Definizione Un polinomio si dice….

Operazioni con i polinomi Prodotti notevoli

Regola di Ruffini Teorema del resto di Ruffini

fine

Mammana Achille PatrizioSignorino Rosaria

di

Esercizi Verifica finale

Polinomio è la somma algebrica di più monomi

Nella forma canonica non compaiono monomi simili

Esempio

2a+4b-3c +5d –3 x questo è un polinomio in forma canonica

2x+3y –5z –7x non è un polinomio ridotto in forma canonica

Sono monomi simili

Indice

Somma algebrica

Divisione

Moltiplicazione

Indice

Operazioni con i polinomi

Somma algebrica

Si esegue solo fra monomi simili.

Si sommano i coefficienti e si lascia inalterata la parte letteraleEsempio svolto

32

32

32

2

3232

3232

12

1

3

142

12

1

3

142

12

1615

3

2122

3

4

4

5

3

24)75(

3

4

3

27

4

545

3

4

3

27

4

545

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

xxxxxx

Indice Torna alle operazioni

Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale

Esempio

xyxyxy3

2;4;2

23;5 xx

Sono simili

Non sono simili

IndietroIndice

Moltiplicazione

Si usa la proprietà distributiva

Moltiplicazione di un monomio per un polinomioSi moltiplica il monomio per ciascun monomio del polinomio

Esempio

533323232232 152533

235

3

23 yxyxxyyxxyxxyxyx

Moltiplicazione di due polinomi

Si moltiplica ogni termine del primo per ogni termine del secondo

Esempio

yyxxyxyyxyxxyx

yxyyxxyxyx

4424242

)42()42()42()(2222

Torna alle operazioniIndice

Un polinomio si dice:

intero se gli esponenti dei monomi che lo compongono sono tutti

interi positivi o nulli

nullo se tutti i coefficienti sono nulli

yxxy 432

Grado complessivo

è il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono

Grado rispetto ad una lettera

è il massimo grado con cui compare la lettera

62243732 352 zyxyxzyx

complessivamente è di grado 10

è di grado 3 rispetto ad x

è di grado 6 rispetto ad y

è di grado 7 rispetto a z Avanti

intero

yxyx 532 23 non è intero

Indice

omogeneo se tutti i monomi che lo compongono sono dello stesso

grado

ordinato se compaiono le potenze delle variabili in ordine

crescente o decrescente

completo se compaiono tutte le potenze, dal grado massimo al

grado zero, delle variabili

zyyxxxyz 223

3

7432 omogeneo di grado 3

42

3

542

3

542

xx

xx

decrescente

crescente

27542 342 xxxx ordinatoIndietroIndice

Divisione di un polinomio per un monomio ( 0)

Si applica proprietà distributiva destra della somma algebrica rispetto alla divisione e le proprietà delle potenze

Esempio

22222

223

22

34

22

42

2222322342242

222233442

23

8

3

6

3

8

3

3

)3(6)3(8)3(3

)3()683(

xzyxzyyx

zyx

yx

yx

yx

zyx

yxzyxyxyxyxzyx

yxzyxyxzyx

2 2 1 2 1

Divisione fra due polinomiTorna alle operazioniIndice

Divisione fra due polinomi

Condizioni:a) Il polinomio divisore deve essere 0 per ogni valore delle variabilib) Grado del Dividendo grado del divisore

Prima di effettuare la divisione, occorre:1) Ordinare Dividendo e divisore secondo le potenze decrescenti della

variabile2) Completare, qualora non sia già completo, il dividendo

Dividendo divisore

Quoziente

Resto

SchemaD=d·Q+R

Indietro ContinuaIndice

Esempio

0118446 22234 xxconxxxxx

Ordiniamo e completiamo il Dividendo, ordiniamo il divisore ( non è necessario completare, neanche nel caso in cui il divisore è incompleto )

80446 234 xxxx 12 xx1) Disponiamo secondo lo schema

2) Dividiamo il primo termine del Dividendo per il primo termine deldivisore e scriviamo il risultato

80446 234 xxxx 12 xx26x

ContinuaIndietroIndice

80446 234 xxxx 12 xx

3) Moltiplichiamo il Quoziente ottenuto per tutti i termini del divisore sottraiamo i prodotti ottenuti dai termini di uguale potenza del Dividendo

26x234 666 xxx

8022// 23 xxx4) Ripetiamo la tecnica descritta considerando i resti ottenuti come Dividendi, fino a quando il grado del Resto è inferiore di quello del Quoziente

80446 234 xxxx 12 xx

xx 26 2 234 666 xxx

8022// 23 xxx

xxx 222 23 82//// x

Si ottiene:

82

26 2

xR

xxQ

IndietroTorna alle operazioniIndice

Si chiamano prodotti notevoli alcuni particolari prodotti di polinomi che si calcolano velocemente ricordando alcune regole, che ora esaminiamo.

