Criteri di resistenza - people.unica.it · Criteri di resistenza. Massima Tensione Normale...

Criteri di resistenza


Abbiamo fin ora analizzato la verifica di resistenza di elementi strutturali sottopostia stati di sollecitazione semplice.

Ad esempio, in un caso come quellomostrato a sx la conoscenza dellosforzo di snervamento (o di rottura)ottenuto da una prova di trazioneuniassiale sarebbe sufficiente arisolvere il problema

Tuttavia inininin unununun casocasocasocaso lievementelievementelievementelievemente piùpiùpiùpiùcomplessocomplessocomplessocomplesso (presenza contemporanea disollecitazioni normali e tangenziali),llll’’’’approccioapproccioapproccioapproccio vistovistovistovisto inininin precedenzaprecedenzaprecedenzaprecedenza nonnonnonnon èèèè piùpiùpiùpiùapplicabileapplicabileapplicabileapplicabile


Se fosse possibile eseguire prove sperimentali per ogni materiale in ogni stato disollecitazione, la verifica consisterebbe nel semplice confronto:

Nella quale la sollecitazione limite è relativa ad una prova nella quale il provino èsollecitato esattamente come la nostra struttura.

In realtà le grandezze σlim vengonovengonovengonovengono misuratemisuratemisuratemisurate inininin proveproveproveprove monoassialimonoassialimonoassialimonoassiali didididi trazionetrazionetrazionetrazione oooocompressionecompressionecompressionecompressione semplicesemplicesemplicesemplice, mentre le sollecitazioni agenti σ si riferiscono a situazioni dicarico generalmente molto più complesse per le quali in ogni punto del sistema sonopresenti componenti di sforzo sia normali che tangenziali, ossia uno stato disollecitazione composto.

1. Dato un generico stato di sollecitazione complesso….

2. Dati i risultati di prove uniassiali di trazione….

È possibile che la sollecitazione produca il cedimento del materiale?È possibile che la sollecitazione produca il cedimento del materiale?È possibile che la sollecitazione produca il cedimento del materiale?È possibile che la sollecitazione produca il cedimento del materiale?

Ovviamente non è possibile pensare di sottoporre il materiale a n possibili combinazioni di tensione!!!

N.B. in questo contesto la σ ha il significato generico di“un insieme di sollecitazioni”0 ≤ 0233 =

0563

7


La filosofia che sta alla base dei criteri di resistenza…

Qualunque sia la causa del cedimento nella prova di trazione la stessa causa sarà responsabiledel cedimento in tutte le altre possibili condizioni di carico statico

Si introduce il concetto di ««««statostatostatostato tensionaletensionaletensionaletensionale ugualmenteugualmenteugualmenteugualmente pericoloso»,pericoloso»,pericoloso»,pericoloso», oooo «stato«stato«stato«stato monoassialemonoassialemonoassialemonoassialeequivalente»equivalente»equivalente»equivalente» definito «sigma«sigma«sigma«sigma ideale»ideale»ideale»ideale»

σσσσidididid =f(σ=f(σ=f(σ=f(σxxxx,σ,σ,σ,σyyyy,σ,σ,σ,σz,z,z,z,ττττxyxyxyxy,τ,τ,τ,τyzyzyzyz,τ,τ,τ,τzxzxzxzx) ) ) )

La differenza tra i vari criteri consiste essenzialmente nel modo in cui calcolo questo statoequivalente. I criteri si avvalgono di considerazioni di tipo teorico, ma spesso vengono“calibrati” sulla base delle evidenze sperimentali

NB 1ksi = 6.89 MPa


Criteri

di Resistenza

Materiali Duttili (snervamento)

• Massima Tensione Tangenziale

(Tresca, Guest- St. Venant)

• Massima Energia di Distorsione

(Huber-Von Mises, Hencky)

Materiali Fragili (rottura fragile)

• Massima Tensione Normale (Rankine)

• Mohr, Moh-Coulomb, Mohr modificato

Criteri di resistenza. Massima Tensione Normale

Formulato da W.J.M. Rankine, ipotizza che il cedimento (per rottura)avvenga ogniogniogniogni voltavoltavoltavolta chechecheche lalalala tensionetensionetensionetensione didididi trazionetrazionetrazionetrazione (compressione)(compressione)(compressione)(compressione) aaaa cuicuicuicui èèèèsottopostosottopostosottopostosottoposto ilililil materialematerialematerialemateriale superisuperisuperisuperi lalalala resistenzaresistenzaresistenzaresistenza uniassialeuniassialeuniassialeuniassiale didididi rotturarotturarotturarottura aaaa trazionetrazionetrazionetrazione(compressione)(compressione)(compressione)(compressione)

Il componente resiste se:Il componente resiste se:Il componente resiste se:Il componente resiste se:

Rappresentazione nel piano di Rappresentazione nel piano di Rappresentazione nel piano di Rappresentazione nel piano di MohrMohrMohrMohr

(il cerchio di Mohr deve stare all(il cerchio di Mohr deve stare all(il cerchio di Mohr deve stare all(il cerchio di Mohr deve stare all’’’

’interno dei limiti interno dei limiti interno dei limiti interno dei limiti fissati)fissati)fissati)fissati)

Rappresentazione nel piano Rappresentazione nel piano Rappresentazione nel piano Rappresentazione nel piano delle sollecitazioni principalidelle sollecitazioni principalidelle sollecitazioni principalidelle sollecitazioni principali

(il punto di coordinate (il punto di coordinate (il punto di coordinate (il punto di coordinate σσσσ1,1,1,1, σσσσ2222 deve stare alldeve stare alldeve stare alldeve stare all’’’

’interno del interno del interno del interno del dominio di resistenza)dominio di resistenza)dominio di resistenza)dominio di resistenza)

01 ≤ HIJ

03 L HIM


È stato dimostrato che questo criterio si correla ragionevolmente bene con idati sperimentali relativi a materialimaterialimaterialimateriali fragilifragilifragilifragili e non è adatto alla previsione dirotture duttili

Le “linee di carico” (semirette che congiungono l’origine degli assi con il punto le cuicoordinate sono le sollecitazioni principali esistenti nell’intorno del punto in esame, per poiproseguire fino ai limiti del dominio di resistenza) consentono di visualizzarevisualizzarevisualizzarevisualizzare ancheancheancheanchegraficamentegraficamentegraficamentegraficamente ilililil coefficientecoefficientecoefficientecoefficiente didididi sicurezzasicurezzasicurezzasicurezza


• Il coefficiente di sicurezza rappresenta la «distanza» dal limite di resistenza (ossia daiconfini del dominio di resistenza).

