34

DINAMICA1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA..................................................................352. LA SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA ......................................................353. LA MASSA INERZIALE......................................................................................374. LA LEGGE DI NEWTON E LO SPAZIO DELLE FASI......................................385. TEOREMA DELL’IMPULSO ..............................................................................406. IL TERZO PRINCIPIO DELLA DINAMICA (AZIONE E REAZIONE).............437. IL PRIMO PRINCIPIO DELLA DINAMICA (LEGGE D’INERZIA)..................448. CAMPI DI FORZE ...............................................................................................449. L’ENERGIA POTENZIALE.................................................................................4610. IL LAVORO COMPIUTO DA UN CAMPO DI FORZE ....................................4711. ESEMPIO DI FORZA CONSERVATIVA: LA FORZA ELASTICA..................4912. ESEMPIO DI FORZA DISSIPATIVA: ATTRITO .............................................4913. TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA.........................................................5014. TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA TOTALE MECCANICA..................................................................................................................................5115. L’ENERGIA DI UN MOTO AD ACCELERAZIONE COSTANTE. ..................5216. L’ENERGIA DI UN MOTO ARMONICO..........................................................5317. L’ENERGIA DI UN CAMPO GRAVITAZIONALE...........................................5518. CAMPI DI FORZA CENTRALI.........................................................................5619. PATTINATORE SUL GHIACCIO E MOMENTO ANGOLARE.......................5920. IL GIROSCOPIO................................................................................................5921. I CAMPI CENTRALI DI FORZA ELASTICA...................................................6022. IL CAMPO DI FORZA GRAVITAZIONALE....................................................6323. IL TEOREMA DI GAUSS...................................................................................6324. IL CAMPO GRAVITAZIONALE ALL’INTERNO DI UNA MASSA SFERICAUNIFORME..............................................................................................................6625. IL CAMPO DI FORZA GRAVITAZIONALE GENERATO DA UNA MASSASFERICA UNIFORME.............................................................................................6726. LA FORZA DI GRAVITA’ TERRESTRE..........................................................6927. IL PENDOLO SEMPLICE (LE PICCOLE OSCILLAZIONI) ...........................7128. IL PROBLEMA DI KEPLERO...........................................................................7329. IL TEOREMA DEL VIRIALE PER LA PARTICELLA SINGOLA...................7530. OLTRE L’UNIVERSO MECCANICO DI NEWTON.........................................78

La serie di Balmer. .................................................................................................... 79L’atomo idrogenoide. ................................................................................................. 81Il modello di Bohr ..................................................................................................... 81Descrizione ondulatoria. ............................................................................................. 82L’equazione di Schroedinger ....................................................................................... 83I polinomi di Hermite e l’oscillatore armonico quantistico. ................................................ 83Il principio di corrispondenza e l’oscillatore quantistico.................................................... 84

35

1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA

Il passo successivo alla cinematica consiste nel cercare di rispondere allaseguente domanda : qual’e’ la causa del moto ?Newton riusci’ a trovare una risposta inventando cosi’ la dinamica, chedunque e’ quella branca della Fisica che studia le cause del moto e le legginaturali che collegano le cause con gli effetti.Osservando i fenomeni naturali Newton scoperse che alcuni moti, non tutti,apparivano essere connessi con una ben precisa causa.Se ad esempio un giocatore di bigliardo colpisce con una stecca una bigliaferma essa si pone in movimento e tanto maggiore e’ il colpo tanto piu’velocemente la biglia si muove. Inoltre la direzione di moto della bigliadipende dalla direzione da cui proviene il colpo. Da questo esempiosembrerebbe di capire che la causa del moto deve essere una grandezzavettoriale, perche’ l’effetto del colpo dipende sia dall’intensita’ che dalladirezione.Tuttavia vi erano moti che almeno apparentemente non sembravano causatida nulla: il moto dei pianeti, la caduta dei corpi pesanti, ecc.L’ipotesi di Newton era molto semplice ma assolutamente rivoluzionaria:assumere che qualsiasi moto fosse causato da una grandezza fisica vettoriale,cui diede il nome di FORZA. In particolare Newton riusci’ a spiegare le leggiempiriche di Keplero sul moto dei pianeti, inventando la forza di gravita’.Noi oggi sappiamo che il nostro Universo e’ governato soltanto da quattroforze fondamentali, di cui una e’ la forza di GRAVITA’, le altre sono:

• la forza ELETTROMAGNETICA (responsabile dei fenomeni luminosi,fenomeni elettrici e magnetici, formazione di atomi e molecole, ecc.),

• la forza FORTE (responsabile dell’aggregazione della materia neinuclei atomici),

• la forza DEBOLE (responsabile dei decadimenti radioattivi).Proprio lo studio delle caratteristiche di queste forze ci ha portato acomprendere non soltanto i fenomeni del mondo microscopico, ma adesempio anche i meccanismi di formazione e di evoluzione dell’Universo sugrande scala.

2. LA SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA

Partendo dalle tre leggi empiriche che Keplero aveva dedotto dai datiastronomici sul moto dei pianeti di Tycho Brahe, e assumendo che esistesseuna forza gravitazionale che determinava tale moto dipendente dall’inversodel quadrato della distanza dei pianeti dal sole, Newton dedusse la seguenteequazione fondamentale della dinamica o Legge di Newton:

1. r F = m r a

Tale legge definisce una relazione analitica tra la causa (la forza r F ) e

l'effetto (l'accelerazione r a ) del moto di un corpo. La costante m rappresenta

una proprietà del corpo che si chiama massa inerziale, che dipende soltantodalla quantità di materia che compone il corpo.

36

Il nome inerziale deriva dal fatto che tale grandezza rappresenta qualche cosache in un certo modo si oppone al moto. Infatti dall’equazione (1) a parita’ diforza applicata al corpo, tanto maggiore e’ la massa, tanto minore e’ l’effettodel moto (accelerazione). Nel caso limite di un corpo con massa infinita non siha nessun movimento qualunque sia la forza che agisce sul corpo. In altritermini si puo dire che la massa inerziale di un corpo è la proprietà che fa sìche il corpo resista alle variazioni della propria velocità.

Nella descrizione di Newton tale massa e’ costante, mentre e’ noto chenella teoria della Relativitá Ristretta di Einstein la massa dipende dallavelocita. Tale dipendenza diventa rilevante soltanto quando il corpo si muovecon velocita’ prossime a quella della luce (300.000 Km/s). Per i processi dimoto a velocita piu basse (ad esempio i pianeti che si muovono attorno al solecon velocita’ di circa 5-30 Km/s) l’approssimazione newtoniana e’ accettabile.

E’ importante osservare che l'equazione fondamentale della dinamicanon è una equazione algebrica ma differenziale del second'ordine il cuiintegrale generale e’ la posizione

r r :

2.

r F = m d2r r t( )

dt2

dove cioe’ l'incognita è la funzione r r t( ) del tempo t e la soluzione esplicita

del moto (integrale particolare dell'eq.(2)) dipende ovviamente da dueparametri arbitrari che chiamiamo condizioni iniziali

3.

r r t = 0( ) =r r 0

r v t = 0( ) =r v 0

Ï Ì Ó

dove r r 0 posizione iniziale e

r v 0 velocità iniziale permettono di definire idue parametri arbitrari da cui dipende l'integrale generale dell'eq.(2) .

Naturalmente questa legge non ha senso se non si definiscono gliosservatori (sistemi di riferimento) rispetto ai quali essa vale. La risposta aquesta domanda sarà data dal primo principio della dinamica.

L’equazione (2) si puo’ anche scrivere:4.

†

r F = m dr v

dte dunque una forza causa una variazione di velocità. Quindi tutte le volte

che si verifica su di un corpo un cambiamento di velocita’ cio’ vuol dire che sutale corpo ha agito una forza.

Esempio 1: Una palla di bigliardo colpita dalla stecca di un giocatore simette in moto sul tavolo. Cio’ significa che il giocatore ha applicato una forzasulla palla mediante la stecca. Con la legge di Newton siamo in grado dicalcolare la forza F impressa dal giocatore sulla biglia:

†

F = m DvDt

=mDt

v

essendo v la velocita’ assunta dalla biglia e Dt l’intervallo di tempodurante il quale la stecca e’ stata a contatto con la biglia. Supponendo che iltempo di contatto sia sempre lo stesso, si puo’ concludere che la velocita’ dellabiglia e’ proporzionale alla forza impiegata. La grandezza FDt si chiama ancheimpulso della forza, e in tal caso la forza e’ una forza impulsiva.

37

Esempio 2: Una palla di bigliardo in moto con velocita’ costante v urtacontro una sponda del tavolo da bigliardo. La palla rimbalza, cioe’ cambiaalmeno la direzione se non il modulo della sua velocita’. Allora si puo’ direche la sponda del tavolo da bigliardo ha applicato una forza sulla biglia:

Figure 1ed essendo l’angolo di incidenza uguale all’angolo di riflessione, ne

consegue che la forza F e’ diretta perpendicolarmente alla sponda delbigliardo.

