Universita degli Studi di Firenze

Facolta di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Tesi di Laurea in Fisica di I livello

Determinazione

della massa del buco nero

posto nel centro della Via Lattea

Candidata: Sara Faggi

Relatore: Prof. Alessandro Marconi

Anno Accademico 2007/08

Indice

Introduzione 1

La Via Lattea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Il Centro Galattico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Fenomenologia di SgrA* 4

1.1 Scoperta di SgrA* e studio del nucleo galattico . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 L’ammasso stellare nucleare e il Paradosso di giovinezza . . . . . . . . 6

1.3 Moto proprio e limite sulla massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Dinamica del sistema stella buco nero 10

2.1 Problema dei due corpi e riduzione alla forza centrale . . . . . . . . . 10

2.2 Momento angolare e moto nel piano dell’orbita . . . . . . . . . . . . . 12

3 Il sistema di riferimento 17

4 Fit della massa 20

4.1 Elaborazione dati con IDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 E veramente un Buco Nero? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Bibliografia 29

I

Introduzione

Molte, se non tutte le galassie sono caratterizzate dall’avere un buco nero molto

massiccio, ovvero con massa M ∼= (106 − 1010)M, posto nel loro centro. Misure

ripetute della velocita e delle posizioni delle stelle che si trovano attorno al centro

della nostra Galassia, e la successiva scoperta di emissione di raggi X in tale zona,

hanno mostrato, con forte evidenza, l’esistenza di tale oggetto supermassivo al centro

della Via Lattea. Lo scopo di questo lavoro e la stima della massa del buco nero

situato al centro della nostra galassia, la Via Lattea, utilizzando i moti propri e le

velocita di alcune stelle.

La Via Lattea

La Via Lattea, galassia a cui appartiene il sistema solare, e individuata da quella

banda di luce continua che attraversa la sfera celeste, inclinata di 62, 6 rispetto

all’equatore celeste e formata dalle stelle situate nel disco della galassia stessa.

La Via Lattea e una galassia a spirale barrata di classe intermedia SBb-SBc, con una

massa complessiva di circa 1011 M e che contiene da 200 a 400 miliardi di stelle.

La galassia e costituita da tre componenti principali: bulge, disco e alone.

• Il bulge rappresenta il nucleo centrale della nostra galassia, e uno sferoide con

diametro di 1 kpc e un’ altezza di 0, 4 kpc, e formato da stelle sia di prima

che seconda popolazione, distribuite all’ interno di un ellissoide triassiale. Le

stelle di popolazione I, ricche di metalli come ad esempio Carbonio, Ossigeno e

Ferro, sono relativamente giovani (eta ¡ 10Gyr) perche formate da nubi di gas

interstellare che erano state arricchite con gli elementi pesanti formati dalle

stelle delle precedenti generazioni. Al contrario le stelle di popolazione II,

povere di metalli, sono stelle vecchie (eta 12-14 Gyr) che si sono formate da

nubi ricche di Idrogeno ed Elio primordiali. I moti delle stelle sono caotici,

con dispersione di velocita pari a σz ∼= 120 Km/s.

• Il disco galattico ha un diametro di circa 50 kpc, uno spessore di 1kpc, ed

e composto principalmente da stelle di popolazione I in rotazione ordinata

attorno al centro galattico. Oltre a tali stelle, il disco non ha una struttura

omogenea, ma e formato da un aggregato di ammassi stellari e nubi miste di

polvere, gas atomico e molecolare. Inoltre si suddivide in un disco sottile, nel

1

Figura 1: I componenti della Via Lattea

quale le stelle compiono orbite che giacciono sul piano galattico, dove si trova

anche il Sole ad una distanza di 8 ± 0.5 kpc dal centro, e da un disco spesso

che costituisce una sorta di regione intermedia fra disco sottile ed alone, in cui

le stelle compiono orbite inclinate rispetto al piano galattico.

• L’ alone ha una forma approssimativamente sferica, con un diametro di circa

40 kpc, ed e composto da ammassi globulari, stelle ad alta velocita e materia

oscura che circondano il disco galattico. A differenza del disco galattico, l’

alone e quasi del tutto sgombro di polvere interstellare e gas. Le stelle dell’

alone sono tutte di popolazione II, piu vecchie e con meno metalli delle stelle

di popolazione I del disco. La componente principale dell’alone, cosı come di

tutta la Galassia e la materia oscura che costituisce circa il 90% della massa

totale. La presenza di materia oscura nell’ alone e dedotta dal suo effetto

gravitazionale sulla curva di rotazione della galassia. La velocita rotazionale

di una galassia, ricavata dal bilanciamento tra la forza gravitazionale della

galassia stessa e quella centrifuga, e v(r) =√

(M(r)Gr

). Dove r e la distanza

dal centro, M(r) e la massa racchiusa entro il raggio r, ovvero stelle e gas

2

che sono presenti fino ad una distanza di r∼=10kpc dal centro. Dove non c’e

piu materia, la velocita dovrebbe diminuire allontanandosi dal centro v∝ r12 ,

invece le osservazioni delle linee di emissione dell’idrogeno a lunghezza d’ onda

di λ = 21cm mostrano che la velocita di rotazione non diminuisce, ma resta

costante ben oltre il limite visibile della galassia. Questo puo essere spiegato

solo dalla presenza di materia oscura.

