DALLA TEORIA DEI CAMPI ELETTROMAGNETICI AL MODELLO DI...

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DALLA TEORIA DEI CAMPIELETTROMAGNETICI AL MODELLO

DI CIRCUITO A COSTANTICONCENTRATE

Seminario interdisciplinare del corso diTeoria dei Circuiti 1 - I modulo

Docente: Prof. Raffaele Parisi

Università di Roma “La Sapienza”Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

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BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE• G. MARTINELLI - M. SALERNO:

“Fondamenti di Elettrotecnica” - Vol. I - pp. 22-32• E. DI CLAUDIO:

“Introduzione alla Teoria dei Circuiti” - PP. 14-38

1- Descrizione del fenomeno elettromagnetico(grandezze fisiche, parametri e relazioni costitutive, eq. Maxwell)

2- Problema fondamentale dell’elettromagnetismo(approccio campistico e circuitale)

3- Ipotesi di costanti concentrate (enunciati e limiti di validità)

4- Conseguenze dell’ipotesi di costanti concentrate(suddivisione in regioni tipiche)

5- Modello del circuito a costanti concentrate(caratterizzazione con V ed I, leggi di Kirchhoff, relazioni costitutive)

INDICE

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1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico

• Il fenomeno elettromagnetico è dovuto all’esistenza delle cariche elettriche

• Una struttura spaziale contenente corpi diversi (ambienteeterogeneo) è sede di fenomeni e.m. quando è sollecitata dall’esterno

Trasformazioni energetiche

• Per una caratterizzazione quantitativa occorre introdurre:

a) Grandezze fisiche appropriateb) Parametri rappresentativi dei corpic) Relazioni costitutive dei materialid) Equazioni di Maxwell

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a) GRANDEZZE FISICHE:

CAMPO ELETTRICO [Volt/metro]

determinato da una distribuzione di cariche

INDUZIONE ELETTRICA [Coulomb/m2]

determinato dall’interazione di con un materiale elettrico

CAMPO MAGNETICO [Amperspira/m]

determinato da cariche in movimento

INDUZIONE MAGNETICA [Weber/m2]

determinato dall’interazione di con un materiale magnetico

DENSITÀ DI CORRENTE DI CONDUZIONE [Ampere/m2]

legata al moto delle cariche

E→

D→

H→

J→

B→

H→

1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)

E→

5

•Le grandezze fisiche sono tutte di tipo vettoriale

•Sono descritte da opportuni modelli matematici epossono essere determinate con metodi analitici,sperimentali o numerici


PROPRIETÀ DELLE GRANDEZZE FISICHE

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b) PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO I MATERIALI:

ε COSTANTE DIELETTRICA o PERMETTIVITÀ [Farad/m]

µ PERMEABILITÀ MAGNETICA [Henry/m]

γ CONDUCIBILITÀ [Ω-1/m]

ρ DENSITÀ SPAZIALE DI CARICA [Coulomb/m3]

IPOTESI:

Hp 1: ISOTROPIA quantità scalari

Hp2: LINEARITÀ, PERMANENZA ed OMOGENEITÀ indipendentidallo stato e.m., dal tempo e dal punto.

COSTANTI SCALARI

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c) RELAZIONI COSTITUTIVE (CORPI O MATERIALI SEMPLICI):

e rappresentano le ECCITAZIONI ESTERNE(trasformazioni energetiche)

ρ (densità di carica) può essere considerata SORGENTE INTERNA

E0

→J0

→


0 0( )

tε

µ

γ

∂= = −

∂=

= − +

BD E

B H

J E E J

rr r

r rr r r r

R1

R3

R2

8

d) EQUAZIONI DI MAXWELL:

densità correntemagnetica dispostamento

densità correnteelettrica dispostamento


:Bt

∂∂

r

:Dt

∂∂

r

M1

M3

M4

M2

0

rott

rott

div

div ρ

∂= −

∂∂

= +∂

=

=

BE

DH J

B

D

rr

rr r

rr

Equazioniindipendenti

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E→

D→

H→

J→

B→

CHIUSURA ANALITICA DEL PROBLEMA E.M.:

• 5 incognite ( , , , e )

• 5 equazioni

• Le equazioni di Maxwell costituiscono il modello matematicofondamentale (di massima sintesi) del fenomeno e.m.