3. LA MASSA INERZIALE

Il rapporto tra la causa del moto (forza) e l'effetto (accelerazione) é unacostante che dipende soltanto dalla quantità di materia contenuta nel corpo sucui la forza agisce. Questo rapporto si chiama massa inerziale perchérappresenta essenzialmente la capacità di ogni corpo ad opporsi al moto, cioèe’ la sua inerzia a rispondere alle forze che lo sollecitano a muoversi. Con unragionamento al limite potremmo dire che, se esistesse nell'universo un corpocon massa estremamente grande (diciamo infinita), esso persisterebbe nel suostato di moto, ad esempio starebbe fermo, qualunque fosse la forza che su diesso agisce.Ricordiamoci che Newton assunse la seguente forma per la forzagravitazionale:

5.

†

r F = -G

M gmg

r2

r r r

dove G e’ una costante che si chiama costante di gravitazione universale, Mged mg sono le masse gravitazionali del sole e del pianeta rispettivamente ed re’ il vettore posizione del pianeta rispetto al sole. In linea di principio massainerziale m e gravitazionale mg possono rappresentare due proprieta’ diversedella materia. Mettendo assieme quest’ultima equazione (5) con la (1) siottiene:

38

†

a = -GM g

r2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

mg

mÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜

e siccome la prima parentesi non dipende dal corpo, l’accelerazione a dipendesoltanto dal rapporto tra massa gravitazionale e massa inerziale. Siccomepero’ l’accelerazione di gravita’ e’ uguale tra tutti i corpi (g sulla terra) allora ilrapporto:

†

mg

m=1±10-11

non puo’ dipendere dal corpo, le due masse devono percio’ essere tra loroproporzionali per lo stesso corpo. Gli esperimenti confermano che queste duegrandezze sono proporzionali tra di loro. Quindi pur di scegliereopportunamente le unita’ di misura tali masse si possono far coincidere.Gli esperimenti sino ad oggi hanno dimostrato che tale coincidenza e’verificata entro un fattore 10-11.

Qualche considerazione si deve anche fare per chiarire cosa intendiamoper quantità di materia di cui é composto il corpo. Intanto osserviamo chenell'universo esistono fenomeni immateriali, cioé a massa nulla. Bastiricordare i fenomeni elettromagnetici in cui si manifestano i fotoni che sonoparticelle senza massa dotate soltanto di energia. Oggi noi sappiamo che lamateria é essenzialmente concentrata nei nuclei degli atomi, che sonocomposti da protoni e neutroni. Queste particelle si chiamano anche barioni,possiamo quindi dire che la massa inerziale di un corpo é essenzialmenteproporzionale dunque al numero di barioni che lo costituiscono. Il problemadella materia barionica è di grande attualità per almeno due aspetti di granderilevanza: la stabilità della materia e la chiusura dell'universo.

Le più recenti teorie così dette di grande unificazione prevedono lapossibilità che il protone non sia stabile, cioè che la materia barionica possadecadere trasformandosi in energia. Questo processo naturalmente deveessere molto raro per il fatto stesso che noi vediamo l'universo esistere ancoradopo 13 miliardi di anni di vita. Infatti i più attuali limiti sul tempo didecadimento del protone (vita media) forniscono 1032 anni.

La quantità di materia totale contenuta nell'universo è direttamentecollegata con la possibilità o meno che l'universo stesso, attualmente in unafase espansiva dopo il big bang, possa ad un certo momento cominciare unanuova fase compressiva per effetto delle dominanti forze gravitazionali. Lemisure attualmente valide danno come risultato che la quantità di materiabarionica contenuta nell'universo non sarebbe sufficiente per giustificare unatale compressione, portando quindi alla descrizione di un universo inespansione indefinita. E' da questa osservazione che, per esempio si ipotizzala presenza di un altro tipo di materia non barionica, cioe’ non composta daprotoni e neutroni, che per il fatto di non essere visibile ha preso il nome dimateria oscura. Recentissime misure fatte sui satelliti hanno inoltre mostratoche nell’Universo deve esistere anche una forma di energia, fino ad orasconosciuta: chiamata per questo motivo energia oscura.

4. LA LEGGE DI NEWTON E LO SPAZIO DELLE FASI

La legge di Newton impone che, per la determinazione univoca di unmoto, si debbano conoscere le condizioni iniziali (cioè i due parametri

39

arbitrari da cui dipende l' integrale generale dell' eq. 2). In altri termini perdeterminare univocamente il moto di un punto bisogna conoscerne ad undeterminato istante (ad es. al tempo t=0) la posizione

r r 0 e la velocità r v 0 . Ciò

vuol dire che lo stato di moto di un punto materiale è univocamentedeterminato quando siano note la sua posizione e la sua velocità in un datoistante.

Si può allora costruire uno spazio astratto a 6 dimensioni r r , r v ( ) , detto spazio

delle fasi, in cui ogni "punto" (vettore Y) rappresenta lo stato del punto mobile infunzione del tempo.

Y = (x, y, z ; vx , vy , vz)

a) Spazio delle fasi per il moto rettilineo uniforme vx = K di un punto chesi muove in una scatola di semilato a.

Figure 2b) Spazio delle fasi per il moto uniformemente accelerato

Figure 3

40

x =12

K t2

vx = K t

Ï Ì Ô

Ó Ô

vx = 2 K x

c) Spazio delle fasi per il moto armonico

Figure 4

x = R cos w t( )vx = - R w sin w t( )

Ï Ì Ó

vx = ± R w 1 - cos2 w t( )

vx = ± w R2 - x2

vx2 = w 2R2 - w 2x2

vx2 + w 2x2 = w 2R2

equazione di un'ellisse con semiassi a , b:

a = Rb = wR

5. TEOREMA DELL’IMPULSO

L'equazione fondamentale della dinamica può essere usata per ricavareuna importante legge che governa il moto dei corpi.

Si definisce la seguente grandezza fisica

41

6.

r I F t( ) =

r F (r, T)dT

0

t

Ú (3.4)

che chiamiamo Impulso della forza. Riferendoci alla fig.5 riscriviamol'impulso della forza

r F applicata al punto P di massa m tra l'istante tA e

l'istante tB , ricordando che l'equazione (3.1) può anche scriversi

r F = m d r v t( )

dt

F ( P, t )

P, t

A, tA

B, tB

v ( tA)

fig.9

Figure 5

r I F =

r F

r P ,t( )dt

tA

tB

Ú

= m dr v dt

dt

tA

tB

Ú

42

= m dr v

tA

tB

Ú

= mr v B - mr v ADefiniamo la quantità di moto del corpo di massa m e velocità

r v

r q = m r v

che sostituita nella precedente equazione porta al Teorema dell'Impulso

7. r I F =

r q B -r q A = D

r q

Si noti che l'impulso di una forza dipende soltanto dallo stato iniziale e daquello finale . In figura e’ mostrato un esempio di forze impulsive. L’areatratteggiata rappresenta l’impulso della forza.

Figure 6Esempio : Calcoliamo l'impulso di una forza costante , ad esempio della

forza peso P = mg dove g = 9.8 m

s2 è l'accelerazione di gravità

I = mgdt = mg Dt

0

Dt

Úquindi

Dq = mg DtDvDt

= g

ritroviamo cioè che il punto si muove con accelerazione g costante .

43

6. IL TERZO PRINCIPIO DELLA DINAMICA (AZIONE EREAZIONE)

Se il corpo A applica una forza r F B sul corpo B allora sul corpo A agisce

una forza di reazione r F A uguale e contraria , quindi la forza risultante è nulla

r F A +

r F B =

r 0 .

È questo il caso ad esempio di due particelle che si urtano. Nell'ipotesiche le forze agiscano per un tempo Dt durante l'urto , calcoliamo l'impulsodella forza risultante

r F A +

r F B( )

0

Dt

Ú dt = 0

cioè

r F A

0

Dt

Ú dt +r F B

0

Dt

Ú dt =r 0

ed introducendo gli impulsi delle forze si ottiene

r I A +

r I B =

r 0 .

Applicando quindi il teorema dell'impulso

r I A = D

r q A

r I B = D

r q Bdove

Dr q A = mA

r v ' A - mAr v A

Dr q B = mB

r v 'B - mBr v B

essendo v'A,B e vA,B rispettivamente le velocità dei corpi A,B dopo eprima dell'urto, si ottiene, sommando membro a membro, la seguenteformulazione del principio dell'azione e reazione applicato all'urto tra dueparticelle

8. m A

r v 'A + mBr v ' B = mA

r v A + mBr v B

che rappresenta il Teorema di Conservazione della Quantità di Motototale del sistema di particelle interagenti.

44

7. IL PRIMO PRINCIPIO DELLA DINAMICA (LEGGED’INERZIA)

Se su di un corpo non agisce nessuna forza o se agisce un insieme di forzela cui risultante è nulla, allora il corpo persiste nel suo stato di quiete ( se erafermo ) o di moto rettilineo uniforme ( se era in moto ), rispetto a tutti isistemi di riferimento inerziali.

