Determinazione in graude delle soluzioni di un'equazione di tipo misto della dinamica dei gas in funzione dei valori

assunti sulla Iinea parabolica.

l~femoria di ROBERTO COI, TTI C a ~irenze).

Sunto. - Si etudia l'equa,.ione lineare

- ~(~7~ - ~ , ~ ) ( ~ + vq~) ---- 0,

(co** ~z~o~m) di ripe e~ittieo nel oerchio O l ( u ~ + v z ~ ) , iperbolieo nella corona circolare C~, ~ (~e ~ u ~ .+. v~ ~ ~m) , parabolico sulle cireonferen~e r~(u~ + v*- ~--~-~o~), F~(u~ + v ~ ~---- rn~m). Si dimostra eke ~e soluzioni della (A) in C~ +- P~ 4- C~, ~ so,co deter. minate univocamente dai valori asst~nti sulla circonferenza ri la quale ~ completamente interna aI dominie in cui le soluzioni stesse vengono determinate. 8i fa astrazione, natnralmenle~ dall 'analitieit~ dei dati e delle solu~ioni.

L a (A) ~ unlequazione eke i~terviene nella dinamica dei gas. II metodo tenure per la (A) viene poi applicato ad un'altra equazione di ripe misto.

l . Int roduzione. Nel presente lavoro studieremo un'equazione l iueare alle derivate parziali

del 2 ° ordine di ripe misto le eui soluzioni in un eerie dominie (') sono determinate univocamente dai valori assegnati su di una eerta eireonferenza completamente interna al dominie stesso e lyrescindendo dall'analiticit~ sia dei dati che delle soluzioni.

Gli uniei studi a noi noti in eui ~ trattato questo fenomeno si riferiseono appunto al ease analitico (2) 0ppure a quello in cui la l inea portante i dati

interna soltanto in par te al dominie in cui viene determinata Ia soluzione (s).

(~) Pe r soluzione in n n dominie D (insieme aperto ed in t e rnamente connesso) di un 'equa- zione l ineare alle d. p. del 2 ° ordihe in tendiamo u n a funzionv, cont inua in D e suUa fron. t iera F D di D~ dotata di der ivate pr ime e seconde soddisfacenti 1' equazione eonsiderata e cont inue in D. I n u n punto di F D la soluzione si dirh regolare se in que l ,punto esistono cont inue le der ivate dette ed ivi soddisfano l ' equazione.

(~) Cfr. ~[. GEVREY 1 S**r la r~ature analytique des solutions des dquations aux ddriv~es partielles, Ier ~[~m., ¢ Ann . Ee. Norm. "1 (3), 35, (1918), pp. 129-180; p. 186.

C a) Gfr. MAI~IA OIBRARIO (OINQUn~I), Sull'analiticitd~ degli integrali di atcune equazioni gel primo ripe mieto, qs. , A n n a l i , , (4~)~ 191 (1940), pp. 52.79; Interne ad una equazione lineare alle derivate parziaZi del seeondo ordine di ripe misto iperbolico ellittico, ¢ Ann. Scuola Norm. Sup. P isa , , (2), 3, (i934), pp. 255-286; Ted. ~nche • Rend. L inee i ~I (67, 191 (1934), pp. 615-619.

236 R. CONT,: Ddcrminaz ione in grande dd le sohtzioni di un'equaz~one eva

Ind icando con u. v le coordinate variabili , con ~ - - ~ (u, v) ta funzione incogni ta e con 6) e, ¢o~ delle costanti,

2 6) 2 ~ Om 7

l ' equaz ione qui eonsiderata b la

~ ( 6 ) % - 6)~v~ (A) ( 6 ) ~ - 6)~u ~ ~o,~v ) + , , , , - - 2(6)~ ~ ~ - - ~o,~)uv+~.~ + - , , ) ,~u ) ~ . -

- - 2 ( 6 ) ~ - ~ o , . ) ( ~ + ~ + v ~ o ) = o .

Essendo il d i se r iminante di ques ta dato da

se si pone

C1: O ~ u~ + v ~ < 6)~ /

2 C1, ~ : 6)~ ~ u ~ + v ~ ~ ¢o,,~

C~_ : ~)~ < u e + v ~,

ta (k) r isul ta di t ipo ellitt ico in Ci e C~, parabolico su r i e r~, iperbolico

in C 4 , ~ . Scri t ta l ' equaz ione differenziale delle curve carat ter is t iche della (A) in

coordinate polari si vede (') che tali curve, reali in C,,~, sono le epicicloidi di I~ ehe inv i tuppano P~. Questa secondu linen parabol ica non in terverrh tu t tavia nel seguito del lavoro.

