Curiosità matematiche nella vita quotidiana

I legami tra natura e matematica

Una delle sfide più entusiasmanti di tutte le età è quella ditrovare un quadrifoglio, ritenuto un grande portafortuna: questaricerca però, in realtà è sempre fonte di delusione. È ragionevolepensare che da qualche parte vi sia un quadrifoglio, quindi perchéla natura è così avara di quadrifogli? Osservando i fiori si notache la maggior parte di essi è composta da cinque petali, numeroche ritorna anche nella disposizione dei semi: è possibileosservarlo tagliando una mela al suo “equatore”, notando che isemi sono sistemati all‛interno di una bella stella a cinque punte.Nel mondo vegetale prevalgono quindi i numeri dispari, mentre inquello animale i pari (le zampe sono sempre pari). Un‛indagine piùaccurata rivela che anche altri numeri sono piuttosto ricorrentitra le piante: esaminando un ananas o una pigna si nota che hannofile spiraliformi che si susseguono dalla cima alla base, l‛una insenso opposto all‛altra. Di solito queste file in un ananas sono 8 e13, mentre in una pigna 13 e 21 o 21 e 34. Anche nei girasoli sipossono individuare spire di semi che vanno dal centro all‛esternoin senso orario e antiorario, il loro numero è solitamente di 34 e55 o 55 e 89. I numeri 8, 13, 21, 34 e 55 sono i più comuni: non èun caso, esiste un legame profondo tra natura e matematica,natura e i numeri di Fibonacci.

Fibonacci era un matematico del XII secolo che scoprì questasequenza di numeri, che comincia con due 1 e ogni numerosuccessivo è la somma dei due che lo precedono:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… e via di seguito.

Fibonacci giunse a questa sequenza cercando una legge chedescrivesse la crescita di una popolazione di conigli, in seguito siè scoperto che è una successione che ha profondi legami con lanatura osservando i numeri di petali e di foglie: esse sono quasisempre due, tre o cinque: ecco perché è più facile trovare untrifoglio che un quadrifoglio. I numeri di Fibonacci sonostrettamente legati al rapporto aureo, un altro numero frequentein natura.

Il rapporto aureo (φ) equivale a , cioè a circa 1,618.Questo rapporto si trova in unrettangolo molto particolare maanche nei pentagoni e nelle stellea cinque punte, quindi nelle mele.Se prendiamo come esempio la

stella che troviamo tagliando unamela al suo equatore, scopriamoche la distanza tra la prima e la

terza punta è pari a φ volte la distanza tra due punte adiacenti.Il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi è moltovicino a phi: 3/2= 1,5; 5/3=1,6; 89/55=1,618! Quindi i numeri diFibonacci e φ sono strettamente legati tra loro.

Tornando alle piante, si può notare che dagli steli germoglianofoglie singole, che spuntano con angolazioni diverse e disposte aspirale. L‛angolo che separa una foglia è di 137-139 gradi. Qual èil significato di questo angolo? Per scoprirlo bisogna risalire allafase iniziale di crescita della pianta: i germogli spuntano sullostelo uno alla volta e ciascuno si posiziona il più lontano possibiledal precedente. Questo comportamento è dovuto alla necessità diogni germoglio di conquistare la maggior quantità possibile dispazio e luce. Accade quindi che un angolo strettamente collegatoa φ sia particolarmente adatto a mantenere i germogli allamassima distanza l‛uno dall‛altro: dividendo 365 gradi, per φotteniamo 222,5 gradi che, in senso orario, equivalgono a 137,5gradi in senso antiorario, il numero così ricorrente tra le piante.Nel caso del sesto germoglio accade qualcosa di diverso, come èpossibile vedere in questa figura. Visti dall‛alto, tutti i germogliappaiono a circa 50 gradi di distanza, mentre il sesto è solo a32,5 gradi dal primo, quindi è destinato ad avere meno spazio emeno luce. Ecco perché la maggior parte delle piante ha solocinque foglie.

