∆v, (4.8)

con x∗ ∈ ∆v opportuno, da cui si ricava

ρ(x) = lim∆v→x

m(∆v)

∆v. (4.9)

Dalla relazione (4.9 ) e evidente il significato della densita (euleriana o spaziale)di massa ρ(x): e il limite del rapporto tra la massa di una regione e il suo volumequando la regione stessa tende al punto x.

Nella meccanica classica si ammette il principio di invariabilita della massa,si ritiene cioe che la massa di un corpo e di ogni sua porzione non dipenda daltempo ne dallo stato di moto del corpo. Poiche il corpo e deformabile e quindipossono esserci variazioni di volume durante il moto, e evidente che la densitaeuleriana di massa puo essere funzione del tempo oltre che del punto, come si eimplicitamente gia ammesso sopra:

ρ = ρ(x, t). (4.10)

Se ρ(x, t) non dipende da x si dice che il corpo, al tempo t, e omogeneo.In modo del tutto analogo si descrive la distribuzione di massa del corpo

nella configurazione iniziale, mediante una funzione continua ρ0(X) detta den-sita lagrangiana di massa definita nella regione B. Naturalmente la densitalagrangiana ρ0(X) non dipende dal tempo.

4.2. MASSA ED EQUAZIONI DI BILANCIO PER ESSA 53

4.2.1 Bilancio della massa in forma lagrangiana o mate-riale

Sia ∆V una porzione di B, e ∆v la corrispondente porzione all’istante attualet; dal principio di invariabilita della massa segue

m(∆V ) =

∫∆V

ρ0(X) dV =

∫∆v

ρ(x, t) dv = m(∆v). (4.11)

L’integrale che compare nel terzo membro della (4.11) si puo trasformare in unintegrale calcolato nella regione ∆V mediante la relazione∫

∆v

ρ(x, t) dv =

∫∆V

ρ(x(X, t), t)J(X, t) dV, (4.12)

ove J(X, t) = DetF e il determinante del gradiente di deformazione ossia lojacobiano della trasformazione di coordinate x = x(X, t). La relazione (4.11)tenuto conto di (4.12) diventa∫

∆V

ρ0(X) dV =

∫∆V

ρ(x(X, t), t) J(X, t) dV, ossia (4.13)

∫∆V

[ρ0(X)− ρ(x(X, t), t) J(X, t)] dV = 0. (4.14)

Poiche la relazione (4.14) e vera per ogni porzione ∆V del corpo e poiche lafunzione integranda e continua per ipotesi, segue dalla (4.14) l’annullarsi1 dellafunzione integranda in ogni punto X di B e quindi vale la

ρ(x(X, t), t) J(X, t) = ρ0(X), (ρ J = ρ0). (4.15)

La relazione (4.15) e detta equazione di bilancio della massa o equazione dicontinuita in forma lagrangiana o materiale, dato che e espressa in termini dellevariabili X.

* * * * * * * * *

Sia ora ∆v una porzione del continuo b all’istante t e f(x, t) una funzione(scalare o vettoriale) continua e con derivata parziale rispetto a t uniforme-mente continua in un aperto contenente ∆v. Vale allora la seguente regola diderivazione:

d

dt

∫∆v

ρf(x, t) dv =

∫∆v

ρdf

dt(x, t) dv. (4.16)

1Infatti se, per assurdo, la funzione integranda fosse diversa da zero e, ad esempio, positivain un punto X∗, allora (per il teorema di permanenza del segno) essa sarebbe positiva in tuttoun intorno I(X∗), cosicche l’integrale, esteso a quell’intorno, sarebbe positivo:∫

I(X∗)[ρ(x(X, t))J(X, t)− ρ0(X)] dV > 0,

in contraddizione con la (4.14).


Proof Sia ∆V la regione della configurazione iniziale corrispondente a ∆v;allora

d

dt

∫∆v

ρ(x, t)f(x, t) dv =d

dt

∫∆V

J(X, t)ρ(x(X, t), t) f(x(X, t), t) dV. (4.17)

Poiche ora il campo di integrazione risulta indipendente dal tempo e possibilederivare direttamente sotto il segno di integrale e per la (4.15) il secondo membrodi (4.17) diventa ∫

∆V

∂(ρ0(X)f(x(X, t), t))

∂tdV (4.18)

=

∫∆V

Jρ(x(X, t), t)∂f(x(X, t), t)

∂tdV =

∫∆v

ρ(x, t)df(x, t)

dtdv.

4.2.2 Bilancio della massa in forma euleriana o spaziale

Derivando la relazione (4.15) rispetto al tempo si ottiene

∂ρ(x(X, t), t)

∂tJ(X, t) + ρ(x(X, t), t)

∂J(X, t)

∂t= 0. (4.19)

Poiche la derivata ∂J(X, t)/∂t si puo esprimere nel seguente modo2

∂J

∂t= J divv

∣∣x=x(X,t)

, (4.20)

avendo indicato con v il campo euleriano di velocita, la (4.19) diventa

dρ

dt+ ρ div v = 0,

dρ(x, t)

dt+ ρ(x, t) div v = 0. (4.21)

Nell’equazione (4.21) dρ/dt e la derivata materiale; esplicitamente:

dρ(x, t)

dt=∂ρ(x, t)

∂t+∂ρ(x, t)

∂xsvs. (4.22)

2Per dimostrare la (4.20) si indichi con Ars il complemento algebrico di Frs ( si ricordi che

Frs = ∂xr∂Xs

e Ars = J(F−1)sr = J ∂Xs∂xr

). Poiche il determinante di una matrice e uguale al

prodotto dei termini di una riga per i rispettivi complementi algebrici si ha(a) J = DetF =

∑3s=1FrsArs

(la somma riguarda solo l’indice s). Poiche J dipende dal tempo tramite le Frs, si ha

(b)∂J

∂t=

3∑r,s=1

∂J

∂Frs

∂Frs

∂t.

Dalla (a) risulta ∂J∂Frs

= Ars e la (b) diventa

∂J

∂t=∑3r,s=1Ars

∂Frs

∂t=

3∑r,s=1

J∂Xs

∂xr

∂

∂t

∂xr

∂Xs=

3∑r,s=1

J∂Xs

∂xr

∂

∂Xs

∂xr

∂t=

=3∑

r,s=1

J∂Xs

∂xr

∂Vr

∂Xs=

3∑r,s,i=1

J∂Xs

∂xr

∂vr

∂xi

∂xi

∂Xs=

3∑r=1

J∂vr

∂xr

∣∣∣x

= x(X, t).

4.2. MASSA ED EQUAZIONI DI BILANCIO PER ESSA 55

Si osservi che la (4.22) puo anche essere scritta nella forma

dρ

dt=∂ρ

∂t+ grad ρ · v, (4.23)

avendo indicato con grad ρ il gradiente della funzione scalare ρ cioe il vettoredi componenti ∂ρ(x, t)/∂xs, con s = 1, 2, 3.

Se si sostituisce nell’equazione (4.21) la derivata dρ(x, t)/dt espressa dalla(4.22) si ottiene l’equazione :

∂ρ(x, t)

∂t+∂ρ(x, t)

∂xsvs + ρ(x, t) div v = 0; o anche (4.24)

∂ρ

∂t+ grad ρ · v + ρ div v = 0 (4.25)

che costituisce la forma euleriana o spaziale dell’equazione di continuita.Poiche div v = ∂vs/∂xs la (4.24) si puo anche scrivere nella forma

∂ρ

∂t+∂(ρvs)

∂xs= 0. (4.26)

Ricordando che per moti isocori risulta in ogni istante e in ogni punto del corpo,J(X, t) = 1, l’equazione di continuita lagrangiana (4.15) diventa

ρ(x(X, t), t) = ρ0(X). (4.27)

La derivata materiale di ρ risulta dunque nulla e dall’equazione di continuitaeuleriana (4.21) segue che questo accade se e solo se il campo spaziale dellevelocita ha divergenza nulla:

div v = 0. (4.28)

La (4.28) si dice condizione euleriana di incomprimibilita; si osservi che essa siricava anche derivando la relazione J = 1 e tenendo conto della (4.20).

4.2.3 Regione di controllo e conservazione della massa

Diremo che una regione fissa, R, dello spazio, limitata e regolare, e una regionedi controllo se essa risulta tutta contenuta nel continuo in ogni istante di unopportuno intervallo di tempo (t’, t”).

Integrando entrambi i membri della (4.26) sulla regione di controllo R siottiene ∫

R

∂ρ(x, t)

∂tdv +

∫R

∂(ρ(x, t)vr)

∂xrdv = 0. (4.29)

Per le (4.1), si puo trasformare l’ultimo integrale della (4.29) in un integralesulla frontiera di R:∫

R

∂ρ(x, t)

∂tdv +

∫∂R

ρ(x, t)vrnr ds = 0. (4.30)


Rv dt

ds

v

Figura 4.1: Regione di controllo

e, dato che la regione R e fissa, la (4.30) diventa

d

dt

∫R

ρ(x, t) dv = −∫∂R

ρ(x, t)v · n ds. (4.31)

Nella (4.31 ) si legge che la derivata rispetto al tempo della massa contenutanella regione di controllo R, e pari al flusso di massa che entra attraverso lafrontiera ∂R. Si osservi che la quantita −ρv ·n ds dt (v. Figura 4.1) rappresentala massa del cilindretto di materia che entra nel tempuscolo dt attraverso l’areads per effetto del moto del continuo.

4.3 Teorema Del Trasporto (di Reynolds)

La relazione (4.16) fornisce la regola di derivazione dell’integrale quando nel-la funzione integranda compare il fattore densita di massa ρ cioe quando lagrandezza di cui si vuole determinare derivata e espressa tramite la sua densitamassiva f per cui alla massa dm = ρ dv compete la quantia f dm = fρdv. Larelazione che verra stabilita in questo paragrafo vale anche quando la grandezzain questione sia espressa mediante la sua densita volumica.

Si consideri una porzione di continuo ∆v all’istante attuale t e sia g(x, t)il campo euleriano ( scalare oppure vettoriale) che rappresenta la densita divolume che compete a una determinata grandezza fisica G (ad esempio la massa,la quantita di moto, la quantita di calore ecc.). Conviene sottolineare che quantosegue vale anche per grandezze che non si conservano.

Si vuole valutare la derivata totale rispetto al tempo (rapidita di variazionein rapporto al tempo) della quantita totale di G che compete alla “porzione”∆v, cioe la quantita:

d

dt

∫∆v

g(x, t) dv. (4.32)

Si osservi che il precedente integrale dipende dal tempo tramite la densita g(x, t)e per il movimento della “porzione” ∆v stessa. In questo paragrafo col termine“porzione” si vuole intendere la parte del corpo, mentre col termine “regione”si vuole intendere la parte di spazio occupata dalla “porzione”.

4.3. TEOREMA DEL TRASPORTO (DI REYNOLDS) 57

Teorema 4.1 (del Trasporto, di Reynolds) La derivata della quantita di G checompete alla “porzione” di continuo ∆v e data dalla relazione

d

dt

∫∆v

g(x, t) dv =

∫∆v

∂g(x, t)

∂tdv +

∫∆s

g(x, t)v · n ds. (4.33)

Conviene precisare il significato dei due termini che compaiono a secondomembro di (4.33). Il primo: ∫

∆v

∂g(x, t)

∂tdv, (4.34)

rappresenta la rapidita di crescita che avrebbe la quantita di G contenuta nella“regione” ∆v pensata fissa nello spazio, a causa della dipendenza dal tempodella densita g(x, t). Il secondo:∫

∆s

g(x, t)v · n ds, (4.35)

rappresenta il flusso (associato alla velocita v con cui si sposta la frontiera ∆sdi ∆v) della quantita G attraverso ∆s pensata fissa nello spazio.

Si pensi ad esempio alla massa e alla sua densita ρ. La massa che competealla “porzione” di corpo ∆v non varia nel tempo quindi e nulla la quantita aprimo membro di (4.33) Dunque e nulla la somma dei due integrali a secondomembro: se ad esempio si incrementa la densita e quindi la massa della “regione”occupata da ∆v (integrale (4.34) positivo), dev’esserci un apporto complessivo dimassa (flusso entrante e quindi integrale (4.35) negativo) attraverso la frontieradi ∆v; se la massa della “regione” non subisce variazioni (integrale (4.34) nullo)allora non c’e apporto complessivo di massa attraverso la frontiera (integrale(4.35) nullo).

Nell’ambito della meccanica classica vale il principio di invariabilita dellamassa ma e noto che vi sono fenomeni (ad es nell’ambito della fisica nucleare)in cui si verifica una distruzione di materia contestuale a produzione di energiatermomeccanica. Se si abbandonasse il principio di invariabilita della massaritenendo suscettibile di variazioni la massa di una qualsiasi porzione del corposi dovrebbe ragionare nel seguente modo.

Il primo membro di (4.33), in generale, non sarebbe nullo in quanto potreb-be esserci produzione o distruzione di materia nella “porzione” ∆v. Si consi-deri il caso particolare in cui vi sia accrescimento della massa contenuta nella“porzione” ∆v, dovuto a creazione di materia , senza che vi sia flusso di massaattraverso la frontiera della “regione”. Vi sarebbe in tale caso un conseguenteaumento della densita di massa all’interno della “regione” ∆v: l’integrale (4.32)sarebbe positivo e uguale all’integrale (4.34) mentre sarebbe nullo l’integrale(4.35).

Oppure in seguito alla creazione di materia all’interno, potrebbe esserviugualmente un accrescimento della massa della “porzione” ∆v (primo membrodi (4.33) positivo) pur restando costante la densita di massa nella “regione”.


Cio significa che la “porzione” ∆v subisce una dilatazione con conseguente flus-so di massa attraverso la frontiera della “regione” ∆v (flusso di segno positivoin quanto uscente) che uguaglia il primo membro.Dim. (Del teorema di Reynolds.) Trasformando l’integrale a primo membrodi (4.33) in un integrale sul dominio ∆V , indipendente dal tempo, valgono lerelazioni (con la notazione F (X, t) := F (x(X, t), t) per una qualunque funzioneF = F (x, t) )

d

dt

∫∆v

g(x, t) dv =d

dt

∫∆V

J(X, t)g(x(X, t), t) dV = (4.36)

=

∫∆V

∂[J(X, t)g(X, t)]

∂tdV =

∫∆V

(∂g

∂tJ +

∂J

∂tg) dV =

∫∆V

(∂g

∂tJ + J g divv) dV.

Ritornando ora al dominio ∆v mediante la trasformazione inversa di coordinate(che ha il determinante Jacobiano dato da 1/J), l’ultimo membro di (4.36)diventa ∫

∆v

(dg

dt+ g divv) dv =

∫∆v

(∂g(x, t)

∂t+∂g(x, t)

∂xsvs + g divv) dv

=

∫∆v

(∂g(x, t)

∂t+∂[g(x, t)vs]

∂xsdv) =

∫∆v

∂g(x, t)

∂tdv +

∫∆s

g(x, t) v · n ds

e quindi vale la (4.33).

Capitolo 5

Meccanica dei mezzicontinui

5.1 Le forze esterne

Nello studio dei sistemi continui si suppone che su ogni corpo B agiscano delleforze esterne distribuite sia di massa che superficiali. Queste distribuzioni diforze sono rappresentate mediante campi vettoriali definiti rispettivamente nellaregione b occupata dal corpo all’istante t e sulla sua frontiera ∂b:

ρF(P, t) , P ∈ b , f(p, t) , p ∈ ∂b . (5.1)

Il risultante e il momento risultante delle forze esterne di massa sono definitidalle relazioni (x e il vettore posizionale OP )

R =

∫b

ρF dv , MO =

∫b

x× ρF dv . (5.2)

In modo analogo sono definiti il risultante e il momento risultante delle forzesuperficiali applicate sulla frontiera del corpo:

R(s) =

∫∂b

f ds , M(s)O =

∫∂b

x× f ds . (5.3)

Supporremo continue le funzioni F(P, t) e f(P, t), cosicche il risultante delle forzedi volume relative a una porzione interna ∆b e il risultante delle forze superficialirelative a una porzione di superficie esterna ∆Σe siano espressi, rispetto a unsistema di co-ordinate, da

Rj(∆b) =

∫∆b

ρF jdv = ∆v(ρF j)∗, Rj(∆Σe) =

∫∆Σe

f jds = ∆S(f j)∗, (5.4)

ove ∆v e ∆s denotano il volume di ∆b e l’area di ∆Σe, rispettivamente, e sie applicato alle componenti il teorema della media, indicando con ()∗ il valore

59

60 CAPITOLO 5. MECCANICA DEI MEZZI CONTINUI

medio della funzione in parentesi. Dalle (5.4) passando al limite si ha

ρ(P )F j(P ) = lim∆b→P

(ρF j)∗ = lim∆b→P

Rj(∆b)

∆v,

f j(P ) = lim∆Σe→P

(f j)∗ = lim∆Σe→P

Rj(∆Σe)

∆s. (5.5)

In notazione vettoriale

ρ(P )F(P ) = lim∆b→P

R(∆b)

∆v, f(P ) = lim

∆Σe→P

R(∆Σe)

∆s. (5.6)

Dalle (5.6) appare evidente che ρ(P )F(P ) ha il significato di densita di forza inrapporto al volume mentre f(P ) e una densita di forza in rapporto alla superfi-cie. I vettori ρF dv, f ds rappresentano la forza applicata al volume infinitesimodv e, rispettivamente, alla superficie infinitesima dΣe.

5.2 Equazioni di bilancio dei risultanti e dei mo-menti

Analogamente a quanto visto per le forze di massa si possono definire il risultantee il momento risultante delle forze d’inerzia:

−R(m) =

∫b

ρa dv , −M (m)O =

∫b

x× ρa dv , (5.7)

dove a denota l’accelerazione euleriana (e nel seguito v la velocita euleriana). Leequazioni cardinali della dinamica per l’intero corpo nella configurazione attualeb:

−R(m) = R(e) , −M (m)O = M

(e)O (5.8)

si possono allora scrivere nella forma∫b

ρa dv =

∫b

ρF dv +

∫∂b

f ds , (5.9)

∫b

x× ρa dv =

∫b

x× ρF dv +

∫∂b

x× f ds , (5.10)

La (5.9) si dice anche equazione di bilancio dei risultanti (in inglese: linearmomentum balance law), la (5.10) equazione di bilancio dei momenti (in inglese:angular momentum balance law).

5.3 Forze interne di contatto

Sia P un punto interno al corpo, n un versore e π il piano per P ortogonale an. Il piano π seziona idealmente il corpo in due porzioni: chiameremo positiva

5.3. FORZE INTERNE DI CONTATTO 61

quella in cui penetra il vettore applicato (P,n), negativa l’altra. Secondo ilcosiddetto postulato del taglio di Cauchy, le forze interne che la parte positivaesercita sulla parte negativa, attraverso la superficie Σi, intersezione del pianoπ col corpo, costituiscono un sistema di forze distribuite su Σi, rappresentabilida una densita superficiale di forza t(n, P ). Le forze in considerazione hannocarattere di forze interne di contatto che si esercitano tra particelle adiacentidel corpo, separate dalla superficie Σi.

n

t(n , P)

+

-

P

ΔΣ iΣ i

a)

Figura 5.1: Forze interne di contatto

Per precisare il significato di t(n, P ) si consideri un elemento ∆Σi di Σi,contenente P , di area ∆s (Figura 5.1 a)) e sia R(∆Σi) il risultante delle forzeinterne di contatto che la parte positiva del corpo esercita sulla parte negativaattraverso la superficie ∆Σi. Si pensi di variare la superficie ∆Σi sul piano π,in modo da contenere sempre il punto P , facendo tendere a zero il suo diame-tro massimo. In corrispondenza la forza tendera a zero ma si ammette che ilrapporto R(∆Σi)/∆s abbia limite finito t(n, P ):

lim∆Σi→P

R(∆Σi)

∆s= t(n, P ). (5.11)

Per il limite (5.11) si ammette che:

1) dipenda dal punto P ;

2) dipenda dalla giacitura della superficie ∆Σi e quindi da n (a due superfici∆Σ′i e ∆Σ′′i , entrambe contenenti P ma di giaciture diverse, in generalecorrispondono diversi risultanti R(∆Σ′i), R(∆Σ′′i ), delle forze interne dicontatto;

3) sia sempre il medesimo, qualunque sia la superficie (regolare) su cui sisceglie la porzione ∆Σi, purche tale superficie abbia in P piano tangentedi normale n (Figura 5.1 b));

4) si ammette inoltre che la funzione t(n, P ) sia continua rispetto sia alleco-ordinate di P che alle componenti di n.


Il vettore t(n, P ) e detto tensione relativa al punto P e alla direzione n. Ilprodotto

t(n, P ) ds (5.12)

rappresenta il risultante delle forze interne di contatto esercitate dalla parte dicontinuo in cui penetra n sull’altra parte, attraverso la superficie dΣi di normalen e di misura ds.

In generale la tensione t(n, P ) non ha la stessa direzione di n, quindi sidecompone secondo la direzione n e la giacitura ad essa ortogonale (Figura 5.1c)). La componente lungo n

tn = (t(n, P ) · n) n (5.13)

si chiama tensione normale; essa ha carattere di pressione o di trazione se risultat(n, P ) ·n < 0 o t(n, P ) ·n > 0, rispettivamente. La componente della tensioneortogonale a n, cioe

tτ = t(n, P )− tn , (5.14)

si chiama tensione tangenziale; essa rappresenta quella parte della sollecitazioneinterna che tende a produrre scorrimento tra le due parti di continuo lungo ilpiano π. Con riferimento alla definizione del prodotto tensoriale di due vettori,la tensione normale e la tensione tangenziale si possono esprimere anche nelseguente modo:

tn = (n⊗ n) t(n, P ), tτ = (I − n⊗ n) t(n, P ) . (5.15)

Si indichi con t(−n, P ) la tensione che la parte negativa esercita su quellapositiva del corpo, cioe il limite ottenuto con il procedimento che ha portatoalla (5.11) assumendo ora −n come versore normale in P e scambiando diconseguenza i ruoli della parte positiva e negativa del corpo. Per il principio diazione e reazione si ha evidentemente

t(−n, P ) = −t(n, P ) . (5.16)

In generale le forze interne di contatto agenti sull’elemento di superficie dΣdanno luogo anche ad una densita di momento (coppie di contatto). Nellateoria dei continui classici tale densita si ritiene trascurabile. Tuttavia esistonodei particolari materiali, come ad esempio i cristalli liquidi, per i quali non elecito trascurare la densita di momento; per questi corpi e stata sviluppata lateoria dei continui con struttura o teoria dei continui di Cosserat.

5.4 Le equazioni di bilancio per una porzioneinterna

Supporremo nel seguito di poter trascurare le forze interne a distanza, come adesempio le forze di gravitazione universale che mutuamente si esercitano dueelementi materiali del corpo, tenendo in considerazione solo le forze interne di

5.5. IL TENSORE DI STRESS 63

ds

ds

n

t(n )

∆Σ∆Β

Figura 5.2: Bilancio per una porzione interna

contatto rappresentate dalla tensione t(n, P ). Le equazioni (5.9), (5.10) sonovalide anche per quel particolare sistema continuo costituito da una arbitrariaporzione regolare ∆b di b tutta interna al continuo, tenendo presente che leforze agenti sulla frontiera ∆Σ di ∆b, di natura interna al continuo, sono daconsiderarsi esterne rispetto alla porzione ∆b (v.Figura 5.2). Allora (5.9), (5.10)diventano: ∫

∆b

ρa dv =

∫∆b

ρF dv +

∫∆Σ

t(n, P ) ds , (5.17)∫∆b

x× ρa dv =

∫∆b

x× ρF dv +

∫∆Σ

x× t(n, P ) ds . (5.18)

L’equazione (5.17) proiettata sugli assi co-ordinati diventa∫∆b

ρ ar dv =

∫∆b

ρF r dv +

∫∆Σ

tr(n, P ) ds . (5.19)

Poiche si ammette che tutte le funzioni integrande siano continue, applicando ilteorema della media alle (5.19) si ricava:

∆b(ρ ar)∗ = ∆b(ρF r)∗ + ∆s(tr)∗ , r = 1, 2, 3. (5.20)

Come detto sopra, nelle (5.20) il simbolo ()∗ rappresenta il valore medio dellafunzione contenuta in parentesi, valore che viene assunto in un opportuno puntodel relativo insieme di integrazione.

5.5 Il tensore di stress

Dato un punto P interno al continuo e la direzione n non appartenente ad unpiano co-ordinato, si consideri il tetraedro avente tre facce parallele ai piani co-ordinati e passanti per P , e una faccia –la base– ortogonale a n con n esternaal tetraedro e distante h da P . Indicheremo con ∆Σ1, ∆Σ2, ∆Σ3 e ∆Σn,


- c n

3

3

- c

22

2

1

1

- cp

A

AA∆s 1∆s

3∆sn∆s

Figura 5.3: Tetraedro di Cauchy

rispettivamente, le facce ortogonali a c1, c2, c3 e n (v. Fig. 5.3 b)); indicheremole loro misure con ∆sr = mis ∆Σr e ∆sn = mis ∆Σn; naturalmente h e ladistanza di P da ∆Σn. Per maggiore semplicita tratteremo per primo il casoin cui il vettore n ha tutte e tre le componenti positive rispetto alla ternaortonormale di riferimento. Successivamente verra trattato il caso generale, conn di direzione qualsiasi.

Proposizione 5.1 Valgono le seguenti relazioni:

∆sr = ∆sn nr r = 1, 2, 3. (5.21)

Dim. Detti P,A1, A2, A3 i vertici del tetraedro, con A1, A2, A3 succedentesiin verso antiorario rispetto a n, si ha cj = versPAj , quindi PAj = aj cj , ovel’indice j non e sommato e le componenti aj sono tutte positive. Non e difficileverificare che

A1A2 ×A1A3 = 2∆sn n , (5.22)

da cui, scrivendo, ad esempio, A1A2 come A1P + PA2 si ottiene

A1A2 ×A1A3 = (−a1c1 + a2c2)× (−a1c1 + a3c3)= a2a3c1 + a1a3c2 + a1a2c3 (5.23)

= 2∆sn(n1c1 + n2c2 + n3c3) .

Tenuto conto che a2a3 = 2∆s1 e l’area della faccia del tetraedro ortogonale ac1 e che analogamente si ha a1a3 = 2∆s2 e a1a2 = 2∆s3, le (5.23) implicano la(5.21).

Ricordiamo che il volume del tetraedro e dato da ∆V = (h∆sn)/3.

