Dinamica Del Manovellismo - Teoria Completa

1

UNIVERSITA DI FIRENZE

DIPARTIMENTO DI ENERGETICA S. STECCO

SEZIONE DI MECCANICA APPLICATA

DISPENSE DI MECCANICA APPLICATA: RICHIAMI DI DINAMICA

E MACCHINE ALTERNATIVE

Prof. Ing. P. Toni, Ing. R. Giusti, Ing. E. Meli, Ing. S. Papini, Ing. L. Pugi, Ing. A. Rindi

2

Indice

INDICE ................................................................................................................... 2

1 INTRODUZIONE .......................................................................................... 4

2 RICHIAMI DI DINAMICA NEWTONIANA ..................................................... 5

2.1 SISTEMA COMPOSTO DA UN SINGOLO CORPO RIGIDO ......................................... 5

2.1.1 Punto fisso (precessione) ............................................................................... 7 2.1.2 Asse fisso (rotazione) ..................................................................................... 8

2.2 . SISTEMA COMPOSTO DA N CORPI RIGIDI .......................................................... 9

3 RICHIAMI DI DINAMICA LAGRANGIANA ................................................. 13

3.1 EQUAZIONI DI LAGRANGE (FORMULAZIONE RIDONDANTE) ............................. 13

3.2 EQUAZIONI DI MOTO (FORMULAZIONE RIDONDANTE) ..................................... 17

3.3 EQUAZIONI DI LAGRANGE (FORMULAZIONE NON RIDONDANTE) ..................... 18

3.4 EQUAZIONI DI MOTO (FORMULAZIONE NON RIDONDANTE) .............................. 20

3.5 SISTEMA CON UN GRADO DI LIBERT (FORMULAZIONE NON RIDONDANTE) ..... 21

4 DETERMINAZIONE DELLE EQUAZIONI DI MOTO DI UN MECCANISMO .. 23

4.1 ESEMPIO DI CASO NON PIANO .......................................................................... 23

4.1.1 Soluzione newtoniana .................................................................................. 24 4.1.2 Soluzione lagrangiana (formulazione ridondante) ...................................... 26

4.1.3 Soluzione lagrangiana (formulazione non ridondante) ............................... 28

4.2 ESEMPIO DI CASO PIANO .................................................................................. 29

4.2.1 Soluzione newtoniana .................................................................................. 30

4.2.2 Soluzione lagrangiana (formulazione ridondante) ...................................... 33 4.2.3 Soluzione lagrangiana (formulazione non ridondante) ............................... 35

5 MACCHINE ALTERNATIVE MONOCILINDRICHE ..................................... 37

5.1 MASSE DI SOSTITUZIONE ................................................................................. 37

3

5.2 MANOVELLISMO DI SPINTA ............................................................................. 39

5.2.1 Manovellismo di spinta: cinematica ............................................................ 39

5.2.2 Manovellismo di spinta: masse di sostituzione per la biella ....................... 41 5.2.3 Manovellismo di spinta: dinamica ............................................................... 42 5.2.4 Manovellismo di spinta: bilanciamento ....................................................... 43

6 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE ......................................48

6.1 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: BILANCIAMENTO ..................... 48

6.2 MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE: MOTORE A 2 CILINDRI (2 TEMPI)52








7 BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................60

4

1 Introduzione

Nella presente trattazione verranno dapprima richiamati alcuni concetti

fondamentali di dinamica sia nella sua formulazione newtoniana che in quella

lagrangiana. In proposito saranno anche proposti, a titolo di esempio, alcuni semplici

esercizi per illustrare lapplicazione dei concetti in questione.

Successivamente verr analizzata nel dettaglio la dinamica delle macchine

alternative monocilindriche con particolare riguardo al bilanciamento di queste ultime.

Infine i concetti validi per le macchine monocilindriche saranno estesi anche alle

macchine alternative pluricilindriche, sempre focalizzando lattenzione sul loro

bilanciamento.

5

2 Richiami di dinamica newtoniana

Lapproccio newtoniano alla studio della dinamica dei sistemi meccanici

concettualmente pi generale e pi potente dellanalogo approccio lagrangiano soprattutto

se si considerano le ipotesi fisiche alla basa della teoria in questione. Tuttavia esso risulta

molto meno sistematico ed automatizzabile rispetto allapproccio lagrangiano; inoltre

lapproccio newtoniano si rivela anche decisamente meno efficiente di quello lagrangiano

per sistemi di grandi dimensioni. Lapproccio lagrangiano risulta infine facilmente

estendibile anche al di fuori dellambito della meccanica.

Nel seguito sar dapprima studiato il moto di un sistema composto da un singolo

corpo rigido. Successivamente i concetti appena introdotti verranno estesi ad un sistema

formato da un numero generico di corpi rigidi (sistema multibody).

2.1 Sistema composto da un singolo corpo rigido

Come noto, le equazioni cardinali della dinamica applicate al singolo corpo

rigido (si veda la Fig. 2.1) assumono la forma

(2.1)

(

)

(2.2)

( ) (2.3)

nelle quali sono state impiegate la seguenti convenzioni

- la terna di centro fissa mentre la terna di centro solidale al corpo

rigido

6

- e [ ] rappresentano la posizione del centro di massa e

lorientazione del corpo (descritta ad esempio mediante gli angoli di Eulero

ZXY); si ricordi che dove

[

] (2.4)

- ( ) la matrice di rotazione che lega la terna fissa alla terna solidale al

corpo ovvero

( )

[

] [

] [

] (2.5)

- e sono la quantit di moto ed il momento angolare del corpo in questione

(come centro di riduzione stato scelto per semplicit il centro di massa

; analogamente, senza alterare la forma delle equazioni, poteva essere

scelto pure un generico punto fisso anche non appartenente al corpo)

- e sono la massa ed il tensore di inerzia del corpo (calcolato rispetto alla

terna di centro solidale al corpo; analogamente sar il tensore di

inerzia calcolato rispetto alla terna solidale al corpo avente centro nel punto

fisso )

- sono i vincoli cinematici agenti sul corpo considerato ( dove il

grado di vincolo rappresenta il numero di gradi di libert tolti dal vincolo);

lapproccio newtoniano non richiede a priori ipotesi particolari sulla struttura

dei vincoli (nel caso in esame si suppone solamente che siano bilateri,

sufficientemente regolari ed indipendenti)

- le forze

ed i corrispondenti momenti

(rispetto a ) sono

rispettivamente le azioni esterne e le azioni dovute ad elementi di forza (molle,

smorzatori, ecc.) e sono funzioni note di e del tempo ; al contrario

,

(rispetto a ) rappresentano le reazioni vincolari e sono a priori

incognite.