Noi p roveremo il TEORE~A I . - Se f(0) ~ u n a funz ione periodica, di periodo 2r:, def ini ta

per ogni 0 reale, do ta ta di der iva ta q u a r t a soddisfacente u n a condizione di L ipschi l z d i ordine a (0 ~ a ~ 1), allora esiste u n a ed u n a sola soluzione del la (k)

(4) Cfr. ad es. (}. LORIA. C~rve piano speciali, vol. I I °, iMilano, 1930), p. 110; oppure l~. COURANT - K . '0. FRIEDRICHS, Supersonic flow and shock waves, (New York, 1948)

pp. 259-266.

R. CoN~: Dv¢erminaz~one in grande de lle soluzioni di un'equazione, evv. 237

nel dominie C l + Fl-+-C4, ~ la quale sia eguale alla f(0) nei punti di F~. (tg 0 = v/u) .

Proveremo inoltre ehe il problema eonsistente nel determinare le solu- zioni in C~-+-F~-t-C~, ~ mediante i valori assegnati su r~ ~ << eorret tamente posto ~, ossia, adottando il linguaggio funzionale in use in questioni del genere {~), dimostreremo il

TEORE~ II. - Se F{0), f,0) sono due funeioni definite per ogni 0 reale, periodivhe, di periodo 2% entrambe dotate di derivata quarta soddisfacente una condizione di Lipschitz di ordine % e s e t F {u, v), ~ {u, v) sono le corrispOndenti soluzioni della (A) in C~ -t- r , ÷ C~, ~, allora si pub determinate un interne del quarto ordine della f in mode ehe se F vi appartien~, la t~ appartiene ad un prefissato interne del primo ordine della tp.

I mezzi di cut ei serviremo per p ro ra te i due teoremi sono i seguent i : i) lo studio di << soluzioni elementari >> in C~ e della soluzione ottenuta

da questa << per sovrapposizione ~ ;

it) l 'applieazione di noti risultati relativi alla serie di FOURIEa di una funzione f(0} periodiea, di periodo 2~:;

iii} lo studio della soluzione in C~, 2 corrispondente a dati iniziali (di CAucH¥) opportunamente assegnati sulla F~.

Le soluzioni di cut in i) sono state considerate, in sos~anza, da A. C~A- PL¥(~I~ in una Memoria apparsa nel 1904 negli Annali Seientifici dell' Uni- versit/~ di Mosca (~); noi faremo gli adat tamenti n e e e s s a r i ai nostri scopi.

Per lo studio delle soluzioni in C~,~, di cut in iii), faremo inveee rieorso ad un nostro lavoro comparso di recente in questi Annati (7}.

La "(A)i~ un 'equazione ehe si ineontra nello studio di un mote piano, stazionario, isentropieo, irrotazionaIe di un gas perfet to; in tal ease u, v indioano le componenti della veloeith secondo gli assi di un r iferimento cartesiano ortogonale, e la , ~ - - ~ {u, v) rappresenta la funzione di corrente.

Detto pot y il rapporto fra il ealore specifieo a v o l u m e costante del gas considerate e quello a pressione eostante, e dette P0, ~ la pressione e la densiti~, net punti in cut la veloeiti~ b nulla, le due eostanti ~ , ¢o,,~ ehe

(~) Cfr. ad es. J. ]~ADAI~ARD, Le probl~me de Cauehy et les dquations aux d$rivdes partielles lindaires hyperboliques, (Paris, 1932)~ p. 41 e segg.

Sia f(x) una funzione dotata di deriva~a ~'-ma in u n certo in terval lo (a, b); si dice in te rne de l l ' o rd ine r di f l ' i n s i eme di tut te le funzioni F{x) dotate in (a~ b) di der ivata r -ma , ta l i the ciascuna delle differenze [ f - - E [ , [ f ' -- /~" [, I f" - - 2"" I, ' " , [ f~r,__ F(r~ [ r isul t i i n (a, b) minore di un 8 > 0 assegnato.

(s) Di tale Memoria esiste una t raduzione ingles e di ]Yl. H. SLUD, dat titolo On Gas Jets, presso la B ro wn U n i v e r s i t y di Providence , R. I., (19~t4); a questa ei r i fer iamo nel seguito.

(7) R. CONTI, Sul problema di Cauchy per l 'equazione y2~k'~(x, y ) Z x x - Zyy : . : f(x, y, z, zx, Zy), con i dati sul la l inea parabolica, qs. ,, A n n a l i 2, {4), 31, (1950), pp. 303-.~26.

238 1%. CONT,: Determinazlvne in grande dc~e soluzioni di uu'equazior~e eec.

appaiono nella (A), sono definite reed/ante le

2 7 p° ~ 2"/ p~ (1) ~u - - ~,~ = , y + l ~0' 7 - 1 ~0

2 e poich~ y ~ 1, ~ anche 6 ~ o~,~, come appunto si ~ supposto. La ~) viene a rappresentare il modulo della veloeit~ di propagazione del

suono del gas e Y~ suol dirsi pereib la ~ linea son/ca ~ del piano u, v (piano odografo), C~ la (( regione subsonica % C~, ~ la ¢ regione supersonica ~ (~).

