Costruzioni Metalliche - Iorio Di Mauro Stellavato

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FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile

CORSO DI COSTRUZIONI METALLICHE

RELAZIONE TECNICA

Professore: Prof. Ing. Franco Bontempi Studenti: Antonio Iorio

Assistenti: Ing. Angelo Rago Maria Di Mauro

Ing. Francesco Petrini Silvio Stellavato

Ing. Luisa Giuliani

Anno Accademico 2008- 2009

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Capitolo 1 ...................................................................................................................... 5

DESCRIZIONE DELL’OPERA.................................................................................. 5

Capitolo 2 .................................................................................................................... 16

NORMATIVA di RIFERIMENTO............................................................................ 16

Capitolo 3 .................................................................................................................... 17

MATERIALI............................................................................................................... 17

3.1. Introduzione ........................................................................................................................................ 17

3.2. Acciaio ................................................................................................................................................. 17

3.3 Calcestruzzo.......................................................................................................................................... 20

3.3.1 Modulo di rigidezza, coefficiente di Poisson, coefficiente di dilatazione termica......................... 20

3.3.2 Resistenza di calcolo a compressione............................................................................................ 21

3.3.3 Resistenza di calcolo a trazione..................................................................................................... 21

3.4 Acciaio per conglomerato cementizio.................................................................................................. 22

3.4.1 Modulo di rigidezza ....................................................................................................................... 22

3.4.2 Resistenza di calcolo a trazione e compressione........................................................................... 22

Capitolo 4 .................................................................................................................... 24

ANALISI DEI CARICHI........................................................................................... 24

4.1 Carichi permanenti non strutturali e carichi variabili .................................................................. 24

4.2. Azioni ambientali e naturali ............................................................................................................... 27

4.2.1 Calcolo dell’azione del vento........................................................................................................ 28

4.2.2 Calcolo carico da neve ................................................................................................................. 34

4.2.3 Calcolo dell’ azione sismica .......................................................................................................... 35

4.2.4 Combinazione della Azioni ........................................................................................................... 39

4.3 PIANO ANTINCENDIO o di EVACUAZIONE............................................................................... 41

PREDIMENSIONAMENTO degli ELEMENTI STRURRURALI...................... 44

5.1. Solaio ................................................................................................................................................... 44

5.1.1 Solaio di piano :............................................................................................................................. 44

5.1.2 Solaio di copertura: ....................................................................................................................... 45

3

5.2. Trave secondaria ................................................................................................................................. 48

5.2.1 Trave secondaria di piano :........................................................................................................... 48

5.2.1 Trave secondaria di copertura : .................................................................................................... 50

5.3. Trave principale................................................................................................................................... 52

5.3.1 Trave principale di piano : ............................................................................................................ 52

5.3.2 Trave principale di copertura :...................................................................................................... 55

5.4. Colonne................................................................................................................................................ 58

5.5. Struttura di Fondazione ...................................................................................................................... 64

MODELLAZIONE ..................................................................................................... 67

6.1. Introduzione ........................................................................................................................................ 67

6.2. Materiale.............................................................................................................................................. 67

6.3. Solaio ................................................................................................................................................... 69

6.4 . Travi, Colonne e Controventi............................................................................................................. 79

6.5. Assegnazione dei carichi e Definizione delle combinazioni di carico............................................... 84

6.6. Modellazione delle fondazioni ............................................................................................................ 92

6.6.1. Modellazione della platea............................................................................................................. 93

6.6.2. Modellazione dei pali.................................................................................................................... 95

6.6.3. Modellazione del terreno .............................................................................................................. 96

6.6.4. Analisi modale .............................................................................................................................. 99

PROGETTO AUTOMATICO.................................................................................. 104

7.1 Definizione dei gruppi....................................................................................................................... 122

7.2 Considerazioni.................................................................................................................................... 125

7.3 Risultati della progettazione automatica e coefficienti di utilizzo .................................................... 126

7.4 Analisi strutturale............................................................................................................................... 132

7.4 Analisi modale .................................................................................................................................... 136

COLLEGAMENTI ................................................................................................... 148

8.1. Collegamento Colonna – platea di fondazione................................................................................. 148

8.1.1 Verifica del comportamento a cerniera ...................................................................................... 156

4

8.2 Collegamento Colonna - platea di fondazione a perno.................................................................... 159

8.3. Collegamento trave-colonna ............................................................................................................. 187

8.3.1 Predimensionamento unione all’anima ....................................................................................... 187

8.3.2 Predimensionamento unione all’ala ........................................................................................... 191

8.4 Collegamento colonna-controvento verticale................................................................................... 195

8.5 Dimensionamento dell’armatura della platea di fondazione........................................................... 198

8.6 Dimensionamento dell’armatura dei pali di fondazione .................................................................. 199

NON LINEARITA’ e ANALISI di PUSHOVER................................................... 206

9.1 Introduzione ...................................................................................................................................... 206

9.2 Analisi di Push Over ....................................................................................................................... 207

9.3 Applicazione ...................................................................................................................................... 208

9.3.1 Modellazione del telaio................................................................................................................ 209

9.3.2 Modellazione delle Azioni........................................................................................................... 213

9.3.3 Caratterizzazione delle Cerniere Plastiche ................................................................................ 218

9.3.3.1 Cerniere Assiali ........................................................................................................................ 218

9.3.3.2 Cerniere a Presso-Flessione.................................................................................................... 219

9.3.4 Risultati....................................................................................................................................... 223

APPENDICE A ........................................................................................................................................ 233

1. PLASTICITA’.................................................................................................................................. 233

2. INSTABILITA’................................................................................................................................ 256

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Capitolo 1

DESCRIZIONE DELL’OPERA

Oggetto del calcolo strutturale è un edificio multipiano in carpenteria metallica destinato a

uffici aperti al pubblico, da realizzarsi nel comune di Roma (zona sismica 4). Il sito geologico sul

quale verrà ad insistere la struttura è identificabile, ai sensi delle Norme Tecnica delle Costruzioni

2008, come terreno di tipo C (depositi di sabbie e ghiaie molto addensate o argille molto

consistenti).

La struttura è costituita da 19 piani in elevazione, il primo a quota 0,00 m dal piano campagna,

l’ultimo a 62,7 m; la distanza di interpiano è di 3,30 m. La pianta avente superficie pari a 660 mq

circa, ha forma pressochè rettangolare , avente lato lungo di dimensione 55 m e lato corto di 12 m,

con due gli spigoli diametralmente opposti arrotondati la cui forma ( arco di ellisse) sarà garantita

da travi calandrate. Si riportano di seguito i parametri utili a definire la curvatura rispetto al sistema

di riferimento locale la cui origine è posizionata nel punto 9-C:

ELLISSE :

Lunghezza: 12169.6351

Centro: X = -3756.7500, Y = 5771.9233, Z = 0.0000

Asse maggiore: X = 13756.7923, Y = 10.0979 , Z = 0.0000

Asse minore: X = -4.4059 , Y = 6002.2981, Z = 0.0000

Punto iniziale: X = 0.0000 , Y = 0.0000 , Z = 0.0000

Punto finale: X = 9993.2361, Y = 5591.2983, Z = 0.0000

Angolo iniziale: 303

Angolo finale: 359

Rapporto del raggio: 0.4363

Di seguito si riporta la carpenteria metallica con relativa orditura del solaio realizzato con lamiera

grecata e soletta di completamento.

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Fig. 1.1: Pianta piano tipo

I piani sono serviti da una scala metallica da due ascensori panoramici esterni , come riportato nelle

Fig. 1.2 e Fig.1.3, che rappresentano lo studio degli spazi in funzione della posizione degli elementi

strutturali quali controventi verticali e colonne la cui posizione potrebbe arrecare problemi alla

funzionalità e all’estetica dell’edificio.

Fig. 1.2: Piano Architettonico per piano terra

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Fig. 1.3: Piano Architettonico per piano tipo

La parete esterna è stata realizzata con il sistema a facciata continua costituita da un reticolo di

elementi portanti verticali ed orizzontali tra di loro connessi ed ancorati alla struttura dell’edificio,

al fine di sostenere un rivestimento di facciata continuo e leggero che ha il compito di garantire tutte

le funzioni tipiche di una parete perimetrale esterna compresa la resistenza agli agenti atmosferici,

la sicurezza ed il controllo ambientale, ma che comunque non contribuisce alle caratteristiche

portanti della struttura dell’edificio.

Per la realizzazione della “facciata continua”, in particolare:

- si individua un’ ossatura che si configura come la struttura della facciata;

- la struttura della facciata si conforma come un reticolo strutturale;

- la facciata non collabora con la struttura dell’edificio nel suo complesso, quindi risulta essere

esclusivamente autoportante;

- la facciata continua deve soddisfare tutti i requisiti richiesti per le chiusure esterne (UNI 7959).

La struttura che garantisce l’autoportanza della facciata è un sistema di montanti e traversi.

Il materiale impiegato è l’alluminio. La scelta di questo metallo è legata fondamentalmente a tre

motivi:

- la notevole duttilità che consente di ottenere profilati con forme assai complesse;

- peso contenuto

- la resistenza alla corrosione.

Quest’ultima è garantita dalla capacità dell’alluminio di auto proteggersi mediante una pellicola di

ossido che si forma per il naturale processo di ossidazione di questo. Nell’utilizzo corrente tale

proprietà viene sfruttata per sottoporre i profilati a un trattamento denominato anodizzazione con il

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quale si favorisce la formazione di ossido sino a formare uno strato di 10-20 mm, che permette di

ottenere una protezione maggiore di quello che si formerebbe naturalmente di 1/100 mm.

Di seguito (Fig.1.4) è riportato il sistema di fissaggio degli elementi di sostegno delle vetrate e una

vista tridimensionale dei montanti utilizzati.

Fig. 1.4: Montanti per il sostegno delle vetrate continue

La struttura portante dell’edificio è realizzata interamente in acciaio con uno schema statico che

prevede colonne che si interrompono a ogni livello, incernierate alla base, controventi verticali nelle

direzioni principali X e Y, controventi di piano, travi principali e secondarie incernierate alle

estremità e solai in lamiera grecata gettati in opera. Le colonne sono orientate in modo da avere

l’asse forte in direzione Y. Lungo tutta l’altezza dell’edifico si sono individuati quattro livelli a

ciascuno dei quali è stato associato un profilato HE progressivamente minori dal basso verso l’alto.

Le tipologie di sezioni adottate per le varie categorie di elementi strutturali sono:

per le colonne: HEM ed HEB;

per le travi principali: HEB;

per le travi secondarie: HEB;

per i controventi orizzontali: doppio L;

peri i controventi verticali e per i cosciali: UPN;

per un totale di 16 sezioni differenti.

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Fig. 1.5: Tabella riassuntiva profilati impiegati

La tipologia di solaio adottata è quella con lamiera grecata e soletta collaborante gettata in opera

con rete elettrosaldata; si hanno, nel complesso del solaio, elementi con funzione antincendio ed

isolamento termo-acustico. Si riportano di seguito le tipologie di solaio impiegate rispettivamente

per il piano tipo (Fig.1.6) e per la copertura(Fig.1.7) :

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Fig. 1.6: Solaio piano tipo

Fig. 1.7: Solaio copertura

Per rendere la struttura più rigida, e quindi meno deformabile, oltre che limitare gli spostamenti di

piano dovuti a sollecitazioni di tipo orizzontale si è reso necessario porre elementi di

controventamento anche nelle zone interne, come si può vedere dalla figura 1.10, dove sono

evidenziati in rosso i controventi verticali esterni ed in blu quelli interni.

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Fig. 1.8: Disposizione dei controventi verticali e orizzontali

Come si può notare i controventi verticali della zona interna sono abbastanza fitti. Ciò non crea

problemi di natura architettonica, in quanto il seguente aspetto è stato opportunamente considerato

in ogni fase della progettazione strutturale.

La struttura del corpo scala è anch’essa realizzata in acciaio ed è formata da due rampe, per singolo

dislivello, parallele che partono dai rispettivi pianerottoli di piano e si interrompono in un

pianerottolo di interpiano. La struttura di ogni rampa è costituita da due cosciali, di profilo UPN160,

incernierati alle estremità alle travi ad essi ortogonali a livello di piano e a quota pianerottolo.

Poiché la scala non è stata considerata a livello di modellazione è stata progettata in modo che fosse

vincolata alle travi senza influire sulla rigidezza globale della struttura, si è quindi realizzato il

collegamento con la trave a quota pianerottolo con un’asola appositamente calcolata, al fine di

consentire in caso di forze orizzontali lo spostamento della scala indipendentemente dalla struttura.

I cosciali (UPN 160) sono collegati mediante dei profili tubolari di diametro 54 mm e uno spessore

di 2.9 mm saldati ad essi. I gradini in doppio cristallo acidato temperato antisfondamento con

striscia antiscivolo sono fissati con delle viti a scomparsa Ф14 a dei sostegni metallici saldati ai

cosciali. Il parapetto è costituito da montanti abbinati in piatto trafilato con soprastante snodo a

curva a sostegno del corrimano in tubo acciaio inox spessore 40 mm raccordato con giunti speciali.