Le ruote e perché gli animali non le hanno

Il cerchio è molto importante in natura, esiste però un ambito incui è assente. Una delle più importanti applicazioni del cerchio ècostituita dalla ruota. Perché le ruote sono rotonde? Innanzituttolo sono perché una delle proprietà del cerchio è quella di avere un

diametro costante che permette di assicurare alcarico un‛andatura regolare. I cerchi, comunque,non sono le uniche figure con diametro costante:se prendiamo un triangolo equilatero e tracciamoda ciascun vertice un arco che intersechi gli altridue, otteniamo una figura con diametro

costante. Tuttavia non sarebbe efficace come ruota, in quanto leruote necessitano di assi: il cerchio infatti possiede una qualità inpiù, cioè un centro equidistante da tutti i punti dellacirconferenza. Quindi la ruota ha un asse centrale sempre nellastessa posizione, mentre nell‛ipotetica ruota triangolare l‛asse si

sposterebbe continuamente su e giù. La ruota consente unrisparmio di energia, trasporto senza attrito: le ruote nonstrisciano mai sul terreno perché di volta in volta la parte diruota che tocca il suolo è immobile. Ma se le ruote sono cosìefficienti, perché gli animali ne sono sprovvisti? I canguri nonattraversano il deserto australiano su due ruote, ma saltellandosui loro arti inferiori. La spiegazione chiama in causa la presenzadegli assi: se gli animali avessero ruote con assi e quindi ancherelativi legamenti e vasi sanguigni, dopo un paio di rotazioni sicreerebbe un orrendo groviglio. La capacità di rotolare sarebbetanto utile nel caso delle ruote quanto pericolosa nel caso delleuova. Esse hanno solitamente una sezione circolare, un uovoquadrato causerebbe problemi nel deporlo ma un uovo sfericorotolerebbe lontano dalla madre con facilità. Facendo rotolare unuovo di gallina, invece, torna indietro come un boomerang.

I legami tra natura e matematica

Una delle sfide più entusiasmanti di tutte le età è quella di trovare un quadrifoglio, ritenuto ungrande portafortuna: questa ricerca però, in realtà è sempre fonte di delusione. È ragionevolepensare che da qualche parte vi sia un quadrifoglio, quindi perché la natura è così avara diquadrifogli? Osservando i fiori si nota che la maggior parte di essi è composta da cinque petali,numero che ritorna anche nella disposizione dei semi: è possibile osservarlo tagliando una mela alsuo “equatore”, notando che i semi sono sistemati all‛interno di una bella stella a cinque punte. Nelmondo vegetale prevalgono quindi i numeri dispari, mentre in quello animale i pari (le zampe sonosempre pari). Un‛indagine più accurata rivela che anche altri numeri sono piuttosto ricorrenti tra lepiante: esaminando un ananas o una pigna si nota che hanno file spiraliformi che si susseguono dallacima alla base, l‛una in senso opposto all‛altra. Di solito queste file in un ananas sono 8 e 13, mentrein una pigna 13 e 21 o 21 e 34. Anche nei girasoli si possono individuare spire di semi che vanno dalcentro all‛esterno in senso orario e antiorario, il loro numero è solitamente di 34 e 55 o 55 e 89. Inumeri 8, 13, 21, 34 e 55 sono i più comuni: non è un caso, esiste un legame profondo tra natura ematematica, natura e i numeri di Fibonacci.

Fibonacci era un matematico del XII secolo che scoprì questa sequenza di numeri, che comincia condue 1 e ogni numero successivo è la somma dei due che lo precedono:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… e via di seguito.

Fibonacci giunse a questa sequenza cercando una legge che descrivesse la crescita di unapopolazione di conigli, in seguito si è scoperto che è una successione che ha profondi legami con lanatura osservando i numeri di petali e di foglie: esse sono quasi sempre due, tre o cinque: eccoperché è più facile trovare un trifoglio che un quadrifoglio. I numeri di Fibonacci sonostrettamente legati al rapporto aureo, un altro numero frequente in natura.

Il rapporto aureo (φ) equivale a , cioè a circa 1,618. Questo rapporto si trova in unrettangolo molto particolare ma anche nei pentagoni e nelle stelle acinque punte, quindi nelle mele. Se prendiamo come esempio lastella che troviamo tagliando una mela al suo equatore, scopriamoche la distanza tra la prima e la terza punta è pari a φ volte ladistanza tra due punte adiacenti. Il rapporto tra due numeri diFibonacci consecutivi è molto vicino a phi: 3/2= 1,5; 5/3=1,6;89/55=1,618! Quindi i numeri di Fibonacci e φ sono strettamentelegati tra loro.

