Dimensionamento di massima di un

propulsore bi-stadio

F. Maggi

Corso di Propulsione Aerospaziale - A.A. 2011-2012

Sommario

Questa traccia riassume in modo conciso il dimensionamento di

massima di un sistema di lancio a due stadi presentato ad esercitazio-

ne del corso di propulsione aerospaziale. Il problema è impostato con

un primo stadio a propellente solido e un secondo stadio a propellente

liquido criogenico. Si richiede il dimensionamento di massima del si-

stema di propulsione e dei suoi componenti principali. Alcuni risultati

numerici di riferimento sono stati inseriti come veri�ca.

1 Il problema

Si consideri un sistema di lancio bi-stadio il cui obiettivo è di trasportare uncarico pagante di 250 kg. Per sempli�cazione si assuma che il ∆V richiestoper la missione sia equivalente a 12000 m/s valutato nel vuoto, secondo leipotesi di volo in assenza di forze esterne. Al primo stadio, un sistema apropellente solido, è chiesto di fornire un terzo del ∆V complessivo. Alsecondo stadio, liquido criogenico, viene richiesta la parte mancante. I duestadi funzioneranno in tempi di�erenti e saranno accesi in sequenza con undistacco che dovrebbe avvenire circa a 40 km di altezza. Al decollo si imponeil vincolo di non superare l'accelerazione di 1 g.

1.1 Primo stadio: propellente solido

Il sistema a propellente solido lavora a pressione media operativa di Pc =80 bar, valore tipico della categoria dei lanciatori ad uso civile ed è adattato

Ultimo aggiornamento:2 dicembre 2011- 11:34

1

alla pressione ambiente. Si danno per note le seguenti caratteristiche ter-mochimiche dei prodotti di combustione del propellente, che possono esserera�nate con un apposito programma di calcolo.

Tf = Tc 3300 KMmol 29 g/molk = cp/cv 1.2

Del propellente inoltre si conosce la caratterizzazione balistica nell'intervallo30-100 bar e la densità ρp = 1800 kg/m3.

Per trovare la legge di Vieille del propellente è necessario compiere un�tting sui dati sperimentali rispetto alla formula rb = a pn, con a ed n para-metri da de�nire. Per proprietà dei logaritmi e per qualunque base è possibileriscrivere la formula come segue:

log rb = log (a pn)

log rb = log a+ n log p

Si è ottenuto quindi la formula di una retta del tipo y = k2 + nk1, con ilparametro n già esposto e il parametro a tale per cui k2 = log a.

p, bar rb, mm/s

30 6.130 5.830 6.050 7.450 7.250 7.180 8.980 9.280 9.1100 10.2100 10.1100 9.9

Figura 1: Balistica del propellente.

Per i calcoli relativi alla legge di Tsiolkovski è necessario conoscere l'im-pulso speci�co nel vuoto (Pa = 0), come da ipotesi sempli�cative. Dello

2

stadio si conosce che è adattato alla pressione ambiente.

Is,vac =S

mg=mve + Ae (Pe − Pa)

mg0=veg0

+(Pe − Pa)

ρeveg0= 266s (1)

.

1.2 Secondo stadio: propellente liquido

Si ipotizza che il presente sistema a propellente liquido lavori a pressionemedia operativa di Pc = 40 bar. Dai calcoli termodinamici per un intervallodi O/F tra 2 e 10 si trova la seguente tabella.

Tabella 1: O/F dati termochimici per la coppia LH2/LO2 a 40 barO/F Tc, K M, g/mol k Tc/M rho, g/cm3

2 1797 6.05 1.28 297.0 0.194 2927 9.98 1.18 293.3 0.286 3422 13.40 1.14 255.4 0.368 3515 16.00 1.13 219.7 0.4210 3449 18.00 1.13 191.6 0.48

Si sceglie di operare con un rapporto di miscela (mox/mfu) di 4 con unacoppia LH2 e LOX. Invece di �ssare la quota di adattamento, è �ssato ilrapporto di espansione dell'ugello pari a 40 ed è necessario trovare la pressionedi uscita. L'equazione che lega queste grandezze è la seguente:

1

ε=At

Ae

=

(k + 1

2

) 1k−1(Pe

Pc

) 1k

√√√√k + 1

k − 1

[1−

(Pe

Pc

) k−1k

](2)

Pertanto si deve risolvere l'equazione non lineare per via gra�ca (Figura 2) onumerica in funzione del rapporto di espansione Pe/Pc. La soluzione porta aPe/Pc = 1/444 e alla pressione di adattamento, l'impulso speci�co diventa:

L'impulso speci�co nel vuoto (Pa = 0) diventa:

Is,vac =S

mg=mve + Ae (Pe − Pa)

mg0=veg0

+(Pe − Pa)

ρeveg0= 471s (3)

.