Somma per differenza

Cubo di binomio

Quadrato di binomio

Quadrato di polinomio

Potenza di binomio

Indice

1) Prodotto di una somma per una differenza

(A+B)(A-B) = A2 – B2

Infatti: (A+B)(A-B) = A2 – AB + BA - B2

Esempi

a. (2x+3y)(2x-3y) = 4x2 - 9y2

b. (2x2y3+5y4)(-2x2y3+5y4) = - 4x4y6 + 25y8

9x9

43x

3

23x

5

2 422

c.

Indice Altri prodotti notevoli

2) Quadrato di binomio

(A + B )2 = A2 + 2AB +B2

Infatti: ( A + B )2 = ( A + B )( A + B ) = A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2

e ( A - B )2 = ( A - B )( A - B ) = A2 - AB – BA + B2 = A2 -2AB + B2

25x5x4

1255x

2

12x

4

15x

2

1 36362

3

Indice

(2x+3y)2 = 4x2+2·2x ·3y + 9y2 = 4x2 + 12xy + 9y2

Esempi

Altri prodotti notevoli

3) Calcoliamo, come esempio, il quadrato di un trinomio

Quadrato di trinomio

(A + B - C )2 = A2 +B2 +C2+ 2AB – 2AC –2BC

Infatti ( A + B – C )2 = ( A + B – C ) ( A + B – C ) =

A2 +AB –AC +BA +B2 –BC –CA –CB +C2 =

A2 + B2 + C2 + 2AB – 2AC –2BC

Esempio

yxxyyx

yxyxyxyx

612494

)3()(2)3()2(2)()2(294)32(22

222

Indice Altri prodotti notevoli

4) Cubo di binomio

( A + B ) 3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2

Infatti ( A + B )3 = ( A + B)2( A + B ) = ( A2 + 2AB + B2 ) ( A + B ) =

A3 + A2 B + 2A2B + 2AB2 + B2A + B3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

e ( A - B )3 = ( A - B)2( A - B ) = ( A2 - 2AB + B2 ) ( A - B ) =

A3 - A2 B - 2A2B + 2AB2 + B2A - B3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 Esempi

xxxxxxx

xyyxyxyxyxyxyx

1268)4()(3)2()(38)2(

6128)()2(3)()4(38)2(23233

223322333

Indice Altri prodotti notevoli

5) Potenza di un binomio ( A + B )n , nNSappiamo che:

(A + B )0 = 1

(A + B )1 = A + B

(A + B )2 = A2 + 2AB +B2

( A + B ) 3 = A3 + 3A2B + 3AB2 +B3

Notiamo che:1) Il numero dei termini di ( A + B ) è n + 1;2) Ogni sviluppo è un polinomio omogeneo di grado n, completo e

ordinato secondo potenze decrescenti di A e crescenti di B;3) I coefficienti estremi sono 1 e quelli equidistanti da essi sono fra

loro uguali.

ContinuaIndice Altri prodotti notevoli

tali coefficienti si ricavano dal Triangolo di Tartaglia

n=0 1n=1 1 1n=2 1 2 1n=3 1 3 3 1n=4 1 4 6 4 1n=5 1 5 10 10 5 1 .…………………………i numeri di ciascuna riga,tranne il primo e l’ultimo che sono 1, si ottengono addizionando i due numeri della riga precedente. Così è possibile ricavare i coefficienti di qualsiasi potenza.

Indietro

Esempio( x + y )5 = x5 +5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

Indice Altri prodotti notevoli

Regola di Ruffini

Continua

Quando, in una divisione di polinomi, il divisore è un binomio del tipo x-n con n numero reale qualunque, per determinare Quoziente e Resto possiamo utilizzare un procedimento rapido, detto regola di Ruffini, che permette di calcolare i coefficienti del polinomio Q e il resto R.

