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Interamente ideato e realizzato da

Interamente ideato e realizzato da Crip

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INDICE SINTETICO

Pagina 3 - Indice Specifico

Pagina 7 - PREMESSA

Pagina 10 - PREREQUISITI

Pagina 21 - l’ ADDIZIONE

Pagina 27 - la SOTTRAZIONE

Pagina 33 - la MOLTIPLICAZIONE

Pagina 45 - la DIVISIONE

Pagina 60 - Appendice

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INDICE SPECIFICO

Pag 6. PREMESSA

Destinatari

Struttura del prodotto

Pag 9. PREREQUISITI

Tre leggi fondamentali

L’astrazione

Il nastro dei numeri

La dissociazione

Terne dei numeri

Coppie di numeri fratelli

Il Clone di un numero

Tabelline e numerazioni

Elasticità mentale

Pag 19. l’ ADDIZIONE a MENTE

Addizionare UNA sola CIFRA

Nella DECINA

A cavallo della DECINA

Addizionare un NUMERO a PIU’ CIFRE

Addizione APPROSSIMATA

Prodotto correlato: Gioco per PC (Windows) - “A cavallo del dieci” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Pag 25. la SOTTRAZIONE a MENTE

Sottrazione con il metodo della DISTANZA

Sottrarre nel CENTO

Le DUE PISTE

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o Pista Verde

o Pista Gialla

o Casi particolari

Sottrarre fra GRANDI NUMERI

Sottrazione APPROSSIMATA

Prodotto correlato: Gioco per PC (Windows) - “Sottrarre a mente” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Pag 32. la MOLTIPLICAZIONE a MENTE

Moltiplicare per DIECI

Moltiplicare per VENTICINQUE

Moltiplicazione a UNA CIFRA SENZA RIPORTO

Moltiplicazione a DUE CIFRE SENZA RIPORTO

Moltiplicazione a DUE CIFRE CON RIPORTO

Moltiplicazione APPROSSIMATA

Moltiplicazione APPROSSIMATA con i QUADRATI

Moltiplicazione per SCOMPOSIZIONE

Pag 43. la DIVISIONE a MENTE

Alcune utili “scorciatoie”

Dividere in DUE

o Solo cifre PARI

o Anche cifre DISPARI

Dividere per VENTICINQUE

Dividere per DIECI (o un suo multiplo)

Dividere per CINQUE

Dividere per QUATTRO

Dividere per OTTO

Dividere per VENTI

Strategie per la divisione

Divisione a UNA CIFRA con il QUOZIENTE INTERO

Divisione a UNA CIFRA con il QUOZIENTE con la VIRGOLA

Divisione a PIU’ CIFRE con il QUOZIENTE INTERO

Divisione a PIU’ CIFRE con l’ AVANZO

Divisione APPROSSIMATA

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Pag 58. APPENDICE

Elenco delle “Tavole per il calcolo rapido” de

Carte delle Numelline - Gioco gratuito, allegato

ELENCO dei PRODOTTI editi, correlati:

App per Android – “Terne in mano” (www.prodottiformativi.altervista.org)

CDrom - “Numelline” (Erickson - 2007)

LIBRO - “Prevenzione e trattamento delle difficoltà di numero e di calcolo” (Erickson - 2011)

LIBRO - “Tabelline e difficoltà aritmetiche” (Erickson - 2014)

Gioco per PC (Windows) - “Il nastro dei numeri” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Gioco per PC (Windows) - “Le terne nel dieci” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Gioco per PC (Windows) - “A cavallo del dieci” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Gioco per PC (Windows) - “Sottrarre a mente” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Gioco per PC (Windows) - “Tabelline in vista” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Gioco per PC (Windows) - “Tabelline al volo” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Nota: trovi tutti i prodotti editi dalla casa editrice Erickson sul sito: www.erickson.it

http://www.erickson.it/

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PREMESSA

Il manuale propone numerose strategie, essenzialmente basate su tre leggi fondamentali

sintetizzate più avanti, che sono il frutto di anni di studio attento sulle capacità innate fra

coloro che non fanno alcuna fatica nel “calcolo a mente”; strategie opportunamente

riadattate per essere utilizzate, praticamente, da chiunque.

Naturalmente, integrando le stesse con quelle già “automatizzate” (o che verranno

sviluppate in seguito), il numero di “combinazioni d’uso” delle medesime non è

quantificabile.

Ciò che conta davvero è che ciascuno scelga ed utilizzi quelle che gli permettono di

raggiungere il risultato richiesto, con il minimo sforzo.

DESTINATARI

Chiunque debba o voglia familiarizzare con il calcolo a mente.

In particolare:

chi insegna perché potrà apprendere strategie e metodi utili da insegnare una volta

compreso il loro profondo valore di verità ed efficacia

chi studia: dall’universitario, allo studente della scuola media, a chi frequenta le

università della terza età

chi ha difficoltà specifiche, come il discalculico o il DSA in generale

il genitore che vuole aiutare il proprio figlio a credere nelle proprie abilità innate

Il prodotto è articolato in modo da fornire, nella prima parte di ogni “capitolo” gli spunti

semplici e di immediata comprensione per chiunque; spunti che pian piano evolvono in

strategie sempre più complesse e, indubbiamente, non adatte a tutti.

STRUTTURA

Il prodotto è stato pensato e realizzato per la migliore fruibilità possibile, da parte di

chiunque.

L’indice specifico (sezione 1) permettere una immediata e chiara rappresentazione

mentale del “percorso” che si sta seguendo durante lo studio delle numerose strategie,

semplificando anche il passaggio e il recupero di modalità già viste e che si desidera

richiamare.

Questo prodotto è strutturato principalmente per permettere l’approfondimento anche solo

dei punti d’interesse, una volta individuato (tramite l’indice specifico) dove si trovano.

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Il prodotto è un manuale e, come tale, è previsto che, una volta studiato, venga tenuto a

portata di mano per essere consultato quando serve.

IN GENERALE

È importante visionare e “studiare” questo manuale nell’ordine in cui è stato

organizzato. Comunque il volume è strutturato in maniera che sia sempre possibile

recuperare velocemente una specifica strategia precedentemente scoperta al suo

interno, consultando l’indice specifico.

Mentre ad alcuni basterà un lettura veloce del prodotto, soffermandosi solo su

quelle strategie che risulteranno nuove, per altri sarà necessario esercitarsi a lungo

prima di riuscire a fare proprie le tecniche proposte.

I risultati ottenuti da un persona difficilmente saranno paragonabili a quelli ottenuti

da un’ altra, ma il miglioramento sarà, comunque, evidente. La sicurezza e

l’indipendenza generate dalla capacità di utilizzare strategie utili per determinare i

risultati senza enormi perdite di tempo e di energie, saranno la giusta ricompensa.

Non è necessario riuscire a risolvere a mente i calcoli più complicati: usando queste

strategie la mente costruirà, poco a poco, una griglia di scorciatoie mentali da

sfruttare, all’occorrenza.

Per “tenere a mente” i vari parziali 1 - considerando che siamo in grado di

memorizzarne comodamente solo un paio - è utile evidenziarli - ad esempio

sottolineandoli con la voce (accentando il numero), immaginandoli ingigantiti

(aumentati di dimensioni) o marcandoli nella forma (come avviene con l’uso del

“grassetto” in scrittura) – ripetendoli, quasi ossessivamente, sino a che non si

fissano visivamente nella mente. Per imparare a visualizzare i numeri non per come

sono scritti ma per “la posizione che occupano” è molto utile utilizzare il gioco

didattico “Il nastro dei numeri”.

Quando scrivi un numero usa sempre il puntino (ogni tre cifre, per evidenziare bene

l’ ordine di grandezza del numero stesso.

Infine è utile tenere sempre presente che ogni operazione è, in realtà, una addizione

anche se “mascherata”:

la sottrazione perché è l’inverso dell’addizione

la moltiplicazione perché è la sintesi di una addizione di valori ripetuti

la divisione perché è l’inverso della moltiplicazione

addirittura la potenza può essere considerata una addizione mascherata in quanto

è la sintesi di una moltiplicazione fra valori ripetuti

NOTA BENE - Ogni strategia suggerita in questo manuale è un processo che la mente fa

in maniera estremamente veloce (se la si abitua a farlo attraverso l’esercizio) mentre è

1 Per parziale si intende il risultato di una operazione che non è quello definitivo in quanto, per complessità della

medesima, si è provveduto a decomporla in due o più operazioni .

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quasi sempre molto laborioso da spiegare; così può apparire tortuoso e difficile, ma

facciamo un esempio semplice ed illuminante:

Dai un’occhiata per una decina di secondi alla stanza o al luogo dove ti trovi, poi

torna a leggere di seguito. Ora descrivi, a voce, tutto ciò che hai visto o, ancora

meglio, scrivilo: quali oggetti hai visto; di che colore, forma o dimensione; che

sensazioni hai avuto, se c’erano suoni o persone o qualsiasi altro particolare che ti

torni alla mente. La tua descrizione ha richiesto un tempo ben più lungo dei 10

secondi che hai impiegato per guardarti attorno”. Se per caso hai scritto il tutto, il

brano è di sicuro lungo parecchie righe. Questo perché la mente fissa l’immagine in

un istante. Con lo stesso principio, traducendo i processi di calcolo a mente in

immagini strutturate secondo criteri “economici” per essere recuperate e quindi

usate, riduciamo moltissimo sia i tempi sia le difficoltà da affrontare.

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PREREQUISITI

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Tre leggi fondamentali

1. APPROSSIMARE

Prima di iniziare un qualsiasi calcolo è sempre bene osservare con

attenzione l’operazione da risolvere per farsi un’idea, anche approssimativa,

del risultato che si dovrà ottenere. Più preciso e completo sarà il tuo

"preliminare" più veloce sarà l’intero processo e limitata la possibilità di

commettere errori, o trovarsi bloccati in un “vicolo cieco”.

