DIDATTICA DELLA MATEMATICA (III anno - unikore.it · Spesso durante questo corso, parleremo di...

Università degli Studi di Enna “Kore”

CdL in Scienze della Formazione Primaria

DIDATTICA DELLA MATEMATICA (III anno - 66h + 10h Lab)

a.a. 2016/2017

Prof. Benedetto Di Paola

Avvertenza

Tutto ciò che segue viene presentato solo in maniera

schematica come traccia degli argomenti trattati durante il corso.

Riferimenti in letteratura consigliati per l’esame: D'Amore, B., & Sbaragli, S. (2011). Principi di base di Didattica della matematica (pp. 1-116). Pitagora. Fandino Pinilla M.I., Sbaragli S. (2011). Matematica di base per insegnare nella scuola primaria, Bologna: Pitagora. Millán Gasca, A. (2016). Numeri e forme. Didattica della matematica con i bambini, Zanichelli.

Altri riferimenti in letteratura citati in modo diretto o indiretto in questo documento: Angeli A., D�Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica dalla scuola dell�infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora. (riferimento principale) Per approfondire: Materiale didattico in rete sul sito del G.R.I.M. (Gruppo di Ricerca insegnamento/Apprendimento delle Matematiche): http://dipmat.math.unipa.it/~grim/matdit.htm.

Che cosa significa didattica?

Prima di iniziare un percorso che si snoderà tra l�insegnamento e l�apprendimento, è necessario approfondire adeguatamente il significato di questo termine, didattica, così diffuso e dal senso non sempre altrettanto chiaro e delimitato (Pellerey, 1991).

Discuteremo il significato, la portata del termine didattica mediante la presentazione di alcune tra le principali questioni ad esso collegate.

Cfr. Didattica generale e didattiche disciplinari di B. D�Amore e di F. Frabboni (1996).

Esistono le didattiche specifiche (disciplinari)

ed esiste la didattica generale.

Si tratta di due approcci diversi al problema, o forse di due fasi successive: le azioni, le scelte, le posizioni assunte dall�insegnante, così come l�apprendimento da parte dell�allievo, sono certamente riferite alla disciplina insegnata (e appresa); pertanto l�attività didattica e la corrispondente ricerca non possono eludere il riferimento alla materia (Bagni, 2009). Tuttavia le singole didattiche specifiche non procedono separatamente, sulla base di valutazioni, riferimenti e considerazioni completamente indipendenti: esistono questioni che, pur sorgendo da situazioni proprie della singola disciplina, sono generalizzabili e la cui importanza, una volta operata tale generalizzazione, è comune. (Bagni, 2009)

Spesso durante questo corso, parleremo di didattica della Matematica pensando a una didattica specifica senza però dimenticare o negare la piena validità di considerazioni riferite ad una didattica generale. Questo aspetto è infatti particolarmente SIGNIFICATIVO per la scuola dell�Infanzia.

Che cos�è, dunque, la didattica della Matematica? Come possiamo intendere lo studio, la ricerca in didattica della Matematica? Iniziamo a presentare una prima concezione della didattica della Matematica, secondo la quale lo scopo centrale dell�azione e della ricerca didattica è il miglioramento dell�insegnamento…

E� importante utilizzare una varietà di strumenti

di osservazione, di riflessione … di natura teorico/sperimentale

Un possibile indice del corso:

-  L�apprendimento della Matematica: un meccanismo meraviglioso ma complesso; -  La trasposizione didattica;

-  Problem solving e apprendimento;

-  Problem solving e metacognizione;

- Il contratto didattico;

- Ostacoli e apprendimento.

Le Neuroscienze, le Scienze Cognitive dell�educazione sottolineano che se si insegna adeguatamente, il cervello dei nostri alunni è

organizzato per ottenere il meglio delle sue funzioni di base (memoria, attenzione, lettura, il calcolo,

conoscenze dichiarative ecc.).

Ma che cosa significa insegnare adeguatamente?

Vuol dire potenziare le abilità implicate negli apprendimenti in modo adeguato allo sviluppo.

Questo significa che è importate riflettere su come si sviluppano le

varie abilità implicate negli apprendimenti che via via didatticamente si affrontano (D�Amore 1999).

Maestro (dal latino magister, derivato di magis, �più�), chi conosce pienamente una qualche disciplina così da possederla e poterla insegnare agli altri.

Dal Vocabolario della lingua italiana di Aldo Duro, Istituto della Enciclopedia Italiana �Treccani�

Differenza fra Matematica e educazione matematica.

(Chevallard, 1985, Brousseau, 1986, D�Amore, 2001)

Riconoscimento della natura dei concetti

(oggetti) della Matematica e i registri semiotici per le rappresentazioni di

questi. (D�Amore, 2001, Duval 1993, Radford, 2009)

Linguaggio comune e linguaggio

matematico (D�Amore 1993, Laborde, 1982)

La matematica come fatto culturale

(D�Ambrosio 1990)

Approccio neuroscientifico e linguistico

Educazione Matematica e metodologiche didattiche

1

3

4

2

5

Un approccio sistemico: possibile chiave di lettura, interpretazione e previsione di fenomeni di insegnamento/apprendimento in classe.

Sapere

Allievo Insegnante

Sapere Allievo

Sapere Insegnante

Insegnante- Allievo

Situazione Didattica

Allievo Situazione-

Didattica

Sapere Situazione-

Didattica

Insegnante Situazione-

Didattica

Cfr. Chevallard & Joshua, 1982; Chevallard, 1985; D�Amore & Frabboni, 1996, p. 111.

Un approccio sistemico: possibile chiave di lettura, interpretazione e previsione di fenomeni di insegnamento/apprendimento in classe.

Cfr. Chevallard & Joshua, 1982; Chevallard, 1985; D�Amore & Frabboni, 1996, p. 111.

2008 – 998 = ______ ??????

E� possibile che 2=1 ?

Educazione Matematica e metodologie didattiche

La storia e l�epistemologia hanno un duplice scopo, culturale e strumentale. Conoscere il senso della disciplina che insegno mi dà strumenti per valutarne i contenuti, i modi, gli sviluppi, perfino per decidere che cosa conta o no e prevedere i comportamenti dei miei allievi. L�uso strumentale è il più concreto. Conoscere la storia e l�epistemologia della Matematica è un forte indicatore che ci aiuta a capire gli ostacoli che possono incontrare gli allievi, quelli oggettivi, non sempre facilmente identificabili, quelli legati alla stessa disciplina…

Lo strano caso … dello �zero� D’Amore B. (2007). I bambini e lo zero. Come un ostacolo epistemologico si trasforma in ostacolo didattico. In: D�Amore B., Sbaragli S. (eds.) (2007). Allievi, insegnati, sapere: la sfida della didattica della matematica. Atti del Convegno Nazionale: Incontri con la matematica, n° 21. 2-3-4 novembre 2007, Castel San Pietro Terme. Bologna: Pitagora. 83-90.

Zero. Aspetti concettuali e

didattici Bruno D�Amore, Martha I. Fandino Pinilla

Un altro esempio: Lo zero

Un possibile testo di riferimento!

La proposta della RdM è quella di lasciare liberi di esprimere in modo spontaneo, informale, ingenuo ogni concetto matematico che il bambino ha già fin da piccolo, senza bloccarlo, anzi, sfruttando proprio le sue competenze ingenue, informali; e procedere così, con molta oculatezza didattica, facendo in modo che le relative immagini mentali successive si organizzino fino a diventare modelli stabili corretti al momento opportuno, ben organizzati nella mente e coincidenti con il risultato cognitivamente atteso. (D�Amore, 2007)

Sin dai primi anni di scuola primaria …

Il rapporto con la Matematica

L�atteggiamento...verso la Didattica della Matematica

Il tema di Giacomo (prima media)

(Cfr. Zan, 2006)

(Zan, 2006)

�Io e la matematica�: la �vostra� storia …

… alcune riflessioni


Il rapporto con la matematica definito come positivo, di sfida, di rispetto, difficile, tormentato, di paura, negativo, di indifferenza, di odio, ecc. Mediazione dell�insegnate ma anche la propria visione della disciplina come disciplina definita in più casi come astratta e spesso arida. Un rapporto che si è modificato in positivo o in negativo nel tempo, in funzione delle metodologie didattiche proposte in classe dall�insegnate (disponibilità ai chiarimenti, uso di materiali concreti/tecnologici … esercizi ripetitivi, troppa astrazione e formalismo ecc.)

Volendo schematizzare i risultati ottenuti in Ricerca, sembra che le argomentazioni riportate si possano sintetizzare nello studio del processo di matematizzazione tipico nell�individuo. Come sottolineato in molti dei �vostri� elaborati, si ha inizialmente una natura intuitiva, si prosegue poi attraverso un pensiero analitico e riflessivo sino ad arrivare al conseguimento del concetto matematico stesso.