Teorema 5.2 (del tetraedro di Cauchy) La tensione t(n, P ) relativa al puntoP e alla direzione n si ottiene mediante la seguente combinazione lineare delletre tensioni relative al punto P e alle direzioni co-ordinate:

t(n, P ) = n1t(c1, P ) + n2t(c2, P ) + n3t(c3, P ) =

3∑i=1

nit(ci, P ). (5.24)


Dim. Si consideri l’equazione (5.17) applicata al tetraedro ∆b appena descritto;ricordando che le normali esterne a ∆Σr e ∆Σn sono −cr e n, rispettivamente,l’integrale di superficie che compare in (5.17) si scrive come somma di quattrointegrali eseguiti sulle facce del tetraedro:∫

∆Σ

t dS =

∫∆Σ1

t(−c1, P ) ds+

∫∆Σ2

t(−c2, P ) ds+

+

∫∆Σ3

t(−c3, P ) ds+

∫∆Σn

t(n, P ) ds (5.25)

=

3∑r=1

∫∆Σr

t(−cr, P ) ds+

∫∆Σn

t(n, P ) ds

(P indica il generico punto varabile nell’intervallo di integrazione). Pertanto leequazioni (5.20) tenuto conto di (5.21) e (5.25) diventano

h∆sn3

(ρ ar)∗ =h∆sn

3(ρF r)∗ −

3∑i=1

∆sn ni (tr(ci))∗

+∆sn (tr(n))∗, r = 1, 2, 3. (5.26)

Dividendo entrambi i membri per ∆sn e passando al limite per h che tende azero (il volume si racchiude sul punto P ), le (5.26) diventano

tr(n, P ) =

3∑i=1

ni tr(ci, P ), r = 1, 2, 3 (5.27)

Le (5.27) non sono altro che la proiezione della (5.24) sull’asse di indice r. Siosservi che, ad esempio,

limh→0

(tr(n))∗ = lim∆b→p

(tr(n))∗ = tr(n, P ) (5.28)

per la continuita delle funzioni tr(n, P ) rispetto a P . Per continuita tr(n, P )rispetto a n la (5.24) vale anche per gli n che appartengono ai piani co-ordinati.

* * * * * * * * * *

Per trattare il caso generale in cui il vettore n non ha tutte e tre le compo-nenti positive rispetto alla terna ortonormale di riferimento (n non appartengaal primo ottante), si introduca la terna non necessariamente levogira, di origineP e versori

kj = sgn(cj · n) cj = sgn(nj) cj , j = 1, 2, 3, (5.29)

dove sgn denota la funzione segno. Rispetto a tale terna le componenti di nrisultano positive: si ha n · kj = |nj |. Inoltre, costruito il tetraedro come nelcaso precedente, la faccia ∆Σr ha −kr come normale esterna.

Proposizione 5.3 Valgono le seguenti relazioni:

∆sr = ∆sn |nr| = ∆sn nr sgnnr , r = 1, 2, 3. (5.30)


Dim. Detti P,A1, A2, A3 i vertici del tetraedro, con A1, A2, A3 succedentesiin verso antiorario rispetto a n, poniamo kj = versPAj , quindi pAj = aj kj ,ove l’indice j non e sommato e le componenti aj sono tutte positive. Non edifficile verificare che esiste una permutazione p : (1, 2, 3) → (1, 2, 3) tale chekj = kp(j) , j = 1, 2, 3. Inoltre

A1A2 ×A1A3 = 2∆sn n , (5.31)

da cui, ponendo

nj := n · kj = |np(j)| , (5.32)

e scrivendo, ad esempio, A1A2 come A1P + PA2 si ottiene

A1A2 ×A1A3 = (−a1k1 + a2k2)× (−a1k1 + a3k3)= a2a3k1 + a1a3k2 + a1a2k3 (5.33)

= 2∆sn(n1k1 + n2k2 + n3k3) .

Tenuto conto che a2a3 = 2∆sp(1) e l’area della faccia del tetraedro ortogonale ak1, cioe a kp(1), e che analogamente a1a3 = 2∆sp(2) e a1a2 = 2∆sp(3), le (5.33)implicano

∆sp(r) = ∆sn nr = ∆sn |np(r)| , r = 1, 2, 3 . (5.34)

e quindi le (5.30).

La dimostrazione del Teorema 5.2 si adatta nel seguente modo.Dim. Si consideri l’equazione (5.17) applicata al tetraedro ∆b appena descritto;ricordando che le normali esterne a ∆Σr e ∆Σn sono −kr e n, rispettivamente,l’integrale di superficie che compare in (5.17) si scrive come somma di quattrointegrali eseguiti sulle facce del tetraedro:∫

∆Σ

t dS =

∫∆Σ1

t(−k1, P ) dS +

∫∆Σ2

t(−k2, P ) dS+

+

∫∆Σ3

t(−k3, P ) dS +

∫∆Σn

t(n, P ) dS (5.35)

=

3∑r=1

∫∆Σr

t(−kr, P ) dS +

∫∆Σn

t(n, P ) dS .

Pertanto le equazioni (5.20), tenuto conto di (5.21) e (5.25), diventano

h∆sn3

(ρ ar)∗ =h∆sn

3(ρF r)∗ −

3∑i=1

∆sn|ni|(tr(ki))∗ + ∆sn(tr(n))∗ (5.36)

con r = 1, 2, 3. Dividendo entrambi i membri per ∆sn e passando al limite perh che tende a zero (il volume si racchiude sul punto P ), le (5.36) diventano

tr(n, P ) =

3∑i=1

|ni| tr(ki, P ) =

3∑i=1

|ni| (sgnni) tr(ci, P ) (5.37)


che e la (5.24) proiettata sull’asse di indice r. Si osservi che, ad esempio,

limh→0

(tr(n))∗ = lim∆b→p

(tr(n))∗ = tr(n, P ) (5.38)

per la continuita delle funzioni tr(n, P ) rispetto a P . Per la continuita ditr(n, P ) rispetto a n la (5.24) vale anche per gli n che appartengono ai pianico-ordinati.

Sia σ(P ) il tensore definito, in ogni punto P del corpo, dalla relazione

σ(P ) =

3∑i=1

t(ci, P )⊗ ci; (5.39)

esso e rappresentato, nella base c1, c2, c3, dalla matrice σ(P ) di componenti

σrs = cr · σcs = t(cs, P ) · cr = tr(cs, P ) . (5.40)

Si osservi che σrs e la componente lungo la direzione cr della tensione relativaalla direzione cs.

Proposizione 5.4 La relazione (5.24) equivale alla seguente:

t(n, P ) = σ(P )n . (5.41)

Dim. (In notazione diretta). Dalla relazione (5.24) segue

t(n, P ) =

3∑i=1

nit(ci, P ) =

3∑i=1

t(ci, P ) ci · n

=

3∑i=1

(t(ci, P )⊗ ci

)n = σn . (5.42)

Dim. (Alternativa, in componenti). Dalla relazione (5.24) segue, tenendo contodi (5.40), (per brevita si omette nella notazione la dipendenza di t da P )

t1(n) = t1(c1)n1 + t1(c2)n2 + t1(c3)n3 = σ11n1 + σ12n2 + σ13n3 ,t2(n) = t2(c1)n1 + t2(c2)n2 + t2(c3)n3 = σ21n1 + σ22n2 + σ23n3 , (5.43)

t3(n) = t3(c1)n1 + t3(c2)n2 + t3(c3)n3 = σ31n1 + σ32n2 + σ33n3 .

Le (5.43) sono equivalenti alla relazione t1(n)t2(n)t3(n)

=

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

n1

n2

n3

, (5.44)

che costituisce la rappresentazione in componenti di (5.41).


τ

σ

σxyτ yx

τ

ττ

τ

yz

zyzx

xz

z

yσx

Figura 5.4: Notazione ingegneristica delle tensioni

Il tensore σ(P ) si chiama tensore di stress (di Cauchy) e, in generale, dipendedal punto P del corpo. La colonna j-esima della matrice σ e costituita dallecomponenti della tensione t(cj):σ1j

σ2j

σ3j

=

t1(cj)t2(cj)t3(cj)

. (5.45)

Si osservi che

a) il termine diagonale σii = ti(ci) (componente lungo ci della tensione rela-tiva alla faccia di normale ci (v. Fig. 5.4), ha carattere di tensione normalerelativa a tale faccia;

b) il termine σir = ti(cr), con i 6= r (componente lungo ci della tensionerelativa alla faccia di normale cr (v. Fig. 5.4), ha carattere di tensionetangenziale.

In notazione ingegneristica la matrice di stress si scrive:

σ =

σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

, (5.46)

avendo indicato con i simboli σ e τ le componenti che hanno carattere di tensionenormale e, rispettivamente, tangenziale.

5.6 Forma locale dell’equazione di bilancio deirisultanti

Tenendo conto della relazione (5.41) l’equazione di bilancio (5.17) relativa a unaporzione ∆b interna diventa∫

∆b

ρa dv =

∫∆b

ρF dv +

∫∆Σ

σn ds (5.47)

5.6. FORMA LOCALE DEL BILANCIO DEI RISULTANTI 69

e proiettata sugli assi co-ordinati da luogo alle tre equazioni scalari∫∆b

ρar dv =

∫∆b

ρF r dv +

∫∆Σ

σrsns ds , r = 1, 2, 3. (5.48)

L’ultimo integrale del secondo membro di (5.48) si trasforma in un integrale divolume mediante la relazione (4.2)2:∫

∆Σ

σrsns ds =

∫∆b

∂σrs

∂xsdv . (5.49)

Le (5.48) allora diventano∫∆b

(ρar − ρF r − ∂σrs

∂xs)dv , r = 1, 2, 3. (5.50)

Poiche l’integrale (5.50) e nullo per ogni regione interna al continuo e poiche lafunzione integranda e continua, essa risulta necessariamente nulla in ogni puntodel corpo. Quindi

ρar = ρF r +∂σrs

∂xs, r = 1, 2, 3. (5.51)

Scriviamo esplicitamente la somma sottointesa in (5.51) per l’indice s:

ρar = ρF r +∂σr1

∂x1+∂σr2

∂x2+∂σr3

∂x3, r = 1, 2, 3. (5.52)

Le equazioni (5.52) scritte per esteso, in co-ordinate cartesiane x, y, z e usandola notazione ingegneristica per lo stress, diventano:

ρx = ρFx +∂σx∂x

+∂τxy∂y

+∂τxz∂z

ρy = ρFy +∂τyx∂x

+∂σy∂y

+∂τyz∂z

(5.53)

ρz = ρFz +∂τzx∂x

+∂τzy∂y

+∂σz∂z

.

Le equazioni (5.51)-(5.53), dove si intende xr = ∂vr

∂t+ ∂vr

∂xsvs hanno forma eule-

riana e valgono in ogni punto interno della configurazione b del corpo ; si diconoequazioni indefinite della dinamica dei corpi deformabili o anche equazioni delmoto di Cauchy o ancora forma locale della prima equazione di bilancio.

Nel caso statico le equazioni (5.52) e (5.53) diventano

0 = ρF r +∂σr1

∂x1+∂σr2

∂x2+∂σr3

∂x3, r = 1, 2, 3, (5.54)

0 = ρFx +∂σx∂x

+∂τxy∂y

+∂τxz∂z


0 = ρFy +∂τyx∂x

+∂σy∂y

+∂τyz∂z

(5.55)

0 = ρFz +∂τzx∂x

+∂τzy∂y

+∂σz∂z

,

rispettivamente, e costituiscono le equazioni indefinite dell’equilibrio, o di Cau-chy, dei corpi deformabili.

In notazione diretta le equazioni (5.51) assumono la seguente espressione:

ρa = ρF + divσ , (5.56)

dove divσ e il vettore di componenti

(divσ)r =∂σrs

∂xs, (5.57)

detto divergenza del tensore σ.

5.7 Simmetria del tensore di stress

La seconda equazione di bilancio nella teoria dei continui classici (cioe senzacoppie di contatto) ha come unica conseguenza la seguente

Proposizione 5.5 Il tensore di stress σ e simmetrico:

σ = σt , σij = σji (i, j = 1, 2, 3). (5.58)

Dim. Sia ∆b la configurazione attuale di un’arbitraria porzione di un siste-ma continuo. Supponiamo che il moto sia di classe C2, il tensore dello stressdi classe C1 e la forza di massa specifica F sia continua. Allora in ogni puntodella configurazione attuale b del sistema vale l’equazione indefinita (5.51), chee localmente equivalente alla prima equazione cardinale. Consideriamo un si-stema di co-ordinate cartesiane ortogonali e scegliamo il polo O coincidente conl’origine. In componenti, usando il tensore di Ricci, l’equazione di bilancio deimomenti (5.18) diviene∫

∆b

eijk xj ρ (ak − F k) dv −

∫∆Σ

eijk xj tk(n) ds = 0 . (5.59)

Trasformiamo l’integrale superficiale usando prima il teorema del tetraedro diCauchy per esprimere t(n) e poi il teorema della divergenza:

0 =

∫∆b


∫∆Σ

eijk xj σkr nr ds

=

∫∆b


∫∆b

eijk (xj σkr),r dv (5.60)

=

∫∆b

eijk xj [ρ (ak − F k)− σkr,r] dv −

∫∆b

eijk δjr σ

kr dv .

5.8. CONDIZIONI AL CONTORNO 71

Il primo integrale in (5.60)3 si annulla perche si annulla la parentesi quadranella funzione integranda grazie all’equazione indefinita. Poiche l’integrandonel secondo integrale e continuo, l’integrale esteso all’arbitrario ∆b si annulla see solo se si annulla in b l’integrando per i=1,2,3:

0 = eijk δjr σ

kr = eirk σkr , cioe σkr = σrk , k, r = 1, 2, 3 . (5.61)

Infatti ponendo, ad esempio, i = 1 si ottiene e123σ23 + e132σ

32 = σ23 − σ32 = 0ossia σ23 = σ32; ripetendo il procedimento per i=2, 3 si giunge alla (5.58).

Quindi, se supponiamo che valgano la prima equazione cardinale e le con-dizioni di regolarita enunciate sopra, vediamo che la simmetria del tensore distress di Cauchy e localmente equivalente alla seconda equazione cardinale.

In notazione ingegneristica le relazioni di simmetria (5.58) diventano

τxy = τyx, τxz = τzx, τyz = τzy . (5.62)

Il significato fisico delle (5.62) e immediato: nella prima, ad esempio, si leggeche la componente (di taglio), lungo la direzione x, della tensione relativa allasuperficie di normale y, e uguale alla componente (di taglio), lungo la direzioney, della tensione relativa alla superficie di normale x. Piu in generale dallasimmetria del tensore di stress σ segue che per ogni coppia di versori m e nrisulta

m · t(n) = n · t(m) . (5.63)

5.8 Condizioni al contorno

Sia P un punto della frontiera del corpo e n il versore ad essa normale rivoltoverso l’esterno. Detto P ′ un punto interno prossimo a P si consideri il volume∆b delimitato da tre facce per P ′ parallele ai piani co-ordinati e dalla frontierastessa (v. Fig. 5.5 a)). Se ∆b e molto piccolo la porzione di frontiera ∆Σ siconfonde con una porzione del piano tangente in P di normale n e quindi ∆b siconfonde con un tetraedro. Sulla faccia ∆Σ agiscono le forze superficiali esternedi densita f(P ). Applicando a ∆b lo stesso procedimento usato per il teoremadel tetraedro di Cauchy si giunge alla relazione, analoga alla (5.26),

h∆sn3

(ρar)∗ =h∆sn

3(ρF r)∗ −

3∑i=1

∆sn ni (tr(ci))∗ + ∆sn (fr)∗ , r = 1, 2, 3.

(5.64)Dividendo ambo i membri di quest’equazione per ∆sn e facendo tendere h azero –e di conseguenza P ′ a P– si ottiene

fr(P ) =

3∑i=1

nitr(ci, P ) (5.65)

che, tenuto conto delle (5.24),(5.41) si possono anche scrivere in una delleseguenti forme:

t(n, P ) = f(P ), σ(P )n = f(P ), σrsns = fr(P ); (5.66)


f ds

f ds

bf

v*

-nn’

n

t(-n )ds

∂

bf∂

b∆σ

∂v

b∂v

i

∆σe

a) b) c)

ε

Figura 5.5: Condizioni al contorno

σxnx + τxyny + τxznz = fx(P ), (5.67)

τyxnx + σyxny + τyznz = fy(P ), τzxnx + τzyny + σznz = fz(P ),

la condizione (5.67) e in notazione ingegneristica. Le (5.66) valgono sulla fron-tiera ∂b del corpo e sono dette condizioni al contorno. Le (5.66) dicono che latensione t(n, P ), valutata nel punto P della frontiera di normale n, uguaglia ladensita di forza superficiale f(P ).

Le condizioni al contorno di tipo (5.66) presuppongono la conoscenza delladensita di forza superficiale applicata alla frontiera del continuo.

Talvolta risulta a priori assegnato, al posto della distribuzione superficialedi forze sulla frontiera o su parte di essa, il campo superficiale di velocita checompetono alla frontiera o a una sua parte. Cio si verifica ad esempio quando unvincolo esterno obbliga certe zone della frontiera a muoversi in modo assegnato.In tale caso le condizioni al contorno vengono date mediante assegnazione delcampo superficiale di velocita:

v(P ) = v∗(P ) per P ∈ ∂vb , (5.68)

avendo indicato con ∂vb la porzione di frontiera vincolata.Piu in generale (v. Fig. 5.5) si possono dare delle condizioni al contorno

in cui parte della frontiera, ∂fb, e soggetta a una distribuzione superficiale diforze assegnata mentre l’altra parte, ∂vb, e soggetta ad un campo assegnato divelocita:

σ(p)n = f(P ) per P ∈ ∂fb, v(P ) = v∗(P ) per P ∈ ∂vb,con ∂fb ∩ ∂vb = ∅ . (5.69)

Evidentemente puo essere f(P ) = 0 cosı come v∗(P ) = 0.E questo il caso ad esempio di una diga: parte della frontiera ∂fb e soggetta

alla pressione nota dell’acqua, secondo la (5.146) piu sotto; sulla parte di ∂fbche e a contatto con l’aria si ha f(P ) = 0 e la frontiera ∂vb e quella ancorata alsuolo cui si attribuisce la condizione v∗(P ) = 0.

5.9. FORMA MATERIALE DELLE EQUAZIONI DEI CONTINUI 73

Sulla porzione di frontiera ∂vb agisce una distribuzione superficiale di forzeche ha carattere di reazione esplicata nel contatto col vincolo e la cui densitasuperficiale, r(p), si presenta come una incognita soddisfacente le relazioni

σ(P )n = r(P ). (5.70)

5.9 Forma materiale delle equazioni dei continui

Le equazioni del moto di Cauchy (5.51) e quelle della statica (5.54) sono espressein forma spaziale (euleriana). Volendo una forma materiale (lagrangiana) di taliequazioni si procede nel seguente modo. Si tratta di scrivere l’equazione (5.17)di bilancio dei risultanti all’istante t, che qui richiamiamo:∫

∆b

ρa dv =

∫∆b

ρF dv +

∫∆Σ

t(n, P ) ds ,

mediante integrali eseguiti sulla configurazione iniziale B, indeformata, anzichesulla configurazione attuale b deformata. Per la formula di trasformazione degliintegrali per trasformazione delle variabili d’integrazione e per l’equazione dicontinuita in forma lagrangiana i due integrali di volume che compaiono nella(5.17) e che forniscono il risultante delle forze a distanza e delle forze d’inerzia,si possono scrivere come segue:∫

∆b

ρF(x) dv =

∫∆B

ρF(x(X))J dV =

∫∆B

ρ0F(x(X)) dV, (5.71)

∫∆b

ρa(x, t) dv =

∫∆B

ρA(X, t)J dV =

∫∆B

ρ0A(X, t) dV , (5.72)

dove A e il vettore lagrangiano di accelerazione: A = ∂2x(X,t)∂t2 .

Per trasformare l’espressione del risultante delle forze superficiali si introduceun tensore P definito in B tale che∫

∆Σ

σn ds =

∫∆s

PN dS . (5.73)

Cio equivale a definire il tensore P mediante la seguente relazione:

PN dS = σn ds , (5.74)

dove dS e l’area di un elemento di superficie indeformata di normale N cuicorrisponde l’elemento di superficie deformata di normale n e di area ds .

Per precisare meglio il legame tra P e σ si ricordi la relazione (1.52)

dsn = dS J F−TN ; (5.75)

dalle (5.74), (5.75) seguono le relazioni

P = JσF−T , P rL = Jσrk∂XL

∂xk, (5.76)


Figura 5.6: Significato geometrico del tensore di Piola

e quindi le inverse

σ = J−1P F t , σrs = J−1P rL∂xs

∂XL. (5.77)

Il tensore P cosı definito e detto tensore di stress di Piola. E evidente dalle(5.76) che il tensore P non e simmetrico in generale.

Il tensore di Piola da luogo a una distribuzione (fittizia) di forze sulla regioneB, introdotta al solo scopo di eseguire il calcolo di un integrale sull’insieme in-deformato ∆B. Si osservi che, dalla (5.74), la forza risultante calcolata sull’areadS indeformata e uguale alla forza risultante che agisce sull’area deformata ds.Pertanto PN ha significato di forza specifica per unita di area indeformata,mentre σn ha significato di forza specifica per unita di area deformata. Dunqueentrambi i vettori PN e σn rappresentano densita di forze interne di contat-to che si manifestano nel corpo deformato, cioe nella configurazione attuale;densita che e valutata in rapporto all’area indeformata per PN , in rapportoall’area deformata per σn.

Tenuto conto delle (5.71),(5.72), (5.73) l’equazione (5.17) di bilancio deirisultanti diventa ∫

∆B

ρ0(F r −Ar) dV +

∫∆S

P rLNL dS = 0 . (5.78)

Trasformando l’ultimo integrale (di superficie) in un integrale di volume me-diante la formula (4.1) si ottiene∫

∆B

[ρ0(F r −Ar) +∂P rL

∂XL] dV = 0 . (5.79)

Da questa equazione, per la continuita della funzione integranda e l’arbitrarietadel campo di integrazione, segue

ρ0∂2xr(X, t)

∂t2= ρ0F

r +∂P rL

∂XL, (5.80)

5.9. FORMA MATERIALE DELLE EQUAZIONI DEI CONTINUI 75

Figura 5.7: Significato geometrico del tensore simmetrico di Piola-Kirchhoff

valida in ogni punto interno della regione B. Nel caso statico le accelerazioni siannullano e la (5.80) diventa

ρ0Fr +

∂P rL

∂XL= 0 . (5.81)

Le (5.80), (5.81) costituiscono la forma materiale delle equazioni della dinamicae, rispettivamente, della statica dei sistemi continui; infatti i primi membri sonoespressi tramite le co-ordinate Xr, r = 1, 2, 3 dei punti di B.

Un altro tensore utilizzato per avere una rappresentazione materiale dellostress, e il secondo tensore di stress di Piola-Kirchhoff, Σ, cosı definito:

ΣN dS = F−1σn ds = F−1PN dS . (5.82)

Dalle relazioni (5.76),(5.82) seguono

Σ = JF−1σF−T , σ = F−1P , P = FΣ , (5.83)

e quindi, in componenti,

ΣLM = Jσij∂XL

∂xi∂XM

∂xj, ΣLM =

∂XL

∂xiP iM , P iL =

∂xi

∂XMΣML . (5.84)

Il secondo tensore di stress di Piola-Kirchhoff, Σ, e simmetrico:

ΣT = J(F−T )TσT (F−1)T = J F−1σF−T = Σ . (5.85)

Mediante semplice sostituzione delle (5.84)3 nelle equazioni (5.80), (5.81) siottengono equazioni del moto o della statica in forma materiale, che coinvolgonoil secondo tensore (simmetrico) di Piola-Kirchhoff:

ρ0∂2xr(X, t)

∂t2= ρ0F

r +∂

∂XL(∂xr

∂XMΣML) = 0 , (5.86)


valide in ogni punto interno della regione B. Il significato del secondo tensoresimmetrico di Piola-Kirchhoff si puo dedurre dalla relazione

FΣN dS = σn ds (5.87)

ottenuta dalla (5.82) moltiplicandone ambo i membri per F . Per ottenere laforza σn ds agente sull’area deformata ds e sufficiente trasformare il vettoreΣN dS mediante il gradiente di deformazione F come se si trattasse di unelemento lineare.

5.10 Cenno alle equazioni costitutive

Le equazioni (5.51),(4.24) (con le condizioni al contorno (5.66), e le condizioniiniziali) valgono durante il moto di un qualsiasi continuo (purche non sia diCosserat) indipendentemente dal materiale da cui e costituito. Cio significa cheil sistema di equazioni trovate non e sufficiente per la determinazione del motodel continuo, determinare cioe le funzioni incognite σrs(x, t), xr(t) e ρ(t) postoche siano assegnati: inizialmente l’atto di moto e la densita di massa e, in ogniistante, le condizioni al contorno e le forze di massa. Tale indeterminazionerisulta evidente se si confronta il numero delle funzioni incognite, 10, con ilnumero di equazioni disponibili, 4. E evidente che per rendere determinato ilproblema occorre precisare le caratteristiche fisiche del particolare materiale checostituisce il continuo.

Tale precisazione viene fatta attraverso delle equazioni che vengono detteequazioni costitutive. Le equazioni costitutive possono riguardare: i vincoliinterni al materiale, la natura delle tensioni interne, la loro dipendenza dallealtre variabili. Ecco alcuni esempi.

Nel caso di un fluido incomprimibile si assume che il determinante del gra-diente di deformazione sia in ogni istante e in ogni punto uguale ad 1: detF (X, t) =1.

Nel caso di un continuo rigido si assume che il gradiente di deformazione F siauna rotazione propria indipendente dalla particella: C = F TF = I, detF =1.

Nel caso di un fluido non viscoso (nel quale le tensioni hanno carattere dipura pressione, si assume σrs(x, t) = −p (x, t) δrs .

Nel caso di un fluido elastico si suppone che la pressione possa dipenderesolo dalla densita di massa: σrs(x, t) = −p (ρ(x, t)) δrs .

Nel caso di un solido elastico si suppone che la tensione dipenda dal gradientedi deformazione: σ = σ(F ).

Nel seguito verranno studiati alcuni aspetti meccanici di una classe partico-lare di corpi detti fluidi ideali; essi sono: incomprimibili, non viscosi e dotati didensita di massa omogenea.

5.11. DIREZIONI E COMPONENTI PRINCIPALI DELLO STRESS 77

5.11 Direzioni e componenti principali dello stress

In generale lo sforzo relativo alla direzione n non e parallelo a n, tuttavia cisi puo chiedere se per qualche particolare direzione u possa risultare t(u) ‖ u.Cio equivale alla condizione

σu = su , con s scalare. (5.88)

Si tratta quindi di un problema agli autovalori–autovettori che si risolve deter-minando le radici dell’equazione caratteristica

det(σ − sI) = 0 cioe s3 − I1(σ)s2 + I2(σ)s− I3(σ) = 0 , (5.89)

dove I1(σ), I2(σ), I3(σ) sono gli invarianti principali del tensore di stress. (Siricordi che per un qualunque tensore L, gli invarianti principali sono gli scalari

I1(L) = tr(L) = L11 + L22 + L33 (invariante lineare) ,

I2(L) =1

2[(trL)2 − tr(L2)] (invariante quadratico) , (5.90)

I3(L) = detL (invariante cubico)

e si dimostra che essi sono invarianti per cambiamenti di basi ortonormali.)Poiche il tensore di stress e simmetrico le soluzioni s1, s2, s3 dell’equazio-

ne (5.89) sono tutte reali ed esiste sempre una terna di autovettori u1,u2,u3

unitari e mutuamente ortogonali. Gli autovalori s1, s2, s3 si dicono componentiprincipali dello stress o tensioni principali, gli autovettori si dicono direzioniprincipali dello stress. Le tensioni relative alle direzioni principali sono normali(manca la tensione tangenziale):

t(ui) = siui, ( non si somma sull’indice i) (5.91)

e possono avere carattere di pressione (se si < 0) o di trazione (se si > 0).Utilizzando come base dello spazio vettoriale la terna di autovettori unitariu1,u2,u3 la matrice che rappresenta lo stress si diagonalizza e diventa:

(u)

σ =

s1 0 00 s2 00 0 s3

. (5.92)

Se due componenti principali dello stress coincidono allora esiste un pia-no di direzioni principali, se le tre componenti principali sono uguali alloraogni direzione dello spazio e direzione principale. Per dare risalto all’ultimaaffermazione conviene darne una trattazione autonoma. Esistono materiali chehanno la caratteristica di esprimere delle tensioni puramente normali, cioe taliche t(n) ‖ n, per ogni direzione n. Per tali materiali valgono dunque le relazioni

t(n) = pnn , t(cs) = pscs , s = 1, 2, 3. (5.93)

In tale modo si comporta, ad esempio, un fluido non viscoso o un generico fluidoin situazione di quiete.