• Ogni variazione temporale di un campo in un punto presupponel’esistenza, o la variazione temporale, del campo complementarenello stesso punto


2 equazioni indipendenti (M1 e M2)

3 relazioni costitutive

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RICHIAMO SU TEOREMI E RELAZIONI VETTORIALI

TEOR. DI STOKES (DEL ROTORE):

Applicato ad M1 ed M2fornisce:

M1’)

M2’)

d S

n→

τ→

Sc

c

rot Γ→

⋅ n→

dS = Γ→

⋅ τ→

dcc∫Sc

∫∫

E→

⋅ τ→

dc = − ∂ B→

∂t⋅

Sc∫∫c∫ n

→dS

H→

⋅ τ→

dc = ∂ D→

∂t⋅

Sc∫∫c∫ n

→dS + J

→⋅ n→

dSSc

∫∫

Circuitazioni di edE→

H→


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TEOR. DELLA DIVERGENZA:

Applicato ad M3 ed M4fornisce:

M3’)

M4’) DIVERGENZA DEL ROTORE:

n→

d V

V

SV

d Sdiv Γ

→dV = Γ

→⋅ n

→dS

SV∫∫V∫∫∫

B→

⋅ n→

dS = 0SV

∫∫D→

⋅ n→

dS = ρdVV∫∫∫SV

∫∫divrot Γ

→= 0 ∀ Γ

→

Flussi di eB→

D→


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2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE

Eccitazioni (cause) Uscite (effetti)

Due possibili approcci alla soluzione, distinti ma complementari:

1) Campistico

2) Circuitale

SEDE DELFENOMENO E.M.

SEDE DELFENOMENO E.M.

Struttura eterogenea caratterizzatada parametri fisici e geometrici noti

0 0, , ρE Jr r

, , , ,E D H B Jr r r r r

esterne interna

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1) Approccio della teoria dei campi

Studio della dinamica del sistema sulla base delle equazioni di Maxwell(considerazione diretta dei parametri introdotti e delle grandezzespecifiche di campo).L’individuazione delle grandezze fisiche può essere molto complessa.

é Ipotesi semplificative:

Linearità: applicazione del principio sovrapposizione effetti

Caso quasi-statico magnetico:

Caso quasi-statico elettrico:

Caso statico:

∂ B→

∂ t= 0

∂ D→

∂ t= 0

∂ B→

∂ t=

∂ D→

∂ t= 0

2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE (cont. …)

14

2) Approccio della teoria dei circuiti

Si impongono limitazioni su:

• frequenze di lavoro

(campi e.m. lentamente variabili)

• natura dei componenti

(presenza in un componente di un solo fenomeno e.m. pervolta, tempo-invarianza delle sue caratteristiche, ecc.)


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2) Approccio della teoria dei circuiti (cont. …)Si ottiene una grande semplificazione nella trattazionedel problema e.m.:

•Le grandezze vettoriali ( ) sono sostituite dagrandezze scalari (V, I ).

•Le Equazioni di Maxwell sono sostituite dalle Leggi diKirchhoff (topologiche)

•L’ambiente eterogeneo, sede del fenomeno e.m., èrappresentato da un circuito: ente astratto privo didimensioni fisiche e soggetto solo a proprietà topologiche(grafo)

E→

, D→

, H→

, B→

, J→


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3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATEENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ

• Tre diverse formulazioni (con conseguenze diverse):

1) Assenza di dimensioni:Le dimensioni geometriche della struttura sede del fenomeno e.m. sonosufficientemente piccole da poter essere trascurate

Ô APPROCCIO TOPOLOGICO

2) Velocità infinita:La velocità di propagazione del fenomeno e.m. può considerarsi infinita

Ô INDIVIDUAZIONE DI REGIONI TIPICHE (corpi o elementicostitutivi dove è presente un solo fenomeno alla volta)

3) Assenza di ritardi:Il tempo di trasmissione del fenomeno e.m. da un punto all’altro dellastruttura può considerarsi nullo

Ô VERIFICA DI VALIDITÀ DELL’IPOTESI DI C.C.