La geometria del corpo scala è illustrata nelle figure seguenti:

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Fig. 1.9: Vano scala

Fig. 1.10: Carpenteria metallica del corpo scala

Per quanto riguarda il deflusso delle acque meteoriche, ovvero l’allontanamento delle acque

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bianche, viene realizzata una copertura continua su più falde diversamente inclinate:

Fig. 1.11: Pianta dei deflussi delle acque meteoriche

nella quale i criteri progettuali seguiti sono i seguenti:

1) spessore minimo del massetto di 3 cm;

2) pendenza minima idraulica dell' 1.5%;

3) pluviali dimensionati a 3l/min/mq, con la

tabella di letteratura (“Manuale di progettazione

edilizia”, Hoepli, 1999) riportata di fianco:

4) cordolo perimetrale in calcestruzzo armato

di 20 cm x 40 cm;

5) pluviali in HDPE (polietilene ad alta densità)

con griglia paraghiaia di protezione.

Inoltre, per permettere l’accesso alla copertura,

trattandosi di copertura non praticabile, si

utilizza una semplice botola di passaggio che

permetta le eventuali operazioni di manutenzione.

Il terreno su cui l’edificio deve essere realizzato è costituito da un primo strato di sabbia sciolta che

si estende per una profondità di circa 20 metri al di sotto del quale vi è uno strato di ghiaia

addensata. Considerata l’entità dei carichi da trasmettere al terreno nonché la costituzione e le

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caratteristiche meccaniche di questo, si è adottata una tipologia di fondazione che prevede una

platea su pali che permette di trasferire il carico al terreno più resistente. Si riporta di seguito la

pianta delle fondazioni rimandando agli allegati per maggiori approfondimenti:

Fig. 1.12: Pianta di fondazione

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Capitolo 2

http://www.zonasismica.it/approfondimenti/edificioCDA/cap1-4.htm -

_top#_topNORMATIVA di RIFERIMENTO

La progettazione degli elementi strutturali e la valutazione delle azioni e delle combinazioni

di carico viene eseguita in conformità con le norme tecniche vigenti.

In particolare, il riferimento è alle norme seguenti:

� Testo unitario per le costruzioni:

«Norme tecniche per le costruzioni 2008» (T.U.2008);

� Decreto Ministeriale LL.PP. 14 settembre 2005 :

«Norme tecniche per le costruzioni» (T.U.2005);

� CNR - UNI 10011 giugno 1988 :

«Costruzioni di acciaio. Istruzioni per il calcolo,l’esecuzione, il collaudo e la manutenzione»

(CNR10011/88);

� Decreto Ministeriale 22 febbraio 2006 :

«sulla prevenzione incendi».

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Capitolo 3


_top#_topMATERIALI

3.1. Introduzione

In questo capitolo ci si propone di elencare le caratteristiche generali dell’acciaio e del calcestruzzo

ed in particolare di evidenziarne quelle dei materiali utilizzati nella progettazione della nostra

costruzione.

Si ricorda inoltre che la qualità dei prodotti strutturali è di rilevante importanza ai fini di un risultato

che rispecchi il prototipo matematico scelto e calcolato per l’opera da realizzare.

La Normativa impone che i materiali e prodotti per uso strutturale debbano essere:

- identificati mediante la descrizione a cura del fabbricante, del materiale stesso e dei suoi

componenti elementari;

- certificati mediante la documentazione di attestazione che preveda prove sperimentali per

misurarne le caratteristiche chimiche, fisiche e meccaniche, effettuate da un ente terzo

indipendente ovvero, ove previsto, autocertificate dal produttore secondo procedure stabilite

dalle specifiche tecniche europee richiamate nel presente documento;

- accettati dal Direttore dei lavori mediante controllo delle certificazioni di cui al punto

precedente e mediante le prove sperimentali di accettazione previste nelle presenti norme

per misurarne le caratteristiche chimiche, fisiche e meccaniche;

Le proprietà meccaniche o fisiche dei materiali che concorrono alla resistenza strutturale debbono

essere misurate mediante prove sperimentali, definite su insiemi statistici significativi.

I produttori di materiali, prodotti o componenti disciplinati nella presente norma devono dotarsi di

adeguate procedure di controllo di produzione in fabbrica. Per controllo di produzione nella

fabbrica si intende il controllo permanente della produzione, effettuato dal fabbricante. Tutte le

procedure e le disposizioni adottate dal fabbricante devono essere documentate sistematicamente ed

essere a disposizione di qualsiasi soggetto od ente di controllo.

3.2. Acciaio

L’acciaio è una lega ferro-carbonio. La quantità di carbonio condiziona la resistenza e la duttilità (la

prima cresce e la seconda diminuisce all’aumentare del contenuto in carbonio).

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I più comuni acciai per carpenteria metallica hanno un contenuto in carbonio molto basso (da 0.17%

a 0.22%) e sono quindi estremamente duttili. Una caratteristica importante è anche la tenacità

dell’acciaio, cioè la sua capacità di evitare rottura fragile alle basse temperature. La normativa

italiana e quella europea impongono limiti alle caratteristiche meccaniche (tensione di rottura e di

snervamento) ed all’allungamento a rottura dei diversi tipi di acciaio, nonché limiti alla resilienza

(legati alla temperatura ed al grado di saldabilità), necessari per garantire la tenacità .

Le prove di laboratorio che più frequentemente si effettuano sugli acciai da carpenteria metallica

sono: - prova di trazione;

- prova di resilienza;

- prova di piegamento.

Vengono talvolta effettuate anche prove a compressione globale, di durezza e di fatica.

La prova di trazione, che è molto significativa, poiché stabilisce il legame tra i valori di

deformazione e sforzo, fornisce i valori della forza di trazione e della variazione di distanza di due

punti di riferimento dividendo la forza di trazione per l’area nominale A0 del provino utilizzato;

nelle fasi finali della prova, quando si ha una forte riduzione della sezione (strizione) la tensione

nominale si riduce anche se la reale tensione va sempre crescendo. La deformazione viene valutata

dividendo la variazione di distanza tra i punti di riferimento per la distanza iniziale L0. Dalla prova

di trazione si ricava:

- la tensione di snervamento fy e la corrispondente deformazione εy ;

- la deformazione in cui inizia l’incrudimento εh (che è circa 12-15 volte εy);

- la tensione di rottura a trazione fu (il massimo raggiunto nella prova)

- la deformazione εu ;

- la deformazione a rottura εt .

Nella Fig.3.1 è mostrato il diagramma σ-ε del generico provino di acciaio sottoposto alla prova di

trazione.

Fig. 3.1: Diagramma sforzi-deformazioni per l’acciaio

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In sede di progettazione si sono assunte convenzionalmente i seguenti valori nominali delle

proprietà del materiale:

- modulo elastico E = 210.000 N/mm2

- modulo di elasticità trasversale G = E / [2 (1 + ν)] N/mm2

- coefficiente di Poisson ν = 0,3

- coefficiente di espansione termica lineare α = 12 x 10-6 per °C-1 (per temperature fino a

100 °C)

- densità : ρ = 7850 kg/m3

Fig. 3.2. Legame costitutivo dell’acciaio

Per l’acciaio utilizzato, S355W, si ha:

fyk [N/mm2] =355 N/mm2

ftk [N/mm2] =510 N/mm2

fyd [N/mm2] =294 N/mm2

Tutti i profili utilizzati per la nostra opera sono del tipo a doppia T. I profili a doppio T sono

utilizzati soprattutto come travi e colonne di strutture a telaio. Ne esistono due distinte tipologie:

IPE ed HE. I profili IPE hanno una larghezza b dell’ala pari alla metà dell’altezza h. I profili HE

hanno invece b=h; per essere più precisi, esiste una serie normale, HEB, nella quale è

effettivamente b=h fino ad una altezza di 300 mm (per altezze maggiori b rimane costantemente

pari a 300 mm), una serie leggera, HEA, ed una serie pesante, HEM, che hanno spessori maggiori e

piccole differenze nell’altezza rispetto alla serie normale.

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A parità di area della sezione (e quindi di peso e costo) i profili IPE hanno momento d’inerzia e

modulo di resistenza nettamente maggiore rispetto agli HE e sono quindi più convenienti in caso di

aste soggette a flessione semplice; il momento d’inerzia è però molto basso e ciò li rende inadatti a

sopportare momento flettente in due piani diversi ed anche molto sensibile all’instabilità in un

piano. I momenti d’inerzia dei profili HE nelle due direzioni hanno una minore differenza e ciò

rende questi profili più adatti ad essere usati come colonne (perché le colonne sono soggette a

sforzo normale oltre che a momento flettente e questo inoltre agisce spesso in due direzioni).

I profili a C e gli angolari sono usati soprattutto come aste di travature reticolari o aste di

controventatura; vengono spesso accoppiati a due a due sia perché ciò conferisce simmetria alla

sezione composta sia per comodità di realizzazione dei collegamenti.

Nonostante il modulo elastico dell’acciaio sia quasi il triplo rispetto a quello del calcestruzzo, la

dimensione delle sezioni in acciaio è tanto più piccola rispetto a quella delle sezioni in cemento

armato da rendere molto rilevanti i problemi di esercizio connessi alla deformabilità. In numerosi

casi la scelta della sezione è condizionata più dai limiti di deformabilità che dai limiti di resistenza.

3.3 Calcestruzzo

3.3.1 Modulo di rigidezza, coefficiente di Poisson, coefficiente di dilatazione termica

Il calcestruzzo da adoperarsi è del tipo Rck 30 con un valore di cσ pari a 30 N/mm2. Si

assume in fase di progetto, un modulo di Young istantaneo, tangente all’origine del diagramma

εσ − , deducibile dalla relazione (punti 11.1.5 e 11.1.10.3):

=⇒+=

25,335,3

mmNRRR cmckcm

[ ]233 18,354605,33*11000*11000

mmNERE ccmc ==⇒=

Il coefficiente di Poisson lo si pone pari a 20.=ν ,mentre quello di dilatazione termica è

1510 −°−= Cα (punti 11.1.10.4 e 11.1.10.5 rispettivamente); il peso del conglomerato è da assumersi

pari a

[ ]325m

kN=γ

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3.3.2 Resistenza di calcolo a compressione

La resistenza di calcolo a compressione semplice del calcestruzzo è calcolata come (punto

5.1.2.1.4.1 ):

[ ]2

,mm

NRf

cm

ck

cdγ

=

essendo cm,γ un coefficiente di sicurezza che limita la probabilità che tale valore di resistenza non

venga raggiunto (frattile), e che assume il valore di 1,9 per gli stati limite ultimi. Nel caso

specifico, è

[ ]278,159,1

30mm

Nf cd ==

Di norma, per il calcestruzzo, si adotta un diagramma convenzionale parabola-rettangolo, (punto

5.1.2.1.5.2) l'ordinata massima del diagramma è pari a cdf .

Fig.3.3: Legame costitutivo del calcestruzzo

3.3.3 Resistenza di calcolo a trazione

Il valore medio della resistenza a trazione semplice (assiale) in mancanza di diretta sperimentazione

può essere assunto pari a (punto 11.1.10.2):

[ ]262,2*48,0mm

NRf ckctm ==

La resistenza a trazione semplice (assiale) di calcolo risulterà pari a:

22

[ ]2

,

22,1*7,0

mmNf

ff ctd

cm

ctm

ctd =⇒=γ

Il valore medio della resistenza a trazione per flessione in mancanza di diretta sperimentazione può

essere assunto pari a (punto 11.1.10.2):

[ ]2144,3*2,1mm

Nfff cfmctmcfm =⇒=

La resistenza a trazione per flessione di calcolo risulterà pari a:

[ ]2

,

48,1*7,0

mmNf

ff cfd

cm

cfm

cfd =⇒=γ

3.4 Acciaio per conglomerato cementizio

3.4.1 Modulo di rigidezza

L’acciaio adoperato appartiene al tipo B450C, con un valore della tensione caratteristica di

snervamento nomyf ,

pari a 450 N/mm2. Il modulo elastico del materiale si assume pari a:

[ ]2210000mm

NEs =

3.4.2 Resistenza di calcolo a trazione e compressione

Le resistenze di calcolo sono ottenute come rapporto tra le resistenze caratteristiche e opportuni

coefficienti di sicurezza, variabili in relazione allo stato limite considerato. Nel caso specifico, per

stati limite ultimi, risulta:

[ ]2

,

30,391mm

Nff

f yd

sm

yk

yd =⇒=γ

con sm,γ pari a 1.15 (punto 5.1.2.1.4.3).

Per le strutture in calcestruzzo armato l’acciaio deve possedere i seguenti requisiti (punto 11.2.2.1 –

tabella 11.2.I.a) :

23

CARATTERISTICHE

Tensione caratteristica di snervamento fyk ≥fy nom (N/mm2)

Tensione caratteristica di rottura ftk ≥ft nom (N/mm2)

(ft /fy)k ≥1,13 / ≤1,35

(fy / fy nom)k ≤1,25

Allungamento (Agt)k: ≥7%

Diametro del mandrino per prove di piegamento a 90° e successivo

raddrizzamento senza cricche:

Φ ≤12 mm

12 ≤Φ≤16 mm

Per 16 ≤Φ≤25 mm

Per 25 ≤Φ≤50 mm

Φ 4

Φ 5

Φ 8

Φ 10

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Capitolo 4

http://www.zonasismica.it/approfondimenti/edificioCDA/cap1-4.htm - _top#_topANALISI

DEI CARICHI

4.1 Carichi permanenti non strutturali e carichi variabili

Sono considerati carichi permanenti i carichi non rimovibili durante il normale esercizio

della costruzione, quali quelli relativi a tamponature esterne, divisori interni, massetti, isolamenti,

pavimenti e rivestimenti del piano di calpestio, intonaci, controsoffitti, impianti ed altro, ancorché

in qualche caso sia necessario considerare situazioni transitorie in cui essi non siano presenti.

