CURVE NUOVE E MERAVIGLIOSE: I FRATTALI

“Perché spesso la geometria viene descritta come fredda e arida? Un motivo è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una costa o di un albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono circoli e gli argini non sono regolari, nemmeno la luce viaggia secondo una linea retta... La natura non rivela semplicemente un grado più alto ma un livello del tutto diverso di complessità.”

Benoit B. Mandelbrot

DALLA GEOMETRIA DI EUCLIDE AI FRATTALI

Descrivere la realtà fisica che circonda l’uomo fu uno dei primi problemi formali che il genere umano si pose. A questo proposito già nelle prime civiltà organizzate quale quella Egizia e Assiro-Babilonese fu necessario introdurre strumenti matematici al fine di gestire confini ed estensioni di proprietà o di calcolare con buona approssimazione lo spostamento di un corpo celeste. La disciplina che si deve ringraziare per l’aver fornito questi strumenti acquistò tuttavia solo con la civiltà greca il nome con la quale la conosciamo: geometria, letteralmente misurazione della terra.

Con i greci si attuò inoltre un ordinamento di teoremi, una generalizzazione delle proprietà a tutte le figure e soprattutto la stesura di assiomi fondamentali da parte di Euclide. Tuttavia, ciò che da un lato portò un certo ordine da un punto di vista conoscitivo causò invece un’astrazione della disciplina, esiliandola, in un certo senso, in un mondo perfetto incorruttibile diverso dal nostro. La stessa concezione della geometria come disciplina arida, priva di ogni contatto con il mondo reale è dunque da ricondursi proprio a Euclide: la sua geometria era un universo astratto privo di collegamenti con la realtà quotidiana.

Questo il primo stallo nella storia della geometria. Il fascino che questa disciplina esercitava sugli studiosi andava ben oltre la possibilità di applicazione di questa ai problemi del quotidiano. Nel mondo della sensibilità, della corruttibilità e del disordine le figure geometriche sono entità assai rare. Ma l’avvento di Aristotele permise alla geometria di riscattarsi. Se era vero che la geometria fosse difficilmente applicabile nel nostro mondo sublunare, caratterizzato dalla corruttibilità, ciò non valeva per il mondo lunare, perfetto e incorruttibile, il cui elemento era l’etere, anch’esso incorruttibile e

perfetto. Ipotizzando un cosmo con tali caratteristiche fu possibile applicare la geometria per calcolare e studiare i moti dei corpi celesti, restituendo alla geometria l’alto compito di spiegare il mondo, anche se non era il nostro!

Fino al ‘600 la geometria restò immutata e incorrotta come il mondo che affermava di poter spiegare, ma a causa, o forse grazie, al particolare clima filosofico – culturale e a menti particolarmente brillanti e capaci, per la geometria, come per la Chiesa, fu necessaria una ‘’riforma’’. Insoddisfatti delle tesi aristoteliche, uomini come Galileo Galilei e Giovanni Keplero dimostrarono attraverso i loro studi la falsità dei dogmi degli aristotelici, portando avanti la

tesi di un universo omogeneo, e quindi anch’esso corruttibile, il cui centro non era la Terra ma il sole. Questi uomini con il loro operato non spodestarono tuttavia la geometria dal cosmo, ma ne legittimarono la capacità di spiegarne i moti, che se non erano più circolari

erano ellittici. Niente come la seguente frase presa da Il saggiatore di Galileo Galilei può far intendere meglio la stima che questi scienziati nutrivano nella geometria:

"La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l'universo, ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.”

Ma la vera rivoluzione geometrica fu portata dal filosofo francese Cartesio. Egli infatti rese possibile far coincidere il mondo di Euclide con la realtà che ci circonda, facendo ritornare, se mi è concesso dirlo, la geometria sulla Terra. Con la divisione dello spazio mediante gli assi cartesiani, 3 rette perpendicolari fra loro, fu possibile individuare punti di un qualsiasi oggetto mediante 3 coordinate. Ora lo spazio era concepito mediante numeri astratti; tale concezione è alla base della scienza moderna.