Proposizione 5.6 (Osservazione di Cauchy). Se le tensioni sono puramentenormali allora

t(n) = pn , con p indipendente da n . (5.94)

Dim. Sostituendo nel primo membro della relazione t(n) = t(cs)ns la (5.93)1

e nel secondo la (5.93)2 si ottiene

pn(c1n1 + c2n2 + c3n3) = p1c1n1 + p2c2n2 + p3c3n3 (5.95)

e, confrontando le singole componenti dei due membri di (5.95), si ottiene p1 =p2 = p3 = pn = p.

Dalla proposizione appena dimostrata e dal fatto che nel caso di tensionipuramente normali mancano le componenti tangenziali si vede che lo stressdiventa

σ =

p 0 00 p 00 0 p

, oppure σ = pI . (5.96)

E facile vedere che in tal caso il tensore di stress ha la medesima rappresentazionein qualsiasi base: infatti, se σ′ rappresenta lo stress nella base ruotata c′i = Qcitramite la rotazione Q rappresentata dalla matrice Q nella base ci, si ha

σ′ = QTσQ = QT p1Q = pQTQ = p1. (5.97)

Da (5.96) e evidente che ogni direzione dello spazio e un autovettore.

5.12 Parti idrostatica e deviatorica dello stress

Si indichi con pm la media aritmetica delle componenti principali dello stress,cioe la quantita

pm =s1 + s2 + s3

3=σ11 + σ22 + σ33

3=

trσ

3. (5.98)

Definiti i due tensori σi (detto parte idrostatica dello stress):

σi =

pm 0 00 pm 00 0 pm

= pm I (5.99)

e σd (detto parte deviatorica dello stress):

σd =

σ11 − pm σ12 σ13

σ21 σ22 − pm σ23

σ31 σ32 σ33 − pm

=

2σ11−σ22−σ33

3 σ12 σ13

σ21 −σ11+2σ22−σ33

3 σ23

σ31 σ32 −σ11−σ22+2σ33

3

, (5.100)

5.13. STATI DI TENSIONE PIANI 79

il tensore dello stress σ si puo scrivere come somma della parte idrostatica edella parte deviatorica:

σ = σi + σd . (5.101)

Nella base u1,u2,u3, versori delle direzioni principali dello stress, i termini σij

si annullano per i 6= j e anche la matrice σd si diagonalizza; cio significa che gliautovettori del tensore di stress sono anche autovettori della parte deviatoricadello stress.

5.13 Stati di tensione piani

Definizione 5.7 Uno stato di tensione si dice piano se la tensione t(n, p) eortogonale a una direzione fissa c:

t(n, p) · c = 0 , per ogni direzione n , (5.102)

e quindi il vettore t(n, p) risulta sempre contenuto nel piano per p ortogonale ac.

Proposizione 5.8 Se lo stato di tensione e piano la matrice σ che rappresentalo stress, rispetto a un riferimento cartesiano Oxyz di versori c1, c2, c3, conc3 = c, e espressa da:

σ =

σx τxy 0τyx σy 00 0 0

. (5.103)

Dim. Posto c3 = c, per n = cj la (5.102) si diventa t(cj)·c3 = 0; ricordando la

definizione di componente di un tensore rispetto a una base si ha σ3j = c3 ·σcj =t(cj) · c3 = 0. Per la simmetria di σ si ha σ3j = σj3 = 0 con j = 1, 2, 3 e quindivale la (5.103).

Proposizione 5.9 Uno stato di tensione e piano se e solo se detσ = 0.

Dim. Se lo stato di sforzo e piano, dalla (5.103) risulta detσ = 0. Viceversase I3(σ) = detσ = 0, l’equazione caratteristica (5.89) ha almeno una radicenulla. Nella base u1,u2,u3 costituita dalle direzioni principali dello stress conu3 direzione relativa all’autovalore nullo si ha

σ =

s1 0 00 s2 00 0 0

. (5.104)

E evidente allora che t(n) · u3 = σn · u3 = 0 cioe σn ⊥ u3 per ogni direzionen.


Figura 5.8: Pura trazione

5.13.1 Pura trazione

Si supponga che le forze di natura interna agenti sulle facce di un elemento divolume ∆b del corpo siano quelle schematizzate nella figura 5.8. Supposto chelo stato di stress sia piano, si vuole determinare la matrice σ relativa agli assix, y. La tensione relativa alla faccia di normale c1 e parallela a c1 e dunque

σx = t(c1) · c1 = a , τyx = t(c1) · c2 = 0 . (5.105)

La tensione relativa alla faccia di normale c2 e nulla, dunque

σy = t(c2) · c2 = 0 . (5.106)

Pertanto la matrice di stress e data da

σ =

a 0 00 0 00 0 0

. (5.107)

Poiche essa ha forma diagonale, gli assi x, y, z sono direzioni principali dellostress. Le corrispondenti tensioni principali sono sx = a, sy = 0 = sz.

Sia n la direzione del piano Oxy con nx = cos θ, ny = sin θ; la tensionet(n) = σn lungo tale direzione e rappresentata da a 0 0

0 0 00 0 0

cos θsin θ

0

=

a cos θ00

(5.108)

cioe t(n) = a cos θc1. La tensione e dunque sempre parallela a una direzionefissa; cio si indica come stato di tensione uniassiale.

Relativamente alla direzione n la tensione normale e data da(t(n) · n

)n = a cos2 θn , (5.109)


Figura 5.9: Puro taglio

e la tensione tangenziale da

t(n)− a cos2 θn = a cos θ sin θ(c1 sin θ − c2 cos θ)= a sin θcosθn′ , con n′ ⊥ n . (5.110)

Nel riferimento Ox′y′ ruotato rispetto a Oxy di un angolo θ lo stress e rappre-sentato da

σ′ =

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

a 0 00 0 00 0 0

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

=

a cos2 θ −a sin θ cos θ 0−a sin θ cos θ a sin2 θ 0

0 0 0

. (5.111)

Usando i risultati precedenti non e difficile mostrare che uno stato di tensione euniassiale se e solo se due tensioni principali sono nulle, oppure se e solo se siannullano sia il secondo che il terzo invariante principale del tensore di stresse risulta diverso da zero l’invariante primo.

5.13.2 Puro taglio

Si supponga che lo stato di stress piano che compete a un elemento ∆b divolume infinitesimo, con facce ortogonali agli assi co-ordinati x, y sia quellorappresentato in figura 5.9. Interpretando la figura 5.9 si ha:

σx = t(c1) · c1 = 0 , τyx = t(c1) · c2 = kc2 · c2 = k , (5.112)

σy = t(c2) · c2 = 0 , τxy = t(c2) · c1 = kc1 · c1 = k . (5.113)


Dunque

σ =

0 k 0k 0 00 0 0

. (5.114)

La tensione σn relativa alla direzione n = cos θc1 + sin θc2 e data da: 0 k 0k 0 00 0 0

cos θsin θ

0

=

k sin θk cos θ

0

(5.115)

cioet(n) = k(sin θc1 + cos θc2) . (5.116)

La tensione normale e

[n · σn]n = 2k sin θ cos θn (5.117)

e quella tangenziale e

σn− [n · σn]n=k(sin θc1 + cos θc2)− 2k sin θ cos θ(cos θc1 + sin θc2)=k[sin θ(1− 2 cos2 θ)c1 + cos θ(1− 2 sin2 θ)c2] (5.118)

=k[− cos 2θ sin θc1 + cos 2θ cos θc2] = k cos 2θn′

con n′ ⊥ n, n′ = (− sin θc1 + cos θc2). Volendo determinare le direzioniprincipali dello stress si risolve l’equazione caratteristica

det

−s k 0k −s 00 0 −s

= −s3 + k2s = 0 ⇔ s1 = k, s2 = −k, s3 = 0 . (5.119)

In corrispondenza agli autovalori s1, s2, s3 si ricavano gli autovettori, cioe ledirezioni principali dello stress:

u1 =

√2

2(c1 + c2) , u2 =

√2

2(c2 − c1) , u3 = c3 . (5.120)

Nella base u1,u2,u3 la matrice che rappresenta lo stress e

(u)

σ =

k 0 00 −k 00 0 0

. (5.121)

Cio significa che gli sforzi relativi a un cubetto le cui facce sono inclinatedi π

4 rispetto agli assi x, y sono di tipo normale, come illustrato in figura 5.10.Dunque si puo parlare di uno stato di puro taglio solo relativamente a unaparticolare scelta delle direzioni e quindi delle facce dell’elemento.

Usando le formule precedenti non e difficile mostrare che1 uno stato di ten-sione e di puro taglio se e solo se si annullano il primo e il terzo invarianteprincipale del tensore di stress e risulta diverso da zero l’invariante secondo.

1Infatti posto il tensore in forma diagonale e detti a, b, c gli elementi diagonali, sia

1) a+ b+ c = 0 , 2) ab+ ac+ bc 6= 0 , 3) abc = 0 .

La 3) implica che almeno uno dei tre fattori sia nullo, ad esempio c); la 2) implica che a e bsiano entrambi non nulli; la 1) implica a = −b ossia il tensore di stress e del tipo (5.121).


Figura 5.10: Autovettori puro taglio

Esercizio 5.10 Supposto che lo stress sia rappresentato dalla matrice

σ =

k k kk k kk k k

= k

1 1 11 1 11 1 1

, (5.122)

si chiede di determinare le direzioni e gli sforzi principali.

Si puo scrivere l’equazione caratteristica nel seguente modo:

s3 − I1(σ)s2 + I2(σ)s− I3(σ) = 0 . (5.123)

Tenuto conto che

I1(σ) = σ11 + σ22 + σ33 = 3kI2(σ) = σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33 − σ12σ21 − σ13σ31 − σ32σ23 = 0 (5.124)

I3(σ) = detσ = 0

l’equazione caratteristica diventa

s3 − 3ks2 = 0 ⇔ s1 = 3k, s2 = 0 = s3, (5.125)

queste ultime essendo le tensioni principali. In corrispondenza all’autovalore(tensione principale) s1 si ricava la direzione principale di stress

u1 =1√3

(c1 + c2 + c3) . (5.126)

Poiche i due autovalori s2 e s3 sono uguali, tutti i vettori ortogonali a u1 sonoautovettori. La tensione relativa a una generica direzione n = n1c1+n2c2+n3c3


e rappresentata da

k

1 1 11 1 11 1 1

n1

n2

n3

= k

n1 + n2 + n3

n1 + n2 + n3

n1 + n2 + n3

= k(n1 + n2 + n3)

111

= k(n1 + n2 + n3)

√3u1 . (5.127)

Si vede dunque che σn ‖ u1 ∀n: si tratta di uno stato di tensione uniassiale.Cio era deducibile immediatamente dalle (5.124) essendo I2(σ) = I3(σ) = 0 .

5.14 Cerchio di Mohr

Lo stato di stress sia piano, ortogonale a c3 e sia Ox′y′z′ il riferimento cartesianodi versori c′1, c

′2, c′3 = c3, ruotato di un angolo θ in senso antiorario rispetto al

riferimento Oxyz di versori c1, c2, c3. La matrice σ′ che rappresenta lo stressnella base c′i si ottiene tramite il prodotto

σ′ = QTσQ =

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

σx τxy 0τyx σy 00 0 0

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

.

(5.128)Sviluppando i prodotti del secondo membro si ottiene

σ′x = σx cos2 θ + σy sin2 θ + 2τxy sin θ cos θσ′y = σx sin2 θ + σy cos2 θ − 2τxy sin θ cos θ

τ ′xy = (σy − σx) sin θ cos θ + τxy(cos2 θ − sin2 θ) . (5.129)

Con le sostituzioni trigonometriche

cos2 θ =1 + cos 2θ

2, sin2 θ =

1− cos 2θ

2, (5.130)

le relazioni (5.129) diventano

σ′x =σx + σy

2+σx − σy

2cos 2θ + τxy sin 2θ

σ′y =σx + σy

2+σy − σx

2cos 2θ − τxy sin 2θ (5.131)

τ ′xy =σy − σx

2sin 2θ + τxy cos 2θ .

Nel caso in cui lo stato di tensione relativo ad un punto p sia piano, esiste unmetodo grafico che consente di determinare la tensione, con le sue componentinormale e tangenziale, rispetto ad una qualsiasi direzione n del piano, formanteangolo θ con x, positivo in verso antiorario. Siano σx, σy e τxy le componentidello stress relative agli assi Oxyz e nel piano cartesiano ausiliario Oξη si eseguala seguente costruzione.

5.14. CERCHIO DI MOHR 85

Figura 5.11: Il cerchio di Mohr

a) Si traccino i punti A = (σx, τxy) e B = (σy,−τxy) e si congiunga A con B.Si tracci quindi la circonferenza di diametro AB che ha centro nel puntoC, intersezione del diametro con l’asse ξ; valgono le relazioni

ξC =σx + σy

2, ηC = 0 . (5.132)

b) Si tracci il raggio CM ruotato rispetto a CA in senso orario di un angolo2θ; quindi si tracci il punto N diametralmente opposto a M .

Proprieta del cerchio di Mohr. Le co-ordinate dei punti M e N fornisconole componenti della matrice di stress secondo le relazioni

ξM = σ′x , ηM = τ ′xy ,ξN = σ′y , ηN = −τ ′xy . (5.133)

E ovvio che la componente tangenziale della tensione, τ ′xy, converra leggerlanella parte superiore del cerchio di Mohr (vedi fig. 5.11).

Dim. Indicato con 2φ l’angolo che CA forma con l’asse ξ, semplici considera-zioni geometriche portano alle relazioni

ξA − ξC =σx − σy

2, cos 2φ =

ξA − ξCR

=σx − σy

2R, sin 2φ =

τxyR

. (5.134)

Si ricava di conseguenza:

ξM = ξC +R cos(2φ− 2θ) =σx + σy

2+R(cos 2φ cos 2θ + sin 2φ sin 2θ)

=σx + σy

2+σx − σy

2cos 2θ + τxy sin 2θ = σ′x . (5.135)


Figura 5.12: Costruzione grafica delle direzioni principali di stress

L’ultima uguaglianza e vera per la (5.131)1. Analogamente si ricavano le rela-zioni

ξN = ξC −R cos(2φ− 2θ) =σx + σy

2−R(cos 2φ cos 2θ + sin 2φ sin 2θ)

=σx + σy

2− σx − σy

2cos 2θ − τxy sin 2θ = σ′y . (5.136)

ηM = R sin(2φ− 2θ) = R(sin 2φ cos 2θ − cos 2φ sin 2θ)

= −σx − σy2

sin 2θ + τxy cos 2θ = τ ′xy . (5.137)

Pertanto sull’asse ξ si leggono le tensioni normali e sull’asse η le tensionitangenziali. Come noto, alle direzioni principali dello stress corrispondono ten-sioni tangenziali nulle. Le intersezioni P,Q del cerchio di Mohr con l’asse ξcorrispondono alle direzioni x′′, y′′ ottenute ruotando in senso antiorario l’assex di un angolo φ e φ + π/2 rispettivamente: si osservi ad esempio che CQ siottiene ruotando CA in senso orario di un angolo 2φ e dunque Q corrispondealla direzione x′′ ottenuta ruotando l’asse x in senso antiorario di un angolo φ.Poiche i punti P e Q hanno ordinate ηP e ηQ nulle, le corrispondenti tensionitangenziali risultano nulle e quindi le direzioni x′′, y′′ sono direzioni principalidello stress. Rispetto a tali direzioni le tensioni risultano puramente norma-li: la tensione relativa alla direzione x′′ e parallela a x′′. In Figura 5.12 vieneindicato un metodo grafico per determinare le direzioni principali dello stress,x′′, y′′, utilizzando la costruzione grafica relativa al cerchio di Mohr (gli assi x, ysi pensano paralleli a ξ, η).

5.15 Fluidi ideali

Diremo fluido ideale (o perfetto) un materiale che soddisfa i seguenti requisiti:

5.15. FLUIDI IDEALI 87

a) e incomprimibile, ossia sono possibili per esso solo deformazioni isocore;

b) lo sforzo e puramente normale ed ha carattere di pressione;

c) e omogeneo.

In base a b) il tensore di stress assume forma diagonale:

σ =

−p 0 00 −p 00 0 −p

, σ = −p1 . (5.138)

ove p ≥ 0 e la pressione idrostatica.2

L’equazione lagrangiana di continuita, tenuto conto che J = 1, implica lacostanza nel tempo della densita di massa:

ρ = ρ0 . (5.139)

Pertanto l’ipotesi c) di omogeneita puo essere data sulla configurazione inizia-le: dalla relazione ρ = ρ0 segue che anche nella configurazione attuale ρ nondipende dal punto.

Nel caso di un fluido perfetto le equazioni (5.51) diventano

ρ0ar = ρ0Fr −

∂p

∂xrr = 1, 2, 3. (5.140)

Le equazioni (5.140) e l’equazione di incomprimibilita (divv = 0) sono tantequante le funzioni incognite xrs, p.

5.15.1 Equilibrio di un fluido perfetto pesante

Per un fluido perfetto in quiete le equazioni (5.54) della statica dei continuidiventano:

ρ0F1 =∂p

∂x1, ρ0F2 =

∂p

∂x2, ρ0F3 =

∂p

∂x3. (5.141)

Assegnato il campo F(P ) delle forze esterne, le equazioni (5.141) consentono dideterminare la pressione p in ogni punto del fluido. Nel caso in cui agisca lasola forza peso si ha

ρ0F = ρ0g = ρ0gc3 (c3 verticale, diretto verso il basso ) (5.142)

e le equazioni (5.141) diventano

0 =∂p

∂x1, 0 =

∂p

∂x2, ρ0g =

∂p

∂x3, (5.143)

che si possono scrivere nella forma

∂

∂xs(p− ρ0gx

3) = 0 per s = 1, 2, 3. (5.144)

2Si osservi che la pressione ha la dimensione fisica di una densita di energia.


Figura 5.13: Equilibrio di un fluido

Se il dominio e connesso, dalle (5.144) segue

p(x) = ρ0gx3 + c , con c costante . (5.145)

Si vede dunque che, in un fluido perfetto pesante e in quiete, la pressione dipendesolo dalla quota del punto secondo la legge lineare (5.145); nei punti P di unpiano orizzontale la pressione p(x) non varia, dunque le superfici isobariche sonopiani orizzontali. Poiche il pelo libero del fluido si trova soggetto alla pressioneatmosferica (sensibilmente costante) sara anch’esso un piano orizzontale. Postonella (5.145) x3 = 0, si vede che la costante c ha il significato di pressione p0

che compete al piano co-ordinato orizzontale x3 = 0; l’equazione (5.145) diventaallora:

p(x) = ρ0gx3 + p0 . (5.146)

5.15.2 Spinta archimedea

In condizioni di quiete, un corpo immerso in un fluido pesante e soggetto aun sistema di forze, dovute alla pressione del fluido, distribuite lungo la suafrontiera. Precisamente sull’areola ds, di normale esterna n, della frontiera delcorpo, il fluido esercita la forza ( v.Figura 5.13 a) )

−pn ds. (5.147)

Vale il seguente:Principio di Archimede. In condizioni di quiete, la pressione esercitata dalfluido sulla frontiera del corpo e riducibile a un’unica forza, pari all’opposto delpeso del fluido spostato, applicata in un punto C∗ detto centro di spinta.Dim. Il risultante, R, e il momento risultante, MO, delle forze superficiali cheil fluido esercita sulla frontiera Σ del corpo sono espressi da

R = −∫

Σ

pn ds, MO = −∫

Σ

x× pn ds. (5.148)


Proiettando la (5.148)1 sugli assi e applicando la relazione (4.1) si ottiene

Ri = −∫

Σ

p ni ds = −∫b

∂p

∂xidv . (5.149)

Questa equazione, tenendo conto che p e espressa da (5.146), implica che R1 =0 = R2 e

R3 = −∫b

ρ0 g dv = −m(b)g . (5.150)

Dunque R = −m(b)g e l’opposto del peso del fluido spostato dal corpo datoche la massa m(b) e calcolata tramite la densita ρ0 del fluido.

Dalla (5.148)2 applicando la relazione (4.1) si ottiene

MO = −∫

Σ

x× p ni ci ds = −∫b

∂

∂xi(x× p ci) dv

= −∫b

∂x

∂xi× p ci dv −

∫b

x× ∂p

∂xici dv . (5.151)

Poiche ∂x∂xi = ci, si annulla il primo integrale dell’ultimo membro di (5.151).

Tenendo conto di(5.146) la (5.151) diventa

MO = −∫b

x× ρ0 g c3 dV =(−∫b

ρ0x dv)× g = OC∗ × (−m(b)g) . (5.152)

Si e indicato con C∗ = O+x∗ il centro di spinta cioe il baricentro della regioneb pensata dotata di densita costante, definito da

x∗ =1

m(b)

∫b

ρ0x dv . (5.153)

Si osservi che in generale il centro di spinta non coincide col baricentro del corpose questo non e omogeneo.

OSSERVAZIONE. Il fatto che la pressione distribuita sulla frontiera del corposia equivalente a una forza opposta al peso del liquido spostato applicata nelcentro di spinta significa solamente che questi due sistemi di forze hanno lostesso risultante e lo stesso momento (rispetto a ogni polo). Non e detto peroche gli effetti di due sistemi equivalenti siano uguali sotto ogni aspetto. Si pensia tale fine che lo stesso corpo immerso nello stesso fluido ma a quote diverserisente della medesima spinta archimedea, tuttavia la compressione sul corpoesercitata dal fluido e maggiore se il corpo e posto a quota inferiore.

5.15.3 Equilibrio di un fluido perfetto pesante rispetto aun riferimento ruotante

Si consideri un fluido pesante, in quiete rispetto a un riferimento che ruotauniformemente attorno a un asse verticale con velocita angolare ω (si pensi adesempio di porre il recipiente contenente il liquido su una piattaforma orizzontale


che ruota, v.Figura 5.13 b) ). Nel riferimento mobile, oltre alla forza peso agiscela forza (apparente) centrifuga; pertanto la densita di forza risulta data da

ρ0F (P ) = ρ0(g + ω2P ′P ) , (5.154)

avendo indicato con P ′ la proiezione di P sull’asse di rotazione. Le equazioni(5.141) in questo caso diventano (c3 sia verticale e rivolto verso l’alto)

ρ0 ω2 x1 =

∂p

∂x1, ρ0 ω

2x2 =∂p

∂x2, −ρ0 g =

∂p

∂x3, (5.155)

e si possono scrivere nella forma

∂

∂xs[−ρ0gx

3 +1

2ρ0ω

2((x1)2 + (x2)2

)− p(P )] = 0, s = 1, 2, 3. (5.156)

Pertanto, se la regione occupata dal liquido e connessa, risulta

p+ ρ0g x3 − 1

2ρ0ω

2((x1)2 + (x2)2

)= costante (5.157)

e quindip = p0 − ρ0g x

3 +1

2ρ0ω

2((x1)2 + (x2)2

)(5.158)

ove p0 rappresenta la pressione nell’origine degli assi. L’equazione di una gene-rica superficie isobarica si ottiene uguagliando a una costante il secondo membrodella (5.158):

ρ0gx3 =

1

2ρ0ω

2((x1)2 + (x2)2

)+ k. (5.159)

Questa equazione rappresenta un paraboloide rotondo con l’asse di simmetriacoincidente con l’asse di rotazione e la concavita rivolta verso l’alto. Infatti leintersezioni con piani ortogonali a x3 sono delle circonferenze mentre le inter-sezioni con piani che contengono x3 sono delle parabole. Tale sara quindi lasuperficie del pelo libero del liquido in quiete (relativa).

5.15.4 Moto stazionario di un fluido perfetto pesante

Per un fluido perfetto pesante in moto le equazioni (5.140) diventano

ρ0x1 = − ∂p

∂x1, ρ0x

2 = − ∂p

∂x2, ρ0x

3 = ρ0g −∂p

∂x3. (5.160)

Le (5.160) si possono scrivere in forma piu compatta nel seguente modo

ρ0xr =

∂(ρ0gx3 − p)

∂xrr = 1, 2, 3. (5.161)

Nel caso di un moto stazionario vale il seguente teorema.

Teorema 5.11 (delle Tre Quote, di Bernoulli) Nel moto stazionario di unfluido ideale, pesante, lungo ciascuna linea di flusso la quantita

(v)2

2g+ x3 +

p

ρ0g, (5.162)

assume valore costante.3

3Il teorema si puo esprimere nella forma


I tre addendi in (5.162) rappresentano rispettivamente(v)2

2g la quota raggiunta da un grave lanciato verso l’alto con velocita v verticale;

x3 la quota effettiva del punto in consideazione;pρ0g

il dislivello tra i piani di pressione p e di pressione nulla nel caso statico.

Dim. Si moltiplichi ciascun membro di (5.161) per vr; sommando membro amembro le equazioni cosıottenute si giunge alla relazione

ρ0xrvr =

∂(ρ0gx3 − p)

∂xrvr . (5.164)

Poiche il moto e stazionario i campi delle velocita e delle accelerazioni nondipendono dal tempo ma solo dal posto4 e dunque la (5.164) diventa

d(ρ0v2

2 )

dt=d(ρ0gx

3 − p)dt

(5.165)

da cui segue(v)2

2g+ x3 +

p

ρ0g= costante. (5.166)

5.15.5 Applicazioni del teorema di Bernoulli

Si consideri un un fluido ideale contenuto in un recipiente nel quale sia praticatoun foro B. Si supponga il recipiente abbastanza grande e il foro abbastanzapiccolo da poter fare le seguenti assunzioni: il pelo libero del fluido sia in quietee nel fluido si instauri un moto stazionario che porta il fluido ad uscire dal foro.Si consideri una di queste linee di flusso e si indichi con A il punto del pelolibero da cui essa iniza (vedi figura 5.14 a)). Siano zA e zB le quote del pelolibero e del foro rispettivamente e si indichi con h il dislivello h = zA − zB . SiavB la velocita del fluido in B, vA la velocita del fluido in A e analogamente pBe pA la pressione in B e in A. Per le ipotesi fatte si ha

vA = 0, pA = pB = patm,

avendo indicato con patm la pressione atmosferica che, per piccole distanze, conbuona approssimazione e indipendente dal posto.