Essi vanno valutati sulla base delle dimensioni effettive delle opere e dei pesi per unità di volume

dei materiali costituenti. In linea di massima, in presenza di orizzontamenti anche con orditura

unidirezionale ma con capacità di ripartizione trasversale, i carichi ed i sovraccarichi potranno

assumersi per la verifica d’insieme come uniformemente ripartiti. In caso contrario, occorrerà

valutarne le effettive distribuzioni.

I tramezzi e gli impianti leggeri di edifici residenziali possono assumersi, in genere, come carichi

equivalenti distribuiti, quando i solai hanno adeguata capacità di ripartizione trasversale.

I sovraccarichi variabili comprendono la classe dei carichi legati alla destinazione d’uso dell’opera;

i modelli di tali azioni possono essere costituiti da carichi uniformemente distribuiti , carichi lineari

e carichi concentrati.

Di seguito sono riportati i carichi permanenti portati e i sovraccarichi che interessano i vari tipi di

solaio e le zone di pertinenza comune all’edificio.

Non sono specificati i pesi propri degli elementi strutturali, poiché sono stati direttamente calcolati

dal programma agli elementi finiti una volta definito il materiale e la geometria degli stessi.

25

ANALISI DEI CARICHI

Località : Roma

Destinazione d'uso: uffici non aperti al pubblico

SOLAIO di PIANO per UFFICI APERTI AL PUBBLICO

Sovrastruttura:

pavimento (laterizio s=2cm) 0.4 KN/m2

sottofondo(malta di cemento) 0.42 KN/m2

tramezzi uniformemente distribuiti 1 KN/m2

TOTALE = 1.82 KN/m2

Struttura: SOLAC 55(soletta=4,5cm-Ht=10cm)

Soletta

riempimento nervature

lamiera grecata (s=0,8 mm)

TOTALE = 1.89 KN/m2

Impianti 0.3 KN/m2

Controsoffitto 0.3 KN/m2

CARICO PERMANENTE TOT (Gk) = 4.31 KN/m2

CARICO VARIABILE = 3 KN/m2

CARICHI TOTALI = 6.31 KN/m2

SOLAIO di COPERTURA

Sovrastruttura:

pavimento (laterizio s=2cm) 0.4 KN/m2

Impermeabilizzazione 0.3 KN/m2

sottofondo ( malta ; s = 2cm ; γ = 21 KN/m3) 0.42 KN/m2

massetto delle pendenze (γ= 20 KN/m3) 1.20 KN/m2

TOTALE = 2.32 KN/m2

Struttura: SOLAC 55(soletta=3,5cm-Ht=10cm)

Soletta

riempimento nervature

lamiera grecata (s=0,8 mm)

TOTALE = 1.64 KN/m2

Impianti 0.2 KN/m2

Controsoffitto 0.3 KN/m2

CARICO PERMANENTE TOT (Gk) = 4.46 KN/m2

CARICHI VARIABILI:

ANTROPICO (qk)= 0.5 KN/m2

NEVE ( QK)= 0.6 KN/m2

CARICHI TOTALI = 5.56 KN/m2

26

ANALISI DEI CARICHI SCALA

GRADINI IN VETRO + INTELAIATURA 0.60 KN/m2

CARICO VARIABILE 4.00 KN/m2

Fig.4.1: da Tabella3.1.II – Valori dei carichi d’esercizio per le diverse categorie di edifici

27

4.2. Azioni ambientali e naturali

La costruzione risulta inserita in un ambiente caratterizzato da aspetti in parte naturali ed in parte

antropici, questi ultimi legati alle attività umane. È compito del progettista caratterizzare

qualitativamente e quantitativamente tale ambiente, individuando e documentando chiaramente

l’ambiente di progetto, che costituirà il quadro di riferimento generale per la definizione delle

differenti situazioni di progetto: queste, con un termine più ampio, sono organizzate per scenari di

contingenza.

In ogni caso, tenendo conto delle specificità delle singole azioni, si deve adottare una progettazione

strutturale orientata all’intero sistema resistente, e non solo al dimensionamento ed alle verifiche

dei singoli componenti.

In termini generali, la struttura sviluppa fenomeni dinamici di interazione con l’ambiente che

saranno studiati attraverso i procedimenti di analisi strutturale, assicurando la capacità prestazionale

dell’opera sia in termini di sicurezza e di funzionalità, sia in termini di robustezza.

La contemporaneità e la distribuzione spaziale delle azioni dovranno essere analizzate e variate in

modo idoneo ad esplorare e a giudicare compiutamente la capacità prestazionale della struttura, la

sensibilità dei risultati delle analisi alla disposizione ed all’intensità dei carichi.

Le azioni accidentali servono per valutare la robustezza della struttura, ovvero la capacità della

struttura a rispondere in maniera proporzionale a situazioni eccezionali, che non possono essere

escluse dall’avvenire, ma che non possono neanche essere descritte compiutamente.

In generale, le azioni ambientali e naturali sono tra loro correlate.

Ciascun modello si compone di informazioni, le quali possono essere ordinate logicamente secondo

lo schema seguente:

a) localizzazione del manufatto a livello regionale (macrozonazione);

b) localizzazione del manufatto a livello territoriale (microzonazione);

c) variabilità temporale sul lungo periodo, e, in particolare, frequenza di accadimento o periodo di

ritorno degli eventi, rispetto al periodo di vita di progetto dell’opera;

d) variabilità temporale su intervalli di tempo comparabili con le caratteristiche dinamiche del

manufatto;

e) capacità di interagire con il manufatto nel suo complesso;

f) capacità di interagire con parti critiche del manufatto.

28

4.2.1 Calcolo dell’azione del vento

Il vento esercita sulle costruzioni azioni dirette che variano nel tempo e nello spazio provocando in

generale effetti dinamici. Per particolari configurazioni strutturali, specialmente strutture flessibili,

possono inoltre essere presenti fenomeni d’interazione fra la risposta strutturale e le azioni

aerodinamiche all’azione del vento.

Per configurazioni e tipologie ordinarie, semplici e di limitata estensione ( anche fino a 200 metri di

altezza o di lunghezza), ovvero poco sensibili all’azione dinamica dell’azione del vento, il D.M.

14/09/05 propone la “formulazione quasi - statica equivalente” che considera la direzione del vento

orizzontale e descrive le azioni indotte dal vento mediante sistemi di forze o di pressioni i cui effetti

sono equivalenti a quelli del vento turbolento.

Sulla base della “formulazione quasi - statica equivalente” nel calcolo dell’azione del vento

intervengono :

- Parametri che caratterizzano il sito dell’opera;

- Parametri che caratterizzano la tipologia strutturale dell’edificio;

- Parametri che caratterizzano l’opera specifica.

Di seguito si riporta il calcolo svolto per la determinazione dell’azione aerodinamica sull’edificio in

esame, calcolo che è stato svolto in conformità allo schema sottostante proposto dalla Norma

(Grafico 4.1) in base alle conoscenze seguenti:

Dati del problema:

- periodo di ritorno di 500 anni (Tr = 500 anni);

- zona urbana pianeggiante di classe B;

- si trova a 20 m sul livello del mare e a più di 30Km da esso;

- la superficie della copertura è liscia.

1) Determinazione della zona (macrozonazione):

Il valore della velocità di riferimento (vref), che rappresenta il max valore della velocità media su un

intervallo di 10 minuti del vento, misurata a 10 m dal suolo su un sito di II categoria per Tr = 50

anni, è pari a :

Vref = Vref,0 = 27 m/s

secondo la Tabella 3.3.I delle NTC 2005(Tabella 4.2) in quanto per la zona 3 (quella che

comprende il Lazio) a0 è 500 m, per cui il valore dell’altitudine sul livello del mare as = 20 m

s.l.m.< a0.

29

Fig.4.2: da Tabella3.3.I – Parametri di macrozonazione per il vento

2) a. Definizione del periodo di ritorno

Per le costruzione di Classe 1 e 2 si considerano Tr di 500 e 1000 anni rispettivamente

b. Adeguamento della velocità di riferimento

= 1.122 * 27 m/s =30.294 m/s

ove

3) Microzonazione

a. Classe di rugosità

Fig.4.3

b. Categoria di esposizione

Fig.4.4

30

c. Coefficiente di topografia (ct) : per edifici in pianura è posto pari a 1.

d. Coefficiente di esposizione (cev) :

4) Definizione della velocità di picco

Per altezze dal suolo non superiori a 200 m, si definiscono le seguenti velocità significative:

- Velocità media :

=

- Velocità di picco:

Si ricavano dalla tabelle 3.3.III e 3.3.IV (Tab. 4.3 e 4.4) e dalla figura 3.3.4 i coefficienti utili a

calcolare le velocità sopraesposte.

5) Definizione della pressione cinetica di picco q:

vP 2 = 455.63 N/m2

6) Caratterizzazione della struttura e delle azioni: Edifici a pianta rettangolare

Azioni statiche equivalenti

Considerando di regola, come direzione del vento, quella corrispondente ad uno degli assi principali

della pianta della costruzione alla volta, l’azione di insieme esercitata dal vento su una costruzione è

data dalla risultante delle azioni sui singoli elementi.

31

Il calcolo delle azioni statiche equivalenti si basa sulle determinazione dei parametri sotto elencati

oltre che in funzione della tipologia strutturale; nello specifico sono richiesti per edifici a base

rettangolare, come nel nostro caso i coefficienti di pressione interna ed esterna .

Le azioni statiche del vento si traducono in pressioni (positive) e depressioni (negative) agenti

normalmente alle superfici sia esterne che interne, degli elementi che compongono la costruzione.

Indicando con

- cd è il coefficiente dinamico

- cpe è il coefficiente di pressione esterna

- cpi è il coefficiente di pressione interna

le pressioni esterne ed interne sono definite rispettivamente come:

- ove q è la pressione cinetica di picco valutata nei seguenti modi:

- Per le pareti sopravento :

- Per le pareti sottovento :

con h* pari alla quota altimetrica del baricentro della copertura della costruzione.

Su un generico edificio prismatico con base rettangolare, il vento genera azioni di pressione sulla

parete verticale sopravento e depressioni sulle restanti facce. La variazione delle pressioni sulle

pareti sopravento ha natura logaritmica, mentre sulle altre facce il profilo delle depressioni è

uniforme. La configurazione delle pressioni sulle facce verticali all’edificio è rappresentata a titolo

esemplificativo nella Figura 4.1. In generale i coefficienti di pressione dipendono dal rapporto L/B

tra le dimensioni planimetriche dell’edificio. Per edifici a pianta rettangolare il cui rapporto tra le

dimensioni è compreso tra 1/3 e 3 si possono assumere i seguenti coefficienti di pressione esterna:

- Per elementi sopravento con inclinazione sull’orizzontale maggiore di 60° cpe =+0,8

- Per elementi sopravento con inclinazione sull’orizzontale 0°< α < 20° , e per gli elementi

sottovento e paralleli al vento cpe = - 0.4

32

Fig. 4.5: Distribuzione delle pressioni sull’ Fig. 4.6: Valori del coefficiente dinamico

edificio in pianta ed andamento con la quota degli edifici a struttura in acciaio

su una delle pareti dell’edificio

Il coefficiente dinamico tiene in conto gli effetti riduttivi associati alla non contemporaneità delle

massime pressioni locali e gli effetti dovuti alle vibrazioni strutturali. Per le strutture in acciaio i

valori del coefficiente dinamico sono ricavabili dal grafico riportato in Figura 4.6, in funzione del

lato di base e dell’altezza dell’edificio.

33

Seguendo le disposizioni citate si riporta nei grafici seguenti rispettivamente la distribuzione della

pressione esterna sia per la zona sopravvento che per quella sottovento.

Z [m] ce(z) p+(KN/m^2) p-(KN/m^2) p tg (KN/m^2)

0 1.6342 0.7446 -0.5834 0.0074 4 1.6342 0.7446 -0.5834 0.0074

7.3 1.6342 0.7446 -0.5834 0.0074 10.6 1.8228 0.8305 -0.5834 0.0083 13.9 2.0117 0.9166 -0.5834 0.0092 17.2 2.1652 0.9865 -0.5834 0.0099 20.5 2.2949 1.0456 -0.5834 0.0105 23.8 2.4076 1.0970 -0.5834 0.0110 27.1 2.5074 1.1424 -0.5834 0.0114 30.4 2.5971 1.1833 -0.5834 0.0118 33.7 2.6786 1.2204 -0.5834 0.0122 37 2.7534 1.2545 -0.5834 0.0125

40.3 2.8225 1.2860 -0.5834 0.0129 43.6 2.8868 1.3153 -0.5834 0.0132 46.9 2.9469 1.3427 -0.5834 0.0134 50.2 3.0034 1.3684 -0.5834 0.0137 53.5 3.0567 1.3927 -0.5834 0.0139 56.8 3.1072 1.4157 -0.5834 0.0142 60.1 3.1552 1.4376 -0.5834 0.0144 63.4 3.2009 1.4584 -0.5834 0.0146

34

4.2.2 Calcolo carico da neve

Il carico provocato dalla neve sulle coperture è stato valutato mediante la seguente espressione:

q s = µi ·qsk ·CE ·Ct = 0.48 KN/m2

dove:

q sk è il valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo [KN/m2] :

Essendo, il sito previsto per l’edificio, nel Lazio, a Roma, a 20 m s.l.m., quindi per il calcolo uso il

valore valido per la Zona III e per as 200 m slm.