Ci auguriamo ehe i r isultati del presente lavoro possano essere di qual- ehe utilit'~ helle applicazioni.

Comunque, dal punto di vista anal/t/co, r i teniamo the il metodo tenuto sia suscettibile anche di altre applicazioni. Ci6 ~ eonfermato dal n. 8 dove i r isultat i o~tenuti per la (A) vengono estesi all' equazione

la quale ~ ell / i t /ca per u '~+ v ~ ~ , paraboliea per u ~ + v ~ - - ~ , iperbolica per ~o ~ ~ u ~ -+- vL

2. Le funz ion i di Chaplygin. Posto

(2) ~o = ~I~<o,~.

[quindi, per le (1), % - - ( y - 1)/(y + 1)], eonsideriamo per ogni n > 0 le fun- zion/ di CHAPLYGIN (9)

(3) c o n

(4)

z,,(':) - - (':/%)'Y,,/Yn, o , 0 ~ z ~ %, n > 0

y,, = F ( ~ . , ~,,, 2~ + 1 ", ~),

y, , ,o = F(~ , , , ~,,, 2 , ~ ÷ 1 ; ~°)

dove F ~ la serie ipergeometr iea di GAuss, con le eostanti ~. , ~., definite dalle

(5) ~, + ~,~ --- 2n - - ~; a,,~, = - - ~n(2n ÷ 1),

(6 ) 13 - - ( i /c0 - - 1)/2

[quindi, per le (I), ~ ~ ~ 1 / (~ . - 1)]. La z,,(~) e la z . ' ( z ) ~ dz,/d~ sono funs/on/ nulle per : ~ 0 e positive per

0 ~ ' : ~ %; la ~n(z) b quindi ereseente in tale intervallo e raggiunge il valore mass/too, eio~ uno, per z - % tC~APL~I~ , pp. 18, 19).

(s) P e r la l e t t e ra tu ra su l l ' a rgomento r inv iamo all 'op. 'ci t , di R. COURANT- K. O. FRIEDRICHS. (~) LaY. ti t . , Cap. I I . I n questo n. faremo r / to r so di f requen te a r i su l ta t i i v / eontenuti . P e r l ' e sa t tezza occorre far p resente che col simbolo z~(~), CHAPLYGIN indiea la fun-

z/one zny,~, anzichb la (z/%)nyn/y~,, o"

R. CONTI: Dvterminazione in grande delle soluzioni di un'equazione eve. 239

Nel seguito intero positivo: dente da v) tale

(7) o

in terverranno soltanto i valori d i n della forma v/2 con v proveremo che esis~e una costante assoluta A (eio~ indipen- ehe sia

< ~/~(:)~: ~ < A, 0 ~ ": ~g %, v - - 1, 2, ....

Pe r questo introduciamo la funzione

:e,(x) = 1 -~- ~- - - y''* , Yn' ~- dy , /d% n > O, Yn

per la quale b (CHAPLYGI~, pp. 23, 28)

(8) 0 < ] / 1 - - 2 ~ "c 1 + 2 ~ "c~ F ~ - ~ q -~ n ~ l ( 1 - - : ) ~ < ° ~ n ~ l ' n > 0 , 0 ~ : ~ % ,

ed osserviamo ehe pub seriversi

(9) zn' = nx,,z,,:-'

(lo) d(z . 'c- l l ~ ) / d ' c _ ~ z,,(nw. - - 1/2):- 3/2.

S e n ~ 1t2~t (eio~ se v ~)maggiore od uguale al massimo intero contenuto in 1/~) si vede subito che il radieale ehe appare nella (8) ~ funzione dec~re- scente per 0 ~ 'c _~ "co e raggiunge percib il suo minimo in questo intervallo

ld1+2 per " :~%~ tale minimo, ehe i~ dato da ~ V~nU~Z~ ) supera 1/2n se

q- ÷

Pereib se v b ~ del pifi grande intero contenuto in 11~ ed in (~ q -V9~ 2 q-4~)/(i q-2~) ~ eer tamente VX~l~ ~ 1 > 0 e per la (10) la z~/~'c-1/2 funzione creseente ed il suo massimo, eguale a %-1/e, non dipende da v. Poich~ la z~/.:-l/2 resta l imitata anehe per i valori di v inferiori al mgssimo intero ora detto, e tali valori sono in numero finito, la (7} i~ provata per v = 1, 2, ....

Aualogamente, valendosi ancora della (9), si prova l 'esistenza di una se. conda eostante assoluta, B, tale da aversi

(7') 0 < z~/~('c)'c- 1 < B, 0 ~ "c ~ ": o, v = 2, 3, . . . .

Dalla (9) e (7') segue

{11) O ~ z ' ~ / u ~ . vB/2, 0 ~ ' c ~ % , v ' - 2 , 3, . . . .

