Dinamica Strutturale MDOF

Strutture Aeronautiche 2008/2009 Dinamica Strutturale MDOF

Dinamica Strutturale MDOF

1. Analisi dinamica di sistemi a più gradi di libertà

Per lo studio del comportamento di strutture che si trovano sotto l’azione di forze dinamiche risulta di importanza fondamentale l’individuazione delle caratteristiche dinamiche “proprie”. Queste caratteristiche sono infatti alla base della valutazione della risposta della struttura alle forze applicate.

Nel caso di sistemi dinamici lineari si tratta di :

- frequenze naturali, fn

- deformate modali corrispondenti alla frequenze naturali, n

- coefficienti adimensionali di smorzamento, n

Per quanto riguarda le frequenze naturali e le deformate modali esse si possono determinare sia a partire da modelli smorzati che da modelli senza smorzamento : nel caso di modelli senza smorzamento si hanno delle deformate modali reali, nel caso smorzato in generale delle deformate modali complesse. Naturalmente nel caso di misure sperimentali è sempre presente una dissipazione di energia ed i modi fondamentali misurati sono di conseguenza complessi

2. Sistemi senza smorzamento

Nel caso si considerino sistemi lineari senza smorzamento si possono ricavare le caratteristiche modali :

- frequenze naturali- deformate modali (reali)

Si possono valutare poi :

- relazioni di ortogonalità- modi di corpo rigido (nel caso di strutture libere)

Le equazioni del sistema dinamico senza smorzamento rappresentato con n gradi di libertà sono:

M x” + K x = F (t) (1)

dove M indica la matrice di massa, di dimensioni (n, n), (questa matrice se derivata da un modello strutturale agli elementi finiti può essere di tipo concentrato o consistente rispetto alla matrice di rigidezza), K indica la matrice di rigidezza, di dimensioni (n, n), F(t) indica il vettore, di dimensioni (n, 1), delle forze esterne applicate alla struttura ed x, x” indicano i vettori spostamento e accelerazione (anche essi di dimensioni (n, 1)).

Per la valutazione delle frequenze naturali e delle deformate modali si deve considerare l’equazione omogenea associata all’equazione del sistema dinamico senza smorzamento:

1


M x” + K x = 0 (2)

se si fa l’ipotesi di una soluzione armonica per il vettore di spostamento con la posizione:

x = X() ejt (3)

sostituendo la (3) nell’equazione omogenea (2) si ha :

( K - 2M ) X() = 0 (4)

si può ottenere quindi una soluzione banale X() = 0 (che evidentemente non interessa) e una soluzione non banale, (che in questo caso richiede la condizione X() 0) se:

det ( K - M ) = 0 (5)

la soluzione di questo problema permetterà di valutare gli n autovalori k e di conseguenza le pulsazioni naturali e le frequenze naturali dalle relazioni:

k = k2 fk = k/2 (6)

dove la pulsazione naturale è espressa in radianti al secondo e la frequenza naturale in Hz (cicli al secondo).

In collegamento con gli autovalori si determinano gli autovettori (deformate modali) che sono definiti a meno di una costante; si può costruire così la matrice modale che comprende (posizionati per colonne) gli autovettori e risponde a condizioni di ortogonalità rispetto alle matrici di massa e di rigidezza del sistema dinamico. Se le matrici di massa e di rigidezza del modello dinamico sono delle matrici simmetriche (come avviene nel caso in cui si faccia riferimento ad un modello strutturale agli elementi finiti) gli autovalori sono reali e positivi.

Le equazioni del sistema dinamico, senza smorzamento, ma con una azione forzante sono:

M x” + K x = F (7)

Se la matrice di massa del sistema non è singolare (e quindi esiste la sua inversa M-1 ) si può scrivere:

x” + M-1 K x = M-1 F (8)

che introducendo la matrice A = - M-1 K si può porre nella forma:

x” = A x + M-1 F (9)

questa equazione definisce ancora un problema di autovalori e di autovettori equivalente a quello definito dalla (4) ma espresso direttamente in termini della matrice A .

La soluzione del problema dinamico non forzato è data dalla:

x = i ( Ai cos(it) + Bi sin(it) ) X(i) (10)

2


dove con Ai e Bi si indicano le costanti di integrazione, con i le pulsazioni naturali e con X(i) l’autovettore associato allo i-simo autovalore.

Le costanti di integrazione si determinano a partire dalle condizioni iniziali imposte sugli spostamenti e sulle velocità all’istante iniziale t = 0.

Gli spostamenti assegnati al punto iniziale permettono di ricavare le costanti A i e le velocità assegnate al punto iniziale le costanti Bi .

