Dal piano alla sfera e ritorno

Samuele Antonini Mirko Maraccisamuele.antonini@unipv.it

mirko.maracci@unipv.it

Dipartimento di Matematica, Università di Pavia

Livorno, 17 0ttobre 2014

XXXII Convegno UMI – CIIM 2014

Esperienze con la sfera passate e in corso

PLS 2012-13

6 insegnanti di Scuola Primaria (10 classi) Accompagnamento alle indicazioni

nazionali per il I ciclo 2013-14

3 insegnanti della Scuola dell'Infanzia

4 insegnanti della Scuola Primaria

2 insegnanti della Scuola Secondaria di I grado

Piano del laboratorio

Introduzione su aspetti didattici generali Lavoro con i palloni e con altri strumenti

A partire dall'esplorazione di oggetti concreti studiare la possibilità di definire “enti geometrici” propri della geometra della sfera

Una specie di conclusione

Ipotesi sulla formazione dei concetti matematici

l'esperienza senso-motoria

Le esperienze di tipo senso-motorio sono fondamentali per la formazione di concetti anche astratti di matematica: fare, toccare, muovere, vedere sono componenti essenziali dei processi di pensiero propri della matematica (Arzarello, 2008; Gallese & Lakoff, 2005)

“La Geometria prende le mosse dall’esperienza spaziale, visiva e tattile (vedere e toccare gli oggetti), o anche motoria (noi ci muoviamo tra gli oggetti e li spostiamo)” (Speranza, 1988)

Ipotesi sulla formazione dei concetti matematici

l'uso di strumenti

L'uso di strumenti coinvolge in modo diretto l'uso del corpo, strutturando l'azione dell'individuo e orientandone la percezione.

Uno strumento “incorpora” determinate conoscenze e esperienze collettive che ne “garantiscono” il funzionamento.

L'uso di determinati strumenti da parte dell'individuo per risolvere problemi di matematica contribuisce a far sì che egli costruisca significati personali, potenzialmente “coerenti” con i significati matematici incorporati nello strumento (Bartolini-Bussi & Mariotti, 2008).

Ipotesi sulla formazione dei concetti matematici

processi semiotici e interazione sociale

Qual è il processo attraverso il quale l'individuo prende consapevolezza dei significati che costruisce nell'attività con lo strumento?

Qual è il processo attraverso il quale i significati personali possono essere messi in relazione ai significati matematici obiettivo di un intervento didattico?

Attraverso processi semiotici: produzione e elaborazione di segni.

Motore di questi processi è senz'altro l'interazione sociale che deve realizzarsi in più forme e coinvolgere studenti e insegnante.

Non si può infatti pensare che “gli allievi[pur] in una situazione ricca e stimolante possano ricostruire da soli la quantità e varietà di strumenti matematici messi a punto dall'umanità nel corso dei secoli” (Bartolini Bussi, Boni e Ferri,1995)

Sugli aspetti didattici: un quadro metodologico

generale Attività degli allievi individuale,

a gruppi, collettiva

“Descrizione” dell'attività:

Resoconto, soluzione,... Scritta, verbale, grafica...

Condivisione/Discussione collettiva

Esperienza senso-motoriaUso di strumenti

Innescare processi semiotici per favorire la consapevolezza

Processo di formazione dei significati matematici promosso e sostenuto dall'insegnante

Dal piano alla sfera: i primi passi

Obiettivo: stabilire se è possibile definire qualcosa che possiamo chiamare “retta sferica”

Assunto epistemologico: la geometria coglie e formalizza alcuni aspetti della nostra esperienza quotidiana (senso-motoria) riferibili alla “spazialità”

“La Geometria prende le mosse dall’esperienza spaziale, visiva e tattile (vedere e toccare gli oggetti), o anche motoria (noi ci muoviamo tra gli oggetti e li spostiamo)” (Speranza, 1988)

Quali aspetti della nostra esperienza sono colti e formalizzati nella nozione di retta?