Infine, poich~ zn soddisfa l 'equazione (C~APL¥(~IN, p: 18)

(12) ~2(1 - - :)zn" + ~[1 + (~ - - 1}~]zn' - - n'[1 - - (2~ + 1)~]z, -'- 0,

240 R. CONT,: Dvterminazlone in grar~dv dclt e soluzioni di un'equt~zione eec.

la z,/ '---d~z,,/d~ ~, t enuto conto de l la (9), si pub scr ivere

e per le (8), (7') segue l ' e s i s t enza di una eos tan te asso lu ta C tale che

(11') O<Iz"~/~i:<__v~C, 0 < ' ~ < zo, v - - - 2 , 3, . . . .

(13')

r i su l ta in C~ al ia funz ione

2. La soluzione di (A) in C~ con i dati (di Dirichlet) assegnati su P~. Ind ica te con {a~}, {by } due suecess ion i di eos tant i pe r ora del tu t to

a rb i t ra r ie si ver i f ica fac i lmente , t enu to conic di (12), t h e la funzione

(13) ~(~)[~:, 0) - - z~/~(~)[a~ cos v0 + b~ sen v0]. v = 1, 2, ...

nel la s t r i sc ia S~ S~: 0 ~ ~ ' c ° , - - c ~ 0 ~ ¢ ~

una soluzione, pe r iod ica per ogni ~:, r i spet to a 0, con per iodo 2% de l l ' equa- zione l ineare del secondo ordine

(B) 4~(1 - - -:)u}~ -4-- (1 - - ~/T0)~p~ ~ -t- 4~[1 n u (~ - - 1)':]~ - - 0.

La s t r i se ia S, del p iano % 0 si m u t a nel cerchio C 4 del p iano u, v me- d ian te le (T~) u - - ~ 1 / ~ cos O, v --- ¢OmZ 1/~ sen 0

ed ~ subi to visto t h e la

v), v)),

una soluzione de l la (A), p r ec i s amen te que l l a che su F~ si r iduce

c~(0) ---~ a~ cos v0 4- b~ sen v0.

S iano a t lora le a~ ; b~ i coef f ie ien t i di EULERO-FOU~aIER di una funzione f(0) cont inua , per iodica , di pe r iodo 27:

( 1 4 ) a --lff( )cosv d , b = ff( )senwd , 1, 2, . . . .

0 o

Se la ser ie di FOURIER del la f(0) converge u n i f o r m e m e n t e verso la f(0) ~t

s tessa a l lora la success ione I E~(y)} converge u n i f o r m e m e n t e su r , ~'erso la 1

f(0) e da noti r i su l ta t i sul le equazioni l inear i di tipo el l i t t ico (~o) si conc lude

(i0) Teorema di ~:[ARNACK-WEIERSTRhSS (Cfr. ades . G. GIRAUD, Equazioni alle derivate parzial i dei tipi ellittico e parabolico~ p. 62, nel volume omonimo di G. ASCOLI, P. ~BuRGATTI~ G. GI~AUD, (Firenze, 1936).

R. CoaTI: Determinazione in qrande delle soluzfoni di un'equazione, ecv. 241

oo

t h e il l imi te Z¢~(~)(u, v) del ia success ione ~ anch ' e s so una soluzione in O, 1

della (A), p r e c i s a m e n t e quel la (~) ugua le ad f ( 0 ) - - a , / 2 nei punt i di r~. Poich~ per la convergenza un i fo rme del la ser ie di FOURIER del la f(0)

basra che quest ' u l t ima soddisfi una condizione di L I P s c m ~ z di ordine a, oppure che essa sia a var iaz ione l imi ta ta (oitre che cont inua, come sup- posto) (~) abbiamo

A) - Esiste (ed ~ uniea) in C, la soluzione della (A) che su r~ si riduce ad un' assegnata funzione f(0) periodica, di periodo 2% e soddisfacente una condizione di Lipschitz di ordine :¢ (oppure continua ed a variazione limitata). Tale soluzione ~ rappresentata dalla serie

oo

+(u, v ) = a,/2 + ~ ~(~)(u, v) 1

con le ~(~)tu, v) definite dalla (13') e le a~, by definite dalla (14).

4. Regolaritk su P, della soluzione ~(u, v). Riprend iamo in esame le soluzioni ~(~) del n. p receden te per d imos t ra re

l ' e s i s t enza di una cos tante assoluta D tale t h e posto

si abbia in tut to C~+F~ e per v = l , 2,... /

t I~('~)1 < D% (15) [, [ i<,,Doo

{ l+gl I *(~) ° , .ol,

La pr ima di queste ~ immed ia t a poieh~ ~(~(u, v ) -~ ~(~)(z, 0 ) = z,/~(z)c~(O). Si ha poi per x > 0 (cio~ se (u, v) ~ dis t into da (0, 0)) e ponendo

c*(0) - - - - a~ sen v0 + b~ cos v0

cos o - e 2 sen o ) = ( O m

2 v = - - z'~/~ W 2 cos Oct(O) - - --z~/2 ~-1/9~ sen Oc* (0),

O) m O) m

ossia per la (9)

(16) +~) --~ vz~12x-1/2 (x~/~ cos Oct(O) - - sen Oc*(O)), (0 m

(ii) ~u'unieith segue pure da noti r isul tat i sullo equazioni l inoar i di tipo ell i t t ieo; Cfr. ad es. R. COURA~T - D. ttlL]3ERT, Methoden der mathematischen Physik, Vol. 2 °, (Borlin, 1937), p. 275.