2 De�nizione delle masse

Prima di progettare i dettagli degli stadi, è necessario calcolare le masse disistema e propellente per i due stadi, seguendo la legge di Tsiolkovski.

3

0

10

20

30

40

50

0 100 200 300 400 500 600

ε =

Ae

/ At

P/Pc

Isentropic expansion - Area ratio

k = 1.2k = 1.3k = 1.4

Figura 2: Rapporto di espansione e rapporto delle aree

2.1 Secondo stadio

La massa del secondo stadio, considerato come un sistema di lancio indipen-dente, comprende:

• Massa del carico, Mpay

• Massa dell'hardware (motore Mm + serbatoi Mt + inerti)

• Massa del propellente Mp

La massa del motore e dei serbatoi sono considerati in funzione dellamassa a pieno carico dello stadio M0 e del propellente caricato dallo stadiosecondo dei parametri tecnologici ritrovabili in letteratura. Una ra�nazionedi questi dati è possibile al termine del dimensionamento degli stadi; nelfrattempo si assuma, per un sistema criogenico:

• ξm = Mm/M0 = 0.024

• ξt = Mt/Mp = 0.046

Considerando la sola missione del secondo stadio, la massa �nale è:

Mf2 = Mpay +Mm +Mt = Mpay +M02ξm +Mp2ξt (4)

4

Nota la di�erenza tra massa iniziale e �nale dello stadio che è la massadi propellente:

Mf2 = Mpay +Mm +Mt = Mpay +M02ξm + (M02 −Mf2) ξt (5)

Si applica la legge di Tsiolkovski ∆V = g Is2 ln (M02/Mf2) = c2 ln (M02/Mf2)che, in forma esponenziale, permette di ottenere per il caso in oggetto exp(∆V/c2) =6.58 da cui:

M02 =Mpay exp(∆V/c2)

1 + ξt − exp(∆V/c2)(ξm + ξt)= 2173kg (6)

Sono quindi note a questo punto tutte le masse relative al secondo stadio (M02 , Mp2 e Mf2 ).

2.2 Primo stadio

Per il primo stadio si procede analogamente a quanto visto sopra, conside-rando che non esiste il peso di un motore vero e proprio. Si deve conside-rare tuttavia che la massa del payload del primo stadio coincide con l'interosecondo stadio. Pertanto la massa �nale dello stadio diventa:

Mf1 = M02 +MHW1 (7)

La massa dell'hardware del primo stadio coincide con il case del propellenteche, secondo un parametro tecnologico, può essere espresso come ξHW1 =MHW1/Mp1 = 0.14. Anche questo valore può essere ri�nito e rappresentasolo un valore indicativo.

Si applica la legge di Tsiolkovski ∆V 1 = g Is1 ln (M01/Mf1) = c1 ln (M01/Mf1)che, in forma esponenziale, permette di ottenere per il caso in oggetto exp(∆V 1/c1) =2, 44 da cui si ricava una equazione simile alla precedente che permette dicalcolare le masse relative al primo stadio ( M01 = 20419 kg , Mp1 e Mf1 ).

3 Calcolo di dettaglio

Note le masse in gioco, ora si procede a dettagliare maggiormente i compo-nenti dei due stadi, iniziando dal propellente solido. Si sfruttano le ipotesiimposte e si impongono nuove scelte progettuali che, a piacimento, possonoessere cambiate.