Per il teorema di Bernoulli la quantita v2

2g + z + pρ0g

e costante lungo unalinea di flusso; ne segue la relazione

(vB)2

2g+ zB +

patmρ0g

= zA +patmρ0g

,

ρv2/2 + ρ g x3 + p = costante, (5.163)in cui i tre termini sono da interpretarsi come densita (volumica) di energia cinetica, potenzialee piezometrica (elastica). Come dimensioni fisiche: [ρ] = µλ−3, [p] = µλτ−2λ−2, [ρv2] =µλ−3λ2τ−2.

4La derivata materiale xr = ∂vr

∂t+ ∂vr

∂xsvs diventa quindi uguale a ∂vr

∂xsvs. Si verifica anche

facilmente ched

(vrvr)2dt

= ∂vr

∂xsvsvr.


B

A

A Av

BB vSh S

a)b)

Figura 5.14: Teorema di Bernoulli

e quindi(vB)2

2g= zA − zB = h, vB =

√2hg. (5.167)

Si conclude che il modulo della velocita con cui il liquido esce dal foro e lo stessoche avrebbe se cadesse verticalmente per un dislivello h con velocita inizialenulla.

Un’altra applicazione del teorema di Bernoulli consiste nel tubo di Venturi.Si tratta di un tubo orizzontale nel quale scorre un fluido dotato di un motostazionario. Il tubo, di sezione S1, nel tratto A - B presenta una strozzatura(vedi figura 5.14 b)) con sezione minima S2. Detta v1 la velocita del fluidoin corrispondenza alla sezione S1 e v2 quella in corrispondenza alla sezione S2

risultav1S1 = v2S2 = k, (k costante positiva). (5.168)

(si applichi ad esempio l’Eq.10.30 alla regione di controllo tratteggiata in figura(2) tenuto conto che per un fluido ideale ρ e costante). Nell’ipotesi in cui lelinee di flusso siano orizzontali il teorema di Bernoulli fornisce la relazione

(vA)2

2+pAρ0

=(vB)2

2+pBρ0

= c, (c costante positiva) (5.169)

da cui si ricava

(vB)2 − (vA)2 = 2pA − pBρ0

. (5.170)

Ricavando vA da (5.168) e sostituendo in (5.169) si ottiene

v2B = 2

pA − pBρ0

S2A

S2A − S2

B

. (5.171)

Moltiplicando ambo i membri di (5.171) per S2B si ottiene, dopo estrazione di

radice quadrata, l’equazione

Q =√v2BS

2B =

√2(pA − pB)

ρ0( 1S2B− 1

S2A

). (5.172)

5.16. EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES 93

che fornisce la portata Q del fluido in funzione della differenza di pressionepA − pB facilmente rilevabile per mezzo di un manometro differenziale.

Le (5.168), (5.169) si possono scrivere anche nella seguente forma

v S = k,v2

2+

p

ρ0= c. (5.173)

Dalle (5.173) si ricava

p = ρ0c− ρ0v2

2= ρ0c− ρ0

k2

2S2(5.174)

e quindi, introdotte le nuove costanti positive c′ = ρ0c e k′ = ρ0k2

2 , si giungealla relazione

p = c′ − k′

S2. (5.175)

La relazione (5.175) stabilisce un legame tra la pressione del fluido e la sezione:la pressione e maggiore nei tratti di condotta in cui la sezione e maggiore. Ana-logamente la (5.174)1 mostra che la pressione e maggiore nei tratti di condottain cui la velocita e minore.

5.16 Equazioni di Navier-Stokes

Nei fluidi reali in movimento si osserva che la tensione presenta anche una com-ponente tangenziale. Piu precisamente oltre alla componente normale −pn (det-ta idrostatica), presente nel caso statico, durante il moto del fluido la tensionerisulta composta anche da una parte, σ′n, che dipende dalla velocita di defor-mazione del mezzo e tale parte e dotata anche di componente tangenziale. Si as-sume quindi che il tensore di stress dipenda dal tensore velocita di deformazioneD secondo l’equazione costitutiva

σ = −pI + σ′(D). (5.176)

I fluidi che soddisfano la (5.176) sono detti stokesiani. Nel caso in cui σ′(D)dipenda linearmente da D, considerazioni di tipo termodinamico portano allaseguente equazione costitutiva

σ = (−p+ λtrD)I + 2µD, (5.177)

con λ, µ costanti che soddisfano le condizioni 3λ + 2µ ≥ 0, µ ≥ 0. I fluidi chesoddisfano la (5.177) sono detti di Navier-Stokes. Si osservi che nella (5.177) lasimmetria di σ segue dalla simmetria di D. Nel caso di fluidi incomprimibili siha trD = divv = 0; di conseguenza l’equazione costitutiva (5.177) diventa

σ = −pI + 2µD, (5.178)

e i fluidi che soddisfano la (5.178) sono detti newtoniani. Dalle equazioni diCauchy della dinamica dei continui, tenuto conto dell’equazione costitutiva dello


stress (5.178), si ottengono le seguenti equazioni della dinamica per i fluidinewtoniani

ρ0(∂vr∂t

+∂vr∂xs

vs) = ρ0Fr −∂p

∂xr+ µ

3∑s=1

∂2vr∂xs∂xs

. (5.179)

Infatti per la (5.178) risulta

3∑s=1

∂σrs∂xs

=

3∑s=1

∂

∂xs(−pδrs+ 2µDrs) = − ∂p

∂xr+µ

3∑s=1

∂

∂xs(∂vr∂xs

+∂vs∂xr

) (5.180)

e l’ultimo termine di (5.180) diventa

µ

3∑s=1

(∂2vr∂xs∂xs

+∂

∂xr

∂vs∂xs

) = µ(3∑s=1

∂2vr∂xs∂xs

+∂

∂xrdivv) = µ

3∑s=1

∂2vr∂xs∂xs

.

Le equazioni (5.179) prendono il nome di Equazioni di Navier-Stokes evalgono per fluidi incomprimibili; si possono scrivere piu esplicitamente nellaforma

ρ0(∂vr∂t

+∂vr∂x1

v1 +∂vr∂x2

v2 +∂vr∂x3

v3) = ρ0Fr −∂p

∂xr+ µ(

∂2vr∂x2

1

+∂2vr∂x2

2

+∂2vr∂x2

3

).

(5.181)

5.17 Lavoro delle forze interne di contatto

Per un sistema continuo il teorema delle forze vive e in sostanza usato percalcolare la potenza delle forze interne di contatto, o delle tensioni. Formalmentepostuliamo che lungo un qualunque moto dinamicamente possibile e per ogniporzione del continuo valga la relazione

d T

d t= P(e) + P(i) (5.182)

dove T e l’energia cinetica e P(e) e P(i) sono le potenze delle forze esterne edinterne, rispettivamente.

Sia v(x, t) il campo euleriano delle velocita, ∆b una generica porzione internadel continuo e sia P(e) la potenza delle forze, di volume e superficiali, esternea ∆b. Postuliamo, con scelta ragionevole, che sia

T =1

2

∫∆b

ρv2 dv e P(e) =

∫∆b

ρF · v dv +

∫Σ

v · t(n) ds . (5.183)

Nel calcolo di (5.182), basato su (5.183), applichiamo il teorema del tetraedroe poi il teorema della divergenza all’integrale superficiale; inoltre calcoliamo laderivata di T portandola sotto il segno di integrale con la regola (4.16):

1

2

∫∆b

ρd(v2)

dtdv = P(i) +

∫∆b

ρF · v dv +

∫Σ

vr σrk nk ds

5.17. LAVORO DELLE FORZE INTERNE DI CONTATTO 95

= P(i) +

∫∆b

(ρF · v +

∂vr∂xk

σrk + vr∂σrk

∂xk)dv. (5.184)

Quindi, poiched(v2)dt

= 2v · a,

P(i) =

∫∆b

ρ (a− F) · v dv −∫

∆b

(v · divσ +∂vr∂xk

σrk) dv = −∫

∆b

∂vr∂xk

σrk dv

(5.185)dove l’ultima eguaglianza segue in virtu dell’equazione indefinita (5.51) dellameccanica dei continui.

Nell’espressione della potenza delle forze interne

P(i) = −∫

∆b

∂vr∂xk

σrk dv (5.186)

la quantita

σrs∂vr∂xk

(5.187)

viene detta densita (di volume) euleriana di potenza dello stress. Da (5.185) sivede che la potenza dello stress e pari alla potenza delle forze interne cambiatadi segno.

Per la densita di potenza dello stress vale la relazione

σrs∂vr∂xs

=1

2σrs(

∂vr∂xs

+∂vs∂xr

) = σrsDrs , (5.188)

ove nell’ultima uguaglianza si e usata la definizione Drs = 12 ( ∂vr∂xs + ∂vs

∂xr ) dellavelocita di deformazione D. Infatti

σrs∂vr∂xs

=1

2(σrs

∂vr∂xs

+ σsr∂vs∂xr

) , (5.189)

da cui (5.188) segue per la simmetria di σ.La (5.185) diventa

P(i) = −∫

∆b

σrsDrs dv , (5.190)

da cui si vede che la potenza delle forze interne dipende dal tensore velocitadi deformazione del corpo. In particolare se il moto e rigido allora la matrice( ∂vr∂xk

) e emisimmetrica quindi la velocita di deformazione e nulla. Cioe, come cisi doveva aspettare, la potenza delle forze interne e nulla in un moto rigido.

La relazione (5.182) si puo esprimere in termini di lavoro anziche di potenza.Basta sostituire al campo di velocita v il campo di spostamenti du = x(x, t) dtper cui

dL (e) =

∫∆b

ρF · du dv +

∫Σ

du · t(n) ds (5.191)

e ripetere il procedimento che ha portato alla (5.190) per ottenere la seguenteespressione del lavoro delle forze interne:

dL (i) = −1

2

∫∆b

σrs(∂(dur)

∂xs+∂(dus)

∂xr

)dv . (5.192)


Le espressioni (5.183)2 e (5.191) valgono anche per l’intero corpo b. In tale caso(5.182) diviene

d

dt

∫b

1

2ρv2 dv dt = dL (e) − 1

2

∫b

σrs(∂dur∂xs

+∂dus∂xr

)dv : (5.193)

la derivata [variazione] dell’energia cinetica e uguale alla potenza [al lavoro]delle forze esterne piu quella [quello] delle forze interne.

5.17.1 Potenza delle forze interne per un fluido non visco-so

Nel caso di un fluido non viscoso risulta σrs = −p δrs e, per (5.190), la potenzadelle forze interne e data da

P(i) =

∫∆b

p divv dv . (5.194)

Infatti

P(i) =

∫∆b

p δrsDrs dv =

∫∆b

pDrr dv =

∫∆b

p∂vr

∂xrdv . (5.195)

Tenuto conto della forma euleriana dell’equazione di continuita per la massarisulta divv = − 1

ρdρdt e quindi per un fluido non viscoso la potenza delle forze

interne e espressa anche dalla relazione

P(i) = −∫

∆b

p

ρ

dρ

dtdv . (5.196)

Se il fluido e anche incomprimibile vale la relazione divv = 0 e quindi, per(5.194) risulta nulla la potenza (o il lavoro) delle forze interne.

Se p e indipendente dal posto e il fluido e omogeneo, allora ρρ = − VV (da ρV =

ρ0V0) e (5.196) diviene l’espressione, usata nella termodinamica elementare,

P(i) = −p ρρV = pV , (5.197)

Da questa relazione si vede che la pressione della termodinamica elementare ela pressione meccanica introdotta sopra per i fluidi.

5.18 Teorema delle potenze virtuali

Sia F (x) un campo vettoriale continuo definito in una regione regolare b a dueo tre dimensioni, contenuta in R3; vale la seguente:

Proposizione 5.12 Se per ogni campo vettoriale continuo v(x), eventualmentenullo su ∂b, vale la relazione∫

b

F · v dV = 0 (

∫b

Frvr dV = 0) (5.198)

allora F (x) = 0 in b.

5.18. TEOREMA DELLE POTENZE VIRTUALI 97

Dim. Se per assurdo fosse, ad esempio, Fr(x∗) > 0 per qualche x∗ ∈ b allora

esisterebbe un intorno I(x∗) tale che Fr(x) > 0 per ogni x ∈ I(x∗), in base alteorema della permanenza del segno. Scelto il campo v(x) = v(x)cr in modoche risulti v(x) > 0 per ogni x interno a I(x∗) e v(x) = 0 nel complementaredi I(x∗) in b, si ha ∫

b

F · v dV =

∫I(x∗)

F · v dV > 0 (5.199)

dato che F · v > 0 in I(x∗). La (5.199) contraddice la (5.198) ed e quindiassurdo supporre che Fr(x

∗) > 0. In modo analogo si dimostra che non puoessere Fr(x

∗) < 0.

Teorema 5.13 (delle potenze virtuali). Il tensore di stress σ soddisfa leequazioni dell’equilibrio di Cauchy e le condizioni al contorno

ρF r +∂σrs

∂xs= 0 in b, σrsns = fr su ∂b, (5.200)

se e solo se soddisfa la relazione∫b

ρF · v dV +

∫∂b

f · v dS =

∫b

σrs∂vr

∂xsdV (5.201)

per ogni scelta del campo vettoriale v(x) definito su b.

Dim. Supponiamo verificate le (5.200). Allora per (5.200)2 si ha∫∂b

f · v dS =

∫∂b

frvr dS =

∫∂b

σrsnsvr dS =

∫b

∂(σrsvr)

∂xsdV (5.202)

e dunque ∫b

ρF · v dV +

∫∂b

f · v dS =

∫b

[ρF rvr +∂(σrsvr)

∂xs] dV

=

∫b

[ρF r +

∂(σrs)

∂xs]vr dV +

∫b

(σrs∂vr

∂xs) dV . (5.203)

Per la (5.200)1 si annulla il penultimo integrale e quindi vale la (5.201).Viceversa, la (5.201) valga per ogni campo vettoriale v(x); si scelga allora v

in modo tale che esso risulti nullo sulla frontiera ∂b. La (5.201) diventa∫b

ρF · v dV =

∫b

σrs∂vr

∂xsdV . (5.204)

Aggiungendo a entrambi i membri di (5.204) la quantita∫b∂σrs

∂xs vr dV si ha∫b

[ρF r +∂σrs

∂xs]vr dV =

∫b

[σrs∂vr∂xs

+∂σrs

∂xsvr] dV

=

∫b

∂(σrsvr)

∂xsdV =

∫∂b

σrsnsvr dS . (5.205)


L’ultimo integrale di frontiera risulta nullo per la scelta di v(x), e quindi∫b

[ρF r +∂σrs

∂xs]vr dV = 0 (5.206)

dalla quale segue la (5.200)1 per la Proposizione 5.12. Per dimostrare la (5.200)2

basta sommare∫b∂σrs

∂xs vr dV a entrambi i membri di (5.201) ottenendo∫b

[ρF r+∂σrs

∂xs]vr dV +

∫∂b

frvr dS =

∫b

∂(σrsvr)

∂xsdV =

∫∂b

σrsnsvr dS . (5.207)

Poiche il primo integrale di (5.207) si annulla per (5.200)1, la (5.207) diviene∫∂b

(fr − σrsns)vr dS = 0 (5.208)

che implica la (5.200)2 per la Proposizione (5.12).

Interpretando v(x) come un campo di velocita virtuali5 il primo membrodi (5.201) ha il significato di potenza virtuale delle forze esterne (di volume esuperficiali); il secondo membro viene detto potenza virtuale dello stress. In talcaso il teorema delle potenze virtuali dice che:Per un continuo, soggetto alle forze di volume ρF e alle forze superficiali f , lostress σ risulta compatibile con le equazioni (5.200) dell’equilibrio se e solo sela potenza delle forze esterne uguaglia la potenza dello stress per ogni campo divelocita virtuali.

Se al campo v(x) si attribuisce il significato di campo di spostamenti virtualiδu(x), la relazione (5.201) diventa∫

b

ρF · δu dV +

∫∂b

f · δu dS =

∫b

σrs∂δur∂xs

dV . (5.209)

Si ha allora il teorema dei lavori virtuali: Per un continuo, soggetto alleforze di volume ρF e alle forze superficiali f , lo stress σ risulta compatibilecon le equazioni (5.200) dell’equilibrio se e solo se il lavoro delle forze esterneuguaglia il lavoro dello stress per ogni campo di spostamenti virtuali.

Osservazione 5.14 Le (5.200) vengono anche dette “formulazione forte” delproblema meccanico, mentre le (5.201) ne costituiscono la “formulazione debole”o “variazionale”. Le due formulazioni sono equivalenti nel caso in cui le funzioniσrs siano di classe C1 (derivabili con derivate continue) come si e implicitamenteammesso nel teorema delle potenze virtuali.

Si osservi che nella “formulazione debole” le funzioni incognite σrs non com-paiono sotto il segno di derivazione (cosa che invece accade nella “formulazioneforte”) e, per eseguire i calcoli indicati nella (5.201), e sufficiente l’ipotesi dicontinuita per le σrs. Questo e un vantaggio, soprattutto ai fini della ricerca di

5In questo caso la parola virtuale va intesa nel senso che il campo di velocita v(x) noncorrisponde a un effettivo movimento del corpo ma ad un atto di moto fittizio che si assegnaal continuo.

5.18. TEOREMA DELLE POTENZE VIRTUALI 99

soluzioni con tecniche numeriche, in quanto la soluzione puo essere approssima-ta comodamente con successioni di funzioni il cui unico requisito e la continuita.Pertanto si ammette che sia valida la “formulazione debole” indipendentementedal teorema delle potenze virtuali e quindi anche in ipotesi di semplice continuitaper le σrs. La soluzione cosı trovata prende il nome di “soluzione debole”.

5.18.1 Forma materiale del teorema delle potenze virtuali

Utilizzando il tensore di Piola si puo dare la seguente forma materiale all’equa-zione (5.201)∫

B

ρ0FkVk dB +

∫∂B

PhkNhVk dS =

∫B

P rL∂Vr∂XL

dB (5.210)

valida per ogni scelta del campo vettoriale V (X) ∈ C2 definito su B.Per ottenere la (5.210) si riscriva l’equazione (5.201) nella forma:∫

b

ρFrvr dv +

∫∂b

σrsnrvs ds =

∫b

σrs∂vr∂xs

dv (5.211)

e si trasformino quindi gli integrali su b, ∂b negli integrali eseguiti nelle corri-spondenti regioni B, ∂B della configurazione di riferimento. Ponendo

V (X) = v(x(X)), (e quindi v(x) = V (X(x)) )

e ricordando che per la (1.52) risulta

ni ds = J∂XL

∂xiNL dS

l’equazione (5.211) diventa∫B

ρJFkVk dB +

∫∂B

J∂XL

∂xsσrsNLVr dS =

∫B

Jσrs∂Vr∂XL

∂XL

∂xsdB . (5.212)

Dalla (5.212) tenuto conto di (ρJ = ρ0), (5.76) si ottiene la (5.210).

Osservazione 5.15 Conviene rilevare l’equivalenza di alcune equazioni che so-no state finora stabilite per l’equilibrio di un corpo deformabile (posto chevalgano le ipotesi di Cauchy sulle forze interne) .

Assegnato un campo di forze di volume e un campo di forze superficiali ,dire

a) che la distribuzione degli sforzi interni soddisfa le equazioni di bilanciodei risultanti (o del momento lineare) e dei momenti (o del momento angolare)per ogni porzione del corpo e del tutto equivalente a dire

b) che il tensore di stress e simmetrico, soddisfa le equazioni indefinite (5.51)in ogni punto interno del continuo e le condizioni al contorno (5.66) per ognipunto della frontiera.


Ciascuna delle due precedenti condizioni a) e b) equivale ad affermare chec) la relazione (5.201) e valida per l’intero corpo e per ogni scelta del campo

(regolare ) v(x) di velocita virtuali.Inoltre le affermazioni a), b) e c) rimangono equivalenti se alle equazioni

(5.51), (5.201) si sostituisce la loro formulazione materiale (5.81), (5.210).

Capitolo 6

Equazioni costitutive

6.1 Cenni alla termodinamica dei mezzi continui

La notazione e la stessa del capitolo 5. In aggiunta: ε, η, r, q, θ e w denotano,rispettivamente, l’energia interna specifica (cioe per unita di massa), l’entropiaspecifica, la produzione di calore specifica, il vettore flusso termico (q · n rap-presenta il flusso di calore per unita d’area attraverso un elemento superficialeorientato ortogonale a n, questa essento la normale esterna), la temperatu-ra assoluta e la densita (volumica) di potenza delle forze interne (per (5.187)w = −σ · ∇v).

Il bilancio dell’energia in forma integrale (Primo Principio della Termodi-namica), postulato valido per una qualunque parte ∆b del continuo b, si scrivecome segue:

d

dt

∫∆b

ρ ε dv =

∫∆b

ρ r dv +

∫Σ

q · n ds−∫

∆b

w dv. (6.1)

Come gia fatto per il bilancio integrale della massa e della quantita di mo-to, ad esempio, il bilancio energetico si puo localizzare trasformando anzituttol’integrale superficiale in integrale di volume con il teorema della divergenza epoi sfruttando l’assunta continuita degli integrandi e l’arbitrarieta della parte(a frontiera regolare) ∆b. Si ottiene la forma locale del bilancio energetico:

ρε = ρ r + divq − w. (6.2)

La disuguaglianza dissipativa integrale (di Clausius-Duhem), che costitui-sce il Secondo Principio della Termodinamica ed e postulata valida per unaqualunque parte ∆b del continuo b, si scrive come segue:

d

dt

∫∆b

ρ η dv ≥∫

∆b

ρ r

θdv +

∫Σ

q · nθ

ds. (6.3)

Poiche, con il teorema della divergenza,∫Σ

q · nθ

ds =

∫∆b

(divq

θ− 1

θ2q · ∇θ

)dv, (6.4)

101

102 CAPITOLO 6. EQUAZIONI COSTITUTIVE

la localizzazione della disuguaglianza dissipativa risulta essere:

ρη ≥ ρ r

θ+

divq

θ− 1

θ2q · ∇θ. (6.5)

Utilizzando il bilancio energetico locale (6.2), la disuguaglianza dissipativalocale diventa

ρ(ε− θη) + w − 1

θq · ∇θ ≤ 0. (6.6)

Da questa, mediante l’introduzione della energia libera specifica (di Helmoltz)

ψ = ε− θη, (6.7)

si ottiene la disuguaglianza dissipativa ridotta

ρψ + ρηθ + w − 1

θq · ∇θ ≤ 0 (6.8)

che fornisce tra l’altro le restrizioni poste dalla termodinamica alle equazionicostitutive, come vedremo in due casi significativi.

6.1.1 Corpi termoelastici (omogenei)

Supponiamo che la forza di massa e la produzione di calore specifiche, F e rsiano dati del problema dinamico, indipendenti dal moto del corpo; definia-mo inoltre z = ∇θ. Un corpo per il quale vale l’(ulteriore) ipotesi costitutivache ψ, η,σ, q siano funzioni di F , θ, z e che ne su queste variabili ne sui loroincrementi siano presenti vincoli, e detto termoelastico (omogeneo). In questeipotesi la disuguaglianza (6.8) diviene

ρ( ∂ψ

∂FrsFrs +

∂ψ

∂θθ +

∂ψ

∂zrzr

)+ ρηθ − σrsFrk(F−1)ks −

1

θq · z ≤ 0, (6.9)

e deve essere ritenuta valida per ogni scelta di F , θ, z, F , θ, z.Poiche c’e un solo termine che moltiplica z esso deve essere nullo:

∂ψ

∂zr= 0 e quindi ψ = ψ(F , θ). (6.10)

Comunque si fissino le variabili F , θ, z, la disuguaglianza (6.9), pensata rispettoagli incrementi, che qui temporaneamente indichiamo x1, . . . , xk, ha la forma∑i α

i xi + β ≤ 0, con gli αi e β costanti e le xi arbitrarie. Non e difficileconvincersi che una tale disuguaglianza e equivalente alle β ≤ 0, αi = 0, i =1, . . . , k, e quindi la (6.9) si spezza nelle due relazioni

1

θq · z ≥ 0 e

( ∂ψ

∂Frs− σrk(F−1)sk

)Frs + ρ

(∂ψ∂θ

+ η)θ = 0. (6.11)

La seconda vale se e solo se si annullano entrambe le parentesi. Quindi

η = η(F , θ) e η = −∂ψ∂θ

; inoltre (6.12)

6.1. CENNI ALLA TERMODINAMICA DEI MEZZI CONTINUI 103

σ = σ(F , θ) e ρ∗∂ψ

∂F rL= PLr = Jσ sr (F−1)Ls . (6.13)

Il tensore P e il tensore degli sforzi di Piola, essenziale in elasticita nonlineare.Le relazioni precedenti si riassumono dicendo che ψ e un potenziale termodina-mico per η e σ.

6.1.2 Fluidi linearmente viscosi

Ipotesi costitutive:

ψ = ψ(ρ, θ), η = η(ρ, θ), q = q(ρ, θ,∇θ), (6.14)

w = −σ ·D = −D ·I(−p+λtrD)−2µD ·D = (−p+λtrD)(−trD)−2µ‖D‖2.(6.15)

Ponendo

G(ρ, θ,D, θ) = ρ(∂ψ∂ρ

ρ+∂ψ

∂θ

)+ ρηθ + w, F (ρ, θ,∇θ) =

1

θq · ∇θ, (6.16)

la disuguaglianza dissipativa ridotta (6.8) diviene

G− F ≤ 0. (6.17)

Poiche F (ρ, θ,0) = 0 e G(ρ, θ,0, 0) = 0, questa e equivalente alla validita se-parata della disuguaglianza di Fourier F ≥ 0 (basta prendere D = 0, θ = 0) edella disuguaglianza della dissipazione interna, G ≤ 0 (basta prendere ∇θ = 0).Quest’ultima, tenendo conto dell’equazione di continuita ρ+ρtrD = 0, si scrivenella forma

ρ(∂ψ∂ρ

ρ+(η +

∂ψ

∂θ

)θ)

+ w = ρ(−ρ∂ψ

∂ρtrD +

(η +

∂ψ

∂θ

)θ)

+ w ≤ 0. (6.18)

Ponendo ad esempio D = 0 si vede che questa disuguaglianza e equivalente allerelazioni

η = −∂ψ∂θ

e − ρ2 ∂ψ

∂ρtrD + w ≤ 0. (6.19)

Consideriamo ora la decomposizione di D nelle sue parti sferica e deviatorica:

D =1

3(trD)I + ∆, ∆ := D − 1

3(trD)I, tr∆ = 0, (6.20)

e riscriviamo l’espressione di w:

w = p trD − λ(trD)2 − 2µD ·D, con D ·D =1

3(trD)2 + ‖∆‖2. (6.21)

Poiche trD e ‖∆‖ sono indipendenti, la disuguaglianza della dissipazione inter-na, cioe (

−ρ2 ∂ψ

∂ρ+ p)

trD − (λ+2

3µ)(trD)2 − 2µ‖∆‖2 ≤ 0 (6.22)


equivale alle relazioni (il volume specifico υ e 1/ρ e ψ(υ, θ) := ψ(1/υ, θ))

p = ρ2 ∂ψ

∂ρ= −∂ψ

∂υ, λ+

2

3µ ≥ 0, µ ≥ 0. (6.23)

La prima uguaglianza si puo esprimere dicendo che la pressione meccanica pcoincide con la pressione termodinamica −∂ψ∂υ .