• QuestoQuestoQuestoQuesto èèèè validovalidovalidovalido inininin generalegeneralegeneralegenerale perperperper tuttituttituttitutti iiii critericritericritericriteri quandoquandoquandoquando sisisisi lavoralavoralavoralavora nelnelnelnel pianopianopianopiano delladelladelladella sollecitazionisollecitazionisollecitazionisollecitazioniprincipaliprincipaliprincipaliprincipali

• I punti di frontiera sono tutti caratterizzati da un valore del coefficiente di sicurezza unitario

7 =NO

NP

Esempio

Gli stati di tensione piana mostrati in figura, si sviluppano inalcuni punti critici di un componente per un macchinariodestinato alla riabilitazione

I materiali impiegati per realizzare la struttura sono ghiseaventi le seguenti caratteristiche:

CasoCasoCasoCaso 1111 (ASTM(ASTM(ASTM(ASTM 20202020))))

Sut = 151 MPaSuc = 572 MPa

CasoCasoCasoCaso 2222 (ASTM(ASTM(ASTM(ASTM 30303030))))

Sut = 213 MPaSuc = 751 MPa

Determinare il coefficiente di sicurezza applicando ilcriterio della massima tensione normale

Caso 1Caso 1Caso 1Caso 1


Limiti del criterio di Rankine

Il criterio di Galileo-Rankine presenta il limite didididi nonnonnonnon teneretenereteneretenere contocontocontoconto delldelldelldell’’’’interazioneinterazioneinterazioneinterazione tratratratra leleleletensionitensionitensionitensioni principaliprincipaliprincipaliprincipali....

Consideriamo ad esempio un elemento soggetto, in due casi differenti, a tensioni principaliaventi lo stesso segno e segno opposto:

E’ evidente che nel caso (a) lalalala tensionetensionetensionetensione principaleprincipaleprincipaleprincipale σσσσIIIIIIII contrastacontrastacontrastacontrasta lalalala dilatazionedilatazionedilatazionedilatazione trasversaletrasversaletrasversaletrasversalecausatacausatacausatacausata dalladalladalladalla σσσσIIII (e(e(e(e viceversa)viceversa)viceversa)viceversa) per cui lalalala resistenzaresistenzaresistenzaresistenza deldeldeldel bloccobloccobloccoblocco aumentaaumentaaumentaaumenta rispetto al caso (b)

Vi sono invece coppie di valori (σI,σII) per le quali il criterio di Galileo-Rankine non tieneconto di questo fatto, associandoassociandoassociandoassociando allealleallealle configurazioniconfigurazioniconfigurazioniconfigurazioni didididi tensionetensionetensionetensione deideideidei duedueduedue casicasicasicasi lolololo stessostessostessostesso gradogradogradogrado didididipericolopericolopericolopericolo....

Massima Tensione Tangenziale (Tresca)

Inizialmente proposto da C.A. Coulomb, ma meglio noto come criterio diGuest-Tresca, ipotizza che il cedimento (per snervamento) sisisisi verificaverificaverificaverificaquandoquandoquandoquando lalalala massimamassimamassimamassima tensionetensionetensionetensione tangenzialetangenzialetangenzialetangenziale nelnelnelnel puntopuntopuntopunto consideratoconsideratoconsideratoconsiderato raggiungeraggiungeraggiungeraggiunge oooosuperasuperasuperasupera lalalala massimamassimamassimamassima tensionetensionetensionetensione tangenzialetangenzialetangenzialetangenziale chechecheche provocaprovocaprovocaprovoca llll ’’’’ inizioinizioinizioinizio dellodellodellodellosnervamentosnervamentosnervamentosnervamento inininin unununun provinoprovinoprovinoprovino dellodellodellodello stessostessostessostesso materialematerialematerialemateriale soggettosoggettosoggettosoggetto adadadad unaunaunauna provaprovaprovaprova didididitrazionetrazionetrazionetrazione semplicesemplicesemplicesemplice....

• Lo snervamento nei materiali duttili ècausato dallo scorrimento dei pianicristallini lungo le superfici di massimosforzo tangenziale

• Dunque il materiale, in un certo punto,è considerato sicuro se lo sforzomassimo tangenziale in quel punto èinferiore a quello massimo tangenzialeregistrato allo snervamento

È una teoria facile da usare e si è dimostrata essere in buon accordo con i risultatisperimentali relativi a materialimaterialimaterialimateriali duttiliduttiliduttiliduttili (ricordiamo che si prende in esame losnervamento)

In un provino sottoposto a trazione semplice si ha

Per uno stato tensionale generico, le tensioni ditaglio massime agenti nei piani principali sono dateda

Lo snervamento si verifica quando σmax = Sy ossia:


ZH ≤1

2(H[ \ 0) =

1

2H[

Z6] =1

206 \ 0] 6, ] = 1,2,3; 6 _ ]

ZH =1

201 \ 03 =

1

2H[

Z32` =1

201 \ 03

τ

σ

τmax

σ1σ2σ3

Si consideri uno stato di sollecitazionegenerico, rappresentato dai 3 cerchi di Mohr in figura.La sollecitazione di taglio massima risultaessere:

Dobbiamo confrontarla con la prova di trazione, che costituisce il riferimento per quanto riguarda la resistenza del materiale.τ

σ

τmax.T

σTσ3= σ3=0

Z32`, J =0J

2

Per cui risulta che la sigma equivalente da confrontare con il risultato della prova di trazione risulta

0ab = 01 \ 03


Attenzione!