5

3.1 Dettaglio dello stadio a solido

Dello stadio a solido viene sfruttata l'ipotesi di adattamento a quota zero concui è possibile calcolare l'impulso speci�co reale �sulla rampa di lancio� e, diconseguenza, la portata in massa di propellente che deve essere garantita.Alla pressione di adattamento, l'impulso speci�co diventa:

Is1 =1

g

√√√√ 2 k

k − 1

TcMmol

<

(1−

(Pe

Pc

) k−1k

)= 247s (8)

. Nota l'accelerazione massima di 1 g, si �ssa il livello di spinta a T1 =2 ∗ g0 ∗ M01, essendo il decollo in posizione verticale, e pertanto si deveconsiderare anche la forza di gravità. Applicando la de�nizione di impulsospeci�co si calcola la portata massica:

m1 =2M01

Is1(9)

Sono note tutte le masse complessive e le caratteristiche in camera di combu-stione. Grazie ai rapporti critici è possibile conoscere temperatura, pressione,velocità del suono e densità nella gola dell'ugello.

TtTc

=2

k + 1

Pt

Pc

=

(2

k + 1

) kk−1

atac

=

(2

k + 1

) 12 ρt

ρc=

(2

k + 1

) 1k−1

Per la conservazione della massa si può quindi �ssare l'area della gola dell'u-gello.

m1 = ρt utAt = ρt atAt (10)

Considerando un'espansione isentropica, sono note anche le grandezze all'u-scita dell'ugello, data l'ipotesi di adattamento esistono le seguenti relazioni:

Pe

Pc

=

(TeTc

) kk−1 ρe

ρc=

(TeTc

) 1k−1

Per la conservazione della massa, e sotto ipotesi di adattamento, si può anche�ssare l'area dell'uscita dell'ugello e quindi il rapporto delle aree.

m1 = ρe ueAe = ρe g Is1 Ae (11)

Si passa ora al progetto del grano di propellente. Dalla portata massicadi propellente si può ricavare l'area di combustione del grano di propellente,essendo m1 = Ab rb ρp.

6

• Un grano a sigaretta richiede un diametro del propulsore di circa 3metri, con un'elevata escursione del centro di gravità in direzione lon-gitudinale.

• Un grano cilindrico a perforazione centrale permette di raggiungerel'area di combustione (area interna della perforazione) con diametrilimitati, limitando l'escursione del baricentro.

La soluzione del cilindro perforato non consente un'occupazione dello spazioottimale. Si introduce il coe�ciente di riempimento volumetrico, un para-metro tecnologico che rapporta il volume del propellente al volume totale delcase che contiene il propellente:

ηv =VpVcase

=R2

e −R2i

R2e

(12)

avendo indicato con i pedici i ed e i raggi interni ed esterni della perforazione.Il progetto del grano di propellente ha tre incognite: i raggi interno ed esternodel cilindro forato, nonché l'altezza. Si impongono pertanto tre condizioni:

1. Rispetto del riempimento volumetrico, ηv

2. Rispetto dell'area di combustione iniziale, Ab

3. Massa totale del cilindro a perforazione centrale pari a Mp1

Considerando che il raggio esterno coincide con buona approssimazione alladimensione di ingresso in ugello nel convergente, ipotizzando un convergente-divergente tronco-conico con angolazione 45◦-30◦, si possono calcolare le lun-ghezze di convergente e divergente, essendo noti sia il diametro di gola chequello di uscita (Figura 3). Si noti che le prestazioni calcolate �no ad ora siriferiscono ad equazioni quasi monodimensionali, in cui la componente tra-sversale della velocità rispetto alla direzione del moto è nulla. In presenza diun ugello a tronco di cono la componente trasversale non è più trascurabile.Pertanto si de�nisce l'e�cienza di spinta λ come quel parametro che correlala quantità di moto assiale reale con quella teorica. La spinta viene diminui-ta solo per la quota dinamica mentre la parte relativa al contributo staticoAt (Pe − Pa) non viene modi�cata.

λ =1 + cosαdiv

2S = λmue + (pe − pa)Ae (13)

Con αdiv si indica il semiangolo del divergente che in questo caso vale 15◦.Pertanto, λ = 0.983. Esistono svariate fonti di perdita in un propulso-re spaziale che, complessivamente, comportano una perdita di circa il 10%

7

Figura 3: Ugello tronco-conico

di impulso speci�co ponderale. Questa parte non è approfondita in questadispensa.

Utilizzando delle formule empiriche da letteratura è possibile stimare an-che la massa dell'accenditore che è necessario posizionare in testa al motore.

Mign = 0.12V 0.7core (14)

La formula restituisce la massa in grammi di materiale contenuto nell'ac-cenditore e richiede il volume libero interno al motore espresso in pollicicubi.