(12) Cfr. ad es. L. TONEI~LI, Serie trigonometriche, (Bologna, 1938), p. 302; oppure G-. SA~SONE, Sviluppi in serie di funzioni ortogonali, 2 a ed., (Bologna, 19~6), p. 113.

A n n a l ~ d i M a t e m a t i e a 81

242 R. CONT~: Dcte rmiuazio,nc in flrande dcllc soluzioni di un'equazione, eve.

e da l le (7), (8) segue, pe r 0 < : _ < %, la s e e o n d a de l le (15). P e r z ~ 0, ciob q u a n d o (u, v) t e n d e a (0, 0), le ~ } t e n d o n o a zero se v - ~ 2, 3 , . . . , m e n t r e se v--~ 1 il l im i t e ~ ct~/(to,,~:o~/~y~/,,o)----aJ(Coy~/2,o).

A n a l o g a m e n t e si o t t i ene

i ~ J 2 (17t ~b~) __ vz~/~ • (vc~/~ sen 0~(0) -4- cos 0c* (0)),

(0 m

e si p r o v a la t e rza de l le (15): il l i m i t e di ~ ) , pe r (u, v) t e n d e n t e a b~/(Coy,/~, o).

P e r p r o v a r e le u l~ime i re de l le (15) o s se rv i amo che pe r z > 0

(0, 0),

~ ( ~ ) ~ 4 ~ c o s ~0 ,, '0'

tOm

4 c o s 0 s e n 0 , , sen 20 ~

tOm (Ore

2 ' | l ÷ 2 cos 0 sen 0 vz~ /2z -~ ~---,7(~) - r z~/2c~,O, 2 +

tO m (0 m

- b

e da l l e (7'), (11), (11') s egue pe r 1,t,l~) ~.uu [ l a l i m i t a z i o n e r i ch ies t a , ~ : > 0 , v - - ' 2 , 3, . . . .

!

D ' a l ~ r o n d e so a z~12 s o s t i t u i a m o il sue sv i luppo

p u r c h b sia

z~19 " __ ~12-1 y~/2 + z~/~Y,/~ / ( o .Y~/~, o)

y r

ed a n a l o g a m e n t e si ope ra su z~/2 si t r ova con q u a l e h e r iduz ione ,

pe r ~ > 0

- - r f . ) t

,1,(~) 1 [4-:(~+~)/2y~/2 cos ~ Oc,(0) + 2~/-y~/.o~(0 ) +

r

+ 4z~/ Y,l~ cos 0[a~ cos (v - - 1)0 + b~ sen (v - - 1)0] +

+ v(v - - 1):(~-2)/~y~t~[a~ cos (v - - 2)0 + b, sen (v - - 2)0] I-

s e m p r e

e q u e s t a ei m o s t r a che a n c h e se v = 1 (ma s e m p r e pe r ': > O) la ] ,T,(1) ]~.~,, r e s t a l imi t a t a . I n o l t r e se ~: ~ 0 la ~)~ t e n d e a zero se v - - t , 3 , . . . , m e n t r e t e n d e a 2a2/{Co~y~,o) se v - - -2 . Con cib la q u a r t a de l le (15) ~ p r o v a t a pe r v = - l , 2 . . . .

ed in tu t to C~-4- r I . I n m o d e a n a l o g o si p r e c e d e

ha in (0, 0) l im i t e nu l lo se v ---- 1, 3, ~(~) h a in (0, 0) l im i t e nu l lo se v =

,T, (~) pe r ~u~ 'r'(~), -r~'T' (~) t r o v a n d o f r a l ' a l t r o ehe ~r~ ... ed egua l e a 2b~ / (6)~y~, o) se v - - 2, m e n t r e 1, 3, ... ed egua l e a - - 2a~ / (6)~y~, 0) se v ----- 2.

U n a p r i m a e o n s e g u e n z a che si t r ae da l l e (15) b t h e se a l la f(0) si impon- gone de l le cond iz ion i pe reh~ la ser ie Ev:z~ converga , la ~(u, v) r i s u l t a rego- l a t e su r I. B a s t e r h p e r ques to s u p p o r r e f(0) dota ta d i d e r i v a t a terza soddi .

I~. CO.~T~: Dvterminazione i~ grande dellv soluzionl dl un'equazione e~e. 243

sfacente una condizione di Lipschita di ordine ~, poich~ in tal caso (~3) esiste una eostante assoluta H tale da aversi

z~ < Hv -8-~.

