DIMENSIONAMENTO DE VIGAS CONSIDERANDO A PROTENSÃO PARCIAL

Automatic design of partially prestressed concrete beams

Izaura de Vargas Martins (1); Lorenzo Augusto Ruschi e Luchi (2)

(1) Mestre em Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória - ES, Brasil.

e-mail: vargas.izaura@gmail.com; (P) Apresentador

(2) Dr. Prof., Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo

e-mail: lorenzo@rl.eng.br

Resumo: Este artigo apresenta uma ferramenta computacional para o dimensionamento de vigas parcialmente protendidas biapoiadas conforme a ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. Para diferentes tipos de carregamento, distribuídos e pontuais, o programa realiza o pré-dimensionamento da força de protensão, calcula as perdas imediatas e progressivas, verifica o estado-limite de abertura de fissuras e o estado-limite último. O programa foi desenvolvido utilizando o Microsoft Excel e o Microsoft Visual Basic for Applications, apresenta interface gráfica com o usuário e geração de memoriais de cálculo, servindo como recurso didático no meio acadêmico tanto no nível de graduação como de pós-graduação. Os resultados obtidos são validados pela comparação com exemplos presentes na literatura.

Palavras chaves: Vigas protendidas; protensão parcial; abertura de fissuras.

Abstract: This work presents a computational program for the design of simply supported partially prestressed concrete beams according to NBR 6118: 2014. For different loads, the program calculates the initial prestress force and the instantaneous and time-dependent losses. Also verifies the limit state of cracking and the ultimate limit state. This program was developed using Microsoft Excel e o Microsoft Visual Basic for Applications, based on the software elaborated by Dominicini and Coelho (2014). It presents user graphical interface and design report, and can be used as a didactic resource in the academic environment at undergraduate and graduate levels. The results obtained are validated by comparison with examples in the literature.

Keywords: prestressed beams; partially prestressed concrete; limit state of cracking.

1 INTRODUÇÃO

O concreto protendido tem sido muito utilizado na engenharia brasileira, o que torna

muito interessante o investimento no aperfeiçoamento dos métodos de cálculo e

dimensionamento dessas peças. Porém, há poucos programas que realizam o

dimensionamento de vigas parcialmente protendidas, seguindo a ABNT NBR 6118:2014

– Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento, e os que existem, geralmente são

comerciais.

Alguns trabalhos podem ser citados, Klein e Loriggio (2006), assim como Nacht

(2015) apresentam uma ferramenta computacional para o dimensionamento de vigas

protendidas, nos níveis de protensão completa e limitada, que verificam os estados-limites

de serviço.

Em Lazzari et al. (2013) é proposta uma ferramenta automática para o cálculo de

vigas de concreto submetidas à flexão, protensão completa, limitada e parcial, utilizando

a norma brasileira NBR 6118:2007 e a francesa Règles BPEL 91. Silva (2015) apresenta

o desenvolvimento de um programa para a verificação de seções poligonais de concreto

armado e protendido submetidas à flexão composta oblíqua. Labadan (2016) desenvolve

um programa para o dimensionamento de vigas contínuas protendidas pós-tracionadas.

Observa-se que o concreto protendido é amplamente estudado, entretanto, poucos

são os programas que abordam o nível de protensão parcial. Fato que contraria o mercado

atual, uma vez que a protensão parcial proporciona um aproveitamento mais racional dos

materiais, dosando-se convenientemente as armaduras ativas e passivas, como expõe

Emerick (2005).

Assim, este trabalho apresenta uma ferramenta computacional para o

dimensionamento de vigas parcialmente protendidas, que possa ser utilizada no meio

acadêmico como recurso didático adicional na disciplina Concreto Protendido. O

programa é desenvolvido utilizando o Microsoft Excel e o Microsoft Visual Basic for

Applications, a partir de Dominicini e Coelho (2014), que desenvolvem uma ferramenta

para o dimensionamento de vigas biapoiadas protendidas, para os níveis de protensão

completa e limitada, de acordo com a NBR 6118:2007.

2 PROTENSÃO PARCIAL

O nível de protensão parcial produz tensões de compressão mais brandas do que a

limitada e completa. É especificado para a pré-tração na classe de agressividade ambiental

I e pós-tração nas classes I e II. Deve-se verificar o estado-limite de serviço de abertura

das fissuras, com valor limite de 0,2 mm, para a combinação frequente.