6.2 Thermodynamic potentials and their inva-riance

Later on we will adopt nonlinear elasticity theory to describe the behavior ofcrystalline substances that can change phase. The basic model is the one of ahomogeneous thermoelastic material, which admits an internal energy density1

ε, an entropy density η and a (Helmholz) free energy density φ. The constitutiveequations for these quantities have the form:

ε = ε(F , θ), η = η(F , θ), φ = φ(F , θ) := ε(F , θ)− θ η(F , θ), (6.24)

with F ∈ D and θ ∈ I . Here θ is the absolute temperature, which varies ina suitable interval I , and D ⊆ Aut is a suitable open set of allowed deforma-tion gradients. The constitutive functions in (6.24) are supposed to be smoothenough over their domain to allow for all the operations that will be necessary.

The Clausius-Duhem inequality, a form of the second principle of thermo-dynamics, requires φ to be a potential for the Piola–Kirchhoff stress tensorP and the entropy density η (for such constitutive restrictions see for instance[80], who also introduce the Cauchy stress tensor T and the second (symmetric)Piola-Kirchhoff stress tensor σ ):

P =∂φ

∂Fand η = −∂φ

∂θ, P = JTF−t = Fσ . (6.25)

In continuum mechanics one imposes two types of invariance on the constitu-tive functions ([79]). The first invariance, called objectivity or frame indifference,in its standard form relates to any isometric change of coordinate system, whichaffects the present configuration (see (6.29) below); the other, called materialsymmetry, relates to the changes in the reference configuration that are mechani-cally undetectable (see (6.30) below). Neither change affects the scalar thermalvariable θ. In the case of thermoelastic materials the first invariance reduces tothe Galilean invariance and, indeed, to the Euclidean invariance, that is, to theinvariance under changes of observer through any rigid-body displacement.2

1All the densities are intended per unit reference volume.2As in [80], here we admit motions which do not preserve the orientation of space, so

that Q in (6.26) below can vary in O and not only in O+. There is some debate aboutthis issue; see for instance [34]. However, this does not affect the final invariance properties(6.35) of the constitutive function φ for the class of elastic crystals considered here, which arecentrosymmetrical by material symmetry. A word of caution in favor of O+ should be saidfor the invariance of constitutive equations of multilattices.

6.2. THERMODYNAMIC POTENTIALS AND THEIR INVARIANCE 105

The invariance of the free energy function φ of homogeneous thermoelasticmaterials due to both objectivity and material symmetry reduces to the equali-ties in (6.35) below. To see this, introduce a new reference configuration R′ bymeans of an invertible affine map κ of R onto R′, with gradientH := Dκ ∈ Aut .In addition, consider any new observer with same space-time units as the ori-ginal one, and label with a prime geometric and kinematic quantities relatedto the new observer. Since the change of observer preserves the space-time di-stance and the orientation of time, the positions y′ and y and times t′ and t,representing the same event-point for the new and old observer, are related inthis way:

y′ = Qy + y0, t′ = t+ a , (6.26)

for some Q ∈ O,y0 ∈ R3, and a ∈ R. Classical arguments (see for instance [79])then show that the response function φ′ giving the free energy of the body indeformations relative to the new reference configuration R′ and with respect tothe new observer, is related to the original free energy function φ as follows:

φ′(F , θ) = (detH)−1φ(QtFH, θ) . (6.27)

On the one hand, Euclidean invariance requires the response functions φ′

and φ to coincide for any change of observer; that is, in (6.27) φ′ must coincidewith φ when H = 1, for any Q ∈ O and F ∈ D :

φ(F , θ) = φ(QF , θ). (6.28)

The domains of φ′ and φ must also coincide, and this in turn forces the domainD of φ to be invariant under left multiplication by any orthogonal tensor. Animportant consequence of (6.28) is that the constitutive function is independentof the orthogonal part R in the polar decomposition (1.17) of F , so that φ onlydepends on U , or on C introduced in (1.25):

φ(F , θ) = φ(U , θ) ⇔ φ = φ(C, θ). (6.29)

On the other hand, material symmetry requires that there be a (possiblytrivial) group G of unimodular tensors H such that

φ(F , θ) = φ′(F , θ) ⇔ φ(F , θ) = φ(FH, θ), (6.30)

for any F in the common domain D of φ′ and φ, any H in G, and any θ;thus the domain D must be invariant also under right multiplication by anyH ∈ G. The group G is called the material symmetry group relative to thereference configuration R. Its elements are called material symmetries; by (6.30)they are the gradients of affine maps giving new reference configurations forwhich the response function φ remains unchanged. Such new configurations aremechanically indistinguishable from the old reference state, because they giverise to the same mechanical response to any subsequent deformation; for this


reason the group G greatly contributes to the characterization of the specificmechanical properties of a material.3

The material symmetry group depends on the reference configuration asfollows: if R is obtained from R by an affine transformation κ with Dκ = H ∈Aut , then, in obvious notation,

G = HGH−1 . (6.31)

For simplicity we do not indicate the explicit dependence of φ, φ,D and G onthe reference configuration R.

Notice that, by (1.25),

F = RFH ⇔ C := F tF = HtCH, (6.32)

hence the analogue of (6.35) for the function φ in (6.29) is

φ(C, θ) = φ(HtCH, θ) (6.33)

for all H ∈ G, all C = F tF with F ∈ D , and all θ. Since (6.33) trivially holdsforH = −1, in the classical theory of nonlinear elasticity the material symmetrygroup of any reference configuration always contains the central inversion (seefor instance [80], §31):

−1 ∈ G . (6.34)

To summarize, the invariance of the constitutive function φ in nonlinearthermoelasticity theory is given by

φ(F , θ) = φ(QFH, θ) (6.35)

for all θ, all F ∈ D , all Q ∈ O and all H in a suitable group G of unimodulartensors containing at least −1. Similarly for the functions ε and η in (6.24).One can propose a choice of the group G for multiphase crystals based on themolecular model of simple lattices.

6.2.1 Stability of equilibrium

We will mostly be concerned with static aspects of certain solid-state phasetransitions in crystalline materials. We assume that equilibria and their stabili-ty may be analyzed through the classical energy method, which is presented andput in a critical perspective in relation to dynamical stability by [46], for instan-ce; see also [20], [25], [43], [52], [4]. Therefore we define the equilibrium states ofa body to be the critical points of the function or functional giving the value ofa suitable thermodynamic potential, as discussed below.4 An equilibrium will

3In the classical extension to nonlinear elasticity of the assumptions made in linear ela-sticity, it is assumed ([80]) that a body is solid if there is a reference configuration, calledundistorted, such that its material symmetry group G is contained in the orthogonal group:G ≤ O. In particular, the solid is isotropic if G = O, and is crystalline if G coincides withcertain subgroups of O (Laue groups).

4There are also approaches to equilibrium in which the existence of a potential is notassumed; for instance the ones originating from the work of [76] (see [84], [82]).


be called stable when it is an absolute minimizer, and metastable when it isa relative minimizer in some appropriate sense. Since we mostly consider thesimplest minimizers, we do not detail the technical aspects of the nonconvexvariational problems originating from crystal mechanics, in particular the needto consider minimizing sequences in addition to minimizers; we refer to [18], [5],[6], [8], [50], [51], [9], [83], [57], [63], and the literature quoted therein.

The choice of the potential to be minimized depends, among other things,upon the choice of boundary conditions. Here we consider the case of a crystal-line solid immersed in a heat-bath whose temperature θ0 and pressure p0 areconsidered as control parameters. This is the problem addressed by [36] in hisfamous memoir on the equilibrium of heterogeneous substances. In this casethe appropriate potential to be minimized is the availability A, sometimes alsocalled ballistic free energy, whose constitutive function is – see (1.3), (6.24):

A = A(F , θ, θ0, p0) := ε(F , θ)− θ0 η(F , θ) + Jp0 ; (6.36)

thus the total availability functional of the body is the volume integral

A[χ, θ; θ0, p0] :=

∫R

A(Dχ(x), θ(x), θ0, p0

)dx . (6.37)

The motivation for this choice comes from the earlier work of [19] and thethermokinetic approach of [20], who show that the sum of A and of the totalkinetic energy is a nonincreasing function of time along processes for the solidimmersed in a heat-bath whose state is described by the parameters θ0 andp0, in the absence of body forces and heat sources for the solid itself (see also[64], [46], [48], [29]; [83] in particular presents an extension including arbitraryexternal forces deriving from a potential).

For the purpose of establishing a simpler minimization problem, we restrictour attention to the special but interesting minimizers (χ, θ) of A that arehomogeneous ([33]). Therefore we look for minimizers of the integrand A inthe (F , θ)-space Aut×I . The usual critical point necessary condition for aminimum of the function A in (6.36) gives:

∂ε

∂θ= θ0

∂η

∂θand

∂

∂F(ε− θ0η) = −p0 J F

−t . (6.38)

If the specific heat (at constant configuration)

κ := θ∂η

∂θ= −θ∂

2φ

∂θ2(6.39)

is not zero, then5 (6.40)2 and the relation between the functions ε(F , θ) and

5The condition κ 6= 0 also guarantees that (6.25)2 can be inverted to give θ = θ(F , η), sothat the internal energy density ε = ε(F , η) := ε(F , θ(F , η)) is a potential for P and θ, thetwo constitutive restrictions (6.25) being equivalent to

P =∂ε

∂Fand θ =

∂ε

∂η. (6.40)


ε(F , η) in footnote 5 imply that (6.38)1 is equivalent to

θ = θ0. (6.41)

This says that in equilibrium the solid has everywhere the same temperature asthe environment. Granted this, (6.38)2 becomes

P (F , θ0) =∂φ

∂F

∣∣θ=θ0

= −p0 JF−t ⇔ T = −p01 , (6.42)

so that the equilibrium stress of the body is necessarily everywhere hydrostatic,with the same pressure as the environment.

Formula (6.42)1 is exactly the critical point condition for the Gibbs freeenergy φ+ Jp evaluated at the heat-bath temperature θ0 and pressure p0, thatis, for the potential

γ(F ; θ0, p0) := φ(F , θ0) + Jp0 , (6.43)

in which θ0 and p0 are regarded as control parameters.Furthermore, the second differential test for a minimum of the availability

A, applied to the critical points satisfying (6.41), reads6

d2A = dF · ∂2γ

∂F ∂FdF +

κ

θ0dθ2 ≥ 0 ; (6.44)

so, if we also assume κ to be positive, (6.44) holds if and only if the seconddifferential of the potential γ in (6.43) is nonnegative. In the rest of this volumewe will assume κ > 0; the discussion above then shows that minimizing A inAut × I is equivalent to minimizing γ in Aut. The potential γ is regarded asthe appropriate one for loading by hydrostatic pressure by [25] and [43], [44],for instance.

We call natural state any stable or metastable, unstressed or hydrostatical-ly stressed, equilibrium state corresponding to assigned values of the controlparameters θ0 and p0 and to no other loads.

For simplicity, in most cases we will consider the hydrostatic load to benegligible, and will set p0 = 0. Then γ reduces to the Helmoltz free energydensity φ evaluated at the environmental temperature θ0. In the hypothesesabove the equilibria of the solid are minimizers of the (free) energy functional

Φ[χ, θ] =

∫R

φ(Dχ(x), θ)

)dx (6.45)

at fixed temperature, which here and hereafter we just indicate by θ. Conse-quently, in what follows, we will look for the body configurations that minimizethe energy functional at a given temperature. We assume φ to be boundedbelow, and choose the arbitrary additive constant in such a way that φ ≥ 0,whence also Φ[χ, θ] ≥ 0.

6Remember (6.25), (6.39). We have A = φ+(θ−θ0)η. Therefore ∂A∂θ

= ∂φ∂θ

+(θ−θ0) ∂η∂θ

+η =

(θ − θ0) ∂η∂θ

, hence ∂2A∂θ

2∣∣∣0

= κθ0

and ∂2A∂F∂θ

∣∣∣0

= 0.


2

=

2

1 e1

e

e

e_

_

Figura 6.1: Cambiamento di base reticolare

Notice that the potentials A, γ, and φ all have the same invariance underboth objectivity and material symmetry. In particular, their dependence on Fis only through the stretch U or the Cauchy-Green tensor C.

6.2.2 An outlook at crystal symmetry motivated by thestudy of phase transformations in crystals

L = Naea, a = 1, 2, 3, Na ∈ Z = L (ea).

The lattice vectors (also lattice basis) ea are linearly independent. Notice:

L (ea) = L (ea) ⇔ ea = mbaeb m ∈ GL(3, Z)

(in the 2-d case, have GL(2, Z)).

Real crystals are not in general 1-lattices. Need MULTILATTICES: union of ninterpenetrating translates of a 1-lattice.

In the study of crystal symmetry various aspects have been analyzed classi-cally: Kepler (1611-1619), followed by Hooke (1665) and, later, Hauy (1822),studied periodic structures, and tiling and packing problems.

A major early advance was the classification of the different ‘kinds’ of su-bgroups of O(3) – various authors, circa 1830. These are the famous ‘pointgroups’, that is, the groups of symmetries of finite objects. Here, ‘kind’ =conjugacy class in O(3). This classification criterion is used because ‘rotated’objects are regarded to have essentially the same symmetry group.

Disregarding isotropy (sphere) and transverse isotropy (circular cilinder), andconsidering only the proper orthogonal transformations, we have:


x

y

z

x

y

Figura 6.2: Hexagonal close-packed unit cell

Teorema 6.1 The finite subgroups of SO(3) are all orthogonally equivalent toa group in the following list

1, Zn, Dn, T , O, I .

NOTE: These are respectively the symmetry groups of the n-pyramid, the n-prism, and of the five Platonic solids.

When also − is considered, the situation is slightly more complex.

Corollario 6.2 Among the infinitely many equivalence classes, which inclu-de the ones above, 32 are the classes of groups that leave some simple latticeinvariant (they satisfy the ‘crystallographic restriction’).

The groups belonging to these 32 ‘crystal classes’ are called crystallogra-phic point groups.

Given a lattice L (ea), its (crystallographic) point group, also called holo-hedry is thus:

P (ea) = Q ∈ O(3) : QL (ea) = L (ea).

Among the 32 crystal classes, only the groups in 7 classes are maximal for theproperty of leaving a 1-lattice invariant: these 7 classes are called the CrystalSystems – with the familiar names:

Triclinic, monoclinic, orthorhombic,rhombohedral, tetragonal, hexagonal, cubic.

The fundamental problem studied by Bravais (also Frankenheim, Cauchy)was then:Which 1-lattices are left invariant by the 32 crystallographic point groups (orindeed, by the 7 maximal ones)?that is:


176 Teoria elementare delle biforcazioni

de symetrie, lorsqu’en faisant varier d’une maniere continue les espacementsdes Sommets de l’un des Assemblages, sans qu’il perde un seul instant sesaxes de symetrie, on ne peut, malgre cela, le rendre que partiellement su-perposable avec l’autre Assemblage.”

that is:

Two lattices are of the same type when one is deformable onto the otherwithout loss of symmetry elements at any stage of the deformation.

With this notion Bravais finds the classical 14 lattice types bearing hisname.

NOTICE: several lattice types belong in general to same crystal system.For instance, body-centered, face-centered and primitive cubic lattices areall in the cubic system. But the distinction of lattice type is very important!The bcc - fcc transformation in iron is perhaps the most important one inmetallurgy...

Similarly, Bravais identified as distinct, for instance, the primitive andthe base-centered orthorhombic lattices. However, unrelated to this classi-fication problem, Ericksen [27] notices that they can be deformed one ontothe other without symmetry losses (that is, without lowering the crystalsystem):

Fig. 9.3. Una versione bidimensionale dell’esempio di Ericksen

So, it is not clear whether the deformation criterion is the ‘correct’ one.

At the turn of the century, workers had started a parallel line of thinking,leading to a di!erent criterion (thought to be equivalent to the original oneby Bravais).

9.2.1.1 Arithmetic symmetry of simple lattices

Recall: The problem is to define what it means that two lattices are ‘dis-tinct’.

Need to introduce a di!erent incarnation of the point group of a lattice

Figura 6.3: Una versione bidimensionale dell’esempio di Ericksen

Bravais (1850): for any crystal system, to find all distinct simple lattices whosesymmetry group belongs to that system.

The meaning of distinct is not so obvious –Frankenheim and earlier authors hadbeen unclear and made ‘mistakes’. Bravais strives for clarity, and says:“Deux Assemblages de la meme classe appartiennent a des modes distincts desymetrie, lorsqu’en faisant varier d’une maniere continue les espacements desSommets de l’un des Assemblages, sans qu’il perde un seul instant ses axes desymetrie, on ne peut, malgre cela, le rendre que partiellement superposable avecl’autre Assemblage.”

that is:

Two lattices are of the same type when one is deformable onto the other withoutloss of symmetry elements at any stage of the deformation.

With this notion Bravais finds the classical 14 lattice types bearing his name.

NOTICE: several lattice types belong in general to same crystal system. Forinstance, body-centered, face-centered and primitive cubic lattices are all in thecubic system. But the distinction of lattice type is very important! The bcc -fcc transformation in iron is perhaps the most important one in metallurgy...

Similarly, Bravais identified as distinct, for instance, the primitive and thebase-centered orthorhombic lattices. However, unrelated to this classificationproblem, Ericksen [22] notices that they can be deformed one onto the otherwithout symmetry losses (that is, without lowering the crystal system):

So, it is not clear whether the deformation criterion is the ‘correct’ one.

At the turn of the century, workers had started a parallel line of thinking,leading to a different criterion (thought to be equivalent to the original one byBravais).

Arithmetic symmetry of simple lattices

Recall: The problem is to define what it means that two lattices are ‘distinct’.

Need to introduce a different incarnation of the point group of a lattice L (ea):its lattice group L(ea), defined as the group of matrices representing the lattice


HexSquare

Rectangle

Rhombon(centered rectangle)

Parallelogram

9.2 An outline of crystal symmetry 177

L (ea): its lattice group L(ea), defined as the group of matrices repre-senting the lattice symmetries in the lattice basis:

L(ea) = m ! GL(3, Z) : mbaeb = Qea,Q ! P (ea).

Now, consider two simple lattices L = L (ea) and L = L (µea) and theirlattice groups.

Definizione 9.3 L and L are of the same Bravais type i! for suitablechoices of their bases they have the same lattice group –that is, the sameintegral matrices representing their symmetries.

Equivalently:

L and L are of the same Bravais type i! their lattice groups are ‘arith-metically’ equivalent, that is, conjugate in GL(3, Z) – not in O(3).

In 2-d everything is the same with GL(2, Z).

With this definition one analyzes the lattice types by studying the conju-gacy classes of lattice groups in GL(3, Z) (and GL(2, Z)). Studying theseconjugacy classes led to the following definitive

Teorema 9.4 (Burkhardt, circa 1930)) There are 5 types of lattices in2 dimensions, and 14 types in 3 dimensions.

Fig. 9.4. I 5 tipi di reticoli piani

(So Bravais had the right answer anyway.)

Figura 6.4: I 5 tipi di reticoli piani

symmetries in the lattice basis:

L(ea) = m ∈ GL(3, Z) : mbaeb = Qea,Q ∈ P (ea).

Now, consider two simple lattices L = L (ea) and L = L (µea) and theirlattice groups.

Definizione 6.3 L and L are of the same Bravais type iff for suitable choicesof their bases they have the same lattice group –that is, the same integralmatrices representing their symmetries.

Equivalently:

L and L are of the same Bravais type iff their lattice groups are ‘arithmetically’equivalent, that is, conjugate in GL(3, Z) – not in O(3).

In 2-d everything is the same with GL(2, Z).

With this definition one analyzes the lattice types by studying the conju-gacy classes of lattice groups in GL(3, Z) (and GL(2, Z)). Studying theseconjugacy classes led to the following definitive

Teorema 6.4 (Burkhardt, circa 1930)) There are 5 types of lattices in 2dimensions, and 14 types in 3 dimensions.

(So Bravais had the right answer anyway.)

The 5 two-dimensional lattice types The arithmetic symmetry of latticesis related to the problem of the arithmetic equivalence of quadratic forms (La-grange, Dirichlet, Jordan, Sohncke, Niggli) – there is a finite number of classesin any dimension (Jordan).


1

C

C

11

12

1/2

1/2

1/4

C + C = 111 22

C = 012

11C = 1/2

11C = 2C 12

0 11 0

C11

C22

C12

P

P'

P"

178 Teoria elementare delle biforcazioni

The 5 two-dimensional lattice types The arithmetic symmetry of lat-tices is related to the problem of the arithmetic equivalence of quadraticforms (Lagrange, Dirichlet, Jordan, Sohncke, Niggli) – there is a finite num-ber of classes in any dimension (Jordan).

Quadratic forms (‘lattice metrics’) – 2-d caseUp to orthogonal transformations, a simple lattice is defined by its symmet-ric metric matrix Cab = ea · eb.GL(2, Z) acts on the space C +(Q2) of lattice metrics:

C !" mtCm, C = Ct > 0, m # GL(2, Z).

For the kinematics of deformable lattices one studies the subspaces ofC +(Q2) left pointwise invariant by some (finite) subgroup of GL(2, Z). In2-d all is known (review: [73]). Not so in 3-d.

Fig. 9.5. Rappresentazione proiettiva dello spazio C +(Q2); dominio fondamentaleper reticoli piani

In the same way GL(3, Z) acts on C +(Q3). For us, the 3-d frameworkis much more interesting; however the details of this action are known onlylocally, near any point of C +(Q3). The global structure of C +(Q3) is notwell understood –only neighborhoods. The following holds:

Teorema 9.5 ((Reconciliation)) For any basis ea with metric C there isa neighborhood Nea in the 9-dimensional space of vector triples such that

1) Nea is O(3)-invariant, that is, RNea = Nea for all R # O(3);

Figura 6.5: Rappresentazione proiettiva dello spazio C +(Q2); dominiofondamentale per reticoli piani

Quadratic forms (‘lattice metrics’) – 2-d case

Up to orthogonal transformations, a simple lattice is defined by its symmetricmetric matrix Cab = ea · eb.GL(2, Z) acts on the space C +(Q2) of lattice metrics:

C 7→ mtCm, C = Ct > 0, m ∈ GL(2, Z).

For the kinematics of deformable lattices one studies the subspaces of C +(Q2)left pointwise invariant by some (finite) subgroup of GL(2, Z). In 2-d all isknown (review: [55]). Not so in 3-d.

In the same way GL(3, Z) acts on C +(Q3). For us, the 3-d frameworkis much more interesting; however the details of this action are known onlylocally, near any point of C +(Q3). The global structure of C +(Q3) is not wellunderstood –only neighborhoods. The following holds:

Teorema 6.5 ((Reconciliation)) For any basis ea with metric C there is aneighborhood Nea in the 9-dimensional space of vector triples such that

1) Nea is O(3)-invariant, that is, RNea = Nea for all R ∈ O(3);

2) FNea = Nea for all F ∈ P (ea) and FNea ∩ Nea = ∅ for all F ∈G(ea)\P (ea).

Equivalently, for the metric C there is a neighborhood NC in C-space such thatmtNCm = NC for all m in L(ea), that is those for which mtCm = C, andmtNCm ∩NC = ∅ for all m ∈ GL(3, Z)\L(ea).


Figura 6.6: The tree of holohedral subgroups PL(ea) when ea is a cubic ba-sis. Vertical and oblique lines indicate inclusion, while horizontal lines indicateconjugacy within Cijk. Corresponding to the centering of the cubic basis eaindicated under Cijk, and in the same position, one finds, under the name ofeach holohedral subgroup in the table, the centering of the bases which belongto the wt-nbhd Nea and have that holohedry as symmetry group. For simplicityonly the inclusions of the monoclinic holohedries in two of the rhombohedralholohedries are shown, the others can be easily reconstructed


6.2.3 Energetics of simple lattices

Here we briefly recall the energetic considerations that are at the basis of theelastic approach to mechanical twinning and phase transitions in crystals ([21],[23], [27], [5]).

Let the open, bounded subset R of R3 be a homogeneous reference configu-ration for a crystal viewed as a continuous body, and, in R, let the crystallinelattice be described by the simple lattice L (e0

a) generated by reference latticevectors e0

a. The macroscopic deformation of the reference shape R is describedby an invertible function y : R → R3 which, as usual, is assumed to be con-tinuous, invertible and orientation-preserving, that is, with gradient F = Dysuch that detF > 0. The symmetric, positive-definite right Cauchy-Green ten-sor of y is given by C = F tF = U2, where U is the right stretch tensor in thepolar decomposition F = RU .

Constitutive equations and their invariance

In agreement with the molecular theories of elasticity, the Helmholtz free energydensity φ per unit cell of the lattice L (ea) is assumed to be a smooth functionφ of the lattice vectors and of the temperature θ:

φ = φ(ea, θ); (6.46)

Galilean invariance together with the fact that a set of lattice vectors ea forL (ea) is only determined up to transformations in GL(3,Z) impose to thefunction φ the following general invariance properties (see [23], [28]):

φ(ea, θ) = φ(Rea, θ) and φ(ea, θ) = φ(mbaeb, θ), (6.47)

for all R ∈ O and all m ∈ GL(3,Z). Equivalently:

φ(ea, θ) = φ(C, θ) with φ(C, θ) = φ(mtCm, θ), (6.48)

for all C ∈ C +(Q3) and all m ∈ GL(3,Z).

In order to obtain an elastic model it is necessary to connect the molecu-lar and continuum pictures. This is done by linking the overall macroscopicdeformation of the body and the movements of atoms via the Cauchy-Bornhypothesis, briefly called “Born rule” (see [11], [26], [85]). According to it,the lattice vectors behave as material vectors in the continuum: if the crystalin the reference configuration R with crystalline lattice L (ea) experiences ahomogeneous deformation with gradient F , the Born rule states that the vec-tors ea obtained from the reference lattice vectors e0

a through the macroscopicdeformation gradient

ea = Fe0a, (6.49)

constitute a set of admissible lattice vectors for the crystal in the macroscopicallydeformed configuration. We now define macroscopic constitutive functions φ


and φ for the free energy per unit reference volume of the continuum, assumingthe volume of the reference lattice cell to be 1 for simplicity:

φ(F , θ) := φ(Fe0a, θ) = φ(ea, θ), (6.50)

φ(C, θ) := φ(U , θ) = φ(F , θ), (6.51)

where F = RU is the polar decomposition of F . The invariance of thesefunctions is given by

φ(F , θ) = φ(RFH, θ), and (6.52)

φ(C, θ) = φ(HtCH, θ), (6.53)

respectively, for any invertible tensor F , or any C ∈ Sym>, any H ∈ G(e0a),

and any orthogonal R; here the “global symmetry group” G(e0a) ⊂ Lin, consists

of the elements that leave L (e0a) invariant:

G(e0a) = H ∈ Lin : L (ea) = L (HEa)⇔Hea = mb

aeb, m ∈ GL(3, Z) ,(6.54)

where Lin denotes the 9-dimensional space of all invertible second order ten-sors. The material symmetry of φ is thus given by the global symmetry groupG(e0

a) of L (e0a) defined in (6.54). This constitutes Ericksen’s proposal for the

material symmetry of elastic crystals. Since we assume detF > 0, in (6.52) thedeterminants of R and H will have the same sign.