Tornando alle piante, si può notare che dagli steli germogliano foglie singole, che spuntano conangolazioni diverse e disposte a spirale. L‛angolo che separa una foglia è di 137-139 gradi. Qual è ilsignificato di questo angolo? Per scoprirlo bisogna risalire alla fase iniziale di crescita della pianta:i germogli spuntano sullo stelo uno alla volta e ciascuno si posiziona il più lontano possibile dalprecedente. Questo comportamento è dovuto alla necessità di ogni germoglio di conquistare lamaggior quantità possibile di spazio e luce. Accade quindi che un angolo strettamente collegato a φsia particolarmente adatto a mantenere i germogli alla massima distanza l‛uno dall‛altro: dividendo365 gradi, per φ otteniamo 222,5 gradi che, in senso orario, equivalgono a 137,5 gradi in sensoantiorario, il numero così ricorrente tra le piante. Nel caso del sesto germoglio accade qualcosa didiverso, come è possibile vedere in questa figura. Visti dall‛alto, tutti i germogli appaiono a circa 50gradi di distanza, mentre il sesto è solo a 32,5 gradi dal primo, quindi è destinato ad avere meno

spazio e meno luce. Ecco perché la maggior parte delle piante ha solo cinque foglie.

Le ruote e perché gli animali non le hanno

Il cerchio è molto importante in natura, esiste però un ambito in cui è assente. Una delle piùimportanti applicazioni del cerchio è costituita dalla ruota. Perché le ruote sono rotonde?Innanzitutto lo sono perché una delle proprietà del cerchio è quella di avere un diametro costante

che permette di assicurare al carico un‛andatura regolare. I cerchi, comunque, nonsono le uniche figure con diametro costante: se prendiamo un triangolo equilatero etracciamo da ciascun vertice un arco che intersechi gli altri due, otteniamo unafigura con diametro costante. Tuttavia non sarebbe efficace come ruota, inquanto le ruote necessitano di assi: il cerchio infatti possiede una qualità in più,cioè un centro equidistante da tutti i punti della circonferenza. Quindi la ruota ha

un asse centrale sempre nella stessa posizione, mentre nell‛ipotetica ruota triangolare l‛asse sisposterebbe continuamente su e giù. La ruota consente un risparmio di energia, trasporto senzaattrito: le ruote non strisciano mai sul terreno perché di volta in volta la parte di ruota che tocca ilsuolo è immobile. Ma se le ruote sono così efficienti, perché gli animali ne sono sprovvisti? Icanguri non attraversano il deserto australiano su due ruote, ma saltellando sui loro arti inferiori.La spiegazione chiama in causa la presenza degli assi: se gli animali avessero ruote con assi e quindianche relativi legamenti e vasi sanguigni, dopo un paio di rotazioni si creerebbe un orrendogroviglio. La capacità di rotolare sarebbe tanto utile nel caso delle ruote quanto pericolosa nel casodelle uova. Esse hanno solitamente una sezione circolare, un uovo quadrato causerebbe problemi neldeporlo ma un uovo sferico rotolerebbe lontano dalla madre con facilità. Facendo rotolare un uovodi gallina, invece, torna indietro come un boomerang.

Il problema dei ponti di Königsberg

Sulle coste del Mar Baltico, tra Lituania e Polonia, sorgel'anonima città russa diKaliningrad, Königsberg aitempi della dominazioneprussiana; essa sorge sullerive del fiume Pregel epresenta due estese isoleconnesse tra di loro e con ledue aree principali della cittàda sette ponti, come èpossibile vedere nell'immaginea sinistra. Un passatempo

molto diffuso tra gli abitanti della città nel XVII secolo era cercare dideterminare un percorso che, passando per ogni ponte e una sola volta,consentisse di tornare al punto di partenza. La soluzione la trovò Eulero, uno dei più grandimatematici di tutti i tempi, contribuendo allo sviluppo di due branche della matematica: la topologiae la teoria dei grafi. All'apparenza è una prova molto banale, ma in realtà è piuttosto complessa.Quando Eulero venne a conoscenza del problema, nessuno aveva risolto il rompicapo, e decise didimostrare che il problema non ammetteva nessuna soluzione. Per analizzare il quesito convertì lamappa dei ponti in un diagramma a rete.