Il Centro Galattico

Il centro della Via Lattea e un campo di ricerca affascinante ed estremamente in-

teressante. Data la sua vicinanza, D0∼= 8kpc, e l’unico laboratorio esistente che ci

permette di studiare in dettaglio i processi fisici che avvengono nei nuclei galattici.

Nel raggio di pochi anni luce dal centro sono presenti dense e luminose aggregazioni

di stelle e gas caldi sia ionizzati che neutri. In tale zona e presente inoltre una

sorgente radio molto compatta, localizzata proprio al centro dell’ ammasso stellare

nuclere, in direzione della costellazione del Sagittario. Dalle osservazioni eseguite

su diverse lunghezze d’onda e dagli studi fatti si e verificato che tale sorgente radio

compatta, con densita di circa 1017Mpc−3 e non termica, e associata ad un oggetto

molto massiccio, probabilmente un buco nero, la cui determinazione della massa e

lo scopo di questa tesi.

3

1 Fenomenologia di SgrA*

1.1 Scoperta di SgrA* e studio del nucleo galattico

Studi svolti sulla regione entro un raggio di pochi parsec dal Centro Galattico, han-

no mostrato che questa zona contiene varie componenti che coesistono all’interno

del potenziale gravitazionale della galassia. Questi componenti sono: un buco nero

(BH) supermassiccio , un ammasso stellare che circonda il BH, un anello di gas

molecolare, polvere e gas ionizzato caldo, associato a resti di supernovae. Molti di

questi fenomeni sono spiegati per mezzo delle osservazioni a diverse lunghezze d’on-

da (Radio, IR, X, γ) che distinguono le regioni dello spazio in cui avvengono.

Il centro dinamico del nucleo galattico e stato individuato in SgrA*, una sorgente ra-

dio compatta, non termica, scoperta nel 1974 da Balick e Brown con osservazioni nel

radio, a lunghezza d’onda λ = 90cm, ottenute con il National Radio Astronomical

Observatory (NRAO) interferometer e confermata successivamente dalle osservazio-

ni ottenute con il Very Long Baseline Interferometer (VLBI). Questo interferometro,

composto da molti telescopi sparsi sulla superficie terrestre fornisce osservazioni al-

la risoluzione di un telescopio equivalente con un diametro pari a quello terrestre.

Fu Brown che identifico tale sorgente compatta col nome SgrA* per sottolinearne

l’unicita rispetto all’emissione radio della totalita del nucleo galattico.

Negli ultimi anni, l’ipotesi che il centro Galattico contenesse un buco nero associato

a SgrA* e stata verificata in maniera molto solida. Gli studi di dinamica stellare

nelle vicinanze di SgrA* hanno mostrato l’esistenza di una enorme massa puntifor-

me che e all’origine della radio sorgente. Le osservazioni piu accurate sono state

condotte da un gruppo tedesco al VLT (Genzel et al. 1996; Eckart e Genzel 1997;

Eckart et al. 2002; Schodel et al. 2002, 2003; Eisenhauer et al. 2005) e da un gruppo

americano al Keck (Ghez et al. 1998, 2003, 2005).

Questi due gruppi stanno misurando i moti propri e le velocita delle stelle molto

vicine al buco nero (entro un raggio di circa 30 anni luce) da circa una quindicina

di anni. Cio ha permesso la ricostruzione tridimensionale dell’ orbita di sei stelle

identificate con S1, S2, S8, S12, S13 e S14 appartenenti alle classi spettrali B0-B9.

Le orbite di queste stelle sono tutte di tipo kepleriano, ovvero ellittiche (Ghez et

al. 2003, Eisenhauer et al. 2005). La conoscenza delle orbite di queste stelle, ha

permesso quindi di ottenere una stima accurata della massa del buco nero super-

massiccio (MBH = (4.6± 0.38) · 106M).

4

Figura 2: Osservazioni radio del Centro Galattico

Le osservazioni del moto di tali stelle, nella direzione del centro della Via Lattea,

vengono generalmente effettuate nelle bande del vicino infrarosso (NIR), ovvero nelle

bande H,K e L (1.7µm, 2.2µm e 3.8 µm). In particolare, i dati presi in considera-

zione in questa tesi sono stati ottenuti in banda K, centrata a λ = 2.2µm. Questo

e stato fatto per evitare l’ assorbimento che si avrebbe nella banda del visibile (da

400nm a 800nm) dovuto alle nubi di polvere interstellare che dominano il piano del

disco Galattico. Ovviamente per le immagini ad alta risoluzione da terra e stata

necessaria l’introduzione delle ottiche adattive che correggono i disturbi causati dal-

l’atmosfera, come ad esempio il seeing.

5

1.2 L’ammasso stellare nucleare e il Paradosso di giovinezza

Il conteggio piu recente delle stelle presenti nell’ammasso nucleare e stato ottenuto

con osservazioni profonde di spettroscopia panoramica ottenute con SINFONI (Spec-

trograph for INtegral Field Observations in the Near Infrared) insieme al VLT(Very

Large Telescope), che ha fornito come risultato circa un centinaio di stelle di classe

OB, con un’ eta compresa tra i 5 e 50 milioni di anni, incluse varie supergiganti blu

molto luminose, stelle di tipo Wolf-Rayet (stelle molto massiccie che hanno raggiun-

to uno stadio estremamente avanzato della loro evoluzione e che hanno perso buona

parte della loro massa originaria a causa dell’ intensissimo vento stellare da esse

emanato) e stelle giovani di sequenza principale. Questo ci permette di capire come

l’ammasso stellare nucleare costituisca una delle maggiori concentrazioni di stelle

massicce della Via Lattea. Grazie all’ ottica adattiva del VLT, sono state anche

rivelate stelle piu deboli, fino ad una magnitudine K=17-18, che corrispondono a

stelle di tipo ”late B” o ”early A” (3− 6M).