2. DISSOCIARE

In alcune operazioni è utile ricorrere alla dissociazione di uno o più termini,

per frazionare calcoli complessi in calcoli più semplici, da risolvere

separatamente, per poi riunirli nel risultato finale. Ad esempio, in una

moltiplicazione, potrà capitarti di dover "suddividere" il numero 738 in 700,

30 e 8, ma anche, ad esempio in una divisione, di dover spezzare il

medesimo numero in 720 e 18.

Per riuscire a dissociare in maniera rapida e corretta devi avere un’ottima

dimestichezza con l’uso delle TERNE di numeri e una buona conoscenza

delle TABELLINE sia dirette che inverse.

3. CALCOLARE DA SINISTRA

In ciascuna delle quattro operazioni è fondamentale iniziare dalla prima cifra

a sinistra e procedere poi verso l’unità, così come avviene, nel calcolo scritto

per (solo) la divisione.

L’ astrazione

Per riuscire a contare mentalmente occorre riuscire ad astrarre numeri e operazioni.

Questa capacità si sviluppa col tempo a partire dalla quantificazione2 e dall’abilità innata di

conteggio sulle dieci dita delle mani.

Prodotto correlato: APP per Android - “Terne in mano” (www.prodottiformativi.altervista.org)

La posizione corretta delle mani è la seguente:

2 Per quantificazione si intende la capacità innata, già presente negli animali e nei bambini di pochi mesi, di

visualizzare quantità di elementi a colpo d’occhio.

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(le dita vanno numerate da sinistra a destra)

Occorre quindi, nel caso si riscontrassero particolari difficoltà, recuperare la consapevo-

lezza del numero come quantità fisica (dita) attraverso un percorso guidato da strumenti

didattici e compensativi come

Prodotto. correlato: “Prevenzione e trattamento delle difficoltà di numero e di calcolo” (Erickson - 2011)

sviluppando così, attraverso l’esercizio, le abilità innate di conteggio con le mani, da

trasferire poi in astratto.

È altresì importante riconoscere l’aspetto compositivo della cifra CINQUE dissociabile

unicamente come 4 + 1 o 2 + 3; così come è importante recuperare le relazioni dito-cifra

(ad esempio, mentre all’indice sinistro corrisponde il 2, all’indice destro corrisponde il 7)

e prendere coscienza dell’importanza del numero 10 (che è, fra l’altro, la somma di 5+5).

Il NASTRO dei NUMERI

Prodotto correlato: Gioco per PC (Windows) - “Il nastro dei numeri” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Per riuscire a calcolare a mente occorre visualizzare i numeri come delle “posizioni occupate su un

nastro” e le operazioni come degli spostamenti che avvengono su tale nastro.

Visualizzare i numeri così come appaiono scritti sul foglio e immaginarli incolonnati (come

in una operazione scritta) per poi procedere ad un laborioso (e spesso inconcludente)

calcolo, fatto di riporti e cifre che cambiano, in posizioni non definite, non è una operazione

di reale calcolo a mente.

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I calcoli a mente devono essere fatti partendo dalla prima cifra a sinistra (come per la

divisione scritta) e proseguendo verso l’ unità: cioè esattamente il contrario di ciò che

avviene per il calcolo scritto (in colonna) sia per l’addizione che per la sottrazione e la

moltiplicazione3.

Per riuscire a calcolare a mente occorre visualizzare

i numeri come delle “posizioni occupate su un nastro”

le operazioni come degli spostamenti che avvengono su tale nastro

La “forma a nastro” è, ovviamente un’immagine simbolica di ciò che la mente deve

strutturare - e la mente di ciascuno lo fa in modo diverso - per riuscire a immaginare la

sequenza ordinata dei numeri, scollegandola completamente dal simbolo scritto (3,7,2...).

Si inizia immaginando un “punto 0” iniziale (per i numeri negativi sarà sufficiente

immaginare il nastro in maniera simmetrica) e una sequenza ordinata, meglio se non

perfettamente lineare (la parola nastro è stata scelta proprio perché rimanda

immediatamente a qualcosa di sinuoso e morbido, che si può modificare e adattare nella

mente) di “un qualcosa” (caselle, ombre, elementi) che si sussegue all’infinito.

L’onda del nastro si ripete ogni decina, fino a completare il primo centinaio.

3 Questo “metodo” verrà spiegato e applicato a ciascuna operazione direttamente nei relativi capitoli.

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Poi un’onda più grande si ripete ogni centinaio, e poi un’altra ogni migliaio e così via;

dando vita ad un nastro, morbido, che contiene tutti i numeri.

Vale a dire che immaginare il numero 733 significa vedere un “qualcosa” collocato in

maniera approssimativa fra una posizione di un altro “qualcosa” che è il 730 e un

“qualcosa” che è il 740, ma molto vicino al rispettivo punto medio (il 735). Poi, tutto questo

blocco di “qualcosa”, va immaginato fra un 700 e un 800, ma molto più vicino al primo.

Infine, il tutto molto distante da un ipotetico 0 iniziale e più vicino all’orizzonte limite 1000.

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Si noti bene che tutto ciò avviene in una frazione di secondo; è un processo istantaneo

che permette di visualizzare un numero come una posizione.

La DISSOCIAZIONE

Dissociare significa “smontare” (in maniera opportuna, cioè funzionale all’obbiettivo che si

vuole ottenere) un numero, o una singola cifra, in due o più “componenti”.

Posso dissociare la cifra 9 in 6 e 3, o in 4 e 5, o anche in 1, 3, e 5. Così come posso

dissociare il numero 23.605 in 21.000, 2.400, 200 e 5 (essendo 23.605 il risultato

dell’addizione 21.000+2.400+200+5).

Ogni dissociazione sarà sempre in funzione dell’ obbiettivo che devo raggiungere. Ciò che

conta, ovviamente, è che la somma totale delle componenti scelte dia, esattamente, il

numero di partenza.

La dissociazione serve, sostanzialmente, per frazionare calcoli complessi in calcoli più

semplici, da risolvere separatamente, per poi riunirli nel risultato finale.

Per riuscire a dissociare in maniera rapida e corretta devi avere un’ottima dimestichezza

con l’uso delle TERNE di numeri.

TERNE di NUMERI

Il numero di cifre, fortunatamente, è limitato. Sono solo dieci e i loro legami fissi si ripetono

poi in ogni ordine di grandezza (decine, centinaia, migliaia e così via).

Questo significa due cose importanti:

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è possibile analizzare tutte le possibili combinazioni di cifre entro il dieci per

prendere dimestichezza con le relazioni che fra esse esistono

Prodotto correlato: Gioco per PC (Windows) - “Le terne nel dieci” (www.prodottiformativi.altervista.org)

una volta determinato che, ad esempio il 4, il 3 e il 7 sono legati fra loro dalla

relazione 4+3=7, tale relazione si applica anche nel casi tipo 40+30 che deve fare

70 o anche 400+300 che deve fare 700 e così via.

Le possibili combinazioni di tre cifre (dette TERNE) sono:

1+1=2 1+2=3 1+3=4 1+4=5 1+5=6 1+6=7 1+7=8 1+8=9 1+9=10

2+1=1 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+5=7 2+6=8 2+7=9 2+8=10

3-1=2 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+5=8 3+6=9 3+7=10

4-1=3 4-2=2 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8 4+5=9 4+6=10

5-1=4 5-2=3 5+1=6 5+2=7 5+3=8 5+4=9 5+5=10

6-1=5 6-2=4 6-3=3 6+1=7 6+2=8 6+3=9 6+4=10

7-1=6 7-2=5 7-3=4 7+1=8 7+2=9 7+3=10

8-1=7 8-2=6 8-3=5 8-4=4 8+1=9 8+2=10

9-1=8 9-2=7 9-3=6 9-4=5 9+1=10

10-1=9 10-2=8 10-3=7 10-4=6 10-5=5

COPPIE di numeri FRATELLI

Una strategia base per il calcolo rapido a mente è l’individuazione immediata e continua

della eventuale presenza di particolari coppie di cifre, dette FRATELLI. Tali sono le cifre

che addizionate fra loro danno 10; vale a dire:

1 e 9; 2 e 8; 3 e 7; 4 e 9; 5 e 5 (anche in ordine inverso, ovviamente).

Queste coppie di cifre sono essenziali per superare, in un calcolo, la DECINA, in modo

semplice e immediato.

Il CLONE di un numero

Il clone di un numero è un qualsiasi altro numero che presenti la medesima unità.

Sono così cloni del 36 il 46, il 76, ma anche il 516 o il 26 e anche il 6 stesso. Sono cloni fra

loro il 322 e il 42, che sono a loro volta cloni del 2 del 1082 del 72, e così via.

Il clone viene sostanzialmente usato solo in una particolare strategia della sottrazione.

TABELLINE e NUMERAZIONI

Prodotto correlato: CDrom - “Numelline” (Erickson - 2007)

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Prodotto correlato: LIBRO - “Tabelline e difficoltà aritmetiche” (Erickson - 2014)

Imparare a memoria le Tabelline è spesso considerato un problema più grande di quello

che realmente è. Il numero di Tabelline che si “fa fatica” a memorizzare sono, in realtà,

davvero poche.

I numeri che sono il risultato di una qualche tabellina dal DUE al NOVE (sia la

numerazione dell’ UNO che quella del DIECI non possono certo essere considerate un

problema), sono quelli cerchiarti nel quadro del cento che segue.

Le numerazioni (e quindi le relative tabelline) del DUE, del TRE e del CINQUE si imparano

sempre abbastanza agevolmente.

Così, eliminando i relativi risultati, restano solo 11 numeri (cerchiati) più o meno difficili da

memorizzare (con la relativa tabellina, s’intende).

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Ecco che, allora, rispetto a tutte le tabelline esistenti, è più o meno sempre e solo

necessario imparare a memoria le seguenti:

32 = 4x8

36 = 4x9 e 6x6

42 = 6x7

48 = 6x8

49 = 7x7

54 = 6x9

56 = 7x8

63 = 7x9

64 = 8x8

72 = 8x9

81 = 9x9

NOTA BENE – E’ essenziale imparare le tabelline e le numerazioni contemporaneamente,

perché il passaggio immediato fra le une e le altre sarà la condizione essenziale al buon

uso di entrambe in fase di calcolo.

