Definizione algebrica di integrale: l'integrale indefinito

L'integrale indefinito

E' possibile definire semplicemente l'integrale dal punto di vista algebrico come operazione inversa della operazione di derivata; l'integrale allora prenderà il nome di integrale indefinito.

Data una funzione f(x), continua nel suo insieme di esistenza, si dice Primitiva di f(x) una qualsiasi funzione F(x) la cui derivata è uguale alla funzione data f(x):

F(x) = primitiva di f(x) <=> d F x dx

= f x

Naturalmente, poiché la derivata di una costante è uguale a 0, ogni funzione f(x) ha infinite primitive, che differiscono tutte per una costante additiva. Ad esempio, è semplice trovare che una primitiva di f(x)=3x è F1(x)= 3/2 x2 , ma anche F2(x)= 3/2 x2 +1 e F3(x)= 3/2 x2 +3 lo sono. In generale, le infinite primitive di f(x)=3x sono tutte del tipo F(x) = 3/2 x2 + c , dove c è una qualsiasi costante che non dipende dalla variabile x.

Si dice Integrale Indefinito di f(x) l'insieme (infinito) delle sue Primitive F(x):

Integrale indefinito di f(x) : ∫ f xdx=F x

L'integrale indefinito è, dunque, l'operazione inversa della derivata. Data una funzione f(x), integrandola otterrò la F(x) e, inversamente, derivando la F(x) otterrò di nuovo la f(x).Riportiamo qui sotto una tabella degli integrali indefiniti delle principali funzioni elementari. E' opportuno cercare di ricordarle a memoria in quanto, per calcolare l'integrale di funzioni più complesse, si cercherà di ridurre l'integrale ad una combinazione di integrali elementari:

∫ k dx=k⋅xc ∫a x dx= 1ln a

a xc

∫ xn dx= 1n1

xn1c con n ≠ 1 ∫sin x dx=−cos xc

∫ 1x dx=ln xc ∫cos x dx=sin xc

∫e x dx=exc ∫ 11x2

dx=arctg xc

∫ 1x2dx=−1

x ∫ek x dx= ek x

kc

www.easymaths.altervista.org

Calcolo di un integrale indefinito

Vediamo, ora, come procedere per calcolare un integrale indefinito, a seconda del tipo di funzione presente sotto il segno di integrale.

Proprietà di linearitàCominciamo con l'enunciare due regole utilizzate per il calcolo degli integrali indefiniti, regole che rappresentano le proprietà di linearità dell'operatore integrale.

➔ L'integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni:

∫ [ f 1x f 2x ... f n x]dx=∫ f 1x dx∫ f 2x dx...∫ f nx dx

vale a dire, se devo integrare una somma di funzioni posso “spezzare” la sommatoria nei singoli termini e calcolare i singoli integrali.

➔ L'integrale di una costante moltiplicata ad una funzione è uguale alla costante per l'integrale della funzione:

∫ k⋅ f xdx=k⋅∫ f x dx

cioè, le costanti moltiplicative si possono portare fuori del segno di integrale.

Funzione data:

Primitiva di f(x):

Derivata di f(x):

f ' x=d f x dx f x =∫ f ' xdx

F x =∫ f xdxf x =d F xdx

F x

f x

f ' x

www.easymaths.altervista.org

Integrazione per scomposizione

In molti casi, la funzione da integrare può essere scomposta, mediante semplici metodi algebrici, in una combinazione di funzioni più semplici da integrare. E' il caso, ad esempio, di alcune tipi di funzioni fratte, nelle quali, aggiungendo e sottraendo una stessa quantità al numeratore, si rende il numeratore stesso semplificabile con il denominatore. Vediamo un semplice esempio:

Calcolare l'integrale: ∫ xx−1

dx

aggiungo e sottraggo al numeratore una stessa quantità scelta opportunamente. In questo modo si può spezzare la frazione in due termini, ognuno dei quali è integrabile immediatamente:

∫ xx−1

dx=∫ x−11x−1dx=∫ x−1x−1

dx∫ 1x−1

dx=∫1dx∫ 1x−1

dx= xln∣x−1∣c

Integrazione per sostituzione

Il metodo dell'integrazione per sostituzione consiste nel definire una variabile di integrazione diversa e sostituirla nella funzione da integrare, avendo cura di sostituire anche il differenziale dx. Le funzioni che si possono integrare con questo metodo si riconoscono perché sono presenti una funzione e la sua derivata, a meno di fattori costanti. Per risolvere l'integrale, dunque, si definisce una nuova variabile di integrazione (che di solito si indica con t) e poi si calcola la derivata della t rispetto alla x per poter sostituire il differenziale. Si ottiene, dunque, un nuovo integrale nella variabile t che si dovrebbe poter integrare facilmente. Infine, dopo l'integrazione, si ritorna alla variabile originaria. Vediamo il metodo applicato nel caso di un semplice esempio:

Calcolare l'integrale indefinito: ∫ 2x4x24 x5

dx

si noti che il numeratore corrisponde alla derivata della funzione al denominatore. Allora, si pone:

t=x24 x5 da cui, derivando: dtdx

=2 x4 => dx=dt

2 x4A questo punto, sostituendo nell'integrale, si ottiene:

∫ 2x4t ⋅ dt2 x4

=∫ 1t dt

che si può risolvere semplicemente ricorrendo alla tabella degli integrali elementari:

∫ 1t dt=ln tc=ln 2 x4c

dove nell'ultimo passaggio si è ritornati alla variabile iniziale x.

www.easymaths.altervista.org

Ricapitolando: • Decidi quale funzione considerare come t • Poni la funzione uguale a t • Fai la derivata rispetto a x della nuova variabile t e ricava il differenziale dx• Sostituisci nell'integrale di partenza alla funzione il valore t ed a dx il valore

calcolato• Controlla che spariscano tutti i termini con la x (se non spariscono torna all'inizio e

considera, se possibile, un'altra funzione come t; se non puoi considerare un'altra funzione passa a provare l'integrazione per parti)

• Calcola l'integrale con la nuova variabile di integrazione t • Sostituisci nel risultato a t la funzione iniziale

Integrazione per parti

Veniamo al caso in cui la funzione integranda si può scrivere come il prodotto di due funzioni più semplici. Per calcolare un integrale di questo tipo si può usare la formula di integrazione per parti, formula che si ottiene a partire da quella della derivata di un prodotto. E' possibile scrivere la formula in molti modi diversi, ne vediamo due:

1. ∫ f ' x ⋅g xdx= f x ⋅g x−∫ f x ⋅g ' x dx

Se si vuole usare questa tipo di formula si deve, per prima cosa, stabilire quale dei due fattori della funzione integranda considerare come f'(x) e quale come g(x). Bisogna fare attenzione perché, per ottenere la f(x) che compare al secondo membro della formula, si deve integrare la f'(x):Esempio: calcolare l'integrale indefinito: ∫ x⋅cos x dxLa funzione da integrare è il prodotto di due funzioni: x e cos(x). Intuitivamente, dovendo fare l'integrale del prodotto di due funzioni, di una si deve saper fare la derivata e dell'altra l'integrale. Molto spesso, come in questo caso, di una funzione si conosce sia l'integrale che la derivata. Allora, è consigliabile scegliere in modo che il risultato sia un integrale più semplice di quello di partenza. Ad esempio, se considero x3 da derivare, ottengo 3x2 cioè un grado più basso, mentre se la considero da integrare ottengo x4 /4 cioè un grado più alto. Di solito, perciò, si deve cercare di abbassare il grado della funzione. Nell'esempio sopra, dunque, consideriamo la x come la funzione di cui dovremo trovare la derivata (in modo da abbassarla di grado) e cos(x) come quella che dovremo integrare:

f'(x) = cos x => f(x) = sin xg(x) = x => g'(x) = 1

Applicando la formula:

∫ x⋅cos x dx= x⋅sin x−∫ sin x⋅1dx=x⋅sin x−∫ sin x dx= x⋅sin xcos xc

www.easymaths.altervista.org

2. ∫ f x⋅g x dx= f x⋅∫ g x dx−∫ [ f ' x ⋅∫ g x dx ] dx

Se, invece, si vuole applicare l'integrazione per parti in questa forma si devono scegliere la f(x) e la g(x) opportunamente, tenendo conto che al secondo membro della relazione compaiono la derivata della f(x) e l'integrale della g(x) e che bisognerà calcolarli a parte. Nell'esempio sopra abbiamo visto che, di solito, nella scelta delle funzioni da integrare si deve cercare di abbassare il grado della funzione, ma ci sono delle eccezioni, come l'esempio qui sotto.