La rivelazione di queste stelle ha permesso di studiare la distribuzione di densita

dell’ ammasso stellare. Il risultato e stato che mentre la distribuzione della lumino-

sita superficiale dell’ ammasso non e centrata su SgrA*, la distribuzione di densita

lo e. Esiste quindi un addensamento molto netto di stelle brillanti intorno alla radio

sorgente (Genzel et al. 2003, Schodel 2006), la densita volumetrica di tale adden-

samento e descritta tramite la seguente legge di potenza in funzione del raggio:

ρ(r) = r(1.4±0.1) consistente con il valore atteso per un ammasso stellare rilassato

intorno ad un buco nero supermassiccio (Alexander 2005).

Il paradosso di giovinezza nasce dal capire la coesistenza di un ammasso di stelle

giovani attorno ad un buco nero supermassicio. Affinche avvenga il collasso gra-

vitazionale per la formazione di tali stelle, la densita del gas che occorrerebbe, in

presenza delle forze mareali cosı forti come quelle misurate nel centro galattico, e

sicuramente superiore alla densita delle nubi di gas osservate fino ad ora nel centro

Galattico. Da tali considerazioni sulla densita possiamo capire che tali stelle non

possono essersi formate in loco. Del resto, se si fossero formate esternamente da

tale regione centrale, il tempo necessario alla loro formazione e al loro spostamento

vicino al centro sarebbe molto maggiore dell’eta delle stelle stesse.

Sebbene siano state avanzate molte proposte per spiegare il cosiddetto ”paradox of

youth ” , la questione non e stata ancora spiegata in maniera esauriente. I modelli

proposti hanno difficolta a conciliare i differenti aspetti che sono presenti nel centro

6

galattico. Le idee piu ragionevoli che spiegano questo apparente problema sono: la

fomazione in loco di un denso gas di un disco di accrescimento che potrebbe soddi-

sfare i limiti ”mareali”; il ringiovanimento di stelle piu vecchie attraverso collisioni o

perdite di massa; la formazione di un denso ammasso stellare esterno che sottoposto

alla forte attrazione gravitazionale e degenerato nelle condizioni osservate.

1.3 Moto proprio e limite sulla massa

I moti propri, accelerazioni, e le orbite delle stelle attorno al comune centro gravita-

zionale sono stati determinati con molta precisione nell’infrarosso. Attraverso i dati

ricavati dalle osservazioni astronomiche e stata stimata una massa di ∼= 4 · 106M

all’interno di un raggio di 100AU . Questi risultati sono completamente consistenti

con l’ipotesi che afferma che SgrA*, la sorgente radio compatta nel Centro Galat-

tico, sia associata ad un buco nero supermassiccio (SMBH). Mostriamo ora come

sia possibile ottenere un vincolo sulla massa di SgrA* dal suo moto proprio.Dalle

osservzioni nel radio e nell’IR si e potuto vedere che SgrA* ha un moto proprio

dovuto alla rotazione del Sole attorno al centro della galassia. Il Local Standard of

Rest (LSR, Sistema di Riferimento di Riposo Standard) e il sistema di riferimento

nel quale l’origine si trova istante per istante nella posizione del Sole e si muove

lungo un’ orbita circolare con velocita orbitale di VLSR = 220 km/s nel piano della

Galassia, a distanza di 8kpc dal centro.SgrA* avra quindi nel LSR un moto appa-

rente dovuto in gran parte al moto di rotazione del LSR stesso. Una volta sottratta

alla velocita misurata di SgrA* quella del Local Standard Rest(VLSR = 220km/s),

quello che otteniamo e un limite superiore alla velocita del moto proprio di SgrA*:

VSgrA∗ < 8km/s. Questo risultato mette in luce il fatto che SgrA* puo essere consi-

derato un oggetto molto massiccio.

Dalla misura del moto proprio di SgrA* e delle stelle che vi orbitano attorno e

possibile stimare la massa del buco nero. Le stelle intorno al nucleo galattico hanno

masse tipiche di M∗ ∼= 10M e velocita V∗ ∼= 1000Km/s. Se assumo che nel centro

della galassia ci sia equipartizione dell’energia allora SgrA* avra la stessa energia

cinetica di queste stelle, allora ricavo:

1

2MSgrA∗V

2SgrA∗ =

1

2M∗V

2∗

7

Figura 3: Moto proprio di SgrA* nel piano del cielo

1

2MSgrA∗(8Km/s)

2 >1

2(10M)(1000km/s)2

Quindi ottengo un limite inferior alla massa di SgrA*:

MSgrA∗ > 2 · 105M

Nel mio lavoro cerchero di fornire una stima piu accurata della massa del SMBH

attraverso le misure delle posizioni delle stelle nel tempo e attraverso le misure di

velocita lungo la linea di vista di tali stelle. Ho a disposizione quindi i dati dei

moti propri di alcune stelle, forniti gentilmente dal professor R. Genzel, direttore

del Max Planck Institut fur Extraterrestrische Physik e a capo del gruppo che ha

effettuato gli studi piu accurati del centro galattico, misurati nel sistema di riferi-

8

mento del laboratorio (cioe a Terra). La posizione delle righe di assorbimento degli

spettri stellari fornisce direttamente la velocita lungo la linea di vista, vls, mentre le

posizioni delle stelle sono misurate in ascensione retta AR(t) e declinazione DEC(t),

le coordinate sul piano del cielo.