Questo enunciato asserisce essenzialmente che la legge di Newton e’valida nei sistemi di riferimento inerziali. Cioe’ le Forze Vere sono solo quelleche appaiono nella legge di Newton riferita ai sistemi inerziali.

Questo principio è di fatto una definizione dei sistemi di riferimentoinerziali, cioe’ degli osservatori privilegiati rispetto ai quali nella legge diNewton appaiono le forze vere che agiscono sul corpo.

Ma come definire operativamente i sistemi inerziali ? La relativita’galileiana asserisce che tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme traloro misurano su un punto in moto la stessa accelerazione e dunque la leggedi Newton e’ invariante cioe’ valida per tutti questi osservatori. Allorabasterebbe definire un solo osservatore inerziale per riconoscere tutti i sistemi diriferimento inerziali.

Un buon sistema di riferimento inerziale per descrivere i fenomeni cheavvengono nell’ambito del sistema solare e’ costituito dalle stelle cosi’ dettefisse. Per tale classe di fenomeni tutti gli osservatori fermi o in moto rettilineouniforme rispetto alle stelle fisse sono inerziali.

Ma se vogliamo ad esempio descrivere il moto delle stelle all’interno dellanostra galassia? In tal caso non possiamo piu’ considerare fisse le stelle edunque dobbiamo cercare un altro riferimento inerziale.

Il trucco consiste nel cercare un osservatore molto lontano rispetto alfenomeno di cui vogliamo studiare il moto. Nel caso delle stelle nella nostragalassia possiamo assumere come osservatore inerziale il sistema dellegalassie lontane dalla nostra.

Ma se vogliamo descrivere il moto delle galassie nel nostro universo ?Come si vede la scelta operativa dei sistemi di riferimento inerziali e’ in

qualche modo soggetta a delle approssimazioni.

8. CAMPI DI FORZE

Si definisce Campo di Forze un insieme di forze r F definite in ogni punto P

di un determinato volume V dello spazio

r F =

r F P( ) , P ŒV.

45

Y

Z

O

X

r

F ( r )

V

fig.10

P

Figure 7

Si definisce Intensità del Campo r f =

r F m

nel punto P la forza che agisce suuna massa unitaria m collocata nel punto P.

Si definiscono Linee di Forza o Linee del Campo le curve nello spazio

dxFx

=dyFy

=dzFz

oppure

Fx dy = Fy dxFy dz = Fz dyFz dx = Fx dz

Ï

Ì Ô

Ó Ô

Esempio Le linee di forza di un campo uniforme sono rette parallele alladirezione del campo . Infatti scriviamo il campo uniforme

r F = 0, 0, k( ) diretto

come l'asse z.

46

Y

Z

O

X

F = (o,o,k)

X0

Y0

fig.11

Figure 8Le equazioni delle linee del campo sono allora

k dx = 0k dy = 0

Ï Ì Ó

ed integrando

k x - x0( ) = 0k y - y0( ) = 0

Ï Ì Ó

cioè

x = x0y = y0

Ï Ì Ó

dove x0 e y0 sono costanti di integrazione e z è arbitrario. Questeequazioni rappresentano tutte le rette parallele all'asse z .

9. L’ENERGIA POTENZIALE

Riferendosi ad un sistema cartesiano si dice che un campo di forze r F x, y, z( ) ammette energia potenziale V se esiste la funzione scalare V(x,y,z)tale che

47

9.

Fx = -∂ V∂ x

Fy = -∂ V∂ y

Fz = -∂ V∂ z

Ï

Ì

Ô Ô

Ó

Ô Ô

Introducendo l'operatore scalare differenziale gradiente

grr a d =

∂∂ x

r i + ∂

∂ yr j + ∂

∂ zr k

possiamo scrivere

10. r F = - grr a d V( )

Se il potenziale è regolare in modo che valga per esso il teorema diinversione delle derivate parziali , allora dalla eq. (9) si deduce

11.

∂ Fx∂ z

=∂ Fz∂ x

∂ Fy∂ x

=∂ Fx∂ y

∂ Fz∂ y

=∂ Fy∂ z

Ï

Ì

Ô Ô Ô

Ó

Ô Ô Ô

Introducendo l'operatore vettoriale differenziale rotore

rr o t

r F ( ) =

∂ Fz∂ y

-∂ Fy∂ z

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ r i + ∂ Fx

∂ z-

∂ Fz∂ x

Ê

Ë Á ˆ

¯

r j +

∂ Fy∂ x

-∂ Fx∂ y

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

r k

si ha che un campo di forze r F che ammette potenziale ed ha la regolarità

(11) è irrotazionale cioè

12. rr o t

r F ( ) =

r 0

10. IL LAVORO COMPIUTO DA UN CAMPO DI FORZE

Definiamo Lavoro infinitesimo dL compiuto da un campo di forze r F per

spostare un punto materiale P di massa m di un tratto infinitesimo dr s lungo

la traiettoria G (fig.12) il prodotto scalare

13.

†

dL =r F ⋅ dr s

= Fxdx + Fydy + FzdzIl lavoro totale per spostare P dal punto A al punto B lungo G è dunque

48

14.

LG = Fxdx +Fydy + Fzdz( )GÚ .

PG

Y

Z

O

X

A

B

ds

fig.12

Figure 9Nota Bene : in generale il lavoro dipende dal cammino di integrazione G.

Se il campo è irrotazionale allora il lavoro non dipende più da G ma solo daipunti iniziale A e finale B. Infatti l'eq.(11) che conduce all'eq.(12) è lacondizione necessaria e sufficiente affinchè l'espressione

Fxdx + Fydy +Fzdz = dU x, y, z( )sia un differenziale esatto della funzione U(x,y,z)

dU =

∂ U∂ x

dx +∂ U∂ y

dy +∂ U∂ z

dz

da cui si deduce che

Fx =∂ U∂ x

Fy =∂ U∂ y

Fz =∂ U∂ z

Ï

Ì

Ô Ô

Ó

Ô Ô

e dunque

V = - Uallora l'eq.(13) diventa

15. dL = - dVIntegrando si deduce la forma assai notevole

49

16. L = - VB - VA( )valida per i campi irrotazionali. In particolare si deduce dall'eq.(16) che il

lavoro compiuto da un campo irrotazionale, lungo una qualsiasi linea chiusa,è nullo

17.

r F ⋅dr s Ú = 0

Si usa questa proprietà come definizione di campo conservativo.

Nota bene :a) se esiste almeno una linea chiusa per la quale non valga l'eq.(17) allora il

campo non è conservativob) viceversa se il campo è conservativo allora il lavoro compiuto dalle

forze del campo dipende soltanto dalla posizione iniziale A e da quella finaleB (eq.(16)) e non dalla particolare traiettoria.

c) In ogni punto di un campo conservativo le linee di forza e le superficiequipotenziali sono sempre tra loro perpendicolari. Infatti se lo spostamento d

r s avviene su una superfice equipotenziale dU=0 ne deriva dall'eq.(15) chedL=0 e dunque F dscos q( ) = 0 da cui cos q( ) = 0 .

11. ESEMPIO DI FORZA CONSERVATIVA: LA FORZAELASTICA

Si definisce forza elastica la forza che causa il moto armonico:F = - k x

Infatti l’equazione di Newton diventa:m x’’ = -k x

che e’ l’equazione del moto armonico con pulsazione w2 = k/m.

La circuitazione durante un periodo T=2p/w diventa:

†

C =r F ⋅ dr x Ú = - kx dx

0

TÚ = -

k2

x2[ ]0

T= -

kR2

2cos2 2p

Tt

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

È

Î Í

˘

˚ ˙ 0

T

C = -kR2

2cos2 2p( ) - cos2 0[ ] = 0

Concludendo la forza elastica e’ una forza conservativa.

12. ESEMPIO DI FORZA DISSIPATIVA: ATTRITO

In generale la forza di attrito si manifesta tra due corpi solidi chestrisciano l’uno sull’altro o tra un corpo ed il fluido in cui il corpo si muova. E’una forza che si oppone al moto ed e’ proporzionale oltre che alla superficiedi contatto tra i due corpi anche alla velocita’ relativa.

†

r F = - k r v

Si dimostra che la circuitazione non e’ nulla.

50

Infatti per tale moto si calcola la velocita’ in funzione del temporisolvendo l’equazione di Newton.

†

-k v = m ˙ v ˙ v v = -

km

lnv = -km

t + c

v = v0e-

km

t

essendo v0 la velocita’ al tempo t=0.Calcoliamo ora la circuitazione:

†

c =r F ⋅ dr s Ú = -k r v ⋅ dsÚ

e moltiplicando e dividendo per dt

c = -k v2dt0tÚ

c = -kv02 e

-2km

t

0tÚ dt

c = -12

mv02 1- e

-2km

tÊ

Ë Á Á

ˆ

¯ ˜ ˜ < 0

e tale integrale e’ sempre negativo e diverso da zero. Essendo lacircuitazione il lavoro compiuto dalle forze del campo, ne consegue che chicompie lavoro e’ dunque il corpo che si muove per opporsi al campo di forza.Questo lavoro viene compiuto a spese dell’energia cinetica del corpo ed e’dissipato in continuazione (in generale sotto forma di calore) nel senso che ilcorpo non recuperera’ piu’ tale energia. Dall’ultima formula si conclude che ilcorpo dissipa in continuazione la sua energia cinetica che dunque varia neltempo secondo la legge:

†

DTT

= -2km

Dt

infatti integrando tale equazione si ottiene:

†

T = T0e-

2km

t

che rappresenta l’energia cinetica rimanente dopo il tempo t.

13. TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA

Consideriamo il lavoro compiuto da un campo di forze durante unospostamento infinitesimo

dL =r F ⋅dr s

ricordando l'equazione di Newton r F =m d r v

dt

dL = mdr v ⋅d

r s dt

= m r v ⋅d r v

51

ed essendo r v ⋅dr v = 1

2d r v ⋅ r v ( ) =

12

dv2 si ottiene

dL = d 1

2mv2Ê

Ë ˆ ¯

Se definiamo energia cinetica di un corpo di massa m e velocità v

18. Ecin =

12

mv2

si ottiene in conclusione

19. dL = dEcinIl lavoro elementare compiuto dalle forze di un campo che agiscono su un corpo è

pari alla variazione dell'energia cinetica subita dal corpo stesso.

14. TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA TOTALEMECCANICA

Consideriamo l'energia potenziale V di un corpo immerso in un campo diforze conservative , possiamo allora riscrivere l'eq. (15) nella forma

20. d L +V( ) = 0ed applicando il teorema dell'energia cinetica (19) si ha

21. d Ecin +V( ) = 0

Definiamo Energia Totale Meccanica del corpo la somma dell'energiacinetica e dell'energia potenziale

22. Etot = Ecin +Vsi ottiene allora la notevole proprietà di Conservazione dell'energia Totale

Meccanica di un corpo in moto in un campo di forze conservative

23. Etot = costan teNota 1 : Se il campo di forze non è conservativo bisogna tenere conto

anche di un termine dissipativo additivo che è dovuto al lavoro compiutodalle forze non conservative (ad esempio l'energia dissipata per effetto delleforze di attrito sotto forma di calore). In questo caso si ha

d Etot -Ldiss( ) = 0dove Ldiss è il lavoro compiuto dalle forze non conservative. Essendo il

lavoro una forma di energia si può anche enunciare la legge (23) nel seguentemodo

Il contenuto totale di energia in un processo isolato si conserva , cioè l'energia inun processo isolato può soltanto trasformarsi da una forma ad un'altra senza esserecreata o distrutta.

52

Nota 2 : Di fatto l'energia cinetica è definita nel teorema dell'energiacinetica come un indice di stato fisico , nel senso che tale teorema resta validoanche se definiamo l'energia cinetica in modo più generale

Ecin =

12

mv2 +costan te

È evidente che assumere non nulla tale costante additiva equivale adassegnare una energia non nulla al corpo quando esso è in quiete. La teoriadella relatività ristretta assume questa costante pari a

m0 c2

dove m0 è la massa a riposo e c è la velocità della luce .

15. L’ENERGIA DI UN MOTO AD ACCELERAZIONECOSTANTE.

Consideriamo la caduta di un grave, è questo un moto ad accelerazionecostante pari all’accelerazione di gravita’ g. Per tale moto l’equazione diNewton diventa:

mg=mz’’

Figure 10Se il grave si trova nel punto z = 0 al tempo t = 0 ed ha in tale istante

velocita’ nulla, allora esso tende a cadere lungo la direzione dell’asse z conaccelerazione costante z’’ = g, con velocita’ z’ = gt e con una posizione chedipende quadraticamente dal tempo z = 1/2 g t2.

Essendo l’energia potenziale:

†

F = mg = -dUdz

si ricavaU = -mgz +U0

essendo U0 l’energia potenziale nel punto iniziale z = 0. Calcoliamol’energia cinetica del grave:

53

†

T =12

m z' 2=12

m g2t2 = m g z

L’energia totale e’ dunque costante, come ci si doveva aspettare

Etot = T + U = U0.

Figure 11In figura sono mostrati gli andamenti dell’energia potenziale U

(decrescente) e dell’energia cinetica T (crescente) in funzione della quota z.

16. L’ENERGIA DI UN MOTO ARMONICO

Il moto armonico è quello subito dal punto proiezione su un diametro delmoto circolare uniforme. L'equazione del moto armonico è dunque:

x = A cos w t +f( )che è l'integrale della così detta equazione armonica o equazionedell'oscillatore armonico:

24. ̇ ̇ x +w2 x = 0 .Questo moto è causato dalla forza elastica

F = - k xInfatti l'equazione di Newton per questa forza diventa:

m ˙ ̇ x = - kxcioè

˙ ̇ x + km

x = 0

essendo ovviamentew =km

54

Da cui k = mw2. L'energia potenziale dell'oscillatore armonico è:

F = -

dUdx

, U =k2

x2

†

U =12

m w2x2

avendo assunto essere nulla l'energia potenziale per x=0, mentre l'energiacinetica è:

T =12

m dxdt

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

2=

12

mA2 w2 sen2 w t + j( ) =12

mA2 w2 1 - cos2 w t + j( )[ ] =

=12

mA2 w2 1 -xA

Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

2È

Î Í

˘

˚ ˙ =

12

m A2 w2 -12

m w2 x2 =12

k A2 -12

k x2

†

T =12

m w2A2 -12

m w2x2

in conclusione l'energia totale è:

†

Etot = T +U =12

m w2A2

cioe'

Etot = p m n2A2

che si verifica essere ovviamente costante (per il teorema della conservazionedell'energia totale). E’ interessante notare che l’energia totale di un oscillatorearmonico è proporzionale al quadrato della frequenza n ed al quadratodell’ampiezza A.Possiamo allora rappresentare graficamente l'andamento dell'energia cineticae dell'energia potenziale (fig. 12) in funzione di x.

U

T

E

Etot = 1/2 kA2

x0-A A

Figure 12Si noti che l'energia potenziale è massima dove l'energia cinetica è minima eviceversa.

55

17. L’ENERGIA DI UN CAMPO GRAVITAZIONALE

Calcoliamo l’energia potenziale del campo gravitazionale che agisce tra

due masse M (supposta ferma) e m poste ad una distanza r.Supponendo per semplicita’ che la velocita’ sia soltanto radiale si calcola

l’energia totale della massa m, che e’ costante.

Si presentanoallora diversi casi:H ≥ 0, che implica

†

v ≥2Hm

La traiettorianello spazio dellef a s i e ’rappresentata infigura.

Se allora lavelocita’ di m inun certo istante e’posit iva, cioe’diretta nel sensodi allontanamentoda M , allora lam a s s a mcontinuera’ adallontanarsi da M

indefinitivamente diminuendo la sua velocita’ sino al valore limite

†

2Hm

.Se invece la velocita’ di m in un certo istante e’ negativa, cioe’ diretta verso

M , allora m si avvicinera’ ad M continuando a crescere la sua velocita’. E’importante notare che per H ≥ 0 le traiettorie nello spazio usuale sonodunque rappresentate da linee aperte.

H < 0 la traiettoria nello spazio delle fasi e’ rappresentata in figura.

• v(t0) > 0 : la massa m si allontana da M diminuendo la sua

†

F = -G Mmr2 = -

dUdr

dU = G Mmr2 dr

U = -G Mmr

†

Etot =12

m v2 - G Mmr

= H (costante) r

v

†

2Hm

O

†

-2Hm

56

r

vO

†

GMmH

velocita’ sino a zero, raggiungendo una distanza massima paria GMm/|H|, per poi avvicinarsi ad M con una velocita’crescente in modulo.

• v(t0) < 0 : la massa m cade sulla massa M aumentandoprogressivamente la sua velocita’.

Figure 13

In questo caso è importante notare che le traiettorie nello spazio usuale sonodunque linee chiuse.

18. CAMPI DI FORZA CENTRALI

Si definisce campo centrale o campo di forza centrale ogni campo di forza chepossiede le seguenti proprietà :

a) in ogni punto del campo la forza è diretta secondo una retta passanteper un punto fisso detto centro del campo,

b) il modulo f(r) della forza F in un punto del campo dipende soltantodalla distanza del punto dal centro del campo. Quindi su una qualsiasisuperficie sferica la forza e’ costante in modulo.

25. r F = f r( )

r r r

57

Figure 14Se f e’ positiva allora il campo e’ repulsivo, altrimenti e’ attrattivo.

Dimostriamo che un campo centrale è conservativo. Infatti

dL =

r F ⋅dr s = f r( )

r r ⋅dr s r

ed essendo dr =

r r r

⋅dr s si ottiene

dL = f r( )dril campo ammette cioè energia potenziale U(r), essendo dL=-dU:

e quindi è conservativo.Le superfici equipotenziali di un campo centrale sono sfere con centro nel

centro del campo, infatti dU=0 implica dr = 0, dovendo in generale essere f≠0.Ma il luogo dei punti in cui non varia r e’ una sfera:

F

r

†

dU = - f (r) dr

58

r = costan teCome conseguenza le linee di forza sono rette uscenti dal centro del

campo dovendo essere perpendicolari alle superfici equipotenziali.Definiamo Momento della forza

r F rispetto al centro del campo il seguente

prodotto vettoriale

26. r

M = r r ¥r F

se il campo di forza è centrale si ha

27. r

M = f r( )r r ¥ r r

r=

r 0

e dunque il momento di un campo centrale rispetto al suo centro è semprenullo.