La soluzione completa del sistema forzato (7) è data da :

x = i (Ai cos it + Bi sin it) X(i ) + xp(t) (11)

dove con xp(t) si è indicata la soluzione particolare (soluzione stazionaria) dell’equazione del moto con termine forzante. Si consideri il problema di autovalori espresso dalla:

( K - i M ) i = 0 (12)

se le matrici di massa e di rigidezza sono delle matrici simmetriche e sono anche definite positive e nel caso in cui non sono presenti autovalori multipli si possono dimostrare le proprietà di ortogonalità dei modi fondamentali di vibrazione rispetto alle matrici di massa e di rigidezza, nel caso più generale si ha:

T M = mk (13) T K = kk

dove mk , kk indicano delle matrici diagonali ed i termini, diversi da zero, sulla diagonale indicano rispettivamente la massa e la rigidezza generalizzata del modo k-simo , si ha poi la relazione: _____ k = kk/mk (14)

le pulsazioni naturali hanno un significato intrinseco legato alla struttura in esame (ed alle sue condizioni di vincolo) quindi i valori numerici delle pulsazioni naturali sono indipendenti dalla scelta dei fattori di scala delle deformate modali.

Nel caso in cui si considerino dei modi normalizzati a masse generalizzate unitarie (che sono anche valutabili con opportune prove sperimentali) si hanno le proprietà :

*T M * = I (15) *T K * =

dove I indica la matrice di identità e λ indica la matrice diagonale degli autovalori .

I modi fondamentali di vibrazione sono ortogonali rispetto alle matrici di massa e di rigidezza ( oppure ortonormali nel caso di modi fondamentali normalizzati a massa generalizzata unitaria) .

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3. Sistemi con smorzamento

Nel caso di sistemi dinamici in presenza di smorzamento le caratteristiche dinamiche fondamentali sono:

autovalori complessi frequenze naturali di vibrazione smorzamenti modali autovettori complessi

Le equazioni della dinamica di una struttura in presenza di smorzamento (secondo il modello di smorzamento viscoso) e con un termine forzante sono:

M x” + C x’ + K x = F (16)

Dove le matrici M, K sono le matrici di massa e di rigidezza (come nel caso di modello dinamico senza smorzamento) e C indica la matrice di smorzamento (secondo il modello viscoso in cui lo smorzamento è legato alla velocità) tutte queste matrici sono di dimensioni (n,n) dove n indica il numero di gradi di libertà considerati nel modello dinamico. Nel caso più generale, senza particolari ipotesi sulla matrice C, si può introdurre un vettore di stato che comprende spostamento e velocità ed ha quindi dimensioni 2n,1 :

yT = x x’ (17)

l’equazione della dinamica si può scrivere come:

I 0 x’ + 0 -I x = 0 (18) 0 M x” K C x’ F(t)

Se la matrice di massa della struttura è una matrice non singolare si può definire la sua matrice inversa M-1 e l’equazione della dinamica scritta in termini del vettore di stato diviene :

I 0 x’ = 0 I x + 0 (19) 0 I x” -M-1 K -M-1C x’ M-1F(t)

Che scritta in forma normale risulta :

y’ = A y + f* (20)

se si ipotizza una soluzione del tipo :

y = y* e t (21)

si ha : ( A - I ) y* = 0 (22)

Si ottiene così dalla (22) un problema di autovalori ed autovettori della matrice del sistema in forma normale A .

4


Si nota come la matrice A sia di dimensioni 2n,2n e definisca quindi 2n autovalori e 2n autovettori.Nel caso di strutture con coefficienti di smorzamento piccoli (come avviene in genere per le tipologie di strutture spaziali) gli autovalori si presentano in coppia con il complesso coniugato : _______ k , k* = - k k j k 1 - k

2 (23)

in completa analogia con quanto accade nel caso del sistema ad un grado di libertà con smorzamento viscoso e si ha :

k + k* = - 2 kk (24) kk* = -k

2

In maniera formalmente analoga si possono valutare gli autovettori, che in generale risultano complessi, della matrice A .

( A - I ) y* = 0 (25)

Anche questi autovettori in numero di 2n, con 2n componenti, sono complessi coniugati e sono relativi al vettore di stato y che comprende i vettori di spostamento e di velocità ; quindi le 2n componenti del singolo autovettore indicano rispettivamente le componenti di spostamento e di velocità collegate tra loro dalla pulsazione del modo.