Dai moti propri delle stelle, tenendo di conto degli effetti di proiezione dell’orbita

rispetto al sistema di riferimento del laboratorio e risolvendo il problema gravitazio-

nale dei due corpi nel piano del moto, considerando il BH posto nel fuoco dell’orbta

delle stelle, quello che si ottiene sono delle funzioni delle posizioni e della velocita in

funzione del tempo e dei parametri liberi del sistema.

Il fit dei dati osservati mi permette quindi di ricavare i parametri liberi, tra i quali

la massa del BH.

Figura 4: Traiettorie e velocita delle stelle attorno ad SgrA*

9

2 Dinamica del sistema stella buco nero

2.1 Problema dei due corpi e riduzione alla forza centrale

La stima della massa del BH situato nel centro galattico viene fatta attraverso lo

studio del moto delle stelle che vi orbitano attorno. Alla base del moto di tali stelle

attorno ad SgrA* sta la soluzione del problema dei due corpi. Per problema di due

corpi intendo la descrizione del moto di due corpi puntiformi sotto l’azione della sola

forza gravitazionale. Scegliendo come sistema di riferimento una terna cartesiana

ortogonale, nella quale indichiamo la posizione dei due corpi rispettivamente come

~r1 e ~r2 e indicando con m1 e m2 le masse, la forza gravitazionale che agisce fra i due

punti massa, classicamente e:

~F12 = −G m1m2

|~r1 − ~r2|3(~r1 − ~r2) (1)

La Lagrangiana del sistema sara:

L(r1, r2, r1, r2) =1

2[m1| ~r1|2 +m2| ~r2|2]− V (r) (2)

con r = |~r1 − ~r2| e con V(r) energia potenziale.

Nella mia trattazione sto considerando la massa m1 associata al BH che sappiamo

essere molto maggiore della massa di una qualsiasi stella che vi orbita attorno, a cui

associo m2 (MBH > 2·105M >> M∗ ∼= 10M). I corpi celesti inoltre possono essere

trattati come punti materiali in quanto si trovano a distanze reciproche molto grandi

rispetto alle loro dimensioni. Date quindi tali particolari circostanze, il problema dei

due corpi, che apparterrebbe ad un sistema dinamico in R12 dimensioni, puo essere

ridotto ad un sistema dinamico in R6 introducendo il moto relativo di uno dei due

corpi rispetto all’ altro sotto la forza di attrazione gravitazionale ed introducendo il

moto del centro di massa.

~rcm =m1~r1 +m2~r1m1 +m2

coordinata del centro di massa (3)

r = |~r1 − ~r2| coordinata relativa (4)

Nel nuovo sistema di riferimento, la conservazione delle forze esterne permette

10

di apprendere subito che la quanita di moto ~Q e un integrale primo del moto:

~F ext = 0 ⇒ d~Q

dt= 0 ⇒ ~Q = cost

E importante allora notare che, dato che la massa del BH e molto maggiore rispetto

a quella della stella, allora il centro di massa e coincidente con la posizione del BH.

Nel sistema del centro di massa il BH sta fermo, mentre la stella vi orbita attorno

sotto l’azione della forza centrale gravitazionale.

In tale sistema la Lagrangiana del moto relativo di una stella attorno ad SgrA*

risulta:

L(~r, ~r) =1

2[µ|~r|2]− V (r) (5)

con µ = m1m2

m1+m2massa ridotta del sistema. Poiche il fattore µ non influisce sul moto,

si puo considerare la Lagrangiana ridotta:

Lµ(~r, ~r) =1

µL(~r, ~r) =

1

2|~r|2 − 1

µV (r) =

1

2|~r|2 − G(m1 +m2)

r(6)

Infatti: V (r) = −G(m1m2)r

⇒ W (r) = 1µV (r) = −G(m1+m2)

r

Tale energia potenziale riscalata corrisponde all’ energia potenziale di un corpo

di massa unitaria nel campo gravitazionale di un corpo di massa M.

L’equazione di moto risulta allora essere:

~r = ~ 1r − ~ 2r = −Gm1 +m2

|~r|3~r = −(

1

m1

+1

m2

)∂V (r)

∂r(7)

Chiamo A = G(m1 +m2) ∼= Gm1 = GmBH quindi:

~r = ~ 1r − ~ 2r = − A

|~r|3~r (8)

Tale equazione differenziale rappresenta il moto di un corpo di massa unitaria sog-

getta ad una forza centrale.Una soluzione del sistema in R12 , con condizione iniziale

(~r1(0), ~r2(0), ~r1(0), ~r2(0)) si otterra a partire da una soluzione del sistema dinamico

in R6 con condizioni iniziali (~r(0), ~r(0)).

11

2.2 Momento angolare e moto nel piano dell’orbita

Poiche la Lagrangiana del moto relativo e simmetrica rispetto alle rotazioni, per il

teorema di Noether le equazioni di moto avranno un vettore di integrali primi che

si puo interpretare come il momento angolare.