Rapportando questo processo alla vita scolastica dello studente si ha quindi che la fase intuitiva iniziale concerne la scuola dell�infanzia e in parte il primo ciclo della primaria, mentre una fase più astratta e riflessiva caratterizza il pensiero matematico del bambino nei successivi anni scolastici.


I problemi psicologici connessi alla formazione dei concetti e quindi alla relativa didattica sono complessi e fanno capo ai processi mentali che compongono la concettualizzazione in generale. In particolare dagli studi della Psicologia generica piagetiana sappiamo che l�attività concettuale ha inizio con il processo di percezione, quelli di discriminazione, di generalizzazione, di astrazione, sino al processo di verbalizzazione tramite il quale il processo viene denominato.


Un esempio: il calcolo del volume

L�esperienza dei sacchi di Galileo Galilei sui due cilindri ottenuti da un avvolgimento di un foglio di carta per il lato

lungo o quello largo.

Sin dalla scuola dell�infanzia

Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell�infanzia e del primo ciclo d�istruzione (2012)


Sin dalla scuola dell�infanzia

Attivare la connessione tra mente in sviluppo e contenuti organizzati nel contesto educativo proprio della scuola dell�Infanzia significa entrare in un ordine di considerazioni del tutto particolare rispetto a quelle implicate dall�attivazione dello stesso rapporto nei gradi scolastici successivi.

Non si tratta di trasmissione delle conoscenze, né di apprendimenti relativi ad elementi del sapere codificati dalle varie discipline.

Il riferimento ai contenuti… in chiave PROTODISCIPLINARE e quindi nel caso della Matematica, il contenuto di riferimento è la PROTOMATEMATICA

PROTOMATEMATICA: prima ancora di essere quell�insieme di nozioni concettuali concernenti i NUMERI, le OPERAZIONI, le FIGURE GEOEMTRICHE, le FORMULE ecc. la Matematica è un modo di rapportarsi nei confronti dei dati della realtà, di organizzare il pensiero e le attività complesse che possono essere sottese.

Parlare della mente in sviluppo riferendoci alla fascia di età propria della scuola dell�Infanzia, significa riferirsi a tutti quei processi cognitivi che attivano la costruzione dei concetti e che perciò hanno tanta rilevanza nella vita intellettuale dell�individuo e ne condizionano la sua successiva capacità di concettualizzazione.

Ciò che risulta importante allora dal punto di vista evolutivo del bambino (sin dalla scuola dell�Infanzia) non è tanto promuovere apprendimenti di concetti bensì capacità che essi sottendono, cioè le forme intuitive dei concetti stessi definiti in termini di PROTOCONCETTI.

Un possibile esempio: Concetto di �percorribilità�. Protoconcetto di percorribilità come idea intuitiva di percorribilità posseduto dall�adulto. Può esser acquisito da un bambino di 3-6 anni attraverso opportune attività topologiche che comportano mentalmente un processo di sviluppo ed estensione delle capacità di orientamento e direzionalità dello spazio.

Geometria Aritmetica Probabilità e Statistica

TEMI E COMPETENZE RELATIVE AI CAMPI DI ESPERIENZA

L�attenzione si concentra sulla PROTOMATEMATICA introducendo i bambini ad alcuni concetti matematici di base che già dovrebbero essere interiorizzati nell�ambito familiare, e che comunque devono poi essere valutati e analizzati in modo più selettivo durante il periodo scolastico successivo.

•ESSERE PARTE DI UN TUTTO; •ESSERE COMPONENTE (ELEMENTO) DI UN INSIEME; •ESSERE SOGGETTI A MODIFICHE SPAZIO-TEMPORALI: TEMPO – AZIONI – MOVIMENTO;

Geometria Aritmetica Probabilità e Statistica

Spazio - Ordine - Misura

Spazio, Ordine, Misura

Parole-chiave per indicare la Matematica non come disciplina a sé stante, avulsa da un contesto reale, ma come �campo di esperienza�. La Matematica è una forma di conoscenza che si può rintracciare e scoprire in molte attività dell�uomo, pratiche o anche solo linguistiche.

Come sottolineato in precedenza, nel bambino il processo di costruzione delle fondamentali conoscenze e competenze matematiche inizia in modo informale ed è segnato dall�ambiente di appartenenza e dalla comunicazione familiare e sociale; gradualmente si sviluppa sempre più in modo formale e sistematico via via che l�esperienza scolastica avanza.

E� intorno ai tre anni che il bambino esprime le prime intuizioni numeriche, come valutazioni approssimate della quantità del contare oggetti e nel confrontare grandezze. Incomincia inoltre ad avvertire, esprimendole linguisticamente, alcune collocazioni spaziali e a riconoscere alcune proprietà comuni degli oggetti.

Verso i sei anni, operando in modo concreto, è in grado di contare oggetti, persone, cose; ordinarle per grandezza, lunghezza, altezza; di classificare per forma, colore, spessore, superficie; di localizzare le persone nello spazio; di rappresentare percorsi e di eseguirli, anche su semplice consegna verbale.

La costruzione delle competenze relative a questo campo, nella scuola dell�infanzia, si riferisce, come detto allo spazio, all�ordine e alla misura in un approccio basato sulla strutturazione di schemi per immagini e per forme linguistiche dell�esperienza diretta, percettiva o interattiva, guidata e sostenuta dalla comunicazione interpersonale. Tutto ciò in un contesto vivo e sollecitante, in cui il gioco è visto come la modalità di azione che permette, da una parte l�arricchimento dell�esperienza e, dall�altra guida, a una sua riorganizzazione tramite la riflessione, il gioco stesso favorisce.

Il �fare� nelle diverse situazioni, è sempre correlato con il porsi domande, con lo scoprire connessioni, con il provare strategie, con il darsi spiegazioni, con il fantasticare e il capire meglio.

Lo spazio, nella mente del bambino, deve passare dalla percezione alla rappresentazione e diventare così un sistema di riferimento omogeneo, reversibile e quindi concettualizzato. Lo spazio vissuto, pian piano lascia il posto allo spazio rappresentato. Questo passaggio diventa la trama sulla quale t e s s e r e g l i i n c o n t r i c h e i l b a m b i n o f a quotidianamente con gli ambienti, il terreno sul quale può essere guidato a riconoscere ed usare in modo corretto il lessico specifico che accompagna tutte le attività psicomotorie, il veicolo efficace per la costruzione e la ristrutturazione della rappresentazione mentale.

Lo spazio, infine, deve iniziare ad essere considerato come un insieme di coordinate costruite sulla base di convenzioni condivise, che progressivamente esclude il ruolo del proprio corpo, quale punto di riferimento unico e basilare.

Dobbiamo guardare i bambini, osservarli, rispettarli, lasciare loro ampi spazi creativi di manovra, non ottunderli, non offenderli nella loro intelligenza in

evoluzione ed in espansione (D�Amore, 2009).

Così come per lo spazio, anche le occasioni di approccio alla misurazione e alla matematizzazione della realtà, sin nella scuola dell�infanzia sono sempre presenti in ogni momento della giornata scolastica e le attività di routine sono una fonte inesauribile di stimoli. -l�osservazione e la costruzione di calendari scolastici, -la turnazione e la distribuzione degli incarichi personali, - l�osservazione e la registrazione del tempo meteorologico, - l�organizzazione dei momenti di gioco libero e di riordino di materiali, -l�uso di canzoncine e la recitazione di filastrocche e conte …

Giocare è in molti casi già fare Matematica!

In grande misura ed in moltissimi esempi giocare è l´esplicitazione, la realizzazione pratica di un�attività razionale. Specie nei giochi di strategia, il comportamento dell�individuo deve seguire regole (e dunque l�individuo deve saper distinguere se la mossa che intende eseguire rientra o no tra quelle ammesse: dal generale al particolare); ma deve anche perseguire un obiettivo e dunque programmare le proprie scelte in modo consapevole, coerente e consono allo scopo; Il giocatore che gioca ad un gioco di strategia deve cercare di vincere, deve quindi tener conto delle possibili scelte dell�avversario.

Tutto ciò è Matematica di alto livello, almeno come atteggiamento.

La corsa al 20

Scopo del gioco: raggiungere per prima il numero 20 aggiungendo 1 o 2 al numero detto

precedentemente �dall�avversario�.

Giocare è in molti casi già fare Matematica!!

§  Sc. Dell�Infanzia

§  Sc. Primaria

§  Sc. Secondaria I° grado

Aspetti della Didattica della Matematica

CONTESTI SIGNIFICATIVI STRUMENTI MATEMATICI

PERCEPISCE RELAZIONI RAPPRESENTAZIONI ADEGUATE

PROCESSO RISOLUTIVO COSTRUZIONE DI MODELLI

INCERTEZZA QUANTIFICAZIONE

Un �percorso� verticale è possibile!