Definiamo Momento Angolare oppure Momento della Quantità di Moto di uncorpo di massa m e velocità

r v il seguente prodotto vettoriale:

28. r L = r r ¥ mr v

derivando il momento angolare rispetto al tempo si ottiene

d

r L

dt=

r v ¥ mr v + r r ¥ mr a

il primo prodotto vettore del secondo membro è nullo e dunque

29. d

r L

dt=

r M

Tale equazione è valida in generale per tutti i campi in un sistema diriferimento inerziale (abbiamo usato l’equazione di Newton). In particolareper i campi centrali diventa

r L = cr o st

che rappresenta il Teorema di Conservazione del Momento Angolare per ilmoto nei campi di forze centrali. Inoltre poiche’ per definizione

r r e r v sono

sempre perpendicolari a r L ne consegue che il moto avviene in un piano

perpendicolare al momento angolare e passante per il centro del campo (moto

rv

a

L

o

x

y

za e’ il pianodefinito da r eda v

Figure 15

59

piano).

19. PATTINATORE SUL GHIACCIO E MOMENTO ANGOLARE

Consideriamo un pattinatore P che ruota attorno al suo asse verticale convelocita’ di rotazione v, che risulta perpendicolare al vettore r. Sia PB il suobraccio di estensione r e sia m una massa tenuta nella sua mano. La forza chetrattiene la massa m ad una distanza r dall’asse di rotazione e’ di tipo centrale.Dunque si conserva il momento angolare L rispetto all’asse di rotazione.

L=mrv=costanteDa cui si ricava

v=L/mr.Cioe’ la velocita’ di rotazione e’ inversamente proporzionale all’estensione

r del braccio. Quindi per aumentare la velocita’ di rotazione il pattinatoredeve diminuire l’estensione del suo braccio e viceversa.

20. IL GIROSCOPIO

Il giroscopio e’ un attrezzo costituito da una ruota, che gira rapidamenteattorno al suo asse, alla quale e’ consentito disporsi in una qualsiasi giacituranello spazio. Il momento angolare e’ diretto come il suo asse di rotazione e siconserva, cioe’ non cambia fintanto che dura la rotazione.

PB

r

v

60

Se dunque si sposta l’asse di rotazione in una direzione diversa da quelladi partenza, la ruota tende a ritornare nella giacitura originale.

Le applicazioni sono molteplici soprattutto nel campo della navigazione.

21. I CAMPI CENTRALI DI FORZA ELASTICA

Il più generale campo di forza elastica centrale si può scrivere

30. r F = - k r r

dove r r è il vettore posizione rispetto al centro del campo e k è una

costante positiva. Proiettando l'eq (30) sugli assi cartesiani ed applicandol'equazione fondamentale della dinamica si ottiene

31.

m x" = - kxm y" = - kym z" = - kz

Ï

Ì Ô

Ó Ô

che è un sistema di tre equazioni differenziali lineari a coefficienti costantidel second'ordine . Equazioni di questo tipo si chiamano armoniche.L'integrale generale fornisce la posizione

r r x, y, z( ) come funzione oscillantedel tempo

32.

x = Ax cos w t+fx( )

y = Ay cos w t +fy( )z = Az cos w t +fz( )

Ï

Ì Ô

Ó Ô

dove w =

km

è la pulsazione, Ax ,y,z sono le ampiezze del moto oscillante

rispetto agli assi cartesiani, fx,y,z sono le costanti di fase e w t+f( ) è detta lafase del moto.

Calcoliamo ora l'equazione del piano sul quale avviene il moto. Abbiamodimostrato che le equazioni (32) descrivono un moto che si sviluppa su unpiano che è normale al momento angolare

r L calcolato rispetto al centro del

61

campo. Per comodità introduciamo il vettore r l ≡

r L m

che ha la stessa direzionedel momento angolare e per la definizione di prodotto vettore si ha

lx = yz' -zy'ly = zx' -xz'

lz = xy' -yx'

Ï

Ì Ô

Ó Ô

Derivando le equazioni (32) rispetto al tempo si ottiene

x' = - w Axsen w t +fx( )

y' = - w Aysen w t +fy( )z' = - w Azsen w t +fz( )

Ï

Ì Ô

Ó Ô

che sostituite nelle precedenti danno

lx = -w AzAy cos w t +fy( )sen w t +fz( )+

w AzAy cos w t +fz( )sen w t +fy( )ly = - w AxAz cos w t +fz( )sen w t+fx( ) +

w AxAz cos w t+fx( )sen w t +fz( )

lz = - w AxAy cos w t +fx( )sen w t +fy( )+

w AxAy cos w t +fy( )sen w t +fx( )

Ï

Ì

Ô Ô Ô Ô

Ó

Ô Ô Ô Ô

cioè

33.

lx = w Ay Az sen fy - fz( )ly = w Az Ax sen fz - fx( )

lz = w Ax Ay sen fx - fy( )

Ï

Ì Ô

Ó Ô

Si noti che il momento angolare è ovviamente costante cioè non dipendedal tempo. Essendo dunque sempre

r r perpendicolare a r l si deduce

l'equazione del piano su cui avviene il moto (condizione di perpendicolarità)

34. r r ⋅

r l = xlx + yly + zlx = 0

Vogliamo ora calcolare l'equazione della traiettoria. Scegliamo unaqualsiasi coppia di assi cartesiani q, h( ) sul piano del moto definitodall'equazione (34). Proiettando le equazioni (31) su questi due nuovi assiotteniamo

q"+w 2q = 0h"+w 2h = 0

Ï Ì Ó

i cui integrali generali sono

62

q = Hcos w t + yq( )h = Kcos w t + yh( )

Ï Ì Ó

Si noti che il caso in cui le costanti di fase sono uguali y q = yh è un casodegenere nel senso che il moto si riduce ad una oscillazione su di una rettacon coefficiente angolare pari a

KH

.

35.

qH

= cos w t( )cosy q -sen w t( )seny q

hK

= cos w t( )cosy h -sen w t( )seny h

Ï

Ì Ô

Ó Ô

moltiplicando le due equazioni rispettivamente per cos yh e cos yq esottraendo membro a membro si ottiene

36.

qH

cosy h -hK

cos yq = senw t -senyq cos yh + seny h cosyq[ ]= senw tsen yh - yq( )

e moltiplicando le equazioni (35) rispettivamente per senyh e senyq e sottraendo membro a membro si ottiene

37. qH

seny h -hK

senyq = cosw t sen y h - yq( )infine quadrando e sommando le equazioni (36) e (37) si ha

38.

1H2 q 2 +

1K2 h2 -2

cos y h - yq( )HK

qh = sen2 y h - yq( )che è l'equazione di una conica. Data l'equazione generale di una conica

a11x2 +2a12xy +a22y2 + 2a13x + 2a23y+a33 = 0

dal valore assunto dal discriminante:

D ≡ a11a22 -a122

si presentano i seguenti casia) D >0 la conica è un ellisseb) D =0 la conica è una parabolac) D <0 la conica è un'iperbolee dall'equazione (3.34) si ottiene

D =

1H2K2 1- cos2 yh - yq( )[ ] > 0.

Si noti che D =0 solo nel caso degenere y h =y q , che corrisponde, comeabbiamo già visto, ad una oscillazione lungo una retta. In conclusione

Le forze elastiche centrali causano un moto piano la cui traiettoria è una ellisseoppure provocano nel caso degenere, un moto oscillante lungo una retta.

63

Nota : se le condizioni iniziali sono tali per cui H=K e y h - y q =

p2

alloral'ellisse si riduce ad una circonferenza di raggio H.

22. IL CAMPO DI FORZA GRAVITAZIONALE

Ogni corpo di massa m è sorgente di un campo di forza che agisce su ognialtro corpo di massa m' secondo la legge della gravitazione universale:

39. r F = k mm'

r2

r r r

Si noti che m ed m' si chiamano masse gravitazionali che a priori sonodiverse dalle masse inerziali fino a qui studiate. Se ne dimostra l'equivalenzaattraverso misure sperimentali. La costante k = 6.66 ⋅10-8 cm3s-1gr-1 nondipende nè dal mezzo in cui sono immersi i corpi , nè dalla natura chimica ofisica dei corpi stessi. Si noti ancora che il campo gravitazionale è un campocentrale e dunque è conservativo.

Consideriamo per semplicità il caso monodimensionale di una massa mche attrae una massa m' con una forza

F = k mm'

r2 = -dVdr

da cui si ricava l'energia potenziale gravitazionale della massa m'

V = - k mm'

r

23. IL TEOREMA DI GAUSS

Una massa m sia collocata nel punto N e ad una distanza r sia posta unamassa m' su una superficie infinitesima con areola dS e versore normale

r n ,che forma un angolo a con la direzione di

r r .