Esempio:

Calcolare l'integrale: ∫ x⋅ln x dx

La funzione da integrare è il prodotto delle due funzioni: x e ln(x). Della funzione logaritmo si conosce bene la derivata (1/x) ma non è semplice farne l'integrale. Dunque è meglio considerarla come f(x):

f(x) = ln x => f'(x) = 1/xg(x) = x => ∫ g(x) dx = x2/2

Applicando la formula:

∫ x⋅ln x dx=ln x⋅∫ x dx−∫ 1x⋅∫ x dxdx=12 x2⋅ln x−∫ 1x⋅12 x2dxe, svolgendo l'integrale al secondo membro:

∫ x⋅ln x dx=12 x2⋅ln x−1

2∫ x dx=12x2 ln x−1

4x2c

Ricapitolando:

• Si parte da una funzione integranda che si può scrivere come il prodotto di due funzioni

• Si deve decidere quale dei due fattori sarà quello da derivare e quale da integrare• Si applica la formula e si eseguono i calcoli

Un caso abbastanza interessante dell'integrazione per parti è la cosiddetta integrazione per ricorrenza.

www.easymaths.altervista.org

Integrazione per ricorrenza

Gli integrali per ricorrenza sono un po' "strani": devi integrare finché lo stesso integrale non compare al secondo membro dell'equazione, a meno di fattori costanti moltiplicativi. Portando al primo membro l'integrale ottenuto e sommandolo algebricamente a quello iniziale si può ricavarne il valore. Vediamo il metodo applicato: calcolare ∫sin2 xdx

Si può procedere all'integrazione per parti pensando la funzione da integrare scritta comesin2 x=sin x⋅sin x . Applicando la formula di integrazione per parti (la N.2):

∫ sin x⋅sin x dx=sin x⋅∫sin x−∫cos x⋅∫sin x dx dx=−sin x⋅cos x∫ cos2 xdx

usiamo, ora, la relazione trigonometrica fondamentale: sin2 xcos2 x=1 , allo scopo di far comparire il temine sin2x nell'integrale al secondo membro:

∫sin2 xdx=−sin x⋅cos x∫ 1−sin2 x dx=−sin x⋅cos x∫1dx−∫sin2 x dx

A questo punto, al secondo membro ricorre lo stesso integrale iniziale. Lo trasporto, dunque, al primo membro e lo sommo algebricamente:

∫sin2 xdx∫ sin2 x dx=−sin x⋅cos x∫1dx

da cui:

2∫sin2 x dx=−sin x⋅cos x x

e, infine, portando il 2 al denominatore del secondo membro si ottiene l'integrale dato:

∫sin2 xdx=−sin x⋅cos x x2

c

www.easymaths.altervista.org

Metodo delle funzioni razionali

Si tratta di un metodo molto generale per calcolare l'integrale indefinito di funzioni razionali fratte, cioè del tipo :

f x = N x D x

dove, sia il numeratore che il denominatore sono polinomi in x. Scopo del metodo consiste nel decomporre la frazione data in una somma di frazioni integrabili in modo elementare (fratti semplici).Supponiamo che il grado del polinomio al numeratore N(x) sia inferiore a quello del denominatore D(x) ; se è vero il contrario, bisognerà utilizzare il metodo di divisione dei polinomi per ritrovarci nel caso in ipotesi. Per semplicità, ci limiteremo al caso in cui il denominatore possa essere scomposto in un certo numero di fattori di primo grado del tipo (ax+b). Vediamo come applicare il metodo con un esempio:Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x1x2−3 x2

dx

La funzione da integrare è una funzione fratta, con polinomi al numeratore e al denominatore. Inoltre, il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore.Cominciamo con lo scomporre in fattori il denominatore:

x1x−2x−1

A questo punto, lo scopo è “scindere” la frazione in una somma di due termini del tipo:

Ax−2

Bx−1

dove i termini A e B devono essere ancora determinati. Lo faremo, semplicemente, mettendo a denominatore comune:

Ax−2

Bx−1

=Ax−1B x−2

x−2 x−1= A x−AB x−2 B

x−2x−1= AB x−A−2 B

x−2 x−1

confrontando il risultato con la funzione iniziale, possiamo scrivere:

AB x−A−2 B= x1

www.easymaths.altervista.org

e uguagliando separatamente i coefficienti della x e i termini noti otteniamo il sistema di equazioni:

{ AB=1−A−2 B=1

che fornisce i valori di A e B:

A = 3 e B = -2

La funzione iniziale da integrare, dunque, può essere scritta come:

∫ 3x−2

− 2x−1

dx

un integrale che si può risolvere con metodi elementari:

∫ 3x−2

− 2x−1

dx=3∫ 1x−2

dx−2∫ 1x−1

dx=3 ln∣x−2∣−2 ln∣x−1∣

Non sempre, però, con le funzioni razionali fratte è necessario applicare il metodo della scomposizione in fratti semplici. Vediamo, infatti, un altro esempio che illustra una tecnica leggermente differente. Si tratta del caso in cui il denominatore è un polinomio di secondo grado che risulta essere il quadrato di un binomio.Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x24 x2−4 x1

dx

scomponendo in fattori il denominatore, si vede che è il quadrato di un binomio:

4 x2−4 x1=2x−12

A questo punto, lo scopo è far comparire al numeratore proprio la funzione derivata del denominatore (8 x - 4), e lo faremo moltiplicando per un fattore opportuno e, successivamente, aggiungendo e sottraendo una quantità al numeratore:

∫ x24 x2−4 x1

dx=18∫

8 x164 x2−4 x1

dx=18∫

8 x16−20204 x2−4 x1

dx=18∫

8 x−4204 x2−4 x1

dx

Possiamo, ora, separare la frazione in due termini e ottenere due integrali:

18∫

8 x−44 x2−4 x1

dx18∫

204 x2−4 x1

dx

www.easymaths.altervista.org

integrali che possono essere risolti separatamente con tecniche elementari:

18∫

8 x−44 x2−4 x1

dx=18ln 4 x2−4 x1=1

8ln 2 x−12=1

4ln∣2 x−1∣

18∫

204 x2−4 x1

dx= 52∫

12 x−12

dx=52∫ 2 x−1−2dx=−5

42 x−1−1

Si ha, dunque, il risultato finale:

∫ x24 x2−4 x1

dx=14ln∣2 x−1∣−5

4⋅ 12 x−1

Nota

Se la funzione razionale da integrare è impropria, cioè se il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore, allora bisogna prima effettuare la divisione dei due polinomi secondo le regole dell'algebra. Detto Q(x) il quoziente della divisione e R(x) il resto, si ha:

N x D x

=Q x R xD x

e perciò:

∫ N x D x

dx=∫Q x dx∫ R xD x

dx

Il primo integrale della somma è, semplicemente, l'integrale di un polinomio, che si può calcolare con metodi elementari, mentre il secondo integrale ci riconduce al caso visto in precedenza di una funzione razionale fratta con numeratore che ha grado inferiore a quello del denominatore (in quanto il resto di una divisione tra polinomi ha sempre grado inferiore a quello del divisore).

www.easymaths.altervista.org

Schema di procedura per il calcolo di un integrale indefinito

Riportiamo di seguito uno schema riassuntivo dei passi necessari per calcolare l' integrale indefinito di una funzione data.

1. Integrale immediato Come prima cosa devi vedere se l'integrale è immediato, cioè se è compreso nella tabella degli integrali.

2. Integrazione per scomposizione Se l'integrale non è immediato, prima di considerare metodi più avanzati, prova a vedere se c'è modo di semplificare la funzione, aggiungendo e sottraendo la stessa quantità al numeratore, oppure applicando le relazioni trigonometriche, o ancora spezzando la funzione in una somma di funzioni, in modo da ricondurla ad una somma di integrali immediati.

3. Integrazione per sostituzione Successivamente, prova a vedere se si può risolvere mediante sostituzione: in genere, è risolvibile per sostituzione se l'argomento dell'integrale contiene contemporaneamente una funzione e la sua derivata.

4. Integrazione per parti Se l'integrale non è risolvibile per sostituzione dovrai provare l'integrazione per parti: potrai fare l'integrale per parti se l'argomento dell'integrale si può spezzare in due funzioni, una di cui conosci l'integrale e l'altra di cui conosci la derivata. Tieni presente che, applicando questo metodo, puoi ritrovarti alla fine con un caso di integrale per ricorrenza.

5. Metodo delle funzioni razionali Se ancora non hai risolto l'integrale, osserva se è una funzione razionale ed, in tal caso, usa il metodo per le funzioni razionali.

6. Metodo delle serie Se poi non è una funzione razionale, prova a sviluppare la funzione in serie di potenze e fai l'integrale di ogni termine della serie.

www.easymaths.altervista.org