Per concludere, si da una stima del lo stato di sforzo a cui è soggetto ilcontenitore del propellente. L'analisi è svolta in modo semplicistico come uncilindro cavo a parete sottile in pressione, in assenza di ogni altra forza diinerzia, aerodinamica e di peso. A titolo di esempio si citano diversi materiali:Data la pressione p, il raggio R e lo spessore t, gli sforzi longitudinali e

Materiale Mod. Elast., N/mm2 Dens., kg/m3 σmax, N/mm2

Acciaio 207000 7840 1400-2000Alluminio 72000 2790 455Titanio 110000 4600 1240Kevlar 58000 1380 1310Fibra carb. 102000 1550 2300

Tabella 2: Alcuni esempi di materiale ad uso spaziale

8

tangenziali sono i seguenti:

σlong =pR

2tσtang =

pR

t

Applicando un opportuno criterio di resistenza per la valutazione dello spes-sore t, con un adeguato fattore di sicurezza, si può valutare in prima appros-simazione il peso del solo case. I fattori di sicurezza servono per tener contodi tutte le incertezze introdotte nel progetto. In campo spaziale sono in ge-nere ridotti per il contenimento delle masse inerti. Si elencano alcuni valoriindicativi di fattori di progetto. Sistemi più critici possono avere carichisuperiori mentre un progetto più accurato può condurre alla scelta di ridurrequesti valori.

Carico limite di progetto E' il carico per cui si dimensiona il sistemaa funzionamento, pari al valore massimo atteso moltiplicato per il fattore1.20.E' anche il carico a cui in genere si compiono i test di quali�ca deicomponenti.

Carico di danneggiamento E' il carico per cui il sistema subisce deidanneggiamenti permanenti (p.e. snervamento dei componenti strutturali)ma che non compromettono la funzionalità del sistema, a costo di perdite diprestazione. In genere si assume pari a 1.10 volte il carico limite di progetto.

Carico di rottura E' il carico a cui i componenti del sistema si romponoperché al loro interno si generano gli sforzi a rottura. In genere si assumepari a 1.50 volte il carico limite di progetto.

3.2 Dettaglio dello stadio a liquido

Per ipotesi il distacco dello stadio avviene alla quota di 40 km di altezza. Per-tanto è necessario ricalcolare l'impulso speci�co per tenere conto del diversotermine statico, essendo in questo caso l'ugello non adattato e la Pa = 287Pa

Is2 =S

mg=mve + Ae (Pe − Pa)

mg0=veg0

+(Pe − Pa)

ρeveg0= 470s (15)

. Anche in questo caso è nota l'accelerazione massima di 2 g, si �ssa il livellodi spinta a T2 = 2 ∗ g0 ∗M02 e, applicando la de�nizione di impulso speci�co,si calcola la portata massica scaricata dall'ugello:

m2 =2M02

Is2= 9.2kg/s (16)

9

Per il secondo stadio a liquido è realistico ipotizzare una portata costan-te durante tutta la missione, arrivando a de�nire il tempo di combustionetburn. Analogamente a quanto è stato fatto per il primo stadio, si possonodimensionare le aree di gola e di uscita.

3.2.1 Serbatoi

Il sistema di serbatoi è costituito da un contenitore per ossigeno liquido,uno per idrogeno liquido più tutti gli accessori per il funzionamento (condot-ti, eventuali pompe, iniettori e pressurizzante). Il volume dei serbatoi puòessere calcolato dalla massa totale di propellente Mp2, dal rapporto di misce-la mox/mfu, una volta assunte le seguenti densità per idrogeno ed ossigenoliquidi.

Densità Temperatura Vol. serbatoioLH2: 71 kg/m3 20 K 5.04 m3

LOX: 1140 kg/m3 90 K 1.26 m3

Figura 4: Gra�co statistico utile per la scelta del metodo di pressurizzazione

Tramite la Figura 4, che raccoglie una serie di dati statistici di sistemipropulsivi esistenti, è possibile scegliere il miglior metodo per pressurizzare

10

i serbatoi in funzione del loro volume. Il caso in esame ricade nella zona disovrapposizione tra la tecnologia con turbopompa e quella senza turbopompa.Si sceglie di operare senza turbopompa.