Fig.4.7: Zone di carico da neve

CE =1.0 è il coefficiente di esposizione;

Ct =1.0 è il coefficiente termico ( come prescritto al §3.4.4 NTC 2008)

µi = 0.8 è il coefficiente di forma della copertura;

35

Si ipotizza che il carico agisca in direzione verticale e lo si applica in copertura come carico

uniforme sulle shells, con cui sono stati modellati i solai, nella direzione gravitazionale.

Si è considerato un carico da neve valutato, a favore di sicurezza, in modo approssimato per

eccesso, pari ad 0.5 KN/m2.

4.2.3 Calcolo dell’ azione sismica

Si riporta il calcolo dell’azione sismica secondo le modalità previste dalle nuove norme tecniche

(D.M. 14/01/2008). Si considera un edificio destinato a uffici non aperti al pubblico sito in Roma,

avente le seguenti caratteristiche:

- Vita nominale della costruzione (Vn): 50 anni

- Classe d’uso della costruzione: II (seconda).

- Categoria di sottosuolo: C

- Categoria topografica: T1 (superficie pianeggiante).

36

L’azione sismica di progetto consiste nel ricavare i spettri elastici di risposta, che consentono di

ottenere il valore dell’accelerazione a cui è sottoposta la struttura in funzione del periodo proprio di

vibrazione. Tali spettri sono specifici del luogo in cui sorge la costruzione (macrozonazione), delle

caratteristiche topografiche e del sottosuolo (microzonazione) nonché dello stato limite ultimo

considerato.

Per la determinazione degli spettri di risposta necessari per l’analisi sismica è stato utilizzato un

semplice file informatico allegato alle Norme Tecniche, il quale ricalca il procedimento definito

appunto in esse richiedendo l’immissione dei vari parametri specifici del progetto in esame.

Si riportano di seguito i vari passi seguiti nella suddetta procedura:

37

La nuova normativa italiana (D.M. 14/01/2008) prevede, per l’azione sismica, l’adozione di quattro

stati limite, due per le condizioni di esercizio e due per quelle ultime.

In particolare si ha:

Stato limite di esercizio:

• Stato limite di operatività (SLO).

• Stato limite di danno (SLD).

Stato limite ultimo:

• Stato limite di salvaguardia della vita (SLV).

• Stato limite di collasso (SLC).

Per ogni stato limite, la normativa prevede una determinata probabilità di superamento (PRV) nel

corso del periodo di riferimento della struttura (VR), secondo quanto riportato nella tabella

seguente.

38

Ai fini della normativa considerata le forme spettrali sono definite, per ogni stato limite, a partire

dai valori dei seguenti parametri su sito di riferimento rigido orizzontale:

ag : accelerazione orizzontale massima al sito.

F0: valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione orizzontale.

T*c: periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione orizzontale.

La normativa fornisce i valori dei tre parametri in funzione della sismicità del sito dove sorge la

costruzione e per nove periodi di ritorno “notevoli”, che sono pari a: 30, 50 72, 101, 140, 201, 475,

975 e 2475 anni.

I valori dei parametri da considerare nei calcoli variano a seconda del periodo di ritorno considerato

che, a sua volta, varia a seconda dello stato limite e della vita nominale della costruzione

Gli spettri di risposta caratteristici del sito considerato ,utilizzati per la determinazione delle

sollecitazioni dovute al sisma sono ricavati nella terza e ultima fase di calcolo degli stessi seguito

riportata:

Fig.4.8: Spettro di risposta SLD

39

Fig. 4.9: Spettro di risposta SLV

4.2.4 Combinazione della Azioni

Per quanto concerne le combinazioni di carico con i carichi verticali la normativa specifica che

questa debba essere effettuata, per lo stato limite ultimo e lo stato limite di esercizio, secondo la

formula specifica:

-Combinazione fondamentale, generalmente impiegata per gli stati limite ultimi (SLU):

-Combinazione frequente, generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE) reversibili:

Inoltre si è usata anche la combinazione sismica, impiegata per gli stati limite ultimi e di esercizio

connessi all’azione sismica E:

40

dove:

KG rappresenta il valore caratteristico della azione permanente (peso proprio, carichi permanenti

portati, precompressione, ecc);

KQ rappresenta il valore caratteristico dell'azione variabile;

KP rappresenta il valore caratteristico della deformazione impressa (effetto della temperatura,

deformazione del terreno, viscosità, ritiro, etc.);

E rappresenta l’azione sismica per lo stato limite considerato e per la classe di importanza in

esame; Eγ , Gγ , Qγ , Pγ sono i coefficienti parziali e 2iψ sono i coefficienti di combinazione delle

azioni variabili.

Figura 13: Coefficienti parziali per le azioni o per l'effetto delle azioni nelle verifiche SLU

Figura 14: Valori dei coefficienti di combinazione

41

4.3 PIANO ANTINCENDIO o di EVACUAZIONE

Piano Antincendio e di Evacuazione è stato redatto nel rispetto delle limitazioni previste dal Dm

22/02/2006.

Le Misure per l'evacuazione in caso di emergenza rispettate sono:

2. Classificazione:

1. In relazione al numero di presenze gli uffici sono classificabili come edifici di:

- tipo 5 : con oltre 1000 presenze.

3. Ubicazione.

3.1. Gli edifici destinati ad uffici devono essere ubicati nel rispetto delle distanze di

sicurezza,stabilite dalle disposizioni vigenti, da altre attività che comportino rischi di esplosione o

incendio.

3.2. Gli uffici sono stati ubicati:

a) in edifici isolati.

3.2. Accesso all'area.

1. Per consentire l'intervento dei mezzi di soccorso dei Vigili del fuoco, gli accessi alle aree dove

sono ubicati gli uffici rispettano i seguenti requisiti minimi:

- larghezza: 3,50 m;

- altezza libera: 4 m;

- raggio di volta: 13 m;

- pendenza: non superiore al 10%;

- resistenza al carico: almeno 20 tonnellate (8 sull'asse anteriore, 12 sull'asse posteriore, passo

4 m).

2. Per gli uffici ubicati nell’ edificio ad altezza antincendio superiore a 12 m, è assicurata la

possibilità di accostamento all'edificio delle autoscale dei Vigili del fuoco, almeno ad una qualsiasi

finestra o balcone di ogni piano, purchè ciò consenta di raggiungere tutti i locali di piano tramite

percorsi interni al piano.

4. Separazioni - Comunicazioni.

1. Salvo quanto disposto nelle specifiche disposizioni di prevenzione incendi, gli uffici di cui al

presente titolo:

a) La lunghezza del percorso per raggiungere l’uscita di piano più vicina non è superiore a 30

per raggiungere la scala protette e 45m per raggiungere un luogo sicuro dinamico;

b) Per percorsi di uscita in un’unica direzione la distanza dall’uscita non è maggiore di 30 m;

c) Le porte delle uscite di sicurezza si aprono nel senso dell'esodo a semplice spinta senza

ostruire passaggi, corridoi e pianerottoli.

42

d) La scala è compartimentata ed è dotata di porte resistenti al fuoco munite di dispositivo di

auto chiusura ;

e) La larghezza delle uscite di piano calcolata con la seguente relazione :

ove A è il numero di persone presenti per piano

f) La larghezza della scala è calcola come segue:

ove A* è il numero di persone presenti in due piani contigui

g) Avendo l’edificio in questione un’altezza superiore a 24 m dovrebbero essere disponibile

due o più scale tuttavia si è fatto riferimento a misure di sicurezza alternative nel rispetto dei

requisiti architettonici e urbanistici realizzando ulteriori uscite di piano ( per il piano terra )

e l’installazione di un sistema automatico di rivelazione ed allarme antincendio per ridurre i

tempi di evacuazione.

5. Caratteristiche costruttive.

5.1. Resistenza al fuoco.

1. Le strutture ed i sistemi di compartimentazione garantiscono i requisiti di resistenza al fuoco R e

REI/EI secondo quanto riportato:

- piani interrati: R e REI/EI 90;

- edifici di altezza antincendi oltre 54 m: R e REI/EI 120.

4. I requisiti di resistenza al fuoco dei singoli elementi strutturali e di compartimentazione nonchè

delle porte e degli altri elementi di chiusura, devono essere valutati ed attestati in conformità al

decreto del Ministro dell'interno 4 maggio 1998 (Gazzetta Ufficiale n. 104 del 7 maggio 1998).

10.1. Estintori.

43

1. Gli uffici sono dotati di estintori portatili conformi alla normativa vigente : tipo 21A-113B

ubicati in posizione facilmente accessibile e visibile, distribuiti in modo uniforme nell'area da

proteggere, a tal fine e' consigliabile che gli estintori siano ubicati lungo le vie di esodo ed in

prossimità delle aree e impianti a rischio specifico.

Si riportano sotto i piani di evacuazione in caso di incendio con le indicazioni relative alla direzione

delle vie di fuga e alla posizione degli estintori.

44

Capitolo 5


_top#_topPREDIMENSIONAMENTO degli ELEMENTI

STRURRURALI

5.1. Solaio

In funzione delle schema statico adottato, ovvero trave appoggiata a tre campate di luce 2 metri, si

sono calcolate le reazioni e i momenti flettenti in base ai quali si è scelto lo spessore della lamiera

(SOLAC 55 ) e della soletta (s = 4,5 cm per solaio di piano e s = 3,5 cm per solaio di copertura) che

soddisfa la verifica di resistenza (SLU) e di deformabilità (SLE).

Di seguito si riportano i valori calcolati e le caratteristiche geometriche e statiche riportate nelle

scheda tecnica del solaio scelto

5.1.1 Solaio di piano :

45

5.1.2 Solaio di copertura:

48

5.2. Trave secondaria

5.2.1 Trave secondaria di piano :

Si sono eseguiti due predimensionamenti, rispettivamente per travi secondarie di lunghezza 6 m

(luce maggiore) e per travi lunghe 5 metri (luce predominante nella pianta dell’edificio). Di seguito

si riportano i calcoli eseguiti con l’ausilio di un foglio di calcolo excel opportunamente organizzato:

• Trave di luce L = 6 m → partiamo da h = L/25 = 240 mm

49


50

5.2.1 Trave secondaria di copertura :


51


52

5.3. Trave principale

Considerando le reazioni provenienti dalla trave secondaria predimensionata precedentemente

avente luce rispettivamente di 6 m e 5 m e che soddisfa le verifiche di resistenza, taglio e

spostamenti si è potuto procedere con il predimensionamento della trave principale di luce 6 m per

il piano tipo e per la copertura.

5.3.1 Trave principale di piano :

• Trave di luce L = 6 m su cui scarica la trave secondaria di luce anch’essa 6 m

54

• Trave di luce L = 6 m su cui scarica la trave secondaria di luce 5 m

55

5.3.2 Trave principale di copertura :

• Trave di luce L = 6 m su cui scarica la trave secondaria di luce anch’essa 6 m

57

• Trave di luce L = 6 m su cui scarica la trave secondaria di luce 5 m

58

5.4. Colonne

Le colonne sono state predimensionate per carichi verticali , individuando dei gruppi di colonne

aventi area d’influenza simile e procedendo con un lavoro di sintesi per rendere quanto più possibile

omogenei i profilati di HE impiegati nella prima fase dell’analisi strutturale.

Di seguito si riportano i calcoli eseguiti con l’ausilio di un foglio di calcolo excel opportunamente

organizzato:

63

In seguito alla modellazione della stuttura realizzato con il programma di

calcolo Sap2000 le colonne così predimensionate verranno verificate

anche per carichi orizzonatli quali vento e sisma per cui i profili HE

saranno rivisionati e quasi sicuamente modificati al fine di adottare

elementi più resistenti.

64

5.5. Struttura di Fondazione

Viste le dimensioni in pianta e in elevazione dell’edificio, vista l’entità delle azioni agenti su di

esso, si è deciso di utilizzare una fondazione mista del tipo platea su pali. I pali di fondazione

verranno collocati al di sotto di ogni colonna; in questo modo la platea svolgerà un ruolo

prevalentemente irrigidente, in maniera da evitare cedimenti differenziali tra le colonne,mentre i

carichi saranno trasmessi al terreno attraverso i pali.

Il terreno di fondazione è costituito da un primo strato di sabbia sciolta avente estensione 20 m; lo

strato successivo, che consideriamo infinitamente esteso in altezza, è costituito da ghiaia addensata.