τzyσz

z

y

τyz

F

z

Consideriamo il caso semplice di un asta caricata come in figura. E’ presente flessione e taglio.

In un generico punto della trave si ha uno stato di sollecitazionecaratterizzato σz, τzy, τzy

Per trovare la τmax si può procederederivandola dale σz, τzy, τzy

τ

σ

τmax

σz,,τzy

0,τyz

Z32` =0d

e

2+ Zd[

e =0d

e + 4Zd[e

2

0ab = 0de + 4Zd[

e

Attenzione!

Ipotizziamo di avere la σy diversa dal 0. Il cerchio di Mohr diventa:

Per analogia si sarebbe portati a scrivere:

τ

σ

τmax

σz,,τzy

σy,τyz

Z32` =0d \ 0[

e

2+ Zd[

e

τzyσz

z

y

τyzσy

Sarebbe un erroreerroreerroreerrore gravegravegravegrave!!!Infatti si trascurerebbe l’esistenza del terzocerchio, da cui una τ massima maggiore!

σx=0

É importante calcolare SEMPRE tutte e 3 le sigma principali ed ordinarle secondo la convenzione, in ordine crescente

σ1> σ2 > σ3

τmax!!!

Tresca nello spazio delle sollecitazioni principali

Consideriamo inizialmente uno statostatostatostato piano piano piano piano di sforzo con σσσσCCCC=0 =0 =0 =0 e consideriamo il piano σA-σB.Usiamo la notazione σA,σB, σC invece che σ1,σ2,σ3 perché non sappiamo come sono ordinate. Un punto preso nel terzo quadrante avrebbe σnegative, per cui A e B sarebbero 2 e 3, visto che la terza è nulla e sarebbe quindi la più grande (cioè 1).Inoltre, se A e B sono ordinate, con σA>σB si deve considerare solamente il semipiano al di sotto della bisettrice del I e III quadrante. La parte superiore non è considerata.

σA

σB

-σSN

σSN

σSN

-σSN

0ab = 01 \ 03

0ab = 0O \ 0l

TRESCA 0l = 0

0O = 0

0l = 0O \ 0SN0O _ 00l _ 0

0l = \0Hm

0O = 0ab = 0Hm

Dominio di resistenza:

I

III

IV

I

III

IV

0O

= 0

Hm

0l = \0Hm

Tresca nello spazio delle sollecitazioni principali

Nel caso di torsione pura, la condizionecondizionecondizionecondizione limitelimitelimitelimitesarà data dall’intersizione della linea del taglio(linea inclinata di –45°, bisettrice del II e IV quadrante) con la curva limite nel IV quadrante.In condizioni di taglio puro, si ha:

σA

σB

-σSN

σSN

σSN

-σSN

I

III

IV

0O

= 0

Hm

0l = \0Hm

ZHm =0SN

2= 0.50SN

0l = 0O \ 0SN

0l = \0O 0O =0SN

20l = \

0SN

2

(σ2 =0, è la sollecitazione principale intermedia)

01 = Z 03 = \Z 02 = 0


Riepilogando:

•Nel piano delle sollecitazioni principali il criteriodella Massima Tensione Tangenziale definisce undominiodominiodominiodominio didididi resistenzaresistenzaresistenzaresistenza didididi formaformaformaforma esagonaleesagonaleesagonaleesagonale

• I punti caratteristici (intersezione del dominiocon gli assi) corrispondono alla sollecitazione disnervamento

• Se il punto corrispondente allo stato disollecitazione esistente cade all’interno dell’areaombreggiata, siamo in condizioni di sicurezza

•Nello spazio, il dominio di resistenza assume laforma di un prisma (non retto) a base esagonale

Esercizio

Lo stato di tensione piana mostrato in figura, si sviluppa in unpunto critico di uno stelo di endoprotesi d’anca.

Il materiale impiegato per realizzare la struttura è un acciaioAISI 316L, per il quale è stata misurata una resistenza allosnervamento pari a 250 MPa

Determinare il coefficiente di sicurezza dello stelo applicando ililililcriteriocriteriocriteriocriterio delladelladelladella massimamassimamassimamassima tensionetensionetensionetensione tangenzialetangenzialetangenzialetangenziale

40 MPa


Il caso 2 differisce dal precedente esclusivamente per il cambiodi segno della tensione σy

Cosa cambia nell’applicazione del criterio?


Criteri di resistenza: Von Mises

Criterio della

Massima energia di distorsione (Von Mises)


Il criterio della Massima Energia di Distorsione ha origina da unassunto fondamentale: lolololo snervamentosnervamentosnervamentosnervamento deldeldeldel materialematerialematerialemateriale nonnonnonnon èèèèinfluenzatoinfluenzatoinfluenzatoinfluenzato dadadada unununun regimeregimeregimeregime didididi pressionipressionipressionipressioni didididi tipotipotipotipo idrostaticoidrostaticoidrostaticoidrostatico....

Tale osservazione ha ricevuto infatti un’ampia confermasperimentale ad opera di Percy Bridgman che, nella secondametà degli anni ‘50, effettuò una serie di prove di trazionetenendo immerso il provino in una camera iperbarica checonsentiva di raggiungere pressioni dell’ordine di 25000 atm(2500 MPa).