Vogliamo eseguire la divisione:

)4()9103( 2 xxxApplichiamo la regola di Ruffini, costruendo lo schema seguente e inserendo, nelle zone indicate, gli elementi specificati

Coefficienti del Dividendo Termine noto del Dividendo

Opposto del termine noto del divisore

Indice Altri prodotti notevoli

+3 -10 -9

+41)

+3 -10 -9

+42)

+3 -10 -9

+43)

+3 -10 -9

+44)

Si ha:

+3Si abbassa il primo coefficiente del Dividendo: +3 è il primo coefficiente del Quoziente

+3

Moltiplichiamo +3 per +4 e scriviamo il risultato nella colonna successiva a +3, ossia sotto -10

+12

Sommiamo –10 e +12 e scriviamo il risultato nella stessa colonna, sotto la linea orizzontale: +2 è il secondo coefficiente del Quoziente

+3

+12

+2

ContinuaIndietroIndice Altri prodotti notevoli

ContinuaIndietro

+3 -10 -9

+4

5)

+3

+12

+2

Ripetiamo il procedimento,

moltiplicando +2 per +4 e scrivendo il risultato nella colonna a destra di +2, sopra la riga orizzontale

+8

+3 -10 -9

+4

+3

+12

+2

+8

6)

+8

-1

Sommiamo –9 e +8 e scriviamo il risultato nella stessa colonna, sotto la linea orizzontale: -1 è il Resto

+3 -10 -9

+4

+3

+12

+2

+8

7)

+8

-1

Coefficienti

del Quoziente

Si sono ottenuti +3 e +2 come coefficienti del Quoziente e –1 come Resto. Tenendo conto che il Quoziente è di un grado inferiore del Dividendo, in definitiva, si ha:

Resto

Q = 23 x

R = - 1

Indice Altri prodotti notevoli

Indietro

Se il divisore è un binomio del tipo mx+n, con m≠1 occorre:1) dividere prima ciascun termine del dividendo e del divisore per

m2) eseguire la regola di Ruffini3) moltiplicare il resto ottenuto per m

Esempio

2

1:

2

1

2

32

12:1342

23

23

xxxx

xxxx si divide per 2

si ottiene

Si esegue la regola2

1

2

321

8

11

4

5

2

1

2

1

8

15

4

11

2

51

ottenendo

4

152

8

15

4

11

2

52)(

R

xxxQ

Indice Altri prodotti notevoli

Il teorema del resto di Ruffini

Il resto della divisione tra P(x) e x + n è R = P(- n)Il resto della divisione tra P(x) e x - n è R = P(+ n)

inoltreIl polinomio P ( x ) è divisibile per x + n se R = P(- n) = 0Il polinomio P ( x ) è divisibile per x - n se R = P(+ n) = 0

Esempio 1

3;132)( 3 xxxxP

Per la regole del resto si ha : 441)3(3)3(2)3( 3 PR

Esempio 2

2;1032)( 3 xxxxP

Per la regole del resto si ha : 010)2(3)2(2)2( 3 PR

nell’esempio 2 P(x) è divisibile per x-2

Indice

32

23232

)2()52)(52()34()13(2)

)43)(2()543)(53()

)23(5)187

2(7)1

3

12(3)

)173()52

7

3

23()15

3

42()

xxxxxxd

axaxxaxac

abbaabaab

xxxxxxxxa

62

3232

32

23

22

23)

)53)(53()

)32()

)253()

)52()

xaxi

byxbyxh

axg

axxaf

yxe

)12(:)2363()

)2(:)2543()

)3(:)4652()

)2(:)543()

423

423

234

2424253

xxxxd

xxxxc

xxxxb

axxabxaxaa

EserciziCalcola:

Esegui le seguenti divisioni:

Indice

Indice

17141416221.4

111412:41221.3

93221149

10

3

1

3

1.2

2

14

2

132

2

113

2

732

2

1.1

32224

24222232

22222222

2

xxxxxx

aaaaaaaaaaa

xxaxaxaaaxax

yxyxyxyxyxxy

22433224

224

2:446.6

532:4153.5

yxyxyyxxyyxx

xxxxx

bababa

aaaa

:34.8

23:583

53.7

323

34

VERIFICA Esegui le operazioni indicate:

Esegui le divisioni tra polinomi( nel caso di due variabili dividere rispetto alla x):

Esegui la divisione applicando la regola di Ruffini( nel caso di due variabili dividere rispetto alla a):