Digitalizzazione dei segnali analogici - Benvenuti al...
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E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 3
Conversione analogico - digitale
A/DXa(t) x(nT)
DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 4
Campionamento Quantizzazione
x(nT)Xa(t)
TQ
segnale segnale( tempo-)continuo
( tempo-)discreto
segnalenumerico o digitale
Due operazioni:
XC(nT)
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Campionamento:
in teoria può non introdurre distorsione sul segnale
Quantizzazione:
introduce comunque un errore (errore di quantizzazione)
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L'elaborazione numerica dei segnali
consiste nell'applicare una sequenza
opportuna di operazioni aritmetiche o
logiche (algoritmo) sui numeri che
rappresentano i valori x(nT)
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Vantaggi• Flessibilità:
estesa gamma di operazioni e facilità di memorizzazione di numeri ( nuove possibilità di elaborazione, es. FFT,...);riprogrammabilità.
• Precisione:aumenta con il numero di bit usati per la rappresentazione dei numeri
• Riproducibilità:migliore che in realizzazioni analogiche
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Realizzazioni circuitali:VLSI (Very Large Scale Integration ) sia con logica dedicata (hardware dedicato) sia con logica programmabile (DSP)
• Compatibilità:maggiore con i sistemi già numerici (es. comunicazioni numeriche, dati,...)
• Assenza di invecchiamento dei componentie ridotti effetti termici
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limitata dalla complessità algoritmica e dalla tecnologia
Svantaggi
• Velocità di elaborazione:
• Consumi di potenza (che possono essere ridotti con opportuni accorgimenti)
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CAMPIONAMENTO IDEALE
Campionamento ideale
Ideale:tempo istantaneo di chiusura dell'interruttore con passo di campionamento T (frequenza di campionamento fc )
a(t) (nT)x x
Xa(f) T = 1 Xc (f)f c
c
T
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Relazioni tempo-frequenza (Trasformata di Fourier)
segnale continuospettro
(T.F. diretta)
(T.F. inversa)
t
xa (t)
x t X f e dfa aj f t( ) ( )= ∫−∞
+∞ 2π
Xa f xa t e j f tdt( ) ( )= −∞+∞∫
− 2π
t f
Xa (f)
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Segnale discreto
X f x nT ec cj f nT
n( ) ( )= ∑ −
=−∞
+∞ 2π T.F. diretta
= ∑ −
=−∞
+∞x nT ec
j F n
n( ) 2π
= X Fc ( )
F fT ffc
= = frequenza normalizzata
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T. F. inversax nT T X f e dfc cT
T j f nT( ) ( )/
/= ∫
−1 2
1 2 2π
= ∫−
X F e dFcj F n
1 2
1 2 2
/
/( ) π
= ∫ X F e dFcj F n
0
1 2( ) π
xc (f)xc(nT)
0 1-1 -1 0 1 1
PERIODO
n-1 0 1 2 3 f−
12T
0 12T
−12
12
F1
1T
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Xc(f) non sempre esiste (serie non convergente)
Osservazioni
Dimensioni diverse per Xa (f) e Xc(f)
Condizione sufficiente:x nTc∑ < ∞( ) ( serie assolutamente sommabile)
Xc (f) periodica di periodo fc = 1/T, ovveroXc (F) periodica di periodo 1
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Banda base ( o banda utile) del segnale campionato:
per definizione quella compresa fra:
f f ovvero Fc≤ ≤2
12
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Relazione fra Xc(f) e Xa(f)
(Teorema del campionamento)
Xc(f) somma di un numero infinito di replichedello spettro di xa(t), ciascuna traslata di unmultiplo della frequenza fc
X fT
X f k fc k
a c( ) ( )= ∑ −=−∞
+∞1
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k=0
k=1
k=2
xa (f)
xc (f)
N.B.: può presentarsi il fenomeno detto aliasing o sovrapposizione spettrale
fc
fc
2fc