The free energy functional of the unloaded body in the reference configura-tion R is then given by (6.45):

Φ[y; θ] =

∫R

φ(Dy(x), θ)

)dx. (11)r

The minimizers of (6.45) for given temperature are the stable, stress-free equi-libria of the body. We confine ourselves to transitions in which the phase in-terfaces are coherent. Thus we consider continuous and piecewise continuou-sly differentiable deformations for the body, in which the deformation gradientmay suffer jumps across certain surfaces. Here we do not impose any boundaryconditions on the competitors or the minimizers of (6.45).

Restriction of the energy domain; energy minimizers

The model for phase transitions is based on the assumption of suitable non-unique, temperature-dependent minimizers for the energy function, describingthe material phases ([5], [30], [31]).

We assume, without loss of generality, that the high-symmetry phase, descri-bed by lattice vectors e0

a(θ), is of maximal symmetry, that is, cubic or hexagonal,and that it is stable at high temperatures, say θ > θT . For the symmetry-breaking transitions that we are considering, it is always possible to restrictthe energy domain to a neighborhood of the undistorted parent phase at thetransition temperature, that is, to a neighborhood Ne0

a(θT ) with the properties


mentioned in Theorem 6.5. This gives a sound way to restrict the domain ofthe constitutive equation and cut down its invariance.

At low temperatures, θ < θT , we assume that absolute stability switches toone of the variant structures in Ne0

a(θT ) (to be explained). This describes thesymmetry-related variants of a low-symmetry product phase that is stable atlower temperatures. Thus, besides the above parent phase e0

a(θ), we assume thatthere are vectors ea(θ) ∈ Ne0

a(θT ) representing (one variant of) the “product”phase, in such a way that except for what is dictated by the energy invariance(6.47), the minimizers of φ be as follows (see also [5], [51]): for ‘all’ lattice basesaa ∈ Ne0

a(θT ),

if θ > θT , φ(aa, θ) > φ(e0a(θ), θ); (6.55)

if θ = θT , φ(aa, θT ) > φ(e0a(θT ), θT ) = φ(ea(θT ), θT ); (6.56)

if θ < θT , φ(aa, θ) > φ(ea(θ), θ). (6.57)

We can normalize the orthogonal transformation out of both e0a(θ) and ea(θ),

and define e0a(θ) = U(θ)e0

a(θT ); the stretch U(θ), which is symmetry-preservingfor e0

a(θT ) by hypothesis, gives the thermal expansion of the parent phase. Wealso define the transition stretch U1, say, such that ea(θT ) = U1e

0a(θT ), and the

symmetry-preserving stretch U(θ) such that ea(θ) = U(θ)ea(θT ). The latterstretch gives the termal expansion of the product phase.

The treatment of symmetry summarized in sections 2-4 has some importantimplications regarding the energy minimizers. Indeed, the transition stretch U1

is necessarily a symmetry-breaking stretch for e0a(θT ), and, as a consequence of

(6.55), (6.56), and (6.57), it is not difficult to see that for θ > θT the absolu-te minimizers of the energy are on the orbit Oe0

a(θ) (parent phase), while forθ < θT the absolutely minimizing orbits in Ne0

a(θT ) are OU1ea(θ), . . . ,OUNea(θ)

(product-phase variants). At the transition temperature θ = θT the high-symmetry and the low-symmetry phases exchange their roles as absolute mini-mizers of φ, although they may exist as relative minimizers (metastable states)also in some range of temperatures where the other phase is the most stable.The minimizing orbits of the energy are called its “wells”.

Clearly, the above statements regarding the minimizers of φ can be imme-diately restated in terms of minimizers of φ, φ or φ.

Constitutive functions satisfying the aforementioned hypotheses under va-rious symmetry and smoothness assumptions are considered by [23], [30], [31],[14], [16], [71]. See also [5], [51], and [65]. Depending on their invariance, smoo-th energies may also generically have low-symmetry minimizers in two sets ofvariant orbits. According to the discussion above, we assume that this doesnot happen, and that the transition stretch variants are given by the symmetrybreaking stretches (da giustificare), of which we use nomenclature and notation.

6.2.4 The elasticity tensor

For the sake of comparison with the classical theories, which are always con-cerned with the description of continua, here we concentrate on the function


φ = φ(C, θ) introduced in (6.29). We are interested in the properties of φ nearany one of the minimizing points, C say, at the temperature θ. As is usual inthis case, we change reference configuration and take the minimizer C (or theassociated lattice vectors ea = Ue0

a, U2 = C) as the reference configuration. If

necessary we use formula (6.27) to define a new constitutive function, for whichwe keep the same symbol φ(C, θ) as before, for simplicity. Now, by assumption,φ(C, θ) has a minimizer in (1, θ). In addition, we restrict the domain of φ toa w.t. neighborhood N1 ⊂ Sym> containing only one minimizer (that is, 1);then one has, by hypothesis,

φ(C, θ) > φ(1, θ) for all C ∈ N1\1. (6.58)

By the arguments in §9.2.2, the invariance of φ(C, θ) restricted to N1 isthe point group (holohedry) P (ea). Therefore the restricted φ satisfies theinvariance requirements proposed by [15] for nonlinearly elastic crystalline solids.

Considering φ(C, θ) as above, and assuming that it admits at least piecewisecontinuous second derivatives with respect to C, we introduce the classicalfourth-order elasticity tensor – also called ‘the tensor of the elasticities’:

C =∂2φ

∂C∂C, C : V 7→ C[V ], V ∈ Sym. (6.59)

The map C can be viewed as a (C, θ)-dependent symmetric map from the six-dimensional space Sym to itself. More explicitly, given any coordinate systemin R3 and the induced coordinates in Sym, one has

(C[V ])ij = CijhkVhk, Cijhk =∂2φ

∂Cij∂Chk, (6.60)

φ(Cij , θ) being the explicit expression of φ(C, θ) in that coordinate system.Thus, by definition, C enjoys the ‘minor’ and ‘major’ symmetries, that is, theinvariance under the exchange of the indices in first or in the second pair, andunder the exchange of the first and the second pairs of indices, respectively:

Cijhk = Cjihk = Cijkh = Chkij . (6.61)

This means that the elasticity tensor has at most 21 independent entries.

We let L be the tensor of the elasticities at the minimizer (natural state):

L = C(1, θ). (6.62)

The second-derivatives test for a minimum of φ at (1, θ) requires L to be positivesemi-definite:

V · L[V ] ≥ 0 for all V ∈ Sym. (6.63)

Also, the invariance (6.33) of φ implies that C in (6.59) obeys the followingtransformation rule, for all C ∈ N1, V ∈ Sym and H ∈ G(ea):

C(C, θ)[V ] = HC(HtCH, θ)[HtV H]Ht. (6.64)


Therefore the tensor L of elasticities of a crystal in a natural state in which thelattice is generated by vectors ea satisfies the following invariance condition:

QtL[V ]Q = L[QtV Q] for all V ∈ Sym and Q ∈ P (ea). (6.65)

For sufficiently small deformations in N1 the free energy function φ can be ap-proximated, up to higher order terms in ‖u‖, u := y−x being the displacementvector, by the function

φ =1

2E · L[E] (6.66)

of linear elasticity theory; here the tensor of classical elasticities L and theinfinitesimal strain tensor E are

L = 4L, 2E := Du+ (Du)t, (6.67)

Remark 1. It is customary to utilize the Voigt index convention

11→ 1, 22→ 2, 33→ 3, 23→ 4, 13→ 5, 12→ 6, (6.68)

and represent the fourth-order tensor C in (6.59) with the symmetries (6.61)as a 6 by 6 symmetric matrix. One first represents the elements of Sym assix-dimensional vectors: V = V IUI , with

U1 =

1 0 0

0 0 0

0 0 0

, U2 =

0 0 0

0 1 0

0 0 0

,U3 =

0 0 0

0 0 0

0 0 1

, (6.69)

U4 =

0 0 0

0 0 1

0 1 0

,U5 =

0 0 1

0 0 0

1 0 0

, U6 =

0 1 0

1 0 0

0 0 0

.

Since not all the UI in (6.69) are of unit norm, it is useful to introduce the dualbasis U I and represent any element of Sym in either basis: V = V IUI = VIU

I .It is straightforward to check that U1 = U1,U4 = 2U4, V1 = V 1, V4 = 2V 4, etc.Then we can represent C by means of a six by six symmetric matrix:

(C[V ])I = CIJVJ , where (6.70)

C12 = C1122, C14 = 2C1123, C45 = 4C2331, etc., (6.71)

as dictated by (6.69).7 In this notation the energy (6.67) has the expression

φ =1

2LIJEIEJ ; (6.72)

here (LIJ) is the 6 by 6 symmetric matrix of the elastic moduli given by (6.67)and the analogues of (6.70), (6.71), and EI are the components of the infinite-simal strain vector E in (6.67). This matrix of elastic moduli satisfies certain

7CIJ = (UI)rs Crshk(UJ )hk and Ers = EI(UI)rs.


conditions that are equivalent to the invariance requirements (6.65). These areused, for instance by [49], to present the classical forms of this matrix for thevarious symmetry classes of anisotropic linearly elastic solids.

Remark 2. As we mentioned above, by (6.61) the independent entries of anelastic tensor (6.59) are 21. Cauchy (1828a,b), in his model of elasticity for asimple lattice whose points interact through central binary forces, derived a setof extra symmetries for C:

Cijhk = Cihjk (6.73)

which are known as the Cauchy relations. These symmetries imply, togetherwith (6.61), that C is symmetric with respect to the exchange of any two in-dices, and reduce the number of independent entries in the elasticity tensor toa maximum of 15. Some solids, especially those whose atomic bonds are ionic,do indeed satisfy (6.73). However, it is well known that in general the Cauchyrelations do not hold for crystals (see [49]). This prompted various authorsinterested in deriving the expression for the energy of crystalline solids frommolecular calculations – notably Voigt, Kelvin, Poincare, Born (see [73]) – torevise and generalize Cauchy’s model and assumptions, so as to avoid (6.73)being a necessary consequence of the theory. Among these, we mention theproposal by [10], also presented by [11], to replace the simple lattices of Cauchyby the more realistic multilattices, whose geometry and kinematics is described,for instance, in [65]. For a more detailed discussion of the Cauchy relations wealso address the reader to [49], [73], [21], [26].

6.3 Bifurcation patterns

Primo esempio elementare

In un piano cartesiano Oxy, con y verticale ascendente, si consideri un puntomateriale P di massa m, vincolato senza attrito sulla guida circolare di centroO e raggio R = 1. P sia soggetto al peso e alla forza esercitata da una mollaideale, di costante elastica h > 0 e lunghezza a riposo nulla, tesa tra P e lasua proiezione P ′ sull’asse y. Inoltre il piano Oxy ruoti con velocita angolaredi intensita ω costante, rispetto agli spazi inerziali, attorno all’asse y. Vogliamodeterminare quali siano le posizioni di equilibrio e come esse dipendano daiparametri costitutivi del sistema (m, g, h, ω).

Il potenziale della sollecitazione attiva e:

V = −mg(− cos θ) +1

2(mω2 − h) sin2 θ + c. (6.74)

Supponiamo di poter anche applicare una forza verticale costante, di intensita everso arbitrari, e indichiamo per convenienza con A la quantita 1/2(mω2 − h).Allora possiamo scrivere il potenziale nella forma

V = λ cos θ +A sin2 θ + c. (6.75)

6.3. BIFURCATION PATTERNS 121

x

y

O

P

θ

P'

Figura 6.7: Primo esempio

Useremo λ come parametro di controllo. Esso puo assumere a priori valoriarbitrari, cosı come A; naturalmente se la forza aggiuntiva e nulla λ = mg.

Consideriamo ora la condizione di equilibrio:

0 = V ′ = −λ sin θ + 2A sin θ cos θ. (6.76)

Includendo anche il caso A = 0 come limite, le posizioni di equilibrio sono

θ1 = 0, θ2 = π, θ3 = arccosλ

2A, θ4 = −θ3. (6.77)

Naturalmente tutte le soluzioni sono determinate a meno di multipli di 2π e leposizioni θ3, θ4 esistono se e solo se

|λ| ≤ 2|A|. (6.78)

Consideriamo ora il carattere degli equilibri rispetto alla stabilita usando laderivata seconda del potenziale:

V ′′ = −λ cos θ + 2A(2 cos2 θ − 1). (6.79)

RisultaV ′′(0) = −λ+ 2A, V ′′(π) = λ+ 2A, (6.80)

V ′′(θ3,4) = − λ2

2A+2A

(2λ2

4A2−1)

=λ2 − 4A2

2A, sgnV ′′(θ3,4) = −sgnA; (6.81)

l’ultima uguaglianza tiene conto della condizione (6.78) di esistenza delle posi-zioni θ3,4.

La discussione complessiva della stabilita nel cerchio goniometrico e i dia-grammi (qualitativi) di biforcazione sono sintetizzati come segue.

Osserviamo che nel caso A > 0, λ = 2A la posizione θ = 0 e di equili-brio stabile, con moti confinati in base al teorema di Lagrange-Dirichlet mentrel’equazione linearizzata (θ = 0) ha come soluzioni moti uniformi, quindi nonlimitati comunque si fissino le condizioni iniziali.


S I I I

S

S

I I

S

S

I I

S

S

I S

A > 0

λ = 0 λ ≥ 2A−2A < λ < 0 0 < λ < 2Aλ ≤ −2A

S I S S

I

I

S S

I

I

I SS S

I

I

A < 0

λ ≤ 2A λ = 0 λ ≥ −2A2A < λ < 0 0 < λ < −2A

S I I I S

A = 0

λ < 0 λ = 0 λ > 0

θ

λ

−π π

A < 0

θ

λ

−π π

A > 0

θ

λ

−π π

A = 0

2A

−2A

−2A

2A

Figura 6.8: Diagrammi di biforcazione per l’esempio 1


x

y

O=A

B

F

θ

Figura 6.9: Secondo esempio

Secondo esempio elementare

In un piano cartesiano inerziale orizzontale Oxy si consideri una sbarretta rigidaAB, di lunghezza l, vincolata ad appartenere al piano e ad avere l’estremo Aincernierato in O. Si supponga che i vincoli siano ideali e che sulla sbarrettaagiscano:

1. un sistema di forze a risultante nullo e momento risultante M = −kθc3, conk costante positiva, θ angolo che AB forma con il semiasse x positivo e c3

versore della normale positiva al piano Oxy;

2. una forza F = Nc1 agente su B, con N costante e c1 versore dell’asse x.

Vogliamo determinare quali siano le posizioni di equilibrio come esse dipen-dano dal parametro costitutivo N , pensando l e k fissati.

Il potenziale della sollecitazione e

V (θ) = Nl cos θ − 1

2kθ2 (6.82)

ed e simmetrico in θ, cosicche θ = 0 e necessariamente un punto critico e pergli altri basta restringere l’attenzione alla semiretta θ-positiva. Esplicitamente

V ′ = −Nl sin θ − kθ, V ′′ = −Nl cos θ − k, V ′′′ = N sin θ, V iv = N cos θ.(6.83)

In particolare ritroviamo che θ = 0 e sempre un punto di equilibrio; inoltre essoe stabile per N > −k/l ed instabile per N < −k/l mentre per N = −k/l e unpunto di biforcazione (a forca) ed e stabile in base al test delle derivate terza equarta.

Le ulteriori configurazioni di equilibrio devono soddisfare la condizione

λ :=l

kN = − θ

sin θ. (6.84)

Il grafico del secondo membro di questa uguaglianza e rappresentato in figu-ra 6.10 a). Lungo gli equilibri rappresentati da (6.84) la derivata seconda hal’espressione

V ′′ = k( θ

tan θ− 1)

(6.85)


ed e rappresentata nella figura 6.10 b). Il segno della derivata seconda determinala stabilita degli equilibri, rappresentata graficamente nella figura 6.10 a): lebranche stabili sono disegnate con tratto continuo mentre quelle instabili sonotratteggiate.

Come risulta dalla figura 6.10, la biforcazione per λ = −1 e una forca mentrele altre sono tutte punti di inversione (o punti limite).

Per studiare questi ultimi conviene riparametrizzare il potenziale in terminidegli incrementi di θ e λ dai valori corrispondenti al punto critico. Indicandocon θ0 e λ0 una qualunque coppia di tali valori, (6.84) e (6.85) implicano

θ0 = tan θ0, λ0 = − θ0

sin θ0= − 1

cos θ0; (6.86)

in aggiunta possiamo scrivere

V = V (x, µ) = k((λ0 + µ) cos(θ0 + x)− 1

2(θ0 + x)2

). (6.87)

Ritroviamo facilmente che (θ0, λ0) e un punto di equilibrio e di biforcazione:

Vx(0, 0) = 0 = Vxx(0, 0) ; inoltre Vxµ(0, 0) = −k sin θ0 6= 0. (6.88)

L’ultima disuguaglianza implica che la condizione di equilibrio, Vx(x, µ) = 0 ha,in un intorno di (0, 0), un’unica soluzione della forma

µ = µ(x) = − θ0 + x

sin(θ0 + x)− λ0. (6.89)

Poiche risultaVxxx(0, 0) = kλ0 sin θ0 6= 0 (6.90)

la derivata seconda in (0, 0) cambia segno; quindi l’equilibrio da stabile divieneinstabile o viceversa, in accordo con il grafico in figura 6.10.8

Il teorema del Dini ci fornisce anche le derivate in x = 0 della funzione µ(x);ad esempio:

µ′(0) = −Vxx(0, 0)

Vxµ(0, 0)= 0, µ′′(0) = −Vxxx(0, 0)

Vxµ(0, 0)= λ0 6= 0. (6.91)

Esempi elementari di teoria delle imperfezioni

Occupiamoci dell’esempio 1 e supponiamo che la forza applicata, che in quell’e-sempio e assunta verticale, possa avere una componente orizzontale, magarimolto piccola, che indicheremo con ε. Questo e un esempio di imperfezionee il problema che ci poniamo e quello di analizzare se e in che modo l’equili-brio del sistema sia sensibile alle imperfezioni. Il caso discusso in precedenzacorrispondera ad assenza di imperfezioni, cioe ε = 0.

8Nel caso di un problema ridotto con queste caratteristiche la simmetria dellaconfigurazione di equilibrio non cambia attraverso il punto limite, muta solo la stabilita.


2.5 5 7.5 10 12.5 15

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

2.5 5 7.5 10 12.5 15

-150

-100

-50

50

100

150

V''

θ

θ

λ

a)

b)

Figura 6.10: Secondo esempio: a) equilibri e biforcazioni; b) stabilita degliequilibri


-3 -2 -1 1 2 3

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

ε=1

ε=1

ε=1

ε=1

ε=−1

ε=−1

ε=−1

ε=−1

θ

λ

Figura 6.11: Equilibri e stabilita per A = 1 e varie scelte del parametro ε

Il potenziale della sollecitazione diviene ora

V = λ cos θ +A sin2 θ + ε sin θ + c (6.92)

e la condizione di equilibrio per ε 6= 0 (che esclude la possibilita che sia sin θ = 0)si puo scrivere nella forma

λ = 2A cos θ + ε cot θ. (6.93)

Il grafico di λ in funzione di θ per A = 1 e per vari valori di ε e riportato infigura 6.11. Come in figura 6.8 linee tratteggiate rappresentano branche instabilie linee continue branche stabili. Inoltre le curve di equilibrio per ε = 0 sonorappresentate con tratto piu marcato e corrispondono (quantitativamente) adue delle analoghe curve (qualitative) in figura 6.8. La curva punteggiata verradescritta piu sotto.

Per non affollare troppo il grafico si sono indicati nella figura solo i valoriestremi di ε, cioe −1 e 1. Gli altri valori sono −2/3,−2/5,−1/5,−1/12,−1/48,1/48, 1/12, 1/5, 2/5, 2/3. Al tendere di ε a zero, sia per valori positivi cheper valori negativi, le curve si avvicinano a quelle con tratto piu marcato,corrispondenti a ε = 0.

Lo studio della stabilita e basato sull’analisi della derivata seconda:

V ′′ = −λ cos θ + 2A cos 2θ − ε sin θ. (6.94)

In particolare cerchiamo i punti sulle curve di equilibrio ove tale derivata siannulla, verificando a posteriori mediante il non annullarsi della derivata terza


ε=1

ε=1

ε=1

ε=−1

ε=−1

ε=−1

ε=−1

θ

λ

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

ε=1

Figura 6.12: Equilibri e stabilita per A = −1 e varie scelte del parametro ε

che in essi la derivata seconda cambia segno. Sostituendo in (6.94) l’espressionedi λ data da (6.93) e uguagliando a zero otteniamo

ε = −2A sin3 θ (6.95)

che, sostituita nella (6.93), da la curva dei punti di equilibrio in cui V ′′ si annullae cambia segno:

λ = 2A cos3 θ. (6.96)

Nella figura 6.11 questa funzione e rappresentata dalla linea punteggiata che dail limite di stabilita sulle curve che tendono a θ = 0 per λ < 2.

Da osservare che se ci si muove vicino alle branche stabili nel caso non cisiano imperfezioni (ε = 0 e θ = 0 per λ ≥ 2 oppure θ = π per λ ≤ −2), unapiccola imperfezione sposta leggermente la posizione di equilibrio senza alterarnela stabilita. Per questo diciamo che il sistema e poco sensibile alle imperfezioni.

Consideriamo ora il caso A < 0. Il grafico delle posizioni di equilibrio per A =−1 e ora dato dalla figura 6.12 per gli stessi valori di ε e con le stesse convenzionigrafiche della figura 6.11. Ora pero le curve inizialmente stabili per ε piccolo eλ > −2A perdono a un certo punto la stabilita. Nell’ottica di determinare qualesia il massimo carico sostenibile in condizioni di stabilita, e come questo dipendadalle imperfezioni vogliamo esprimere i punti sulla curva (6.96), rappresentatacome punteggiata nella figura 6.12, dando il massimo carico sostenibile, diciamoM , come funzione dell’imperfezione ε. Questo si ottiene invertendo la (6.95) e


-0.001 -0.0005 0.0005 0.001

-1.9975

-1.995

-1.9925

-1.99

-1.9875

-1.985

-1.9825

Figura 6.13: Grafico della funzione in (6.97)

sostituendo poi l’inversa in (6.96), ottenendo

M = 2A(

1−( ε

2A

) 23

) 32

, quindi M ′ = −(

1−( ε

2A

) 23

) 12( ε

2A

)− 13

. (6.97)

Come indica il grafico di M in figura 6.13, la curva ha pendenza infinita nellozero; in particolare, per (6.97)2 la pendenza diverge come ε−

13 . Quindi una

piccola variazione di ε a partire dallo zero provoca una grande diminuzione delvalore assoluto del carico limite M e quindi l’instabilita si verifica ben primache il carico limite teorico, cioe in assenza di perturbazioni, venga raggiunto.Per questo diciamo che questo sistema e molto sensibile alle imperfezioni.

Consideriamo ora il caso di un punto limite, usando anche la notazione dellasezione precedente e ipotizzando9 che l’imperfezione consista nell’avere il caricoanche una componente parallela all’asse y. Allora il potenziale risulta

V = V (θ, λ, ε) = k(λ cos θ + ε sin θ − θ2/2) (6.98)

e le condizioni di equilibrio e di biforcazione sono, rispettivamente,

k(−λ sin θ + ε cos θ − θ) = 0, k(−λ cos θ − ε sin θ − 1) = 0. (6.99)

Le curve di equilibrio, espresse in termini di λ come funzione di θ e ε, sonorappresentate graficamente nella figura 6.14 per k = 1, per alcuni valori di ε eper θ compreso tra π e 2π. La curva con tratto marcato corrisponde a ε = 0.Come osservato nella nota 2, le curve perturbate hanno lo stesso carattere diquella imperturbata.

Per analizzare come l’inizio dell’instabilita dipenda dalla imperfezione con-sideriamo il sistema (lineare in λ e ε) costituito dalle due equazioni in (6.99),che vogliamo risolvere per λ e ε come funzioni di θ vicino a θ0. Risulta

λ = −θ sin θ − cos θ, ε = θ cos θ − sin θ. (6.100)

9Questa scelta non e troppo particolare; l’esempio suggerisce il risultato teorico generale,cioe che un’arbitraria piccola perturbazione di un punto limite lo sposta di poco senza mutarneil carattere.


3.5 4.5 5 5.5 6

4

5

6

7

8

9

10

ε=2

ε=2

ε=−2

ε=−2

Figura 6.14: Curve di equilibrio per l’asta caricata quasi di punta

Poicheλ′(θ0) = −θ0 cos θ0 6= 0, ε′(θ0) = −θ0 cos θ0 6= 0, (6.101)

e diversa da zero anche la derivata nello zero per λ pensata come funzione diε: dλ/dε = cot θ0 = (θ0)−1 6= 0. Quindi il sistema non e molto sensibile alleimperfezioni.

6.3.1 Generalities

In general, for a crystalline solid immersed in a heat- and pressure-bath, thelocation of the energy wells depends on the environmental temperature andpressure, regarded as control parameters. Bifurcation theory studies how theequilibria –here the critical points of the free energy density– change in numberand stability character as the control parameters are varied continuously. Ananalysis in which both environmental temperature and pressure vary is given by[32]. For simplicity, here we assume pressure to be zero, temperature remainingthe only control. The theory of crystal symmetry outlined in §9.2.1 and itsconsequences on energetics can be used to describe a family of static bifurcations(phase transitions) in simple lattices, included in the larger class of martensiticphase transformations.

It is difficult to give a general definition of phase,10 its characterization beingclear in specific cases. One of the generally accepted features of the transforma-

10In his fundamental memoir, [36] introduces the concept of phase to refer solely to thecomposition and thermodynamic state of any homogeneous body which can be formed outof any set of component substances, without regard to its quantity or form. He calls such


tions considered here is that a change of symmetry is realized by a cooperative,diffusionless, temperature-driven deformation of the crystalline lattice: the lat-tice points change their positions in a continuous way while the holohedry, orthe lattice group, changes abruptly. In terms of the analysis of multiphasecrystals in [66], this happens when the θ-dependent branches of minimizers of

the free energy function φ meet. Hereafter, following [28], [29], [30], [31], [33],we study the typical bifurcation problem that arises when branches of criticalpoints meet at suitable bifurcation points where the symmetry of the equili-brium states may change. In agreement with the treatment of symmetry in[66], by change of symmetry we mean change of Bravais lattice type, or (to beexplained) its strengthened version for weak transformations, that is, change ofvariant structure.

We adopt here suitable assumptions of smoothness and genericity for theconstitutive functions. In more generality, ideas of genericity, stability, classifi-cation of critical points, etc., have their home in the theory of singularities ofdifferentiable maps ([37], [3]), to be called below singularity theory for short,and in Catastrophe Theory – see for instance [2] – which is the part of singula-rity theory more widely known and applied in the natural and social sciences.We address the reader to the references above for details; on smoothness as-sumptions, we recall that [23] analyzes a special bifurcation problem, of interestin the theory of solid-state phase transitions, based on a free energy that neednot be more than twice continuously differentiable.

Among other contributions to the theory of martensitic phase transforma-tions, we mention the one by Khachaturyan and his school – see for instance[67], [45]. That theory has been qualified as geometrically linear because therethe free energy is taken to be quadratic near each one the energy wells. Weaddress the reader to [7] for a detailed comparison of Khachaturyan’s approachand the geometrically nonlinear one we adopt here.