Lo schema delle cadute di pressione è rappresentato in Figura 5, conl'aggiunta delle perdite di carico nella cooling jacket posta sulla linea delcombustibile che viene scaldato a 150 K (assunto e da veri�care). In generenelle tubazioni rettilinee la perdita di carico si può calcolare con la formula

∆P

ρ=

1

2fVpipe

L

Dcoe�ciente d'attrito: f = 0.02− 0.05 (17)

Figura 5: Schema delle cadute di pressione

Da letteratura si possono assumere le seguenti quantità relative ad unimpianto senza turbopompa.

• Velocità nelle tubazioni: Vpipe ≈ 10 m/s

• Perdita di pressione statica all'uscita del serbatoio: 12ρV 2

pipe

• Perdita di carico nelle tubazioni: 35-50 kPa (assunti 40 kPa)

• Perdita di carico cooling jacket LH2: 0.05-0.25 * Pc (assunto 0.15 * Pc)

• ∆P a cavallo degli iniettori: 0.05-0.30 * Pc (assunto 0.30)

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Calcolando le pressioni necessarie al funzionamento delle due linee di alimen-tazione, si trovano valori di circa 5.3 MPa per il serbatoio di ossidante e di5.8 MPa per quello di combustibile.

Il calcolo del volume e della massa di pressurizzante richiede di scegliereun gas inerte (elio) e una pressione di stoccaggio ad inizio operazioni (500bar a 300 K). Il pressurizzante deve essere in grado di riempire tutti i serba-toi di combustibile ed ossidante alla pressione operativa (condizione di �nemissione) e deve anche riempire l'intero volume del serbatoio del pressuriz-zante (ancora ignoto) che a �ne missione sarà scarico e con pressione parialla media operativa dei serbatoi principali. Facendo riferimento alla Fig. 6,

Figura 6: Schema sempli�cato per il calcolo della massa di pressurizzante

dove i volumi dei serbatoi di combustibile e ossidante sono stati rappresen-tati da un unico contenitore per il propellente, si scrivono due equazioni chefotografano la situazione del sistema di pressurizzazione all'inizio e alla �nedella missione ed eguagliando la massa di pressurizzante imbarcato.

Mpres = Va ρa Inizio missione (18)

Mpres = Va ρb + Vb ρb Fine missione (19)

La densità ρa del pressurizzante ad inizio missione è data dalle condizionidi stoccaggio (500 bar e 300 K) mentre si deve valutare la condizione a cuiil pressurizzante si trova a �uire dal serbatoio di stoccaggio verso quello deipropellenti. In questo caso si è scelto di valutare il valore con una espansioneisentropica tra le due pressioni iniziali di funzionamento trovando 214 K. Inrealtà questa assunzione è fondamentalmente sbagliata in quanto la pressionedel serbatoio di Elio diminuisce progressivamente durante il funzionamento,causando un aumento della temperatura a cui il pressurizzante �uisce neiserbatoi. Tuttavia si assume questa incertezza per compiere il calcolo cheporta ad una massa di 97.7. Il diametro del serbatoio di pressurizzante,assunto sferico, è di circa 1.3 metri.

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3.2.2 Camera di combustione

Il progetto della camera di combustione inizia dalla testata di iniezione dicui si dimensionano gli iniettori. La geometria prescelta è una con�gurazionea coppie di iniettori coassiali. La con�gurazione impone a priori un vincoloin cui il numero di iniettori di ossidante e combustibile è uguale. Si devonotuttavia rispettare le masse scaricate in camera di combustione in modo cheil rapporto mox/mfu sia mantenuto. La portata massica di un iniettore èdato dalla relazione:

minj = CdAinj

√2ρ∆P (20)

avendo de�nito Cd il coe�ciente di e�usso e Ainj l'area dell'iniettore. Anchein questo caso è necessario un ciclo iterativo. Da letteratura sono noti iparametri dell'iniettore e se ne �ssa la geometria.