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c
Condizione di assenza di distorsioni da aliasing
1) segnale limitato in banda BX f per f Ba ( ) = >0
2) fc > 2B
(1 e 2) repliche disgiunte in frequenza
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-B Bf
B fc - B fc + Bfc
Banda di guardia: fc - 2BSe 1 o 2 non sono verificate:parziale o totale sovrapposizione delle repliche (distorsione spettrale dovuta al campionamento)
2 fc
Xa (f)
Xc (f)
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Esempio
Segue dal teorema del campionamento che campionando a fc i due segnali continui mostrati:
segnale continuo segnale discreto
f1 f2 f1 f2
f1 f3
fc2
fc
2f
f
f
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se
dopo il campionamento le frequenze f2 e f3sono indistinguibili
Osservazione
tutte le frequenze oltre fc /2 sono ribaltatenella banda base
f f f fc c3 22 2− = −
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Formula di ricostruzionePer ottenere il segnale continuo dai suoi campioni, nel caso di assenza di distorsione:
x t x nT f t nTf t nTa
nc
cc
( ) ( ) sen ( )( )
= ∑−
−=−∞
+∞ ππ
che equivale alla realizzazione (ideale):
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Osservazione: i campioni sono una rappresentazione equivalente del segnale analogico
Xc (f)
B fc
Xc (f)
fc
2
1
fc /2
filtro passa-basso ideale
xc (nT) xa (t)
-B B
Xa (f)
ff( a meno del fattore di scala 1/T)
f
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CAMPIONAMENTO DI SEGNALI ALEATORI
x(t) segnale aleatorio• x (nT) ha la stessa densità di probabilità di xa (t)
• segnali stazionari in senso lato
{ }E x nT m mediac x( ) =
{ }E x nT x nT mT r mTc c x( ) ( ) ( )+ =
autocorrelazionerx(mT) corrisponde al campionamento dellaautocorrelazione continua r ( )τ di x(t)
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• Spettro di potenza Gx(f) di xc(nT)
Gx(f) è la Trasformata di Fourier di rx(mT)
Se Ga(f) è lo spettro di potenza di xa(t),cioè la trasformata di Fourier di
G fT
G f k fxk
a c( ) ( )= ∑ −=−∞
∞1
• Sequenze stazionarie ed ergodiche
Quelle per cui coincidono le medie temporali e le medie di insieme
r ( )τ , si ha
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G f te rx x( ) costan ( )= = 0
• Sequenze a spettro bianco
σ x2
r mT r mTx x( ) ( ) ( )= 0 δ
• Potenza di una sequenza ( a media nulla)
{ }S E x nT rx c x= =2 0( ) ( )
che coincide con la varianza della sequenza
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CAMPIONAMENTO DIRETTO DI SEGNALI IN ALTA FREQUENZA
Possiamo distinguere due casi
Caso 1
xa(t)
xc(nT)
fc2
fc f
Tfc
=1 f
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ESTENSIONE:
se la banda del segnale xa(t) è compresa fra
2)1(
2cc fkffk +≤≤ k dispari
si ha assenza di sovrapposizione spettrale delle repliche ( assenza di distorsione spettrale)
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 30
ESTENSIONE:
se la banda del segnale xa(t) è compresa fra
si ha ancora assenza di distorsione spettrale del segnale campionato
k pari2
)1(2
cc fkffk +≤≤
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Per questi tipi di segnali si può campionare alla frequenza fc , senza distorsione
fc da scegliere in modo che la banda del segnale sia compresa fra due multipli interi consecutivi di fc /2
a(t) (nT)x x
T = 1fc
c
T
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Osservazione
Nel caso 1 (k dispari) la replica dello spettro in banda base è invertita rispetto a quella nella banda originaria
Nel caso 2 (k pari) la replica dello spettro in banda base non è invertita rispetto a quella nella banda originaria
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Formula di ricostruzione