64

Figure 16Ricordiamo che la superficie dS sottende dal punto N un angolo solido dW

dW =

dScos a( )r2

essendo dS cos(a) l'areola proiettata sul piano perpendicolare alladirezione

r r . Sulla massa m’ agira’ allora una forza gravitazionale:

†

r F = -G m m'

r2

r r r

Definiamo il flusso infinitesimo dF del campo r

F attraverso la superficiedS nel seguente modo

dF =r

F ⋅r n dS =F cos p - a( )dS

quindi si ottiene

†

dF = G m m'r2

dWcosa

cos p -a( ) = -G m m' dW

da cuiF = - G m m' dWÚ

Calcoliamo ora il flusso totale di r

F attraverso una superficie chiusa S:

†

F =

-4pGmm' N interno a S-2pGmm' N su S0 N esterno a S

Ï

Ì Ô

Ó Ô

che rappresenta il teorema di Gauss.

65

66

Figure 17

24. IL CAMPO GRAVITAZIONALE ALL’INTERNO DI UNAMASSA SFERICA UNIFORME

Estendendo il teorema di Gauss ad una distribuzione continua sferica dimassa M su di un volume V=4/3 p R3, possiamo dire che il flusso del campogravitazionale attraverso una superficie sferica S di raggio r su cui e’ posta lamassa m’ (ad una distanza r < R dal centro di M) indotto dalla massa esternaalla superficie S e’ nullo. Dunque resta soltanto il contributo del flusso indottoattraverso S soltanto dalla massa Mr = r Vr = 4/3 p r r3 (essendo r ladensita’), contenuta all’interno di S.

Dunque per il teorema di Gauss:

†

FS

r F ( ) = - 4p G m' Mr = -

4 p( )2G r m'3

r3

ma per definizione di flusso deve essere:

67

†

FS

r F ( ) =

r F ⋅

r n dS

SÚ = F r( ) dSÚ

dove F(r) e' la componente radiale del campo,ed essendo

S = p r2

si hadS = 2 p r dre quindi

FS

r F ( ) = 2 p F r( ) r drÚ .

In conclusione si deve avere :

2 p F r( ) r drÚ = -4p( )2G r m'

3r3

F r( )r dr = -8 p G r m'

3Ú r3

ma ricordando chedf r( )

drdrÚ = f r( )

in conclusione deve essereF = - 8p G r m' rF = -cost ⋅ r

che è una forza di tipo elastico.In conclusione una massa m’ posta nel campo gravitazionale all’interno di

una distribuzione sferica omogenea di densita’ r si muove di moto armonico.

25. IL CAMPO DI FORZA GRAVITAZIONALE GENERATO DAUNA MASSA SFERICA UNIFORME

La forza F generata da una distribuzione uniforme di massa M contenuta inuna sfera di raggio R, che agisce su una massa m posta ad una distanza r dalcentro della sfera è dunque:

F =

-G mMr2 , r ≥ R forza gravitazionale

-G mMR3 r , r < R forza elastica

Ï

Ì Ô Ô

Ó Ô Ô

Possiamo dunque rappresentare graficamente l'accelerazione di gravita'g = |F| / m

in funzione della distanza dal centro della sfera omogenea nella seguentefigura.

68

Figure 18

Nota 1: La massa m si muove all'interno della sfera (r<R) di moto oscillantecon pulsazione

w =

G MR3

cioè con periodo

t =

2pVG M

dove V =43

pR3

Nel caso della terra si ha:

G = 6.65 ⋅10-11 m 3

Kg ⋅secÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜

M = 5.98 ⋅1024 Kg( )R = 6.4 ⋅106 m( )

si ottiene quindi un periodo pari a t ª 30 min uti

Introducendo la densità r =

MV

si ottiene la legge

r ⋅ t =

3p

Gcostan te

Si può calcolare l'energia potenziale associata, avendo imposto la continuita’nel punto r = R:

†

U =-

GmM2

1r

, r ≥ R

-GmM2R3 2R2 - r2[ ] , r < R

Ï

Ì Ô

Ó Ô

69

che si può rappresentare graficamente nella fig. 19 seguente

Figure 19

26. LA FORZA DI GRAVITA’ TERRESTRE

Nelle vicinanze della terra il campo di gravità è sempre diretto verso ilcentro (ammessa l'uniformità della massa terrestre ). Il vettore intensità delcampo che ha le dimensioni di una accelerazione si chiama accelerazione digravità

r g =

r P m

dove r P è la forza di gravità ( peso) cui è sottoposta una qualsiasi massa m

70

g1

g2

g3

fig.13a

Figure 20e dipende generalmente dalla posizione ( diminuisce allontanadosi dalla

superfice terrestre perchè aumenta la distanza e diminuisce avvicinandosi alcentro della terra perchè diminuisce la massa attrattiva tra il corpo ed il centrodella terra fig.20) . Se ci si pone al livello del mare si può dire chel'accelerazione di gravità è sostanzialmente costante.

Per effetto della rotazione della terra attorno al suo asse passante per ipoli, in qualsiasi punto della superficie terrestre agisce anche unaaccelerazione centrifuga gc = wRp2 diretta perpendicolarmente all'asse dirotazione come mostrato dalla figura seguente (w e' la velocita' angolare dirotazione della terra).

fig.12 h

N

S

Pgcg

gRO

Rp

Figure 21L'accelerazione risultante gR non e' piu' diretta verso il centro della terra.

L'entita' di questo effetto e' piccola, alcuni valori dell'accelerazione di gravita'sono qui di seguito mostrati.

71

gequatore = 978.0 cms2

g45o latitudine

= 980.6 cms2

gpolo = 983.2 cms2

Nota 0 : La massima intensità del campo si ha sulla superficie esterna delladistribuzione di massa.

Nota 1 : Si noti che la forza di attrazione per un punto che si muova all'interno della Terra in un tunnel come in fig. è del tipo:

F int ª - R [forza elastica]Si determina una oscillazione armonica intorno al centro della Terra.Nota 1.1 : è interessante osservare che il moto armonico è definibile come

quel moto indotto dal campo generato da una distribuzione uniforme di caricain un volume sferico, che agisce su una carica puntiforme collocata all' internodella distribuzione di carica, quando e soltanto quando la distribuzione dicarica genera un campo centrale (all' esterno della sfera) che vada come R-2

Nota 2 : è interessante notare come un campo di forze tridimensionalecentrale, che va come R-2 , generato non da una sorgente puntiforme, ma dauna sorgente uniformemente diffusa su di un raggio r si comporti (per tutti ipunti che distano dal suo centro R, con R < r ) come un campo di forza elastica(moto armonico). Questa interessante simmetria suggerisce molte cose, tra lequali, ad es., come generare un campo centrale che vada come R-2 partendodall' oscillatore armonico. In tal caso è però cruciale trovare che cosa è cheoscilla armonicamente per generare un tale campo.

Nota 3 : Poichè come abbiamo già visto le soluzioni del moto armonicoindotto dalle forze centrali elastiche sono soltanto " moti confinati" (ellissi), lapresenza di strutture confinate ( cioè limitate nello spazio) quali gli atomi, isistemi stellari, le galassie, i clusters di galassie, sarebbe una conseguenzaderivante dalla dipendenza da R-2 delle forze fondamentali.

27. IL PENDOLO SEMPLICE (LE PICCOLE OSCILLAZIONI)

Consideriamo una massa puntiforme m posta nel punto terminale A di unfilo inestensibile ed incomprimibile di lunghezza l vincolato nel punto O(fig.22).

72

P

PL

PTq

As

l

O

q

fig.14

Figure 22

Sia r P il suo peso che è diretto sempre verso il basso

P = mgallora la massa è libera di muoversi lungo un arco di circonferenza con

centro in O.Consideriamo la componente tangenziale della forza pesorispetto alla traiettoria circolare

PT = - mgsenq

dove il segno negativo è dovuto al fatto che PT agisce nel nenso degli

angoli q decrescenti. Nell'ipotesi delle piccole oscillazioni

q =sl

<< 1Ê Ë

ˆ ¯ si ha

PT = - mgq = - mg s

l

essendo s il tratto di circonferenza percorso idurante l'oscillazione.Applicando l'equazione fondamentale della dinamica si ottiene

PT = ms"cioè

s"+

gl

s = 0

che è un'equazione armonica, con pulsazione w =

gl

e periodo

t =

2pw

= 2pl

g , il cui integrale fornisce l'equazione del moto

s = s0 cos w t + f( ).Si può concludere che le piccole oscillazioni sono isocrone.

73

28. IL PROBLEMA DI KEPLERO

Studiamo i campi di forza centrali nei quali l'energia potenziale èinversamente proporzionale alla distanza dal centro r

V r( ) = -

ar

e dunque nei quali la forza è inversamente proporzionale a r2 . In talicondizioni sappiamo che il moto avviene su di un piano (fig.15)

Y

Z

r

O

vf

vf

vr

fig.15

Figure 23calcoliamo dunque l'energia cinetica Ec di una massa m sottopostaad un tale campo

r F = k 1

r2

r r r

Scomponendo la velocità r v nelle componenti vr radiale e vf trasversale

vr = r'vf = rf'

da cui

Ec =

12

mv2 =12

m vr2 + vf

2( ) =12

m r' 2 +v f2( ).