Nel sistema di riferimento del centro di massa, centrato nel BH, e del moto relativo,

il momento angolare risulta:~L = ~r ∧ ~r = cost

Nel caso in esame sto considerando un corpo di massa unitaria soggetto ad un

campo centrale. Il momento angolare e un integrale primo del moto in quanto

~r ∧ ~F ext = ~L = 0.

Conseguenze:

• Il momento angolare ~L e ortogonale a ~r e a ~r quindi al piano delle fasi in cui

avviene il moto. Prendendo un sistema di coordinate di R3 tale che l’asse x3

sia diretto come ~L allora posso considerare il moto totalmente sul piano, ~r ∈R2.

• dalla costanza di ~L e conoscendo le condizioni iniziali (~r(0), ~r(0)) possiamo

risolvere il moto sul piano.

Per risolvere il problema ridotto al piano conviene passare alle coordinate polari

(r, θ) come segue:

Figura 5: Riferimento utilizzato con origine O coincidente con la posizione del BH

x1 = r cos θ

x2 = r sin θ

12

Cerco adesso l’equazione della traiettoria geometrica: considero le relazioni

~r − A

|~r|3~r = 0 e ~L = ~r ∧ ~r = cost (9)

e ne faccio il prodotto vettoriale:

~r ∧ ~L =A

|~r|3~r ∧ ~L

Tale equazione si risolve utilizzando l’uguaglianza matematica:

~a ∧ (~b ∧ ~c) = (~a · ~c)~b+ (~a ·~b)~c

~r ∧ ~L =d

dt(~r ∧ ~L) = A

d

dt(~r

r) (10)

Se: ddt

(~r ∧ ~L− A~rr) = 0

allora: (~r ∧ ~L− A~rr) = cost = ~eA

Con ~e= eccentricita= cost

Moltiplico adesso scalarmente l’equazione per ~r:

~r · (~r ∧ ~L)− A(~r · ~r)r

= A(~r · ~e)

introducendo l’uguaglianza matematica:

~a · (~b ∧ ~c) = (~a ∧~b) · ~c

ricavo:

~r · (~r ∧ ~L)− Ar = A(~r · ~e)

(L)2 = Ar(1− e cos θ)

Quindi:

r =(L)2

A(1− e cos θ)(11)

13

Questa e l’equazione della traiettoria geometrica, rappresenta l’equazione di una

conica. Date delle condizioni iniziali si ricavano l’ eccentricita e ed A ∼= Gm1.

Consideriamo adesso l’energia, in coordinate polari la Lagrangiana si trasforma:

L(~r, ~r) =1

2[|~r|2 + |~r|2θ2]−W (r) (12)

con W (r) = 1µV (r) = −G(m1+m2)

r

Si ottiene subito un integrale primo, cioe il momento pθ coniugato alla variabile

ciclica θ:

pθ =∂L(~r, ~r)

∂θ= r2θ = L = cost (13)

θ =L

r2(14)

Sostituendo l’equazione (11) nell’equazione( 14) ricavo:

L4

A2(1− e cos θ)2θ = L

separando le variabili e risolvendo l’integrale e possibile ricavare la soluzione θ(t).

Sostituisco allora l’equazione( 14) nella lagrangiana, si ottiene la lagrangiana ad

un grado di liberta:

L(~r, ~r) =1

2[|~r|2 +

L

r2]−W (r) (15)

Adesso ricavando anche il momento pr coniugato alla variabile ciclica r:

pr =∂L(~r, ~r)

∂r= ~r =

√2(E − L2

2r2− G(m1 +m2)

r) (16)

Anche in questo caso separando le variabili ed integrando e possibile ricavare la

soluzione.

L’Hamiltoniana risulta:

H(~r, pr, pθ) =1

2p2r +

L2

2r2− G(m1 +m2)

r= E (17)

Ci fornisce l’ultimo integrale primo.

In conclusione il problema dei due corpi ridotto ha 7 integrali primi: le tre compo-

14

nenti della quantita di moto, le tre componenti del momento angolare e l’energia

totale. L’ r(t) e il θ(t) cosı trovati mi permettono di risolvere il problema del sistema

Stella-Buco Nero e forniscono quelle relazioni per fittare i dati astronomici e deter-

minare la massa del BH. L’utilizzo di tali soluzioni risulta pero essere complicato,

pertanto e piu utile introdurre le seguenti variabili che semplificano la trattazione.

Definisco dell’anomalia media M, che rappresenta il moto medio di un corpo posto

sulla circonferenza immaginaria di raggio OP’:

M =2π

P(t− T ) (18)

Con T passaggio dal periastro e con P periodo dell’orbita.

E importante ricordare che il periodo dell’orbita e legato alla massa totale del sistema

dalla seguente relazione:

P =2π√a3√

G(m1 +m2)∼=

2π√a3

√GmBH

(19)

Dalla definizione di M e possibile ricavare, con considerazioni geometriche, una

relazione che la lega all’anomalia eccentrica E, ovvero l’equazione di Keplero:

M = E − e sinE (20)

Figura 6: Riferimento in cui l’origine non coincide con il BH che e posto nel fuocoF dell’ellisse

15

In questo modo posso esprimere le coordinate del sistema dipendenti da (r, θ)

rispetto alle nuove variabili:x1 = r cos θ = a cosE − eax2 = r sin θ = b sinE = a

√1− e2 sinE

(21)

ed e possibile inoltre ricavare la relazione che lega θ ad E:

cos θ =cosE − e

1− e cosE

16

3 Il sistema di riferimento

Per individuare la posizione del centro galattico, che e libero di muoversi rispetto ad

un sistema di riferimento fisso, occorrono 6 parametri indipendenti: le 3 coordinate

dell’origine Ω del sistema solidale e i 3 angoli di Eulero.