Per imparare le tabelline da “zero”:

Prodotto correlato: LIBRO - “Tabelline e difficoltà aritmetiche” (Erickson - 2014)

Per migliorare i propri “tempi di reazione”:

Prodotto correlato: CDrom - “Numelline” (Erickson - 2007)

Infine, per velocizzare e consolidare il risultato ottenuto puoi eseguire le attività “Carte

delle Numelline” (stampabili in allegato) elencate nella sezione 8 (“Materiale Utile”).

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Disporre di una buona dimestichezza con le numerazioni e le tabelline genera:

rapidità di risoluzione nelle quattro operazioni

intuizione di possibili utili dissociazioni

rapidità di scomposizione in fattori primi

sicurezza in se stessi

In conclusione, considerando l’enorme impatto positivo anche a livello psicologico

(sicurezza e fiducia nelle proprie capacità), non vi è alcun dubbio che, nella maggior parte

dei casi, vale la pena di fare uno sforzo in più per assimilarle.

NOTA BENE - L’ uso della calcolatrice non è assolutamente un’ espediente sufficiente a

supplire la non conoscenza delle tabelline, nonostante spesso vi si faccia ricorso,

sperando di evitare il problema. Naturalmente per molti discalculici è un indispensabile (

ma non risolutivo) supporto.

Prodotto correlato: Gioco per PC (Windows) - “Tabelline in vista” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Prodotto correlato: Gioco per PC (Windows) - “Tabelline al volo” (www.prodottiformativi.altervista.org)

ELASTICITA’ MENTALE

Un ultimo, ma non per questo meno importante, prerequisito nel “calcolo rapido a mente” è

la capacità di utilizzare strategie, procedure, metodi e associazioni (d’idee) per migliorare

se non addirittura, in qualche caso, risolvere definitivamente, una difficoltà.

Ad esempio:

Quanto tempo impieghi per calcolare a mente 30:2 ?

A tutti coloro che impiegano più di 5 secondi per dare una risposta, proponete di pensare

in euro! L’esempio diventa ancora più efficace se chiedete di determinare la metà di 70 o

di 5!

Una mente ancora “vergine di strategie” può trovare molto utile aggrapparsi a queste.

Un altro esempio:

Quanto fa sette più dieci?

La risposta è praticamente scontata ma…come l’ha trovata il nostro cervello? Ponete

l’attenzione sul fatto che ha sicuramente scambiato di posizione il 7 con il 10, risolvendo

l’addizione 10 + 7. La strategia non è innata e nessuno ce la insegna; la nostra mente è in

grado di “crearla” generalizzando strategie messe in atto magari anche in altri campi, o nei

calcoli fatti nei primi anni di “attività” matematica; comunque sia sfruttando l’innata

20

capacità a cercare ed utilizzare la via più “semplice” per raggiungere il risultato richiesto,

attingendo dall’esperienza personale.

21

l’ ADDIZIONE a MENTE

22

L’ addizione è un’operazione semplificabile se, a seconda dei casi, si ricorre in modo

appropriato a:

1. Calcoli fatti a partire dalla sinistra del numero

2. Dissociazioni (fratello e avanzo)

3. Opportune semplificazioni e approssimazioni

RICORDA che:

è sempre opportuno che il primo addendo sia il maggiore fra i due (puoi sempre

scambiarli fra loro).

è sempre opportuno effettuare il calcolo cominciando da sinistra, cioè il contrario di

ciò che avviene per il calcolo scritto.

Addizionare UNA sola CIFRA

Nella DECINA

Prodotto correlato: Gioco per PC (Windows) - “Le terne nel dieci” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Solo per chi ha maggiori difficoltà, è opportuno iniziare ad operare l’addizione usando il

CINQUE (una mano) come punto di riferimento, temporaneo, mentre si prende confidenza

con le terne dei numeri. Per fare questo si ricorre alla dissociazione dell’addendo da

sommare.

4 + 3 =

L’addendo da aggiungere è il 3; deve essere decomposto in modo da portare

il primo addendo da 4 al primo riferimento che è 5; smonta quindi il 3 in 1 e 2.

Mentre l’1 serve per raggiungere 5 il 2 va aggiunto dopo e determina il

risultato finale 7 (5+2). In sintesi l’operazione è

(4+1+2=7)

NOTA BENE - Per un conto rapido a mente è sempre opportuno partire dall’addendo più

grande.

3 + 5 =

L’addendo maggiore è il 5 quindi l’addizione diventa 5 + 3 =

(8)

a CAVALLO della DECINA

Prodotto correlato: Gioco per PC (Windows) - “A cavallo del dieci” (www.prodottiformativi.altervista.org)

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Quando l’addizione fra due cifre supera la decina è importante dissociare il termine minore

nel “fratello” del maggiore e un avanzo che andrà a sommarsi alla decina appena formata.

8 + 7 =

Per prima cosa dissocia il 7 in 2 (“fratello” dell’8) e 5 (avanzo).

Considerato che hai cercato il “fratello” dell’8 proprio per raggiungere il 10,

ora parti da 10… e, aggiungendo l’avanzo 5, dichiara il risultato

(10+5=15)

Naturalmente l’utilizzo di questa strategia di calcolo non si limita alle sole unità dei numeri,

deve essere estesa alle coppie di “DECINAFRATELLO”, ”CENTINAIOFRATELLO”, ecc.

70 + 43 =

Dissocia il 43, nel 30 (decina fratello del 70) e 13 (avanzo).

Considerato che hai cercato la “decinafratello” del 70 proprio per raggiungere

il 100, riparti da 100…e, aggiungendo l’avanzo 13, dichiara il risultato

(100+13=113)

NOTA BENE - Una volta integrata questa procedura riuscirai a dichiarare il risultato

direttamente, mentre lo calcoli; la tua mente “vedrà” istantaneamente il fratello e l’avanzo

e, mentre tu starai già pronunciando il risultato.

Ad esempio

34 + 8 =

Dissociando l’ 8 in 6 e 2 dichiarerai direttamente

(“QUARANT…ADUE!”)

897 + 8 =

Dissociando l’ 8 in 3 e 5 dichiarerai direttamente

(“Ottocent…NOVECENT…OCINQUE!”)

NOTA BENE - Nell’esempio precedente, aumentando la cifra delle decine si completa un

centinaio ed è quindi necessario incrementare anche la cifra delle centinaia. Quando si

verificano situazioni di questo tipo è bene lasciare che la mente processi separatamente le

due operazioni. Nell’esempio citato, appunto, si inizierà pronunciando “Ottocent…” perché

in un primo momento la mente “prende coscienza” unicamente della necessità di

addizionare una unità, quindi presume, correttamente, di dover eventualmente incremen-

tare la cifra delle decine; non appena però sta per farlo registra il completamento di un

intero centinaio, quindi riprocessa il centinaio appena pronunciato, incrementandolo di

24

uno, dichiara “NOVECENT…” e infine aggiunge l’avanzo “…OCINQUE”. È un processo

che la mente fa in maniera estremamente veloce (se la si abitua a farlo attraverso

l’esercizio) mentre, se spiegato a parole, risulta molto laborioso e sembra davvero

complicato4.

Addizionare un NUMERO a PIU’ CIFRE

28 + 43 =

Essendo 28 minore di 43 riscrivi (mentalmente) l’operazione data come

43 + 28 =

Ora dissocia (mentalmente) il 28 in 20 e 8 (metodo di dissociazione) e poi

somma, in progressione da sinistra, prima il 20

(43+20=63)

poi l’8 (dissociando sulla decina: fratello e avanzo)

(63+7+1=71)

387 + 159 =

Dissocia (mentalmente) il 159 in 100, 50 e 9 (metodo di dissociazione) e poi

somma, in progressione da sinistra, prima il 100

(387+100=487)

poi il 50 (dissociando sul centinaio: decinafratello e avanzo)

(487+20+30=537)

poi il 9 (dissociando sulla decina: fratello e avanzo)

(537+3+6=546)

81.707 + 56.099 =

Dissocia (mentalmente) il 56.099 in 50.000, 6.000, 90 e 9 (metodo di

dissociazione) e poi addiziona, in progressione da sinistra,

prima il 100 (dissociando sulle centinaia di migliaia)

(81.707+20.000+30.000=131.707)

poi il 6.000

(131.707+6.000=137.707)

poi il 90

4 Vedi “NOTA BENE” a pagina 2 della Premessa

25

(137.707+90=137.797)

poi il 9 (dissociando sulla decina: fratello e avanzo)

(137.797+3+6=137.803)

Addizione APPROSSIMATA

Spesso, nei calcoli che capita di dover fare nella “vita reale”, è sufficiente un risultato

approssimativo, per farsi un’idea sommaria della convenienza (validità) di una data

“operazione” o meno.

5.878 + 3.417 =

Semplicemente considerando che il risultato della somma delle migliaia è

5+3=8 (8.000) e che quello delle centinaia, che è 8 (quasi 9) + 4 =12 (quasi

13), completa abbondantemente un ulteriore migliaio (1.200, quasi 1.300), è

possibile dichiarare che il risultato dell’addizione è maggiore di

(8.000+1.200=9.200)

e minore di

(8.000+1.300=9.300)

Il risultato effettivo dell’ addizione iniziale è 9.295 e quindi abbiamo ottenuto

un’ottima approssimazione.

NOTA BENE - In una addizione un risultato è sufficientemente approssimato già tenendo

conto dei valori delle prime due cifre da sinistra.

9.375.080 + 8.987.421 =

Una prima osservazione rapida dei due numeri ci permette comunque di

affermare, da subito, che il risultato sarà inferiore, ai 20 milioni (e spesso è

già questa una affermazione più che sufficiente); infatti entrambi gli addendi

sono vicini ai 9 milioni.

Il primo addendo si avvicina 9,4 milioni mentre il secondo addendo a 9,0

milioni, entrambi approssimati per eccesso, quindi il risultato approssimato

dell’addizione sarà inferiore a 9,4+9,0=18,4 milioni

(18.400.000)

Il risultato effettivo dell’ addizione iniziale è 18.362.501 e quindi abbiamo

ottenuto un’ottima approssimazione.