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• Limiti di validità (uso enunciato 3):

: estremo superiore delle bande di frequenza deicampi e.m. presenti, rappresentati nel dominio dellefrequenze tramite Fourier (è una quantità nota)

: minimo intervallo di tempo apprezzabile (massimarapidità di variazione temporale dei campi e.m.presenti)

fmax

tmin =1

2 fmax

L

c

: dimensione geometrica massima della struttura(nota)

: velocità di propagazione del campo e.m. nellastruttura (nel vuoto = velocità della luce)

ttrasm ≤Lc

: tempo impiegato dal campo per propagarsi da unpunto all’altro della struttura

3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATEENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua)

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VERIFICA DELLA VALIDITÀ DELL’IPOTESI:

ttrasm << tmin →Lc

<<1

2 fmax

→ 2Lc

fmax << 1

Con la lunghezzad’onda:

L << λmin

• Le dimensioni fisiche della struttura sede del fenomeno e.m.devono essere trascurabili rispetto alla lunghezza d’ondaminima (campo a banda più larga) in gioco.


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VALIDITÀ IPOTESI C.C. - ESEMPI

ES. 1) Amplificatore HI-FI:

fmax ˜ − 20kHz ; L ˜ − 1m ; c ˜ − 3 ⋅108 m / s

AMPIAMENTEVERIFICATA2

Lc

fmax ˜ − 2 ⋅1 m[ ]⋅ 20 ⋅103 s−1[ ]

3⋅108 m ⋅s −1[ ]= 1.3⋅10−4 <<1

Oppure: AMPIAMENTEVERIFICATA


8 1

min 3 1max

3 10 [ ]7500 [ ] >> 1 [ ]

2 20 10 [ ]c m s

m mf s

λ−

−

⋅ ⋅= = =

⋅

20

ES. 2) Dispositivo a microonde:

fmax ˜ − 2GHz ; L ˜ − 0.1m

NONACCETTABILE!2

Lc

fmax ˜ − 2 ⋅ 0.1 m[ ]⋅2 ⋅109 s −1[ ]

3 ⋅108 m ⋅ s −1[ ] ˜ − 1.3 >1

Oppure: λmin =3 ⋅108 m ⋅ s−1[ ]2 ⋅ 2 ⋅109 s −1[ ]

= 0.075 m[ ]< 0.1 m[ ] NONACCETTABILE!


21

ES. 3) Rete distribuzione energia elettrica:

fmax = 50Hz ; L ≥ 100Km

IPOTESIACCETTABILE2

Lc

fmax ˜ − 2 ⋅105 m[ ]⋅50 s−1[ ]

3 ⋅108 m ⋅s−1[ ] ˜ − 0.03< 1

λmin =3 ⋅108 m ⋅ s−1[ ]

2 ⋅50 s−1[ ]= 3.000Km >100Km IPOTESI

ACCETTABILE

• In questo caso la validità dell’ipotesi non è evidente: per reti didistribuzione di dimensione geografica potrebbe anche non essereverificata


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4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE

Entro il limite di validità dell’ipotesi di costanti concentrate,verificabile tramite l’enunciato 3 (assenza di ritardi), si puòderivare il modello circuitale a cost. conc.