Suppongo di avere due sistemi di riferimento cartesiani ortogonali: Σ sistema fisso

con coordinate (ξ1, ξ2, ξ3) nel quale vengono fatte le misure, in cui ξ1 e ξ2 rappre-

sentano le coordinate (AR, DEC) sul piano del cielo e ξ3 e diretto lungo la linea di

vista, e Σ∗ sistema solidale al centro galattico con coordinate (x1, x2, x3), centrato

sul BH stesso, nel quale avviene il moto della stella attorno al BH. Devo trovare la

trsformazione tra il sistema di riferimento in cui avviene il moto, perche e in tale

riferimento che si ricavano le equazioni di moto, con il sistema di riferimento fisso

nel quale si ricavano misure.

Dalla trattazione svolta considero il BH posto nell’origine del sistema di riferimento

del cm, per cui le rotazioni che deve compiere il sistema di riferimento (Ω, ξ1, ξ2, ξ3)

per sovrapporsi al sistema (Ω, x1, x2, x3) sono:

• rotazione antioraria di un angolo ψ attorno all’ asse x3

• rotazione antioraria di una angolo θ attorno all’asse x1

• rotazione antioraria di un angolo ϕ attorno all’asse x3

Ognuna di queste rotazioni puo essere scritta matematicamente come una ma-

trice. Riporto di seguito le matrici associate alle rotazioni riapettivamente:

A =

cosψ − sinψ 0

sinψ cosϕ 0

0 0 1

; B =

1 0 0

0 cos θ − sin θ

0 sin θ cos θ

; C =

cosϕ − sinϕ 0

sinϕ cosϕ 0

0 0 1

La matrice della trasformazione completa che permette di passare dalla base del-

le coordinate del centro di massa a quelle osservative e:

F = CBA

17

F =

cosϕ cosψ − cos θ sinψ sinϕ − cosϕ sinψ − cos θ cosψ sinϕ sinϕ cos θ

cosψ sinϕ+ cos θ cosϕ sinϕ − sinϕ sinψ + cos θ cosϕ cosψ − cosϕ sin θ

sin θ sinψ sin θ cosψ cos θ

Tale matrice fornisce quindi il legame tra le coordinate xi e le coordinate ξi: ξ1

ξ2

ξ3

= F

x1

x2

x3

In realta i dati da elaborare sono costituiti dalle coordinate astronomiche misurate

nel piano del cielo, ovvero angoli che sono legati alle coordinate cartesiane di posi-

zione per mezzo della seguente relazione:ξ1 = D0δ

ξ2 = D0(AR)(22)

18

con δ declinazione, (AR) ascensione retta e D0 distanza dal centro galattico. Se

il BH non e nel centro del sistema di riferimento allora devo considerare anche la

traslazione necessaria per posizionarlo nell’origine. Se (δ0, AR0) sono le coordinate

della stella nel sistema equatoriale, per mettermi nelle condizioni descritte dovro

tener di conto della posizione del BH:δ = (δ0 − δBH)

AR = (AR0 − ARBH)(23)

La trasformazione di interesse diventa quindi: AR

δ

ξ3

=1

D0

F

x1

x2

x3

(24)

Dato che il moto avviene sul piano, la coordinata x3 non verra considerata.

Per quanto riguarda le coordinate della velocita le trasformazioni sono: ξ1

ξ2

ξ3

= F

x1

x2

x3

(25)

In realta nei dati da elaborare, insieme alle coordinate astronomiche prese ad un

certo istante di tempo, ho la velocita delle stelle lungo la linea di vista, ovvero

la componente lungo l’asse ξ3 del vettore velocita nel sistema di riferimento del

laboratorio.

Tale componente pertanto sara pari a:

vls = ξ3 = (sinϕ cos θ)x1 − (cosϕ sin θ)x2

19

4 Fit della massa

4.1 Elaborazione dati con IDL

La stima della massa del BH e stata ottenuta facendo un fit dei dati astronomici

forniti gentilmente dal professor R. Genzel, direttore di MPE. Il lavoro e stato svolto

con IDL, Interactive Data Language, un linguaggio di programmazione specializzato

nell’analisi di dati scientifici.

Per svolgere il fit dei dati e necessario ottenere una routine che fornisca, ad un

dato tempo t l’ascensione retta AR(t), la declinazione δ(t) e la velocita vls(t), di una

stella in funzione dei parametri liberi del sistema: D0, ϕ, ψ, θ, e, a, ARBH , decBH , T,MBH .

D0= distanza da centro galattico

ϕ, ψ, θ= tre angoli di rotazione del sistema di riferimento (Cap 3)

e = eccentricita

a = asse maggiore

ARBH , DECBH= posizione del BH sul piano del cielo

T = passaggio al periastro

MBH = massadelBH

Tale funzione si costruisce facilmente nel seguente modo:

1. Dato il tempo, a cui sono state prese le misure, si ricava l’anomalia media M

dalla seguente relazione:

M =2π

P(t− T ) (26)

Dove P = 2π√a3√

GmBH.