Problemi … Complessi ??

Un altro esempio: Il concetto di frazione


Problem solving … risultati esatti … Contratto ddattico

!!!!

!!!!


La semiotica come framework teorico

Evidenze sperimentali …

il concetto di frazione





????



Evidenze sperimentali

… il concetto di frazione

!!!!

!!!!

!!!!





????


Sintassi e semantica: il simbolo

=


Domanda: Secondo te, i rettangoli riportati di

seguito sono tutti divisi in 4 parti rispettivamente

uguali? Perché …

Insegnamento e apprendimento delle

frazioni in aula. Ricerche, prospettive ed esperienze

Martha I. Fandino Pinilla (Autore), George Santi (Autore), Silvia Sbaragli (Autore)

Un altro esempio: Il concetto di frazione Un possibile testo di

riferimento!

ESEMPI DI TRASPOSIZIONE DIDATTICA DELLE FRAZIONI

Gioco delle costruzioni, libero o strutturato Esempio 1: Gioco delle costruzioni, libero o strutturato è un�attività profondamente matematica, legata ad accostamenti di pezzi, a progettazione preliminare (con dichiarazione esplicita) di quel che si vuole ottenere. L�apparato linguistico messo in moto è interessante: «Metto il tetto rosso sopra al quadrato blu» non contiene solo le parole �matematiche�: �tetto� (che sta per triangolo) e �quadrato�, ma molte altre: • sopra • tetto-rosso, che distingue da tetti - di - altro - colore • idem per quadrato-blu

Qualche esempio alla SdI:

Gioco delle costruzioni, libero o strutturato •  sequenzialità: c�è un implicito ordine nel quale far avvenire la costruzione; per mettere A su B, occorre già in qualche modo aver situato B. La parola �sopra�, insieme a tante altre della lingua italiana, è assai più ricca di profondi sensi matematici di quanto appaia a prima vista. Essa assume diversi significati a seconda dei contesti e delle situazioni. Interessante può essere poi analizzare la coppia di termini in opposizione sopra-sotto, perché allora si capisce bene il senso relazionale: A è sopra rispetto a B; e dunque B è sotto A; ma se cambio la situazione, A può andare sotto ... Come allenamento si possono facilmente ideare situazioni concrete che realizzino queste esperienze.

In definitiva: molte parole della lingua italiana possiedono, nella loro semantica, forti valenze matematiche che vanno esplorate.


Il racconto di un�esperienza

Esempio 2: Il racconto di un�esperienza, sia con linguaggio verbale, sia con altre forme linguistiche non verbali sembra una attività spontanea e naturale ma, in realtà, comporta l�organizzazione di una sequenza, la scelta di elementi chiave (significativi) della narrazione; ed in esso è adombrata la capacità di astrarre dal contesto reale, per estraniarsi come soggetto, vedersi con gli occhi dell�ascoltatore, scegliere per lui quegli elementi-chiave, riorganizzarli, proporli (sequenza, causa-effetto, ordine ecc.).


Simbolizzazione

Esempio 3: In moltissime scuole dell�infanzia italiane e straniere è d�uso ormai normale che ogni bambino abbia un simbolo che lo rappresenti, disegnato su un cartellino. A volte c�è addirittura il nome scritto del bambino in oggetto; altre volte c�è una figura che ha a che vedere con il bambino (una stella, un cavallo, un personaggio dei cartoni ecc.), Dietro questa accettazione del simbolo che sta ad indicare un bambino c�è un po� di Matematica Intanto c�è la necessità di accettare questo accordo (simbolismo matematico vero e proprio introdotto solo per convenzione, per semplice patto reciproco, ma esplicito).


E poi c�è l�accordo vero e proprio: Un bambino potrebbe preferire come simbolo una sedia; ma anche se l�insegnante lo accontenta, Marco ha capito che sarebbe la stessa cosa, da un punto di vista simbolico, essere rappresentato da stella, cavallo o sedia? La sedia potrebbe proporla l�insegnante perché Marco è sempre stanco e si vuol sempre sedere … Ma allora il simbolismo cambia totalmente aspetto!

Perché una corona circolare rossa in campo bianco significa: �divieto di transito nei due sensi di marcia�, mentre la figura di un trenino nero in campo triangolare bianco significa: �attenzione: passaggio a livello incustodito�?

I due simboli sono profondamente diversi.

Simbolizzazione


Perché + dovrebbe rappresentare meglio l�addizione che non il simbolo × usato invece per la moltiplicazione? Perché in Italia usiamo : per la divisione, mentre in molti altri Paesi del mondo si scrive ÷ ? Si tratta, come si vede, di puri accordi che devono essere espliciti proprio per la loro natura! Un altro esempio sull�uso della virgola e del punto: noi scriviamo 7,5 per dire sette e mezzo (come numero e non come ora), laddove molti Paesi scrivono 7.5; noi scriviamo 1.000.000 per scrivere un milione, laddove molti Paesi scrivono 1,000,000.

Se uno non sa queste cose, rischia ... abbagli colossali.

Simbolizzazione


Intervenire nell�ambiente per modificarlo e dunque progettare, eseguire, verificare, discutere

Esempio 4: I casi, in questo campo, possono essere molteplici e tra loro diversissimi; per esempio, la riorganizzazione dei mobili della sezione: - Quell�armadio lo spostiamo laggiù. - Ma lì c�è il tavolo. - Bene, allora dove possiamo mettere il tavolo?

Tutto ciò prima di eseguire davvero gli spostamenti, solo per pianificare il lavoro. Altro esempio di argomentazioni:

- Credo che questo tappo galleggi. Perché? - Perché è leggero. - Sono le cose leggere che galleggiano? - Sì. - Allora questo sassolino galleggia perché è leggero; e questo piattone affonderà perché è molto più pesante del sassolino. - Sì.


- Bene, proviamo. Provare, verificare, sono parole magiche. Abbiamo sentito e letto più e più volte che il criterio per il galleggiamento è la leggerezza. Eppure basta prendere una pietra anche piccola e leggera e confrontarla con una nave da carico, per capire che il criterio è del tutto errato!

Provare, sperimentare, verificare, sono parole d�ordine di una didattica consapevole ed intelligente.

Intervenire nell�ambiente per modificarlo e dunque progettare, eseguire, verificare, discutere

La magia del cognitivo matematico (D�Amore, 2011; Angeli A., D�Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E., 2011)


Esempio 5: Due bambini si trovano da parti opposte di un paravento ma fanno parte della stessa squadra; uno dei due ha in mano un oggetto e deve descriverlo all�altro a parole; il primo vincerà un punto se la sua descrizione sarà stata così buona da far giungere il secondo a capire di che cosa si tratta (ovviamente il primo bambino non può dire il nome dell�oggetto, altrimenti perde il punto). A questo punto una coppia di bambini della squadra avversaria deve fare la stessa cosa. Bambini ed insegnanti assistono al gioco.

Sembra facile descrivere un oggetto a parole ma … quante competenze linguistiche possono venir fuori per comunicare!

Descrizione e comunicazione


Un altro gioco dello stesso tipo può essere quello di far descrivere a parole un disegno per far sì che un bambino lo ri-disegni. • il bambino A esce dall�aula ed i suoi compagni rimasti in aula inventano un disegno di tipo geometrico; • ora A viene richiamato in classe e va alla lavagna; i bambini in coro o uno alla volta devono descrivere la figura a parole, dando ordini verbali per farla ridisegnare. Questo tipo di gioco può essere significativo non solo nella scuola dell�infanzia o nella scuola primaria ma anche nella scuola secondaria inferiore. I ragazzi giocando hanno perfettamente capito alla fine dell�esperienza

come funziona e a che cosa serve il linguaggio della matematica, così preciso e specifico.

Descrizione e comunicazione


Nel campo della Matematica (o, se si preferisce, nel campo di esperienza Spazio-Ordine-Misura) sembra essere assai più importante il formarsi di solidi modelli mentali profondi corretti, anche se generali, piuttosto che apprendimenti formali che non sfociano in vere e proprie costruzioni. Ciò che pian piano stiamo affrontando durante q u e s t o c o r s o s o n o t u t t e q u e l l e a t t i v i t à �matematiche� che si compiono normalmente nella scuola dell�infanzia e che possono essere adatte a favorire la formazione di corretti modelli mentali nel mondo della Matematica.