• Cd-interno = 0.24

• Cd-esterno = 0.17

• Rinterno = 1 mm

• Resterno = 1.8 mm

Gli iniettori coassiali hanno il vincolo di funzionare in coppia pertanto il nu-mero degli elementi di iniezione per ossidante e combustibile deve coincidere.La geometria degli iniettori appena �ssata non necessariamente veri�cheràallo stesso tempo la portata necessaria e questa condizione. In modo deltutto arbitrario �sso il numero degli iniettori pari al numero calcolato per lalinea di ossidante (188) e modi�co il raggio esterno a�nché anche la massa dicombustibile sia quella corretta con il numero di iniettori scelto. Per quantoriguarda la densità del materiale, l'ossigeno entra in camera di combustio-ne immediatamente dopo l'uscita dai serbatoi mantenendosi in fase liquida.L'idrogeno percorre la camicia di ra�reddamento e giunge in camera di com-bustione alla temperatura di 150 K (assunzione) come �uido supercritico,condizione veri�cabile dal diagramma in Fig. 7. Con questi parametri èpossibile de�nire la geometria degli iniettori.

Il dimensionamento della camera di spinta si appoggia sul concetto dilunghezza caratteristica L*, un parametro statistico dato dal rapporto travolume e area di gola. In base alla coppia di ossidante e combustibile e allapressione operativa del sistema, scelgo L* = 110 cm. E' quindi immediatocalcolare il volume. Per dimensionare la lunghezza, è necessario prima calco-lare l'area frontale della camera di combustione Ac. Si possono scegliere duecriteri che portano sostanzialmente a ridurre la velocità assiale per abbassare

13

Figura 7: Diagramma di fase dell'idrogeno

le perdite di carico in camera di combustione, nonché allargare il tubo di�amma per migliorarne l'e�cienza.

• Ac/At > 3

• Mc 6 0.6

In questo caso si è scelto di imporre un numero di Mach in uscita dalla cameradi combustione pari a 0.1; si veri�ca che questa scelta porta ad un rapportoAc/At ' 6 e ad una lunghezza di circa 18 cm.

3.2.3 Ra�reddamento dell'ugello

E' possibile in�ne compiere una breve analisi riguardante il ra�reddamentodell'ugello. Innanzitutto è necessario valutare i �ussi termici coinvolti. Inquesto contesto l'analisi è compiuta in modo assolutamente approssimativo,utilizzando formule di scambio termico per l'analisi di condotti con pro�-lo di velocità turbolento sviluppato. Nello speci�co, si utilizza la relazionedi Dittus-Boelter nella forma riportata da Incropera per parete in riscalda-mento. Secondo la relazione il numero di Nusselt basato sul diametro Dvale:

NuD =hD

k= 0.0265Re

4/5Pr0.3 (21)

Tramite il software NASA-CEA sono stati valutati i parametri di scambiotermico per diverse zone del sistema combustore-ugello, riportando in Tab.3 i dati per le zone di camera di combustione, gola e uscita dell'ugello. Tutti

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Tabella 3: Valutazione del trasferimento termico gas-ugello

Camera comb. Gola Uscita

Ma 0,1 1 4,63ρgas, kg/m

3 1.64 1.02 9.88×10−3

Pr 0.65 0.65 0.55a, m/s 1723 1638 913µd, Pa s 8.64×10−5 8.00×10−5 2.85×10−5

Diam, m 0.24 0.1 0.62vloc, m/s 172.3 1638 4227.19Re 0.785 ×106 2.09 ×106 0.908 ×106

NuD 1211 2648 1294k, W/m/K 0.616 0.559 0.176h, W/m2/K 3107 14804 367.4Tad, K 2927 2635 754Twall, K 700 700 700T∞ - Twall, K 2227 1935 54.0q, W/m2 6.91 ×106 28.6 ×106 19.8 ×103