7

In questo caso il sistema (2.1)-(2.3) costituito da equazioni in

incognite mentre i gradi di libert associati al corpo risultano essere

. (2.6)

Spesso inoltre, in accordo con il Principio di DAlembert, si introducono nelle

(2.1)-(2.2) le azioni di inerzia definite come

(2.7)

(

); (2.8)

di conseguenza si pu dunque scrivere

(2.9)

. (2.10)

E utile infine ricordare lespressione dellenergia cinetica associata al corpo

rigido considerato ovvero

. (2.11)

2.1.1 Punto fisso (precessione)

Nel caso in esame un punto del corpo fisso. Se si assume il

sistema (2.1)-(2.3) diventa

Figura 2.1 Singolo corpo rigido

8

(2.12)

(

)

(2.13)

. (2.14)

Per quanto riguarda il moto di precessione ( , ) il sistema (2.12)-

(2.14) costituito da equazioni in incognite mentre i gradi di libert associati

al corpo si riducono a

; (2.15)

Infatti, essendo (dove la posizione del centro di massa

nel sistema solidale) e , la (2.13) di per s sufficiente a determinare le

incognite e di conseguenza ; la (2.12) fornisce poi il valore della reazione .

Si noti inoltre che, usando come incognita la velocit angolare espressa nel

sistema solidale al corpo , ricordando che e non considerando i

momenti e

, la (2.13) si riduce allequazione di Eulero

. (2.16)

2.1.2 Asse fisso (rotazione)

In questo caso il corpo ruota attorno ad un asse fisso individuato da un punto e

da un versore (da cui ). Se si assume (da cui ), e

il sistema (2.1)-(2.3) diventa

(2.17)

(

)

(2.18)

(2.19)

Per quanto concerne il moto di rotazione ( , ) il sistema (2.17)-(2.19)

costituito da equazioni in incognite mentre i gradi di libert associati al

corpo si riducono a

. (2.20)

Poich, anche per quanto riguarda la rotazione attorno ad un asse fisso si ha

(dove la posizione del centro di massa nel sistema solidale) e

, la terza componente della (2.18) sufficiente a determinare lincognita e di

conseguenza ; la (2.17) e le prime due componenti della (2.18) forniscono poi il valore

delle reazioni , .

9

In particolare le equazioni (2.17)-(2.18) scritte per esteso diventano

(

) (

)

(

)

(

) (2.21)

(

) (

)

(

)

(

) (2.22)

dove e rappresenta la distanza di dallasse di rotazione del corpo.

2.2 . Sistema composto da N corpi rigidi

Se il sistema in questione composto da corpi rigidi (si veda la Fig. 2.2), le

equazioni cardinali della dinamica assumono la forma

.

(2.23)

(

)

.

(2.24)

( )

(2.25)

( )

(2.26)

nelle quali sono state impiegate la seguenti convenzioni

- la terna di centro fissa mentre la terna di centro solidale al corpo

rigido

- e [ ] rappresentano la posizione del centro di massa e

lorientazione del corpo (descritta ad esempio mediante gli angoli di Eulero

ZXY); si ricordi che (vedi paragrafo 2.1)

10

- ( ) la matrice di rotazione che lega la terna fissa alla terna solidale al

corpo (vedi paragrafo 2.1)

- e sono la quantit di moto ed il momento angolare del corpo in

questione (come centro di riduzione stato scelto per semplicit il centro di

massa ; analogamente, senza alterare la forma delle equazioni, poteva

essere scelto pure un generico punto fisso anche non appartenente al

corpo)

- e sono la massa ed il tensore di inerzia del corpo (calcolato rispetto alla

terna di centro solidale al corpo)

- l vincolo cinematico agente tra lambiente ed il corpo

mentre l vincolo cinematico agente tra il corpo

ed il corpo ( e

dove i gradi di

vincolo , rappresentano il numero di gradi di libert tolti dal vincolo);

nel caso in esame si suppone sempre che i vincoli siano bilateri,

sufficientemente regolari ed indipendenti)

- l azione esterna agente sul corpo, le

azioni dovute ad elementi di forza

,

(provocate rispettivamente

dallinterazione con lambiente e con il corpo) agenti sul

corpo ed i corrispondenti momenti

(rispetto a )

sono funzioni note di e del tempo ;

al contrario le reazioni vincolari ,

, ,

(rispetto a ) sono a

priori incognite.

11

Nel caso di corpi rigidi il sistema costituito dalle (2.23)-(2.26) costituito da

equazioni in

incognite mentre i gradi di libert associati al sistema stesso

risultano essere

. (2.27)

Come per il singolo corpo rigido, in accordo con il Principio di DAlembert, si

introducono nelle (2.23)-(2.26) le azioni di inerzia definite come

(2.28)

(

); (2.29)

di conseguenza si pu ancora scrivere

.

Figura 2.2 N corpi rigidi

12

(2.30)

.

(2.31)

Lenergia cinetica associata allintero sistema di corpi rigidi considerato assume

infine la forma

(

)

. (2.32)

13

3 Richiami di dinamica lagrangiana

Lapproccio lagrangiano alla studio della dinamica dei sistemi meccanici pu

risultare meno generale e meno potente dellanalogo approccio newtoniano soprattutto se

si considerano le ipotesi fisiche alla basa della teoria in questione. Tuttavia esso risulta

molto pi sistematico ed automatizzabile rispetto allapproccio newtoniano; inoltre

lapproccio newtoniano si rivela anche decisamente meno efficiente di quello lagrangiano

per sistemi di grandi dimensioni. Lapproccio lagrangiano risulta infine facilmente

estendibile anche al di fuori dellambito della meccanica.

Nel seguito sar dapprima studiato il moto di un generico sistema composto da un

numero qualsiasi di corpi rigidi (sistema multibody); a tale scopo sar presentata una

versione delle equazioni di Lagrange particolarmente adatta per trattare sistemi vincolati

(basata cio su un insieme ridondante di coordinate lagrangiane e su una funzione

Lagrangiana generalizzata grazie allintroduzione dei moltiplicatori di Lagrange).