2. Conoscendo adesso l’anomalia media e possibile ricavare l’anomalia eccentrica

E risolvendo l’equazione tracendentale:

M = E − e sinE (27)

La soluzione dell’equazione trascendentale e stata fatta utilizzando delle rou-

tine nella libreria Markwardt IDL.

3. L’anomalia eccentrica E adesso puo essere inserita nell’equazione che descrive

20

il moto della stella attorno al BH:x1 = a cosE − eax2 = a

√1− e2 sinE

(28)

4. Per legare le coordinate x1, x2 all’ascensione retta e alla declinazione utilizzo

le trasformazioni di riferimento ricavate nel Cap3: AR

δ

ξ3

=1

D0

F

x1

x2

x3

(29)

Ricordiamo che la coordinata x3 non verra considerata perche il moto avviene

sul piano dell’orbita (x1,x2). I parametri liberi introdotti sono i tre angoli

(ψ, ϕ, θ) delle trasformazioni di sistema di riferimento.

L’equazione conclusiva che utilizzero nel fit e la seguente:

AR(t) =1

D0

[(cosϕ cosψ−cos θ sinψ sinϕ)x1−(cosϕ sinψ+cos θ cosψ sinϕ)x2]+ARBH

δ(t) =1

D0

[(cosψ sinϕ+cos θ cosϕ sinϕ)x1− (sinϕ sinψ−cos θ cosϕ cosψ)x2]+δBH

I dati sono misurati in un sistema di coordinate in cui la posizione di SgrA* e (0,0),

quindi mi aspetto che ARBH , δBH siano prossimi all’origine. Nei dati da elaborare,

insieme alle coordinate astronomiche prese ad un certo tempo, ho anche, per alcuni

tempi, la velocita delle stelle lungo la linea di vista, ovvero la componente lungo

l’asse ξ3 del vettore velocita nel sistema di riferimento del laboratorio.

Adottando le stesse procedure del calcolo delle posizioni si ricava l’equazione della

componente lungo l’asse ξ3, necessaria per il fit:

vls = ξ3 = (sinϕ cos θ)x1 − (cosϕ sin θ)x2

Con: x1 = −aE sinE

x2 = a√

1− e2E cosE(30)

21

E si puo ricavare derivando l’equazione di Keplero 20, ovvero:

M = E − eE sinE

E =M

1− e sinE

con

M =2π

P

Quindi con IDL siamo stati in grado di scrivere dei programmi che, sfruttando le

funzioni delle posizioni delle stelle e la funzione della velocita delle stelle, eseguissero

un fit dei dati astronomici e restituissero i valori dei parametri liberi del sistema.

Noti i valori AR(t)mod, DEC(t)mod e Vmod riottenuti al tempo t dai parametri liberi,

considerando che gli errori sulle misure seguono una distribuzione di tipo gaussiano:

e[χ2

2], allora per vedere la bonta del fit abbiamo svolto il χ2 test per valutare quanto

le misure si discostano dai valori veri. Il χ2 e stato calcolaco come segue:

χ2 =N∑i=0

(ARmod − AR)2

AR2err

+(DECmod −DEC)2

DEC2err

+M∑i=0

(Vmod − V )2

V 2err

La minimizzazione del χ2 e stata ottenuta con la routine MPFIT, realizzata da

Markwardt, che fornisce anche gli errori sui parametri calcolati con la matrice di

covarianza.

22

Figura 7: Fit dell’orbita e della velocita della stella S1

23

Figura 8: Fit dell’orbita e della velocita della stella S2

24

Figura 9: Fit dell’orbita e della velocita della stella S8

25

4.2 Risultati

I parametri fittati risultano consistenti con quelli trovati in letteratura. Riporto

nella tabella che segue i valori di tali parametri per le tre stelle studiate: S1, S2, S8.

S1 S2 S8

D0 [kpc] 7.9801±0.7523 8.0275±0.4005 8.0275a (mpc) 17.5556± 5.6078 4.6938±0.1691 12.6276± 2.6580T (yr) 2000.5571±1.0081 2002.2984± 0.0165 1988.0799± 5.1318AR (arcsec) 0.0020± 0.0094 0.0001± 0.0012 0.1612±0.1496DEC(arcsec)

0 .0082± 0.0105 0.0025±0.0016 -0.0926±0.0899

MBH(106M) 4.6023± 0.9773 4.1863±0.4581 2.1448± 2.9080ecc 0.4053±0.2194 0.8767±0.0041 0.7767±0.0595ϕ (deg) 200.0332± 2.2837 314.7019±1.0275 43.2324± 0.9021ψ (deg) 68.7423± 8.3762 118.0029±1.1275 370.2584±31.1947θ(deg) 120.8705±2.5361 137.1809± 1.2703 -79.2872± 5.9749χ2 0.98 0.75 0.63

Tabella 1: Dati fittati

Dall’ analisi di tutti i dati, ho quindi trovato come stima della massa del Buco

Nero: (4.2± 0.2)M,ricavata come media pesata delle masse fittate per le tre stelle.