26

NOTA BENE - Una addizione fra più addendi è comunque sempre da ricondurre a più

somme di due addendi per volta, magari seguendo qualche accorgimento legato ai numeri

fratello che semplificano molto i conteggi.

3 + 8 + 5 + 9 + 2 + 7 =

In primo luogo cerca le eventuali coppie di cifre fratelli fra loro: in questo caso

associ 3 + 7 e 8 + 2, per un totale di 10+10=20; a questo parziale (20)

aggiungi poi il 9 e il 5 (dissociando quest’ultimo) e dichiari il risultato

(20+9+1+4=34)

47 + 28 + 13 =

Associa il 47 con il 13 perché le cifre unità sono una coppia di fratelli

(47+13=60)

quindi aggiungi il 28

(60+28=88)

27

la SOTTRAZIONE a MENTE

28

Anche la sottrazione è un’operazione semplificabile se, a seconda dei casi, si ricorre in

modo appropriato a:


5. Dissociazioni (fratello e avanzo)

6. Opportune semplificazioni e approssimazioni

RICORDA che:

è sempre opportuno effettuare il calcolo cominciando da sinistra, cioè il contrario di

ciò che avviene per il calcolo scritto.

Sottrazione con il metodo della DISTANZA

La sottrazione è, in realtà, il calcolo della “distanza” fra il sottraendo e il minuendo5.

NOTA BENE – La distanza fra due numeri si determina partendo dal valore minore ed è,

in effetti, il risultato della sottrazione fra i due. Ad esempio la distanza fra 5 e 8 è 3 (cioè 3

sono i singoli valori che separano il 5 da l’8) ed è il risultato della sottrazione 8 - 5. La

mente processa più facilmente una addizione che una sottrazione, quindi le risulta più

“comodo e naturale” dichiarare che per passare dal 5 a l’8 serve un 3, piuttosto che

sottrarre realmente il 5 da l’8.

L’uso delle terne è quindi essenziale; una volta che la mente “lega” automaticamente le

cifre di una terna è in grado di fornire, all’istante, il valore di una sottrazione del tipo 8 - 5,

recuperando il valore 3 dalla terna 3, 5, 8.

9 - 3 =

Per trovare il risultato basta porsi la domanda: “ Da 3 a 9..?”

(6)

7 - 4 =

Qui la domanda sarà: “Da 4 a 7..?

(3)

Prodotto correlato: Gioco per PC (Windows) - “Sottrarre a mente” (www.prodottiformativi.altervista.org)

Sottrarre nel CENTO

40 - 33 =

5 In una sottrazione il minuendo è il valore da cui si sottrae mentre il sottraendo è il valore che viene sottratto.

29

Cerca il fratello dell’unità del sottraendo (in questo caso 7) per raggiungere la

decina più vicina che, in questo caso specifico, è anche già il minuendo,

quindi dichiara il risultato

(7)

Quando la sottrazione avviene fra due numeri “a cavallo” di una medesima decina è

importante cercare prima il fratello del sottraendo, poi aggiungere l’unità del minuendo:

15 - 7 =

Cerca il fratello dell’unità del sottraendo (in questo caso 3) e addizionalo

all’unità del minuendo (in questo caso 5). Poi dichiara il risultato

(3+5=8)

53 - 48 =

Cerca il fratello dell’unità del sottraendo (in questo caso 2) e addizionalo

all’unità del minuendo (in questo caso 3). Poi dichiara il risultato

(2+3=5)

NOTA BENE - È opportuno che nella tua mente si fissino i numeri man mano che procedi.

Nell’esempio precedente, soprattutto se fai fatica a sfruttare questa strategia, visualizza,

con la migliore approssimazione possibile, il numero 48 sul “nastro dei numeri” nella tua

mente. Quindi dichiara la cifra fratello visualizzando che, tramite tale cifra (2), raggiungi il

numero 50. Il termine da aggiungere a tale cifra è l’unità che ti porta da 50 al minuendo

(53).

84 - 37 =

Determina prima il fratello dell’unità del sottraendo (da 37 a 40…3!), poi la

distanza fra il 40 che hai appena raggiunto e il minuendo (da 40 a 84…44),

quindi addizionali e dichiara il risultato

(44+3=47)

Le DUE PISTE

Una volta eliminato il caso in cui il minuendo e il sottraendo hanno la medesima cifra delle

unità, tipo

62 - 22 =

dove è sufficiente calcolare la distanza osservando le decine e trascurando

le unità (un po’ come se l’operazione fosse 60 - 20), per dichiarare il risultato

(40)

perché, come visto, non vi sono particolari difficoltà risolutive,

30

è possibile schematizzare l’operazione di differenza in due sole situazioni:

“Pista Fratello” (verde) – Quando l’unità del sottraendo è maggiore di quella del

minuendo.

“Pista Clone” (gialla) – Quando l’’unità del sottraendo è minore di quella del

minuendo.

PISTA FRATELLO

53 - 36 =

L’unità del sottraendo (6) è maggiore di quella del minuendo (3); quindi è

corretto procedere lungo la “pista fratello”:

1. cerca il fratello dell’unità del sottraendo (6) per raggiungere la decina più

vicina (40) e memorizza tale primo valore (4)

2. determina il valore distanza che ti porta, dalla decina che hai raggiunto (40),

al minuendo (semplicemente osservando nel minuendo, nell’ordine, prima la

cifra delle decine e poi la cifra delle unità); quindi, in questo caso, da 40 a

53…13!

3. addiziona a questo secondo valore ottenuto (13) il primo valore memorizzato

(4) e dichiara il risultato

(13+4=17)

PISTA CLONE

59 - 36 =

31

L’unità del sottraendo (6) è minore di quella del minuendo (9); quindi è corretto

procedere lungo la “pista clone”:

1. cerca il CLONE dell’unità del sottraendo più vicino al minuendo (quindi il 56)

e memorizza la distanza fra il sottraendo e tale clone (da 36 a 56…20!)

2. determina il valore distanza che ti porta dal clone al minuendo (si tratta

quindi solo di unità); da 56 a 59…3!

3. addiziona i due valori determinati (20 e 3) e dichiara il risultato

(20+3=23)

NOTA BENE - La “pista fratello” è comunque sempre utilizzabile, in ogni sottrazione. La

“pista clone” serve quando, se si usasse la pista verde, vi sarebbe un “riporto” causato

dalla somma delle unità del “fratello” con quelle del “clone” superiore a 10; nell’esempio

precedente (59 – 36) , se si usasse la “pista fratello” andrebbero a sommarsi le cifre 4

(unità del “fratello”) e 9 (unità del “clone”), per un totale di 4+9=13 che causerebbe il

riporto di una decina. Tutto ciò implica un processo mentale più complesso da elaborare e

quindi, in questo tipo di sottrazioni, viene preferita la “pista clone”.

CASI PARTICOLARI

In una sottrazione dove il sottraendo, composto da una sola cifra, è nettamente piccolo

rispetto al minuendo è possibile ricorrere ad un semplice stratagemma piuttosto che alla

“pista verde”.

75 - 8 =

Dissocia (mentalmente) il sottraendo in due parti di cui una è l’unità del

minuendo: quindi decomponi l’8 in 5 e 3.

L’operazione mentale da compiere è usare il 5 (della decomposizione) per

“scendere” da 75 alla decina completa 70; poi visualizzare il fratello del 3

(della decomposizione), cioè il 7 nella decina precedente, per dichiarare il

risultato che sarà: 60 (decina precedente al 70) + 7

(67)

NOTA BENE – Per quanto, in un primo momento, questi stratagemmi possano apparire

complessi da memorizzare e utilizzare, in realtà, una volta integrati, risultano

particolarmente semplici da seguire (per la nostra mente). Presto non vi sarà più la

necessità di richiamare le singole operazioni del “sentiero risolutivo”, una per volta; la

mente le collegherà all’istante e in automatico.

Nel caso poi che il sottraendo sia addirittura inferiore alla sola cifra delle unità del

minuendo, senza ricorrere alla “pista clone”, è sufficiente fare riferimento alle terne dei

numeri, trascurando ogni cifra che non sia unità.

7.056 - 4 =

32

Trascura il 7.050 e limitati a determinare la distanza da 4 a 6 (cioè 2). Quindi

dichiara il risultato partendo dalla quantità trascurata e aggiungendo la

distanza determinata

(7.050+2=7.052)

Infine, se le cifre del minuendo sono entrambe rispettivamente maggiori di quelle del

sottraendo, sostanzialmente si può procedere alla “lettura del risultato”, semplicemente

mentre si osserva il testo.

86 - 32 =

Osserva che la distanza fra le decine dei due termini è 50 e fra le unità è 4,

quindi dichiara direttamente

(“CINQUANT…AQUATTRO!”)

La seguente strategia è consigliabile solo una volta interiorizzate, davvero bene, le

strategie precedentemente esposte.

Quando la distanza fra le ultime cifre (due o più) del minuendo e del sottraendo è

chiaramente minima o decisamente semplice da calcolare, può essere indicato cambiare

strategia.

678 - 283 =

Osserva che aggiungendo 400 al sottraendo si ottiene 683, numero che

supera di poco il minuendo (la distanza fra 683 e 678 è 5); si trova quindi più

facilmente il risultato sottraendo tale cifra dal numero aggiunto

(400-5=395)

Sottrarre fra GRANDI NUMERI

726 - 458 =

Con il metodo della pista verde memorizza

la cifra 2 che ti porta dal 58 del sottraendo a 60 (prima decina

intera)

il numero 40 che ti porta da 460 a 500 (primo centinaio completo)

il numero 226 che ti porta da 500 al minuendo

Quindi somma i tre valori memorizzati (2, 40, 226 ) e dichiara il risultato

( 226+40+2=248)

NOTA BENE – Tenere in memoria più di un numero può risultare difficile, ecco perché

è spesso opportuno “mettere insieme” i numeri memorizzati non appena arriva un

“secondo numero” da archiviare. Così, la migliore procedura per l’esempio precedente,

diventa:

33

Con il metodo della pista verde

memorizza la cifra 2 che ti porta dal 58 del sottraendo a 60 (prima

decina intera)

aggiungi al primo numero memorizzato il numero 40 che ti porta da

460 a 500 (primo centinaio completo) e memorizza tale nuovo

numero (40+2=42)

aggiungi al numero in memoria il numero 226 che ti porta da 500 al

minuendo e dichiara il risultato

(226+42=248)

6.707 - 2.084 =

Usando la “pista verde” passa da 2.084 a 2.100 (e memorizza il valore

6+10=16 che ti ci porta).