Pe r il seguito occorre tuttavia qualeosa di pih restrittivo delia regolarit~ di ,~ su F~ e preeisamente occorre c h e l a derivata normale su F~ (ciob la derivata di ~ eseguita su I~ secondo la normale interna a Q) sia una funMone di 0 con derivata seconda limitata. Osserviamo ora che a meno del segno la derivata normale della ,~l~) b il limite per • - % di

~ ) cos 0 ÷ ,~(+~ sen 0

ossia per le (16), (i7), b il l imite per ~:---+ % di

v Zvl~ ~ - 112XvlUOv(O) o) m

e la derivata seeonda di questa rispetto a 0 ~ il limite per • - % di

V a

O) m

Per le (7), (8)esis te una costante K tale che l 'espressione ora scrit ta (quindi anehe il suo limite per z--+ %) b in valore assoluto < vSKz~. Baster~ dunque (per il teor. citato nella nora p r e c . ) e h e f (0 )abb ia derivata quarta soddisfacente una condizione di LIPS(~HITz di ordine ~ perche K E v~% con- verga e si ha, cosi

B) - Se f(0) ~ (periodica, diperiodo 2~) dotata di derivata quarta soddi. sfacente una condizione di Lipschitz di ordine a, la soluzione ~ di eui in A)

regolare su F, e dotata di una derivata normale su F~ che ~ funzione di 0 oo~ derivata seconda limitq~ta.

5. Dipendenza della soluzione ~ in C~ dai dati su F,. Nelle ipotesi del n. precedente si ha dalle (14), integrando per patt i

1 fr - - 7~V4+

0

pereib, avendosi 2rr

.(I o

c o s v ~ d ~ b~ - -~1 [ ~v_._ ~ f(~v)(~) sen w d % o

~TT

cos va [da - - f l sen w i d:¢ - - 4, 0

v = l , 2, ...

(13} Cfr. L TONELLI~ Op. eit., 1 a. 225; oppure G. SA-~SONE, op. eit., p. 62. V a l e il teo- r e m a : Se f(O) a m m e t t e in (0, 2r:) d e r i v a t a r - m a sodd is facen te una condiz ione di LIPSCttITZ di o rd ine ~ esis te u n a cos tan te asso lu ta L ta le che Iav ], [by I ~ - L v - r - a .

244 R. CONTI: Determlnazione in grande dclIe soluzioni di un'eq~azione, eve.

abbiamo che se I f (Iv)(0) I < "~]/' ~ (~y ~ 8M/(~4) e se M supe ra anche il mass imo valore assoluto di f(0), f'(O), /"(0), f'"(O), dalle (15) segue ehe i~ in C~ + F~

I , , ~ M ( 1 4 - . - S D ~ v -4)

7~

Cu,,!, I+,~,,I, I+~,l <-M8DZv-~"

Da queste , pe r la l inear i tk del la (A) si ha C) - Nelle ipotesi di B) se r~ ~ la soluzione di (A) in C~ corris~ondente

ad una funzione F((~) allora si pub determinate un intorno del quarto ordine della f tale the se F vi appartiene, la • appartiene ad un prefissato intorno della ~ del seeondo ordine.

Ino l t re pe r quan to osservato al la f ine det ~a. p reeedente , la de r iva ta nor- male di ~ su F~, che ind ieh iamo con g(O), non supera in valore assoluto MK Z v -3 e la de r iva ta p r ima dg'dO r ispet to a 0 non supera in valore assoluto M K Z v - t D u n q u e

C') - Nelle ipotesi di C} si pub determinate un intorno del quarto ordine della f tale ehe se F vi appartiene la derivata normale G ( ~ G(iq) della solu. zione corrispondente ad F appartiene ad un prefissato intorno di primo ordine della derivata normale g della soluzione corrispondente ad f.

6. La soluzione di (A) in C,.~ con i dati (di Cauchy) assegnati su F~. Siano f(0), g(0) due qualunque funzioni, per iodiche, di per iodo 2% def in i te

per ogni 0 reaie, con le deriva~e d3f/dO 3, d~g/dO "~ l imi ta te ; a l lora (~4)esiste ed

i) un ica nel la s t r iscia $1,2

Sl.~: 0 < t < l , % - - l , - - c ~ < 0 < c ~

la soluzione d e l l ' e q u a z i o n e

1 - - 3(1 - - t0) + (1 - - 3 % ) t - (C) t [2(1 + t) V1 -- %-- %t] ~ ~o0 - - ~tt - - 2(1 + t)(1 - - z o - - %tj ¢~t -~ 0

che soddisfa le condizioni iniziali (di CAUCH¥)

2 (0, 0) - - f(0), ~ ~t(0, 0) ---- g(0), - - ¢~ < ~ < c~.

Tale solu~ione ~ rego la re nei pun t i (0, 0) e r i su l ta per ogni t funzione per iod ica r ispet to ~ 0, di per iodo 27:.