f k fc0
2 12 2
=+
)(2cos2)(
2/)()()( 0 nTtf
TntfnTtfsen
nTxtxc
cc
na −
−
−=∑
+∞
−∞=
πππ
frequenza di centro banda
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1
f1
filtro passa-banda ideale
xc(nT) xa(t)
f k fc2 1
2= +( )
f k fc1 2=
f2 f
ovvero
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CAMPIONAMENTO COMPONENTI I E Q
xa(t)
f0 f- f0
BB f≤ 2 0
x t a t f t b t f ta ( ) ( ) cos ( )sen= −2 20 0π π
a(t) componente Ib(t) componente Qa tb t
A fB f
per f B( )( )
( )( )
⇔⇔
⎫⎬⎭≠ ≤0
2
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METODO TRADIZIONALE
a(t)x T
TH(f)
H(f)a(nT)
b(nT)
fc = 1/T = B− 2 2 0sen π f t
H(f) filtro passa-basso f B≤
2
2 2 0cos π f t
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Problemi:• filtri identici nei due rami • moltiplicatori identici (analogici)• sinusoidi esattamente sfasate di 90°
(generate analogicamente)
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METODO CON fC = 4 f0(MOLTO VANTAGGIOSO !)
x nT a nT f nf
b nT f nfc ( ) ( )cos ( )sen= −2
42
400
00
π π
= −a nT n b nT n( )cos ( ) senπ π2 2
[ 1,0,-1,0] [0,1,0,-1]
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 39
a(t)x
fc = 1
T
+ / -
n dispari
+ / -n pari
T
a nT x nTn
c( ) ( ) ( )= −1 2
b nT x nTn
c( ) ( ) ( )= −+
11
2
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
n
n
xa(nT)
a(nT)
n pari
b(nT)
n dispari
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Realizzazione
Si deve convertire il segnale xa(t) ad unafrequenza intermedia f0 e poi campionarlo afc = 4f0
ff2cf0 f = 4fc 0
a(nT) sottosequenza pari a segni alternib(nT) sottosequenza dispari a segni alterni
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Osservazioni
1. I e Q correttamente campionate a
f1
2Tf2 2f Bc
' c0= = = ≥
2. I e Q non allineate temporalmente (mapossono essere allineate con un’operazione diinterpolazione)
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• Generalizzazione (usata in pratica)
fc = 4 f0 / (2k+1) , k intero
fc > 2B
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CAMPIONAMENTO REALE
Due contributi:
1. Aliasing o ripiegamento dello spettro
2. Tempo non istantaneo di campionamento(aperture time del S/H)
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1. Ripiegamento dello Spettro e Filtro di antialiasing
Il filtro di antialiasing limita la banda del segnale in modo da ridurre la distorsione spettraleFiltro di antialiasing = passa basso non ideale
segnale dacampionare
Filtro di antialiasing
a(t)x
T
x (nT)
ft
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Distorsione armonica introdotta dal campionamento
in generale
D (f) 1T
G (f k f ) f f2c
k 0a c
c= − <≠∑
Se verificate le condizioni 1) e 2) di assenza di sovrapposizione spettraleDc (f) = 0Altrimenti D (f) 0c ≠
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 48
SD
Potenza del segnale utilePotenza della distorsione
=
Si può definire un rapporto segnale/distorsione di campionamento
ST
G f dff
ac
= ∫2
0
2/( )
D D f dff
cc
= ∫20
2/( )
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a(t) (nT)x x’c
T
t0
p(t)P f f
f( ) sen
=π τ
π τ
τ1τ
x nT x t dtcnT
nTa
'
/
/( ) ( )= ∫
−
+1
2
2
τ τ
τinvece di xc (nT)
[ ]= ∗ =x t p ta t nT( ) ( )
2. Tempo di campionamento non istantaneo
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Si campiona un segnale con spettro Xa (f) P(f) [invece di Xa (f)]
P(f)
B
Xa(f)
1τ
2τ
f
f
Xc(f)
fc
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Conclusione
Il campionamento di un segnale mediante un impulso di durata non nulla può essere trattato come il campionamento ideale del segnale filtrato dallo spettro dell’impulso di campionamento.