Da tali prove emerse, infatti, che lalalala pressionepressionepressionepressione idrostaticaidrostaticaidrostaticaidrostatica nonnonnonnon solosolosolosolononnonnonnon riducevariducevariducevariduceva ilililil valorevalorevalorevalore delladelladelladella tensionetensionetensionetensione didididi snervamentosnervamentosnervamentosnervamento mamamama originavaoriginavaoriginavaoriginavaunaunaunauna maggioremaggioremaggioremaggiore deformabilitàdeformabilitàdeformabilitàdeformabilità plasticaplasticaplasticaplastica deldeldeldel provinoprovinoprovinoprovino, cioèincrementava la duttilità del materiale.

Assunta quindi llll’’’’ininfluenzaininfluenzaininfluenzaininfluenza delladelladelladella pressionepressionepressionepressione idrostaticaidrostaticaidrostaticaidrostatica sulsulsulsulcedimentocedimentocedimentocedimento perperperper snervamentosnervamentosnervamentosnervamento, è logico attribuire agli sforzi interniche non variano per effetto della pressione medesima, la causadello snervamento del materiale


Stato generico

Stato non pericoloso

Responsabile dello snervamento


Le relazioni che descrivono questo criterio sono state formulate in modo indipendente da M.T.HuberHuberHuberHuber, R. vonvonvonvon MisesMisesMisesMises e H. Hencky tra il 1904 e il 1924 anche se di recente si è scoperto che giàMaxwell a metà ‘800 aveva postulato i principi che stanno alla base del criterio.

ConsiderazioniConsiderazioniConsiderazioniConsiderazioni didididi partenzapartenzapartenzapartenza

• Ogni materiale sollecitato elasticamente subisce un (piccolo) cambiamentodi forma, di volume o di entrambi

• L’energia necessaria a produrre tale cambiamento viene immagazzinatanel corpo sotto forma di energia elastica (Ue = 1/2Eσ2).

• Tuttavia, un certo materiale ha una limitatalimitatalimitatalimitata eeee definitadefinitadefinitadefinita capacitàcapacitàcapacitàcapacità didididi assorbireassorbireassorbireassorbireenergiaenergiaenergiaenergia didididi distorsionedistorsionedistorsionedistorsione, ossia energiaenergiaenergiaenergia tendentetendentetendentetendente aaaa cambiarecambiarecambiarecambiare lalalala formaformaformaforma ma non ilvolume

• Ogni tentativo di incrementare l’energia di distorsione ceduta al corpooltre quel dato limite produce lo snervamento


InInInIn brevebrevebrevebreve…………

Il criterio della Massima Energia di Distorsione assume chelo snervamento avvenga quando llll’’’’energiaenergiaenergiaenergia didididi distorsionedistorsionedistorsionedistorsioneper unità di volume raggiunge od oltrepassa l’energia didistorsione per unità di volume necessaria a snervare lostesso materiale durante la prova di trazione semplice

DaDaDaDa cosacosacosacosa nascenascenascenasce…………....

Materiali duttili soggetti ad uno stato di tensioneidrostatico mostrano una resistenza allo snervamentosuperiore al valore misurabile nella prova di trazionesemplice

Si ipotizza, quindi, che lo snervamento sia legato in qualchemodo all’effetto della distorsione del materiale piuttostopiuttostopiuttostopiuttostochechecheche allaallaallaalla trazionetrazionetrazionetrazione oooo allaallaallaalla compressionecompressionecompressionecompressione semplicesemplicesemplicesemplice.


L’impiego del criterio MED, meno semplice di quello MTT ma anche più aderente alla realtàsperimentale, si basa sull’introduzione del concetto di tensionetensionetensionetensione equivalenteequivalenteequivalenteequivalente, definita come lalalalatensionetensionetensionetensione uniassialeuniassialeuniassialeuniassiale didididi trazionetrazionetrazionetrazione chechecheche produrrebbeprodurrebbeprodurrebbeprodurrebbe lolololo stessostessostessostesso livellolivellolivellolivello didididi energiaenergiaenergiaenergia didididi distorsionedistorsionedistorsionedistorsioneprodottoprodottoprodottoprodotto dalldalldalldall’’’’effettivoeffettivoeffettivoeffettivo statostatostatostato didididi tensionetensionetensionetensione inininin esameesameesameesame....

In termini di tensioni principali, l’equazione della tensione equivalente è la seguente

che si trasforma, per uno stato tensionale piano, nell’equazione di un’ellisse

Di seguito vediamo da dove hanno origine le espressioni…

0ab =1

201 \ 02

2 + 02 \ 032 + 01 \ 03

2

0ab = 012 \ 0102 + 02

2

Si consideri il generico elementino soggetto ad uno stato di sforzo generico, e valutiamo illavoro compiuto su di esso dagli sforzi agenti. In figura sono evidenziate, per semplicità, leforze e gli spostamenti in direzione x. Ovviamente le stesse condiderazioni valgono anche perle altre direzioni.

s =1

2tu


In generale, il lavoro compiuto dalla forza F per lo spostamento ad essaparallelo δ è espresso come:

x

y

z

sw =1

2t`u`

t` = 0`x[xd

u` = y`x`

x

y

z

sw =1

2t`u`

t` = Z[`x`x[u` = z[`xd


x

y

z

sw =1

2t`u`

t` = 0`x[xd

u` = y`x`

t` = 0`x[xd u` = y`x`

sw0 =

1

2t`u`

sw0 =

1

2· 0`x[xd · y`x`

sw0 =

1

20`y`x`x[xd

s|0 =

1

20[y[x} s~

0 =1

20dydx}sw

0 =1

20`y`x}

sw0 =

1

20`y`x}


x

y

z

sw =1

2t`u`

t` = Z[`x`x[u` = z[`xd

s~Z =

1

2Z`dz`dx}

swZ =

1

2· Z[`x`xd · z[`x[

t` = Z[`x`x[

u` = z[`xd

swZ =

1

2Z[`z[`x}

swZ =

1

2Z[`z[`x`xd

swZ =

1

2Z[`z[`x}

s|Z =

1

2Zd[zd[x}

L’energia elastica accumulata per unità di volume sarà pari al lavoro complessivamentecompiuto sull’elemento di volume, diviso per il volume stesso.