Inicialmente, o programa determina a área de armaduras ativas e passivas

necessárias, bem como seu alojamento. Então, realiza a verificação da abertura das

fissuras na seção mais solicitada.

França (2001) e Cholfe e Bonilha (2013) apresentam roteiros para a verificação de

peças com protensão parcial, os quais foram utilizados como base para a dedução das

equações implementadas no programa, para o cálculo das tensões nas armaduras.

Considera-se o diagrama linear do concreto comprimido, desprezando-se a sua

resistência à tração (ver Figuras 1 e 2).

Figura 1. Equilíbrio da seção transversal retangular no estádio II

Fonte: (Elaborada pelos autores, 2018)

Figura 2. Equilíbrio da seção transversal T no estádio II

Fonte: (Elaborada pelos autores, 2018)

Do equilíbrio das forças, em caso de protensão aderente, obtêm-se as Eq. (1) e (2),

para o calculo da tensão na armadura passiva para seções retangulares ou T com linha

neutra na mesa e para seções T com linha neutra na alma, respectivamente.

𝜎𝑠 =𝜀𝑝𝑟é 𝐸𝑝 𝐴𝑝

𝑏𝑐 . 𝑥2𝛼𝑒

𝑥

𝑑 − 𝑥+ 𝐴𝑠

′ 𝑥 − 𝑑′

𝑑 − 𝑥− 𝐴𝑠 −

𝐸𝑝

𝐸𝑠

𝑑𝑝 − 𝑥𝑑 − 𝑥

𝐴𝑝

(1)

𝜎𝑠 =𝜀𝑝𝑟é 𝐸𝑝 𝐴𝑝

12𝛼𝑒

𝑥

𝑑 − 𝑥 [𝑥. 𝑏𝑓 − (𝑥 − ℎ𝑓)

2

𝑥 (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤)] + 𝐴𝑠′ 𝑥 − 𝑑′

𝑑 − 𝑥− 𝐴𝑠 −

𝐸𝑝

𝐸𝑠

𝑑𝑝 − 𝑥𝑑 − 𝑥

𝐴𝑝

(2)

Em que 𝜀𝑝𝑟é é o pré-alogamento dos cabos, 𝐸𝑝, 𝐴𝑝 e 𝑑𝑝 são o módulo de elasticidade,

área e altura útil da armadura ativa, respectivamente, 𝑏𝑐 é a largura da seção de concreto

comprimida, 𝑥 é a posição da linha neutra, 𝛼𝑒 é a relação entre os módulos de elasticidade

do aço e do concreto, 𝐸𝑠, 𝐴𝑠 e 𝑑 são o módulo de elasticidade, a área e altura útil da

armadura passiva, respectivamente, 𝐴𝑠′ e 𝑑′ são a área e altura útil da armadura dupla,

respectivamente, 𝑏𝑓 e ℎ𝑓 são a largura e altura da mesa, respectivamente, e 𝑏𝑤 é a largura

da alma.

Para protensão não aderente, não há compatibilidade de deformações entre a

armadura ativa e a seção de concreto, portanto, devem ser utilizadas as Eq. (3) e (4), para

seções retangulares ou T com linha neutra na mesa e para seções T com linha neutra na

alma, respectivamente.

𝜎𝑠 =𝜀𝑝𝑟é 𝐸𝑝 𝐴𝑝

𝑏𝑐 . 𝑥2𝛼𝑒

𝑥

𝑑 − 𝑥+ 𝐴𝑠

′ 𝑥 − 𝑑′

𝑑 − 𝑥− 𝐴𝑠

(3)

𝜎𝑠 =𝜀𝑝𝑟é 𝐸𝑝 𝐴𝑝

12𝛼𝑒

𝑥

𝑑 − 𝑥[𝑥. 𝑏𝑓 −

(𝑥 − ℎ𝑓)2

𝑥 (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤)] + 𝐴𝑠′ 𝑥 − 𝑑′

𝑑 − 𝑥− 𝐴𝑠

(4)

Do equilíbrio dos momentos, em caso de protensão aderente, obtêm-se as Eq. (5) e

(6), para o calculo da tensão na armadura passiva para seções retangulares ou T com linha

neutra na mesa e para seções T com linha neutra na alma, respectivamente.