• Dall’enunciato 1 (assenza di dimensioni): le proprietà del modello siriducono a quelle puramente topologiche

• Dall’enunciato 2 (istantaneità): la struttura eterogenea sede delfenomeno e.m. può essere suddivisa in regioni semplici di pochi tipi.Infatti:

c =1ε ⋅ µ

– Legame tra velocità di propagazione del campo e.m. e materialipresenti (parametri costitutivi, ε, µ):

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Se l’ipotesi è verificata, in confronto a tutte le altre grandezzein gioco si può pensare c→∞ e quindi:

é Si hanno tre casi, che individuano tre tipologie di regionisemplici:

ε ⋅ µ → 0

I ) ε = µ = 0

II ) ε = 0 e µ ≠ 0

III) ε ≠ 0 e µ = 0

(con cinque sottocasi)

4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE(continua…)

24

• A partire dal vettore di Poynting ( ) si definiscono le seguentidensità volumetriche di energia:

• Poiché (dalle prime due relaz. cost.)

12

D→

⋅ E→

REGIONE I

P→

= E→

x H→

ε = µ = 0

(elettrica)12

B→

⋅ H→

(magnetica)

D→

= ε E→

= 0 e B→

= µ H→

= 0

si ha (dal punto di vista energetico): 12

D→

⋅ E→

=12

B→

⋅ H→

= 0

û La regione I è priva di energia elettrica e magnetica immagazzinata

4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)

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da M2)

e perciò (Teo. Divergenza):

û Corrente di conduzione entrante = corr. di cond. uscente(è definita univocamente la corrente I in tutta la regione I)

D→

= 0 div D→

= ρ = 0

rot H→

= J→

divrot H→

= div J→

= 0 J→

div J→

= J→

⋅ n→

dS = I = 0SV∫V∫

( è “solenoidale”)


da M4) non c’è accumulo di cariche

Dalle Equazioni di Maxwell:

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B→

= 0

rot E→

= 0 E→

E→

⋅ τ→

dc= 0→c∫ ∃ V = E

→⋅ τ→

dcc∫

(differenza dipotenziale)

• : da M1) → irrotazionale (ciclico o conservativo)

e perciò (Teo. Stokes):

û In tutta la regione I è univocamente definita ladifferenza di potenziale V tra due punti


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• Dalla terza relaz. costitutiva derivano

ulteriori proprietà che individuano 5 sottoregioni, a seconda della

presenza o meno delle eccitazioni e del valore di .

J→

= γ E→

− E0

→

+ J0

→

γ

J→

⋅ E→

• Dal punto di vista energetico, si definisce la densità volumetrica di

potenza elettrica:

(è dovuta alle correnti di conduzione e fornisce una misura deifenomeni di trasformazione energetica)


28

û Non passa corrente di conduzione e non c’è dissipazione dipotenza

E0

→= J0

→= 0

γ = 0

IA) VUOTO:

J→

= γ E→

= 0(nessuna eccitazione)

e(conducibilità nulla)

J ⋅ E→

= 0


E0

→= J0

→= 0

γ = ∞

(conducibilità infinita) E→

=J→

γ= 0 J ⋅ E

→= 0e

IB) CONDUTTORE PERFETTO:

û Potenziale costante in ogni punto (regione equipotenziale) e nonc’è potenza elettrica dissipata

29

J ⋅ E→

= γ E→ 2

=J→ 2

γ≠ 0

E0

→= J0

→= 0

γ ≠ 0

IC) REGIONE RESISTIVA:

J→

= γ E→

≠ 0 e(conducibilità finita)

û È presente una corrente di conduzione e c’è dissipazione di potenza(trasformazione irreversibile di energia elettrica in altra forma:effetto Joule)


E0

→= 0 e J0

→≠ 0

γ = 0

(finita)J→

= J0

→J0

→⋅ E

→≠ 0e

(Nota: quando si ha il vuoto IA)J0

→= 0

ID) GENERATORE INDIPENDENTE DI CORRENTE:

û La regione imprime una corrente I0 ed è sede di trasformazionireversibili di energia non elettrica in energia elettrica.