Successivamente, come termine di confronto, verr poi analizzato anche

lapproccio lagrangiano classico basato su un insieme non ridondante di coordinate

lagrangiane.

3.1 Equazioni di Lagrange (formulazione ridondante)

Per descrivere lo stato del sistema si introduce il seguente insieme di coordinate

lagrangiane ridondanti

(

) , (

) . (3.1)

14

Per quanto riguarda invece i vincoli, si suppone sempre che essi siano bilateri,

sufficientemente regolari ed indipendenti; si soppone inoltre che i vincoli del sistema

siano anche fissi (scleronomi), lisci ed olonomi. Di conseguenza le equazioni (2.25)-

(2.26) diventano

( )

(3.2)

( )

(3.3)

dove e

; analogamente in forma pi compatta si ha

(3.4)

con e

(i gradi di libert del sistema

sono ).

Fatte queste premesse le equazioni di Lagrange per il sistema di corpi rigidi in

questione possono essere scritte come segue

(

)

(

)

(3.5)

nella quale sono state impiegate la seguenti convenzioni:

- la funzione lagrangiana generalizzata valutabile come

(3.6)

dove lenergia cinetica del sistema, lenergia potenziale e i

moltiplicatori di Lagrange (incogniti).

- sono le forze lagrangiane (indicheremo poi con le forze

lagrangiane associate al singolo corpo e di conseguenza (

) ).

Lenergia cinetica pu essere calcolata considerando i contributi relativi a

ciascun corpo ovvero

[

] (3.7)

dove la matrice diagonale a blocchi

15

. (3.8)

Nel prosieguo della trattazione indicheremo per semplicit con

(3.9)

le azioni attive conservative agenti sul sistema (sia esterne che dovute ad elementi di

forza e causate sia dallinterazione con lambiente che da quella con altri corpi ) e con

(3.10)

le analoghe azioni attive non conservative. Analogamente chiamiamo

(3.11)

le generiche reazioni vincolari conservative agenti sul sistema (incognite e causate sia

dallinterazione con lambiente che da quella con altri corpi); si noti che, essendo i vincoli

lisci, non si hanno reazioni vincolari non conservative.

Le reazioni vincolari (3.11) contengono solamente parametri incogniti e, come

vedremo, possono essere calcolate a partire dai moltiplicatori di Lagrange; la conoscenza

di permette dunque di determinare le reazioni vincolari

.

Definiamo con la parte del vettore associata al vincolo

dell corpo (avente grado di vincolo ); in questo caso per semplicit il

vettore sar riferito sia ai vincoli associati alle reazioni

che a quelli

associati alle reazioni

. Sia poi il minore di

relativo al

vincolo in questione; le relative azioni lagrangiane possono essere calcolate come

. (3.12)

Definiamo quindi una terna associata al vincolo in questione

(solidale alla terna del corpo stesso ) avente origine in

(scritta in terna

) ed orientazione (sempre rispetto a ). Il lavoro virtuale delle reazioni

vincolari agenti sul corpo in questione

(espresse nel sistema di riferimento

16

inerziale e gi ridotte al centro della terna del giunto ) pu essere valutato

come

(3.13)

dove

[

],

,

. (3.14)

Allo stesso tempo si ha

(3.15)

nella quale

(3.16)

(

) ( ) . (3.17)

Dalle (3.13), (3.15) si deduce quindi

(3.18)

( )

(3.19)

da cui

( )

(

)

. (3.20)

Se si interessati alle reazioni vincolari scritte nei sistemi associati ai giunti, si avr in

fine

, (3.21)

. (3.22)

La conoscenza delle azioni attive conservative (3.9) permette inoltre di calcolare

lenergia potenziale del sistema sommando tra loro i contributi associati ai vari corpi:

(3.23)

La conoscenza delle azioni attive non conservative (3.10) consente infine di

valutare le forze lagrangiane ; a tale scopo si sfrutta il Principio dei Lavori Virtuali

ovvero

17

[(

)

(

)

]

[(

)

(

)

]. (3.24)

Essendo poi

(

), (3.25)

si ottiene

(

(

))

(3.26)

3.2 Equazioni di moto (formulazione ridondante)

In base a quanto detto nel paragrafo 3.1 siamo adesso in grado di scrivere per

esteso le equazioni di moto del sistema. Ricordando le (3.5)-(3.7) si ha

[

(

)

]

[ ]

(3.27)

[(

)

]

[(

)

]

[(

)

]

(3.28)

e quindi

[ ]

[(

)

]

[(

)

]

[ ]

. (3.29)

dove

. (3.30)

Il secondo termine al primo membro della (3.29) pu essere anche scritto come

[ ]

(3.31)

nella quale la matrice definita in modo non univoco come

18

. (3.32)

Riscrivendo la (3.29) in termini vettoriali si ottiene infine

(

)

(

)

(3.33)

dove .

La (3.4) e la (3.33) costituiscono un sistema di equazioni algebrico differenziali

di equazioni in incognite. Spesso nei sistemi meccanici si usa derivare

due volte la (3.4) rispetto al tempo ottenendo

(3.34)

[

]

(3.35)

da cui

[

]

. (3.36)

Raggruppando la (3.33) e la (3.36) in ununica equazione si ha quindi

[ (

)

]

(

) (

(

)

). (3.37)

3.3 Equazioni di Lagrange (formulazione non ridondante)

Per lo studio di certi sistemi pu essere utile riferirsi ad un sistema di coordinate

lagrangiane non ridondante

, ( ) ,

(

) . (3.38)

In questo caso i vincoli (per i quali valgono le stesse ipotesi del paragrafo 3.1)

non compaiono esplicitamente nella formulazione del problema e si ha

. (3.39)

Fatte queste premesse le equazioni di Lagrange per il sistema di corpi rigidi in

questione possono essere scritte come segue

19

(

)

(

)

(3.40)

nella quale sono state impiegate la seguenti convenzioni:

- la funzione lagrangiana valutabile come

(3.41)

dove lenergia cinetica del sistema e lenergia potenziale

- sono le forze lagrangiane.