� =∑ s

x}

� =1

x}

1

20`y`x} +

1

20[y[x} +

1

20dydx} +

1

2Z[`z[`x} +

1

2Zd[zd[x} +

1

2Z`dz`dx}

� =1

20`y` + 0[y[ + 0dyd + Z[`z[` + Zd[zd[ + Z`dz`d

Ricordando che

y` =1

�0` \ � 0[ + 0d y[ =

1

�0[ \ � 0` + 0d yd =

1

�0d \ � 0` + 0[

z`[ =Z`[

�z[d =

Z[d

�z`d =

Z`d

�


� =1

2(0`

1

�0` \ � 0[ + 0d + 0[

1

�0[ \ � 0` + 0d + 0d

1

�0d \ � 0` + 0[ + ⋯

Z[`

Z`[

�+ Zd[

Z[d

�+ Z`d

Z`d

�)

E sostituendo nell’espressione di U, si trova

� =1

2(

1

�0`

2 \ � 0`0[ + 0`0d +1

�0[

2 \ � 0`0[ + 0d0[ +1

�0d

2 \ � 0`0d + 0[0d + ⋯

Z`[2

�+

Z[d2

�+

Z`d2

�)

� =1

2

1

�0`

2 + 0[2 + 0[

2 \ � 20`0[ + 20[0d + 20d0` +Z`[

2

�+

Z[d2

�+

Z`d2

�

� = 1

2�0`

2 + 0[2 + 0[

2 \ 2� 0`0[ + 0[0d + 0d0` +1

2

Z`[2

�+

Z[d2

�+

Z`d2

�


Nel sistema di riferimento principale gli sforzi tangenziali sono nulli, l’espressionedell’energia elastica immagazzinata diventa:

I = 1

2�01

2 + 022 + 03

2 \ 2� 0102 + 0203 + 0301

J = 0` Z[` Zd`

Z`[ 0[ Zd[

Z`d Z[d 0d

=03 0 00 03 00 0 03

+0` \ 03 Z[` Zd`

Z`[ 0[ \ 03 Zd[

Z`d Z[d 0d \ 03

0� = 01 + 02 + 03

3


Si ricorda che il tensore degli sforzi può essere scomposto nella somma di due componenti, una componente idrostatica ed una componente deviatorica, come segue:

dove σm è la media delle sollecitazioni principali

Si dimostra che la componente idrostatica è responsabile della variazione di volume dell’elementino, mentre la componente deviatorica è responsabile della distorsione (variazione di forma senza variazione di volume)

Analogamente, è possibile immaginare di scomporre l’energia elastica accumulatanelle due componenti, Uv (relativa alla variazione di volume, di cui è responsabilela componente idrostatica) ed Ud (energia elastica di distorsione, di cui èresponsabile la component deviatorica)

I = I} + Ix

Ix = I \ I}


Poichè il criterio prende in esame l’energia di distorsione, esplicitiamo Ud:

Per ottenere l’espressione di Ud cerchiamo prima le espressioni di U ed Uv eandremo a sostituire.

I} = 1

2�03

2 + 032 + 03

2 \ 2� 0303 + 0303 + 0303

I} = 1

2�303

2 \ 6�032 =

3

2�03

2 1 \ 2�

I} = 3

2�

01 + 02 + 03

3

e

1 \ 2�

I} = 1

6�01 + 02 + 03

e 1 \ 2�

I} = 1

6�01

2 + 022 + 03

2 + 20102 + 20203 + 20301 1 \ 2�

I} = 1 \ 2�

6�01

2 + 022 + 03

2 + 2 0102 + 0203 + 0301


Ix = I \ I}

I = 1

2�01

2 + 022 + 03

2 \ 2� 0102 + 0203 + 0301

I} = 1 \ 2�

6�01

2 + 022 + 03

2 + 2 0102 + 0203 + 0301

I = 1

2�O \ 2�l

I} = 1 \ 2�

6�O + 2l

O = 012 + 02

2 + 032 l = 0102 + 0203 + 0301

Ix = I \ I}

Ix =1

2�O \ 2�l \

1 \ 2�

6�O + 2l


Poniamo:

Riepilogando…

Ix =1

2�O \ 2�l \

1 \ 2�

6�O + 2l

Ix =1

2�O \

�

�l \

1 \ 2�

6�O \

1 \ 2�

3�l

Ix = O1

2�\

1 \ 2�

6�+ l \

�

�\

1 \ 2�

3�

Ix = O3 \ 1 \ 2�

6�+ l

\3� \ 1 \ 2�

3�

Ix = O1 + �

3�\ l

1 + �

3�

Ix =1 + �

3�O \ l

Ix =1 + �

3�01

2 + 022 + 03

2 \ 0102 + 0203 + 0301

O = 012 + 02

2 + 032

l = 0102 + 0203 + 0301



L’energia di distorsione Ud deve essere confrontata con l’energia di distorsione UdS

che porta a snervamento il provino nella prova di trazione.

IxH =1 + �

3�0H

2

Nella prova di trazione, allo snervamento, si ha:

01 = 0H ; 02 = 0

; 03 = 0

Pertanto, la corrispondente energia di deformazione diventa

Ponendo l’uguaglianza, si trova la condizione limite:

Ix = IxH

1 + �

3�0H

2 =1 + �

3�01

2 + 022 + 03

2 \ 0102 + 0203 + 0301

0H2 = 01

2 + 022 + 03

2 \ 0102 + 0203 + 0301

Von Mises.