𝜎𝑠 =𝑀𝐶𝐹 − 𝜀𝑝𝑟é 𝐸𝑝 𝐴𝑝(𝑑𝑝 − 𝑦𝑐𝑔)

𝑏𝑐 . 𝑥2𝛼𝑒

𝑥

𝑑 − 𝑥(𝑦𝑐𝑔 − 𝑥 3⁄ ) + 𝐴𝑠

′ 𝑥 − 𝑑′

𝑑 − 𝑥(𝑦𝑐𝑔 − 𝑑′) + 𝐴𝑠(𝑑 − 𝑦𝑐𝑔) +

𝐸𝑝

𝐸𝑠

𝑑𝑝 − 𝑥𝑑 − 𝑥

𝐴𝑝(𝑑𝑝 − 𝑦𝑐𝑔)

(5)

𝜎𝑠

=𝑀𝐶𝐹 − 𝜀𝑝𝑟é 𝐸𝑝 𝐴𝑝(𝑑𝑝 − 𝑦𝑐𝑔)

1 2𝛼𝑒

𝑥

𝑑 − 𝑥 (𝑥 𝑏𝑓 (𝑦𝑐𝑔 −

𝑥3

) −(𝑥 − ℎ𝑓)

2

𝑥 (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) (𝑦𝑐𝑔 −

𝑥3

+ℎ𝑓

3)) + 𝐴𝑠

′ 𝑥 − 𝑑′

𝑑 − 𝑥(𝑦𝑐𝑔 − 𝑑′) + 𝐴𝑠(𝑑 − 𝑦𝑐𝑔) + ( 𝐴𝑝

𝐸𝑝

𝐸𝑠 𝑑𝑝 − 𝑥

𝑑 − 𝑥) (𝑑𝑝 − 𝑦𝑐𝑔)

(6)

Em que 𝑀𝐶𝐹 é momento fletor na combinação frequente, 𝑦𝑐𝑔 é a altura do centroide

a partir do topo da seção transversal.

Para protensão não aderente, não há compatibilidade de deformações entre a

armadura ativa e a seção de concreto, portanto, devem ser utilizadas as Eq. (7) e (8), para

seções retangulares ou T com linha neutra na mesa e para seções T com linha neutra na

alma, respectivamente.

𝜎𝑠 =𝑀𝐶𝐹 − 𝜀𝑝𝑟é 𝐸𝑝 𝐴𝑝(𝑑𝑝 − 𝑦𝑐𝑔)

𝑏𝑐 . 𝑥2𝛼𝑒

𝑥

𝑑 − 𝑥 (𝑦𝑐𝑔 − 𝑥 3⁄ ) + 𝐴𝑠′ 𝑥 − 𝑑′

𝑑 − 𝑥 (𝑦𝑐𝑔 − 𝑑′) + 𝐴𝑠(𝑑 − 𝑦𝑐𝑔) (7)

𝜎𝑠 =𝑀𝐶𝐹 − 𝜀𝑝𝑟é 𝐸𝑝 𝐴𝑝(𝑑𝑝 − 𝑦𝑐𝑔)

1 2𝛼𝑒

𝑥

𝑑 − 𝑥 (𝑥 𝑏𝑓 (𝑦𝑐𝑔 −

𝑥3

) −(𝑥 − ℎ𝑓)

2

𝑥 (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) (𝑦𝑐𝑔 −

𝑥3

+ℎ𝑓

3)) + 𝐴𝑠

′ 𝑥 − 𝑑′

𝑑 − 𝑥 (𝑦𝑐𝑔 − 𝑑′) + 𝐴𝑠(𝑑 − 𝑦𝑐𝑔)

(8)

As Equações (1) e (5), proporcionam o cálculo da tensão na armadura passiva e

posição da linha neutra de forma iterativa para protensão aderente em seções retangulares

ou T com linha neutra na mesa. E as Equações (2) e (6) permitem calcular a tensão na

armadura passiva e posição da linha neutra para seções T com linha neutra na alma. A

resposta será o par 𝜎𝑠 e x que atender simultaneamente as duas equações.