Stabilire una esplicita analogia con le rette del piano (spazio)

È possibile stabilire una esplicita analogia tra piano e sfera sulla base di questi aspetti?

Retta nel piano e nello spazio

La nozione di retta coglie e formalizza alcuni aspetti della nostra esperienza senso-motoria:

simmetriaallineamentominima lunghezza

È possibile costruire il significato di “andare dritti su una sfera” a partire da una esplicita elaborazione di questi aspetti?

Quali esperienze è possibile far vivere sul pallone, e quali riflessioni è possibile promuovere che siano riferibili a questi aspetti?

Retta sferica

Chiamiamo “rette sferiche” quelle linee sulla sfera che soddisfano tre proprietà dell’andare dritti:

minima lunghezza, simmetria, allineamento.

In altri termini sono linee sulle quali gli strumenti utilizzati si comportano come nel caso delle rette piane.

“Le linee geodetiche d'una superficie sono una generalizzazione delle rette del piano. Come le rette, esse possiedono parecchie proprietà importanti, che le distinguono dalle altre curve tracciate sulla superficie; perciò esse possono essere definite in diversi modi […] come le linee più brevi, le linee frontali, le linee più rette possibili”

(Hilbert e Cohn-Vossen, 1932/2001)

Retta sferica

Chiamiamo “rette sferiche” quelle linee sulla sfera che soddisfano tre proprietà dell’andare dritti:

minima lunghezza, simmetria, allineamento.

In altri termini sono linee sulle quali gli strumenti utilizzati si comportano come nel caso delle rette piane.

Esploriamo le proprietà di ordinamento e incidenza delle rette sferiche e confrontiamole

con le proprietà di ordinamento e incidenza delle rette del piano.

Cosa dire delle definizioni di segmento, semiretta, parallelismo...?

Per farlo abbiamo bisogno di disegnare “rette sferiche” sui palloni.

Come?

Ci sono rette e rette...Piano Sfera

Le rette sono illimitate Le rette sono limitate e “chiuse”

Per due punti passa un'unica retta Solo se i punti non sono antipodali, se sono antipodali le rette sono infinite

Due rette si intersecano in un punto o sono parallele

Due rette si intersecano sempre in due punti

Dati 3 punti su una retta, ce n'è sempre solo uno compreso tra gli altri due

Dati 3 punti su una retta, di ciascuno di essi si può dire che è compreso tra gli altri due

Un punto divide una retta in due parti disgiunte, chiamate semirette

Un punto non divide una retta in due parti disgiunte

Due punti distinti su una retta individuano una sola porzione limitata della retta (un segmento)

Due punti distinti su una retta individuano sempre due porzioni limitata della retta

Triangolo sferico

Obiettivo: stabilire se è possibile definire qualcosa che possiamo chiamare “triangolo sferico”

Osservazione: a differenza di prima (retta sferica), abbiamo per il piano una definizione esplicita di triangolo in termini di altri oggetti geometrici: punti, rette, segmenti...

Dati 3 punti non allineati - chiamiamoli A, B e C – il triangolo di vertici A, B e C è la figura formata dai segmenti AB, BC e AC.

È possibile definire triangolo sferico “allo stesso modo” del triangolo piano?

Possiamo “adattare” questa definizione alla sfera per definire il triangolo sferico?

Triangolo sferico

Esploriamo le conseguenze della definizione “triangolo sferico” assunta

Cosa possiamo dire degli angoli interni a un triangolo sferico? Quanto può misurare un angolo di un triangolo sferico? Quanto la somma degli angoli interni?

Prendiamo un triangolo sferico ABC, e chiamiamo M e N i punti medi di AB e AC. Cosa possiamo dire del triangolo AMN?

Prendiamo 3 punti non allineati: quanti sono i triangoli sferici che hanno quei punti come vertici?