La precedente relazione permette di definire la tensione equivalente (detta di VonVonVonVonMisesMisesMisesMises) per lo stato di tensione triassiale da confrontare con quella ammissibile.

0a = 012 + 02

2 + 032 \ 0102 + 0203 + 0301

Che può essere scritta anche nella forma:

0a =1

201 \ 02

2 + 02 \ 032 + 01 \ 03

2

Per un sistema di riferimento non principale, l’espressione della sigma equivalente diventa:

0a = 0`2 + 0[

2 + 0d2 \ 0`0[ + 0[0d + 0d0` + 3 Z`[

2 + Z[d2 + Zd`

2

Von Mises. Casi particolari.

Nel caso di statostatostatostato tensionaletensionaletensionaletensionale piano piano piano piano con 03 =0, la sigma equivalente diventa:

0a = 012 \ 0102 + 02

2

0a = 0`2 + 0[

2 \ 0`0[ + 3Z`[2 Stato piano, sistema non principale

Stato piano, sistema principale

Nel caso di statostatostatostato tensionaletensionaletensionaletensionale puramente tangenziale puramente tangenziale puramente tangenziale puramente tangenziale (01 = Z, 02 = \01):

0a = 3Z`[2 = 3ZHm = 0Hm ZH =

0H

3= 0.5770Hm

Confrontiamo questo risultato con quello ottenuto con il criterio della massimatensione tangenziale:

ZH =0Hm

3= 0.5770Hm

ZHm =0Hm

2= 0.50Hm

massima tensione tangenziale (Tresca)

energia di distorsione (Von Mises )

Il criterio dell’energia di distorsione indica una resistenza allo snervamentomaggiore dei circa il 15%

Von Mises nello spazio delle sollecitazioni principali

0ab = 0O2 \ 0O0l + 0l

2

Rappresenta un’ellisse con gli assi inclinati di 45° e passante per i punti:(σSN,0); (0, σSN); (-σSN,0); (0, -σSN);

σA

σB

-σSN

σSN

σSN

-σSN

Analogamente a quanto fatto in precedenza, consideriamo inizialmente uno statostatostatostato piano piano piano piano di sforzo con σσσσCCCC=0 =0 =0 =0 e consideriamo il piano σA-σB.Anche in questo caso, se A e B sono ordinate con σA>σB si deve considerare solamente il semipiano al di sotto della bisettrice del I e III quadrante. La parte superiore non è considerata.Nel piano σA-σB l’equazione

Nel caso di torsione pura, la condizionecondizionecondizionecondizione limitelimitelimitelimite sarà data dall’intersizione della linea del taglio (linea inclinata di –45°, bisettrice del II e IV quadrante) con la curva limite nel IV quadrante. In condizioni di taglio puro, si ha:

ZH =0H

3= 0.5770H O =

0Hm

3, \

0Hm

3

A


• In figura è riportato il confronto tra il criteriodella Massima Tensione Tangenziale e quellodella Massima Energia di Distorsione nel pianodelle sollecitazioni principali

• L’ellisse passa attraverso i vertici dell’esagono(in questi sei punti i due criteri coincidono)

• Per tutti gli altri punti il criterio della MassimaTensione Tangenziale si rivela piùpiùpiùpiù conservativoconservativoconservativoconservativo

• Nel caso di sollecitazioni puramente torsionali(σmin = - σmax, punti sulla bisettrice del secondo equarto quadrante) lo snervamento avviene per σ1

= - σ2 = ± 0.5 σy per il criterio MTT, mentre σ1 =- σ2 = ± 0.577 σy , quindi ilililil criteriocriteriocriteriocriterio didididi VonVonVonVon MisesMisesMisesMisesaccreditaaccreditaaccreditaaccredita alalalal materialematerialematerialemateriale unaunaunauna resistenzaresistenzaresistenzaresistenza superioresuperioresuperioresuperiore deldeldeldel15151515%%%%


• La scelta tra MED e MTT è lasciataalla sensibilità del progettista

• Per le esigenze di progetto, il criterioMTTMTTMTTMTT èèèè pratico,pratico,pratico,pratico, semplicesemplicesemplicesemplice dadadada utilizzareutilizzareutilizzareutilizzare eeeeconservatvoconservatvoconservatvoconservatvo

• Tuttavia il criterio MED forniscerisultati più aderenti alla realtàsperimentale

• Come si può osservare anche dallafigura, nel caso di materiali fragili(ghisa, markers triangolari) entrambientrambientrambientrambiiiii critericritericritericriteri sisisisi dimostranodimostranodimostranodimostrano nonnonnonnon attendibili,attendibili,attendibili,attendibili,inininin particolareparticolareparticolareparticolare perperperper combinazionicombinazionicombinazionicombinazioni didididisollecitazionisollecitazionisollecitazionisollecitazioni localizzatelocalizzatelocalizzatelocalizzate nelnelnelnel secondosecondosecondosecondoquadrantequadrantequadrantequadrante

Criteri di resistenza: Mohr

Criterio di

Mohr

• È stato osservato nella pratica, che non tutti i materialipresentano la stessa resistenza a trazione e acompressione, per es. la tensione di snervamento delleleghe di Mg, in compressione è tipicamente inferiore dicirca il 50% rispetto a quella di trazione.

• Dunque appare opportuna la scelta fatta da alcuniscienziati del ‘ 900 di formulare critericritericritericriteri adattabiliadattabiliadattabiliadattabili aaaamaterialimaterialimaterialimateriali caratterizzaticaratterizzaticaratterizzaticaratterizzati dadadada unununun diversodiversodiversodiverso comportamentocomportamentocomportamentocomportamento aaaatrazionetrazionetrazionetrazione eeee compressionecompressionecompressionecompressione....