30

IE) GENERATORE INDIPENDENTE DI TENSIONE:

û È impressa una d.d.p. V0 e c’è una trasformazionereversibile di energia

E0

→≠ 0

γ = ∞

E→

= E0

→e

(finito) e J0

→= 0

J0

→⋅ E

→≠ 0

(Nota: quando si ha il conduttore perfetto IB)E0

→= 0


31

• Prime due rel. cost.: e

û È presente energia magnetica immagazzinata

• Essendo : da M4) ed M2) e

û Anche in questo caso: corrente entrante = corrente uscente(corrente I definita univocamente in tutta la regione II)

REGIONE II) ε = 0 e µ ≠ 0

D→

= ε E→

= 0 B→

= µ H→

≠ 0 →12

B→

⋅ H→

≠ 0

D→

= 0 ρ = 0 J→

solenoidale


32

• Essendo : da M1)

• risulta quindi non conservativo

û Non è univoca la d.d.p. V all’interno della regione II

• La regione II (di tipo magnetico) è costituente essenziale degli elementi

ideali:

– Induttore

– Induttori mutuamente accoppiati

– Trasformatore

B→

≠ 0 rot E→

= −µ∂ H

→

∂t

E→


33

• Poiché e si ha

ûÈ presente energia elettrica immagazzinata

• Essendo : da M4) può esserci accumulo di caricheal suo interno

da M2)

ε ≠ 0 e µ = 0REGIONE III)

D→

≠ 0

12

D→

⋅ E→

≠ 0D→

= ε E→

≠ 0 B→

= µ H→

= 0

div D→

= ρ ≠ 0

rot H→

=∂ D

→

∂t+ J

→divrot H

→=

∂div D→

∂t+ div J

→= 0


e quindi...

34

• … per il teorema di Continuità o Principio di Conservazione delle caricheelettriche:

ûCorrente entrante diversa dalla corrente uscente(occorre tener conto della corrente di spostamento)

Teo. Divergenza: div J→

= J→

⋅ n→

dS =SV∫V∫ −

∂∂t

ρdV → I =V∫ −

∂q∂t

div J→

= −∂ρ∂t J

→non è solenoidale


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• Essendo , da M1) conservativo

ûÈ definita in modo univoco la d.d.p. V in tutta la regione III

• La regione III (di tipo elettrico) è costituente essenziale dell’elementoideale:

- Condensatore

(Nota: solo nella regione III si può avere accumulo di cariche)

B→

= 0 rot E→

= 0 E→

NOTE: È da rimarcare il basso numero di elementi semplici ricavati. Casipiù complessi (misti) possono essere ottenuti a partire da essi. Èinoltre possibile ricavare il circuito magnetico in modo del tuttoanalogo.


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• Verificata l’ipotesi di c.c. (enunciato 3) ed individuate le regioni tipiche(enunciato 2), la struttura eterogenea sede del fenomeno e.m. può essereschematizzata tramite corpi elementari semplici che immettono leeccitazioni (regioni ID ed IE) o in cui avvengono fenomeni di un solo tipo(IC, II, III), connessi tra di loro tramite conduttori perfetti (IB), il tuttoimmerso nel vuoto (IA).

• Le dimensioni geometriche dei corpi sono trascurabili (enunciato 1).

5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE

IB IB

IB

IB

IB

II

III

IC

ID

IE

IA

37

5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE(continua …)

NOTA 1: Lo schema introdotto può apparire “non fisico”, mal’obiettivo è quello di giustificare il modo pratico (cioè validooperativamente) in cui vengono costruiti i circuiti elettrici, non distudiare e descrivere il comportamento e.m. dei materiali nel modopiù generale possibile

NOTA 2: La concentrazione dei fenomeni elettromagnetici all’internodi singole regioni opportune può essere vista come una condizione di“robustezza” del modello. [Di Claudio p. 21]

38

• Per la completa formalizzazione del modello circuitale occorreancora dimostrare che:

A - I corpi presenti possono essere caratterizzati da duevariabili scalari di interfaccia: tensione V (“grandezza agliestremi”) e corrente I (“grandezza attraverso”)

B - V ed I soddisfano le leggi di equilibrio di Kirchhoff (K1 e K2)

C - Le V ed I che caratterizzano gli elementi ideali individuati(IC, ID, IE, II e III) sono messe in relazione tramiteopportune equazioni costitutive

5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE(continua...)