Lenergia cinetica pu essere calcolata considerando i contributi relativi a

ciascun corpo ovvero

( )

(

)

(

)

(

)

[

] (

) (3.42)

dove , e

,

. (3.43)

Ricordando le definizioni stabilite nelle (3.9)-(3.11), si ha che la conoscenza delle

azioni attive conservative (3.9) permette di calcolare lenergia potenziale del sistema

sommando tra loro i contributi associati ai vari corpi:

(3.44)

mentre le reazioni vincolari (3.11) non compaiono esplicitamente nelle equazioni di

Lagrange.

La conoscenza delle azioni attive non conservative (3.10) consente infine di

valutare nuovamente le forze lagrangiane ; a tale scopo si sfrutta sempre il Principio dei

Lavori Virtuali ovvero

20

[(

)

(

)

]

[(

)

(

)

( ) ]

[(

)

(

)

]. (3.45)

Essendo poi

(3.46)

si ottiene

[(

)

(

)]

[(

)

(

)] . (3.47)

Si noti infine come, per determinare le reazioni vincolari (3.11), sia necessario,

dopo avere risolto le equazioni di Lagrange (3.40), impiegare le equazioni di Newton

(2.30)-(2.31) o le equazioni di Lagrange generalizzate (3.37) nelle quali a questo punto la

cinematica del problema ( e ) del tutto nota.

3.4 Equazioni di moto (formulazione non ridondante)

In base a quanto detto nel paragrafo 3.4 siamo adesso in grado di scrivere per

esteso le equazioni di moto del sistema. Ricordando le (3.40)-(3.43) si ha

[

(

)

]

[ ]

(3.48)

[(

)

]

[(

)

]

(3.49)

e quindi

21

[ ]

[(

)

]

. (3.50)

dove

. (3.51)

Il secondo termine al primo membro della (3.50) pu essere anche scritto come

[ ]

(3.52)

nella quale la matrice definita in modo non univoco come

. (3.53)

Riscrivendo la (3.50) in termini vettoriali si ottiene infine

(

)

. (3.54)

dove la (3.54) rappresenta un sistema di equazioni differenziali in incognite.

3.5 Sistema con un grado di libert (formulazione non ridondante)

Se il sistema ammette un solo grado di libert (supponiamo per semplicit ) le

equazioni di moto (3.54) diventano

(3.55)

nella quale valgono le seguenti relazioni:

- per lenergia cinetica

( )

(

)

[

] (

) (3.56)

dove , e

,

(3.57)

- per lelemento

(3.58)

- per lenergia potenziale

22

(3.59)

- per la forza lagrangiana

[(

)

(

)]

[(

)

(

)] . (3.60)

In definitiva le equazioni di moto (3.54) diventano

. (3.61)

23

4 Determinazione delle equazioni di moto di un meccanismo

4.1 Esempio di caso non piano

Il sistema in questione riportato schematicamente in Fig. 4.1. Un albero (corpo

) poggia su due cuscinetti e ; allalbero applicata la coppia motrice mentre in

montata una ruota dentata cilindrica. Tale ruota ingrana con una ruota conica (corpo 2)

mettendola in rotazione attorno al proprio asse. Il corpo 2 poi collegato al corpo 3

mediante un elemento di forza ancorato ai corpi stessi nei punti ed . Si noti come il

moto del sistema in questione non sia nel suo complesso piano (al contrario di quello dei

singoli corpi che lo compongono).

Figura 4.1 Meccanismo non piano

24

4.1.1 Soluzione newtoniana

Il sistema meccanico riportato in Fig. 4.1 composto da corpi distinti

aventi le seguenti caratteristiche dinamiche

[

] [

] [

] (4.1)

ed il cui stato pu essere descritto dalle seguenti grandezze

(

) (4.2)

I vincoli dei sistema possono essere riassunti come segue

- vincolo dovuto ai cuscinetti e (equivalenti a una cerniera cilindrica)

(

)

(4.3)

- vincolo dovuto alle ruote dentate che ingranano in

(4.4)

- vincolo dovuto alla cerniera cilindrica in

(

)

(4.5)

- vincolo di planarit sul corpo 3

(

) . (4.6)

Il sistema ha dunque un numero complessivo di gradi di libert pari a

. (4.7)

Per quanto riguarda invece le azioni esterne si ha

,

(

) (4.8)

25

(

),

(4.9)

(

),

(4.10)

(

),

(4.11)

mentre per quanto concerne le azioni dovute ad elementi di forza si pu scrivere

,

(

) (4.12)

,

(

) (4.13)

,

(4.14)

,

(4.15)

dove

. (4.16)

Le reazioni vincolari agenti sul sistema sono inoltre

(

), (

) (4.17)

(

), (

) (

) (4.18)

(

), (

) (

) (4.19)

(

), (

) (4.20)

(

), (

) (4.21)

per un totale di grandezze incognite (pari al numero di vincoli; si

veda la (4.7)).

Ricordando infine che, nel caso in esame, si ha

26

[

], [

], [

] (4.22)

( ) [

] ( ) [

] [

] (4.23)

le equazioni di moto (2.30)-(2.31) assumono la forma

( )

(4.24)

(

)

(4.25)

( )

(4.26)

(

)

(4.27)

(

)

(4.28)

(

)

. (4.29)

4.1.2 Soluzione lagrangiana (formulazione ridondante)

Lo stato del sistema descritto dalle solite grandezze del caso precedente

(

) (4.30)

mentre le equazioni di vincolo (4.3)-(4.6) possono essere compattate come segue

(

)

. (4.31)

In virt delle (4.22)-(4.23) le matrici e diventano

[

]

27

[

] [

] (4.32)

(4.33)

mentre le azioni attive conservative agenti sul sistema (sia esterne che dovute ad elementi

di forza e causate sia dallinterazione con lambiente che da quella con altri corpi ) sono

(

),

(4.34)

(

),

(4.35)

(

),

(4.36)

,

(

) (4.37)

,

(4.38)

,

; (4.39)

a tali azioni si associano le energie potenziali

(4.40)

(4.41)

(4.42)

(4.43)

(4.44)

dove

. (4.45)

Per quanto riguarda invece le azioni attive non conservative agenti sul sistema (sia

esterne che dovute ad elementi di forza e causate sia dallinterazione con lambiente che

da quella con altri corpi) si ha

,

(

) (4.46)

,

(

) (4.47)

28

e quindi, in termini di forze lagrangiane,

(

(

)

) (

(

)

)

(

(

)

). (4.48)