Assim, como as Eq. (3) e (7), proporcionam o cálculo da tensão na armadura passiva

e posição da linha neutra de forma iterativa para protensão não aderente em seções

retangulares ou T com linha neutra na mesa. E as Equações (4) e (8) permitem calcular a

tensão na armadura passiva e posição da linha neutra em seções T com linha neutra na

alma.

Determinada a tensão 𝜎𝑠, deve-se calcular o valor característico da abertura de

fissuras wk conforme a NBR 6118:2014. Assim, para cada elemento ou grupo de

elementos de armaduras passiva e ativa aderente que controla a fissuração, excluídos

cabos em bainhas, considera-se uma área da região de envolvimento do concreto,

constituída por retângulos com lados à distância máxima de 7,5 ϕ do eixo de cada

elemento de armadura, ver Figura 3.

Figura 3. Concreto de envolvimento da armadura

Fonte: (ABNT NBR6118, 2014)

O valor característico da abertura de fissuras, calculado para cada parte da região de

envolvimento, deve ser o menor dos obtidos nas Eq.(9) e (10).

𝑤𝑘 =𝜙𝑖

12,5𝜂1

𝜎𝑠𝑖

𝐸𝑠𝑖

3𝜎𝑠𝑖

𝑓𝑐𝑡𝑚 (9)

𝑤𝑘 =𝜙𝑖

12,5𝜂1

𝜎𝑠𝑖

𝐸𝑠𝑖(

4

𝜌𝑟𝑖+ 45) (10)

Em que 𝜎𝑠𝑖, 𝜙𝑖, 𝐸𝑠𝑖 e 𝜌𝑟𝑖 são definidos para cada área de envolvimento em exame;

𝐴𝑐𝑟𝑖 é a área da região de envolvimento protegida pela barra 𝜙𝑖; 𝐸𝑠𝑖 é o módulo de

elasticidade do aço da barra considerada; 𝜙𝑖 é o diâmetro da barra que protege a região

de envolvimento considerada; 𝜌𝑟𝑖 é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente, exceto

em bainhas, em relação à área da região de envolvimento 𝐴𝑐𝑟𝑖; 𝜎𝑠𝑖 é o acréscimo de tensão

entre o estado-limite de descompressão e o carregamento frequente, no centro de

gravidade da armadura, calculado no estádio II, considerando toda a armadura ativa; e 𝜂1

é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada.

3 FUNCIONAMENTO GERAL DO PROGRAMA

O programa desenvolvido apresenta tela inicial com uma barra de ferramentas com

ícones para entrada de dados e geração de memórias de cálculo, ver Figura 4.

Figura 4. Barra de ferramentas da tela inicial

Fonte: (Elaborada pelos autores, 2018)

Inicialmente, o usuário deve definir a geometria da seção transversal, o vão da viga

e o número de seções de análise. Então, deve-se informar a resistência característica à

compressão do concreto, a resistência à compressão do concreto no momento da

protensão e o módulo de elasticidade da armadura ativa, ver Figura 5.

Figura 5. Definição das propriedades geométricas da seção e materiais

Fonte: (Elaborada pelos autores, 2018)

Na próxima janela, ver Figura 6, define-se a classe de agressividade ambiental e o

nível de protensão. Para o caso de protensão parcial, deve-se informar a porcentagem do

momento permanente a balancear, para o cálculo da área de armadura ativa necessária.

Então, o usuário deve definir os carregamentos permanentes e acidentais, distribuídos e

ou concentrados. Além disso, deve ser informada a excentricidade e porcentagem

estimada de perda para o pré-dimensionamento da força de protensão inicial necessária.

Figura 6. Definição do nível de protensão e cargas

Fonte: (Elaborada pelos autores, 2018)

O programa calcula a força de protensão inicial necessária e fornece opções para o

aço a ser adotado, realizada a escolha, e é calculado o número necessário de fios,

cordoalhas ou barras. O usuário deve definir em quantos cabos estes elementos devem

ser alojados e definir o perfil dos cabos, ver Figura 7 e 8. Para os níveis de protensão

completa e limitada, o programa fornece também o fuso limite para os cabos.