Si riportano di seguito i parametri geotecnici essenziali al calcolo della capacità portante del

terreno:

- Sabbia sciolta : γ = 18 kN/mc

c’ = 0

φ’ = 37°

υ’ = 0.3

E’= 20/50 MPa

- Ghiaia Addensata : γ = 20 kN/mc

c’ = 0

φ’ = 37°

υ’ = 0.3

E’= 200 MPa

Con riferimento alla normativa tecnia D.M. 14 gennaio 2008 bisogna verificare la

fondazione secondo l’approccio:

SLU: Approccio 2 --- A1 + M1 + R3 i cui valori vengono riportati di seguito:

65

Il valore dell’azione Ed si valuta in maniera approssimata considerando le reazioni alla base della

strutture, trascurando sia l’eccentricità sia l’inclinazione del carico agente.

Inoltre si considera un incidenza del peso delle fondazioni pari al 5% del peso totale.

Si procede all’analisi considerando i pali posizionati in corrispondenza di ogni colonna; risulteranno

pertanto 36 pali.

La distanza tra le colonne fa si che vengano rispettate le indicazioni presenti in letteratura sugli

interassi tra i pali, che risulteranno pertanto in ogni caso maggiori di tre diametri.

Per rispettare anche il franco dal bordo della platea si procede ad una estensione della stessa pari ad

1.5 m al di fuori dell’ingombro dell’edificio in pianta.

Si considerano pali trivellati di diametro d= 800mm.

66

Per quanto riguarda la platea di fondazione si tiene conte dei criteri di progettazione:

hs > i/8 “dimensionamento a flessione” ( i = interasse tra i pali).

hs > i/2 “dimensionamento a zattera rigida”

Si sceglie uno spessore costante hs = 2.50 m ed una dimensione in pianta di forma rettangolare

avente dimensioni 20m x 60 m.

- Capacità del palo singolo.

Qlim = Q’lim + U

Q’lim = Q’ls + Q’lb

Ub = ub A

Q’ls = = 5227.61 kN

Q’lb = ( = 1811.00 kN

Nel calcolo della capacità portante del singolo palo si è tenuto conto dell’effetto silo presente nei

pali di grande diametro.

In un terreno incoerente si può trascurare l’effetto gruppo, pertanto la capacità portante della

palificata risulterà pari a

Qlim G = np Qlim η = 36 (5227.61 + 1811.00) = 253368 kN

Il carico agente sulla fondazione è pari a 85000kN.

Pertanto si ha che :

= = 0.33 << 1.

67

Capitolo 6


_top#_topMODELLAZIONE

6.1. Introduzione

In questo capitolo rivolto alla modellazione strutturale adottata per l’edificio oggetto di studio

descritto nel capitolo precedente, si vogliono riassumere le scelte implementate nel codice di

calcolo SAP 2000 v.11.

Vista la tipologia di struttura, è noto come sia necessaria una modellazione accurata dei parametri

che caratterizzano la risposta strutturale, quale ad esempio la rigidezza e la massa. Questo

comunque comporta un incremento dell’onere computazionale in input e successivamente in output

che non risulta trascurabile ai fini della redazione del lavoro svolto.

Di seguito verranno descritte le modellazioni adottate per i vari elementi strutturali costituenti la

struttura, come il solaio, le travi, gli elementi verticali e le fondazioni.

6.2. Materiale

Gli elementi strutturali modellati sono in acciaio S355, quindi prima di illustrare nello specifico la

modellazione è bene definire il materiale di cui è costituita la nostra strutturale le cui proprietà

fisiche e meccaniche necessarie per l’analisi sono definite al punto 11.3.4.1 di seguito riportato:

Quindi bisogna specificare tali caratteristiche nel codice di calcolo; questo si effettua attraverso il

comando seguente:

68

Fig. 6.1: Definizione del materiale acciaio

69

6.3. Solaio

L’obiettivo della modellazione consiste nella realizzazione di un modello locale di calcolo in

SAP2000 caratterizzato da una maggiore accuratezza rispetto alla modellazione conseguita per

l’intera struttura, per poter verificare che la frequenza di vibrazione in condizioni di esercizio rientri

nei limiti imposti dalle norme tecniche.

Difatti la normativa tecnica delle costruzioni del 2008 stabilisce quanto segue:

Dunque il valore di riferimento da considerare nelle verifiche è una frequenza di vibrazione pari a

3Hz.

Il modello è stato realizzato modellando le travi e le colonne dell’impalcato con elementi “frame”

collegate tra loro attraverso delle cerniere.

Queste ultime sono state modellate per metà altezza superiormente ed inferiormente all’impalcato,

ed incernierate alle estremità. Per le colonne controventate invece la cerniera è stata inserita

direttamente nel nodo dell’impalcato per considerare la maggior rigidezza della zona nodale.

Il solaio è stato modellato con elementi finiti bidimensionali di tipo “shell” collegate alle travi

secondarie mediante dei braccetti rigidi di lunghezza pari alla distanza tra il piano medio della

soletta in c.a. e il baricentro delle travi.

Per considerare l’ortotropia dovuta alla presenza delle nervature del solaio,alle shell è stato

assegnato il solo spessore della soletta in c.a. e sono state adeguatamente modificate le rigidezze

nelle direzioni principali con il comando illustrato di seguito:

70

Fig. 6.2: Parametri per la modificazione di rigidezza del solaio

Le modifiche effettuate sono giustificate in base a quanto segue:

CALCOLO DELLA RIGIDEZZA FLESSIONALE DELLA SOLETTA (spessore=4,5 cm):

riferendosi ad una striscia di 1 m

CALCOLO DELLA RIGIDEZZA FLESSIONALE DELLA SOLAIO SOLAC 55:

Riferendosi ad una striscia di 1 m

Coefficiente per la modifica della rigidezza:

Le masse sono state assegnate al modello in modo che il programma le calcoli automaticamente

dagli elementi strutturali e dai carichi applicati.

71

I carichi agenti sono rappresentati dai carichi variabili antropici, e dai carichi permanenti al netto

del peso della soletta.

Per consentire tale operazione si agisce sul comando illustrato nella pagina seguente:

Fig. 6.3: Definizione delle masse del solaio

La figura riportata di seguito illustra il modello agli elementi finiti realizzato per lo studio del

comportamento dinamico del solaio con il programma SAP2000:

72

Fig. 6.4: Modello di calcolo del solaio

I risultati dell’analisi modale sul modello precedentemente illustrato sono i seguenti:

Fig. 6.5: Periodi e frequenze del solaio

Come si può notare dai risultati la frequenza più bassa relativa al primo modo di vibrare è pari a

7,14 Hz che risulta essere molto maggiore rispetto al limite imposto dalla norma di 3 Hz.

Infine sono illustrati i modi di vibrare del solaio:

73

Fig. 6.6: Primo modo di vibrare

Fig. 6.7: Secondo modo di vibrare

74

Fig. 6.8: Terzo modo di vibrare

Fig. 6.9: Quarto modo di vibrare

75

Fig. 6.10: Quinto modo di vibrare

Fig. 6.11: Sesto modo di vibrare

76

Fig. 6.12: Settimo modo di vibrare

Fig. 6.13: Ottavo modo di vibrare

77

Fig. 6.14: Nono modo di vibrare

Fig. 6.15: Decimo modo di vibrare

78

Fig. 6.16: Undicesimo modo di vibrare

Fig. 6.17: Dodicesimo modo di vibrare

79

6.4 . Travi, Colonne e Controventi

L’elemento usato per modellare il comportamento di travi, colonne e controventi nelle strutture

piane e tridimensionali è l’elemento Frame. Esso è rappresentato da una linea retta che congiunge

due punti, i e j (nodi), ognuno dei quali ha sei gradi di libertà (3 traslazioni e 3 rotazioni). Ciascun

elemento ha il proprio sistema di coordinate locale per la definizione delle proprietà della sezione e

dei carichi e per l’interpretazione dei risultati. Gli assi di questo sistema locale sono indicati con i

numeri 1, 2 e 3; il primo asse è diretto lungo l’elemento, gli altri due giacciono nel piano

perpendicolare all’elemento con orientamento specificato dall’utente (per gli esempi svolti in questo

lavoro si è usato l’orientamento di default e l’angolo delle coordinate dell’elemento Frame).

Una sezione Frame è un insieme di proprietà geometriche e del materiale che descrivono la sezione

trasversale di uno o più elementi. Si è definito, indipendentemente dagli elementi Frame, le sezioni

e successivamente assegnate agli elementi stessi.

Le proprietà del materiale usate dalla sezione sono:

• Il modulo di elasticità, per la rigidezza assiale e la rigidezza flessionale

• Il modulo di taglio, per la rigidezza torsionale e la rigidezza a taglio trasversale (questo è

calcolato dal modulo di elasticità e dal coefficiente di Poisson)

• La densità di massa (per unità di volume), per calcolare la massa dell’elemento

• La densità di peso (peso specifico), per calcolare il carico dovuto al peso proprio insieme a

queste proprietà del materiale, sono usate, per generare le rigidezze della sezione, sei

proprietà geometriche di base:

• L’area della sezione trasversale

• Il momento d’inerzia intorno all’asse 3 per flessioni nel piano 1-2

• Il momento d’inerzia intorno all’asse 2 per flessioni nel piano 1-3

• La costante torsionale

• L’area di taglio per il taglio nel piano1-2

• L’area di taglio per il taglio nel piano 1-3.

Queste sei proprietà geometriche di sezione vengono calcolate automaticamente dalle dimensioni

specificate per i semplici profili messi a disposizione dal programma stesso ( sezione rettangolare,

sezione a T, sezione ad L…) come illustrato nell’immagine seguente relativa a uno dei profili

utilizzati.

80

Fig. 6.18: Definizione della Sezione

Fig. 6.19: Proprietà della sezione

81

I nodi (joints) rivestono un ruolo fondamentale nell’analisi di una struttura. Essi sono i punti di

congiunzione fra gli elementi e costituiscono le posizioni geometriche primarie nella struttura, di

cui si conoscono o si devono determinare gli spostamenti. La deformazione del modello strutturale

è governata dagli spostamenti dei nodi. Se lo spostamento di un nodo lungo uno dei suoi gradi di

libertà ha un valore noto, sia esso zero o diverso da zero, a quel grado di libertà deve essere

applicato un vincolo esterno (Restraint).

L’analisi statica della struttura comprende la soluzione del sistema di equazioni lineari

rappresentato da: K · u = r

dove K è la matrice di rigidezza, r è il vettore dei carichi applicati e u è il vettore degli spostamenti

risultanti. Per ciascuna condizione di carico definita dall’utente, il programma crea

automaticamente il vettore dei carichi r e risolve per il vettore degli spostamenti statici u.

Le travi presenti nel generico piano considerato sono state modellate con elementi finiti frame,

monodimensionali, che in figura 6.19 sono riportati di colore diverso a seconda del profilo

assegnato. I frame di colore verde sono le travi principali aventi sezione HEB300e le travi di bordo,

quelli in magenta rappresentano le travi secondarie di sezione HEB200 e i controventi orizzontali di

profili 2L120x60x8 sono di colore giallo nel modello strutturale.

Fig. 6.20: Modellazione della pianta di piano tipo

La discretizzazione di tali elementi è dettata da quella degli elementi shell su di essi convergenti.

Per poter realizzare il nodo di cerniera alle due estremità della trave è necessario inserire alle parti

estreme dei rilasci ovvero dei meccanismi che non reagiscano a momento cioè una vera e propria

cerniera, per cui sono stati inibiti tutti i momenti flettenti e il momento torcente. Dato che, in

seguito alle schema statico adottato non vi è la presenza di momenti all’estremità non si è inserito

alcun fattore di rigidezza, infatti come si vede nella figura successiva (Fig.6.20) le rigidezze, sia

iniziali che finali, sono nulle.

82

Fig. 6.21: Assegnazione vincoli interni

Fig. 6.22: Visualizzazione dei vicoli interni assegnati alle travi della pianta di piano tipo

Le condizioni di vincolo esterne sono di cerniera alla base delle colonne; questa assegnazione viene

eseguita con il comando di seguito illustrato:

Figura 6.23: Assegnazione vincoli esterni

83

in cui si assegnano dei restraints, ossia si impediscono le traslazioni del punto vincolato ma non le

rotazioni. A questo punto la geometria e le condizioni vincolari sono definite; si riporta di seguito il

modello così definito:

84

Figura 6.24: Modello 3D

6.5. Assegnazione dei carichi e Definizione delle combinazioni di carico

Bisogna ora assegnare le azioni definite nella fase di analisi dei carichi. Per quanto riguarda i

carichi verticali distribuiti, variabili e permanenti, vengono assegnati come distribuiti su una serie

di elementi shell che hanno il solo ruolo di ripartire tali carichi sulle travi secondarie sulle quali si

appoggiano; si riporta il particolare di questo sistema di ripartizione dei carichi verticali:

85

Figura 6.25: Carichi verticali uniformemente distribuiti sulle shell

I carichi da vento vengono applicati come forze concentrate in corrispondenza dei nodi fra travi e

colonne ovviamente appartenenti alle facciate esterne; questa modellazione è giustificata da una

riduzione dell’onere computazionale del modello di calcolo nonostante sia stato scelto il

rivestimento delle pareti esterne con vetrate a facciata continua, quindi realizzate con telai in

alluminio collegati alle colonne e alla travi, su cui quindi agirebbe di fatto l’azione del vento.

Si hanno quindi sistemi di forze che riproducono l’azione del vento, calcolata come nel paragrafo

rispettivo, in entrambe le direzioni, in ogni senso e per pareti sopravvento e sottovento. L’azione

tangente del vento pur se irrisoria è stata modellata anch’essa come forza applicata ai nodi agente

nella direzione considerata.