• Tra questi, un ruolo fondamentale riveste il criteriocriteriocriteriocriterio didididiMohrMohrMohrMohr, che si basa sull’esecuzione di prove semplici(trazione, compressione, torsione... ecc.) condotte fino allarottura.

• Secondo il criterio di Mohr la rottura si verifica quando,durante l’applicazione del carico, i tre cerchi relativi allostato di sollecitazione esistente si espandono fino a cheuno di essi diventa tangentetangentetangentetangente allallallall ’’’’ inviluppoinviluppoinviluppoinviluppo didididi guastoguastoguastoguasto(specifico per ciascun materiale utilizzato)


• Per tracciare le curve di Mohr è necessario eseguire almenoalmenoalmenoalmeno tretretretre proveproveproveprove didididi sollecitazionesollecitazionesollecitazionesollecitazionesemplice,semplice,semplice,semplice, ossiaossiaossiaossia trazione, compressione e torsione pura

• Ovviamente tuttituttituttitutti gligligligli statistatistatistati tensionalitensionalitensionalitensionali iiii cuicuicuicui cerchicerchicerchicerchi fondamentalifondamentalifondamentalifondamentali sonosonosonosono tangentitangentitangentitangenti allaallaallaalla curvacurvacurvacurva didididi MohrMohrMohrMohrsonosonosonosono statistatistatistati limitelimitelimitelimite perperperper ilililil materialematerialematerialemateriale

• IlIlIlIl tagliotagliotagliotaglio massimomassimomassimomassimo sopportabilesopportabilesopportabilesopportabile daldaldaldal materialematerialematerialemateriale èmaggiore in presenza di uno stato di compressione(sempre nell ’ ipotesi di resistenza a trazionemaggiore di quella a compressione)

• GliGliGliGli inviluppiinviluppiinviluppiinviluppi sonosonosonosono simmetricisimmetricisimmetricisimmetrici rispetto all’asse delleσ perché il cedimento non dipende dal segno delle τ

• Dalla parte delle σ negative gli inviluppi tendono adivergere (perperperper compressionecompressionecompressionecompressione idrostaticaidrostaticaidrostaticaidrostatica nonnonnonnon sisisisi hahahaharotturarotturarotturarottura)

OsservazioniOsservazioniOsservazioniOsservazioni



LLLL’’’’inviluppo non è necessariamente rettilineo!!!inviluppo non è necessariamente rettilineo!!!inviluppo non è necessariamente rettilineo!!!inviluppo non è necessariamente rettilineo!!!

Prove di trazione biassialeProve di trazione biassialeProve di trazione biassialeProve di trazione biassiale

Tensione di rotturaTensione di rotturaTensione di rotturaTensione di rotturaa trazionea trazionea trazionea trazione

Criteri di resistenza: Mohr-Coulomb

Criterio di

Mohr-Coulomb


Una versione semplificata del criterio di Mohr (definita “Criterio di Mohr-

Coulomb” o “teoria degli attriti interni”) definisce una curva limite di Mohrcostruita prendendo in considerazione i soli cerchi relativi alle prove di

compressione e trazione e dunque approssimando la curva, vista nel caso

precedente, con due rette.

Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato sia ai ai materiali duttili (che presentano differenti valori di Sy a trazione e compressione) che a quelli fragili (per i quali Sut ≠ Suc)

A

B

C

D E

OC

OT O*

τ

σO


A

B

C

D E

OC

OT O*

τ

σ

�O

�l=

�O

�M

�O = NJN∗

N∗=

0�∗ + 0�

∗

2, 0

NJ =0J

2, 0

NM = −0M

2, 0

�O =0�∗ + 0�

∗

2−0M

2

�l = NJl − l� = NJl − N∗O

�l =0J − 0�

∗ + 0�∗

2

NJl =0J

2 N∗O =0�∗ − 0�

∗

2


�O =0�∗ + 0�

∗ − 0M

2

�l =0J

2−0�∗ − 0�

∗

2


�O = OCO∗

�O =0�∗ + 0�

∗

2+0M

2

�M = NMM − NM�

NMM =0M

2NM� = N∗O =

0�∗ − 0�

∗

2

�M =0M

2−0�∗ − 0�

∗

2�M =

0M − 0�∗ + 0�

∗

2�O =0�∗ + 0�

∗ + 0M

2

�O

�l=

�O

�M

0�∗ + 0�

∗ − 0J

0J − 0�∗ + 0�

∗ =0�∗ + 0e

∗ + 0M

0M − 0�∗ + 0�

∗

0�∗ + 0�

∗ − 0J 0M − 0�∗ + 0�

∗ = 0�∗ + 0�

∗ + 0M 0J − 0�∗ + 0�

∗

0M0�∗ − 0�

∗2 + 0�∗0�

∗ + 0M0�∗ − 0�

∗0�∗ + 0�

∗2 − 0J0M + 0J0�∗−0J0�

∗=

= 0J0�∗ −0�

∗ 2 + 0�∗0�

∗ + 0J0�∗ −0�

∗ 0�∗ + 0�

∗2 + 0M0J − 0M0�∗ + 0M0�

∗

0M0�∗ − 0J0M−0J0�

∗= 0

0J = 0�∗ −

0J

0M

0�∗ = 0


0J = 0�∗ −

0J

0M

0�∗ = 0

0�∗ = 701

0�∗ = 703

0J = 7 01 −0J

0M

03

Lacondizione limite èsulla sigmaditrazione: 0ab =0J

77 =

0J

0ab

0ab = 01 −0J

0M

03

01

0J

−03

0M

=1

7

Laprecedente può essere scritta anche nella forma:

Che esplicita il coefficiente disicurezza infunzione delle condizioni dicarico (σ1,

σ3)edelle sigmalimite pertrazione ecompressione.