Figura 7. Definição da armadura ativa

Fonte: (Elaborada pelos autores, 2018)

Figura 8. Definição da geometria dos cabos

Fonte: (Elaborada pelos autores, 2018)

Em seguida são calculadas as perdas de protensão imediatas e progressivas. O

programa calcula a força de protensão ao longo do cabo e tensões nas seções de análise

após as perdas. Para protensão parcial, nas seções que ultrapassam o estado-limite de

formação de fissuras na combinação frequente, emite-se um aviso indicando a verificação

do estado-limite de abertura das fissuras, que é analisado pelo programa posteriormente.

O usuário deve informar a largura da alma, dimensões da mesa, altura útil para as

armaduras passiva e ativa, área de armadura dupla e sua altura útil. Então, o programa

realiza o dimensionamento no estado-limite último e gera um relatório com a área de aço

necessária em cada seção de análise (não é considerada a decalagem).

Obtida a área de armadura passiva necessária, realiza-se a verificação do estado-

limite de abertura das fissuras na seção mais solicitada. Inicialmente, o usuário deve

definir o diâmetro da armadura passiva longitudinal e da armadura transversal, bem como

o número de ramos dos estribos. A partir destes dados, o programa aloja a armadura

longitudinal e indica quantas camadas serão utilizadas e o número de barras por camada,

assim é calculada a área da região de envolvimento da armadura.

Em seguida, o programa calcula a tensão na armadura passiva, s, e a posição da

linha neutra. Então, é calculado automaticamente o valor da abertura das fissuras, pelas

Eq. (9) e (10). Assim, é verificado o estado-limite de abertura das fissuras, ver Figura 9.

Figura 9 – Verificação da abertura das fissuras

Fonte: (Elaborada pelos autores, 2018)

4 APLICAÇÕES NUMÉRICAS

A seguir são apresentadas duas aplicações numéricas presentes na literatura, cujos

resultados foram comparados com os obtidos no programa desenvolvido neste trabalho.

4.1 Aplicação numérica 1

França (2001) apresenta o cálculo da tensão na armadura passiva e abertura de

fissuras para uma viga de seção transversal retangular, conforme Figura 10. Seja

εpré=5 ‰, Ep = 200 GPa, armadura aderente em bainha CP 190 RB, Es = 210 GPa, Ecs =

25 GPa, fct = fctm = 2,0 MPa, e o momento fletor na combinação frequente igual a 245

kN.m.

Figura 10. Aplicação numérica 1: seção transversal da viga

Fonte: (Adaptada de França, 2001)

Para desenvolvimento desta aplicação numérica no programa, foi adotado vão de 15

metros com carregamento permanente distribuído de 4,02 kN/m, que somado ao peso

próprio da viga, resulta em MCF = 245 kN.m. Para a obtenção da área de armadura ativa

indicada, foi adotado o balanceamento de 40% do momento devido ao carregamento

permanente, resultando no alojamento de 4 cordoalhas CP 190 RB 12,7 mm. Arbitrou-se

εpré=5 ‰, conforme indicado no problema.

Os resultados obtidos por França (2001) e pelo programa são apresentados na Tabela

1, observa-se que são muito próximos. A abertura característica das fissuras é inferior a

0,2 mm, portanto, está respeitado o estado-limite de abertura das fissuras.

Tabela 1. Resultados: aplicação numérica 1

França (2001) Programa

Área de armadura ativa Ap (cm²) 4,0 4,056

Área de armadura passiva adotada As (cm²) 3,0 3,14

Alojamento da armadura passiva 2 12,5 mm + 1 8 mm 4 10 mm

Posição da linha neutra x (cm) 34,73 35,17

Deformação no concreto εc 0,42‰ 0,42‰

Acréscimo de alongamento na armadura ativa ∆εp 0,37‰ 0,35‰

Alongamento na armadura passiva εs 0,43‰ 0,42‰

Tensão no concreto σc (kN/cm²) 1,05 1,05

Tensão na armadura ativa σp (kN/cm²) 107,33 106,99

Tensão na armadura passiva σs (kN/cm²) 8,97 8,73

Resultante do concreto Nc (kN) 456,23 461,40

Resultante da armadura ativa Np (kN) 429,32 433,99

Resultante da armadura passiva Ns (kN) 26,91 27,41

Área de envolvimento das armaduras Acri (cm²) 359,38 312,5

Abertura característica das fissuras w (mm) 0,03 0,019

Verifica-se que ocorre uma diferença entre os valores das áreas das regiões de

envolvimento das armaduras, o que se deve ao fato de terem sido adotados alojamentos