Esempio 6: bambini ed insegnante escono a fare una passeggiata ma, questa volta, c�è uno scopo ben preciso: man mano che proseguono, devono indicare ai compagni tutti i numeri scritti che vedono. Un�attività all�apparenza banale e che attira invece moltissimo i bambini. Essi vedranno numeri sulle targhe delle auto, sui cartelloni pubblicitari, accanto alle porte delle case, sul telefono del bar, ...; vedranno cifre di forma diversa, di colore diverso, di grandezza diversa, ... Arrivati a scuola, potranno proseguire il gioco: ciascuno deve disegnare i numeri che ricorda. Non solo, ma il gioco prosegue a casa: ogni bambino deve farsi aiutare dai genitori a rintracciare numeri sulle riviste, biglietti dei cinema, etichette di bottiglia, … Si farà poi un gran cartellone con i numeri raccolti per scoprire come il mondo sia pieno di numeri!

Il gioco della caccia al �numero�


Esempio 7: La struttura numerica della conta dei numeri Naturali dipende dunque dall�àmbito. Nel corso del triennio fra i 3 ed i 6 anni, il calendario acquista importanza sempre maggiore. Curioso il fatto che, mentre in mille altre attività numeriche la numerazione prosegue indisturbata, nel caso del calendario la numerazione ha però un massimo: 31 (e talvolta neppure quello). Non esiste il 32 Gennaio; eppure, bambini della scuola primaria, si confondono. Alla richiesta: Giovanni inizia le vacanze di Pasqua il 27 marzo e sta a casa 6 giorni; che giorno ritorna a scuola? Molti bambini rispondono «il 33 Marzo».

Il numero nel calendario


Esempio 8: In relazione all�esempio N.7 o ad altre situazioni di gioco già discusse nei giorni scorsi, gli insegnanti potranno far argomentare i bambini sui numeri che hanno scoperto in ambienti diversi e discutere con loro sulle risposte diverse (stimoli diversi) che ottengono.

Il gioco del numero più grande


Esempio 9: i giochi nel campo della probabilità, campo di esperienza di forte presa emotiva, possono essere molto significativi per bambini di scuola dell�infanzia. L��attesa� di un risultato condiziona fortemente la capacità razionale di ragionare su quel che è lecito attendersi. Uno dei principali obiettivi è linguistico. Si ritiene normalmente che i bambini anche piccoli sappiano ben distinguere tra evento �certo�, �impossibile�, �possibile�, ma nella realtà non è così. La lingua, poi, non aiuta affatto! Per esempio, �certo�, a volte, vuol dire: �razionalmente possibile ma, in base alla mia fortuna, senza discussione�. Non ci si deve limitare a prendere per buone le risposte orali dei bambini, tanto più se nell�àmbito solo di una discussione; si devono osservare i comportamenti e ridiscuterli con i bambini.

I numeri della probabilità


Attività ben congegnate in questo campo sono formidabili veicoli di modelli mentali acuti e profondi, di grande presa emotiva. Si può arrivare, come testimoniano moltissime esperienze condotte di ricerca a far apprezzare sensibilmente che esistono vari �gradi�, vari �livelli� di probabilità. Per esempio, dopo opportuna esperienza concreta, se ad un bambino di 5 anni viene presentato un dado che ha 4 facce rosse e 2 verdi e gli si chiede di �puntare� (in forma adeguata) su rosso o su verde, si può stare sicuri che egli punterà sul rosso (questo è solo un esempio, ma Possono essercene tanti altri altrettanto significativi). A nostro avviso il campo della probabilità qualitativa (senza calcoli, se non paragoni) offre spunti notevolissimi per la formazione di competenze profonde.

I numeri della probabilità


Esempio 10: in larga misura, ciò significa: orientamento, padronanza di sistemi di rappresentazione. Si tratta, per esempio, di giocare al Gioco degli automi. Un bambino funge da automa: egli è senza volontà ed esegue automaticamente quel che un altro bambino gli ordina di fare (ma poi i ruoli si scambiano). Con ordini opportuni l�automa deve compiere certi percorsi. Di solito, come abbiamo detto anche in precedenza, si privilegiano sistemi di tipo polare, nei quali si danno indicazioni nelle quali appare un polo, una direzione ed una distanza, del tipo: Ruota verso la finestra e avanza di sei passi. Il bambino-automa gira su sé stesso fino a vedere davanti a sé la finestra e, a questo punto, avanza di 6 passi. Poi riceverà nuovi ordini.

Organizzazione dello spazio: il gioco degli automi


Fatto il gioco concretamente, si può passare (cosa che si può proporre alla scuola primaria) a plastici e dunque ad attività sempre concrete, ma su modelli. Per esempio c�è una battaglia in corso e si danno ordini al cannone: - Ruota verso la finestra e spara di tre palmi. Nella scuola primaria l�ordine potrebbe essere poi: - Ruota di 60 gradi e spara di 350 metri. Questo dopo aver stabilito di comune accordo il verso antiorario e di far uso di una certa scala; uso di goniometro e scala rendono molto ricca, da un punto di vista matematico, l�attività. Come ribadito anche in precedenza, accettare una forma di controllo razionale-linguistico dello spazio, tanto da arrivare ad organizzarlo sotto forma di coordinate, è un�attività di grandissimo livello. Essa forma modelli mentali ampi e di grande rilievo: lo spazio è fuori di me, ma io ne faccio parte; le cose sono organizzate nello spazio e rispondono a domande del tipo: dove? Lo spazio è misurabile ed io posso misurarlo.

Organizzazione dello spazio: il gioco degli automi


Esempio 11 per questo tipo di attività sarebbe scorretto parlare di attività logiche �matematiche��(la Logica matematica è una disciplina universitaria), né di attività logiche �formali�� (la �logica formale� è fuori dalla portata dei bambini). Si potrebbe dire: uso razionale della lingua, con la conseguente consapevolezza che la lingua si gestisce in modi diversi. Per esempio, due giochi si possono pensare l�uno come l�opposto dell�altro: • data una raccolta di oggetti vari, si stabilisce una proprietà e si raccolgono quegli oggetti della raccolta che hanno quella data proprietà. • data una raccolta (piccola) di oggetti prelevati da un�altra raccolta (grande), cercare di capire qual è la proprietà, il criterio in base al quale è stata selezionata.

Attività logiche


Si tratta di un gioco molto praticato che però va proposto in un contesto opportuno, perché non si trasformi in un esercizio noioso, sterile e stupido, cioè senza uno scopo significativo. Si tratta di un�attività formidabile. Che tipo di consapevolezza si dà? Che: cambiando la proprietà, pur conservando la raccolta (grande), si cambia la raccolta (piccola) che ne deriva. Dunque, la lingua è uno strumento: le parole selezionano l�ambiente. Ciascuno di noi può essere l�artefice del risultato; le parole non si possono usare a vanvera, ma vanno predisposte all�uso. Si tratta di un vero e proprio progetto logico/linguistico. Un modello significativo di come funziona la lingua.

Attività logiche


Esempio 12: nel campo della Geometria ci sono idee-base ciascuna delle quali è adatta a fungere da esempio per la costruzione di opportuni modelli. Così, nel campo della misura. Mettendo insieme le due cose, un esempio convincente è il seguente: arrivare a far capire nel profondo che il numero che esprime la misura di qualche cosa dipende dall�unità di misurazione. La caraffa dell�acqua misura 10 se si usa il bicchiere come unità, ma misura 25 se, come unità, si usa la tazzina. La misura è la stessa, ma il numero che la esprime no!

Esperienze di misura


Tutti gli esempi mostrati sono tutti modelli particolari su qualcosa di specifico. Sarebbe bene trovare una teoria generale, un modo di �comportarsi� in generale da parte dell�educatore, per favorire una buona costruzione di singoli modelli adeguati alle circostanze.

Caratteri generali dei processi di insegnamento-apprendimento della Matematica

dalla scuola dell�Infanzia alla scuola Primaria

Quale deve essere l�atteggiamento razionale che l�educatore deve assumere?

Quello del favorire una buona costruzione di

modelli mentali adeguati alle singole circostanze?

Nel bambino c�è o no consapevolezza?

Se non c�è, è perché non può esserci? O ci sono altri motivi?

Dagli esempi proposti, dovrebbe risultare chiaro che l�atteggiamento generale dell�educatore in Matematica, specie (ma non solo) nell�àmbito della scuola dell�infanzia, è principalmente un atteggiamento di disponibilità a mettere in discussione i propri convincimenti, accettando di prendere in esame le proposte razionali del bambino.

Come abbiamo già sottolineato più volte, nel campo di esperienza Spazio-Ordine-Misura sembra essere assai più importante il formarsi di solidi modelli mentali profondi corretti, anche se generali, piuttosto che apprendimenti formali che non sfociano in vere e proprie costruzioni. Ma… farsi un modello mentale è una cosa, ma produrlo all�esterno, cioè mostrarlo a qualcuno, è tutt�altro! Occorre saper sfruttare l�esperienza, ed essere consapevoli

dell�esistenza di quella che gli psicologi chiamano la conoscenza tacita che, spesso, è difficile da esprimere a

parole; occorre (inglobando tutti gli altri) saper �tradurre� una sensazione (il modello interno) in una produzione

esterna che gli altri possano comprendere.