Non passò mezzo secolo che Isaac Newton e il barone Gottfried von Leibniz definirono separatamente i principi del calcolo differenziale. Con il calcolo differenziale passando per la fisica e l'economia, tutto si basa sull'assunto che vuole ogni curva composta da un numero infinito di segmenti, Leibnitz in particolare affermò che tutte le curve sono costituite da segmenti infinitamente piccoli detti tangenti. Ogni curva quindi se ingrandita risulta essere simile ad una retta. Questa osservazione introdusse il concetto di auto – similarità, proprietà fondamentale dei frattali… ma procediamo con ordine.

Da sinistra: Cartesio; Newton; Leibniz

’’Gli autori più moderni, come i più antichi, lottano per subordinare i fenomeni della Natura alle leggi della matematica.’’ (Isaac Newton)

La maggior parte dei matematici del XIX secolo era convinta che non vi fosse più nulla da scoprire. Essi erano orgogliosi del loro dominio su tutto ciò che era strano ed irregolare, indicando semplicemente linee curve come rette piegate. Tuttavia, verso la fine del XIX secolo, nel 1875, il matematico tedesco Carl Weierstrass descrisse una curva con caratteristiche decisamente strane, considerate addirittura patologiche e sgradevoli dai suoi colleghi in quanto mettevano in discussione i concetti di distanza, di area, di spazio e

di dimensione. Altri, come il tedesco Georg Cantor e il polacco Waclaw Sierpinski, ottennero linee e figure geometriche di cui non si riusciva a calcolare la lunghezza e l'area e nel 1890 l'italiano Giuseppe Peano dimostrò che una curva continua priva di superficie può riempire una regione dello spazio. In un periodo di assoluta certezza i frattali diedero vita a nuovi dubbi! I frattali furono classificati come ‘’mostri’’ e senza nome attesero qualcuno che potesse comprenderli. Quest’uomo fu Benoit B. Mandelbrot (nelle figure, da sinista: Weierstrass, Cantor, Sierpinki, Peano

Mandelbrot affascinato dai ‘’mostri’’ matematici cominciò a studiarli, setacciando tutta la ‘’galleria di mostri’’ che era venuta a formarsi nei decenni precedenti. Per la comprensione di queste curve e figure si avvalse di numerosi strume quali la nozione di dimensione di Felix Hausdorff, grazie alla quale gli fu possibile spiegare alcuni comportamenti bizzarri, introducendo il concetto di dimensione frattale. La ricerca di Mandelbrot non si risolse tuttavia soltanto nell’individuare le proprietà ma anche l’applicabilità delle strane figure nel quotidiano. Una prima possibilità gli fu offerta nel 1958 quando gli fu proposto di lavorare su un progetto che studiava i

sistemi per l'eliminazione del rumore che disturbava le trasmissioni digitali. Il risultato del grafico rilevato fu sorprendente: le interferenze comparivano iterativamente secondo uno schema ben preciso, autosimile che ricordava per certi versi il pulviscolo di Cantor…un frattale!

Successivamente durante lo studio dell’andamento dei prezzi del cotone, Mandelbrot riscontrò un’ incredibile somiglianza tra l’andamento avvenuto su scale temporali diverse (annuo, mensile, settimanale), tale da rendere assai difficile poterli distinguere. L’economia era soggetta all’autosimiglianza!

Nel 1968 Mandelbrot aveva cominciato a studiare gli schemi ricorrenti nelle fluttuazioni del livello del Nilo, citate anche dalla Bibbia. I risultati ottenuti risultavano sul grafico nuovamente una curva frattale. Mandelbrot aveva messo alla luce l’importanza dei frattali e il loro

ruolo decisivo al fine di comprendere il mondo nella sua irregolarità, l’economia nella sua complessità e le nuove tecnologie in sviluppo.