Dal punto di vista matematico lo schema è equivalente alla mappa della città: i punti contrassegnatidalle lettere indicano le due sponde del fiume (A e D) e le due isole (B e C); le linee indicano i pontiche collegano questi quattro punti. Eulero classificò ciascun punto o nodo come «pari» o «dispari»,pari in presenza di un numero pari di linee che hanno origine da quel punto, dispari se il numero dilinee è dispari. Dopo aver analizzato altre reti oltre a quella di Königsberg, Eulero dimostrò che èpossibile formare un circuito percorrendo una sola volta ciascun ponte, soltanto in presenza di duenodi dispari oppure di soli nodi pari. In tutti gli altri casi è impossibile concludere il circuito senzatornare sui propri passi. Eulero giunse anche a un'altra conclusione: in presenza di due nodi dispari,il circuito deve necessariamente partire da uno di essi e concludersi sull'altro. Ecco dunque cheessendo i quattro nodi di Königsberg tutti dispari, non è possibile trovare un percorso che soddisfii requisiti posti inizialmente. Nel tardo XIX secolo venne costruito l'ottavo ponte e la città vennedunque eulerizzata. Dove doveva essere costruito l'ottavo ponte? È semplice dimostrarlo grazie alteorema di Eulero. Altri curiosi problemi da risolvere relativi alla città di Königsberg e i suoi ponti

si trovano qui.

La matematica e le coincidenze

Nella nostra vita accadono coincidenze eccezionali che ci impressionano e che vale la pena diraccontare, ma dietro ad esse non c'è nulla di paranormale: possono spesso essere spiegatematematicamente.

Un esempio è quello dei compleanni in comune. Spesso i bambini di una classe elementare rimangonostupiti e impressionati se due di loro compiono gli anni lo stesso giorno; facendo un'analisimatematica si può scoprire che dietro a questo fatto non c'è nulla di insolito: bastano infatti 23alunni in una classe perché la probabilità che due di questi siano nati lo stesso giorno superi il 50%.Per capire come questo possa accadere, è necessario premettere che, per calcolare la probabilitàche due eventi A e B avvengano contemporaneamente, bisogna moltiplicare la probabilità di A perquella di B. Per esempio, lanciando in aria una moneta, la probabilità che esca due volte "testa" è1/2 × 1/2 = 1/4, cioè 1 su 4. Come nel caso del lancio della moneta, anche il compleanno di unbambino è indipendente da quello di un altro (gemelli esclusi, ovviamente). È quindi possibilecalcolare la probabilità di un compleanno in comune moltiplicando la probabilità relativa a ognibambino, come per la moneta. Invece di calcolare la probabilità di coincidenza di date è meglio, percomodità, calcolare la probabilità che tutti i bambini siano nati in giorni diversi. Ipotizziamo che laclasse sia composta da due alunni e che il compleanno di uno di loro sia il 16 giugno. La probabilitàche il compleanno dell'altro bambino cada in un giorno diverso è di 364/365. Se si aggiunge un altroalunno e i primi due compiono gli anni in giorni diversi, la probabilità che il terzo li compia in ungiorno differente dagli altri due scende a 363/365 e così via, per arrivare a 343/365 per ilventitreesimo bambino. Quindi calcoliamo qual è la probabilità complessiva che ognuno dei 23bambini presenti sia nato in un giorno diverso dagli altri: dobbiamo moltiplicare tutte le probabilitàrelative a ciascun bambino, come abbiamo fatto per la moneta:

Da questo calcolo si ricava che la probabilità che nessuna coppia di bambini in una classe compostada 23 alunni abbia il compleanno in comune è pari al 49%, circa la metà. Quindi il rimanente 51%corrisponde alla probabilità che almeno due bambini abbiano il compleanno in comune. Quindi, seprendiamo in considerazione una coppia precisa di due bambini, la possibilità che abbiano ilcompleanno in comune è 1 su 365, mentre se consideriamo due bambini qualsiasi la probabilitàaumenta a 1 su 2.