A questo punto la tua sottrazione diventa 6.707 - 2.100.

La distanza da 2.100 a 6.707 è (direttamente leggibile!) 4.607.

Aggiungi a tale valore il primo memorizzato e dichiara il risultato

(4.607+16=4.623)

Sottrazione APPROSSIMATA




53.592 - 46.718 =

Approssimando per eccesso sia il minuendo che il sottraendo, riscrivi

(mentalmente) la sottrazione come 54.000 - 47.000, quindi, trascurando gli

zeri, cerca semplicemente la distanza da 47 a 54 (con il metodo della “pista

verde”); infine, riconsiderando gli zeri, dichiara il risultato

(7 e tre zeri = 7.000)

Il risultato effettivo della sottrazione iniziale è 6.874 e quindi abbiamo


NOTA BENE – Anche nella sottrazione un risultato è sufficientemente approssimato già

tenendo conto dei valori delle prime due cifre da sinistra.

34

la MOLTIPLICAZIONE a MENTE

35

Anche la moltiplicazione è un’operazione semplificabile se, a seconda dei casi, si ricorre

in modo appropriato a:

7. Numerazioni e Tabelline

8. Tavole (allegate)

9. Opportune semplificazioni e/o decomposizioni

10. Approssimazioni


Moltiplicare per DIECI

Quando il moltiplicatore è 10 (o comunque termina con uno o più zeri) è sufficiente

aggiungere tali zeri al moltiplicando per ottenere il risultato.

128 x 10 =

Aggiungi uno zero al moltiplicando e dichiara il risultato

(1.280)

345 x 1.000 =

Aggiungi tre zeri al moltiplicando e dichiara il risultato

(345.000)

Moltiplicare per VENTICINQUE

La numerazione del 25 è probabilmente la più utile fra quelle che NON vengono

insegnate.

25x1 = 25 ; 25x2 = 50 ; 25x3 = 75; 25x4 = 100

Questi quattro numeri 25, 50, 75, 100, si ripetono ciclicamente nella numerazione,

all’infinito; vale a dire che

25x5 = 125 ; 25x6 = 150 ; 25x7 = 175; 25x8 = 200

25x9 = 225 ; 25x10 = 250 ; 25x11 = 275; 25x12 = 300

e così via.

Una volta imparata bene la prima sequenza di quattro operazioni della numerazione, è

piuttosto semplice dedurne qualsiasi altra.

25 x 36 =

36

Considera che 36 è 9 volte 4 (9x4=36) e quindi possiamo riscrivere la

moltiplicazione nel seguente modo: 25 x4 x9, (essendo 25x4=100) il risultato

della moltiplicazione è pari a 9x100

(900)

25 x 64 =

Considera che 64 è 16 volte 4 (4x4x4=64) e che quindi (essendo 25x4=100)

il risultato della moltiplicazione è pari a 16x100

(1600)

Puoi anche considerare, se preferisci, che 64 è 8x8 e che quindi (essendo

25x8=200) il risultato della moltiplicazione è pari a 8x200

(1600)

25 x 23 =

In questo caso smonta il 23 in 20 (perché è un multiplo di 4) e 3 – operando

poi in modo separato su entrambi i valori (metodo di dissociazione) con la

numerazione appena appresa – e determina così i due parziali

(25x20=25x4x5=100x5=500 e 25x3=75)

Il risultato finale è l’addizione dei precedenti parziali

(500+75=575)

3.893 x 25 =

Puoi smontare il 3.893 come meglio credi, vale a dire come la conoscenza

della numerazione del 4 ti suggerisce.

Ad esempio puoi decomporre il 3.893 in 3.600, 280, 12 e 1 – operando poi in

modo separato su ciascun valore (metodo di dissociazione) con la

numerazione appena appresa – e determina così i quattro parziali

(3.600x25=900x100=90.000; 280x25=70x100=7.000; 12x25=3x100=300;

1x25=25)


(90.000+7.000+300+25=97.325)

NOTA BENE – Esistono naturalmente numerosi altri modi per risolvere questa operazione;

è giusto che ciascun individuo utilizzi la strategia di calcolo che preferisce, ma è altresì

37

importante dare alla propria mente tutti gli strumenti necessari per poter scegliere sempre

e solo la via più “comoda”. La numerazione del 25 è un’ottima scorciatoia, una volta

appresa.

Moltiplicazione a UNA CIFRA SENZA RIPORTO

9 x 7 =

Ricorri alle numerazioni o alle tabelline che conosci a memoria e dichiara il

risultato

(63)

14 x 6 =

La tabellina del 6, teoricamente, si ferma a 6x10.

In questo caso smonta il 14 in 10 e 4 – operando poi in modo separato su

entrambi i valori (metodo di dissociazione) – e determina così il risultato

(10x6+4x6=60+24=84)

72 x 300 =

Trascurando inizialmente gli zeri del moltiplicatore riscrivi (mentalmente)

l’operazione come 72 x 3.

Quindi smonta il 72 in 70 e 2 – operando poi in modo separato su ciascun

valore (metodo di dissociazione) – e determina il parziale

(70x3+2x3=210+6=216)

Infine aggiungi i due zeri che avevi trascurato e dichiara il risultato finale

(21.600)

368 x 7 =

Smonta il 370 in 300, 60 e 8 – operando poi in modo separato su ciascun

valore (metodo di dissociazione) – e determina così il risultato

(300x7+60x7+8x7=2.100+420+56=2.576)

NOTA BENE – Fra i vantaggi della tecnica di “iniziare il calcolo da sinistra” vi è anche

quello, in alcune operazioni, di riuscire a dichiarare il risultato finale direttamente mentre lo

si sta calcolando.

21 x 7 =

38

Smonta (mentalmente) il 21 in 20 e 1 (metodo di dissociazione).

L’operazione (nella tua mente) diventa 20x7+1x7.

Fare 20x7 è come fare 2x7, aggiungendo poi uno zero (come visto in

precedenza) e 1x7 non è certo un problema; quindi il risultato è 140…7!

(147)

NOTA BENE - Una moltiplicazione del tipo 8.031.005 x 9, all’apparenza molto complicata

è, se si ha la “fortuna” di notarne le caratteristiche, risolvibile “in linea”, cioè pressoché

leggendola. Vediamo perché:

8.031.005 x 9 =

Ogni cifra del moltiplicando che, moltiplicata per il moltiplicatore, dà un

numero superiore a 10 (e che quindi richiederebbe un riporto), è preceduta

nel moltiplicando da uno zero; solo la cifra 1 fa eccezione ma è anche l’unica

che moltiplicata non può produrre un riporto. È quindi possibile moltiplicare in

linea l’intero moltiplicando, scrivendo direttamente il risultato. I singoli

passaggi dell’intero processo sono: 8x9=72; 3x9=27; 1x9=9; 5x9=45 e il

risultato può essere scritto un parziale accanto all’altro: 72, poi 27, poi 9, poi

uno zero perché la cifra delle centinaia non verrà occupata, poi 45.

Il risultato finale è quindi:

(72.279.045)

Moltiplicazione a DUE CIFRE SENZA RIPORTO

72 x 30 =

Dopo aver considerato che moltiplicare per 30 è come moltiplicare prima per

10 e poi per 3 (il primo parziale ottenuto), riscrivi (mentalmente) l’operazione

come 72 x 3 x 10.

Quindi svolgi la prima moltiplicazione sfruttando i criteri degli esempi

precedenti (metodo di dissociazione)

(70x3+2x3=210+6=216)

poi svolgi la seconda moltiplicazione (cioè aggiungi uno zero)

(2160)

33 x 12 =



39

(33x10+33x2=330+66=396)

NOTA BENE – Nelle moltiplicazioni del secondo tipo (cioè non nei casi semplici), quando il

moltiplicando è minore del moltiplicatore è molto importante scambiare (mentalmente) i

due termini di posizione.

34 x 52 =

Il moltiplicando è minore del moltiplicatore, quindi riscrivi (mentalmente)

l’operazione come 52 x 34.



(52x30+52x4=1.560+208=1.768)

Moltiplicazione a DUE CIFRE CON RIPORTO

Sfruttando le seguenti strategie tutti i riporti, essendo sempre da calcolare come somme

(parziali), seguono le regole e i criteri della “addizione a mente” che già hai imparato.

87 x 61 =

Smonta il 61 in 60 e 1 (metodo di dissociazione) riscrivendo così

(mentalmente) l’operazione come 87 x 60 + 87 x 1.

A questo punto applicando i criteri di risoluzione degli esempi precedenti,

calcola i parziali delle due moltiplicazioni:

mentre la prima è “complessa” (richiede un riporto) e rende quindi opportuna

una ulteriore dissociazione questa volta del moltiplicando, in 80 e 7

ottenendo, per un risultato parziale

(80x60+7x60=4.800+420=5.220)

la seconda è semplice

(87x1=87)

Il risultato finale è l’addizione dei precedenti due parziali

(5.220+87=5.307)

59 x 27 =

Smonta il 27 in 20 e 7 (metodo di dissociazione) riscrivendo così


A questo punto applicando i criteri di risoluzione degli esempi precedenti,

calcola i parziali delle due moltiplicazioni: mentre la prima è semplice

(59x20=1.180)

40

la seconda implica una ulteriore dissociazione, questa volta del

moltiplicando, in 50 e 9 ottenendo, per un risultato parziale

(50x7+9x7=350+63=413)


(1.180+413=1.593)

87 x 86 =

Smonta l’ 86 in 80 e 6 (metodo di dissociazione) riscrivendo così


In questo caso entrambe le moltiplicazioni hanno dei riporti, quindi applica ad

entrambe una ulteriore dissociazione, questa volta del moltiplicando,

ottenendo dalla prima

(80x80+7x80=6.400+560=6.960)

e dalla seconda

(80x6+7x6=480+42=522)


(6.960+522=7.482)

NOTA BENE - La presenza di una virgola in uno o in entrambi i termini della

moltiplicazione è da trascurarsi (risolvendo quindi l’intera operazione come se non vi

fosse) sino al passaggio finale, quando va reinserita nel risultato, secondo le consuete

regole della moltiplicazione scritta.