APPLICAZIONI ATTUALI DELLA TEORIA DEI FRATTALI

Grazie alle ricerche del prof. Mandelbrot nonché alla fiducia da lui riposta nei frattali, al giorno d’oggi i frattali sono largamente utilizzati nei più svariati campi. Ciò non fu tuttavia un’ impresa facile: le sue tesi e in particolare la sua prima opera ‘’Les Objets Fractales’’ edizione del 1975 furono inizialmente fortemente criticate dai suoi colleghi matematici, che non solo si dimostrarono particolarmente scettici, ma lo accusarono addirittura di fare fantascienza. Ma il tempo ha fatto il suo corso e quei matematici si sono dovuti ricredere. Se la geometria classica non aveva gli strumenti per descrivere la natura, perché troppo caotica e disordinata, grazie ai frattali oggi è possibile creare paesaggi naturali, montagne, eruzioni e galassie, la cui disposizione è frattale, ripetendo un semplice motivo un elevato numero di volte su scale diverse sino ad ottenere una figura complessa. Cosa sarebbe il cinema oggi, tanto caratterizzato dagli effetti speciali, senza i frattali?

Nel 1978 furono progettate presso la ‘’Boing aircraft’’ in Seattle aerovetture sperimentali. Loren Carpenter, allora un giovane ricercatore informatico, fu incaricato di creare attraverso la computer grafica un imaging dei progetti. Ma a Carpenter l’aereo non bastava: voleva uno sfondo, in particolare un paesaggio montuoso. Generare una montagna era tuttavia impensabile per la tecnologia di allora, un’ impresa impossibile. Questo fino al 1978, quando Carpenter venne a contatto con l’opera di un matematico non particolarmente famoso: Mandelbrot. La lettura fu illuminante: invece di creare ogni increspatura singolarmente prese un paesaggio composto da 4 grandi triangoli, poi si divise ciascuno di questi in 4 più piccoli e questi a loro volta in altri 4. L’applicare infinite volte la stessa funzione per ogni immagine ottenuta,in matematica è detta iterazione. Questo concetto sta alla base della geometria frattale. Ma torniamo a Carpenter: il risultato fu sorprendente. Nessuno aveva mai prodotto immagini simili, una nuova frontiera dell’animazione digitale! Poco dopo il suo successo, Carpenter fu chiamato presso il set cinematografico di Star Trek II: L'ira di Khan, per generare questa volta non una montagna, bensì un intero pianeta: ‘’Meraviglie senza fine saltano fuori da semplici regole, se queste sono ripetute all'infinito”

Come in grafica risulta assai più semplice ripetere un motivo iniziale un alto numero di volte su scale diverse, anche gli esseri viventi, noi inclusi, applicano questo stratagemma, seppur inconsciamente, nel costruire il proprio corpo. In particolare in medicina si sta sfruttando questa proprietà al fine di individuare anomalie e cancri: laddove lo schema utilizzato si presenti diverso e meno efficace di quello generale si è capaci di individuare o prevenire mali. Lo stesso principio applicato alle piante permette invece ai ricercatori di

stimare con buona approssimazione la quantità di alberi in una foresta misurando le distanze dei rama di uno soltanto, senza la necessità di contarne uno ad uno.

Non vi siete mai chiesti come mai le antenne dei primi cellulari siano sparite? Nathan Coen è colui che dev’esse ringraziato per questo salto in termini di praticità e non solo. Negli anni ’90 Coen aveva un Hobby: la radio. Gestiva una frequenza amatoriale ma l’antenna che aveva posto nel suo terrazzo non era apprezzata dai suoi coinquilini. Gli capitò di prendere parte ad una lezione del prof. Mandelbrot durante la quale,tra i frattali trattati, ci fu ‘’il fiocco di Koch’’, che colpì a tal punto Coen da fargli progettare un’antenna che presentava la stessa forma. Sorprendentemente l’antenna non solo risultava molto più compatta ma riusciva a captare un numero ben più alto di frequenze: un’ antenna per essere efficace e funzionale doveva esse frattale!

FRATTALI FAMOSI

Saranno qui di seguito presentati alcune dei più celebri frattali nonché una guida su come costruirli.

Polvere di Cantor

Si prenda un segmento di lunghezza l. Si tenga presente che questo segmento come tale, benché sia caratterizzato da una lunghezza finita, ha cardinalità (quantità di punti contenuti in esso) infinita. Lo si divida ora in 3 segmenti di lunghezza l/3 ciascuno. Si elimini quello centrale. La cardinalità resta infinita. Si iteri questo procedimento per i 2 segmenti formatisi, e così per ciascun segmento che andrà a formasi in seguito ad ogni passaggio.