Matematica e statue

Il problema di un turista che si ferma ad ammirare una statua di notevoli dimensioni è trovare ladistanza ottimale dalla quale osservare la statua. La colonna di Nelson a Trafalgar Square, aLondra, costituisce un ottimo esempio. L'ammiraglio Nelson si trova in posizione rialzata; la statuaè alta 5 metri più i 49 del piedistallo. Se ci avviciniamo alla base della colonna e alziamo lo sguardoriusciamo a vedere l'ammiraglio per intero, ma apparirà piuttosto schiacciato poichè l'angolo divisuale è molto piccolo. Quindi conviene indietreggiare per riuscire a vedere sempre meglio lastatua grazie all'aumento dell'angolo di visuale. Esiste un punto ottimale in cui è possibile vedere lastatua con l'angolo più ampio possibile: il punto migliore è quello in cui i nostri occhi vengono atrovarsi sulla retta tangente alla circonferenza passante per il cappello e i piedi di Nelson, comeillustrato nella figura. In questo caso la distanza ottimale è di circa 50 metri.

Sotto la pioggia è meglio correre o camminare?

Ognuno di noi che si sia trovato a camminare sotto la pioggia si è chiesto almeno una volta seaffrettare il passo gli avesse permesso di bagnarsi un po‛ di meno.

Quando ci muoviamo sotto la pioggia veniamo bagnati dalla pioggia che cade verticalmente (sullatesta) e da una certa quantità di pioggia che ci investe orizzontalmente. Il ragionamento si puògeneralizzare anche nel caso in cui piove “a vento”.

Le caratteristiche del soggetto che cammina sotto la pioggia sono state semplificate in quelle di unparallelepido: ciò ci permette di separare al componente verticale e orizzontale della pioggia. Lacomponente verticale (PY) della pioggia è inversamente proporzionale alla velocità (v) con cui cimuoviamo: meno si sta sotto la pioggia meno ci si bagna. La componente orizzontale (PX) dellapioggia è costante indipendentemente dalla velocità perché la maggiore quantità è bilanciata dalminor tempo di esposizione quando corriamo. In formule:

PY (v) = Z / v (dove Z è una quantità media di riferimento)PX (v) = C (costante)P (v) = PY (v) + PX (v) = ( Z / v ) + C

L‛unico valore che modifica la quantità totale di pioggia, essendo Z e C costanti, è appunto lavelocità di spostamento.

Quindi la soluzione è: ci si bagna di più camminando. Se inizia a piovere e non avete l‛ombrellomettetevi a correre!

Matematica e sfortuna

Nella vita di tutti i giorni accadono in continuazione fatti che ci fanno pensare di essere i solitisfortunati: pioggia durante le vacanze, tartine che cadono dal lato imburrato... la spiegazione dellasfortuna è sia matematica che psicologica. Si dice che "le disgrazie non arrivano mai sole", in realtàquesto detto dipende dalla durata e dalla gravità dell'episodio. Innanzitutto bisogna definire cos'èuna disgrazia: è un evento negativo, con una gravità variabile. Perdere il treno è meno gravedell'allagamento della casa. Più a lungo un episodio negativo resta in mente, maggiore è laprobabilità di affrontare altre disgrazie: ad esempio, se si allaga la nostra casa e un mese doposubiamo un incidente in macchina tendiamo proprio a pensare di essere sfortunati; invece seperdiamo il treno due volte nell'arco di un mese non ce ne rendiamo conto, eppure sono sempre dueeventi negativi in un mese. Nel caso dei due incidenti gravi non siamo riusciti a dimenticare il primoe quindi la nostra mente collega i due fatti come fossero un'unica sequenza, c'è la tendenza acercare gli episodi che confermano la nostra fortuna e tutti gli altri positivi vengono ignorati: mainessuno dirà: «Mi è successa una sola disgrazia, il proverbio è falso».

Sfortuna e cartine

Spesso, consultando un atlante, scopriamo che il paese che dobbiamo raggiungere è proprio sulbordo della pagina e siamo costretti a voltare pagina in continuazione per trovare la strada giustada percorrere. Eppure in una cartina i margini sono piccoli rispetto alla parte centrale del foglio.Oppure no? In realtà la possibilità di scegliere una meta vicino al bordo è molto più elevata diquanto si possa pensare:

Quindi i problemi sorgono quando la destinazione si trova nell'area ombreggiata, costituita da unmargine di un solo centimetro, irrilevante. Ma non è così: l'area dell'ombreggiatura è di 56 cm², il28% della pagina. Abbiamo quasi una probabilità su tre che la destinazione sia nella zonaincriminata. Se poi consideriamo un margine di due centimetri, la probabilità che la destinazione siasu quel bordo è ben del 47%! Come sempre, si tende a dimenticare il numero di volte in cui lastrada era perfettamente al centro della cartina, mentre ricordiamo quante volte non lo è stato,ecco perché arriviamo a ritenerci sfortunati.