75,4 x 25 =

Trascurando la virgola

Smonta, ad esempio, il 754 in 400, 320, 32 e 2 – operando poi in modo

separato su ciascun valore (metodo di dissociazione) con la numerazione del

25 – e determina così i quattro parziali

(400x25=100x100=10.000; 320x25=80x100=8.000; 32x25=8x100=800;

2x25=50)


(10.000+8.000+800+50=18.850)

52,9 x 0,46 =

Trascurando le virgole

41

dissocia il 46 in un 40 e 6 (metodo di dissociazione) riscrivendo così


A questo punto procedi come visto negli esempi precedenti, dissociando,

quando lo ritieni necessario il moltiplicando.

Per la prima moltiplicazione potrebbe essere sufficiente

(520x40+9x40=20.800+360=21.160)

mentre per la seconda, a causa dei riporti, potrebbe essere necessario

(500x6+20x6+9x6=3.000+120+54=3.174)


(21.160+3.174=24.534)

Moltiplicazione APPROSSIMATA




52 x 3,9 =

Approssimando il 3,9 a 4 è semplice determinare il risultato 52 x 4 = 208 che

è corretto ritenere molto “vicino” a quello reale. Ancor meglio se,

considerando di aver modificato per eccesso (di un decimo) il moltiplicatore,

si considera che il risultato reale dovrà essere comunque inferiore di almeno

5 unità (52x0,1=5,2) rispetto al parziale 208.

E’ quindi certo che il valore cercato sarà molto vicino a

(208-5=203)

Il risultato effettivo della moltiplicazione iniziale è 202,8 e quindi abbiamo


In alcuni casi è addirittura possibile accettare un’approssimazione davvero grossolana, ma

che ci permette comunque di determinare l’ “ordine di grandezza” del risultato effettivo in

un tempo davvero contenuto. Ad esempio quando si tratta di controllare un risultato

ottenuto precedentemente o da qualcun altro.

13 x 23 =

Puoi approssimare il 23 per eccesso a 25 e il 13 per difetto a 10, risolvendo

in maniera immediata e la nuova, facile, operazione 10 x 25

(250)

42

Nonostante il valore ottenuto si discosti notevolmente da quello effettivo

(13x23=299)

avrai la possibilità di rilevare risposte errate magari inferiori a 100 o superiori

a 1.000.

773 x 188 =

Puoi approssimare il 188 per eccesso a 200 e il 753 per difetto a 700,

risolvendo in maniera immediata e la nuova, facile, operazione 200 x 700

(140.000)

Nonostante il valore ottenuto si discosti notevolmente da quello effettivo

(773x188=145.324)

avrai la possibilità di rilevare risposte errate magari inferiori a 100.000 o

superiori a 200.000.

Molto spesso, sfruttando la numerazione del 25, è possibile calcolare (con risultato

approssimato ma in modo estremamente rapido) risultati altrimenti complessi da

determinare.

413 x 74 =

Gli espedienti utilizzabili, per questa operazione, dipendono dalla “creatività”

di ciascuno. Vediamone uno per tutti.

Approssima il 74 a 75, cioè a 3 volte 25 e il 413 a 400.

Riscrivi quindi (mentalmente) la moltiplicazione come 400 x 75 e, ricorrendo

alle caratteristiche della numerazione del 25, dichiara il risultato

approssimato

(4x100x3x25=100x100x3=30.000)

Il risultato effettivo della moltiplicazione iniziale è 30.562 e quindi abbiamo


Naturalmente il principio dell’approssimazione del risultato si può sfruttare con qualsiasi

numero e numerazione. Ciò che conta è sempre e solo creare una approssimazione

comoda per un rapido calcolo a mente.

4.231 x 18,9 =

Gli espedienti utilizzabili, qui, dipendono dalla creatività di ciascuno. Vediamo

comunque una possibile via di risoluzione.

Osserva rapidamente la moltiplicazione: il moltiplicatore è comodamente

approssimabile (per eccesso) a 20, mentre il moltiplicando (per difetto) a

43

4.000. Considerando che 20x4.000=80.000 il parziale cercato è un numero

che vicino a 80.000.

Il risultato effettivo della moltiplicazione iniziale è 79.965,9 e quindi abbiamo


NOTA BENE - In una moltiplicazione se approssimi uno dei due termini (moltiplicando o

moltiplicatore) per eccesso dovrai approssimare l’altro per difetto e di un valore il più

possibile proporzionale al risultato che presumi di ottenere. Nell’esempio appena visto,

approssimando il 18,9 a 20 lo si è aumentato di 1,1 mentre approssimando il 4.231 a

4.000 lo si è diminuito di 231. In questo caso la proporzione fra le due approssimazioni è

stata mantenuta perché sia la proporzione fra è 1,1 e 231 che quella fra 20 e 4.000 è circa

200 (1,1x200=220). Ciò non significa che se, ad esempio, il moltiplicando fosse stato

4.131, il procedimento seguito e le approssimazioni fatte non sarebbero state valide, ma

solo che il valore 80.000 determinato si sarebbe scostato da quello reale in maniera

maggiore (per la precisione essendo 4.131x18,9=78.075,9 di circa il 2,1%).

Moltiplicazione APPROSSIMATA con i QUADRATI

Esiste un altro modo, per alcuni casi particolari che, sfruttando la tabella (allegata) dei

quadrati principali (o la memoria per chi li ricorda), permette di determinare un risultato

approssimativo, ma in maniera ancora estremamente rapida.

NOTA BENE - In questi casi è opportuno che il valore di approssimazione per eccesso e

per difetto si avvicinino fra loro il più possibile.

24,8 x 27,1 =

Approssima per eccesso il 24,8 a 26 e il 27,1 ancora a 26 per difetto. In

questo modo l’ operazione approssimata diventa 26x26 il cui risultato è

immediatamente rintracciabile fra i quadrati

(676)

Il risultato effettivo della moltiplicazione iniziale è 672,08 e quindi abbiamo


319 x 299 =

Approssima per difetto il 319 a 310 (meno 9!) e il 299 ancora a 310 per

eccesso (più 11!). In questo modo l’ operazione approssimata diventa

310x310 il cui risultato è immediatamente rintracciabile fra i quadrati perfetti,

se si trascurano momentaneamente i due zeri

(31x31=961)

Quindi il valore approssimato ricavato è, aggiungendo i due zeri

44

(96.100)

Il risultato effettivo della moltiplicazione iniziale è 95.381 e quindi abbiamo

ottenuto ancora un’ottima approssimazione.

Moltiplicazioni per SCOMPOSIZIONE

In alcuni casi particolari e, comunque, solo e se la mente “suggerisce in automatico” la

strategia che segue, può essere indicato operare così:

18 x 15 =

Se, come dovrebbe, “salta all’occhio” che 15 x 2 fa 30, allora vale la pena di

scomporre il 18 in 9x2 (passando a numeri composti da una sola cifra)

trasformando così la moltiplicazione in 2 x 15 x 9.

Il risultato finale si ottiene con le due operazioni in sequenza

(15x2=30 e 30x9=270)

NOTA BENE – Questa strategia è efficace quando e se vi sono almeno un 5 e un 2 fra i

fattori dei due numeri.

14 x 35 x 12 x 45 =

Scomponi il 14 e il 12 e ottieni: 7 x 2 x 35 x 6 x 2 x 45.

Moltiplicando nell’ordine più conveniente ottieni prima 7x70 x 6x90 e quindi

490 x 540.

Per quest’ultima operazione fai ricorso ad una delle strategie

precedentemente apprese. Ad esempio:

Considera il 490 “circa” 500.

L’ intera operazione diventa: 540x500 – 540x10, dove entrambi i calcoli sono

semplici da risolvere

(540x500=54x5xx10x100=270x1.000=270.000 e 540x10=5.400)

Il risultato finale è quindi

(270.000- 5.400 = 264.600)

45

la DIVISIONE a MENTE

46

Anche la divisione è un’operazione semplificabile se, a seconda dei casi, si ricorre in

modo appropriato a:

12. Numerazioni e Tabelline

13. Tavole (allegate)

14. Opportune semplificazioni e/o decomposizioni

15. Approssimazioni


Alcune utili “scorciatoie”

Dividere in DUE

Per dividere in due un qualsiasi numero è sufficiente la numerazione del due fino al 20 e, a

seconda dei casi, qualche semplice accorgimento.

SOLO CIFRE PARI

80 : 2 =

Se trascuri lo zero del dividendo resta la semplice divisione 8 : 2, al risultato

della quale devi poi aggiungere lo zero tolto

(40)

68 : 2 =

In questo caso smonta il 68 in 60 e 8 - operando poi in modo separato su

entrambi i valori (metodo di dissociazione) - e determina così il risultato

(30+4=34)

3800 : 2 =

Se si trascurano gli zeri resta la divisione 38 : 2 al risultato della quale vanno

poi aggiunti gli zeri tolti

(1900)

ANCHE CIFRE DISPARI

9 : 2 =

47

Se 10 : 2 = 5 allora 1 : 2 = 0,5. Quindi, ovviamente, tutte le volte che dividi un

numero dispari a metà ottieni la cifra 5 dopo la virgola.



(4+0,5=4,5)

76 : 2 =



(30+8=38)

95 : 2 =

In questo caso smonta il 97 in 80, 14 e 1 - operando poi in modo separato

sui vari valori (metodo di dissociazione) - e determina così il risultato

(40+7+0,5=47,5)

6.009.253 : 2 =

In questo caso smonta il 6.009.253 in 6.000.000, 9.000, 200, 50, 2 e 1 -

operando poi in modo separato sui vari valori (metodo di dissociazione) - e

determina così il risultato

(3.000.000+4.500+100+25+1+0,5=3.004.626,5)

Dividere per VENTICINQUE

Quando il divisore è 25 si può comodamente ricorrere alla rispettiva numerazione.