Triangolo di Sierpinki

Si prenda un triangolo equilatero ABC e si uniscano i punti medi di ciascun lato. Si otterranno 4 triangoli simili. Si elimini quello centrale. Si proceda nello stesso modo per ciascun triangolo generato, e si iteri questo processo in ogni passaggio seguente ad ogni triangolo neo–generato.

Curva di Koch

Si prenda un segmento di lunghezza l e lo si divida in 3 segmenti rispettivamente lunghi l/3. Si rimuova il segmento centrale e al suo posto si costruisca un triangolo equilatero privo di base di lato l/3. Si iteri tale procedimento per ciascun lato-segmento formato.

Fiocco di neve di Koch

Si disegni un triangolo equilatero di lato l e si divida ciascun lato in 3 segmenti lunghi rispettivamente l/3. Si proceda per ciascun lato similmente a ‘’La curva di Koch’’.

PROPRIETA’ DEI FRATTALI

Dopo aver introdotto storia, applicazioni e costruzione di un frattale è bene illustrare ordinatamente le proprietà cui queste bizzarre curve o figure godono:

1. Autosimilarità; 2. Perimetro (lunghezza) nulla o infinita; 3. Area nulla o finita; 4. Dimensione frazionaria (frattale)

Autosimilarità

I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa la definizione più intuitiva di frattale che evidenzia nell’immediato l’importanza dell’autosimilarità, ossia la proprietà di una figura di essere esattamente o approssimativamente simile a una sua parte (il tutto ha la stessa forma di una o più delle sue parti). Lo schema su modello frattale risulta efficace in natura e per questo continuamente adottato! Tra i più evidenti frattali che troviamo in natura abbiamo la selce e il cavolo romano ma anche le ramificazioni dei polmoni e dei bronchi, le arterie e vene coronarie o il cuore(come nelle immagini qui riportate)

Perimetro nullo

Dimostriamo la seguente proprietà prendendo in esame la polvere di Cantor. Andiamo a costruire come illustrato in precedenza la figura frattale e calcoliamo la parte sottratta alla figura fino all’n-esimo passaggio, con n tendente ad infinito.

1. Si divide il segmento lungo 1 in 3 parti congruenti e si sottrae il segmento centrale; la parte sottratta

sarà pari 3

1

2. Poi si divide ciascun segmento lungo 1/3 in 3 segmenti uguali e si sottrae il

segmento centrale di questi; la parte sottratta totale sarà pari a 9

2

3

1

3

1

3

12

3

1

3. In seguito si divide ciascun segmento lungo 1/9 in 3 segmenti uguali e si sottrae il segmento centrale di questi; la parte sottratta totale sarà pari a

27

4

9

2

3

1

9

1

3

14

9

2

3

1

4. Si ha di fronte la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione q=2/3 e primo termine a=1/3. Ricordando che la formula generale che mi permette di calcolare la somma dei primi n termini a progressione geometrica è data da

q

qaaqSn

nn

k

k

1

1

0

otteniamo:

n

n

kn

k

Sn

3

21

3

21

3

21

3

1

3

2

3

1....

27

8

9

4

3

21

3

1.......

81

8

27

4

9

2

3

1

0

Se facciamo il limite per n che tende ad infinito, si ottiene che la parte sottratta sarà:

13

21lim

n

n

Di conseguenza il perimetro della polvere si

Cantor, calcolata come lunghezza iniziale, pari

a 1, meno la somma delle parti sottratte, pari a

1, sarà pari a 0

Perimetro=1-1=0

Perimetro infinito

Dimostriamo l’essere infinito della lunghezza di un frattale utilizzando la curva di Koch: andiamo a calcolare la lunghezza della curva ottenuta a seguito dell’n-esima iterazione e poi determiniamo il suo valore con n tendente a infinito. Verificheremo che tale perimetro è infinito.