Conclusione valida per qualsiasi P(f)Se effetti trascurabili Altrimenti se ne deve tenere conto
τ << Τ
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OSSERVAZIONE
Questo effetto è più sensibileper il campionamento di segnali in alta frequenza.
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 53
Altrimenti si compensa la distorsione con un filtro con risposta nella banda utile del
segnale del tipo
1P f
ff
f B( ) sen
= ≤π τπ τ
Nel caso di impulso rettangolare lo spettro del segnale campionato viene
distorto da una funzione
P f ff
( ) sen=
π τπ τ
spesso trascurabile se piccolo.τ
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a) prima del campionamento (compensazione analogica)
1
P(f)
xa (t) xc (nT)Campionatore
reale
Filtro analogico(può essere inclusonel filtro di antialiasing)
b) dopo il campionamento (compensazione digitale)
1
P(f)
xa (t) xc (nT)Campionatore
reale
Filtro numerico(è sufficiente nella bandadel segnale di ingresso)
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RICOSTRUZIONE REALE
Conversione digitale - analogica (D/A)
xa’ (t)xc (nT) Formatore
d’impulsiFiltropassa-basso(0 , fc /2)
y(t)
[ ]y t x nT t nT q tn
c( ) ( ) ( ) ( )= ∑ − ∗=−∞
+∞δ
nT nT+T t nT nT+T t
τ
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 57f
f
1τ
2τ
f
| Q(f) |
fc 2fc
ffc 2fc
| Y(f) |
| Xc (f) |
|Xa‘ (f)|
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Distorsione che può essere compensata come nel caso del campionamento non istantaneo
COMPENSAZIONE ANALOGICAIncludere la funzione 1/Q(f) nel filtro analogico passa-basso di ricostruzione
COMPENSAZIONE DIGITALEFar precedere al blocco formatore di impulsi (e quindi al convertitore D/A) un filtro numerico con risposta in frequenza 1/Q(f)
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OSSERVAZIONE
Effetto più sensibile per la ricostruzione di segnali in alta frequenza con filtri passa-banda
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Campionamento Quantizzazione
x(nT)Xa(t)
TQ
segnale segnale( tempo-)continuo
( tempo-)discreto
segnalenumerico o digitale
Due operazioni:
XC(nT)
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Quantizzazione uniformearrotondamento
q 2q 3q
2q
q
3q
q passo di quantizzazione
xc (nT)
x(nT)
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 64
Errore di quantizzazione
e nT x nT x nTc( ) ( ) ( )= −ovvero
x nT x nT e nTc ( ) ( ) ( )= +
e nT q arrotondamento( ) ≤2
0 ≤ <e nT q troncamento( )
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 65
Modello dell’errore di quantizzazione( comunemente assunto)
e(nT): segnale aleatorioindipendente da xc (nT) e quindi da x(nT)
densità di probabilità uniformemente distribuita: es.arrotondamento
2q
−2q
q1
e0
bianco
valor medio: 0 arrotondamentoq/2 troncamento
varianza: σ e q
q
eq
de q2 2
2
221
12= =
−∫
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 66
Densità spettrale di potenza
G f q ovvero G F qe e( ) ( )= =
2 2
12 12
Potenza dell’errore di quantizzazione
N G F dF qq e= =
−∫ 12
12
2
12( )
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 67
Valutazione critica del modello
Controesempi banali di non validità del modello
Es.: - segnale costante- sinusoide con frequenza sottomultipla della frequenza di campionamento
- onda quadra- molti segnali deterministiciecc.