300 : 25 =

Ricorri alla numerazione del 25 e alle sue caratteristiche.

Essendo 4x25=100, allora ogni 100 il 25 si ripete 4 volte. Considera il 300

come 3 volte 100 e determina così il risultato

(4x3=12)

2.775 : 25 =

In questo caso smonta il 2.775 in 2.500, 200 e 75 – operando poi in modo

separato su entrambi i valori (metodo di dissociazione) - e determina così il

risultato

(100+8+3=111)

9.975 : 25 =

48

In questo caso puoi seguire la strategia del caso precedente oppure , magari,

considerare il 9.975 come un 10.000-25; poi, tenendo conto che il 25 nel 100

ci sta 4 volte e che 10.000=100x100, determinare il risultato

(4x100-1=399)

15,3 : 25 =

Anche in caso di numeri con la virgola la divisione per 25 risulta più comoda

di molte altre.

Conviene comunque spostare la virgola verso destra (piuttosto che verso

sinistra, fino ad ottenere un numero che termina con due zeri) riscrivendo

quindi (mentalmente) la divisione come 15.300:25 e, considerando che

15.300 è pari a 153 volte 100; per la solita considerazione (100=25x4) il

parziale è

(4x153=612)

che, reinserendo la virgola, dà il risultato

(0,612)

NOTA BENE - Naturalmente, nel caso la virgola si presenti su entrambi i termini,

conviene spostarla, in modo opportuno, su entrambi.

3,4 : 2,5 =

Sposta la virgola verso destra su entrambi riscrivendo quindi (mentalmente)

la divisione come 3.400:25 cosicché, sulla base delle solite considerazioni

nella numerazione del 25 e della virgola che, questa volta andrà spostata di

due sole posizioni (perché una delle tre posizioni dello spostamento sul

dividendo è stata pareggiata dallo spostamento di una posizione sul

divisore), il risultato sia

(4x34=136 che diventa 1,36)

Dividere per DIECI (o un suo multiplo)

Quando il divisore è 10 (o comunque il divisore termina con uno o più zeri) conviene,

prima di fare la divisione, spostare la virgola (verso sinistra) nel dividendo, di tanti posti

quanti sono gli zeri eliminati nel divisore.

128 : 10 =

Riduci la divisione a 12,8 : 1 e poi risolvila

(12,8)

9.000 : 30 =

49

Riduci la divisione a 900 : 3 e poi risolvila

(300)

6.012 : 1.200 =

Riduci la divisione a 60,12 : 12, e poi risolvila

(5,01)

Dividere per CINQUE

Quando il divisore è 5 è sufficiente dividere per 10 (cioè spostare la virgola di un posto

verso sinistra nel dividendo) poi raddoppiare il risultato.

170 : 5 =

Considera l’operazione equivalente 17 x 2 e risolvila

(34)

275 : 5 =

Considera l’operazione equivalente 27,5 x 2 e risolvila

(55)

78 : 5 =

Considera l’operazione equivalente 7,8 x 2 e risolvila

(15,6)

Dividere per QUATTRO

Quando il divisore è 4 è sufficiente dividere a metà e poi ancora a metà.

156 : 4 =

Effettua una prima divisione in due e poi ancora 78 : 2

(39)

8.026 : 4 =


(2.006,5)

10.300 : 4 =

50


(2.575)

103 : 4 =

Effettua una prima divisione in due e poi ancora 51,5 : 2

(25,75)

Dividere per OTTO

Quando il divisore è 8 è sufficiente dividere a metà, a metà e poi ancora a metà (dividi a

metà per tre volte consecutivamente).

280 : 8 =

Riduci la divisione a 140 : 4 , poi a 70 : 2 e infine risolvila

(35)

Dividere per VENTI

Quando il divisore è 20 è sufficiente dividere per 10 (cioè spostare la virgola di un posto

verso sinistra nel dividendo) poi dimezzare ancora il risultato.

780 : 20 =

Considera l’operazione equivalente 78 : 2 e risolvila

(39)

1.456 : 20 =

Considera l’operazione equivalente 145,6 : 2 e risolvila

(72,8)

Strategie per la divisione

Prima di iniziare qualsiasi ragionamento è sempre bene osservare con attenzione

l’operazione da risolvere per farsi un’idea, anche approssimativa, del risultato che si dovrà

ottenere. Più preciso sarà il nostro ragionamento iniziale più veloce sarà l’intero processo

e limitata la possibilità di commettere errori o trovarsi bloccati in un “vicolo cieco”.

NOTA BENE - Il principio della dissociazione6 in multipli (che siano multipli di ordine

unitario, o decine o centinaia o altro, non cambia nulla) della numerazione del divedendo è

spesso essenziale.

6 Vedi nei Prerequisiti

51

Divisione a UNA CIFRA con il QUOZIENTE INTERO

27 : 9 =

Ricorri alle numerazioni o alle tabelline che conosci a memoria

(3x9=27)

e dichiara il risultato

(3)

48 : 6 =

Ricorri alla numerazione o alla tabellina del 6

(6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48)

mentre conti sulle dita quante volte “dici” 6 prima di raggiungere il 48

(8 volte)

e dichiara il risultato

(8)

60 : 3 =

La tabellina del 3, teoricamente, si ferma a 30.

(3x10=30)

Ma fare 60:30 è come fare 6:3 e questo perché le decine intere sono

esattamente come le unità intere: il risultato di 6 decine (60) diviso 3 decine

(30) non può essere diverso dal risultato di 6 unità diviso 3 unità. Calcola

quindi 60:30 per scoprire quante volte la numerazione del 3 completa (10

numeri) sta nel 60

(2 volte)

quindi dichiara il risultato

(10x2=20)

NOTA BENE - Chiaramente sarebbe stato molto più semplice procedere come

esposto nel seguente esempio, ma il concetto di operare sulle decine (o se fosse sulle

centinaia o migliaia eccetera, come se fossero singole unità) è molto importante.

120 : 3 =


52

Considera quindi il 120 come un 12 (trascurando quindi lo zero delle unità di

120) così che l’operazione si semplifichi in un 12:3

(4)

e, aggiungendo poi lo zero che hai trascurato, dichiara il risultato

(40)

72 : 6 =




(10+2=12)

96 : 4 =


Smonta quindi il 95 in 40, 40 e 16 o, meglio, in 80 e 16 – operando poi

separatamente sui vari valori (metodo di dissociazione) - e determina così il

risultato

(10+10+4=24 oppure 20+4=24)

630 : 9 =

Ricorrendo alla tabellina o alla numerazione del 9 cerca il valore che più si

avvicina a 63 (trascurando quindi lo zero delle unità)

(7x9=63)

e, aggiungendo lo zero che hai trascurato, dichiara il risultato

(70)

497 : 7 =


avvicina al 49 (trascurando quindi le unità come nel caso precedente)

(7x7=49)

quindi dissocia il 497 in 490 e 7 – operando poi in modo separato su


(70+1=71)

511 : 7 =

53


avvicina al 50 (trascurando quindi le unità come nel caso precedente)

(7x7=49)

quindi dissocia il 504 in 490 e 21 - operando poi in modo separato su


(70+3=73)

Divisione a UNA CIFRA con l’ AVANZO

25 : 9 =


avvicina al 25

(2x9=18)

quindi dissocia il 25 in 18 e 7. Quest’ultimo è il resto della tua divisione.

Dichiara quindi il risultato

(2 con avanzo 7)

75 : 6 =

Ragionando sulla numerazione (tabellina) del 6 e sfruttando i concetti

precedentemente appresi, dissocia il 75 in 60 e 15 e quest’ultimo in 12 e 3,

operando poi separatamente sui vari valori (metodo di dissociazione). Infine

dichiara il risultato

(10+2=12 con avanzo 3)

489 : 9 =


precedentemente appresi, dissocia il 489 in 450 e 36 e 3, operando poi

separatamente sui vari valori. Infine dichiara il risultato

(50+4=54 con avanzo 3)

9.328 : 7 =


precedentemente appresi, dissocia il 9327 in 7000, 2100, 210, 14 e 4,

operando poi separatamente sui vari valori. Infine dichiara il risultato

(1.000+300+30+2=1.332 con avanzo 4)

Divisione a UNA CIFRA con il QUOZIENTE con la VIRGOLA

3 : 6 =

54

Essendo il divisore maggiore del dividendo immagina il 3 come se fosse un

30 (cioè aggiungi mentalmente uno zero).

Poi, ricorrendo alla tabellina o alla numerazione del 6, cerca il valore che più

si avvicina a 30

(6x5=30)

e quindi, tenendo conto che il risultato deve essere spostato di uno zero

(perché hai fatto il calcolo con un numero di “uno zero più grande”), dichiara

il risultato

(0,5)

3 : 8 =

Essendo il divisore maggiore del dividendo immagina il 3 come se fosse un

30 (cioè aggiungi mentalmente uno zero).

Poi, ricorrendo alla tabellina o alla numerazione dell’8, cerca il valore che più

si avvicina a 30

(3x8=24)

e quindi dissocia il 30 in 24 e 6, operando poi in modo separato su entrambi i

valori (metodo di dissociazione). Ma, ancora una volta, il divisore 8 è

maggiore del dividendo 6, quindi immagina il 6 come un 60 e trova la

tabellina o la numerazione dell’8, cerca il valore che più si avvicina a 60

(7x8=56)

e quindi dissocia il 60 in 56 e 4 - operando poi in modo separato su entrambi

i valori (metodo di dissociazione) - . Ma di nuovo il divisore 8 è maggiore del

dividendo 4, quindi immagina il 4 come un 40 e trova la tabellina o la

numerazione dell’8, cerca il valore che più si avvicina a 40

(5x8=40)

e quindi, tenendo conto che il risultato deve essere spostato di tre zeri

(perché hai fatto il calcolo aggiungendo tre volte uno zero), dichiara il

risultato

(0,375)

45 : 6 =


avvicina al 51

(6x7=42)

55

quindi dissocia il 45 in 42 e 3 - operando poi in modo separato su entrambi i

valori (metodo di dissociazione) - e determina così il risultato

(7+0,5=7,5)

Divisione a PIU’ CIFRE con il QUOZIENTE INTERO

Quando, e solo se, sei certo che il risultato della divisione è un numero intero7 (cioè niente

avanzo o virgola), puoi operare come segue:

87 : 29 =

Osserva la divisione per farti un’idea approssimativa (anche molto) di quale

potrebbe essere il risultato. Il divisore 29 è approssimabile a 30 e 30x3=90. Il

risultato della divisione dovrà quindi essere un numero vicino a 3.