Per quanto concerne inoltre i moltiplicatori di Lagrange , essi permettono

di determinare la reazioni vincolari (contenenti a loro volta 14 parametri incogniti) come

spiegato nel paragrafo 3.1. Per completezza riportiamo per esteso le reazioni vincolari

associate al sistema studiato:

(

), (

) (4.49)

(

), (

) (

) (4.50)

(

), (

) (

) (4.51)

(

), (

) (4.52)

(

), (

). (4.53)

Notando infine che

costante (essendo lineare) e che di conseguenza

[

]

, (4.54)

le equazioni di moto (3.26) assumono la forma

[ (

)

]

(

) (

(

)

). (4.55)

4.1.3 Soluzione lagrangiana (formulazione non ridondante)

Supponiamo che lo stato del sistema sia descritto dalle seguenti variabili

lagrangiane

29

(

) . (4.56)

Sfruttando le relazioni vincolari (4.3)-(4.6) si ottiene


( )

(

)

(

)

(4.57)


(4.58)

dove

[

]

(

) [

] (4.59)

- per le forze lagrangiane

(

) (4.60)

. (4.61)

Le equazioni di moto (3.58) diventano a questo punto

( (

) )

(4.62)

(4.63)

(4.64)

. (4.65)

4.2 Esempio di caso piano

Il sistema in questione (macchina alternativa monocilindrica) riportato

schematicamente in Fig. 4.2. Un pistone (corpo ) sottoposto alla forza motrice libero

di scorrere nelle sua sede. Il pistone incernierato in al corpo 2 (biella) che a sua volta

incernierato in al corpo 3 (manovella). Il corpo 3, sul quale agisce la coppia resistente

30

, poi incernierato al telaio in . Come si pu evincere immediatamente dalla Fig. 4.2

il sistema analizzato piano ed ha come piano del moto .

4.2.1 Soluzione newtoniana

Il sistema meccanico riportato in Fig. 4.2 composto da corpi distinti

aventi le seguenti caratteristiche dinamiche

[

] [

] [

](4.66)

ed il cui stato pu essere descritto dalle seguenti grandezze

(

) (4.67)

I vincoli dei sistema possono essere riassunti come segue

- vincolo di planarit del corpo 1

(

) (4.68)

- vincolo di traslazione sul corpo 1

(

) (4.69)


(

) (4.70)

Figura 4.2 Meccanismo piano

31

dove

(4.71)


(

) (4.72)


(

) (4.73)

dove

(4.74)


(

) (4.75)


(

) (4.76)

dove

. (4.77)

Il sistema ha dunque un numero complessivo di gradi di libert pari a

. (4.78)

Per quanto riguarda invece le azioni esterne si ha

(

), (4.79)

(

),

(4.80)

(

),

(4.81)

,

(

) (4.82)

32

(

),

(4.83)

mentre per quanto concerne le reazioni vincolari agenti sul sistema si pu scrivere (si noti

che non sono presenti azioni dovute ad elementi di forza)

(

), (

) (4.84)

(

), (

) (4.85)

(

), (4.86)

(

),

(4.87)

(

), (

) (4.88)

(

),

(4.89)

(

),

(4.90)

(

), (

) (4.91)

(

),

(4.92)

per un totale (eccettuati ovviamente i parametri legati ai vincoli di planarit) di

grandezze incognite (pari al numero di vincoli; si veda la (4.68)).

In definitiva le equazioni di moto (2.46)-(2.47) assumono dunque la forma

(

)

(

)

(4.93)

33

( ) (

)

(4.94)

(

) (

)

(4.95)

(

) (

)

(4.96)

(

) (

)

(4.97)

(

) (

)

. (4.98)

4.2.2 Soluzione lagrangiana (formulazione ridondante)

Lo stato del sistema descritto dalle solite grandezze del caso precedente dalle

quali sono state estratte quelle relative ai gradi di libert piani

(

) (4.99)

mentre le equazioni di vincolo (4.68)-(4.77) possono essere compattate come segue

(

)

. (4.100)

Per quanto riguarda invece le matrici ,

e si ha

[

]

[

] [

] (4.101)

34

, , . (4.102)

Le azioni attive conservative agenti sul sistema (sia esterne che dovute ad elementi

di forza e causate sia dallinterazione con lambiente che da quella con altri corpi ) sono

(

),

(4.103)

(

),

(4.104)

(

),

; (4.105)

a tali azioni si associano le energie potenziali

(4.106)

(4.107)

. (4.108)

Per quanto concerne poi le azioni attive non conservative agenti sul sistema (sia

esterne che dovute ad elementi di forza e causate sia dallinterazione con lambiente che

da quella con altri corpi) si ha

(

), (4.109)

,

(

) (4.110)

e quindi, in termini di forze lagrangiane,

(

) (

) (

). (4.111)

Per quanto concerne inoltre i moltiplicatori di Lagrange , essi permettono

di determinare la reazioni vincolari (contenenti a loro volta 17 parametri incogniti) come

spiegato nel paragrafo 3.1. Per completezza riportiamo per esteso le reazioni vincolari

associate al sistema studiato:

(

), (

) (4.112)

(

), (

) (4.113)

35

(

), (4.114)

(

), (

) (4.115)

(

),

(4.116)

(

),

(4.117)

(

),

(4.118)

(

), (

) (4.119)

(

),

. (4.120)

Le equazioni di moto (3.37) assumono dunque la forma

[ (

)

]

(

) (

(

)

). (4.121)

4.2.3 Soluzione lagrangiana (formulazione non ridondante)

Il sistema in questione oltre ad essere piano ammette un solo grado di libert ed

completamente descritto dalla variabile lagrangiana .

. (4.125)

Dalle equazioni di vincolo (4.67)-(4.77) si deduce che

(4.126)

(4.127)

(4.128)

(4.129)

(4.130)

36

(4.131)

da cui si possono ricavare le relazioni , , ,

, , .

Sfruttando tali relazioni si ottengono le seguenti espressioni


(

)

(

)

=

(

)

(4.132)


(4.133)

- per la forza lagrangiana

( ( )

) . (4.134)

Lequazione di moto (3.65) diventa dunque

. (4.135)

37

5 Macchine alternative monocilindriche

In questo capitolo sar dapprima illustrato il concetto di massa di sostituzione,

strumento particolarmente utile nello studio della dinamica dei sistemi multibody.

Successivamente verr analizzata nel dettaglio la dinamica delle macchine

alternative monocilindriche con particolare riguardo al bilanciamento di queste ultime.