L'energia totale è dunque

E = Ec + V r( ) =

12

m r' 2 +v f2( ) + V r( ).

Calcoliamo il momento angolare rispetto al centro del campo

74

r

M = m r r ¥ r v che sappiamo essere costante nel tempo ed è ovviamente perpendicolare

al piano del moto, cioè diretto come l'asse z. Il suo modulo è

M = Mz = mrvsenf = mrvf = costan teda cui ricaviamo

vf =

Mmr

che sostituito nell'espressione dell'energia totale dà

E =

12

mr' 2 +M2

2mr2 + V r( )

Questa equazione mostra che la parte radiale del moto , quella cioè chedipende soltanto dalla distanza r si può considerare come un moto lineare(dipendente cioè soltanto dalla posizione e non dalla direzione ) pur diinterpretare il campo come un campo dotato di energia potenziale efficace

40. V eff = V r( ) +

M2

2mr2 = -ar

+M2

2mr2

Infatti in tal caso l'energia totale si esprime nella solita forma

E = Ec r( ) + Veff r( )

dove Ec =

12

mr' 2 . Si noti ancora che il termine

M2

2mr2 è detto EnergiaCentrifuga.

In conclusione il moto di un corpo di massa m in un campo di forze centrali chevà come

1r2 ( ad esempio le forze gravitazionali oppure quelle elettriche di Coulomb),

si può considerare come un moto lineare ( che dipende cioè da una sola variabile : ladistanza dal centro del campo) di una massa m con energia potenziale definitadall'eq.(40) il cui andamento è mostrato nella fig.24.

Or

Ueff

r0

m2M2

a2

fig.16

Figure 24

75

Si noti ancora che

r0 =

M2

marappresenta la distanza dall'origine del campo alla quale cambia il segno

della derivata dell'energia potenziale e dunque cambia il senso della direzionedella forza del campo. Dunque

il campo è attrattivo per r > r0il campo è repulsivo per r < r0ed è importante osservare che la presenza dell'energia centrifuga rende il

campo repulsivo alle piccole distanze.

29. IL TEOREMA DEL VIRIALE PER LA PARTICELLASINGOLA

Definiamo la seguente grandezza scalare A =

r r ⋅ mr v derivando rispetto al tempo si ottiene

dAdt

= m dr v dt

⋅r r + mr v ⋅ dr r

dt=

r F ⋅ r r +mv2

cioè

41. dAdt

=r F ⋅ r r + 2Ec

Osservando il punto materiale nel suo moto durante un certo intervallo ditempo t , possiamo calcolare il valore medio dell'equazione (41) utilizzandoil teorema della media per una grandezza f t( )

< f > =1t

f t( )

0

t

Ú dt

per t sufficientemente grande, ottenendo

<dAdt

> = <r F ⋅ r r >+2 < Ec >

1t

dAdt

0

t

Ú dt = <r F ⋅ r r >+2 < Ec >

e integrando

42. At - A0

t= <

r F ⋅ r r >+ 2 < Ec >

76

Imponiamo la condizione che il primo membro dell'equazione (42) sialimitato , cioèa) la posizione e la velocità della particella sono limitate (caso della particellaconfinata in un volume chiuso)oppureb) la posizione non è limitata (moto non confinato) , ma deve comunqueessere

limrÆ •

r v ⋅ r r = k finito( )

cioè

v ª

r> >1

kr

In una di queste ipotesi , pur di assumere l'intervallo di tempo tsufficientemente grande si ha

At - A0

tª 0

e dunque

43. < Ec > = -

12

<r F ⋅ r r >

che rappresenta il Teorema del Viriale per la particella singola.Se il campo di forza

r F ammette energia potenziale V e considerando per

semplicità il caso monodimensionale riscriviamo l'eq.(43)

< Ec > = -

12

< x dVdx

>

ed assumendo l'energia potenziale

V ≡

Kxn

dove n si chiama indice di campo , poichè

dVdx

= - n Kxn+1 = n V

xsi ottiene in conclusione

44. < Ec > =

n2

< V >

In tal caso l'energia cinetica media è proporzionale all'energia potenzialemedia .

77

78

30. OLTRE L’UNIVERSO MECCANICO DI NEWTON

Così come la meccanica newtoniana e’ nata dallo studio del campogravitazionale che governa il moto dei pianeti, anche la meccanica quantisticasi e’ sviluppata essenzialmente dallo studio del campo elettrico che lega duecariche elettriche: il protone e l’elettrone presenti nell’atomo. La meccanicanewtoniana e’ dunque valida per i fenomeni macroscopici e, dagli ultimiesperimenti di astrofisica effettuati sui satelliti, si estende a tutto l’Universoche sembra essere euclideo cioe’ piatto ed aperto. La meccanica quantisticainvece è valida a livello microscopico e descrive in particolare il mondo dellemolecole, degli atomi e delle particelle elementari. Sempre dalle più recentimisure di astrofisica risulta che soltanto il 5 % dell’Universo sarebbecomposto di materia “barionica”, cioè di materia come noi la intendiamo,mentre ciò che rimane dovrebbe essere ancora da scoprire. Lo studio deifenomeni elettromagnetici trascende gli scopi di questi appunti, ma e’ tuttaviapossibile comprenderne a grandi linee gli aspetti dinamici quantistici anchesenza una conoscenza specialistica dell’elettromagnetismo.

Nel 1800 ha avuto un grande sviluppo lo studio dell’emissione edell’assorbimento della luce da parte degli atomi. Lo strumento principale dimisura era lo spettroscopio ottico. Con un prisma di vetro la luce venivaseparata (rifrazione) nelle sue componenti di vario colore, cioe’ di varialunghezza d’onda (energia). Studiando in tal modo la luce solare J. vonFraunhofer osservò il seguente spettro di fig. 25,

Figure 25in cui si distinguono delle righe: luminose (emissione degli atomi del sole)

e scure (assorbimento da parte degli atomi dell’atmosfera terrestre).Lo spettro di luce mostra la variazione d’intensità della radiazione alle

differenti lunghezze d’onda (colori). Oggetti con temperature e composizionedifferenti mostrano spettri diversi. Attraverso l’osservazione dello spettro diuna stella gli astronomi sono dunque in grado di determinarne latemperatura, la composizione e le condizioni fisiche.Valgono le seguenti leggi di Kirchhoff:

• un solido, un liquido o un gas ad alta pressione producono uno spettroluminoso continuo.

• Un gas ad alta temperatura e a bassa pressione produce uno spettrodiscreto di emissione (linee luminose).

• Quando un gas freddo a grande pressione si interpone tra una sorgentecon spettro continuo e l’osservatore, allora si producono nello spettroosservato delle linee discrete nere di assorbimento.

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• La lunghezza d’onda delle linee discrete di emissione o diassorbimento dipende dal tipo di molecole che le producono.

Figure 26

La serie di Balmer.

In questo campo il maggior contributo dato da Balmer risentemaggiormente del suo “fiuto” matematico che del suo senso fisico. Infatti eglitrovò una formula matematica che riproduceva la serie di linee spettraliprodotte dall’idrogeno, senza fornirne una spiegazione fisica.La famosa formula di Balmer è:

lm,n = hm2/(m2-n2).

Mettendo n = 2 e h = 3654.6 10-8 cm, le lunghezze d’onda della formula che siottengono ponendo m = 3, 4, 5, 6 riproducevano i dati sperimentali connotevole precisione. A dimostrazione che una buona teoria è in grado non

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solo di spiegare i dati sperimentali, ma è anche in grado di prevedere cosenon ancora misurate, la formula di Balmer prevedeva una linea anche perm=7. Poco tempo dopo, un suo collega dell’Università di Basilea confermòsperimentalmente l’esistenza di tale linea.Nessuno però era in grado di spiegare il perché tale formula, si dovevaaspettare l’intuito di Niels Bohr nel 1913.Più tardi nel 1890 Rydberg formulò una generalizzazione della formula diBalmer per l’atomo d’idrogeno:

1/L = RH (1/n2 - 1/m2)

dove RH = 10972160 m-1 è una costante che prese il suo nome.Non c’era all’epoca alcuna spiegazione fisica di queste formule.

L’osservazione principale consiste nel fatto che assieme alla presenza diuno spettro continuo esiste uno spettro discreto. Cio’ dimostra che i processimicroscopici di emissione e di assorbimento delle onde elettromagnetiche daparte degli atomi avvengono per quantita’ discrete di energia.

Poiche’ negli atomi i responsabili di questi scambi di energia con l’esternosono gli elettroni, ne consegue che gli elettroni stessi devono avere statidinamici discreti nel loro moto attorno ai nuclei. La dinamica di Newton nonsapeva prevedere nulla del genere e dunque si doveva cercare una nuovadinamica valida per tali processi microscopici.