1. Si ha un segmento lungo 1 e lo si divide in 3 parti congruenti. Si sostituisce il segmento centrale con 2 segmenti consecutivi della medesima lunghezza del segmento tolto; la lunghezza della curva sarà

3

4

3

14

2. Si ha ora una curva formata da 4 segmenti lunghi 1/3. Si divide ciascun segmento in 3 parti congruenti e tolto il segmento centrale di ciascuno di essi lo si sostituisce con 2 segmenti della medesima lunghezza del segmento tolto che è pari a 1/9; la

lunghezza della curva sarà 9

16

9

144

3. Se ha ora una curva formata da 16 segmenti lunghi 1/9. Si divide ciascun segmento in 3 parti congruenti e tolto il segmento centrale di ciascuno di essi lo si sostituisca con 2 segmenti della medesima lunghezza del segmento tolto che è pari a 1/27; la

lunghezza della curva sarà 27

64

27

1416

4. Si può notare che siamo di fronte ad una progressione geometrica di ragione q=4/3 e avente il primo termine a=1. Il termine generale della progressione, che rappresenta la lunghezza della curva di Koch alla n-esima iterazione, è dato da

n

Pn

3

4 con 0n

5. Se facciamo il limite per n che tende ad infinito, si ottiene che la lunghezza della

linea frattale:

n

n 3

4lim

Da notare la presenza di una lunghezza infinita compresa fra 2 punti, cioè all’interno di un “segmento finito”.

Area finita

Calcoliamo ora l’area di un frattale il cui perimetro è infinito quale il fiocco di Koch, ottenuto unendo 3 curve di Koch.Verrebbe spontaneo ipotizzare un area anch’essa infinita; invece tale area è finita: è pari a 8/5 dell’area del triangolo equilatero inizialmente considerato.

Indichiamo con S0 l’area del triangolo equilatero iniziale, avente lato l0.

1. Si formano 3 triangoli, ciascuno di lato pari a 01

3

1ll e quindi di area

09

1S ; per cui

l’area dei tre triangoli è pari:

0013

1

9

13 SSS

2. Nella iterazione successiva si formano 3×4 triangoli di lato 012

9

1

3

1lll e quindi di

area pari a 02

9

1S . Per cui l’area totale sarà pari a 002022

3

1

9

4

9

12

9

143 SSSS

3. Al passo successivo si formano 3×42 triangoli dilato pari a 023

27

1

3

1lll e quindi di

area pari a 030

2

9

1

27

1SS

; l’area totale della figura così ottenuta sarà pari a

0

2

0303

2

33

1

9

4

9

48

9

143 SSSS

Ci troviamo nuovamente di fronte ad una progressione geometrica, questa volta di ragione q=4/9 calcolabile come rapporto tra due termini consecutivi della progressione.

9

4

9

129

48

02

03

2

3

S

S

S

Sq

Se calcoliamo la somma Sn dei primi n termini della progressione e poi facciamo il limite per n che tende a infinito, troveremo un’area finita:

.........

9

4

9

41

3

1.....

3

1

9

4

3

1

9

4

3

12

000

2

000 SSSSSSSn

n

n

SSSSSn9

41

5

9

3

1

9

41

9

41

3

10000

000005

8

5

9

3

1

9

41

5

9

3

1limlim SSSSSS

n

nn

n

Area nulla

Al fine di dimostrare l’area nulla di un frattale è bene avvalersi del triangolo di Sierpinki; ipotizzando che il triangolo iniziale abbia area pari a 1, dimostriamo che la somma delle parti sottratte è anch’essa pari a 1, ovvero l’area iniziale.

1. Si divide il triangolo di area 1 in 4 parti congruenti e si sottrae il triangolino centrale; l’area della parte sottratta sarà pari a1/4

2. Si divide ciascuno dei tre triangoli neri rimasti in 4 triangoli congruenti e si sottrae il triangolo centrale; esso avrà un’area, uguale a quella dei tre triangolini neri rimasti, pari a ¼ dell’area del triangolo da cui è stato tolto, cioè avrà un’area pari a 1/16.

L’area totale delle parti (bianche) sottratte è pari a 16

3

4

1

16

13

4

1

3. Si divide ora ciascun triangolo nero di area 1/16 in 4 triangoli congruenti e si sottrae il triangolo centrale; esso avrà un’area, uguale a quella dei tre triangolini neri rimasti, pari a ¼ dell’area del triangolo da cui è stato tolto, cioè avrà un’area pari a

64

1

16

1

4

1

. L’area totale delle parti (bianche) sottratte è pari a

64

9

16

3

4

1

64

19

16

3

4

1

4. Si ha di fronte la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione q=3/4e primo termine a=1/4. Calcoliamo la somma dei primi n termini della progressione:

n

n

kn

k

Sn

4

31

4

31

4

31

4

1

4

3

4

1....