5.1 Masse di sostituzione

Per masse di sostituzione si intende un sistema di punti materiali ( )

dinamicamente equivalente (avente cio la stessa e lo stesso ) ad un dato corpo

rigido (dove i punti [ ] sono espressi in una terna con origine nel centro di

massa del corpo). Se si indicano con e [

] le caratteristiche

inerziali del corpo rigido in questione (riferite sempre ad una terna con origine in ),

lequivalenza dinamica equivale alle seguenti condizioni

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

38

(5.9)

. (5.10)

La prima equazione rappresenta lequivalenza della massa, le equazioni (5.2)-(5.7)

impongono lequivalenza dei momenti di inerzia mentre le equazioni (5.8)-(5.10) e

richiedono la coincidenza dei centri di massa dei due sistemi considerati.

Come incognite nelle (5.1)-(5.10) possono essere scelte ad esempio le masse

da posizionare in punti aventi coordinate prefissate. In questo caso il corpo rigido pu

essere sostituito da un sistema di masse.

Se per entrambi i sistemi si sceglie una terna di riferimento principale con origine

in (per il sistema di punti materiali sufficiente ad esempio che le masse siano

posizionate sugli assi stessi della terna), le (5.1)-(5.10) diventano

(5.11)

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)

. (5.17)

Se le coordinate dei punti sono prefissate, il corpo rigido pu essere in questo

caso sostituito da un sistema di masse.

Se poi consideriamo un moto piano (con piano del moto ) e disponiamo le

masse sul piano , le equazioni (5.11)-(5.17) assumono la forma

(5.18)

(5.19)

(5.20)

(5.21)

nelle quali le equazioni (5.13)-(5.14) non compaiono pi poich i momenti di inerzia e

non influenzano pi il moto. Il corpo rigido pu essere ora sostituito da un sistema di

masse (le coordinate dei punti sono sempre prefissate).

Tale relazioni possono infine ulteriormente ridursi se le masse di sostituzione

vengono posizionate lungo una qualunque retta passante per il centro di massa , ad

esempio sullasse . In questo caso si ha

39

(5.22)

(5.23)

. (5.24)

Il corpo rigido adesso equivalente ad un sistema di sole masse aventi

coordinate prefissate.

5.2 Manovellismo di spinta

Nel seguito verr descritto il funzionamento di un generico manovellismo di

spinta (macchina alternativa monocilindrica) sia da un punto di vista cinematico che da

un punto di vista dinamico. Sar inoltre studiato il possibile bilanciamento di tale

meccanismo.

5.2.1 Manovellismo di spinta: cinematica

Nel seguito faremo riferimento per semplicit alla situazione descritta in Fig. 5.1.

Con si indicato lo spostamento del punto (piede di biella) a partire

dallorigine mentre la posizione di punto morto interno (nella quale il punto si

trova in ). La variabile rappresenta langolo che lasse della manovella forma con

la direzione mentre langolo che lasse della biella forma con la direzione del

moto di ovvero con (in particolare si ha sia nel punto morto interno che in

quello esterno). Indichiamo infine con la lunghezza del raggio di manovella e

con la lunghezza della biella. Proiettando la spezzata sia lungo che in

direzione ad esso normale si ottiene

Figura 5.1 Manovellismo di spinta

40

(5.25)

. (5.26)

Ponendo dalla (5.26) si ha

(5.27)

dove il segno negativo prima della radice necessario perch . La (5.25) diviene

perci

[

]. (5.28)

Per usi correnti la (5.28) pu essere semplificata. Infatti il rapporto quasi

sempre piccolo rispetto allunit (solitamente dellordine di ). Di conseguenza

possibile sviluppare in serie di Taylor la radice presente allinterno della (5.28)

fermandosi ai termini del secondo ordine:

(5.29)

da cui

[

]. (5.30)

Derivando due volte rispetto al tempo la (5.30) si ottengono la velocit e

laccelerazione del punto :

[

] (5.31)

[

]. (5.32)

La (5.32) si riduce poi per alla

. (5.33)

In qualche caso pu essere comodo limitarsi a considerare per , ,

espressioni di prima approssimazione trascurando, nelle (5.30), (5.31) e (5.33), i termini

contenenti rispetto ai termini che non lo contengono ovvero

[

] (5.34)

(5.35)

. (5.36)

Pu essere infine interessante trovare un legame diretto tra le grandezze , ,

. Se consideriamo le relazioni (5.34)-(5.36) si ottiene

(

) (5.37)

(5.38)

41

ovvero una circonferenza ed una retta. Se invece si considerano le (5.30), (5.31), (5.33) si

ottengono equazioni pi complicate. La relazione tra e mantiene solamente la

sua simmetria rispetto allasse delle mentre il legame tra e diventa di tipo

parabolico; le (5.30), (5.33) possono essere infatti scritte come

(

) [

] (5.39)

[ ] (5.40)

da cui

(

)

(5.41)

(

)

. (5.42)

Osservando che , se ne deduce che tra e

esiste una relazione di secondo grado parabolica. In corrispondenza dei punti morti

interno ed esterno ( , ) si ha poi, sempre in base alle (5.30), (5.31), (5.33),

, (5.43)

, (5.44)

,

. (5.45)

5.2.2 Manovellismo di spinta: masse di sostituzione per la biella

Una prima possibile scelta per quanto riguarda le masse di sostituzione della biella

consiste nel posizionare tre masse , e nei punti , e (nel seguito

indicheremo , , ). Di conseguenza le (5.22)-(5.24) diventano

(5.46)

(5.47)

(5.48)

dove e rappresentano le caratteristiche inerziali della biella; da tali relazioni si

ottiene quindi

(5.49)

che, nel caso di asta snella (

), danno

. (5.50)

42

Una soluzione pi comoda, che permette tra le altre cose di calcolare lenergia

cinetica della biella una volta note le velocit di due suoi punti, si ottiene sostituendo la

biella con un sistema equivalente di due masse ed un momento di inerzia puro (al quale

cio non corrisponde una distribuzione di massa reale e che quindi non ha significato

fisico ma solamente algebrico). Indicando tali grandezze con , e si ha

(5.51)

(5.52)

(5.53)

da cui

; (5.54)

nel caso di asta snella (

) si ottiene

. (5.55)

5.2.3 Manovellismo di spinta: dinamica

Per scrivere lequazione di moto della biella, analogamente a quanto fatto nel

paragrafo 4.2.3, possibile partire dalla relazione (3.65) dove . Lenergia cinetica

del sistema la somma dei seguenti contributi

- lenergia cinetica della manovella

(

)

- lenergia cinetica del pistone ovvero

- lenergia cinetica della biella pari allenergia cinetica delle sue masse di

sostituzione (compreso il momento di inerzia fittizio)

nei quali data dalla (5.35)) mentre . Per quanto riguarda langolo ,

derivando la (5.26) si ottiene

(5.56)

da cui essendo

; (5.57)

derivando nuovamente si ha poi

. (5.58)

43

In definitiva dunque lenergia cinetica del sistema assume lespressione

[(

) (

) ]

[ ]

(5.59)

dove il termine rappresenta il contributo delle masse alterne e quello delle masse

rotanti (si note come il momento dinerzia fittizio generi un contributo in entrambi i

termini).