Possibilità di definire competenze generali e specifiche per la matematica

Da una scuola fondata sulle conoscenze a una scuola

centrata sulle competenze!

Come si definisce una competenza?

Quale il suo ruolo nell'azione didattica?

Quali competenze per la Matematica?

Conoscenza e Competenza

M. Pellerey, Insegnare religione, nn. 1-2-3/2007

Indicazioni per il curricolo per la scuola dell�Infanzia e per il

primo ciclo d�istruzione

Regolamento dell'obbligo di istruzione (DM 139/07)

per il primo biennio del secondo ciclo

«capacità di utilizzare le conoscenze acquisite» Curricolo della

scuola di base, 2001 De Mauro

Raccomandazioni per la scuola primaria, diffuse informalmente nel 2003 per il progetto Moratti

«l'insieme delle buone capacità potenziali portate al miglior compimento nelle particolari situazioni date».

«le competenze sviluppate nell'ambito delle singole discipline (primo ciclo)/campi di esperienza (infanzia) concorrono a loro volta alla promozione di competenze più ampie e trasversali, che rappresentano una condizione essenziale per la piena realizzazione personale e per la partecipazione attiva alla vita sociale, nella misura in cui sono orientate ai valori della convivenza civile e del bene comune». Non è presente una definizione formale di Competenza

«indicano la comprovata capacità di usare conoscenze, abilità e capacità personali, sociali e/o metodologiche, in situazioni di lavoro o di studio e nello sviluppo professionale e/o personale; le competenze sono descritte in termini di responsabilità e autonomia». Cfr. Quadro Europeo delle Qualifiche e dei Titoli (2006)


Raccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio d'Europa (2006): otto "competenze chiave" per l'apprendimento permanente.

«combinazione di conoscenze, abilità e attitudini adeguate per affrontare una situazione particolare».

Esse «Contribuiscono alla realizzazione personale, all'inclusione sociale,

alla cittadinanza attiva e all'occupazione». Competenze chiave sono:

-comunicazione nella madrelingua, -comunicazione nelle lingue straniere,

-competenza matematica -competenze di base in scienza e tecnologia,

-competenza digitale, -imparare a imparare,

-competenze interpersonali, interculturali e sociali e -competenza civica, imprenditorialità, espressione culturale.

Nel Regolamento dell'obbligo vengono poi tradotte in: imparare ad imparare, progettare,

comunicare, collaborare e partecipare, agire in modo autonomo e responsabile, risolvere problemi, individuare collegamenti e relazioni, acquisire ed interpretare

l'informazione.


La competenza matematica si riconosce quando un individuo vede, interpreta e si comporta nel mondo in un senso matematico. L�atteggiamento analitico o sintetico, con il quale alcune persone affrontano situazioni problematiche, è un esempio di questo tipo di competenza. Ci sono buoni risolutori di problemi che possono riconoscere e risolvere situazioni problematiche; il che, viceversa, a volte, non è facile da evidenziare in persone che trattano bene, per esempio, algoritmi. Aspetti come il gusto e la valorizzazione della Matematica, sono alcuni degli aspetti utili per orientare il raggiungimento della competenza matematica.


B. D'Amore e alli Competenze in Matematica, 2003 UMI 2003

Riccardo Cantoral: il Sapere è l�azione deliberata per fare con la conoscenza un oggetto utile di fronte ad una situazione problematica. Dal che si deduce che l�Apprendimento è una manifestazione dell�evoluzione della conoscenza in sapere. L�apprendimento consiste dunque nel dare la risposta corretta prima della situazione concreta". Definizione espressa a proposito del dibattito su che cosa significhi davvero sapere


Un contenuto è una porzione limitata di sapere, ristretta ad un certo ambito e limitata ad un certo soggetto, un certo tema specifico, un certo elemento di tale sapere. Contenuto disciplinare, metadisciplinare, multidisciplinare, interdisciplinare, non disciplinare… Una conoscenza è, allo stesso tempo: la capacità di rielaborare contenuti in modo autonomo per raggiungere una mèta e il risultato di tale elaborazione. Una conoscenza può coinvolgere uno o più contenuti. La competenza è concetto complesso e dinamico: si tratta infatti dell'insieme di due componenti: uso e padronanza anche elaborativi, interpretativi e creativi, di conoscenze che collegano contenuti diversi. Questo uso e questa padronanza non sono però l'unica espressione della competenza; la competenza racchiude in sé fattori meta-conoscitivi come l'accettazione dello stimolo a farne uso, il desiderio di farlo, il desiderio di completare le conoscenze e quindi lo stesso desiderio di aumentare la propria competenza. La capacità è l'espressione specifica (esterna) di carattere attuativo di ogni singola competenza.


Per quel che riguarda i nuclei fondanti, voglio qui citarne tre, a mio avviso trasversali ad ogni ciclo scolastico: la misura, la �dimostrazione� e i problemi. Il nucleo misura può consentire sviluppi importanti nel rendere concreti i concetti di numero e spazio, fondamentali per l'avvio e la formazione del pensiero matematico. Il nucleo dimostrazione caratterizza, invece, la cultura matematica matura dell�allievo e consente di avviare alla comprensione della razionalità del pensiero matematico. Risolvere e porsi problemi sono poi attività che giocano un ruolo fondamentale nella costruzione e nello sviluppo della matematica e che consentono di attivare negli studenti risorse intellettuali nell'accezione più ampia del termine, contribuendo, in tal modo, al conseguimento di una formazione di base solida e significativa.

(Cfr. O. Robutti 2000, D. Paola, 2001)

Una loro critica individuazione in termini di competenze e conoscenze può comportare l'opportunità di cambiamenti rilevanti nell'insegnamento-apprendimento della matematica in generale e, nello specifico, nella trattazione di argomenti correlati al pensiero aritmetico, geometrico e algebrico.


�Più che di sistema di insegnamento-apprendimento, si tratta soprattutto di un complesso sistema di azioni, di gioco ecc., nelle quali lo studente accetta il suo ruolo non solo di ripetitore passivo di quanto gli è stato insegnato, ma di attore protagonista della costruzione.

A questo va aggiunto,…, l'educazione all'assunzione di responsabilità apprenditiva, di sfida, di valutazione quasi autonoma dei risultati raggiunti�


Teoria delle Situazioni di Brousseau

Dagli anni �70 l�insegnamento della Matematica ha subito un costante sviluppo; in consonanza con l�insegnamento in generale, l�attenzione si è s p o s t a t a d a l l � i n s e g n a r e , a l l � i m p a r a r e , dall�insegnante quindi all�allievo. Come facce di una stessa medaglia! Nel considerare la terna SAPERE-ALLIEVO-INSEGNANTE (S.A.I.) si è posta allora sempre più attenzione al la relazione al l ievo–sapere (conoscenze da imparare). La ricerca in didattica della Matematica, ha ricevuto in questo senso da Guy Brousseau e il suo gruppo di ricerca operante a Bordeaux uno stimolo fondamentale.


La teoria didattica creata si propone, da una parte di capire e spiegare con chiarezza i processi che si verificano nei fenomeni di

insegnamento/apprendimento della Matematica

d�altra parte, di fornire agli insegnanti e ai ricercatori uno strumento per progettare e realizzare un insegnamento efficace e quindi identificare una serie di situazioni di apprendimento che possano permettere all�allievo di imparare quasi senza interventi didattici da parte del docente.

Concetti principali della TSD:

la distinzione tra situazione didattica e situazione a-didattica

•  le situazioni di azione, formulazione, validazione, l�istituzionalizzazione,

•  la situazione fondamentale rispetto a una conoscenza matematica,

•  l�ambiente del compito (milieu), il processo di devoluzione,

il contratto didattico, •  gli ostacoli all�apprendimento

(epistemologici, psicologici, didattici).


Cfr. Anna Sierpinska, Lectures: Theory of Situations


Una situazione è detta didattica quando è espresso in modo esplicito l�obbiettivo didattico che si vuole raggiungere e quindi insegnante ed allievi giocano, per così dire, �allo scoperto�: l�insegnante dichiara qual è lo scopo cognitivo da raggiungere, il sapere da conquistare; l�allievo lo sa e mette in atto tutte le sue strategie non tanto per apprendere quel che l�insegnante vuole fargli apprendere, quanto per dimostrare all�insegnante di aver appreso, dunque per ottenere la gratificazione prevista. (Su questo aspetto dovremo riflettere riprendendo quanto detto sul �contratto didattico�).

Una situazione è detta a-didattica quando solo l�insegnante ha in mente l�obiettivo didattico da perseguire, mentre l�allievo non sa neppure se questo esista. La proposta effettuata da parte dell�insegnante non è esplicitamente didattica; lo studente affronta un�attività che lo coinvolge, ma non sa se vi siano finalità cognitive o meno e, nel caso vi siano, quali esse siano.