(14) Cfr. R. CO~TL lay. eit., enunciat i &)~ B), D) a pag. 305 o nora a pi~ di pag. 324. P e r a f fe rmare quanto sopra bas terebbero in realt~ ipotesi pifi largh% ma cib non ha impor-

tanza per i nostri scopi.

R. CONT,: Determinazione ,in qrande delle soluzioni di un'equazione, ecc. 245.

~Iediante la trasformazione

(T~) u : ~om V%(1 -!- t) cos o, v - - (omV%(1 -{- t) sen 0,

che ~ sempre invertibile nella striseia S~,2, la striseia stessa si mata nel do- minie C1,~ del piano u, v, mentre ]a soluzione ~(t, 0) era considerata si tra- sforma nella soluzione ¢~ (u, v) della (A) in C~,~ ehe si r iduee alla f(0) su r i e la eui derivata normale (eseguita su I~ secondo la normale interna a C1,2)

uguale alla g(0). Percib:

D) - Se f(0), g(0) sono due qualunque funzioni periodiche, di periodo 2~, definite per ogni 0 reale, dotate di derivate dSf/d0 ~, d~g/d0 s limitate, allora esiste una ed una sola soluzione in C1, ~ della ( A), regolare su r~, la quale su r~ si riduve alla f(0), mentre la sua derivata normale ~ rappresentata dalla g(0) assegnata.

Inoltre ('~)

D') - Se F(0), G(0) sono due funzioni soddisfaventi le stesse ipotesi di f(0), g(0) enunciate in D), (I) la soluzione in Ci, ~ corrispondenle ad F, G, si pub de. terminate un in'torno del 19rimo ordine di f ed uno di g tall chese F, G ri. spettivamente vi appartengono, la (~ appartiene ad un prefissato in terne det pr imo ordine della ~.

7. Conclusioni. Da quanto si ~ visto fin qui resta anzitutto dimostrato il teorema I enun-

ciate in principle. Nelle ipotesi di tale teorema esiste ed ~ uniea (per A)) la soluzione ~ ia C L della (A) ehe assume su Pl i valori rappresentat i da f(0); essa ~ regolare (per B)) su I~l e la sua derivata normale ~ una funzione g(0) dotata di derivata seeonda, rispetto a 0, limitata. D'altra parte (per D)) esiste ed ~ uuica in Cj,2 la soluzione ¢p della (A) che su Pi si r iduce alla f(0) e la cui derivata norma!e si r iduee alla g((}) era considerata; la ~0 ~ regolare su P~.

Per coneludere e h e l a funzione di (u, v) uguale a ~ in Cl, uguale ad f su F, ed uguale a ¢~ in C1,~, la quale viene dunque determinata in mode unieo dai valori della f(O), ~ soluzione in Cl-~-Fl-t-C1,2 della (A)resta da aecertare la eoineidenza su r~ delle derivate prime e seeonde di t~ con quelle omonime di ~. Pe r le derivate p r i m e la eosa ~ evidente poiehb su I'~ coincidono, per ipotesi, tra lore e con g(0) le rispettive derivate normali e coincidono pure, tra lore e con f'(0), le derivate ¢P0, ~0. Sempre per ipotesi eoineidono tra lore e con if(0) le derivate rispetto a 0 delle derivate normali di ~ e di ~ e coin. cidono ira lore e con f"(O) le derivate ¢P00, ~00. La verifiea della eoineidenza delle derivate (( radiali >> (0 costante) seconde, r ichiede invece qualehe caleolo, ma si effet tua senza difficolth.

(l~) I~av. cit. per ultimo, enunciati G), I)) a pag. 305.

246 R,. ,CoNTI: D.eterminazione in grandc dclIc 8oI,,zioni di un'equa:ione, coy.

Per la dimostrazione del teorema I I si noti che, fissato a > 0, arbi trario si pub de te rmina te un 8~ > 0 tale ehe per ogni if(0) tale da aversi

I F ( 0 ) - f ( 0 ) I, I F ' (0 ) - - f ' (0) I < ~ , l F"(0) - - f"(o) l, I F" ' (o) - f"'(0) l, i F¢,~*(0) - - f.~*(0) I < ~,,

si abbia (per C)) in tutto C~ + F~:

(18) I W - - ~ l , t W . - - ~bu ], I W ~ - + ~ l < s ,

ed esiste (per C')) uu numero N tale che, se g(0), G(0) sono le derivate nor- mall +, ~P r i spe t t ivamente sia

I G(0) - - g(0) I, G'(0) - - g'(0) i < hrs, •

D'a l t ronde in corr ispondenza all 'a fissato possiamo (per D')) de te rminare un ~2 > 0 tale che se

[pc0) - - f(0) l, l y ' (0) - - f'(0) I < 8~, I G(0) - - g,0) l, [ G (0) - - if(O) [ < 8.2,

si abbia in C1, u + P~

(18') 10- -¢~1, [ (Ih,-- %, [, ] O , - - q~,[ < ~.