Lenergia dovuta allazione gravitazionale (solitamente trascurabile rispetto alle

altre azioni che agiscono sul sistema) pu essere calcolata come segue

(

) (5.60)

mentre per quanto concerne la forza lagrangiana si ha

(

) . (5.61)

In definitiva dunque lequazione di moto (3.65) diventa

. (5.62)

5.2.4 Manovellismo di spinta: bilanciamento

Si consideri il manovellismo di spinta rappresentato in Fig. 5.2 e si supponga che

la manovella ruoti con velocit angolare . I suoi membri in movimento sono

soggetti alle seguenti forze esterne (si trascura leffetto dellazione gravitazionale):

- la spinta [ ] del fluido agente sulla testa del pistone

- la reazione [ ] esercitata dalle pareti del cilindro (che in assenza di

attrito normale allasse del cilindro stesso)

- la reazione esercitata sulla manovella attraverso la coppia rotoidale in

(decomponibile nelle componenti longitudinali e laterali e ).

- la coppia resistenza applicata alla manovella

44

Per il principio di DAlembert tale sistema di forze equilibrato dalle forze

dinerzia associate alle masse del meccanismo ovvero

- la forza dinerzia delle masse rotanti (forze centrifuga) (

) [ ]

- la forza dinerzia delle masse alterne ( )[ ] dove

data dalla (5.33) e cio

- la coppia dinerzia della biella pari a dove pu essere calcolato con la

(5.58) ovvero .

Imponendo lequilibrio tra le forze suddette si ottiene dunque

(5.63)

(5.64)

(5.65)

dalle quali possibile ricavare le azioni agenti sul telaio

(5.66)

(5.67)

. (5.68)

Figura 5.2 Manovellismo di spinta: bilanciamento

45

La macchina alternativa monocilindrica si dice equilibrato o bilanciato quando la

risultante delle azioni che sollecitano il telaio nulla (ovvero quando si annullano

e ). In generale assai difficile ottenere un bilanciamento

completo ma dal punto di vista tecnico sufficiente annullare i termini alternativi di

maggiore ampiezza che tendono a portare in vibrazione il complesso su sui il telaio

montato. Le azioni agenti sul telaio possono suddivise nel modo seguente:

- linsieme delle due forze verticali

,

agenti rispettivamente in ed in

costituisce una coppia di momento pari a quella agente sulla manovella;

essa detta coppia di reazione del meccanismo ed costante o comunque

varia molto lentamente (per tale motivo non produce particolari inconvenienti)

- la forza [ ] detta forza rotante; essa ha la direzione

dellasse della manovella (ovvero ) e, ruotando con essa a velocit

angolare , tende a portare in vibrazione il telaio nelle direzioni e

- la forza , detta forza alterna, diretta lungo lasse ed ha carattere

periodico essendo proporzionale ad ; essa rappresenta il termine pi

pericoloso essendo di difficile equilibratura

- linsieme delle due forze verticali

,

agenti rispettivamente in ed in

costituisce una coppia di momento pari alla coppia fittizia agente

sulla biella; essa detta coppia dinerzia della biella ed anchessa di tipo

periodico ma in generale di intensit limitata.

Vediamo ora quali possibilit tecniche sussistono per annullare (del tutto o in

parte) la azioni suddette (forza rotante, forza alterna e coppia dinerzia della biella).

La forza rotante pu essere facilmente annullata. Il termine

rappresenta infatti il momento statico rispetto allasse di rotazione della manovella della

massa della manovella stessa e della massa di sostituzione della biella posizionata in ;

esso di conseguenza nullo se il centro di massa della manovella si trova dalla parte

opposta a quella del punto rispetto al centro di rotazione ovvero nel punto definito

come

( ). (5.69)

46

Tale soluzione si realizza molto semplicemente disponendo dei contrappesi

nellalbero a gomiti del motore.

Per quanto riguarda la forza alterna , essa pu essere scomposta in forza alterna

del I ordine e forza alterna del II ordine:

( ) [ ] (5.70)

( ) [ ] (5.71)

In linea teorica entrambe le forze alterne possono essere eliminate se si annulla il

termine

(5.72)

scegliendo

; ci equivale a portare il centro di massa della biella

allesterno del segmento dalla parte di . Una soluzione di questo tipo incontra grosse

difficolt costruttive e non mai stata realizzata. Ne segue che in una macchina

alternativa monocilindrica le forza alterne non possono mai essere del tutto bilanciate.

E possibile tuttavia una compensazione parziale di tali azioni. La forza alterna del

I ordine pu essere infatti immaginata come prodotta da due masse di valore

poste rispettivamente nel punto e nel suo simmetrico rispetto ad e rotanti con

velocit angolare (massa rotante) e (massa controrotante) ovvero

[ ]

[ ] (5.73)

Analogamente le forza alterne del II ordine possono considerarsi dovute a due

masse di valore poste rispettivamente nel punto e nel suo simmetrico

rispetto ad e rotanti con velocit angolare (massa rotante) e (massa

controrotante) ovvero

[ ]

[ ] . (5.74)

Pertanto, poich la componente rotante della forza alterna del I ordine ha la stessa

struttura delle forze rotanti vere e proprie e si somma con esse, pu essere annullata

aumentando semplicemente il contrappeso della manovella di una quantit pari a

. Rimangono tuttavia nono bilanciate la componente controrotante della forza

alterna del I ordine e lintera forza alterna del II ordine.