The Landau theory

Since the thermodynamic state, which here coincides with the lattice configura-tion, changes continuously near and at the transition, what is being describedis a second-order phase transformation (sometimes also called of the secondkind). If, instead, the positions of the lattice points are allowed to jump atthe transition, the latter is called first-order (or also of the first kind). Thesedefinitions are introduced in the seminal, fundamental work [47] of Landau, pp.193 and 216 –also in [48]– who started an approach to phase transformations incrystalline solids based on minimizing a suitably symmetric analytic free energyfunction under certain assumptions of genericity. This approach has been sub-sequently applied to weak first-order solid-state phase transformations11 and to

bodies as differ in composition or state different phases of the matter considered, and regardsall bodies which differ only in quantity and form as different examples of the same phase.Finally, he calls coexistent phases which can exist together, divided by a planar interface, inan equilibrium which does not depend on passive resistances to change.

11In certain cases this is necessary because the bifurcating branches are all unstable, andneed to be suitably re-stabilized. This leads to a so-called subcritical first-order (weak) bi-


a variety of other kinds of transformations in which a finite number of orderparameters governing the transition can be identified. Also these versions of theoriginal approach by Landau go under the name of ‘Landau’ or ‘Landau-like’theories. A summary of such extensions for crystalline solids and reference tothe vast related literature, in particular to the work of Yu.M. Gufan and hiscoworkers, is given by [77] and [78]. Moreover, the latter book also analyzesreconstructive phase transformations; these, unlike the ones we consider here,cannot be described by restricting the domain of the constitutive equations to aweak-transformation neighborhood. An important example is the α-γ transitionin iron. We also mention [68] for applications of the Landau theory to manysolids of interest in mineralogy and materials science, including extensive refe-rences, and [74] for an introductory analysis of critical phenomena in fluids andmagnetics which goes beyond the Landau theory. Indeed, for such materials,it was soon realized that the theory, in spite of its beauty and successes, failedto give the correct dependence on temperature of certain physical quantities re-lated to derivatives of the thermodynamic potential: the power-laws governingsuch a dependence in the Landau theory have exponents, called critical indi-ces or exponents, which do not agree with the experimentally determined ones.Roughly, this is due to the fact that, near the phase transition, fluctuationsbecome important and should be considered somehow in the thermodynamicpotential, for instance by allowing the order parameters to vary in space. Va-rious statistical mechanical models and molecular calculations have been usedto obtain realistic potentials – see for instance [68]. The problem of criticalindices has produced much research on critical phenomena, of both theoreticaland experimental character, part of which is mentioned in the review article[75].

Since a number of solid-state phase transformations associated to elasticinstabilities seem to be fairly well described by the Landau theory away fromdomain walls or dynamic phenomena – see [68], p. 12 for the ferroelastic andco-elastic transitions – we disregard fluctuations and present the classificationof generic symmetry-breaking transitions in simple lattices within the Landautheory, with some preliminary comments.

Osservazione 6.6 The first comment concerns the regularity of the thermo-dynamic potential. This nontrivial issue does not seem to have been sufficientlyexplored. [23] gives an example of how regularity may affect a phase transfor-mation: if the potential is at least three times continuously differentiable, asecond-order cubic-to-tetragonal transition in simple lattices is generically notpossible because the lower-symmetry branches are unstable by the second deri-vatives test; if the potential is only twice continuously differentiable, then sucha transition is possible by a version – see [24] – of a theorem by Poincare on theexchange of stabilities.

furcation; an example is given below. In principle, one can distinguish a second-order froma weak first-order transition by looking at the behavior of certain quantities (specific heats,succeptibilities, etc.) near the transition. Details are given by [78], for instance. In practicethis may be difficult, being related to the actual magnitude of the experimental errors, whichmay blur the difference in the aforementioned behavior altogether.


Landau’s original idea is that, near the transition, the potential be analytic inthe order parameters, which are the variables driving the transition itself. Laterresearchers – for instance [68], [78] – regard Landau’s polynomial expansionnot as an approximation but as the actual potential, except perhaps near thetransition, where extra nonsmooth terms may become important to describefluctuations. Here we assume the potential to be smooth enough to have acertain Taylor expansion near the transition. By excessively restricting a priorithe smoothness of the free energy density we shake the very foundations ofthe Landau theory; we have to face the problems of defining what it meansfor a bifurcation to be generic, and then of classifying the different possiblebifurcation patterns.

Osservazione 6.7 The second comment concerns the various points of view onthe choice of reference configuration, to which the free energy density is related.The first is to take right at the beginning a fixed energy minimizer at somegiven temperature, as we will initially do. When describing bifurcations, twoother choices are usually made. One is to choose as reference the configurationof the crystalline lattice at the bifurcation point, as does, for instance, [28], [31]and we will also do from §6.3.3 on. The point of view of [47] and his followers– see [48] – seems different: the thermodynamic potential is actually an excessfunction, that is, it consists of the difference between the potentials at the lesssymmetric lattice configuration (martensite) and at the more symmetric one(austenite) at the same temperature, the latter then being a running reference.This assumption is not always clear in the presentations of the Landau theory,but is very explicitly stated by [68], for instance. He also points out that onehas to extrapolate the behavior of the austenitic phase, assumed to be stableabove the transition temperature for definiteness, down below that temperature,where this phase is unstable, hence not observable.

In many cases, particularly in minerals, one cannot have sufficient data forthe extrapolation, for instance because melting or chemical reactions occur notfar from the transition temperature. It is then common to turn to approxi-mations, one being to altogether neglect the temperature dependence of theparameters of the austenite near the transition, thus taking their available ex-perimental values nearest to the transition itself. The systematic error involvedis acceptable for most ferroelastic and co-elastic minerals, which have largetransformation stretches; it makes the approximation unreliable when the tran-sformation stretch is small and comparable with the thermal expansion of theaustenite. Another method of obtaining the parameters of unobservable auste-nite below the transition temperature is by suitably averaging the parametersof the observable martensitic phase, in all possible orientations. In this case noguessed austenitic data are necessary, and indeed this method is very good inmany circumstances. It fails when there are volume anomalies in the austeniticphase near the transition. Thus neither approximation exempts the researcherfrom actually studying the lattice parameters of the phases; see [68], ch. 4, fordetails.


We can show that the choice of reference configuration proposed here andthe subsequent theory are fully consistent with Landau’s ideas. Roughly, the‘running reference’ is automatically realized when one constructs the so-calledreduced or Landau potential: the zeroth-order term in this potential is not aconstant but rather a function of environmental temperature (and also environ-mental pressure when this is present as an additional control parameter), andrepresents the free energy of the high-symmetry phase for the given values ofthe controls.

As outlined in §9.1.2, natural states are the simplest minimizers, that is, thehomogeneous ones, of the potential

Φ[χ; θ] =

∫R

φ(Dχ(x), θ

)dx

at a given temperature θ. The general invariance of the free energy density φ forsimple lattices dictates the location of all the symmetry-related energy wells onceone of them is known. To cope with phase transformations, though, we mustallow for the existence of wells that are not symmetry-related: these representthe phases with different symmetries which may co-exist in a neighborhoodof the transition temperature. For our purposes it is sufficient to assume theexistence of a finite number of families of symmetry-related wells; in particular,here we restrict the attention to the case of two phases. A more general situationis considered by [32]; and [81] present a model for the tetragonal-orthorhombic-monoclinic phase changes of zirconia (ZrO2), including the analysis of the triplepoint. A general treatment of multiphase crystals can be found in [78].

Our bifurcation analysis is local, in a suitable sense (wt-nbhds). Transitionsfor which all phases belong to some neighborhood NC satisfying the conditionsin theorem 6.5 are studied in detail by [28], who calls them weak; a notation wealso adopt here. For their description it is reasonable to restrict the free energydensity to NC , disregarding arbitrarily large lattice-invariant shears; these areusually associated with plasticity, and would make the analysis much harder.

For weak martensitic phase transitions in the neighborhood NC , the lat-tice group of any phase is a subgroup of the lattice group of the center C.Second-order transitions are necessarily weak, the center C representing theconfiguration at the transition, which has the highest (local) symmetry. In thiscase we can describe symmetry changes in terms of holohedries and stretchesfrom the configuration at the transition, taken as a reference, rather than interms of lattice groups and stretches from an arbitrary reference. This resultconsiderably simplifies the analysis because one and the same treatment worksfor all transitions for which the reference configuration has a given holohedry,irrespective of its centering.

We stress that there are interesting and technologically important transitionsthat are not weak, as, for instance, the ones along which the crystal systemremains the same while the Bravais type changes: in the cubic system we havethe so-called α-γ transformation in iron, of utmost importance in metallurgy,


where the lattice type changes from b.c.c. to f.c.c. Other examples are thef.c.c.-to-h.c.p. transition, for instance in Al, Cu, Ag, Au,..., or the b.c.c.-to-h.c.p. transition, for instance in Li, Na, Fe,...; in these cases a simple latticestructure transforms into a multilattice, and vice versa. A systematic analysisof such phase transitions and of bifurcations in more complex crystal structures,along the lines for the weak transitions presented below, remains to be done andis of both theoretical and applicative interest for understanding the behavior ofcrystalline materials. Partial results in these directions are given by [59], [60],[61], [62], [77], [68], [78], [35], [17].

A weak transition can only take place if certain kinematic and energeticrequirements are satisfied. One can analyze some of the kinematic restrictionsresting on the sole symmetry of the phases, while one should better present thegeneric weak bifurcations allowed by a smooth elastic free energy, for instancefollowing [31]. A comparison of kinematic and energetic restrictions is summa-rized in [66], where also the correlation with the ‘running reference’ approach ofthe Landau theory is given. For the scheme to be meaningful, the free energydensity is required to have a minimum number of continuous derivatives, depen-ding on the energy invariance in the selected wt-nbhd; typically 6 derivativesare sufficient.

6.3.2 Branches of isolated critical points, and bifurcationpoints

Denoting by e0a the reference lattice basis from which the deformations are

calculated, we base the bifurcation analysis on the energy function12 φ(C, θ)defined in (6.51), whose invariance is given by the group G(e0

a) in (6.54).If the function φ is twice continuously differentiable, then necessary condi-

tions for a minimum at fixed θ are the equilibrium conditions

∂φ

∂C= 0, (6.102)

and the requirement that the elasticity tensor C in (6.59) be positive semi-definite at any equilibrium (C, θ) satisfying (6.102):

V · C(C, θ)[V ] ≥ 0 for all V ∈ Sym. (6.103)

As in §9.2.2, here we assume the reference basis e0a to give a minimizing

configuration at some temperature θ (see Remark 6.7), so that 1 is a minimizerof φ(C, θ) and (6.103) holds for C = 1, thus becoming

E · L[E] ≥ 0 for all E ∈ Sym. (6.104)

12The analysis can be also done for the function φ(C, θ) in (6.48), but then it must berepeated when we change the centering of the basis e0a within a given system, because thefixed sets and the lattice groups do change. Instead, (da giustificare), only one analysis interms of φ(C, θ) is needed if the differently centered bases e0a in a system have the sameholohedry P , of course in that system; indeed, the function φ has local invariance given by P ,irrespective of the centering of L (ea).


We then consider a neighborhood N1 of 1 in Sym such that Ne0a

= N1e0a

is a wt-nbhd of e0a as in Theorem 6.5, and restrict the domain of φ to the

neighborhood N1 of 1 whose elements are squares of the stretches in N1. Therestricted domain N1 may well contain other (relative) minimizers or criticalpoints of φ. By (6.48), the invariance of φ restricted to N1 is dictated bythe holohedral point group P (e0

a), as in (6.53). Later on we will simplify thedescription of bifurcations by choosing θ and e0

a to be the temperature andlattice configuration at which bifurcation can occur: there, (6.104) holds as anequality for some nonzero strain tensor E.

Let 1 solve (6.102) for θ = θ, and the linear map E 7→ L[E] be invertible.Then, by the implicit function theorem, in a neighborhood N ⊆ N1 × I of(1, θ) the equilibrium equations (6.102) have exactly one continuous solutionC = C(θ). This function gives an isolated branch of critical points of φ in N .The uniqueness of this curve of critical points also implies that the symmetryof the basis U(θ)e0

a is independent of θ:

P (U(θ)e0a) = P (e0

a), for U2(θ) = C(θ). (6.105)

Otherwise, by symmetry, there would be additional equilibria not on C(θ).When the eigenvalues of L are all positive, this branch consists of stable equili-bria, and describes thermal expansion of the crystal.

The analysis above implies that two or more curves of equilibria can meet at(1, θ), or a change of symmetry can occur at (1, θ) along any such curve, onlyif at least one of the eigenvalues of L vanishes; that is,

ker L 6= 0. (6.106)

If so, (1, θ) is called a bifurcation point. In either the case of multiple branchesor of a symmetry change along one, all the lattice groups of the branches passingthrough (1, θ) are subgroups of L(e0

a) by continuity. Moreover, when (6.106)holds, there is always a branch passing through (1, θ) whose points all havelattice group L(e0

a) – see §9.3.3 below. We will see that, generically, such ahigh-symmetry branch is divided by the bifurcation point into two parts, one ofwhich is constituted of minimizers, while the other is made of unstable equilibria.For definiteness, we will assume the stable part to be the one corresponding toθ ≥ θ.13

By (6.106) at least one eigenvalue of the elasticity tensor L goes to zero aswe approach (1, θ) along any one of the branches meeting there. Since the ei-genvalues can be expressed in terms of the elastic moduli, this means that acertain combination of moduli gradually vanishes while the body comes nearthe bifurcation point. The elasticity tensor also determines the acoustic tensor,which governs the propagation of acoustic waves, and the approach to bifurca-tion influences the speed of these waves, some of which may tend to zero. This

13For the other possibility, the bifurcating branches, together with their stability character,can be obtained from the ones detailed here by consistently replacing θ − θ with its negativein the energy and in the computations based on it.


is in agreement with experiments, which sometimes reveal the occurrence of asymmetry-breaking transition by means of a modulus softening, connected tothe vanishing of certain wave speeds.

Neighborhoods of bifurcation points

For an arbitrary choice of reference basis ea, a basis e0a = R0U0ea and a

temperature θ are a bifurcation point if the function φ(C, θ) for the free energydensity related to the reference basis ea satisfies the equalities

∂φ

∂C(C0, θ) = 0 and kerC 6= 0, C =

∂2φ

∂C∂C(C0, θ), C0 = U2

0 . (6.107)

In this case, as anticipated, we greatly simplify the bifurcation analysis by choo-sing e0

a as a reference basis, and we do so henceforth.14 Thus the continuousequilibrium branch C = C(θ), defined for θ near θ, is such that C(θ) = 1 and(6.107) becomes

∂φ

∂C(1, θ) = 0 and ker L 6= 0. (6.112)

By restricting, if necessary, the range of temperature near θ, we assumekerC(C(θ), θ) to be nontrivial only for θ = θ, and any branch to be containedin a neighborhood N like the one introduced above. As above, the symmetry ofC(θ), described by the holohedry P (U(θ)e0

a) – see (6.105)2 – remains constantfor θ near θ and, by continuity, is a holohedral subgroup of P (e0

a) which, ingeneral, depends on the branch itself.

The analysis below, which rests on the study of variant structures and of i.i.subspaces presented in [66], allows one to describe all the possible equilibriumbranches, their symmetry and their stability. All these qualitative features onlydepend on the choice of the holohedry P (e0

a) and of the P (e0a)-i.i. subspace of

Sym to be chosen as the kernel of L.

14Clearly, all the results that we obtain below with this choice of reference basis can beexpressed in terms of the arbitrary reference ea. Setting F0 = R0U0, the equalities

(F0)−1P (e0a)F0 = H < G(ea), C[V ] = d0 (F0)−1L[V ](F0)−t, (6.108)

for d0 = detU0, V = (F0)tV F0, and the transformation rule (see (6.65))

H−1C[V ]H−t = C[HtV H ] for any H ∈ H , V ∈ Sym, (6.109)

allow us to perform the aforementioned translation. Notice that the orthogonality of H -invariant subspaces is correctly defined by the following scalar product [ , ]:

[W , V ] := W ·C−10 V C−1

0 . (6.110)

With the definition B0 = R0C0Rt0, we have

L[V ] = λV ⇔ C[V ] = λC−10 V C−1

0 , or

C[V ] = λV ⇔ L[V ] = λB0V B0. (6.111)

In particular, the elements of the kernels of Land C are related as V and V in (6.108).


Genericity

The analysis of bifurcation patterns for simple lattice energies rests on an as-sumption of genericity for the constitutive function φ restricted to N . Thishypothesis allows one to determine only the bifurcations that are not ‘veryunlikely’ to occur.

Let S be a finite set of equations involving a finite number of derivatives ofthe free energy density function φ. S has to be compatible with the invariance(6.53), which, by successive differentiation of φ, implies certain identities amongderivatives. All relevant such identities have to be included in S , which shouldbe an altogether compatible set of conditions. We avoid degenerate situationsby assuming S not to contain more independent scalar equations, compatiblewith invariance, than the (seven) independent variables in φ. Any extra condi-tions may only be satisfied by special choices of φ, and can be violated underarbitrarily small perturbations, even in the class of the symmetry-preservingones.

That a property or behavior holds generically under the conditions in Smeans that it holds for all functions φ satisfying S without any additionalconstraints, possibly involving derivatives. In particular, φ itself is a genericfunction subject to S if it does not satisfy any additional constraints besidesthose in S . It turns out that such genericity can be characterized by a finiteset of strict inequalities for φ and its derivatives, and thus the above propertyor behavior persists if we ‘slightly perturb’ φ while preserving its invariance andthe imposed conditions S .

As in other contexts, one can introduce a topology in terms of which suchgeneric free energy functions constitute an open and dense subset of the spaceof all admissible free energies. This is the point of view of singularity theory,which also analyzes the sensitivity of a bifurcation to imperfections through theconstruction of the so-called universal unfolding of the singularity; this includesin parametric form – the number of essential parameters being called the co-dimension of the singularity – all small perturbations of the given bifurcation.We will not be so general and formal here, and will restrict our attention to thesimplest singular critical points, the ones of codimension 0 in the language ofthat theory. We address the reader to [38], [39] or [78] for more details on theseissues, and to [70] for a compact introduction.

As a first example, assume that a unique branch of stable equilibria pas-ses through (1, θ); in this case S consists of (6.112)1, and the inequalitiescharacterizing the generic φ express the positivity of the eigenvalues of L.

Consider now the case that (1, θ) is a bifurcation point, so that (6.112) holds.Genericity requires the rank of L to be lowered as little as possible. In theabsence of symmetry the condition would be that only one of the eigenvaluesvanishes. The presence of (local) symmetry forces certain eigenvalues to beequal, and thus more than one may have to vanish at the bifurcation point.Indeed, recall that the elasticity tensor obeys the transformation rule (6.65):

QtL[E]Q = L[QtEQ] for all E ∈ Sym and Q ∈ P (e0a).


Therefore, if E is an element of the eigenspace Sλ of L corresponding to theeigenvalue λ, so is also QtEQ for any Q ∈ P (e0

a); and the subspace of Sym, S′λsay, generated by these tensors is invariant under the action of P (e0

a). If there issome element of Sλ which does not belong to S′λ, we can repeat the constructionand conclude that Sλ is an invariant, reducible subspace of Sym. Equivalently,certain eigenvalues of L are equal – that is, certain equalities hold among secondderivatives of φ – without this being imposed by invariance. Genericity thenrequires all eigenspaces of L to be irreducible invariant subspaces of Sym underthe action of P (e0

a). This must hold, in particular, for ker L.

Altogether, for (1, θ) to be a bifurcation point, the number of independentequilibrium equations and the conditions on the eigenvalues of the elasticitytensor L imposed by the invariance of φ and by the bifurcation condition (6.106)should not exceed the number, seven, of independent variables (C, θ) at ourdisposal. This is best seen if one moves along an equilibrium branch of thesame (maximal) symmetry as the bifurcation point, which always exists: alongit all the eigenvalues that need not be equal by invariance remain distinct whilevarying with θ in order to satisfy the equilibrium equations; and the only degreeof freedom left is used to have exactly one of the eigenvalues go to zero atθ. The situation is more complicated along a branch of lesser symmetry thanthe bifurcation point: here, the number of generically distinct eigenvalues islarger, but there are also more independent equilibrium conditions; moreover,to comply with the higher symmetry of the bifurcation point, more than oneeigenvalue may approach zero, and some may approach the same nonzero value,as θ goes to θ. Some details are given below, particularly in §9.4.

6.3.3 Reduced bifurcation problems; order parameters

We are now interested in classifying the solutions of the generic bifurcationproblem in Sym> stated in the previous section. This problem depends onthe symmetry group P (e0

a) of the bifurcation point and on the choice of the i.i.kernel of the elasticity tensor L (that is, of the i.i. eigenspace whose eigenvalue iszero). Based on the results of [66], in the crystal case such a general bifurcationproblem reduces to one of six lower-dimensional (that is, 1-, 2- or 3-dimensional)reduced problems, where the appropriate space of order parameters, that is, ofrelevant coordinates, is introduced, together with the reduced action of P (e0

a) onthat subspace. This analysis is an example of the so-called Liapunov–Schmidtreduction – see §9.6. We also show that stability in Sym> is equivalent tostability in the order parameter space.

Let (1, θ) be a bifurcation point satisfying (6.112), with symmetry P (e0a).

The latter holohedry produces a decomposition of Sym into P (e0a)-i.i. subspaces

(details in [66]). Let the tensors VA, A = 1, . . . , 6, be a basis of Sym induced bysuch a decomposition, as is specified there for each crystal system, and representthe typical element of Sym in terms of this basis: V =

∑A yAVA.15 Since the

15Here and below indices denoting components in R6 are written as subscripts for notationalconvenience, while superscripts indicate exponents of powers.


kernel of L must be one of the i.i. subspaces in the decomposition, we assumefor definiteness that the first N ≤ 3 among the VA generate ker L. Any tensorC ∈ Sym> in a neighborhood of 1 differs from 1 by a tensor V ∈ Sym belongingto a suitable neighborhood of 0.

The equilibrium equations (6.102) take the form

∂φ

∂yA= 0, A = 1, . . . , 6, φ(y1, . . . , y6, θ) := φ(1 +

∑6A=1yAVA, θ). (6.113)

By hypothesis, (6.113)1 holds at the bifurcation point (0, . . . 0, θ), and all theeigenvalues of L are positive except those pertaining to the subspace generatedby V1, . . . ,VN . Then the last 6 −N of the equations (6.113)1 can be uniquelysolved for the corresponding yr, r = N + 1, . . . , 6 near yr = 0, θ = θ, producingsmooth functions

yr = fr(y1, . . . , yN , θ), or yr = fr(yi, θ), i = 1, . . . , N, (6.114)

such that fr(0, . . . , 0, θ) = 0. The variables y1, . . . , yN are called the orderparameters of the bifurcation. The functions (6.114) give the equilibrium valuesof all the other variables in terms of the order parameters. Some of the yr maywell vanish at the bifurcation point, as the order parameters, in which case theyare often called secondary order parameters; unlike the order parameters, theydo not affect the basic qualities of the bifurcation (see for instance [78]). Anexample of trivial coupling (cubic-to-tetragonal transition) is given in §9.4.1,where also a nontrivial coupling (tetragonal-to-monoclinic) is presented.

Replacing the variables yr by the functions fr in φ gives the reduced (orLandau) potential

Φ(yi, θ) := φ(yi, fr(yi, θ), θ). (6.115)

The remaining equilibrium equations (6.113)1 for A = 1, . . . , N, are equivalentto the critical-point conditions for Φ:

∂Φ

∂yi(y, θ) = 0, i = 1, . . . , N, y = (y1, . . . , yN ), (6.116)

which in particular hold at y = 0, θ = θ. The assumption that the subspace ofSym generated by (y1, . . . , yN ) be the kernel of L is now equivalent to

∂2Φ

∂yi∂yj(0, θ) = 0 i, j,= 1, . . . , N. (6.117)

Notice that the existence of a stable equilibrium branch for all sufficientlysmall θ > θ requires all the eigenvalues of L to be nonnegative. Genericity forcesonly one of the distinct eigenvalues to vanish, hence all the remaining ones arestrictly positive and, for some positive real number κ,

∂2φ

∂ys∂ys′(0, fr(0, θ), θ)zszs′ ≥ κ‖z‖2, z ∈ R6−N . (6.118)


Therefore, by (6.113)–(6.114) and by the continuity of the second derivativesappearing in (6.118), we have

φ(yi, yr, θ) ≥ φ(yi, fr(yi, θ), θ) = Φ(yi, θ) (6.119)

for sufficiently small ‖(y1, . . . , y6)‖ and |θ − θ|. So, near (0, θ), an equilibriumbranch is stable if and only if the corresponding curve yi = yi(θ) is a curve oflocal minima for the reduced potential; stability can thus be judged through thederivatives of Φ alone, which plays the role of a subpotential.

The reduced potential inherits some invariance properties from those of thefree energy. It can be seen that any element of P (ea) induces an orthogonaltransformation ρ in the six-dimensional space of parameters (y1, . . . , y6) whichis made of orthogonal blocks. This implies that any sextuple (yi, yr) solving(6.113) is transformed by ρ into another solution of (6.113). By the uniquenessof the functions in (6.114) we have

fr(ρijyj , θ) = ρrsfs(yi, θ) , (6.120)

hence, for any block submatrix ρ′ = (ρij) in the reduced group P on ker L

Φ(ρijyj , θ) = Φ(yi, θ). (6.121)

A priori Φ could have additional symmetries, which would then imply identitiesamong derivatives of the original potential φ not required by its invariance.Since this cannot hold generically, we only consider henceforth the case that thesymmetry group of the reduced potential Φ is exactly the reduced symmetrygroup on the irreducible invariant kernel of L.

Notice that all the equilibria given by y = 0 correspond to lattice baseswhose symmetry is P (e0

a).Differentiation of (6.121) implies the identity

∂Φ(yi, θ)

∂yh= ρhk

∂Φ(ρijyj , θ)

∂yk. (6.122)

For all the reduced groups except P = 1 equality (6.122) holds at y = 0 andany given θ if and only if, there, ∂Φ/∂yh = 0, h = 1, . . . , N ; thus the branchy = 0 is always an equilibrium branch near the temperature θ. Since in thecase P = 1 the equilibrium branches have P (e0

a)-symmetry, we concludethat in all cases an equilibrium branch of the same symmetry as the bifurcationpoint passes through the point itself, as anticipated.16 Also, condition (6.120)provides restrictions on the admissible values of the yr. For instance, if ker Lis contained in the fixed set C(e0

a), hence P = 1, a reasoning like the oneabove based on (6.122) implies that, for all the indices r related to C(e0

a)⊥,fr(yi, θ) = 0. Therefore the equilibrium branch belongs to C(e0

a), a result wewill recover in a different way in §9.4.4.

16The location of the critical points of any P-invariant reduced potential can be obtainedby a theorem of [53]: the critical orbits are exactly those which are isolated components oftheir strata; a stratum is a subset of the reduced space whose points have conjugate stabilizers(to be explained) under the action of P. An explicit description of the critical orbits is alsogiven by [54], [56].