Basterg allora prendere il pifi piccolo dei numer i 8~, NS~, 8.2 perch~ le (18), (18') valgano s imul taneamente e quindi la soluaione in C~ q - r , + C~.2 corr ispondente ad F differisce in vatore assoluto da quel la corr ispondente ad f per meno di s in tutto C-4-Y~ q-C1,~ e Io stesso ~ delle derivate prime omonime.

8. Appl ieazione del metodo ad un 'a l t ra equazione di t ipo misto . A risul ta t i per~et tamente aualoghi a quell i o t tenut i per la (A) si g iunge

eons iderando la

(A') (g)~ - - v~)+,,,, + 2uv~ , , , + (+~ - - u ~ ) ~ v + u+,. + v ~ = O,

dove g ~ una costante. Questa equazione differisce dalla (A) essenzialmente per il ratio di avere una sola linea parabolica, la cireonfe, 'enza

r : u ' + v ~ = & .

Di conseguenza l ' i ns ieme dei punt i ellittiei ~ il cerehio interne a P, quello dei punt i iperboliei /} tutto il dominie (illimitato) esterno at r (~6) e la soluzione viene de te rmina ta in tutto il p iano u, v dai valori assegnati su 1', mantenendo le s~esse ipotesi dichiarate per la (A) nei teoremi I e I1.

Ci l imi teremo a qualche accenno senza ent rare nei paliticolari del ca lcolo

(is) Qtt i le c u r v e e a r a t t e r i s t i e h e sono le e v o l v e n t i d i r .

R. ,CONT,: Defermlnazione i,n grande delle soluzioni di un'equazione, ecv. 247

In luogo del la (B) abbiamo adesso la

(B') 4 : ' ~ + (1 - - ~)¢00 + 4":¢~ = 0,

e invece del la (C) abbiamo la

1 - - 1 - (C') t [2(1 + t)] "~ :P00 - - ¢Ptt 1 ÷ t ¢~t - - 0,

e le t ras formazioni ana loghe alle (T~), (T~) sono qui le

(T~') u --" ~z l/e cos 0, v --~ ~zl] ~ sen 0,

(T~') u ----- ~ V1 + t cos (}, v - - ~ V i + t sen (}.

L ' e s a m e delle soluzioni iperbol iche non p resen ta novit/~ sostanzial i ri- spetto a l la (A).

Pe r le soluzioni e l l i t t iche baster~ osservare e h e l a (B'), posto ~ - - ~ , coincide con la

(B") t~¢p~ + (1 - - P~)¢oo + PCe = 0

che b c i ta ta qua le esempio di equazione di tipo misto nel t ra t ta to di ]3ATE~[A~ (~7). Tale A. indiea anche le soluzioni e lemenia r i del la (B") nel la forma

J~(v~) _ ,~,

dove c~(0) ha il solito s ignif icato, men t r e

(x/2)~ J~(x) = (x/2)~] 2 E~ (-- 1)~

(~

la funzione di BESSEL di p r ima specie di ordine intero v. Le funzioni cor r i spondent i alle zv/.(~) del n. 2 sono al lora le

~i~(~:) ----- J~(v': l/2) / J'~(v), 0 < z < 1, v - - 1, 2, . . . .

Le maggioraz ioni ana loghe alle (7), (7') si hanno nel modo seguente . F issa to k > 0 si consider ino le funzioni

le qual i soddisfano l ' equaz ione

["c~+:t~;t~,~] ~.-~-4-~ 1 "~ ~,~,~,~;

(17) Cfr. ]~. BATEMAN, Pa~'tial differential equations of mathematical Physics, (Cam- bridge, i932), p. 419.

248 R. ,CoNTI : Determ~nazione .~n grande d~lle, soluzloni di uu'equa.cione, etc.

dalla quale r isul ta the le ~'~/~,~ hanno in tut to l ' in terval lo (0, 1) c iascuna un solo mass imo (necessar iamente positivo), in corr ispondenza a z - ~ 1 - k~/v ~. Poieh~

' 1 1] J~(v) ] J

e poieh~ ~,8) v,/sj~(v)/j~(v) eresce eon v, da un certo v, corr ispondente al k [issato, in poi, b ~'~/~,~(~) ~ 0 in tut to (0, 1), quindi ~ / 2 , k ~ ~/2~-k/u cresce, a par t i re dal v ora detto, in tutto (0, 1) da zero al massimo valore che ~ uno e non d ipende percib d a v .

Si pub poi in t rodurre anche qui una funzione X~/2 analoga alla x~/~ di CKAPLYGIN e provare che in (0, 1) e per v - - 1 , 2, ... si ha

0 ~ X~l~ ~ 1.

Dopodich~ la trat tazione si svolge come per la (A).

(18) Cfr. G. N. WATSON, Theory of Bessel functions, (Cambridge, 1022), p. 260.