Si riporta di seguito il sistema di forze applicate sul modello al fine di riprodurre l’ azione del vento

in direzione X+ e Y+:

86

Figura 6.26: Azione del vento in direzione X positiva

87

Figura 6.27: Azione del vento in direzione Y positiva

88

Nella Figura che segue si riporta ad esempio il carico da vento applicato a un nodo appartenente a

una colonna di bordo su cui agisce il vento in direzione X, Y e anche il vento tangente in X e Y.

L’azione sismica viene assegnata al modello definendo lo spettro di risposta relativo allo stato

limite considerato; si definisce quindi un caso di carico tipo response spectrum e si inseriscono i

dati dello spettro definiti nell’analisi dei carichi:

89

Figura 6.28: Spettro di risposta SLV

Dopodiché si specifica la direzione di applicazione dell’azione sismica nonché il metodo di

combinazione delle risposte modali (in questo caso CQC) come di seguito:

Figura 6.29: Combinazione delle risposte modali (CQC)

90

Per quanto riguarda le masse necessarie nell’analisi modale (come illustrato nello studio del solaio

tipo) vengono derivate dagli elementi strutturali modellati e dai carichi gravitazionali applicati

ridotti del corrispondenti coefficiente (ψ = 0.30) di combinazione. Il codice di calcolo determina

automaticamente le masse traslazionali e rotazionali corrispondenti. Il comando per eseguire tale

operazione è mass source e la sua schermata di comando viene riportata di seguito:

Figura 6.29: Definizione delle masse

Sono state definite anche le combinazioni di carico che combinano l’effetto dei singoli casi di

carico, per gli stati limite ultimi e per gli stati limite di esercizio, tenendo conto delle probabilità di

contemporaneità di essi. Tali combinazioni e i relativi coefficienti sono definiti nel capitolo 4.2.4

COMBINAZIONE DELLE AZIONI riportato nella sezione dell’analisi dei carichi.

Per ottenere la risposta strutturale più gravosa al fine di verificare ciascun elemento strutturale, si

sono ottenute 17 combinazioni,relative allo stato limite ultimo, esercizio e sismica, definite nel

codice di calcolo come di seguito:

91

Figura 6.30: Definizione delle combinazioni di carico

Si riporta di seguito una delle combinazioni di carico definite per poter mostrare nello specifico

alcuni dei coefficienti correttivi adottati in fase di modellazione nel rispetto della normativa.

Figura 6.31: Definizione di una combinazione di carico

92

6.6. Modellazione delle fondazioni

Gli elementi da modellare che costituiscono la struttura di fondazione sono sostanzialmente tre:

platea, pali e terreno.

La platea è stata modellata con elementi bidimensionali di tipo shell disegnate nel piano medio

della stessa e collegata agli elementi adiacenti, colonne pali e terreno, con dei braccetti rigidi.

Quindi i pali collegati alla platea sono stati modellati con elementi di tipo frame. Per il terreno

invece si sono utilizzati degli elementi solid, ovvero elementi tridimensionali caratterizzati dalle

proprietà del tipo di materiale associato . Nel processo di modellazione della struttura di fondazione

è stata posta molta attenzione alle connessioni fra i vari elementi costituenti ed in particolare alla

posizione dei nodi per rappresentare al meglio il reale comportamento globale.

Di seguito si riportano tutti gli elementi utilizzati per la modellazione definiti nel codice di calcolo.

Il materiale utilizzato è il calcestruzzo di classe C25/30 le cui proprietà sono state implementate nel

programma di calcolo come illustrato nella seguente finestra:

Figura 6.32: Definizione del materiale calcestruzzo

93

6.6.1. Modellazione della platea

Per modellare la platea di fondazione con le shell è stato necessario assegnare ad esse alcune

proprietà tra le quali il materiale (calcestruzzo) e l’altezza pari a 2,5 m ottenuta dal

predimensionamento di tipo geotecnico.

Figura 6.33: Definizione di una combinazione di carico

Per collegare la platea ai pali di fondazione è stato necessario adottare un braccetto rigido

caratterizzato fondamentalmente da un materiale avente un modulo di elasticità molto elevato (E =

2.06*107 ) e massa nulla.

94

Figura 6.34: Definizione di materiale rigido

La sezione è caratterizzata da peso e massa nulli in quanto queste due entità sono già state

conteggiate, e non è necessario definire nessuna sezione ben precisa poichè il braccetto non ha

nessuna funzione strutturale,se non quella di collegare i nodi della platea con i nodi del palo dato

che la shell “comunica” con gli altri elementi attraverso i nodi (vedi figura 6.33).

95

Figura 6.35: Modellazione 3D della platea

6.6.2. Modellazione dei pali

I pali di fondazione sono stati modellati attraverso elementi frame posti in verticale collegati

attraverso i nodi sia alla platea sia al terreno come rappresentato in figura 6.35 . Ai pali, di diametro

800 mm, posizionati in corrispondenza delle colonne, è sono stato assegnato un materiale avente le

caratteristiche del calcestruzzo.

Figura 6.36: Definizione della sezione dei pali

96

Figura 6.37: Vista 3D della modellazione dei pali

6.6.3. Modellazione del terreno

Il terreno, è stato modellato con elementi “solid” ai quali è stato associato un materiale avente lo

stesso modulo edometrico del terreno corrispondente, ovvero sono stati definiti diversi terreni

secondo la stratigrafia reale in modo da modellare il più realisticamente possibile il suolo ed il

sottosuolo. Nella modellazione è costruita da due tipi di terreno e precisamente uno strato iniziale

profondo 20 m composto da sabbia sciolta, un secondo strato composto da ghiaia addensata.

È stato necessario ,per la nostra stratigrafia, avere due materiali aventi un modulo di elasticità pari a

200 Kg/cm2 per la sabbia sciolta e 2000 Kg/cm2 per la ghiaia addensata.

97

Figura 6.38: Definizione delle proprietà del terreno di fondazione

Le caratteristiche del terreno così definite saranno assegnare a due tipi di elementi “solid” con cui è

stato modellato il terreno.

98

Di seguito si riportano le finestre del programma di calcolo in cui di illustra come sono stati definiti

gli elementi tridimensionali:

Figura 6.39: Definizione degli elementi “solid”

Come per la platea anche per il terreno modellato con elementi “solid” la mesh dovrebbe rispettare i

rapporti tra i lati dei parallelepipedi , ma come si può vedere in figura 6.40, tutto ciò è impossibile

99

per i motivi spiegati prima, inoltre avere una mesh troppo fitta potrebbe comportare ad una difficile

lettura dei risultati.

Figura 6.40: Vista 3D della modellazione del terreno di fondazione

6.6.4. Analisi modale

100

Il modello globale così realizzato è il seguente:

Figura 6.41: Vista 3D della modello globale struttura-fondazione

101

Figura 6.42: Vista 3D della modello struttura – fondazione - terreno

Di seguito si riportano i risultati dell’analisi, in particolare la dissipazione delle tensioni nel terreno,

e il confronto tra i primi periodi della struttura a vincoli fissi e quella in presenza del terreno.

102

Figura 6.43: Bulbo delle pressioni in direzione x

Figura 6.44: Bulbo delle pressioni in direzione y

Dai risultati si evince che le tensioni risultano sufficientemente dissipate all’interno dello spessore

del terreno considerato. Infatti le tensioni residue alla base dello strato di terreno risultano inferiori

al 5% rispetto a quelle presenti all’interfaccia tra il palo ed il terreno stesso.

103

I valore delle tensioni nel terreno sono 0.55 N/mm2 all’interfaccia palo terreno e 0.03 N/mm2 nella

parte inferiore.

Le masse, come il modello della struttura, sono le stesse utilizzate con l’ipotesi di vincoli fissi con

l’aggiunta delle masse degli elementi con cui si è modellata la platea e i pali, mentre il terreno è

privo di massa.

Ipotesi Periodo struttura [s] Variazione percentuale [%]

Modello a vincoli fissi 3.06 s 0 %

Modello con terreno 3.1 s 1.3 %

L’ incremento del periodo della struttura con il terreno rispetto a quella a vincoli fissi rientrano nei

limiti che si potevano prevedere, cioè : T1con terr

≈ 1.05 -1.15 T1senza terr

Si riporta di seguito la deformata della struttura del primo modo di vibrare:

Figura 6.45: Primo modo di vibrare struttura con terreno

Capitolo 7

104


_top#_topPROGETTO AUTOMATICO

In seguito alla definizione della geometria della struttura, delle condizioni di vincolo e di carico, si è

proceduto all’analisi strutturale. La fase di progettazione per la definizione ed ottimizzazione delle

sezioni degli elementi strutturali è stata eseguita in automatico con l’ausilio del codice di calcolo

(steel-design). Tale strumento consente di impostare delle limitazioni e dei requisiti legati alla

resistenza e alla deformabilità, in base ai quali viene eseguito il processo di dimensionamento e

verifica da parte del programma. Difatti il codice di calcolo esegue la verifica di resistenza di ogni

elemento strutturale in base alle combinazioni di carico definite, e la verifica di deformabilità

relativa ad alcune combinazioni specifiche.

Le verifiche di resistenza vengono eseguite secondo quanto stabilito dall’Euro Codice 3-1993

riguardante la progettazione delle strutture in acciaio. Si riporta uno stralcio del manuale del codice

di calcolo riguardante le verifiche che si eseguono sugli elementi strutturali:

121

La limitazione della deformabilità della struttura nei confronti degli stati limite di esercizio è

stabilita nella norma tecnica delle costruzioni di riferimento al paragrafo 4.2.4.2.2, caratterizzato

dalla presenza di una tabella nella quale vengono illustrate le limitazioni sugli spostamenti laterali.

La tabella in questione è riportata qui di seguito:

Lo spostamento massimo di riferimento della struttura, in base a quanto stabilito dalla norma, è pari

a . Questa limitazione è risultata essere fortemente vincolante nella fase di

progettazione strutturale.

La limitazione sulla deformabilità viene inserita nel codice di calcolo imponendo lo spostamento

orizzontale massimo in entrambe le direzioni di quattro punti in sommità dell’edificio per l’azione

del vento. Il comando di assegnazione è il “lateral target displacements” riportato di seguito:

122

Figura 7.1: Impostazioni spostamenti orizzontali massimi per la struttura

A questo punto sono stati impostati tutti i criteri progettuali da rispettare per cui si è

proceduti con la progettazione automatica la quale con una serie di iterazioni ha fornito una

soluzione ottimizzata rispettosa di tutti i vincoli imposti.

7.1 Definizione dei gruppi

La definizione dei gruppi degli elementi strutturali ai quali assegnare la medesima sezione è un

processo fondamentale per ottenere un’adeguata ottimizzazione. Difatti tale scelta incide

direttamente sul risultato dell’analisi strutturale automatica, che in caso di errato raggruppamento,

risulta essere sempre rispettosa dei vincoli imposti, delle verifiche di resistenza e deformabilità, ma

porta ad una soluzione caratterizzata da un peso e quindi da un costo maggiore della struttura

rispetto al risultato di una corretta progettazione, per un sovradimensionamento degli elementi

strutturali.

Pertanto i gruppi sono stati definiti in funzione della tipologia degli elementi strutturali e del loro

presumibile tasso di lavoro in modo da avere adeguati coefficienti di utilizzo degli stessi. Le

colonne sono state raggruppate in base alla loro area di influenza e le travi in base alla loro

gerarchia strutturale.

Il risultato di tale processo è stata la definizione di 4 tipologie di colonne e di altrettanti gruppi per il

progetto automatico. Naturalmente si è tenuto conto anche della possibilità di realizzare 3

rastremazioni in conseguenza alla diminuzione di carico assiale nelle parti più alte della struttura, e

il numero di gruppi totali così definito è risultato essere pari a 12.

123

Nel dimensionamento delle travi secondarie si è tenuto conto anche del rispetto della limitazione

alla deformazione verticale delle travi, specificata nel paragrafo della norma 4.2.4.2.1 Spostamenti

verticali di seguito riportato:

124

La scelta è ricaduta su un profilo HEB200 che non è propriamente un profilo da trave, ma tale scelta

si è resa necessaria per consentire di avere un adeguato spazio per il passaggio degli impianti e

conseguentemente garantire l’altezza minima tra pavimento e intradosso della soffitta di 2,70 m.

Si è proceduto seguendo gli stessi criteri con le travi principali caratterizzandole con un profilo

HEB300.

Per quanto riguarda i controventi verticali si è scelto di utilizzare dei profili UPN definendo un

gruppo per ogni piano della struttura. I risultati della progettazione automatica mostrano una

variazione dei profili da UPN100 a UPN220. Mentre un ulteriore gruppo si è definito per i

controventi orizzontali di piano con una tipologia di profili a doppio L. Si riportano di seguito i

comandi utilizzati per la definizione dei gruppi e delle relative autolists:

Figura 7.2: Definizione dei gruppi per lo “steel design”

Figura 7.3: Definizione delle auto-lists

125

Figura 7.3: Selezione delle combinazioni di carico per lo “steel design”

7.2 Considerazioni

La progettazione automatica eseguita con l’ausilio del codice di calcolo consente di evidenziare

come i requisiti di deformabilità della struttura siano molto più vincolanti di quelli relativi alla

resistenza. Infatti eseguendo lo “steel design” senza tener conto delle limitazioni sugli spostamenti

laterali si ottiene una struttura molto più leggera e deformabile pur rispettando le verifiche di

resistenza. Per rientrare nei limiti di deformabilità è stato necessario irrigidire la struttura

maggiorando le dimensioni delle sezioni dei profilati determinando una significativa riduzione del

fattore di utilizzo, e inserendo ulteriori controventi verticali facendo in modo di non interferire con

l’aspetto architettonico definito precedentemente.