39

E→

= 0

div D→

= ρ = 0

E→

A - Si ha che:

• Le regioni di connessione IB (morsetti) sono equipotenziali ( )e non c’è accumulo di cariche ( ).

• In IA (vuoto) è definita una d.d.p. ( conservativo) e non siaccumulano cariche.

äSi può parlare in modo univoco di tensione V applicata ad unelemento ideale (IC, ID, IE, II e III) come d.d.p. tra i suoi duemorsetti IB.

äSi può parlare in modo univoco di corrente I che attraversa unelemento ideale. Infatti:...


40

• Da M4) e Teo. della Div.: (Gauss)

• Da M2) e Teo. Div.:

la corrente complessiva che passa attraverso SV è nulla.

äPoiché in IA risulta , la corrente scorre tutta attraversole sezioni di IB di area A1ed A2: corrente entrante = correnteuscente

( D→

= ε E→

= 0)

div rot H→

= 0 = div J→

div J→

dV =V∫ J

→⋅ n→

ds = 0SV

∫

Superficie chiusa SV di volume V cheracchiude un elemento ideale e attraversasolo il vuoto IA ed i due morsetti IB(non deve passare all’interno della regioneIII)

div D→

dVV∫ = D

→⋅ n→

dSSV∫ = ρdV

V∫ = q = 0

5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE (continua...)

IA

IBIB

IIIA1

A2

n→

SV

J→

= 0

41

B Si ha che:

K1 - LEGGE DI EQUILIBRIO DELLE CORRENTI

Superficie chiusa Sv che passa nelvuoto IA e nei morsetti IB (dove èsolenoidale) racchiudendo un numeroarbitrario di elementi ideali

divJ→

dVV∫ = J

→⋅ n

→dS

SV∫ = Ii = 0

i∑

J→


Risulta:

dove Ii è la corrente che passa attraverso la sezione Ai

A1

A2

A3

A4

SV

IA

IB IB

n→

I1

I4

42

K2 - LEGGE DI EQUILIBRIO DELLE TENSIONI

• Essendo: ( conservativo) all’interno di IA ed IB:

dove Vi è la d.d.p. tra i due morsetti dell’elemento i-mo

Es.:

Curva chiusa C (circuitazione)all’interno di IA e IB che interessi unnumero arbitrario di elementi idealipassando in corrispondenza dei loromorsetti (entrambi).

E→

⋅ τ→

dcc∫ = Vi = 0

i∑rot E

→= 0 E

→

V1 = − E→

⋅τ→

dcP1

P2

∫


C

IA

IB IB

.

..

.P2

P1

43

C Si ricava la relazione costitutiva nel caso della regione di tiporesistivo IC (Resistore):

E→

conservativotensione VR = − E

→⋅τ

→dc

P1

P2

∫ = Eo ⋅ LRTEOREMA

DELLA MEDIA

J→

= γ E→ corrente

IR = J→

⋅ n→

dSSR∫ = γE1 ⋅ SR

TEOREMADELLA MEDIA


rot E→

= 0 E→

P1 IC

LR

.P2. SR

44

• Per campo uniforme si ha

• In pratica : il modello è semplice e robusto(bassa criticità realizzativa del resistore)

VR

IR=

Eo LR

γE1SR= R RESISTENZA [Ω] unico parametro caratteristico

R =Eo

E1

⋅LR

γSR

= hR

rLR

SR

hR

r = 1 γ: fattore di forma

: resistività

hR ≅ 1

hR = 1 → R=rLR / SR


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