MBH =

∑Ni=0(wimi)∑Ni=0wi

con wi indico i pesi delle misure:

wi =1

σ2i

L’ errore e dato dalla somma in quadratura delle incertezze:

σBH = (N∑i=0

1

wi)

12

26

4.3 E veramente un Buco Nero?

Un oggetto come SgrA* con una massa di (4.2± 0.2)M e una dimensione r < a (

ad esempio considero a, semiasse maggiore di S2) avrebbe una densita di:

ρ =Mstimata

43πa3

∼=4 · 106

43π4 · 10−3

Mpc−3 ∼= 1010Mpc

−3

Se assumiamo come altermativa al SMBH, un ammasso di oggetti oscuri formato

ad esempio da nane marroni, stelle di neutroni, buchi neri stellari(M ∼= 1M), in

base ai calcoli di Mauz (1997) e stato possibile calcolare il tempo di vita massimo di

tale ammasso e verificare che tale tempo e molto piu breve della vita della galassia

stessa, quindi anche se assumiamo come alternativa al SMBH un ammasso oscuro,

sapremmo che questo degenerebbe comunque in un buco nero supermassivo.

Per stimare il tempo di vita massimo dell’ammasso assumiamo che: il sistema abbia

una bassa temperatura affinche le velocita di collisione fra le stelle siano minimiz-

zate, il sistema sia formato da oggetti di circa uguale massa e la distribuzione di

velocita delle stelle dell’ammasso sia di tipo Maxwelliano.

Con tali condizioni, il limite superiore al tempo di vita media del sistema e dato dal

processo di evaporazione e contrazione. Infatti quelle stelle che collidono fra di loro e

acquistano velocita maggione della velocita di fuga dell’ammasso riescono a scappar

via dalla dinamica chiusa del sistema, provocando di conseguenza, una contrazione

dell’ammasso su se stesso verso una nuova condizione di equilibrio a temperatura

minore. Una volta raggiunto tale equilibrio ci saranno delle stelle che riusciranno ad

acquistare nuovamente una velocita per evaporare dal sistema, innescando cosi una

ulteriore contrazione. Tale processo porta quindi all’ inevitabile collasso del sistema

in un buco nero supermassivo che contiene tutta la massa.

Il breve tempo di vita di un massiccio ammasso di materia oscura che si potrebbe

assumere come alternativa, se SgrA* non contenesse la maggior parte della massa e

la ricostruzione dell’ orbita della stella S2, che passa a soli 6 · 10−3pc dall’ oggetto

centrale che permette di vincolare la massa dell’ oggetto entro il raggio dell’orbita.

Questo permette di escludere quasi tutte le spiegazioni alternative a quella di un

buco nero supermassivo.

27

4.4 Conclusioni

Un argomento fondamentale a sostengono della tesi che la massa gravitazionale

stimata con misure nell’infrarosso sia associata con la sorgente radiativa SgrA* e

stata la chiusa corrispondenza fra le posizioni delle orbite delle stelle e la posizione

focale di SgrA* in tali orbite.

In questo lavoro ho determinato la massa del Buco Nero dai moti delle stelle S1,

S2, S8 ricavando il valore di (4.2± 0.2)M. Inoltre e stato possibile ricavare anche

la misura della distanza del centro galattico D0 per le stelle S1 e S2: (8.02 ± 0.12)

kpc.Per la stella S8, il valore del parametro D0 e stato fissato a quello della stella S2.

Qusto e stato fatto perche i dati misurati della stella S8 descrivono solo una pozione

dell’orbita, quindi attraverso il fit non si riesce a determinare in modo preciso i

parametri liberi.

Le coordinate delle stelle sono in un riferimento in cui SgrA* e in (0,0) quindi,

osservando le posizioni del BH fittate per le tre stelle, S1: ARBH = (0.0020±0.0094)

arcsec e DECBH = (0.0082± 0.0105) arcsec; S2: ARBH = (0.0001± 0.0012) arcsec

e DECBH = (0.0025 ± 0.0016) arcsec; S8: ARBH = (0.1612 ± 0.1496) arcsec e

DECBH = (−0.0926 ± 0.0899) arcsec; posso affermare che il BH e praticamente

coincidente con SgrA*, entro gli errori. Osservando i risultati posso notare che i

parametri migliori sono quelli della stella S2, questo probabilmente e dovuto al fatto

che i dati misurati riescono a descrivere completamente l’obita. Mentre per le stelle

S1 ed S8 i dati forniscono solo una porzione dell’orbita. Inoltre osservando i χ2,

posso capire che per la stella S1 i dati ricostruiscono la porzione di orbita in modo

piu preciso rispetto alla stella S2, questo lo posso spiegare considerando che i dati

che descrivono l’orbita completa della stella S2 devono rispettare un vincolo piu

forte dei dati della stella S1 che descrivono solo una porzione dell’orbita e quindi che

risultano meno vincolati. Questo si riscontra anche negli andamenti delle velocita

(Fig. 5, 6, 7).

28

Riferimenti bibliografici

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[2] F.Eisenhauer (2005) The Astrophysical Journal 628 246-259

[3] F. Melia, H. Falcke (2001) Annu. Rev. Astron. Astrophys., Springer, 39 309-361

[4] Nevin N. Weinberg, Milos Milosavljevic, A.M. Ghez (2005) The Astrophysical

Journal 622 878-891

[5] R. Shodel, R. Genzel, R. Hoffman (2002) Nature 419 694-696

[6] A. Eckart, R. Genzel, T. Ott, R. Shodel (2002) Mon. Not. Astron. Soc. 331

917-934

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