Un possibile esempio: Mettiamoci in questa situazione: l�insegnante sa che gli studenti hanno già raggiunto una certa padronanza consapevole dell�addizione e vuol cominciare ad introdurre la sottrazione. Non vuole semplicemente insegnarla (come sarebbe in una situazione didattica, proponendola direttamente, presentandola, nominandola, dandone regole, caratteristiche, proprietà, facendo svolgere esercizi,...); vuole che gli studenti la costruiscano da sé tacendo l�obbiettivo e invitandoli a fare qualche cosa che li coinvolga personalmente in una sfida cognitiva (situazione a-didattica).

Propone allora un gioco, il gioco della �Corsa al 7� come �semplificazione� del gioco visto in

precedenza.

Teoria delle Situazioni di Brousseau La �Corsa al 7� Come accennato nelle lezioni precedenti, ipotizzando questo gioco con i bambini, si può pensare che giocando un po� a caso, all�inizio, i bambini arrivino a fare un ragionamento strategico che farà capo da un contare alla rovescia, a sottrarre invece che ad addizionare. In questo esempio di situazione a-didattica i bambini hanno costruito una conoscenza, quella auspicata dall�insegnante, anche se solo in un caso ben delimitato.

Bambini di prima primaria riescono a riconoscere la strategia vincente (ci sono evidenze sperimentali su questo). I bambini di SdI non sempre. Come detto nelle lezioni precedenti, in seconda Primaria, in funzione della risposta dei bambini agli stimoli loro proposti, si può gradualmente passare poi alla �Corsa al 20� e discutere con loro la strategia vincente, analoga al caso del 7 ma più complessa da analizzare.


La �Corsa al 7� Il bambino che ha fatto la scoperta la comunica all�insegnante ed ai compagni; la scoperta viene messa in discussione, lo scopritore la difende dagli ovvii attacchi degli scettici, fino a che c�è un�accettazione generale di essa (viene cioè fatta una verifica e, se la scoperta resiste a tutti gli attacchi, avviene la sua validazione). A questo punto l�insegnante deve sancire, per così dire, tale scoperta; meglio, deve istituzionalizzarla: accetta cioè la scoperta dell�allievo, socialmente messa in discussione e validata, l�approva, la fa diventare competenza della classe, le dà un nome e decide che essa è �spendibile� come nuova conoscenza all�interno dell�aula.

Essa fa, cioè, parte delle competenze ufficiali, del �sapere appreso�, parte del �sapere�.


Se spesso, come ribadito più volte, nelle situazioni didattiche, il contratto didattico gioca un ruolo determinante che inibisce, blocca, la costruzione dell�apprendimento, nelle situazioni a-didattiche l�insegnante tenta sempre la devoluzione, cioè tenta di affidare agli allievi la responsabilità della costruzione della conoscenza di un certo sapere, suggerendo (implicitamente) loro di implicarsi personalmente nella costruzione, per esempio giocando ad un gioco (l�importante è far sì che gli studenti accettino la consegna). La conseguente proposta di uno studente che scopre, che costruisce una conoscenza, è di fatto l�espressione della rottura del contratto didattico: d�altra parte, solo rompendo il contratto ci può essere costruzione della conoscenza.


L�idea di �istituzionalizzazione della conoscenza� spiega qual è il ruolo dell�insegnante. E� un �mediatore� tra la conoscenza spontanea (quella costruita grazie all�implicazione personale) e la conoscenza istituzionalmente accettata, colui che sancisce quali delle scoperte, delle costruzioni fatte dagli allievi siano accettabili come conoscenze spendibili in aula e quali no. Il ruolo dell�insegnante è quindi estremamente diverso nella situazione a-didattica piuttosto che nella situazione didattica: in quest�ultima, semplicemente, l�insegnante esplicita le conoscenze, le detta, le elenca, le nomina, le impone: • chi sa replicarle, usarle, ripeterle è un buon studente, • chi non lo sa fare, di conseguenza, non lo è.

Una situazione semplice, ma fallimentare, come dimostra la storia dell�apprendimento matematico!!

Esistono delle specificità per: contratto didattico, trasposizione didattica, devoluzione, … nella SdI?

Certamente non esistono situazioni del tutto didattiche, nella SdI; ma le situazioni che si creano, sono davvero a-didattiche

nel senso detto? O esistono altre possibili situazioni più specifiche?

L�insegnante della SdI ha sempre in mente obbiettivi

cognitivi, quando propone attività? E come sancisce, se la sancisce, la conoscenza costruita? O le cose avvengono in altri

termini?


•  Nella SdI l�insegnante non è visto come il valutatore, colui cioè che dovrà dare un giudizio di merito (il voto, la nota, la valutazione, il giudizio, etc.), tanto atteso in famiglia e per questo capace di condizionare il rapporto tra allievo e sapere; • Non ci sono specifiche attese cognitive, in generale; e dunque non c�è posta cognitiva esplicita in gioco; • Lo studente di SdI può mettere in gioco con molta maggior facilità le proprie competenze, assunte e costruite fuori dal mondo della scuola, con una certa sicurezza del fatto che esse verranno accettate se l�insegnante sarà disposto/a ad ascoltare le proposte dell�allievo; questo fatto in genere non capita spesso a partire dalla scuola primaria: i contenuti degli interventi degli studenti, da un certo momento in poi, dovranno essere circoscritti agli argomenti stabiliti dall�insegnante, trattati in quel momento. (Baldisserri et al., 1993)

Su questi aspetti torneremo più avanti parlando di classe di SdI come micro-società



Un altro termine che abbiamo usato senza però darne una definizione esplicita (quando abbiamo parlato dello zero) è il termine OSTACOLO. Abbiamo accennato a come nella ricerca in didattica si faccia oramai riferimento diffuso ai cosiddetti �ostacoli� che si frappongono alla costruzione della conoscenza: ostacoli ontogenetici, didattici, epistemologici.


Un ostacolo è detto ontogenetico se dipende da obbiettive situazioni genetiche, per esempio legate all�età, alle capacità, ...; Per esempio, è inutile tentare di far costruire il concetto di dimostrazione matematica a bambini di 7 anni; l�ostacolo ontogenetico, legato all�immaturità concettuale e critica, è troppo forte, a causa principalmente dell�età;


Un ostacolo è detto didattico se dipende da scelte didattiche che stanno a monte. Riprendendo l�esempio fatto in precedenza, l�insegnante ha fatto di tutto in seconda primaria per spiegare che la moltiplicazione è un�operazione che aumenta il valore di ciascuno dei due fattori, ed i suoi studenti hanno perfettamente capito la cosa. «Se faccio 4×5 ottengo un numero che è maggiore sia di 4 sia di 5»; proprio il successo di questo �apprendimento�, però, costituirà un ostacolo didattico al momento in cui l�insegnante, in terza primaria o poco dopo, tenterà di spiegare come funziona la moltiplicazione 4×0,5, visto che il risultato sarà più piccolo di uno dei fattori (4×0,5=2 e 2 è più piccolo di 4).

Questo ostacolo a volte si manifesta molto dopo, addirittura nella scuola superiore o all�Università.


Un ostacolo è detto epistemologico se dipende dalla natura stessa del concetto che si vuol far apprendere; per esempio, la storia insegna quanto tempo è stato necessario per convincere l�umanità (e gli stessi matematici!) che il prodotto di due numeri negativi è positivo (per esempio (-3) × (-5) = +15). La difficoltà della costruzione consapevole di questo apprendimento, che si verifica in ogni scuola di ogni Paese del mondo, dimostra che all�interno di questo concetto si cela un ostacolo specifico, ìnsito nel concetto stesso.

http://www.ripmat.it/mate/b/ba/psegni.html

Un approfondimento … la regola dei segni

�Giustificazioni� fantasiose!


?

Concetti principali della TSD:

la distinzione tra situazione didattica e situazione a-didattica

•  le situazioni di azione, formulazione, validazione, l�istituzionalizzazione,

•  la situazione fondamentale rispetto a una conoscenza matematica,

•  l�ambiente del compito (milieu), il processo di devoluzione,

il contratto didattico, •  gli ostacoli all�apprendimento

(epistemologici, psicologici, didattici).


Cfr. Anna Sierpinska, Lectures: Theory of Situations

Un altro esempio: Area e Perimetro

Per ulteriori approfondimenti cfr. D�Amore B., Fandiño Pinilla M.I. (2005)


Uno degli aspetti più difficili relativi all�apprendimento della Matematica riguarda la problematica della rappresentazione dei concetti e degli �oggetti� della Matematica.

