/ integrabile inRse unaprimitiva G di / convergentein -oo e in*-.Sipone al l ora:= l i mG (x) - l i mG (x)x- - ++@Jl - - +- + @rl f (x)dxlDopo ci ,procedendocome neln.l utai ntegrabi l i t (o sommabi l i t) edil'interpretazione geometrica delf integraleInmodoovvi osi estendono poidistributivaeladisuguaglianza(11) di11. I ,sipongono l e nozi oni diasso-sempl i cei nt egrabi l i t , esi est endediuna funzi one sommabi l e.l apropri etaddi ti va, l apropri etpas. 426.Do . .FI zRENz A , GREcc12. Cnteri diintegrabilit.hrr*-V^* f )Vogliamoorastabilire qualche criteriodiintegrabilit, precisamentequal-cheteoremache forniscadelle condizioni sufficienti affinch una funzione general-mente continua inunintervallo, con un numero finitodipunti didiscontinuitr,sia integrabile.Poichil problemadell'integrabilitdi una funzionesiffatta si riconducesem-pre al caso di una funzione continua in un intervallo non compatto,basta ovvia-mente riferirsiatale caso.Noi ci ri feri remo adunafunzi one f che si a conti nua i nuni nterval l odel t i po a, b ,l i mi t at oonon, i nquant o i l caso diuna f unzi one cont i nuai nuni nterval l o del ti po l a,bldeltuttoanal ogo,e quel l o rel ati vo ad uni nterval l odel ti po l a,blsi ri conduceai dueprecedentidecomponendol a, b[i nduei nt erval l idel t i po f a, x o]ed [ * o, bl .Comi nci amo conl ' osservareche,se l afunzi one f hadefi ni ti vamentesegnocostante i ntornoa b,di re che f i ntegrabi l eequi val ea di re che as-sol utamentei ntegrabi l e.Pertanto una funzi one che si a i ntegrabi l ema non as-sol utamentei ntegrabi l e,deve avere l a propri et di assumere,i nognii ntornodib, si a val oriposi ti viche val orinegati vi .12.I. Cnteri di sommabilit.Il teorema seguenteforni sce uncri teri odi assol utai ntegrabi l i t, chediremocritertodiconfronto:( 12. 1) .Le f unzi oni a, b[ ,e siabb a:( 1 )f e S siano contrute nell'intervallos@)Vx[ a, bl .nonnegative/(x) (Se l a funzi one g sommabi l e i n [a,b[, anche f sommabi l e;se f non sommabile, neppure g sommable.Integrazione delle funzioni diunavariabile431Bastaosservareche dalla (1)consegue:Yt e[a,b[e tener corrto del fattoche, essendole funzioni integrandenon negative,le due funzioniintegralia primo e secondomembrosono crescenti,e quindi sonoregolariper t -+ b-.Del resto,ilrisultatoconsegueanchedal fatto che ilrettangoloideR,relativoallafunzione / contenutonel rettangoloideR,relativo alla funzione 8', sicchse R,hamisurafinita lo stessoaccadeper R1, e seR,ha misurainfinita1ostessoaccadeperRr.I1 verificarsi deila ( 1)siesprime dicendo che la funzione / maggioratadalla funzione g,oche la g minoratadalla f, epertanto ilteorema (12.t)siriassume concisamente dicendocheuna funzone nonnegativa, che siamaggioratada una funzione sommabile, a sua volta sommabile;una funzoneche sia minorata da una funzione nonnegativae non sommabile, a sua voltanon sommnbile.Owiamente,se f e S sono funzionidisegnovariabile, ilcriteriodicon-f ront o (12. 1) sipu appl i careal l e f unzi onil / le l gl .Parti col ari zzandonel l a (12.1)l afunzi one di confronto, sipossono ot-tenere criteridisommabilit odinonsommabilit che ben si prestano all'usopratico.Atalescopoesamineremo separatamenteilcaso cheI'intervallola,b[ sia limitatoeilcaso cherisultib = {co.a)Caso dell'intervallo la,b limitato.Rileviamo,perquantosia ovvio,che unafunzionecontinuain [a,b[ed i vil i mi tata sommabi l e.Ne consegueche i lprobl ema del l a sommabi l i tsipone perl efunzi oni che nonsono l i mi tate i ntornoa b.E' al l ora natural eesami narel a sommabi l i t i nfa,b[del l e funzi onidelti pol l (b-x)con a>0,ci o del l epotenze del l ' i nfi ni to campi onerel ati vo alpunto b.Inproposito,facile verificare che:(12.2). Qual unque si a a)0,nel l ' i nterval l o l a,bll a funzi one:( 2) sommabtle se ot 11,Se acon kcost ant eposi t i va, l a f unzi one fnonsommabi l ei n l a, bl .Se "f i nfi ni taneipunto b,Ia (4) espri mei l fattoche essa uni nfi ni todi ordi ne non maggi oredia; l a (5) espri mei nvecei l fattoche f uni nfi ni todi ordi ne non mi nore di 1. Sipudunque concl udereche:(12.3). La funzi onef si aconti nuai n l a,b[ ednftni tanel puntob.Allora f sommable se uninfinitodiordine nonmaggioredunnu-meroa ( 1, nonsommabile se uninfinttodiordinenonminoredi1.Sinoti che l edue propri et:f uninfinitocJi ordinenonmaggiore diunnurnero q. {1,f uni nfi ni todordi ne mi nore di 1,(4)c o n 0