La nuova dinamica e’ descritta dalla teoria quantistica.

Figure 27In figura 28 è mostrata la serie di Balmer dell’atomo idrogenoide.

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L’atomo idrogenoide.Il primo e piu’ importante passo e’ stato fatto da N.Bohr nel 1913 . Egli infattiper spiegare la cratteristica discreta dello spettro della luce emessa o assorbitadagli atomi, ipotizzò che, per i fenomeni atomici, le energie possibili per glielettroni legati al nucleo fossero discrete e dunque che le orbite possibili pergli elettroni attorno al nucleo fossero “quantizzate”, vale a dire che soloalcune orbite erano permesse e non altre. Era questo l’inizio della meccanicaquantistica, che poi si sviluppò al punto da descrivere completamente ifenomeni atomici.

Figure 28In figura 27 e’ mostrato schematicamente il meccanismo dell’assorbimento edell’emissione di fotoni (particelle della radiazione elettromagnetica) da partedi un atomo. Gli elettroni possono saltare da un’orbita all’altra emettendo oassorbendo energia. I quanti di energia (fotoni) devono corrispondere allelinee dello spettro della luce.

Il modello di BohrNel 1913 N.Bohr, nel tentativo di spiegare lo spettro discreto della luceemessa e assorbita dagli atomi di idrogeno, mise a punto un modellodell’atomo (atomo idrogenoide) che prevedeva gli elettroni (cariche elettrichenegative) “ruotanti” attorno ad un nucleo (solo protoni con carica elettricapositiva, perché i neutroni sarebbero stati scoperti soltanto nel 1932 daChadwick) per effetto della forza elettrostatica di Coulomb. De Broglie avevaappena ipotizzato che le particelle, quali gli elettroni, potevano essereconsiderate non solo corpuscoli, ma anche “onde di materia”. In tale schemale orbite potevano essere stabili soltanto se la lunghezza della circonferenzaera un multiplo intero della lunghezza d’onda associata all’elettrone (ipotesidi onda stazionaria). La sorprendente conseguenza era che solo certi valoridiscreti del raggio della traiettoria erano compatibili con un’onda stazionaria.Si era trovato dunque il meccanismo teorico che spiegava la discretizzazionemisurata nelle linee spettrali di emissione e di assorbimento. Naturalmente siera trovato il limite di validità della meccanica classica di Newton. Sorgevainoltre un altro problema: secondo l’elettrodinamica classica una carica, che simuove lungo una traiettoria curva, avrebbe dovuto perdere energia sottoforma d’irraggiamento (luce di sincrotrone). L’elettrone quindi doveva

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muoversi attorno al nucleo atomico lungo una spirale di raggio decrescentefino a “cadere” rapidamente sul nucleo. Il modello di Bohr superava questoproblema, perché nella nuova teoria l’elettrone raggiunge uno stato stabilequando si allinea su una traiettoria con il giusto raggio permesso dalla sualunghezza d’onda di De Broglie. Però, un elettrone che non sia nello stato piùbasso (stato fondamentale con n=1) può spontaneamente compiere unatransizione verso uno stato di più bassa energia e simultaneamente perderetanta energia, quanto è la differenza tra i due livelli, sotto forma di radiazioneelettromagnetica (particelle di luce, cioè fotoni). Il calcolo delle lunghezzed’onda di tali fotoni dava esattamente conto della formula di Balmer-Rydberg. Il modello di Bohr si era ispirato anche all’idea di “quantizzazione”discreta dell’energia formulata da M.Planck.Fu questa una rivoluzione altrettanto importante della rivoluzioneNewtoniana per i moti nel campo gravitazionale. Dalla grande scala (sistemaplanetario) si era passati alla piccola scala (sistema atomico).

Descrizione ondulatoria.Un passo importante per la meccanica quantistica fu dunque fatto da DeBroglie, che ha, nella sua tesi di laurea, aveva ipotizzato l’associazione di unalunghezza d’onda all’elettrone orbitante attorno al nucleo (onde di materia).La traiettoria dell’elettrone, per non avere effetti d’interferenza che avrebberocompromesso la stabilità dell’orbita, doveva essere un multiplo intero di talelunghezza d’onda. Tale lunghezza d’onda l dipendeva dall’energiadell’elettrone, come aveva ipotizzato Plank:

†

E =hcl

.

Figure 29Sono cioe’ possibili soltanto quelle orbite con una lunghezza pari ad unmultiplo intero della lunghezza d’onda associata all’elettrone.

83

De Broglie aveva capito un aspetto fondamentale della natura delle particelleelementari: l’aspetto ondulatorio. Ma la realta’ era ancora un po’ diversa,infatti non ci sono onde di materia che si propagano nello spazio, ma onde diprobabilita’. Si deve introdurre un nuovo concetto astratto: la funzioned’onda, che rappresenta in qualche modo la probabilita’ di trovare laparticella elementare in un determinato punto dello spazio ad un dato istantedi tempo.Si doveva aspettare Schroedinger per avere la prima formulazione delladinamica quantistica mediante una equazione del moto, che ha preso il suonome.

L’equazione di Schroedinger

L’equazione di Schrödinger è l’equazione fondamentale della fisica nelladescrizione quanto-meccanica del moto. Si chiama anche equazione delleonde. Essa è un’equazione differenziale alle derivate parziali che descrive ilmodo in cui la probabilità (altrimenti chiamata funzione d’onda associata allaparticella microscopica) di trovare un elettrone in una certa posizione ad uncerto tempo, in altri termini rappresenta l’evoluzione temporale di un sistemaquanto-meccanico. È giusto notare che esiste anche un’altra rappresentazionedovuta ad Heisenberg. L’equazione monodimensionale di Schrödinger ha laseguente forma:

45.

dove i è l’unità immaginaria, Y è la funzione d’onda dipendente dal tempo, hè la costante di Planck, V(x) è il potenziale del campo in cui la particella simuove, e H è l’operatore Hamiltoniano. Questa equazione si può separarenella sua parte spaziale e temporale, usando il metodo della separazione dellevariabili. Si cercano le soluzioni del tipo:

e sostituendo si ottiene:

Essendo l’energia totale E, si ottiene:che è l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo.

I polinomi di Hermite e l’oscillatore armonico quantistico.

I polinomi di Hermite H[n,x] rappresentano le funzioni d’onda quanto-meccaniche di un oscillatore armonico:

U= - k x2.Essi sono soluzioni dell’equazione:

y”-2xy+2ny = 0

84

Figure 30Sulla sinistra della figura 30 sono plottate le soluzioni dell’equazione diSchrödinger del moto armonico, per i primi 4 stati dell’energia in funzionedella posizione (x). La probabilità di trovare la particella nella posizione x è ilquadrato della funzione d’onda, come rappresentato in figura 30 sulla destra.Si noti che le soluzioni che si ottengono per valori più grandi di n presentanonumeri crescenti di picchi, ed essendo soluzioni che corrispondono alunghezze d’onda decrescenti, rappresentano stati dell’oscillatore con valoricrescenti di momento e di energia. Il valore di x più probabile, secondo lameccanica quantistica, per lo stato di energia più bassa (n=0), è nell’origine.Ciò è l’opposto di quanto avviene per l’oscillatore della meccanica classica,per il quale il maggior tempo è speso agli estremi (dove la velocità tende azero). Si noti però che al crescere dell’energia la probabilità quantistica tendead avere una distribuzione più piccata agli estremi in accordo con la teoriaclassica. Bohr chiamò “principio di corrispondenza” il limite in cui teoriaquantistica e classica tendono a fornire gli stessi risultati.

Il principio di corrispondenza e l’oscillatore quantisticoSulla scala atomica dunque è necessaria la meccanica quantistica, ma daqualche parte le due descrizioni, la quantistica e la classica, devonoconvergere. È questa l’idea del principio di corrispondenza.

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Figure 31Esaminiamo in maggior dettaglio lo stato fondamentale (n=0) dell’oscillatorequantistico (figura 31) e confrontiamolo con lo stato previsto dall’oscillatoreclassico. Sono l’uno l’opposto dell’altro. Quantisticamente l’oscillatore passa ilmaggior tempo vicino all’origine, mentre l’oscillatore classico passa il suotempo soprattutto agli estremi. Si noti inoltre che mentre per l’oscillatoreclassico esiste un limite invalicabile che è rappresentato dalle due lineeverticali della figura 31, invece l’oscillatore quantistico può allontanarsidall’origine anche all’infinito, pur con una probabilità che decresceesponenzialmente.

Figure 32Gli stati quantistici ad energie crescenti sono caratterizzati da un addensarsidi picchi di probabilità (figura 31) che approssimano sempre più ilcomportamento aspettato dalla teoria classica (linea tratteggiata della figura32). Inoltre la coda quantistica al di fuori della regione strettamente permessaall’oscillatore classico, tende a diminuire rendendo la descrizione classica equantistica sempre più simili.

86

Beiser, calcolando la frequenza quantistica di radiazione di un atomo pern=10,000, mostra che la differenza tra meccanica-quantistica e meccanicaclassica è in tal caso trascurabile (dell’ordine di 0.01%).