Vediamo il dominio disicurezza nel pianodelle

sollecitazioni principali:

σA

σB

-σC

-σC σT

σT

Ci mettiamo incondizioni

limite:η=1

01

0J

−03

0M

= 1

0O ≥ 0l ≥ 0 01 = 0O; 03 = 0

�� = ��

0 ≥ 0O ≥ 0l 01 = 0; 03 = 0l

�� = −��

01 = 0O; 03 = 0l0O ≥ 0 ≥ 0l

�� =��

��

�� − ��

I

III

IV

I

III

IV

A

OC

OT

τ

σ

Vediamo il caso ditensionetensionetensionetensione puramentepuramentepuramentepuramente tangenzialetangenzialetangenzialetangenziale:il cerchio diMohrdello stato di

sollecitazione ècentrato nell’origine.Losi fa crescere proporzionalmente fino ad

essere tangente alle curvelimite.Ilpunto ditengenza Aidentifica lostato

tensionale incuisi verifica lacrisi delmateriale.

Anche inquesto caso,consemplici

considerazioni geometriche,è

possibile giungere alla relazione per

laτ limiteτ*infunzionediσT eσC.

Z∗ =0J0M

0J + 0M

Allo stesso risultato si giunge

considerando che instato tensionale

puro si ha:

σ1*= τ*,σ3*= - τ*

Sostituendo nella

0J = 0�∗ −

0J

0M

0�∗ = 0

Criteridiresistenza:Mohr-Coulomb

Criteridiresistenza:Mohr-Coulomb

• Ghisa di classe 30 ASTM (resistenza a

compressione 751 MPa, a trazione 213

MPa)

• Prove biassiali (a rottura)

• Nel primo quadrante i criteri MTN,

Mohr-Coulomb (verde) e Mohr-

modificato (giallo) coincidono e

approssimano bene le osservazioni

sperimentali

• Nel quarto quadrante il criterio di

Mohr –modificato rappresenta meglio i

dati sperimentali

• I dati relativi al terzo quadrante (punti

A, B, C e D) sono troppo esigui per

giustificare una qualunque congettura

sull’andamento della curva in quella

zona.

Criteridiresistenza

Criteridiresistenza

MaterialiMaterialiMaterialiMateriali duttiliduttiliduttiliduttili

• Di solito si utilizza il criterio della Massima Energia di Distorsione

• Scelta più comoda e conservativa: Massima Tensione Tangenziale

• Nei casi di asimmetria nelle proprietà del materiale: Mohr-Coulomb Duttile

MaterialiMaterialiMaterialiMateriali fragilifragilifragilifragili

• Mohr costruito con 3 prove (trazione, compressione e torsione) è il più preciso ma

anche di difficile applicazione

• Si sceglie Mohr-Coulomb (fragile) o Mohr modificato

• Il criterio della Massima Tensione Normale è quello meno conservativo

Criteridiresistenza

Lo stato di tensione piana mostrato in figura, si sviluppa in un

punto critico di uno stelo di endoprotesi d’anca.

Il materiale impiegato per realizzare la struttura è un acciaio

AISI 316L, per il quale è stata misurata una resistenza allo

snervamento pari a 250 MPa

Determinare il coefficiente di sicurezza dello stelo applicando:

a)a)a)a) IlIlIlIl criteriocriteriocriteriocriterio delladelladelladella massimamassimamassimamassima tensionetensionetensionetensione tangenzialetangenzialetangenzialetangenziale

b)b)b)b) IlIlIlIl criteriocriteriocriteriocriterio delladelladelladella massimamassimamassimamassima energiaenergiaenergiaenergia didididi distorsionedistorsionedistorsionedistorsione

SuggerimentiSuggerimentiSuggerimentiSuggerimenti perperperper lolololo svolgimentosvolgimentosvolgimentosvolgimento::::

• Tracciare i cerchi di Mohr, determinare le tensioni principali

• Applicare il criterio della massima tensione tangenziale

• Applicare il criterio della massima energia di distorsione in entrambe le formulazioni

• Spiegare come mai i coefficienti di sicurezza calcolati per i due casi sono differenti(diagrammare i criteri sui piani delle tensioni principali)

Criteridiresistenza

Il componente cilindrico in figura (avente diametro interno 30 mm, diametro esterno 50 mm e

lunghezza 100 mm) è sollecitato all’estremità libera da una forza verticale (di entità 5000 N) e

da un momento torcente pari a 400 Nm. Sapendo che il pezzo è realizzato in acciaio

inossidabile AISI 316L (Modulo di Young E = 210 GPa, Su = 620 MPa, Sy = 415 MPa,

allungamento a rottura 12%)

Si proceda:

a) alla determinazione delle azioni interne

b) alla determinazione della sezione più sollecitata

c) a tracciare i cerchi di Mohr per il punto più sollecitato della sezione determinata al punto

precedente (si trascuri l’effetto del taglio)

d) a verificare il componente mediante un opportuno criterio di resistenza e al calcolo del

relativo coefficiente di sicurezza

Criteridiresistenza

Materiale: Acciaio AISI 1035, Sy = 560 MPa, Su = 560 MPa, εr = 0.08

Diametro variabile tra 26 e 38 mm

Determinare l’entità della forza F che produrrebbe snervamento nella leva

AzioniinternecheinteressanoiltrattoOC

Flessione(max inO) Mf=0.400F[Nm]Mf=0.400F[Nm]Mf=0.400F[Nm]Mf=0.400F[Nm]

Torsione(costanteintuttoiltratto) Mt=0.375F[Nm]Mt=0.375F[Nm]Mt=0.375F[Nm]Mt=0.375F[Nm]

SollecitazioniZ∗ =

0J0M

0J + 0M

Z`[ =16��

�x3=

16 · 0.375 · t

� · 0.0263= 0.109t

0` =32��

�x3=

32 · 0.4 · t

� · 0.0263= 0.231t


Momento flettente

Momento torcente

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