16

9

4

31

4

1.......

64

9

16

3

4

1

0

Se facciamo il limite per n che tende ad infinito, si ottiene che la parte sottratta sarà:

14

31lim

n

n

Di conseguenza l’area, calcolata come area iniziale, pari a 1, meno la somma delle

parti sottratte, pari a 1, sarà pari a 0. 011 Area

La dimensione frazionaria e la nozione di dimensione di Hausdorff

Altra caratteristica dei frattali, nonché spiegazione e/o risultato delle caratteristiche precedentemente citate è quella di esistere in dimensioni proprie. Prima di procedere è opportuno definire cosa si intende per dimensione.

Generalizzando, si può affermare che la dimensione topologica di uno spazio, equivale al numero di coordinate necessarie per identificare al suo interno la posizione di un oggetto. Un punto, per essere individuato all’interno di un punto, non necessita di coordinate;un punto per essere individuato all’interno di un segmento ha bisogno di 1 coordinata

(ovvero la lunghezza), in una figura piana 2, in un solido 3… ed in un frattale?

Per poterlo definire bisogna definire la dimensione di un oggetto attraverso la nozione di dimensione di Hausdorff ovvero:

)log(

)log(

S

Nd

con d la dimensione di appartenenza, N il numero di parti auto simili in cui l’oggetto viene diviso, S il fattore di scala per cui bisogna moltiplicare ciascuna delle parti per sovrapporla al tutto.

Si prenda ad esempio un cubo e lo si divida attraverso l’intersezioni di 3 piani perpendicolari passanti per i punti medi degli spigoli. La scala di riduzione S è dunque 2 mentre il numero di parti in cui è stato diviso N è 8. si calcoli d=log8/log2. Si ottiene come risultato 3 che è la dimensione di appartenenza di un cubo.

Si calcoli ora la dimensione di appartenenza de ‘’la polvere di Cantor’’: abbiamo 2 segmenti di lunghezza l/3 a una distanza l/3 tra di loro.

Da ciò N=2 e S=3 e d= log(2)/ log(3) =0.63093...

Verifichiamo eseguendo i calcoli che la dimensione a cui appartiene non è intera ma bensì una dimensione frazionaria e pure irrazionale! Essendo i frattali figure porose , intermedie tra 2 dimensioni,presentano la forma più simile alla dimensione superiore, ma caratteristiche della minore. Da ciò è facile dedurre che il triangolo di Sierpinski si trovi tra la 1 e la 2 dimensione, essendo più di una linea ma meno di una figura piana.

FRATTALI PLATONICI

Ogni solido platonico può essere trasformato in un frattale platonico, trasformando le sue facce in frattali. Per ottenere un Triangolo di Sierpinki si prende un triangolo equilatero ABC, si uniscono i punti medi di ciascun lato, ottenendo 4 triangoli simili, e poi si elimina quello centrale; si procede nello stesso modo per ciascun triangolo generato, e si itera questo processo ad ogni triangolo neo–generato. Allo stesso modo si può ottenere un Tetraedro di Sierpinki, operando in un analogo modo nello spazio: si divide il tetraedro in tetraedri simili, si rimuove quello centrale e si itera questo processo per ciascun teraedro neo-generato.

La spugna di Menger (cubo frattale) non è altro che la trasposizione tridimensionale del tappeto di Menger.

Si può procedere in modo analogo con gli altri solidi platonici, ottenendo ottaedri, icosaedri e dodecaedri frattali (nelle immagini in successione).

GIOCO DEL “CAOS”

Vi proponiamo un ‘’divertente’’ modo di svagarsi con i frattali: si disegnino 3 punti non allineati su un foglio e si assegnino a ciascuno di essi 2 numeri da 1 a 6. Ora si segni un punto P interno al triangolo risultante. Si lanci un dado a sei facce e si segni i punto medio tra il punto P e il vertice corrispondente al numero uscito. Si lanci nuovamente il dado e si proceda similmente con il punto appena tracciato … Buon divertimento!