126

7.3 Risultati della progettazione automatica e coefficienti di utilizzo

Lo steel frame design del codice di calcolo SAP 2000 si esegue attraverso tali fasi:

• Scelta della normativa di riferimento.

• Definizione e assegnazione ai vari elementi dei gruppi di design.

• Assegnazione delle auto-list di sezioni ai gruppi definiti.

• Effettuare l’analisi con le combinazioni di carico definite.

• Eseguire il design delle sezioni;

Il programma di calcolo determina delle sollecitazioni (a partire da delle sezioni iniziali), e in base a

queste, determina le sezioni finali. Inoltre è possibile ottenere delle informazioni sulle sezioni che

sono state modificate, sulle verifiche di resistenza, e sulle sezioni che non rispettano le verifiche di

resistenza. In quest’ultimo caso è necessario ripetere la procedura ridefinendo le auto-list con

sezioni più grandi.

La gestione del progetto automatico risulta essere molto complessa a causa del fatto che il codice di

calcolo non assegna le stesse sezioni nell’ambito dello stesso gruppo.

Di seguito sono riportate delle tabelle che illustrano le sezioni utilizzate, il numero e la loro

distribuzione nell’ambito della struttura:

130

Naturalmente l’obbiettivo fondamentale è stato quello di ridurre al minimo il numero di sezioni per

facilitare la gestione dell’organizzazione di cantiere e per evitare di progettare troppe giunzioni.

Il peso della struttura considerando i soli elementi strutturali è pari a 1480 t.

Si riporta di seguito una vista estrusa del modello di calcolo implementato nel codice SAP

2000 nella sua configurazione strutturale definitiva:

Figura 7.4: Vista estrusa del modello di calcolo (configurazione definitiva)

I valori dei coefficienti di utilizzo sono sintetizzati nella tabella seguente:

131

Figura 7.5: Andamento del coefficiente di utilizzo

132

I dati sintetizzati e illustrati precedentemente mostrano come i vari elementi strutturali non siano

sfruttati a pieno. Difatti il valore del coefficiente di utilizzo (mediato sulla massa dell’elemento)

risulta essere piuttosto basso. Questo aspetto è strettamente connesso al peso e quindi al costo

dell’opera. Naturalmente l’obbiettivo teorico per ridurre al minimo il costo della struttura sarebbe

quello di sfruttare al massimo le sezioni degli elementi e quindi ottenere dei coefficienti di utilizzo

prossimi ad 1. D’altronde questo risultato non è facilmente raggiungibile nel caso in cui si debba

tener conto per la progettazione dei vincoli sulla deformabilità. Il limite sugli spostamenti laterali

pari a H/500 risulta essere troppo vincolante. Un altro fattore che ostacola il miglior sfruttamento

delle sezioni è la necessità di ridurre al minimo il numero di sezioni tipo dei profilati di acciaio.

7.4 Analisi strutturale

In questo paragrafo vengono riportate delle figure che illustrano lo stato tensionale e deformativo

relativo ad alcune condizioni di carico per mettere in evidenza il comportamento strutturale:

Figura 7.6: Sforzo normale nelle colonne per l’azione del vento in direzione X

133

Figura 7.7: Sforzo normale in un telaio in direzione X per l’azione del vento in direzione X

Figura 7.8: Sforzo normale nelle colonne per l’azione del vento in direzione Y

134

Figura 7.9: Sforzo normale in un telaio in direzione Y per l’azione del vento in direzione Y

Figura 7.10: Sforzo normale in un telaio in direzione Y per l’azione del vento in direzione Y

135

Figura 7.11: Deformazione di un telaio in direzione X per l’azione del vento in direzione X

Figura 7.12: Deformazione di un telaio controventato in direzione Y per l’azione del vento in

direzione Y

136

Figura 7.13: Deformazione di un telaio non controventato in direzione Y per l’azione del vento in

direzione Y

7.4 Analisi modale

Secondo quanto stabilito dalla normativa tecnica delle costruzioni del 14/01/2008 e in particolare al

paragrafo 7.5.5 (Regole di progetto specifiche per strutture con controventi concentrici) affinché la

struttura possa considerarsi dissipativa è necessario che siano rispettate delle relazioni illustrate di

seguito:

138

La struttura è caratterizzata da controventi verticali concentrici a X, e considerando il caso della

campata di luce massima pari a 6 m con altezza interpiano di 3,3 m la snellezza adimensionale delle

diagonali è pari a:

per UPN 100

per UPN 220

In conseguenza a quanto stabilito dalla norma di riferimento la struttura in oggetto nella

configurazione definitiva non può essere considerata una struttura a controventi concentrici

dissipativa. Potrebbe essere possibile intervenire maggiorando le sezioni di alcuni controventi,

affinché la struttura possa rientrare nella categoria delle strutture dissipative. Questo intervento,

comunque, non è necessario dato che i periodi fondamentali della struttura sono tali da collocarsi

nella fase discendente dello spettro di risposta successiva al plateau. Per cui si è scelto di non

modificare alcuna sezione dei controventi sia per non incrementare il peso e quindi il costo

dell’opera, che per la relativa inconsistenza dell’azione sismica rispetto a quella del vento per

strutture di questo tipo.

La scelta effettuata comporta la classificazione della struttura come non dissipativa, con

conseguente adozione di un fattore di struttura pari a 1 (contro un valore di 3,9 per strutture a

controventi concentrici in classe di duttilità bassa), dunque con applicazione di uno spettro di

risposta elastico anche allo stato limite di salvaguardia della vita. Di seguito viene riportato lo

spettro elastico adottato:

140

Vengono ora illustrate le caratteristiche dinamiche della struttura determinate con l’analisi modale:

141

Figura 7.14: Periodi e frequenze della struttura

Figura 7.14: Fattori di partecipazione di massa

142

Figura 7.15: Primo modo di vibrare

Figura 7.16: Primo modo di vibrare: deformazione del telaio

143

Figura 7.17: Secondo modo di vibrare

Figura 7.18: Secondo modo di vibrare:deformazione del telaio

144

Figura 7.19: Terzo modo di vibrare

Figura 7.20: Terzo modo di vibrare:vista dall’alto

145

Figura 7.21: Quarto modo di vibrare

Figura 7.22: Quarto modo di vibrare:deformazione di un telaio

146

Figura 7.23: Quinto modo di vibrare

Figura 7.24: Quinto modo di vibrare:deformazione di un telaio

147

Figura 7.25: Sesto modo di vibrare

Figura 7.26: Sesto modo di vibrare:deformazione di un telaio

Capitolo 8

148

http://www.zonasismica.it/approfondimenti/edificioCDA/cap1-4.htm - _top#_topCOLLEGAMENTI

Lo studio dei collegamenti della struttura è stato eseguito nel rispetto delle prescrizioni al paragrafo

4.2.8 della normativa di riferimento ( NTC2008).

Si sono analizzate tre tipologie di collegamento di seguito si riporta il progetto e la verifica di

ciascuna unione.

8.1. Collegamento Colonna – platea di fondazione

In questo paragrafo viene illustrato lo studio relativo al collegamento colonna – platea di

fondazione.

Il nodo oggetto della modellazione è quello caratterizzato dallo stato di sollecitazione più

interessante, cioè quello maggiormente sollecitato a compressione.

La scelta iniziale è stata quella di realizzare una tipologia di collegamento semplice ma efficace,

caratterizzato da una serie di irrigidimenti posti alla base della colonna, per poi verificare che lo

stesso non induca tensioni troppo elevate nel calcestruzzo per spostamenti assegnati, e che quindi

possa effettivamente essere considerato un vincolo di cerniera in rispetto alla modellazione

strutturale globale.

Di seguito sono riportate delle tabelle che illustrano lo stato di sollecitazione della colonna oggetto

dello studio e del “joint” posto alla sua base per tener conto del contributo del controvento, che

invece non è stato considerato nella modellazione.

Fig. 8.1: Sollecitazioni massime nella colonna P1-15

149

Fig. 8.2: Sollecitazioni massime nel nodo alla base della colonna P1-15

Dai risultati ottenuti dallo “steel-design” della struttura riassunti nelle tabelle precedenti sono state

considerate per la progettazione e modellazione dell’unione uno sforzo di compressione pari a 9400

KN, uno sforzo di trazione di 2300 KN e uno sforzo di taglio di 500 KN.

Il primo passo è rappresentato dal calcolo delle dimensioni geometriche della piastra posta alla base

della colonna avente profilo HE800x444. Tali parametri sono funzione delle dimensioni in pianta

della colonna (842x313mm), e soprattutto in funzione dell’obiettivo di trasmettere alla platea uno

sforzo compatibile con la resistenza del calcestruzzo con la quale essa è realizzata.

Resistenza caratteristica del CLS con classe di resistenza C25/30: fck= 25 N/mm2

Resistenza di design:

(caso di piastra quadrata)

E’ stata scelta una piastra di dimensioni 800x1200 mm

Per garantire la saldabilità della piastra alla colonna e contemporaneamente ottenere un’adeguata

rigidezza della stessa è stato scelto uno spessore di 40 mm, quindi, una dimensione che mediasse tra

quella delle ali della colonna (54mm) e quella dell’anima (30mm).

Successivamente per far fronte al consistente sforzo di trazione è stato deciso di predisporre un

sistema di barre filettate in grado di collegare la piastra di base con dei profili UPN di contrasto

affogati nella platea di calcestruzzo a un metro di profondità.

Calcolo della resistenza a trazione delle barre filettate:

Per barre filettate Ф24 CL.8.8 con Ares=353 mm2 e ftb=800 N/mm2

150

Conseguentemente si è scelto di predisporre 14 barre filettate Ф24 CL.8.8

Per la verifica a taglio è stata calcolata la resistenza a taglio di ogni singola barra filettata:

Il predimensionamento dei profili di contrasto invece è stata frutto di un calcolo approssimato che

vede tali profili come elementi trave con appoggi in corrispondenza delle barre filettate che ha

portato alla scelta di un UPN 120.

Un’ ulteriore difficoltà nella progettazione di questo tipo di nodo è stata la scelta della quantità,

delle dimensioni geometriche e della predisposizione degli irrigidimenti. Tali elementi consentono

la riduzione degli sforzi trasmessi alla platea che si concentrano in corrispondenza del profilato

consentendo di sfruttare al meglio la piastra di base, ma allo stesso tempo, incrementano la

rigidezza del collegamento, e il comportamento dello stesso si allontana da quello ipotetico di

cerniera. Il dimensionamento degli irrigidimenti è stato eseguito secondo delle regole di buona

progettazione in base alle caratteristiche della sezione e tenendo conto degli aspetti

precedentemente citati.

Viene riportato di seguito la geometria del collegamento in questione:

152

Fig. 8.3: Geometria del collegamento colonna – fondazione

153

La modellazione ad elementi finiti del collegamento è stata eseguita con il programma SAP 2000

V11 utilizzando degli elementi “shell” (lastra-piastra) per modellare la colonna,irrigidimenti e

piastra di base, elementi “solid” per modellare la platea di fondazione, elementi “frame” per le barre

filettate e gli UPN, e degli elementi “LINK” di tipo Gap per collegare la piastra di base alla platea.

Sono stati utilizzati anche dei braccetti rigidi per connettere i profili di contrasto con i solid

adiacenti (per tener conto dello spessore reale degli UPN120), e per collegare le barre filettate alla

piastra di base e ai solid (per trasmettere gli sforzi di trazione alla piastra ed evitare movimenti

trasversali degli stessi all’interno del foro). Inoltre sono stati predisposti altri elementi frame rigidi

sulla sommità del profilo della colonna per consentire una migliore diffusione del carico applicato

in corrispondenza del baricentro.

Di seguito sono riportate delle figure che mostrano il risultato della modellazione agli elementi finiti

e le sollecitazioni agenti sulla platea:

Fig. 8.4: Modello agli elementi: dettaglio colonna

154

Fig. 8.5: Modello globale del collegamento

155

Fig. 8.6: Sforzi di compressione sulla platea: vista dall’alto

Fig. 8.7: Sforzi di compressione sulla platea in corrispondenza dell’anima della colonna

156

Si può notare come a parte qualche concentrazione di tensioni in corrispondenza del profilato,che

comunque si dissipano piuttosto bene, le sollecitazioni sono al di sotto della resistenza del

materiale.

8.1.1 Verifica del comportamento a cerniera

Per verificare che il nodo precedentemente illustrato risponda ad un comportamento assimilabile a

quello di una cerniera, vengono applicati al modello agli elementi finiti gli spostamenti orizzontali

massimi in corrispondenza della sommità della colonna (ottenuti dalla modellazione globale della

struttura “steel design”). La verifica consiste nel controllare che le tensioni parassite agenti sul

calcestruzzo siano inferiori al 5-10% della resistenza a compressione del materiale di cui la platea è

costituita (5-10% di 14,2 N/mm2 = 0.70-1.42 N/mm2).