Il «13» sfortunato

Il 13 è da sempre considerato un numero sfortunato sebbene non sia ben chiara l'origine di questasuperstizione. Gli architetti superstiziosi evitano il 13° piano e gli scrittori superstiziosi saltano il13° capitolo. Il numero è associato a episodi negativi, il più conosciuto è sicuramente l'Ultima Cena.Venerdì 13 è il giorno peggiore in cui qualsiasi evento possa accadere e sfortuna vuole che è moltopiù probabile che il tredicesimo giorno del mese sia di venerdì piuttosto che qualsiasi altro girono.Si tratta di una «fortunata» combinazione statistica derivante dal ciclo dei giorni nel calendariogregoriano.

La matematica nei cavolfiori

Sembra incredibile, ma il cavolfiore ha il suo grosso contenuto di matematica. È la forma a renderlonobile, il cavolfiore ha infatti una propria organizzazione e struttura interna. Mentre un fioredispone i suoi "enti minimi" (i petali) attorno a un corpo centrale, il cavolfiore è molto piùcomplesso: non ha né corpo centrale, né enti minimi. Staccando uno dei "rami" principali si vede cheil nuovo pezzo, più piccolo dell'ortaggio intero, è organizzato in maniera identica: molti rami che sidiramano a loro volta. La proprietà per cui un intero assomiglia a una parte di se stesso si chiamaautosimilarità, e caratterizza oggetti detti frattali. Con un cavolfiore dopo sei-sette passaggidiventa impossibile continuare a separarlo in pezzetti simili, ma immaginando di avere un cavoloperfetto e mani precisissime, si potrebbe proseguire all'infinito. Accade analogamente con alcunioggetti matematici costruiti sfruttando l'autosimilarità, come il fiocco di Koch. La costruzione delfiocco parte di un triangolo equilatero. Ogni lato viene diviso in tre segmenti uguali; quello centralediventa la base di un altro triangolo equilatero, si ottiene una stella a sei punte e così viaall'infinito. Il fiocco ha un'area pari a circa 8/5 del triangolo iniziale, ma un perimetro infinito.

La famiglia di fogli A

Nei paesi europei le dimensioni dei fogli di carta sono standardizzate secondo la convenzioneISO216. Le misure di un fogli A4, 21×29,7 cm, sembrano insensate, ma non è così. Infatti il foglioA4 ha una caratteristica molto elegante: piegando a metà il lato maggiore si ottengono due fogliche hanno le stesse proporzioni di quello di partenza. Quindi un volantino stampato su un foglio A5può essere ingrandito fino a riempire un A4 senza subire deformazioni. Quindi il rapporto tra ledimensioni di un A4 è uguale a quello di un A5, sempre 1,41. Questa proprietà vale sempreraddoppiando o dimezzando i fogli considerati: vale quindi anche per l'A3 e l'A6. Maggiore è ilnumero dopo la A, più piccolo è il foglio, e si può procedere all'infinito, minore è il numero, piùgrande è, per arrivare all'A0 che misura 84,1×118,9 cm. E il rapporto tra le dimensioni è sempre di1,41, ma la principale caratteristica dell'A0 è che la sua area è di un metro quadrato. Quindi l'A0deve avere l'area di un metro quadrato e, se diviso a metà, deve generare fogli con lo stessorapporto tra i lati. Possiamo quindi impostare il seguente sistema in cui a e b sono le misure dei latidel foglio:

Le soluzioni, cioè le misure di a e b , che soddisfano le condizioni sono:

Fonti

Probabilità, numeri e code di Rob Eastway, Jeremy Wyndham – 2003 Ed. Dedalo,Bari

Insalate di matematica di Robert Ghattas – 2004 Sironi Editore, Milano

http://www.wikipedia.org

http://www.chiesi.net/home/ita/giochi.html

http://www.html.it per la calcolatrice