com barras de diâmetros distintos. França (2001) adota duas barras com diâmetro de 12,5

mm e uma de 8 mm, enquanto o programa utiliza 4 barras com diâmetro de 10 mm. Os

cálculos das áreas de envolvimento das armaduras desenvolvido por França (2001) e pelo

programa são apresentados nas Eq. (11) e (12), respectivamente.

𝐴𝑐𝑟𝑖 = 𝑏𝑤 [(ℎ − 𝑑) + 7,5∅] = 25[(70 − 65) + 7,5 × 1,25] = 359,38 𝑐𝑚2 (11)

𝐴𝑐𝑟𝑖 = 𝑏𝑤 [(ℎ − 𝑑) + 7,5∅] = 25[(70 − 65) + 7,5 × 1,0] = 312,5 𝑐𝑚2 (12)

Salienta-se, também, que os valores característicos da abertura das fissuras foram

calculados por equações distintas. França (2001) utiliza as Eq. (13) e (14), enquanto o

programa segue a NBR 6118:2014, ver Eq. (15) e (16). Fator que influencia diretamente

nos resultados.

𝑤𝑘 =1

10

𝜙𝑖

(2𝜂𝑏 − 0,75)

𝜎𝑠𝑖

𝐸𝑠𝑖

3𝜎𝑠𝑖

𝑓𝑐𝑡𝑚

= 1

10×

12,5𝑚𝑚

(2 × 1,5 − 0,75)×

8,97

21000×

3 × 8,97

0,2= 0,03𝑚𝑚 (13)

𝑤𝑘 =1

10

𝜙𝑖

(2𝜂𝑏 − 0,75)

𝜎𝑠𝑖

𝐸𝑠𝑖

(4

𝜌𝑟𝑖

+ 45)

= 1

10×

12,5𝑚𝑚

(2 × 1,5 − 0,75)×

8,97

21000× (

4

(3 358,38⁄ )+ 45) = 0,12𝑚𝑚

(14)

𝑤𝑘 =𝜙𝑖

12,5𝜂1

𝜎𝑠𝑖

𝐸𝑠𝑖

3𝜎𝑠𝑖

𝑓𝑐𝑡𝑚

=10𝑚𝑚

12,5 × 2,25×

8,73

21000×

3 × 8,73

0,2= 0,019𝑚𝑚 (15)

𝑤𝑘 =𝜙𝑖

12,5𝜂1

𝜎𝑠𝑖

𝐸𝑠𝑖

(4

𝜌𝑟𝑖

+ 45) =10𝑚𝑚

12,5 × 2,25×

8,73

21000× (

4

(3,14 312,5⁄ )+ 45) = 0,065𝑚𝑚 (16)

4.2 Aplicação numérica 2

França (2001) apresenta, também, o cálculo da tensão na armadura passiva e abertura

de fissuras para uma viga de seção T, conforme a Figura 11. Seja o vão da viga L = 18 m,

a força de protensão após as perdas Pinf = 2238 kN, Ep = 200 GPa, armadura não aderente,

Es = 210 GPa, Ecs = 25 GPa, fctm = 2,4 MPa, fct = 1,2 fctm = 2,9 MPa, g0k = 23,5 kN/m, g1k

= 14,0 kN/m, qk = 28 kN/m e 1 = 2 = 0,3.

Figura 11. Aplicação numérica 2: seção transversal da viga

Fonte: (Adaptada de França, 2001)

Para a obtenção da área de armadura ativa indicada, foi adotado o balanceamento de

77% do momento devido ao carregamento permanente, resultando no alojamento de 15

cordoalhas CP 190 RB 15,2 mm. Foi adotada a mesma armadura passiva indicada no

problema.

Os resultados obtidos por França (2001) e pelo programa são apresentados na Tabela

2, observa-se que os resultados são muito próximos. Salienta-se que, como no exemplo

anterior, as armaduras passivas foram alojadas em diâmetros diferentes e os valores

característicos das aberturas das fissuras foram calculados por equações distintas. A

abertura característica das fissuras é inferior a 0,2 mm, portanto, está respeitado o estado-

limite de abertura das fissuras.