Per quanto concerne infine la coppia dinerzia della biella , si pu verificare

che essa pu essere annullata con laggiunta di due ulteriori massa e nei punti

47

estremi della biella e ; tali masse, opportunamente dimensionate, annullano leffetto

del momento dinerzia fittizio (si ricordi che negativo). Ci comporta tuttavia un

incremento della massa della biella ed un conseguente aumento sia delle forze alterne che

delle forze rotanti.

48

6 Macchine alternative pluricilindriche

In questo verr analizzato nel dettaglio il bilanciamento delle macchine alternative

pluricilindriche. Gli strumenti di analisi sviluppati saranno poi applicati ad alcuni casi di

particolare interesse pratico.

6.1 Macchine alternative pluricilindriche: bilanciamento

Si consideri la macchina alternativa a cilindri in linea schematicamente

rappresentata in Fig. 6.1.

Figura 6.1 Macchina alternativa a N cilindri in linea

49

Nel seguito, durante lanalisi della macchina alternativa in questione, si supporr

come nel capitolo precedente che ; allo stesso tempo verranno trascurati sia

leffetto dellazione gravitazionale (trascurabile rispetto alle altre azioni in gioco) sia

leffetto della coppia di reazione del meccanismo (costante o comunque variabile molto

lentamente). Alla luce di quanto detto sul telaio della macchina alternativa a cilindri in

linea agiscono le seguenti azioni:

- la somma di tutte le forze alterne e rotanti (gi espresse in componenti )

[ ] [ ]

[

]

(5.75)

(5.76)

nelle quali le grandezze , , e

(oltre ovviamente alla velocit angolare ) sono state ritenute per semplicit

uguali per tutti i cilindri

- la somma dei momenti (calcolati rispetto al punto ) associati a tutte le forze

alterne e rotanti e di quelli associati alle coppie dinerzia delle bielle (gi

espressi in componenti )

(5.77)

[ ] [ ]

[

]

(5.78)

(5.79)

nelle quali uguale per tutti i cilindri.

Per quanto visto in precedenza possibile annullare le singole forze rotanti

contrappesando le singole manovelle; pi semplicemente si pu annullare la loro somma

contrappesando due sole manovelle, ad esempio quelle esterne. Unalternativa assai pi

interessante consiste nel disporre i cilindri in modo che le varie azioni agenti sul telaio si

annullino reciprocamente. Per studiare questo problema prendiamo in considerazione il

contributo delle sole forze alterne

(5.80)

50

. (5.81)

Le quantit e si annullano se zero sia il contributo delle forze alterne del

I ordine

(5.82)

(5.83)

che quello delle forze alterne del II ordine

(5.84)

. (5.85)

Se indichiamo con lo sfasamento della manovella rispetto alla prima

(5.86)

le condizioni (5.82)-(5.85) diventano

(5.87)

(5.88)

(5.89)

; (5.90)

poich poi langolo varia nel tempo, le (5.87)-(5.90) sono soddisfatte se e solo se

(5.91)

(5.92)

(5.93)

(5.94)

(5.95)

(5.96)

(5.97)

. (5.98)

Se ora consideriamo i contributi delle forze rotanti e delle coppie dinerzia delle

bielle si ha

(5.99)

(5.100)

(5.101)

(5.102)

. (5.103)

Le (5.99)-(5.103) si annullano se

51

(5.104)

(5.105)

(5.106)

(5.107)

che, ricordando la (5.86), equivalgono alle

(5.108)

(5.109)

(5.110)

(5.111)

e quindi alle

(5.112)

(5.113)

(5.114)

. (5.115)

Le (5.112)-(5.113) altro non sono che le (5.91)-(5.94). Se ne deduce quindi che, se

sono soddisfatte le condizioni (5.91)-(5.98) (ovvero se sono equilibrate le forze alterne),

allora equilibrato lintero sistema di forze dinerzia.

Si tratta adesso di verificare se le equazioni (5.91)-(5.98) possono essere

soddisfatte nei casi che interessano le applicazioni tecniche. A questo proposito occorre

innanzi tutto osservare che gli angoli sono soggetti allulteriore condizione di

mantenere la massima uniformit possibile della coppia fornita dal motore, tenendo

conto del fatto che la coppia si sviluppa soltanto in alcune fasi del ciclo (fase di scoppio -

espansione). Da questa condizione deriva che sullalbero vi devono essere manovelle

sfasate ciascuna rispetto alla precedente di un angolo pari a

(5.116)

per motori a due tempi e pari a

(5.117)

per motori a quattro tempi ( sempre il numero dei cilindri). Gli angoli ,

indipendentemente dallordine dei pistoni sullalbero, devono dunque prendere i seguenti

valori:

. (5.118)

52

6.2 Macchine alternative pluricilindriche: motore a 2 cilindri (2 tempi)

(5.119)

(5.120)

(5.121)

(5.122)

(5.123)

(5.124)

(5.125)

(5.126)

Figura 6.2 Albero a gomiti di un motore a 2 cilindri (2 tempi)

Figura 6.3 Forze alterne rotanti del I e del II ordine (, ) per un motore a 2 cilindri (2 tempi)

53


(5.127)

(5.128)

(5.129)

(5.130)

(5.131)

(5.132)

(5.133)

(5.134)



54


(5.135)

(5.136)

(5.137)

(5.138)

(5.139)

(5.140)

(5.141)

(5.142)



55


(5.143)

(5.144)

(5.145)

(5.146)

(5.147)

(5.148)

(5.149)

(5.150)



56


(5.151)

(5.152)

(5.153)

(5.154)

(5.155)

(5.156)

(5.157)

(5.158)



57


(5.159)

(5.160)

(5.161)

(5.162)

(5.163)

(5.164)

(5.165)

(5.166)



58


(5.167)

(5.168)

(5.169)

(5.170)

(5.171)

(5.172)

(5.173)

(5.174)



59


(5.175)

(5.176)

(5.177)

(5.178)

(5.179)

(5.180)

(5.181)

(5.182)



60

7 Bibliografia

[B1] E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti. Meccanica applicata alle macchine.

Patron Editore.

[B2] L. Sciavicco, B. Siciliano. Robotica industriale. McGraw-Hill Editore.

[B3] F. Cheli, E. Pennestr. Cinematica e dinamica dei sistemi multibody. Casa

Editrice Ambrosiana.

Dinamica Del Manovellismo - Teoria Completa

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