Semplificando quanto discusso dalla ricerca, si potrebbe dire che: sia dato un certo oggetto e supponiamo che una persona voglia rappresentarlo; per fare ciò, dovrà sceglierne certe caratteristiche; la scelta delle caratteristiche è un fatto personale e, di fronte allo stesso oggetto, persone diverse possono sceglierne come significative caratteristiche diverse e dunque potremmo avere rappresentazioni diverse dello stesso oggetto.


Una rappresentazione dell�oggetto in questione viene necessariamente fatta dentro un certo registro semiotico (per esempio: in lingua naturale, oppure con un bozzetto, o con uno schema, o con una figura, o con una fotografia, …). Gli esempi discussi fino ad ora durante il corso evidenziano alcuni possibili registri semiotici utilizzabili alla SdI, alla SP e non solo.


Si tratta quindi di una rappresentazione semiotica (cioè fatta per mezzo di segni) in un certo registro semiotico scelto (Duval, 1994, 1997). A questo punto, la stessa persona potrebbe passare ad una rappresentazione diversa, ma dentro lo stesso registro semiotico (per esempio, passare da una descrizione fatta a parole, ad una descrizione scritta, ammettendo che il registro �lingua naturale� sia lo stesso).

Questo è quel che si chiama una trasformazione di trattamento.


Trasformazione di trattamento.


Oppure la persona potrebbe passare ad un�altra rappresentazione ma dentro un registro semiotico diverso (per esempio, passare da una descrizione fatta a parole ad un bozzetto disegnato, cioè passare dal registro semiotico �lingua naturale� al registro semiotico �disegno�).

Questa è quel che si chiama una trasformazione di conversione.


Trasformazione di conversione.


Attività di questo genere sono molto presenti nella SdI perché costituiscono occasione di discussione, di costruzione cognitiva e linguistica. Ma quando l�oggetto di cui si sta parlando è un �oggetto�matematico, la cosa si complica perché gli �oggetti� matematici, nella realtà empirica, concreta, non esistono).


Scegliere tratti distintivi lo è ancora di più! Rappresentare, trattare e convertire è a maggior ragione di grande complessità e, di fatto, tale complessità sembra inibire le capacità matematiche degli individui adulti (es. relazioni tra Aritmetica e Algebra o nella Dimostrazione geometrica e il simbolismo algebrico).


Ecco perché per la ricerca sembra dunque di grande interesse iniziare a studiare questo genere di problematiche ad un livello di età minimo, proprio a partire dalla SdI. I bambini come si immaginano gli �oggetti� matematici, come li rappresentano?, come li trattano?, li convertono spontaneamente?

Riflettere, come futuri insegnanti, su questi aspetti potrebbe dare molti spunti per una didattica specifica

e concreta, provando ad evitare, se possibile, insuccessi, almeno quelli dovuti a questi fattori.

Proposte di attività nella SdI - SP

Il framework della mediazione

semiotica

Cfr. Prog. Per Contare, 2012

Il framework della mediazione

semiotica

Cfr. Bartolini Bussi, 2008

Il bambino sa organizzare

strategie

Chiunque abbia giocato con un bambino della SdI avrà notato la facilità con la quale il bambino si approccia ai giochi di strategia riuscendo a �spiegare� che cosa sta facendo.

Un altro esempio: Bartolini Bussi, 2011

L�abaco ed il pensiero

Aritmetico

http://www.youtube.com/watch?v=t0ekmsC6ZII

http://www.youtube.com/watch?v=s6-g3aAY4_Y

http://www.youtube.com/watch?v=adsOJm26va0

L�abaco ed il pensiero

Aritmetico

Nel Medioevo in Europa alla parola abaco si attribuiva solitamente il significato di aritmetica in senso generale: a riprova di questo vi è il titolo di un importantissimo libro di Fibonacci: Liber abbaci, pubblicato nel 1202. Anche presso i popoli orientali erano in uso attrezzi simili: in Cina sono stati ritrovati abachi risalenti al VI secolo a.C., che utilizzavano come calcoli bastoncini di bambù.

Il geopiano ed il pensiero

Geometrico Il geopiano è uno strumento didattico ideato dal matematico pedagogista inglese Caleb Gattegno. Tale artefatto è costituito da una tavoletta di legno sulla quale è disegnato un reticolato i cui nodi sono messi in evidenza con dei chiodini Esistono tanti tipi di geopiano in relazione al numero dei chiodi: -  quello a 9: permette di creare tutti i tipi di quadrilateri: quadrati, rombi, parallelogrammi; -  quello a 16 chiodi: qui possiamo illustrare il teorema di Pitagora. -  quello a 25 chiodi: si costruiscono molti angoli, introdurre i concetti di simmetria assiale e area delle figure poligonali.

Esiste anche quello a 121 chiodi!

Angeli A., D�Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica dalla scuola dell�infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora.

Altri esempi di situazioni didattiche

per la SdI Didattica laboratoriale SdI:

Filastrocche e favole che danno i numeri

Problem solving e Didattica laboratoriale alla SP

Problemi senza testo

Inventa un problema

Problem solving e Didattica laboratoriale alla SP

La Matematica come fatto culturale, la SdI e la SP in Cina

Cfr. Bartolini Bussi, I servizi per l�infanzia cinesi, Idee e Questioni , 2011

USA - standard NCTM (2000) Cina - programmi MOE (2004) Attività prevalentemente individuali o di

piccolo gruppo Attività prevalentemente individuali o di

grande gruppo (classe)

Apprendimento per scoperta Apprendimento per imitazione (insegnamento diretto)

Uso continuo dei materiali (anche nelle scuole secondarie)

Uso dei materiali solo nei primi anni della scuola primaria come accesso all'astrazione

Importanza limitata del calcolo mentale Grande importanza del calcolo mentale

Importanza limitata di schemi e formule Enfasi sull'insegnamento di schemi risolutivi di situazioni problematiche



Cfr. Bartolini Bussi, I servizi per l�infanzia cinesi, Idee e Questioni , 2011

http://www.erickson.it/erickson/product.do?id=2450 M. G. Bartolini Bussi Culture lontane come risorsa: La Cina


Di Paola B. (2012), Processi cognitivi e soluzioni di problemi matematici con studenti italiani e cinesi .

Convegno Castel San Pietro Terme (BO), Convegno Nazionale Incontri con la Matematica

La Didattica della Matematica: insegnamento e apprendimento a confronto

3-6 year


Titolo: �L�orso Baobao e le dita della mano�àEsercizio di Ripasso

1 - Conta quante dita ci sono in ogni figura.

2 - Disegna in ogni quadrato lo stesso numero di cerchi.

Da: �You�er qimeng shuxue �� (Introduzione allo studio della Matematica per bambini), �Haha xiang xue shuxue� (2 sui) �� (2 �) (L�elefantino Haha impara la matematica - 2 anni), 1998, p.119

Cfr. www.crocusproject.net


You�er qimeng shuxue ��, �Youyou shu xue shuxue� (3 sui) �� (3�) (Il topo Youyou impara la matematica - 3 anni), 1998, p.19

Titolo: �Il libro del drago Dudu��àEsercizio di allineamento

1- Il drago Dudu non ha finito il disegno e si è addormentato.

2- Per favore, aiutalo. Unisci i numeri secondo la sequenza, potrai vedere quale figura voleva disegnare. Questo esercizio sottintende che già a 3 anni i bambini cinesi conoscano l�ordine dei numeri dall�uno al cinque e che li sappiano �leggere�.



Titolo: �L�orso Baobao cuoce le uova��à esercizio di sottrazione

1 - L�orso Baobao ha 5 uova, ne cucina 3, quante gliene rimangono?

2 - Disegna quelle rimanenti nella casella vuota. You�er qimeng shuxue ��, �Dudu long xue shuxue� (4 sui) �� (4 �) (Il drago Dudu impara la matematica - 4 anni), 1998, p.129



Esercizi proposti già all�ultimo anno della scuola materna

�Il drago Dudu sa contare��à Esercizio di ripasso

1-In accordo con la sequenza numerica da 1 a 40, riempi le caselle vuote con i numeri giusti.

You’er qimeng shuxue ,

“Baobao xiong xue shuxue” (5 sui) (5�) (L’orso Baobao

impara la matematica - 5 anni), 1998,pp.129 Cfr. www.crocusproject.net


•  Titolo: Il piccolo vaso con i f i o r i à E s e r c i z i o d i combinazione/addizione

•  1- Quanti fiori hanno il gatto Mi e il topo Youyou?

•  2- E facendo la somma dei fiori dei due personaggi, in tutto quanti fiori ci sono?

•  Tenendo conto dei numeri corretti, riempi le caselle vuote.

You’er qimeng shuxue , “Baobao xiong xue shuxue” (5 sui)

(5�) ( L’orso Baobao impara la matematica-5 anni), 1998, p. 139

Esercizi proposti già all�ultimo anno della scuola materna Cfr. www.crocusproject.net


Scuola dell� infanzia: 5 anni



Scuola dell� infanzia:

5 anni

Problemi con variazione!