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 68
Si può supporre valido se il segnale èsufficientemente “complicato”: per esempio se da campione a campione attraversa diversi livelli di quantizzazioneed in modo “apparentemente” non deterministicoModello adeguato nella maggior parte dei segnali di interesse
Modello matematicamente trattabile
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 69
Rapporto segnale - rumore di quantizzazione
B bit (compreso il segno): 2B livelli
2 1 22
( )± ⇒ =q BDinamica quantizzatore
(in uscita)
SNR SN
Potenza del segnalePotenza err di quantizzazioneq
q= = =
.
= =S
qS B
22
123 2
/
( ) . .SNR B Sq dB dB= + +6 02 4 77
Ogni bit aggiunto fa aumentare SNRq di 6.02 dB
(dB)
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 70
Segnale sinusoidale (val. max = 1, S=1/2)
( ) . .SNRq dB B= +6 02 1 76
Segnale gaussiano
Semi-Dinamica quantizzatore = =4 4σ S[ { } ]Pr ( ) .ob x nTc > ≅ −4 6 310 5σ
S =1
16
( ) . .SNR Bq dB = −6 02 7 27
(dB)
(dB)
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 71
Esempi numericiSNRq(dB)B usoide gaussianosin
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
2 13 8 4 77
4 25 8 16 8
6 37 9 28 9
8 49 9 40 9
10 62 0 52 9
12 74 0 65 0
14 86 0 77 0
16 98 0 89 0
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 72
Degradazione del rapporto segnale/rumore
QXc (nT) x(nT)
Segnale + rumore Segnale + rumore + err. quantizz.
S , Ni
SNR SN
SNR SN Ni
iuq
i q= =
+( )
S , Ni , Nq
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 73
Ipotesi: rumore ed errore di quantizzazione incorrelati
1 1 1SNR SNR SNRuq i q
= +
degradazione
ΔdB i dB uq dBSNR SNR= −( ) ( )
Dati SNRi e B, si determina ΔdB
Dati SNRi e ΔdB si determina SNRq e quindi B.
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 74
Esempio
Segnale con un dato rapporto segnale-rumore.Possiamo considerare SNRi come “equivalente”ad una ipotetica quantizzazione.
Domanda: quanti bit aggiuntivi rispetto a questa ipotetica quantizzazione devo aggiungere nel quantizzatore per avere una degradazione ?ΔdB
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 75
ΔdB
3 0
1 1
0 27 2
0 067 3
0 016 4
0 004 5
0 001 6
+
+
+
+
+
+
.
.
.
.
.
bit aggiuntivi“rispetto all’ingresso”
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 76
OsservazioneLa codifica dei livelli quantizzati deve essere fatta associando a ciascun livello il numero binario proporzionale al valore (ampiezza) del livello stesso (codifica lineare)
Quantizzazione uniforme + codifica lineare =quantizzazione lineare
L’elaborazione numerica dei segnali richiede una quantizzazione lineare
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 77
Per esempio nella codifica CCITT PCM della voce a 64 kbit/s questo non e’ vero: la quantizzazione è di tipo logaritmico.
Se si deve elaborare il segnale vocale PCM occorre prima transcodificarlo in una quantizzazione lineare
8 bit PCM 13 ÷ 14 bit quant. lineare
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 78
Rappresentazioni binarie più usate
Virgola fissamodulo e segnocomplemento a 2
Virgola mobile
E. Del Re – Elaborazione Numerica dei segnali 79
Caratteristiche delle rappresentazioni binarie
Generalmente in virgola fissa si usa la rappresentazione frazionaria perché non ha traboccamento nelle moltiplicazioni
Virgola fissa frazioni
Virgola fissa interi
Virgola mobile
Traboccam. con moltiplic.
NO SI Improbabile
Traboccam. con somme
SI (spesso ininfluente)
SI Improbabile
Errore nelle moltiplic.
SI NO SI Errore nelle somme
NO NO SI Dinamica moderata moderata enorme
Realizzazione semplice semplice complessa