Tabela 2. Resultados: aplicação numérica 2

França (2001) Programa

Área de armadura ativa Ap (cm²) 21,6 21,53

Área de armadura passiva adotada As (cm²) 50,0 50,27

Área de armadura dupla adotada As’ (cm²) 4,0 4,0

Posição da linha neutra x (cm) 33,83 33,66

Deformação no concreto 𝜀𝑐 0,47‰ 0,475‰

Tensão na armadura passiva 𝜎𝑠 (kN/cm²) 14,12 14,34

Tensão na armadura dupla 𝜎𝑠

′ (kN/cm²) -8,45 -8,49

Abertura característica das fissuras w (mm) 0,06 0,048

5 CONCLUSÃO

O programa desenvolvido é capaz de realizar o dimensionamento de vigas

parcialmente protendidas biapoiadas de maneira satisfatória, verificando o estado-limite

de aberturas das fissuras, área ainda pouco explorada pelos programas acadêmicos. Os

resultados obtidos pelo programa são muito próximos aos exemplos apresentados na

literatura. A ferramenta apresenta interface gráfica com o usuário, o que facilita e amplia

sua utilização. A geração de relatórios e memórias de cálculo a torna mais didática,

possibilitando sua adoção como recurso auxiliar no meio acadêmico tanto no nível de

graduação como pós-graduação. O programa também realiza o dimensionamento à força

cortante e alojamento dos estribos ao longo da viga, além do cálculo da flecha na seção

mais solicitada. Futuramente pretende-se, ainda, expandi-lo para análise e

dimensionamento de vigas hiperestáticas e lajes.

REFERÊNCIAS

Associação Brasileira de Normas Técnicas. Projeto de Estruturas de Concreto –

Procedimento. NBR 6118. Rio de Janeiro, 2014.

Associação Brasileira de Normas Técnicas. Projeto de Estruturas de Concreto –

Procedimento. NBR 6118. Rio de Janeiro, 2007.

Bpel 91. Règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et reconstructions en

béton précontraint suivant la méthode des états limites. Paris, 1992.

Cholfe, L.; Bonilha, L. Concreto Protendido: Teoria e prática. São Paulo: PINI, 2013.

Dominicini, W. K.; Coelho, L. H. Desenvolvimento de software educacional para análise

e dimensionamento de estruturas em concreto protendido. Congresso Brasileiro de Ensino

de Engenharia. Juiz de Fora, 2014.

Emerick, A. A. Projeto e Execução de Lajes Protendidas. Rio de Janeiro, Ed. Interciência,

2005.

França, R. L. S. Concreto Protendido. Notas de aula. Universidade de São Paulo, São

Paulo, 2001.

Klein, R.; Loriggio, D. D. Dimensionamento por computador de vigas simplesmente

apoiadas de concreto protendido pós tracionadas. Anais do VI Simpósio EPUSP sobre

Estruturas de Concreto. São Paulo, 2006; p. 1132-1144.

Labadan, R. S. Design of post-tensioned prestressed concrete beam using Excel

spreadsheet with Visual Basic Applications. International Journal of Advances in

Mechanical and Civil Engineering, v. 3, p. 10-16, 2016.

Lazzari, P. M.; Campos Filho, A.; Gastal, F. P. S. L; Barbieri, R.A.; Schwingel, R. C.

Automation of the evaluation of bonded and unbonded prestressed concrete beams,

according to brazilian and french code specification. Ibracon Structures and Materials

Journal. São Paulo, 2013; v. 6; p. 13-54.

Naaman, A. E. Prestressed Concrete Analysis and Design: Fundamentals. 3.Ed.

Michigan: Techno Press 3000, 2012.

Nacht, P. K. K. Ferramenta gráfico-interativa de verificação de tensões no estado limite

se serviço de vigas protendidas com pós-tração aderente. Dissertação de Mestrado,

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.

Silva, L. M. Programa computacional para análise e verificação de seções de concreto

armado e protendido com flexão oblíqua composta. Dissertação de Mestrado,

Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2015.