Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Dinamica delle Strutture

Corso di Laurea magistrale in Ingegneria Civile e per l’Ambiente e il Territorio

Prof. Adolfo SANTINI

Ing. Francesco NUCERA

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Dinamica

La Dinamica è quella parte della Meccanica che si occupa del moto dei corpi, delle cause che lo determinano e delle leggi che lo governano.

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Struttura

Insieme degli elementi resistenti di una costruzione

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Struttura

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Dinamica delle Strutture

La Dinamica delle Strutture studia le vibrazioni dei sistemi strutturali sollecitati da carichi dinamici. In questo ambito il termine dinamico assume il significato di variabile nel tempo. Così un carico dinamico è un carico la cui ampiezza, direzione o posizione variano nel tempo.

A un carico dinamico corrisponde una risposta variabile nel tempo, di solito costituita da un’oscillazione attorno a una posizione di equilibrio stabile.

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Analisi dinamica

Una struttura soggetta a vibrazioni deve essere progettata considerando i valori massimi degli spostamenti e degli sforzi cui è sottoposta. Lo scopo principale di un’analisi dinamica consiste nella determinazione degli sforzi e degli spostamenti massimi di un sistema strutturale sollecitato da un carico variabile nel tempo.

Un’analisi dinamica può essere eseguita secondo due diverse modalità:

Deterministica Il carico è specificato attraverso una funzione assegnata del tempo, che può essere descritta da un’espressione matematica, o da una serie di valori numerici.

Non deterministica (aleatoria) A causa di incertezze riguardanti l’ampiezza e la variazione nel tempo, il carico può essere definito solo in senso statistico, per esempio attraverso il valor medio e la densità spettrale di potenza.

Nell’ambito di questo corso saranno considerati soltanto carichi deterministici e saranno dunque sviluppati solo metodi per l’analisi deterministica della risposta dinamica.

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Tipi di carichi deterministici 1/2

I carichi deterministici si dividono essenzialmente in periodici e non periodici. Un carico si dice periodico quando ripete se stesso a intervalli di tempo costanti. La parte di carico che si ripete prende il nome di ciclo, mentre il tempo impiegato a descrivere un ciclo si dice periodo. L’inverso del periodo, cioè il numero di cicli per unità di tempo, si dice frequenza del carico.

Carico periodico

Carico armonico

p(t) = m0ω2r cosωt = p0 cosωt

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Tipi di carichi deterministici 2/2

Carichi non periodici di breve durata (esplosioni, carichi impulsivi)

Carichi non periodici di lunga durata (accelerogrammi)

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Caratteristiche di un problema dinamico 1/2

Un problema dinamico presenta notevoli differenze rispetto a un problema statico:

1) Variabilità nel tempo dei carichi agenti Un problema dinamico non ammette una sola soluzione, come un problema statico, ma una successione di soluzioni corrispondenti agli istanti di tempo considerati.

2) Dissipazione di energia In un problema statico, il sistema strutturale si deforma per effetto dei carichi esterni, immagazzinando una quantità di energia che rimane costante all’interno del sistema. In un problema dinamico, invece, parte dell’energia di vibrazione viene dissipata durante il moto, a causa del fenomeno dello smorzamento.

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Caratteristiche di un problema dinamico 2/2

3) Presenza delle “forze d’inerzia” In un problema statico, gli spostamenti e le sollecitazioni dipendono soltanto dal carico e dalle corrispondenti reazioni vincolari, che possono essere determinate attraverso le equazioni di equilibrio della statica. Se il carico è dinamico, invece, gli spostamenti e le sollecitazioni dipendono anche dalle forze d’inerzia che nascono durante il moto e che sono associate all’accelerazione della massa del sistema. Le sollecitazioni interne, pertanto, devono equilibrare non solo il carico esterno, ma anche le forze d’inerzia.

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Modellazione matematica di un problema dinamico

Per eseguire un’analisi dinamica, il sistema deve essere rappresentato da un adeguato modello matematico. Questo modello deve essere in grado di descrivere sia la dipendenza dagli spostamenti delle forze d’inerzia, sia l’influenza di tali forze sugli spostamenti medesimi. La risposta dipende non solo dal tempo, ma anche dalle coordinate spaziali poiché, in generale, le proprietà dinamiche del sistema (massa, smorzamento, rigidezza) sono distribuite lungo gli elementi strutturali, che costituiscono un cosiddetto sistema continuo. Tuttavia, è quasi sempre possibile ottenere una risposta sufficientemente approssimata concentrando la massa in un numero finito di punti, collegati tra di loro da “elementi elastici” che si deformano durante il moto e che trasmettono le forze interne che si oppongono alle deformazioni. Il problema si semplifica, perché le forze d’inerzia non sono più distribuite lungo gli elementi strutturali, ma si sviluppano soltanto nei punti stabiliti. Un sistema così modellato prende il nome di sistema discreto e la sua risposta a un carico dinamico è definita in funzione delle coordinate di spostamento dei punti in cui sono concentrate le masse.

Trave in vibrazioni assiali

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Definizioni

Gradi di libertà dinamici Componenti di spostamento indipendenti che, durante il moto, consentono di individuare la posizione di tutte le masse del sistema. I gradi di libertà dinamici sono associati alle forze d’inerzia principali che nascono nel sistema durante il moto.

Proprietà dinamiche Massa – quantità di materia che costituisce il sistema Smorzamento – capacità di dissipare durante il moto parte dell’energia cinetica e dell’energia di deformazione Rigidezza – capacità del sistema a opporsi alle deformazioni provocate dalle azioni esterne.

Equazioni del moto Espressioni matematiche che mettono in relazione gli spostamenti dei gradi di libertà con i carichi dinamici, la cui soluzione fornisce la risposta dinamica del sistema. Oltre che dai carichi esterni, la risposta dipende dalle proprietà dinamiche del sistema.

Quando le proprietà dinamiche sono costanti durante il moto e gli spostamenti possono essere considerati piccoli, il sistema è lineare e vale il principio di sovrapposizione degli effetti. In questo caso l’analisi dinamica può essere eseguita separatamente da quella relativa ai carichi statici.

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Unità di misura (Sistema Internazionale SI)

Unità di base Lunghezza Metro (m) Massa Chilogrammo (kg) Tempo Secondo (s)

Unità derivate Forza Newton (N) 1 N = 1 kgm/s2 Forza che applicata alla massa di 1 kg

provoca un’accelerazione di 1 m/s2

Pressione Pascal (Pa) 1 Pa = 1 N/m2 Forza pari a 1 N distribuita uniformemente su 1 m2 di superficie

Si definisce chilogrammo-forza (kgf) la forza che applicata a una massa di 1 kg provoca un’accelerazione pari a quella di gravità g (= 9.81 m/s2). In un campo gravitazionale, pertanto, una massa di 1 kg “pesa” 1 kgf e risulta

1 kgf = 1 N ⋅g = 9,81 N 10 N

1 MPa = 1⋅106 Pa = 1 N/mm2Si ha inoltre

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Testi consigliati

Anil K. Chopra Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, Third Edition ���Prentice Hall, 2007

R.W. Clough, J. Penzien Dynamics of Structures, Third Edition Computer and Structure, Inc., 1995

J.L. Humar Dynamics of Structures, Second Edition Balkema, 2002