Considera la cifra delle unità del divisore (9) e quella del dividendo (7): nella

numerazione del 9 si ottiene 7 alla cifra delle unità solo nel caso 3x9=27,

quindi è più che lecito presumere che il risultato cercato sia 3 (anche 13 o 23

o 33 darebbero come cifra delle unità 7, ma, in questo esempio, abbiamo già

determinato che il valore cercato deve essere vicino a 3. Quindi operando

con le strategie apprese per la moltiplicazione (metodo di dissociazione)

(29x3=20x3+9x3=60+27=87)

controlla e quindi dichiara il risultato

(3)

Una volta che avrai acquisito una certa dimestichezza con i calcoli riuscirai a direttamente

dalle considerazioni sulle cifre delle unità:

117 : 13 =

Considera la cifra delle unità del divisore (3) e quella del dividendo (7): nella

numerazione del 3 si ottiene 7 alla cifra delle unità solo nel caso 3x9=27,

quindi è più che lecito presumere che il risultato cercato sia 9 (anche 19

darebbe come cifra delle unità 7, ma 13x19 – che è quasi 20 – è

evidentemente un valore troppo grande).

Dichiara il risultato

(3)

Se lo desideri puoi sempre ricorrere al metodo di dissociazione della

moltiplicazione per verificare che il risultato sia effettivamente corretto.

(19x3=10x3+9x3=30+27=57)

7 Ad esempio se stai cercando il numero di paganti, conosci il montante e il valore della quota.

56

Divisione a PIU’ CIFRE con l’ AVANZO

97 : 17 =


potrebbe essere il risultato. Il divisore 17 è vagamente approssimabile a 20 e

20x5=100. Il risultato della divisione dovrà quindi essere un numero inferiore

a 5.

Quindi operando con le strategie apprese per la moltiplicazione (metodo di

dissociazione)

(17x5=10x5+7x5=50+35=85)

determina anche l’avanzo

(97-85=12)

Infine dichiara il risultato

(5 con l’avanzo di 12)

535 : 34 =


potrebbe essere il risultato. Se aggiungi uno zero a 34 ottieni 340 (inferiore a

535) e il suo doppio è 680 (superiore a 535). Il risultato della divisione dovrà

quindi essere un numero compreso fra 10 e 20 (puoi addirittura supporre

vicino a 15 considerando che 535 si trova approssimativamente nel mezzo

fra 340 e 680).

In questo caso puoi decomporre il 535 in 340, 170 (considerando che 170 è

la metà di 340, quindi pari a 34x5 - vedi strategie della moltiplicazione - ) e

25. Quindi, considerando le varie moltiplicazioni nelle quali è stato

decomposto il dividendo

(535=340+170+25=34x10+34x5+25)

dichiara il risultato

(10+5=15 con avanzo 25)

NOTA BENE - Anche se il divisore è di tre o più cifre è sempre possibile utilizzare le

strategie apprese; certo, per molte (ma non per tutte) le divisioni, diventa laborioso tenere

a mente i vari passaggi e termini.

2.976 : 88 =


potrebbe essere il risultato. Ad esempio, approssimando 88 a 90 e ricorrendo

alla tabellina del nove (3x9=27) puoi ragionevolmente supporre che il

57

risultato della divisione debba essere un numero vicino a 3. Ma

30x90=2.700, con un avanzo di 2.976-2.700=276 nel quale, nuovamente, il

90 sta tre volte. Così il risultato approssimativamente più corretto è 30+3=33.

A questo punto è sufficiente risolvere a mente la moltiplicazione 88 x 33

(usando la o le strategie che si ritengono più opportune fra quelle studiate),

quindi sottrarre il risultato trovato (2.904) dal dividendo per ottenere il resto

(33 con avanzo 72)

NOTA BENE - Mentre una divisione a quattro cifre del tipo 28.910 : 2.891 è semplicissima

- basta osservarla con attenzione (come sempre si deve fare!) per accorgersi che l’unica

differenza fra dividendo e divisore è lo zero – la seguente operazione è decisamente più

complessa:

5.931 : 312 =


potrebbe essere il risultato. Ad esempio, approssimando 312 a 300 e 5.931 a

6.000 verifichi che siccome il 3 (del 300) nel 60 (del 6.000) ci sta 20 volte, il

risultato cercato è un numero inferiore a 20 (inferiore perché il divisore è

stato approssimato per difetto e il dividendo per eccesso).

NOTA BENE - Quando possibile conviene sempre approssimare dividendo e divisore o

entrambi per eccesso o entrambi per difetto.

A questo punto è sufficiente risolvere a mente la moltiplicazione 312 x 19

(usando la o le strategie che si ritengono più opportune fra quelle studiate),

quindi sottrarre il risultato trovato (5.928) dal dividendo per ottenere il resto

(19 con avanzo 3)

Divisione APPROSSIMATA

Spesso, nei calcoli che capita di dover fare nella “vita reale” è sufficiente un risultato



La numerazione del 25, opportunamente adattata, semplifica moltissimo questa

operazione.

3.872 : 76 =

Gli espedienti utilizzabili, qui, dipendono dalla creatività di ciascuno. Vediamo

comunque una possibile via di risoluzione.

Approssima il 76 a 75, cioè a 3 volte 25 e il 3.872 a 3.875 (chiaro multiplo di

25). Riscrivi quindi (mentalmente) la divisione come 3.875:25, dissociala in

3.000+800+75 e risolvila con il solito criterio

58

(120+32+3=155)

Il risultato ottenuto è 3 volte maggiore di quello cercato e che quindi, ancora

ricorrendo alla dissociazione per l’ulteriore divisione (153:3) e nuovamente

approssimando (155:3=150:3+5:3=50+2 approssimato) il risultato finale è

(52)

Il quoziente effettivo della divisione iniziale è 50,947.3 e quindi abbiamo


NOTA BENE - Più i valori (dividendo e divisore) si allontanano dalla numerazione del 25,

peggiore sarà l’approssimazione ottenuta, ma, comunque, farsi un’idea approssimativa del

risultato è sempre meglio di non farsene alcuna. In questi casi è importante approssimare

per eccesso l’uno e per difetto l’altro (dei due termini) e, magari, in maniera intuitivamente

proporzionale.

6.267 : 131 =

Osserva rapidamente la divisione: il risultato finale si aggira sulla cinquantina

perché 5.000=100x50.

Così, riscrivi (mentalmente) la divisione approssimando per difetto il 131 a

125 (valore di approssimazione 131-125=6) e per difetto (proporzionale, cioè

con un valore di approssimazione 50 volte maggiore del 6 appena usato) il

6.267 a 6.000 (circa 50x6=300 numeri minore).

A questo punto risolvi la divisione 6.000:125 con i soliti principi e ricavi

(48)

Il quoziente effettivo della divisione iniziale è 47,839.6 e quindi abbiamo

ottenuto un’ ottima approssimazione.

Naturalmente il principio dell’approssimazione del risultato si può sfruttare con qualsiasi

numero e numerazione.

5.733 : 42 =

Approssima 42 a 40, per difetto, e quindi 5.733 a 5.600, sempre per difetto,

comprendendo, intuitivamente che si tratta di una buona approssimazione

proporzionale e quindi evitando ulteriori complessi calcoli.

A questo punto risolvi la divisione 5.600:40 sfruttando il principio della

dissociazione: smonta il 5.600 in 4.000 e 1.600 e svolgi la divisione

scomposta, ottenendo

(100+40=140)

59

Il quoziente effettivo della divisione iniziale è 136,5 e quindi abbiamo ottenuto

una buona approssimazione.

TAVOLE e TABELLE per il calcolo rapido

Segue una breve panoramica

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Tavola delle TABELLINE

Tavole delle prime NUMERAZIONI

Tabelle della "SCOMPOSIZIONE dei NUMERI

per il denominatore comune.

Tavole dei QUADRATI

Tavole delle principali RADICI QUADRATE, CUBICHE, QUARTE

USO COMUNE

Tavole “CLASSICHE” (da 1 a 1000) delle

e implementate

Tavole per la CONVERSIONE fra misure di



Tavola per la CONVERSIONE fra i sistemi:

ESADECIMALE

APPENDICE:

AVOLE e TABELLE per il calcolo rapido

Segue una breve panoramica di alcune tavole e tabelle che trovi nel prodotto

volume 1A – Calcolare:

TABELLINE

NUMERAZIONI dei numeri da 1 a 100 (primi 25 risultati).

SCOMPOSIZIONE dei NUMERI" (da 1 a 1000) -

per il denominatore comune.

dei numeri da 1 a 30 e altre potenze di USO COMUNE

RADICI QUADRATE, CUBICHE, QUARTE

” (da 1 a 1000) delle RADICI e delle POTENZE

Tavole per la CONVERSIONE fra misure di SPAZIO

Tavole per la CONVERSIONE fra misure di PESO e fra misure di

Tavole per la CONVERSIONE fra misure di TEMPO

Tavola per la CONVERSIONE fra i sistemi: BINARIO, DECIMALE

60

nel prodotto ,

dei numeri da 1 a 100 (primi 25 risultati).

Utile in particolare

dei numeri da 1 a 30 e altre potenze di USO COMUNE

RADICI QUADRATE, CUBICHE, QUARTE e altre radici di

POTENZE, riorganizzate

sure di CAPACITÀ

IMALE e

Crip - Altervista · torni alla mente. La tua descrizione ha richiesto un tempo ben più lungo dei...

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