4. Smorzamento proporzionale

Nel caso particolare in cui la matrice di smorzamento C nel modello viscoso sia proporzionale rispetto ad una combinazione lineare delle matrici di massa e di rigidezza :

C = M + K (27)

Si possono utilizzare i modi reali del sistema non smorzato :

M x” + K x = 0 (28)

come base modale anche per il sistema smorzato. Indicando con la matrice costruita con gli autovettori reali del sistema non smorzato (posizionati per colonne) si può porre :

x = q (29)

quindi sostituendo la posizione (29) nell’equazione di partenza si ha :

TM q” + TC q’ + TK q = T f(t) (30)

nelle ipotesi poste, in cui la matrice C è proporzionale rispetto alle matrici M,K si ha :

TM = mk

TK = kk (31) TC = mk + kk

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Si ottiene così la diagonalizzazione del sistema smorzato (si nota che ciò è possibile solo in base all’ipotesi che la matrice di smorzamento viscoso sia proporzionale rispetto alla matrice di massa e di rigidezza, se ciò non avvenisse il prodotto T C nella (30) porterebbe ad una matrice piena e non diagonale come avviene per C proporzionale ) :

mk q” + (mk + kk) q’ + kk q = fk* (32)

Si hanno quindi delle equazioni separate modo per modo, dividendo per la massa generalizzata mk del modo k-simo la (32) diviene :

qk” + ( + kk/mk) qk’ + k2 qk = fk ** (33)

Che si può scrivere come :

qk” + 2 kk qk’ + k2 qk = fk** (34)

Dalle (33), (34) si ha :

k = (/2k + k/2) (35)

Si vede come, nella ipotesi posta di proporzionalità, il coefficiente adimensionale di smorzamento k presenti un andamento in funzione della pulsazione corrente che dipende, per quanto riguarda il termine dovuto alla distribuzione di massa, in modo inversamente proporzionale e, per quanto riguarda il termine dovuto alla distribuzione di rigidezza, in modo proporzionale rispetto alla pulsazione .

Se in un diagramma viene riportata in ascissa ed in ordinata il coefficiente di smorzamento si ha un valore minimo del coefficiente adimensionale di smorzamento in corrispondenza di un valore di che divide il diagramma in due zone. Nella prima zona lo smorzamento dipende principalmente dalla componente proporzionale alla distribuzione di massa e nella seconda zona dipende principalmente dalla distribuzione di rigidezza (rispettivamente a bassa ed alta frequenza). Quindi a bassa frequenza il coefficiente di smorzamento diminuisce con ω e ad alta frequenza aumenta (in genere debolmente) con ω .

5. Funzioni di risposta in frequenza

Si consideri ora, per il modello senza smorzamento, il caso in cui sia presente un vettore delle forze di ingresso con componenti tutte alla stessa pulsazione ma con diversa ampiezza definito dalla :

f(t) = f* ejωt (36)

la soluzione del sistema senza smorzamento è del tipo :

x(t) = x* ejωt (37)

dove f*, x* sono vettori ad n componenti di ampiezze complesse. Si ha:

( K - ω2 M ) x* ejωt = f* ejωt (38)

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si può definire una matrice di flessibilità dinamica che rappresenta un modello di risposta in termini della funzione di risposta in frequenza : x* = H(ω) f* (39)

dove la matrice n,n delle funzioni di risposta in frequenza è data da :

H(ω) = ( K - ω2 M )-1 (40)

Dalla (40) risulta evidente come, note le matrici M,K del modello spaziale, si possono calcolare, per ogni valore di pulsazione ω , i valori della matrice di flessibilità dinamica. Questo procedimento richiede l’inversione di una matrice ( in genere di grandi dimensioni) per ogni valore di ω (operazione pesante dal punto di vista numerico) ma mette in luce il collegamento diretto esistente tra modello spaziale e modello in termini di funzioni di risposta in frequenza.Si può anche impiegare un approccio diverso che consente di valutare H(ω) in termini del modello modale invece che in termini del modello spaziale.Dalla (40) si ha :

( K - ω2 M ) = H(ω)-1 (41)

se si premoltiplica la (41) per Φ*T e si postmoltiplica per Φ* ( dove con Φ* si indica la matrice degli autovettori normalizzati del modello senza smorzamento) si ha :

Φ*T ( K - ω2 M ) Φ* = Φ*T H(ω)-1 Φ* (42)

utilizzando la proprietà di ortogonalità dei modi normalizzati si ha :

( ωk2 - ω2 ) = Φ*T H(ω)-1 Φ* (43)

se si inverte la (43) si ha :

Φ* -1 H(ω) Φ*-T= ( ωk2 - ω2)-1 (44)

e infine premoltiplicando per Φ* e postmoltiplicando per la matrice Φ*T si ha :

H(ω) = Φ* ( ωk2 - ω2 )-1 Φ*T (45)

La (45) mostra che la matrice di flessibilità dinamica è una matrice simmetrica ( è il prodotto di una matrice Φ* per una matrice diagonale e per la trasposta della prima matrice).La simmetria della matrice H(ω) è anche evidente dalla definizione delle singole funzioni della matrice (principio di reciprocità) :