6.3.4 Analysis of the reduced bifurcation problems

The discussion in the preceding section shows that the characteristics of thebifurcation pattern near the bifurcation point in (6.112) for a generic simple-lattice energy are completely determined by the features of the correspondingbifurcation for the reduced potential in the reduced space of order parameters(ker L) under the action of the corresponding reduced symmetry group P. Inthis section we see that all the possibilities are covered by six distinct reducedproblems. Then, depending on how any such problem arises in one of theinvariant subspaces in one of the decompositions of Sym, we can trace backfrom the reduced problem the full 6-dimensional original bifurcation pattern inSym.17 This is summarized in the second and third tables of Table 6.1. Thereand in the text below we classify the possible cases by the dimension N ofker L, which gives the number of independent order parameters, and, for eachN , consider all the possibilities for the reduced symmetry group P.

The two simplest cases, (1) and (2) in Table 6.1, which exhaust the possibili-ties for a 1-dimensional order-parameter space, give the standard analysis of theturning (or limit) point and of the pitchfork bifurcation. These are treated inmost references, for instance [42], [38], or [78] pp. 60–64 and pp.51–60, respec-tively, and are included below for completeness. Also the other cases have beentreated in the literature, to which we refer in the appropriate places, but appa-rently have not been related to an organized treatment of symmetry breakingin simple lattices. For this reason here we give a direct, elementary descriptionof these bifurcations, based on the discussion of [31],18 keeping details to a mi-nimum. For instance, below we use in an informal way invariant theory, whichhas already been used by [72] to describe the energy functions of anisotropicelastic materials. The polynomial invariants we introduce can be shown to bean integrity (or Hilbert) basis – see [40], [41]: any invariant polynomial functionis a polynomial in the elements of the basis. The analogue holds for any smoothinvariant function. We address the reader to [77] §4.5, [39], [78] p. 30, or [58],and references cited therein, for more details.19

For convenience, hereafter subscripts on Φ will denote partial derivatives.

17This last step is important because, as is visible in the tables, one and the same reducedproblem may correspond to many actual transitions, whose details cannot be obtained fromthe reduced problem alone. Even more important is a full kinematic description for thetransitions in complex crystals, where one usually focusses on the kinematic variables that arerelevant, thus addressing directly the reduced problem. This procedure allows one to avoidthe complexities of starting from the full kinematics; but only the latter can describe all thepossibilities, some of which may be otherwise overlooked.

18Case (3) is corrected here.19The analysis of symmetry through invariant theory is important also in other areas of

physics, see for instance [69].


Reduced problem (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Dimension 1 1 2 2 2 3

Generators 1 −1 f, r(π2 ) f, r( 2π3 ) f, r(π3 ) −R1(π2 ),−R2(π2 )

Triclinic Monoclinic Orthorhombic Rhombohedral

(1) tp tp tp tp

PC → triclinic PFI → monoclinic PCC

(2) C → monoclinic P or C

(details in [66] §5.4.3.3)

G: triclinic(4) θ: monoclinic

‘face diagonals’ C

Tetragonal Hexagonal Cubic

(1) tp tp tp

(a) PII → orthorhombic

(2) ‘cubic edges’ PFI

(b) PII → orthorhombic

‘mixed axes’ CIF

G: triclinicθ: (a) PI → monoclinic

(3) ‘cubic edges’ PC

(b) PI → monoclinic

‘face diagonals’ CC

G: ‘optic axis’ G: PFI → orthorhombic

(4) monoclinic P ‘mixed axes’ CIF

θ: orthorhombic C θ: PFI → tetragonal PII

G: triclinic

θ: (a) ‘basal diagonals’

(5) monoclinic C

(b) ‘basal side-axes’

monoclinic C

G: triclinic

(6) θ: (a) rhombohedral

(b) PFI → orthorhombic

‘cubic edges’ PFI

Tabella 6.1: The reduced bifurcation problems, listed by the dimension of theorder-parameter space and the generators of the reduced group P. The corre-sponding general (G) and θ-controlled (θ) symmetry-breaking continuous tran-sitions in simple lattices are indicated in the second and third table, without ex-plicit mention for 1-dimensional order-parameter spaces (problems (1) and (2)),where they coincide. Wherever necessary, the centerings of the high-symmetryphase and the corresponding centering of the low-symmetry one, in the sameorder, are indicated. Also, ‘tp’ means turning point, a change of stability butnot of symmetry


Reduced problem (2)

In this case Φ = Φ(y, θ), but Φ is an even function of y: Φ(−y, θ) = Φ(y, θ).Then the first of the conditions

Φy = 0 = Φyy at (0, θ) ; (6.123)

necessarily holds at (0, θ) for all θ near θ, giving a branch of equilibria y = 0,passing through the bifurcation point and with its same symmetry.

We introduce the new variable z = y2 and think of the reduced potential Φas a function Φ(z, θ), z ≥ 0, subject to no symmetry requirements. It is notdifficult to check that a function θ = θ(y) solves (6.123)1 for y 6= 0 if and onlyif θ = θ(z) solves

Φz(z, θ) = 0 (6.124)

near z = 0, θ = θ. Now, if Φ is regular enough, we can calculate20 the quantityΦzθ(0, θ) = 1

2Φyyθ(0, θ), which is non zero by genericity; thus (6.124) can besolved by the implicit function theorem, producing a function

θ = θ(z), θ(0) = θ, θ′(0) = −Φyyyy6Φyyθ

(0, θ) 6= 0 , (6.125)

the last inequality again holding by genericity. The function θ(y2) is, up tohigher order terms, a parabola with vertex at the bifurcation point. This followsin particular if one takes as (approximation of the) potential the first three termsof the polynomial

F (y, θ) = a(θ) + b(θ)y2 + c(θ)y4 + d(θ)y6, (6.126)

in which case Φyyyy(0, θ) = c(θ) and Φyyθ(0, θ) = b′(θ). The sixth-order termin (6.126) is introduced now for convenience; it will be used in §9.5.1.

We assume Φyyθ(0, θ) > 0 to have the branch y = 0 stable for θ > θ. If

Φyyyy(0, θ) is positive, then, by (6.125), θ ≤ θ and 0 ≥ 2θ′ y2 = θ′ y. Thus for znear 0 the branch of minimizers (6.125) exists only for θ ≤ θ. By differentiatingthe identity Φy(y, θ(y)) = 0 and writing the Taylor formula for Φyθ(y, θ(y)) wehave

Φyy(y, θ(y)) = −θ′(y)Φyθ(y, θ(y)) (6.127)

= −θ′(y)[Φyθθ(0, θ) θ′(0) + Φyyθ(0, θ)] y + o(|y|);

so in this case the branch of minimizers (6.125) is stable – see Fig. 6.15(a). In ananalogous way we can discuss the case of Φyyyy(0, θ) negative, which is sketchedin Fig. 6.15(b).

Since the order of the reduced group is 2 (hence its orbit consists of two poin-ts) we have indeed two symmetry-related branches of critical points with y 6= 0,

20For instance write a Taylor formula for Φ near (0, θ), and take into account that all thederivatives of Φ containing an odd number of differentiations with respect to y vanish at (0, θ)by symmetry.


θγ− ¯flθγ

(a)

y

y

θγ− ¯flθγ

(b)

Φflyyθ > 0

Φflyyyy > 0

Φflyyθ > 0

Φflyyyy < 0

y

Φfl θγ

¯flθγθγM =

(c)

Figura 6.15: (a), (b) Pitchforks for the (y = 0)-branch stable above θ. The deri-vatives of Φ are taken at the transition, and the stable branches are representedby solid lines. (c) Energy profile at various temperatures for case (a). Theanalogue for case (b) can be obtained from Fig. 6.16 by restricting the attentionto neighborhoods of the origin that only contain the unstable branches (dottedlines there)

constituting the parabola (6.125), and the order of the symmetry group alongeach one of these branches is half the order of the symmetry group on the branchy = 0. When their points are stable, these symmetry-halving bifurcations arethe likely ones associated with second-order phase transitions according to [48].

A schematic 1-dimensional example

Before giving energies defined on the space Sym> with the properties descri-bed in §§9.2.3, we first briefly discuss a schematic 1-dimensional example whichshows the main properties of minimizers needed in phase transformation mo-dels. The main idea is that, locally, in suitable neighborhoods in its domainof definition, the energy function of a crystal should have minimizers whichdepend on temperature in such a way that for high θ, say, there is only oneminimizer (austenite), while for low θ there are several (in this 1-dimensionalcase, two) symmetry-related minimizers (variants of martensite) distinct fromthe austenitic one.


y

Φ Φ θ

¯ θ

y

θ M

σ = ′

ˇ θ

Figura 6.16: A 1-dimensional example based on the sextic potential in (6.126).Both energy and its derivative, which measures stress, are plotted versus theorder parameter y, which is a measure of strain, for various values of θ near thetransition temperature θ. At the shown temperature between θ and θM the dot-ted lines plot energy and stress versus strain in the absence of the restabilizingsextic term

We describe the energy landscape and the bifurcation diagram in terms ofa parameter y which measures the distance of the martensitic lattice from theaustenitic one at the same temperature, in the spirit of the Landau theory andin agreement with the above description of reduced potentials.

If the transformation stretch is the identity, hence the transformation is ofthe second order, then the analysis of the pitchfork above describes well whathappens near the transition. It is sufficient to consider the second and thirdterms in the polynomial potential

(6.126), in which for simplicity the coefficient b is assumed to be linear inθ − θ, or b′ to be constant, c and d to be constant, and a to vanish. Thenthe transition is generated by the quartic potential included in (6.126) for b′ >0, c > 0. The bifurcation diagram and the energy landscape are shown inFig. 6.15(a),(c).

If the transformation stretch is nontrivial, then the transition is of the firstorder, and can be modelled by a subcritical bifurcation based on the full sexticpotential in (6.126) for b′ > 0, c < 0, d > 0. Analogously to what was donefor Reduced problem (4), the highest order term in the polynomial is used torestabilize the unstable subcritical branches. The energy landscape and thestress-strain relation are shown in Fig. 6.16. In detail, by analyzing the bifurca-tion diagram in terms of the variable z = y2 ≥ 0, the nonzero critical branchesof F in (6.126) are given by

z = z ±√c2 − 3bd

3d, z = − c

3d> 0. (6.128)


The minus sign produces the analogue of the branch z(θ) included in (6.125),while the plus sign corresponds to a branch passing through the point (2z, θ).This point can be seen to be stable if and only if d > 0, as indeed we have

assumed; in this case at (2z, θ) we have F = 4c3

27d2 < 0, hence the energy ofthe martensite is lower than the one of the austenite. The two branches abovemeet at z when θ takes the value θ = θ + c2

3db′ > θ. The branch correspondingto z between z (excluded) and 2z (included) is stable, and at z we have F =

− 8c3

27d2 > 0. Along this branch the martensite and the austenite at the same

temperature have the same energy at the (Maxwell) temperature θM = θ+ c2

4db′ ,

so that θ < θM < θ. The corresponding value of z is − c2d . Of course, we must

in the end recall that z = y2 to represent energy or stress as a function of y, asin Fig. 6.16.

Capitolo 7

Condizioni di salto diRankine-Hugoniot

7.1 Preliminari

Iniziamo con alcune questioni di cinematica. Sia S una superficie regolare, dinormale positiva n, mobile nello spazio ambiente, definita (implicitamente) dall’equazione

φ(x, t) = 0. (7.1)

Derivando questa equazione totalmente rispetto al tempo otteniamo

∂φ

∂t+ gradφ · y = 0, (7.2)

dove y e il campo di velocita della superficie. Introduciamo ora la velocita diavanzamento (in direzione normale) di S , Sn := y · n. Si puo ad esempio sup-porre che la normale positiva sia concorde con gradφ; allora l’ultima equazioneimplica

Sn = − ∂φ/∂t

|gradφ| (7.3)

Supponiamo ora che nello spazio ambiente si muova un continuo deforma-bile e che la superficie S sia sempre contenuta nella configurazione attuale delcontinuo. Possiamo allora considerare la superficie Sκ che e l’immagine inversadella S nella configurazione di riferimento. L’equazione della Sκ e percio dellaforma

Φ(X, t) = 0, con Φ(X, t) = φ(x(X, t), t). (7.4)

Per analogia con la (7.3) la velocita di avanzamento Sκ di Sκ soddisfa larelazione

Sκ = − ∂Φ/∂t

|GradΦ| ; (7.5)

147

148 CAPITOLO 7. CONDIZIONI DI SALTO DI RANKINE-HUGONIOT

Sκ si chiama velocita di propagazione di S rispetto al continuo. Dalla (7.4), perderivazione otteniamo

GradΦ = F tgradφ e∂Φ

∂t=∂φ

∂t+gradφ·v = −Sn|gradφ|+|gradφ|v·n, (7.6)

ove v e la velocita lagrangiana del continuo. Da (7.5) segue

Sκ =|gradφ||GradΦ| (Sn − vn), vn := v · n; (7.7)

quest’ultima e la velocita del continuo su S normale ad essa. Se si sceglie laconfigurazione attuale come configurazione di riferimento, allora

Sκ = S := Sn − vn, (7.8)

ove S e la velocita di propagazione intrinseca (o locale).

7.2 Condizioni di compatibilita

Consideriamo una superficie regolare Sκ che sia parte della frontiera di undominio regolare in Rn, diciamo R+, e sia y [z] il punto generico di Rn [diSκ]. diremo che il campo scalare, vettoriale o tensoriale ψ e regolare in R+ se edifferenziabile con continuita in tutti i punti interni di R+; se, per ogni z ∈ Sκ

le funzioni ψ e ∂yψ ammettono limiti interni per y che tende a z, chiamiamoliψ+(z) e ∂+

z ψ(z) rispettivamente; e se ψ+ e differenziabile con continuita lungoogni curva regolare contenuta in Sκ.

Lemma 7.1 (di Hadamard) Per ogni campo regolare ψ vale il teorema deldifferenziale totale per le funzioni limite ψ+ e ∂+

z ψ. Cioe, lungo una qualsiasicurva regolare su Sκ, di equazione parametrica z = f(λ), −1 ≤ λ ≤ 1, si hache

(ψ+)′ :=dψ+

dλ= ∂+

z ψ · f ′. (7.9)

Questo risultato, scritto per una funzione ψ scalare, per una funzione tensorialequalsiasi, di componenti ψa...b... , diviene

((ψa...b... )+)′ = (ψa...b...,c)

+ f ′c. (7.10)

Supponiamo ora che la superficie orientabile Sκ sia parte della frontiera co-mune che separa due regioni R+ e R−, in ciascuna delle quali ψ sia un camporegolare nel senso detto sopra. Allora in un arbitrario punto z di Sκ esistonoi limiti interni, diciamo ψ+ e ψ−, relativi a R+ e R−, rispettivamente, l’ana-logo valendo per i limiti interni ∂+

z ψ e ∂−z ψ. Chiameremo salto di ψ [di ∂zψ]attraverso Sκ la quantita

[[ψ]] := ψ+ − ψ− [ [[∂zψ]] = ∂+z ψ − ∂+

z ψ ]. (7.11)


Questi salti sono funzioni di z su Sκ e se almeno uno dei due e non nullo lasuperficie Sκ si dice singolare per ψ. Nel seguito riterremo convenzionalmentepositiva la normale a Sκ che punta verso R+.

Poiche ψ+ e ψ− sono differenziabili, applicando ad esse il Lemma di Hada-mard e sottraendo i risultati otteniamo il

Teorema 7.2 (di compatibilita di Hadamard)

d[[ψ]]

dλ= [[∂zψ]] · f ′ = [[∂zψ · f ′]] = [[ψ′]] (7.12)

oppure, per ψ tensoriale,

d[[ψa...b... ]]

dλ= [[ψa...b...,c]]

df c

dλ= [[ψa...b...,c

df c

dλ]] = [[

dψa...b...

dλ]] (7.13)

A parole, la derivata tangenziale del salto di ψ e uguale al salto della deri-vata tangenziale di ψ. Quindi, dato il salto di ψ, del salto di ∂zψ rimaneindeterminata solo la componente normale a Sκ.

E possibile estendere il teorema di compatibilita al caso che siano non nulliin generale i salti [[ψ]], [[∂zψ]], . . . , [[∂mz ψ]], ricavando formule dette ‘delle discon-tinuita iterate’, di cui non ci occuperemo qui.

Nel caso particolarmente interessante che ψ sia continuo attraverso Sκ ilteorema di compatibilita implica che, per ogni curva regolare su Sκ, quindi perogni punto z di Sκ e per ogni vettore f ′ tangente a Sκ in z

[[∂zψ]] · f ′ = 0 oppure [[ψa...b...,c]]df c

dλ= 0. (7.14)

Nelle ipotesi fatte vale quindi il seguente

Teorema 7.3 (di Maxwell)

[[∂zψ]] = k n oppure [[ψa...b...,c]] = ka...b... nc oppure [[∂zψ]] = k ⊗ n. (7.15)

ove k e un tensore dello stesso tipo di ψ.

Il fattore k e chiamato ampiezza della discontinuita corrispondente a n. Sek e un vettore la discontinuita si dice longitudinale [trasversale] se k e parallelo[ortogonale] a n.

L’applicazione del teorema di Maxwell al caso in cui Sκ sia singolare per lederivate seconde di ψ mentre ψ e ∂zψ sono continui fornisce

[[ψa...b...,cd]] = ka...b... nc nd oppure [[∂2zψ]] = k ⊗ n⊗ n, (7.16)

ove k e un tensore dello stesso tipo di ψ.


7.2.1 Superfici singolari per un moto e condizioni di com-patibilita

Consideriamo ora una superficie Sκ mobile nella configurazione di riferimentoC∗ come in §7.1, rappresentata parametricamente da (7.4)1 e la corrispondentesuperficie S mobile nella configurazione attuale C. La superficie Sκ ( e cosıS ) sara singolare per i campi che considereremo piu sotto. Poiche componenticorrispondenti a X e a t hanno diverse interpretazioni, le distingueremo nellanotazione. Ad esempio, scriveremo un vettore di R4 come coppia (v, u) e untensore doppio simmetrico come terna (T , t, w). Come vettore normale a Sκ

conviene usare la seguente normalizzazione, di piu facile interpretazione:

n =1

|Grad Φ| (Grad Φ, Φ) = (nκ,−Sκ); (7.17)

qui nκ e la normale unitaria a Sκ diretta secondo i valori crescenti di Φ e Sκ ela velocita di propagazione di Sκ in C∗. Analoga e la decomposizione di ∂z:

∂zψ = (Gradψ, ψ). (7.18)

Con questa notazione il teorema di Maxwell per un campo ψ continuo si scrive

[[Gradψ]] = aκ ⊗ nκ, [[ψ]] = −Sκaκ, (7.19)

dove aκ e l’ampiezza della singolarita su Sκ, un tensore dello stesso tipo di ψ.Se scegliamo la configurazione attuale come configurazione di riferimento questeuguaglianze divengono

[[gradψ]] = a⊗ n, [[ψ]] = −Sa, (7.20)

ove a e l’ampiezza della singolarita su S , un tensore dello stesso tipo di ψ, ne la normale unitaria a S e S e la velocita di propagazione intrinseca. Questeuguaglianze costituiscono le condizioni di compatibilita soddisfatte dai salti dellederivate di un campo ψ continuo su una superficie singolare S nella configura-zione attuale C. La condizione sul gradiente e chiamata condizione geometricadi compatibilita in quanto esprime l’ipotesi che, ad ogni istante, la discontinuitasia distribuita regolarmente sulla superficie. La condizione sulla derivata mate-riale e chiamata condizione cinematica di compatibilita poiche esprime l’ipotesiche la discontinuita persista in modo regolare nel tempo.

Una superficie singolare si dice materiale se non si muove rispetto al corpo,altrimenti si chiama onda. Questo succede se e solo se S 6= 0, nel qual caso n echiamato normale d’onda.

Mentre in generale il campo ψ puo rappresentare varie grandezze fisiche, adesempio un campo elettrico o magnetico, qui esso rappresentera le derivate diun certo ordine della deformazione x; se le derivate di ordine 0, 1, . . . , n−1 sonocontinue mentre qualche derivata di ordine n ha su Sκ una discontinuita deltipo descritto sopra, diremo che Sκ (o S ) e una superficie singolare di ordinen per il moto x del corpo. Le superfici singolari di ordine 0 o 1 sono dette


forti. Esse includono fratture, saldature, tagli (ordine 0), onde d’urto, superficidi vortice, dislocazioni (ordine 1). Mentre per le prime non si sa dire molto,per le seconde esiste una teoria ben organizzata, di cui vedremo sotto un casosemplice.

Le superfici singolari di ordine maggiore di 1 si dicono deboli. Esemplifichia-mo con una superficie singolare di ordine 2: possiamo scrivere, per il tensoresimmetrico delle derivate seconde,

∂2z x = (GradF , F , x), (7.21)

per cui (7.16) si decompone nelle seguenti uguaglianze, che costituiscono ilTeorema di compatibilita di Hugoniot:

[[GradF ]] = aκ ⊗ nκ ⊗ nκ, [[F ]] = −Sκ aκ ⊗ nκ, [[∂2x

∂t2]] = S2

κaκ. (7.22)

o, con S velocita di propagazione intrinseca e n normale a S ,

[[GradF ]] = a⊗ F tn⊗ F tn, [[F ]] = −S a⊗ F tn, [[x]] = S2a. (7.23)

Quindi la superficie singolare e un’onda se e solo se l’accelerazione e discontinua;per questa ragione tali onde si chiamano di accelerazione.

7.2.2 Equazioni di bilancio in presenza di superfici singo-lari deboli

Consideriamo l’equazione generale di bilancio

d

dt

∫∆C

ρψ d3x =

∫∆C

ρ f d3x+

∫∂∆C

φn dS (7.24)

nell’ipotesi che ∆C contenga una superficie S singolare debole per il moto, sucui anche ψ sia singolare. Vale allora il

Lemma 7.4 (di Thomas)

d

dt

∫∆C

ψ d3x =

∫∆C

∂ψ

∂td3x+

∫∂∆C

ψ x · n dS −∫

S

[[ψ]]SndS, (7.25)

con Sn velocita di avanzamento di S .

Questo risultato e utile per la dimostrazione del seguente

Teorema 7.5 (di Kotchine) Sia S singolare debole per il moto e su essa ψe φ siano discontinue mentre sia ∂(ρψ)/∂t− ρf sia continua. Allora su S

S[[ρψ]] + [[φ]] · n = 0 oppure S[[ρψa...b... ]] + [[φa...cb... ]] · nc = 0, (7.26)

con S velocita di propagazione intrinseca.

Questo teorema, applicato alla prima equazione cardinale implica la condi-zione di Poisson [[σ]] · n = 0: su una superficie singolare debole sulla quale F econtinua, la quantita di moto e bilanciata se e solo se la trazione e continua.


nB+

B–

Σ

ΔB+

ΔB–

Σ–

ΔS+

ΔΣ–

Figura 7.1: Rankine-Hugoniot

7.3 Onde d’urto

Consideriamo un dominio B in Rn diviso in due parti, B+ e B−, da una su-perficie regolare Σ la cui normale nα si orienti verso B+. Si assuma che, perogni parte ∆B di B la cui frontiera ∆S sia regolare a tratti, valgano le leggi dibilancio integrali∫

∆B

ΓK dnx+

∫∆S

GKα nα dS = 0 α = 1, . . . , n, K = 1, . . . , k (7.27)

per certe funzioni integrabili ΓK e GKα. Il procedimento di localizzazione dellaprima equazione cardinale dei continui ci fa concludere che in ogni aperto in cuile funzioni ΓK e GKα siano di classe C0 e C1, rispettivamente, le (7.27) sonoequivalenti alle seguenti equazioni di bilancio, dette di forma conservativa:

ΓK +GKα,α = 0. (7.28)

Vogliamo dimostrare che su Σ le (7.27) sono equivalenti alle condizioni disalto (di Rankine-Hugoniot)

[GKα] ξα = 0, ξ ⊥ Σ, (7.29)

nell’ipotesi che ΓK e GKα siano di classe C0 e C1, rispettivamente, nei puntiinterni di B+ e B− mentre attraverso Σ le ΓK rimangano limitate mentre leGKα abbiano una discontinuita di prima specie (salto).

Si consideri infatti un punto x0 ∈ Σ e un disco ∆Σ su Σ di centro x0.Come illustrato nella fig. 7.1 su tale disco si costruiscano due cilindroidi ∆B+

e ∆B−. Indicheremo con ∆S+ la frontiera di ∆B+ interna a B+ e ∆Σ− lafrontiera orientata (verso ∆B−) di ∆B+ con supporto ∆Σ. La (7.29) si ottieneapplicando anzitutto (7.27) a ∆B+ e ∆B− separatamente e alla loro unione; eutilizzando poi l’arbitrarieta del disco ∆Σ.

7.3. ONDE D’URTO 153

Mostriamo ora come si possano mettere in forma conservativa le equazioni dibilancio di massa, quantita di moto ed energia per un fluido euleriano nel casoisentropico (adiabatico). In questo caso n = 4 e Rn e lo spazio-tempo classico.

Bilancio della massa:

∂ρ

∂t+∂(ρxr)

∂xr= 0 e della forma Mα

,α = 0, con M0 = ρ, Mr = ρ xr. (7.30)

Bilancio della quantita di moto:

∂(ρxr)

∂t+∂(ρxrxs)

∂xs(= ρxr) = ρfr + (−p δrs),s (7.31)

e della forma

Qrα,α + Ωr = 0, con Ωr = −ρfr, Qr0 = ρ xr, Qrs = ρxrxs + pδrs. (7.32)

Bilancio dell’energia. Per un fluido euleriano la disuguaglianza di Clausius-Duhem implica separatamente quella di Fourier e quella di Clausius-Planck,quast’ultima valida come uguaglianza:

0 = ρψ + ρηθ +w = ρε− ρθη +w, w = −σ · ∇x = p divx, ψ = ε− θη. (7.33)

Assumiamo ora l’isentropicita: η = 0 e scriviamo il bilancio dell’energia totale:

∂(ρ( x2

2 + ε))

∂t+∂(ρ( x2

2 + ε)xr)

∂xr= (per (7.30)) ρ(

x2

2+ ε) = x · ρx+ ρε

= (per (7.31) e (7.33)) ρf · x−∇p · x− p divx = ρf · x− div(p x).(7.34)

Questa e della forma conservativa

Eα,α + F = 0, con F = −ρf · x, E0 = ρ(x2

2+ ε), Er = ρ(

x2

2+ ε)xr + p xr.

(7.35)Applichiamo ora le condizioni (7.28) tenendo presente le uguaglianze

[f g] = [f ] g− + f+[g], ξ = (S,−n). (7.36)

Massa: 0 = [ρ]S − [ρx] · nQuantita di moto: 0 = [ρxr]S − [ρxrxs + p δrs]ns

= [ρ]xr−S + ρ+[xr]S − [ρx ·n]xr− − ρ+(x ·n)+[xr]− [p]nr]

Poiche nell’ultima espressione il primo e il terzo termine si elidono in virtu dellacondizione di salto per la massa, la condizione di salto sulla quantita di moto e

ρ+[x](S − (x · n)+) = [p]n. (7.37)

Energia: 0 = [ρ( x2

2 + ε)]S − [ρ( x2

2 + ε)xr + p xr]nr

= ρ+[ x2

2 + ε]S − ρ+(x · n)+[ x2

2 + ε]− [p x] · n.

Quindi la condizione di salto e

ρ+[x2

2+ ε](S − (x · n)+) = [p x] · n. (7.38)

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