Ripensiamo alla nostra definizione. Si può “migliorare”?

Sviluppare “significati geometrici” a partire da esperienze e oggetti concreti.

Sviluppare abilità specifiche relative a forme di pensiero tipiche della geometria e della matematica: operare e comunicare significati con linguaggi specifici, e utilizzare tali linguaggi per rappresentare e costruire modelli; comunicare e discutere, argomentare, comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri…

Perché la geometria della sfera?

Gli obiettivi dell'insegnamento della matematica e in particolare della geometria, in estrema sintesi

Perché la geometria della sfera?

Modello concreto di geometria della sfera

Significati di geometria della sfera

Costruzione di…

osservare, individuare e descrivere regolarità; produrre congetture, testarle, validare le congetture

prodotte; …

Geometria del piano(esperienze personali

& significati istituzionali)

Perché la geometria della sfera?

Modello concreto di geometria della sfera

Significati di geometria della sfera

Costruzione di…

osservare, individuare e descrivere regolarità; produrre congetture, testarle, validare le congetture

prodotte; …

Geometria del piano(esperienze personali

& significati istituzionali)

Rielaborazione dei significati di geometria piana:

In relazione alle esperienze senso-motorie alla base

In relazione tra loro

Perché la geometria della sfera?

Sviluppare “significati geometrici” a partire da esperienze e oggetti concreti.

Sviluppare abilità specifiche relative a forme di pensiero tipiche della geometria e della matematica: operare e comunicare significati con linguaggi specifici, e utilizzare tali linguaggi per rappresentare e costruire modelli; comunicare e discutere, argomentare, comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri...

Sviluppare un “atteggiamento matematico”, far esperienza del lavoro del matematico.

Gli obiettivi dell'insegnamento della matematica e in particolare della geometria, in estrema sintesi

Sugli aspetti didattici: uno sguardo al progetto in

verticale

Esplorare sul piano, linee dritte e curve scoprendo tramite opportune esperienze le proprietà legate a allineamento, simmetria, minima lunghezza.

“Definire operativamente” la retta sferica come linea sulla sfera che soddisfa...

Definire angoli sferici e poligoni sferici (triangolo e quadrato)

Obiettivo per la secondaria di I grado.

Obiettivo per la primaria.

Obiettivo per l'infanzia.

Grazie per l'attenzione

BibliografiaAntonini, S., & Maracci, M. (2013). Straight on the sphere: meanings and artefacts.

In A.M. Lindmeier & A. Heinze (a cura di), Proceedings of the 37th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 33-40). Kiel, Germany:PME.

Arzarello F. (2008). Neuroscience: Embodiment and Multimodality. Materiali per il Corso di Dottorato in “Storia e Didattica delle Matematiche, della Fisica e della Chimica”, Università di Palermo. Disponibile in data 20 Agosto 2014 da http: //math.unipa.it/~grim/dott_HD_MphCh/arzarello_Neuroscience_ Embodiment_Multimod_08.pdf

Bartolini Bussi M.G., & Mariotti M.A. (2008). Semiotic Mediation in the Mathematics Classroom: Artefacts and Signs after a Vygotskian Perspective. In: L. English, M. Bartolini Bussi, G.A. Jones & B. Sriraman (Eds.), Handbook of International Research in Mathematics Education (pp. 750-787). Mahwah, NJ: LEA.

Gallese, V., & Lakoff, G. (2005). The brain ’ s concepts: The role of the sensory-motor system in conceptual knowledge. Cognitive Neuropsychology, 22 (3 – 4), 455 – 479.

Hilbert, D., & Vohn-Cossen, S., (2001). Geometria intuitiva. Bollati Boringhieri, 2001 (edizione originale 1932).

Maracci M. (in stampa). Introdurre la geometria sferica a scuola: motivazioni, strumenti e criticità.

Speranza, F. (1988). Salviamo la geometria! La matematica e la sua didattica, 3, pp.6-14.