i parametri elencati sono calcolabili anche manualmente, senza l'ausilio diun programma, applicando opportune ipotesi sempli�cative. Pertanto, i dueapprocci non restituiscono necessariamente lo stesso risultato, anche se gliordini di grandezza devono circa coincidere. Per il calcolo del �usso termicosi utilizza la relazione di scambio termico convettivo q = h (Tm − Tw), avendoindicato con Tm il valore di miscelamento del pro�lo termico dal lato gas econ Tw la temperatura di parete. IL calcolo di Tm non può prescindere dalcampo di moto pertanto una ulteriore sempli�cazione è imposta nel conside-rare Tm = Tad. Nella camera di combustione si assume Mach pari a 0.1. Latemperatura a parete è �ssata costante a 700 K, valore compatibile per laresistenza meccanica del materiale dell'ugello. La temperatura a parete saràe�ettivamente veri�cata solo se dall'altro lato della parete stessa esisterà un�uido freddo (idrogeno supercritico) in grado di rimuovere il �usso termicoproveniente dal lato gas. In caso contrario si alzerà la temperatura modi�-cando i �ussi termici �no al raggiungimento di un equilibrio. Compiendo unostudio più dettagliato supportato dal codice termochimico CEA, è possibi-le individuare il comportamento di scambio termico lungo l'ugello a diversirapporti di espansione (Fig. 8). Si può notare che, come da letteratura, loscambio termico maggiore si ha in prossimità della gola dell'ugello con �ussitermici che raggiungono quasi i 30 MW/m2. In corrispondenza di questasezione, il sistema di ra�reddamento sarà studiato per prelevare una maggior

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Figura 8: Flusso termico lato gas caldo. Temperatura a parete impostacostante a 700 K.

quantità di calore, modi�cando la velocità le caratteristiche di scambio ter-mico, per esempio la velocità del �uido. Questo motivo giusti�ca i dati chesono ritrovati in letteratura indicanti:

• cooling jacket LH2 attorno alla camera di combustione: 3-10 m/s

• cooling jacket LH2 attorno all'ugello: 6-24 m/s

Come si è già detto, H2 si trova in stato supercritico. I parametri per lavalutazione delle proprietà di scambio termico sono riportate nelle Figure 9,12, 10, 11. Questa valutazione viene lasciata agli studenti che, a loro pia-cimento, possono compiere conti di scambio termico per veri�care le ipotesicompiuta in fase di progetto della testata di iniezione, dove si è imposta unatemperatura di 150 K. In alternativa, si possono veri�care le condizioni discambio termico del �uido refrigerante. Come ultima analisi, si può valutarein via approssimata l'altezza totale del secondo stadio, �ssando un ingombromassimo per i serbatoi i quali, se non possono essere di forma sferica, sarannoconsiderati dei cilindri che potrebbero avere il diametro circa simile a quellodell'ugello.

16

4 Commenti �nali

Il presente dimensionamento compie diverse scelte progettuali che possonoessere oggetto di ri�nitura in cicli successivi di ricalcolo. Per esempio, alcuniparametri assunti nella parte relativa al calcolo delle masse si sono staticalcolati (almeno in prima approssimazione) solo dopo. Altri parametri sonoinvece frutto di una pura scelta che potrebbe rivelarsi non essere ottimaleper la missione.

Per l'estensione del lavoro gli studenti possono operare autonomamentedelle scente. In via totalmente indicativa e non vincolante si suggerisconoalcune idee.

• Ricalcolo con una diversa ripartizione di ∆V iniziale e confronto criticocon la precedente progettazione

• Iterazioni successive per la ri�nitura dei parametri assunti

• Valutazione del pro�lo di spinta del propulsore a propellente solido,modi�ca della geometria del grano per ottenere un altro pro�lo di spinta

• Modi�ca del progetto della camera di combustione con variazione dellageometria degli iniettori, andando a ricercare parametri di letteratura

• Modi�ca della coppia criogenica del secondo stadio con una coppiasemicriogenica o stoccabile

• Modi�ca della con�gurazione degli stadi (a�ancati piuttosto che atandem)

• Analisi dello scambio termico nell'ugello

5 Riferimenti bibliogra�ci

Per lo svolgimento dell'esercizio sono stati presi a riferimento i seguenti testi:

• Sutton. Rocket Propulsion Elements - 7a edizione. Wiley.

• Humble. Space Propulsion Analysis and Design. McGraw-Hill.

• NIST chemistry web book http://webbook.nist.gov/chemistry/

• Incropera, De Witt. Fundamentals of heat and mass transfer.

• Guglielmini, Pisoni. Trasmissione del calore

• De Luca. Appunti per studenti.

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Figura 9: Idrogeno: densità, ρ a 3, 5, 10, 20 MPa

Figura 10: Idrogeno: conducibilità termica, k a 3, 5, 10, 20 MPa

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Figura 11: Idrogeno: Viscosità dinamica, µ a 3, 5, 10, 20 MPa

Figura 12: Idrogeno: calore speci�co, Cp a 3, 5, 10, 20 MPa

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