La variazione cinese in contesti diversi! I libri di testo della SP cinese


Tutti coloro che si occupano di insegnamento dovrebbero ricordare continuamente l'antico motto latino «ludendo docere», cioè «insegnare divertendo». Se si riesce infatti a inserire l'aspetto del «gioco» (nel senso dell'«interesse») eccitando così le motivazioni individuali e accendendo i cervelli, si riesce a moltiplicare in modo altissimo l'efficienza dell'informazione, dell'insegnamento, della comunicazione. Perché l'interessato «ci sta». È stimolato, partecipa, ricorda. E impara.

Piero Angela, La macchina per pensare, 1983

Alcuni riferimenti bibliografici 1/6 Aglì F., D�Amore B. (1995). L�educazione matematica nella scuola dell�infanzia, lo spazio, l�ordine, la misura. Milano: Juvenilia. Angeli A., D�Amore B., Di Nunzio M., Fascinelli E. (2011). La matematica dalla scuola dell�infanzia alla scuola primaria. Bologna: Pitagora. Arrigo G., Sbaragli S. (2004). I solidi. Roma: Carocci. Bagni G.T. (2004b). Storia della matematica in classe: scelte epistemologiche e didattiche. La matematica e la sua didattica. Bagni GT., D�Amore B. (2005). Epistemologia, sociologia, semiotica: la prospettiva socio-culturale. La matematica e la sua didattica. Brousseu G. (2008). Ingegneria didattica ed epistemologia della matematica. Bologna: Pitagora. Brousseau G., D�Amore B. (2008). I tentativi di trasformare analisi di carattere meta in attività didattica. Dall�empirico al didattico. In: D�Amore B., Sbaragli F. (eds.) (2008). Didattica della matematica e azioni d�aula. Atti del XXII Convegno Nazionale: Incontri con la matematica. Castel San Pietro Terme, 7-8-9 novembre 2008. Bologna: Pitagora. 3-14. Bartolini Bussi M. G. (2008). Matematica: I numeri e lo spazio, Bergamo: Edizioni Junior. Bartolini Bussi M. G., Mariotti M. A. (2009). Mediazione semiotica nella didattica della matematica: artefatti e segni nella tradizione di Vygotskij, in L�Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 32 A-B, pp. 270-294.

Bartolini Bussi M. G. & Boni M. (2011 a), Numeri: una ricca raccolta di percorsi didattici sui numeri, inserto centrale in Scuola materna per l�educazione dell�infanzia, 11, pp. i-xxiv. Bartolini Bussi M. G., Canalini R. & Ferri F. (2011 b), Towards cultural analysis of content: problems with variation in primary school, in J. Novotna e H. Moraovà (eds.), Proceedings of the International Symposium on Elementary Maths Teaching, pp. 9-21, Prague: SEMT 11. Bartolini Bussi M.G. (2011 c)., I servizi per l�infanzia cinese, Idee e Questioni, Bambini Bolondi, G., Orlandoni, A., Storai, F., & Bolonfi, G. (2012). Geometria con la LIM nella scuola secondaria di primo grado. Edizioni Erickson. Chevallard Y. (1985). Transposition Didactique du Savoir Savant au Savoir Enseigné. Grenoble: La Pensée Sauvage Éditions. Chevallard, Y. & Joshua, M.-A. (1982), Un exemple d’analyse de la transposition didactique: la notion de distance: Recherches en didactique des mathématiques, 3, 1, 159-239. Cottino L., Sbaragli S, (2005). Le diverse �facce� del cubo. Roma: Carocci. www.dm.unibo.it/rsddm D�Amore, B. (1999), Elementi di didattica della matematica, Pitagora, Bologna. D�Amore B. (2011). Alcune riflessioni su didattica, concetto, competenza, schema, situazione. Bollettino dei docenti di matematica. [Bellinzona, Svizzera]. 63, 19-26.

Alcuni riferimenti bibliografici 2/6

D�Amore, B. & Frabboni, F. (1996), Didattica generale e didattiche disciplinari, Angeli, Milano. D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I. (2001). Concepts et objets mathématiques. In: Gagatsis A. (ed.) (2001). Learning in Mathematics and Sciences and Educational Technology. Vol. 1. Nicosia: Intercollege Press. 111-130. D�Amore B, Fandino Pinilla M.I.. Gabellini G., Mrazzani I., Masi F., Sbaragli S. (2004). Infanzia e matematica. Didattica della matematica nella scuola dell�infanzia. Bologna: Pitagora. D�Amore B. (2007). I bambini e lo zero. Come un ostacolo epistemologico si trasforma in ostacolo didattico. In: D�Amore B., Sbaragli S. (eds.) (2007). Allievi, insegnati, sapere: la sfida della didattica della matematica. Atti del Convegno Nazionale: Incontri con la matematica, n° 21. 2-3-4 novembre 2007, Castel San Pietro Terme. Bologna: Pitagora. 83-90. D�Amore B. (2011). Frasi illuminanti di studenti e di docenti in 40 anni di ricerca. In: D�Amore B., Sbaragli S. (Eds.) (2011). Un quarto di secolo al servizio della didattica della matematica. Atti del Convegno �Incontri con la matematica�, n. 25, Castel San Pietro terme (Bo). Bologna: Pitagora. ISBN: 88-371-1849-X. Pagg. 15-20. De Lorenzi D., Omodeo M. (1994), A scuola con Xiaolin, E.C.P. Di Paola B., Manno G., Scimone A., Sortino C. (2007). La Geometria, una guida ai suoi contenuti e alla sua didattica. Editore Palumbo, Palermo


Duval, R. (1994), Les représentations graphiques: fonctionnement et conditions de leur apprentissage: Actes de la Quarantesixieme Rencountre Internationale de la CIEAEM. Fandiño Pinilla M. I. (2008). Molteplici aspetti dell�apprendimento della matematica. Trento: Erickson. [Versione in lingua spagnola, 2010, Bogotà: Magisterio). Gallagher, J. (1991). Prospective and practicing secondary school science teachers’ knowledge and beliefs about the philosophy of science. Science Education, 75, 121-133. Pellerey, M. (1991), Apprendere a pensare matematicamente: Resnick, L.B. & Ford, W.W., Psicologia della matematica e apprendimento scolastico, SEI, Torino Piaget, J. (1980), Experiments in contradictions, Chicago, The University of Chicago Press. Polya, G. (1971), La scoperta matematica, I-II, Feltrinelli, Milano. Polya, G. (1983), Come risolvere i problemi di matematica, Feltrinelli, Milano (edizione originale: 1945). Ramploud, A., Di Paola, B. (2012), Taking a look at chinese pedagogy in shuxue [mathematics]: a dialogue between cultures to approach arithmetic at first and second italian primary classes, CERME 8 Proceedings Sbaragli S. (1997). Esperienze di geometria per la scuola dell�infanzia: giochi sul foglio di gomma. Infanzia. 5, 37-41.


Sbaragli S. (2002). Nel mondo quotidiano dei poliedri. La Vita Scolastica. Area Matematica. 15, 44-48. Scimone A., Spagnolo F. (2005). Argomentrare e Congetturare nella scuola primaria e dell�infanzia, Palumbo, Palermo. Seife C. (2000). Zero. The Biography of a Dangerous Idea. Città: Viking Penguin, [Trad italiana 2002: Zero. La storia di un�idea pericolosa. Torino: Bollati Boringhieri] Vergnaud G. (1990), La théorie des champs conceptuels. Recherches en didactiques des mathématiques, 10, 133-169. [Trad. it. di F. Speranza in: La matematica e la sua didattica, 1, 1992, 4-19]. Vigotskij, L.S. (1987), Il processo cognitivo, Boringhieri, Torino (edizione originale: 1978). Weil, A. (1980), History of mathematics: why and how, Letho, O. (a cura di), Proceedings of International Congress of Mathematicians, Helsinki 1978, I, 227-236. Wittman, E. (1981), The complementary roles of intuitive and reflective thinking in mathematics teaching: Educational studies in mathametics, 12, 3, 389-397. Zan R. (2006). Io e la matematica: una, cento, mille storie, Intervento di Rosetta Zan, �Le lezioni di P.I.S.A.�, Torino, 17 marzo 2006.


Il Progetto Matematica nella scuola

primaria, percorsi per apprendere.

Strumento pensato per la

formazione iniziale ed in servizio degli insegnanti di primaria, come strumento al servizio della scuola

militante.


Prof. Benedetto Di Paola

DIDATTICA DELLA MATEMATICA (III anno - unikore.it · Spesso durante questo corso, parleremo di...

Documents

Transcript of DIDATTICA DELLA MATEMATICA (III anno - unikore.it · Spesso durante questo corso, parleremo di...