Hjk(ω) = ( xj*/fk* ) = Hkj(ω) = ( xk*/fj* ) (46)

Dalla (45) è anche diretta l’espressione delle singole funzioni di risposta in frequenza in termini delle caratteristiche modali:

Hjk(ω) = Σr (Φj*(r) Φk

*(r)) / ( ωnr2 - ω2 )

7


dove con ω si indica la pulsazione corrente, con ωnr la pulsazione naturale del modo r-simo e con Φj

*(r) , Φk*(r) rispettivamente le componenti j,k del modo r-simo

normalizzato a massa generalizzata unitaria.Nel caso in cui il modello della struttura comprenda anche (secondo il modello viscoso) una matrice C , che tiene conto della dissipazione di energia, si definisce in analogia con la ( 40) una matrice di funzioni di risposta in frequenza data dalla :

H(ω) = [ K + jωC - ω2M ]-1 (48)

anche in questo caso la H(ω) , che per la presenza della dissipazione di energia in generale risulta complessa, si può esprimere direttamente in termini delle matrici del modello spaziale.Se la matrice di smorzamento C è di tipo proporzionale :

C = α M + β K (49)

procedendo in maniera analoga a quanto visto per la (45) si può esprimere il termine generico della matrice di flessibilità con la :

Hjk (ω) = Σr (Φj*( r) Φk

*( r))/ ( ωnr2 - ω2 + j2ωωnrζr ) (50)

dove ζr è il coefficiente dimensionale di smorzamento del modo r .In questo caso per la presenza dello smorzamento le funzioni Hjk (ω) sono funzioni complesse.Se si impiegano deformate modali reali ma non normalizzate si ha :

Hjk(ω) = Σr ( Φj( r) Φk

( r) )/( kr - mr ω2 + j ω cr ) (51)

per deformate modali normalizzate si ha : _____ ωr

2 = ( kr/mr ) ; ζr = cr /( 2√krmr ) ; ( j ω cr)/mr = j 2 ω ωr ζr

E quindi si ottiene la (50).

6. Variazione di autovalori per variazioni limitate di massa e rigidezza

Per valutare l’effetto di variazioni (di entità limitata) nella distribuzione di massa e di rigidezza nella struttura, indicate con le matrici di variazione ΔM e ΔK , si pone l’ipotesi che queste variazioni nella struttura portino a variazioni significative sulle frequenze naturali ma lascino sostanzialmente inalterate le deformate modali corrispondenti . In queste ipotesi si possono utilizzare delle relazioni approssimate che consentono di valutare le variazioni sulle frequenze naturali della struttura senza richiedere una nuova analisi dinamica della struttura modificata (introducendo le variazioni di massa e di rigidezza in esame). Infatti in queste ipotesi alle variazioni di massa e di rigidezza corrispondono delle variazioni sulle frequenze fondamentali, ma non sulle deformate modali e quindi si può porre :

ΦT[(K + ΔK) - (ω2 + Δω2)(M + ΔM)] Φ = 0 (52)

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Sviluppando la (52) tenendo conto che ΦTKΦ – ω2ΦTMΦ = 0 e che il termine - (Δω2)ΦTΔM Φ che compare nello sviluppo della (52) è di un ordine inferiore rispetto agli altri termini si ottiene :

ΦTΔKΦ - ω2 ΦTΔM Φ - (Δω2) ΦTM Φ = 0 (53)

se si scrive la (53) per ogni singolo modo, indicato con il pedice k , si ha :

Δωk2 = (Φk

TM Φk)-1(ΦkTΔK Φk - ωk

2 ΦkT ΔM Φk) (54)

nel caso in cui si impieghino dei modi fondamentali della struttura di riferimento normalizzati a massa generalizzata unitaria si ha ΦT M Φ = I e la (54) si riduce alla :

Δωk2 = Φk

T ΔK Φk - ωk2 Φk

T ΔM Φk (55)

La (55) mette in evidenza la dipendenza della variazione di pulsazione fondamentale dalla deformata modale del singolo modo.Le variazioni delle frequenze fondamentali della struttura , per effetto di variazioni limitate nella distribuzione di massa e di rigidezza, si possono valutare, senza una nuova analisi dinamica della struttura modificata, con la relazione (55) modo per modo con un processo numerico molto semplice. Per definire la (55) si è posta l’ipotesi che le variazioni di massa e di rigidezza della struttura non portino a variazioni significative delle deformate modali e che si tratti di variazioni di massa e di rigidezza limitate rispetto ai valori iniziali. La (55) , come già osservato, mette direttamente in luce l’effetto diverso per i singoli modi delle variazioni di massa e di rigidezza.

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