Gli spostamenti alla sommità della colonna in oggetto sono:

Fig. 8.8: Spostamenti del punto in sommità della colonna

Per applicare gli spostamenti al modello è stato inserito un “frame” avente come sezione quella

della colonna HE800x444 che unisce la parte di colonna modellata con l’ipotetico punto posto ad

un’altezza di 3,5 m di cui conosciamo gli spostamenti massimi.

Naturalmente il “joint” in questione è stato vincolato nelle direzioni in cui sono stati assegnati gli

spostamenti, per consentire al programma di leggerli come cedimenti vincolari.

Successivamente sono riportate delle figure che mostrano le modifiche al modello agli elementi

finiti e i risultati dell’analisi:

157

Fig. 8.9: Modello agli elementi finiti per l’applicazione degli spostamenti orizzontali massimi

Fig. 8.10: Tensioni parassite sul calcestruzzo

158

Si può osservare come le tensioni parassite che si generano sul calcestruzzo superino ampiamente i

limiti prestabiliti, e che il collegamento risulti essere troppo rigido per essere considerato un vincolo

di cerniera.

In conseguenza a tali risultati, per rendere più flessibile il collegamento è stata ridotta, per quanto

possibile, la dimensione in pianta della piastra di base e il numero di irrigidimenti. Di questi ultimi

ne sono stati predisposti soltanto alcuni per evitare l’instabilizzazione dell’anima dato il notevole

sforzo di compressione.

Di seguito vengono messe in risalto le conseguenze di tali scelte:

Fig. 8.11: Modello agli elementi finiti (Prima modifica)

159

Fig. 8.12: Tensioni parassite sul calcestruzzo (per il modello modificato)

Anche in questo caso il collegamento risulta essere troppo rigido per essere considerato una

cerniera.

Si può notare come le tensioni siano molto meno estese rispetto al caso precedente, e localizzate in

corrispondenza dello spigolo dell’ala della colonna. Questo aspetto testimonia la minor rigidezza

del collegamento.

8.2 Collegamento Colonna - platea di fondazione a perno

Per consentire gli spostamenti in sommità alla colonna senza provocare la nascita di tensioni

parassite troppo elevate sulla platea di fondazione si è scelto di realizzare un collegamento a perno.

Il collegamento è costituito da un perno in acciaio che si interpone tra alcuni piatti sagomati saldati

alla piastra di base dotati di irrigidimenti per evitare fenomeni di instabilità, e piatti sagomati

collegati ad una piastra saldata alla base della colonna.

Lo spessore della piastra alla base della colonna è di 40 mm per consentire la realizzazione della

saldatura delle ali (spessore 54 mm), e per ottenere un’adeguata rigidezza in modo da ottenere una

buona trasmissione degli sforzi. Il predimensionamento del perno e dei piatti sagomati è stato

realizzato seguendo le indicazioni della norma CNR 10011, e i criteri già esposti in precedenza.

161

Per ottenere un perno molto rigido, e che quindi consentisse una ripartizione equa degli sforzi tra i

vari piatti sagomati, è stato scelto un diametro pari a 150 mm.

In base a tale calcolo, si è scelto di predisporre 4 piatti sagomati inferiori e 3 piatti sagomati

superiori ognuno dello spessore di 35 mm per uno spessore totale equivalente di 245 mm.

I piatti sono sagomati in modo che

Le caratteristiche geometriche, il numero, e la predisposizione degli irrigidimenti sono stati definiti

in base alla geometria e allo spessore dei piatti sagomati inferiori.

Le figure riportate di seguito illustrano la geometria del collegamento a perno:

163

Fig. 8.13: Geometria del collegamento a perno

La modellazione agli elementi finiti di questa tipologia di unione ha sfruttato gli stessi elementi

utilizzati per i collegamenti illustrati precedentemente. Elementi “shell” per modellare i piatti

sagomati inferiori e superiori, l’anima e le ali della colonna, la piastra saldata alla base della

colonna, gli irrigidimenti e la piastra di base collegata alla platea tramite degli elementi “link”

(GAP). Sono stati usati elementi “frame” per modellare le barre filettate e gli UPN di contrasto ai

quali sono collegate (rimasti equivalenti in numero e dimensioni relativamente all’unione descritta

in precedenza). Gli stessi elementi “frame” sono stati sfruttati per la modellazione del perno e di

elementi rigidi per collegare il perno stesso ai piatti sagomati, e connettere le barre filettate e i

profili di contrasto alla platea e alla piastra di base. Il carico è stato applicato al baricentro della

sezione della colonna sulla quale sono stati predisposti elementi rigidi per facilitare la dissipazione

del carico.

164

La geometria finale dei vari elementi è stata frutto di un accurato studio del comportamento del

collegamento in base ai risultati forniti dall’analisi. Di seguito sono mostrati i risultati della

modellazione e dell’analisi:

Fig. 8.14: Modello agli elementi finiti del collegamento a perno

165

Fig. 8.15: Modellazione globale del collegamento a perno

166

Fig. 8.16: Sforzi di compressione verticali sulla platea con piastra di base s=40mm

Fig. 8.17: Sforzi di compressione verticali sulla platea con piastra di base s=40mm (sezione)

167

Fig. 8.18: Sforzi di compressione verticali sulla platea con piastra di base s=80mm

Fig. 8.19: Sforzi di compressione verticali sulla platea con piastra di base s=80mm (sezione)

168

Fig. 8.20: Tensione di Von Mises sui piatti sagomati inferiori e sugli irrigidimenti

Dallo studio dei risultati forniti dall’analisi, si può osservare come si abbia una forte concentrazione

di sforzo di compressione sulla platea nella parte centrale sotto il perno. E’ anche molto chiaro

come tale sforzo non riesce a dissiparsi adeguatamente.

Il risultato, non cambia in modo marcato neanche incrementando lo spessore dei piatti sagomati e

della piastra di base, rispettivamente a 40 mm e 80 mm.

La causa di questo fenomeno è messa in luce dalla distribuzione delle tensioni di von mises nei

piatti sagomati inferiori e negli irrigidimenti. Dall’osservazione di tali tensioni è possibile notare

come lo sforzo si propaga al di sotto del perno con un angolo di circa 60° non consentendo di

lavorare adeguatamente i piatti sagomati, gli irrigidimenti esterni e di conseguenza la piastra di base

con effetti negativi sia in termini di sforzi trasmessi alla fondazione, che di dissipazione degli stessi.

In conseguenza ai problemi riscontrati e all’attenta osservazione del comportamento dei piatti

sagomati soggetti a carico verticale di compressione, si è deciso di riprogettare la geometria del

collegamento in modo da ottenere un rapporto geometrico approssimativo di 1:1 tra l’altezza del

perno rispetto alla piastra di base e le dimensioni in pianta della stessa, per sfruttare maggiormente i

piatti sagomati, per far lavorare adeguatamente gli irrigidimenti e allo stesso tempo ottenere una

significativa riduzione dello sforzo al di sotto del perno e favorire una migliore dissipazione del

medesimo. Le modifiche apportate all’unione sono illustrate di seguito:

169

Fig. 8.21: Geometria finale del collegamento a perno

170

Si può notare come quest’ultima configurazione geometrica abbia consentito di ridurre in modo

sostanziale la dimensione in pianta della piastra di base da 800x1200 mm a 840x850 mm.

Sono stati ridotti, inoltre, il numero di irrigidimenti maggiorandone lo spessore a 40 mm per evitare

fenomeni di instabilità dei piatti sagomati resi più snelli, anch’essi aventi uno spessore di 40 mm.

I risultati dell’analisi sono illustrati qui di seguito:

Fig. 8.22: Sforzi di compressione verticali sulla platea in cls

Fig. 8.23: Sforzi di compressione verticali sulla platea in cls (sezione)

171

Fig. 8.24: Tensioni di Von Mises sui piatti sagomati inferiori e sugli irrigidimenti

Fig. 8.25: Spostamenti verticali degli irrigidimenti

172

L’analisi dei risultati mostra come l’ultima configurazione geometrica del nodo ha consentito di

sfruttare al meglio i piatti sagomati inferiori ed eliminare le concentrazioni di sforzi di

compressione sulla platea, ottenendo una distribuzione più uniforme degli stessi che restano

comunque leggermente superiori alla resistenza del materiale.

Anche in questo caso gli irrigidimenti non collaborano adeguatamente con i piatti sagomati, non

consentendo alla piastra di lavorare al meglio ed ottenere quindi una buona dissipazione degli

sforzi. Tale aspetto è messo in evidenza nella figura precedente in cui vengono illustrati gli

spostamenti verticali degli irrigidimenti.

La deformazione flessionale della piastra di base, causata dai carichi concentrati trasmessi dai piatti

sagomati, genera una rotazione dei piatti irrigidenti. Per risolvere questa problematica è stato deciso

di collegare gli irrigidimenti e dunque realizzare dei piatti passanti dello stesso spessore dei piatti

sagomati (40mm). A seguire sono riportate delle figure che illustrano i risultati della modellazione e

dell’analisi:

Fig. 8.26: Modello agli elementi finiti del collegamento a perno (dettaglio colonna)

173

Fig. 8.27: Modello globale agli elementi finiti

174

Fig. 8.28: Sforzi di compressione verticali sulla platea in cls con piastra di base s = 40 mm

L’inserimento del piatto passante consente agli irrigidimenti di lavorare al meglio ma uno spessore

di 40 mm della piastra di base non è sufficiente. In definitiva è stato scelto uno spessore di 80 mm.


175


(sezione)

Fig. 8.31: Tensioni di Von Mises dovuti alla compressione sulla piastra di base ( s = 80 mm)

176

Fig. 8.32: Tensioni di Von Mises dovuti alla compressione sui piatti sagomati inferiori e sugli

irrigidimenti (s = 40 mm)

Fig. 8.33: Tensioni di Von Mises dovuti alla compressione sugli irrigidimenti e i piatti passanti (s

= 40 mm)

177

Fig. 8.34:Tensioni di Von Mises dovuti alla compressione sui piatti sagomati superiori

(s = 40 mm)

Fig. 8.35:Tensioni di Von Mises dovuti alla compressione sulla colonna, piastra di base saldata

alla colonna e gli irrigidimenti della stessa

178

Per quanto riguarda il comportamento a trazione di questo collegamento i risultati dell’analisi sono

riassunti ed illustrati nelle figure riportate di seguito. A differenza dei collegamenti presentati

precedentemente è stato ridotto il numero di barre filettate collegate ai profili UPN120 di contrasto

aumentandone il diametro 10 Ф 27 CL. 10.9 ( 1 Ф 27 CL. 10.9 Ft,Rd = 330 KN)

Fig. 8.36: Sforzi assiali nelle barre filettate e momenti flettenti nel UPN di contrasto

179

Fig. 8.37: Sforzi di trazione indotti nel cls della platea dai profili di contrasto

Fig. 8.38: Sforzi di trazione indotti nel cls della platea dai profili di contrasto (sezione)

In quest’ultima figura è possibile osservare come a causa della trazione trasferita alla platea dai

profili di contrasto si generi uno strappo subito al di sotto degli stessi (rappresentato dalle parti in

azzurro) con sforzi piuttosto elevati che comunque si dissipano bene. Nella parte superiore, invece,

180

la platea risulta essere compressa grazie all’azione dei profili UPN di contrasto e alla presenza della

piastra di base. Questo fenomeno migliora all’aumentare della superficie di impronta dei profili

annegati nella platea. Nella restante parte della fondazione sono presenti sforzi di trazione inferiori

alla resistenza del CLS C25/30.

Fig. 8.39: Tensioni di Von Mises dovuti alla trazione nella piastra di base (s = 40 mm)

Fig. 8.40: Tensioni di Von Mises dovuti alla trazione nei piatti sagomati inferiori e negli

irrigidimenti

181

Fig. 8.41: Tensioni di Von Mises dovuti alla trazione nei piatti sagomati superiori e nella piastra

saldata alla base della colonna

Le verifiche stabilite dalla Norma Tecnica per le Costruzioni del 14 Gennaio 2008 per le unioni a

perno sono le seguenti:

Il perno è realizzato in acciaio S 355 (fyk=355 N/mm2;ftk=510 N/mm2) con diametro pari a 150 mm

ed è soggetto a un taglio massimo Tsoll=2350 KN e un momento flettente massimo Msoll=125 KN m

La resistenza a taglio del perno è definita come segue:

La resistenza a flessione del perno è pari a:

La resistenza a rifollamento dei piatti sagomati è la seguente:

182

La tensione agente su tutti gli elementi in acciaio S355 non deve mai superare quella di

snervamento del materiale che è pari a:

La resistenza a trazione delle barre filettate ancorate ai profili di contrasto è uguale a:

A fronte di uno sforzo di trazione di 2200 KN sono stati predisposti 10 barre filettate Ф 27 CL. 10.9

In base ai risultati dell’analisi lo sforzo massimo di trazione al quale sono assoggettate le barre

filettate è pari a 225 KN dunque:

Per quanto riguarda i profili di contrasto UPN 120 annegati nella platea di fondazione i momenti

flettenti sollecitanti massimi sono pari a Msoll = 1,5 KN m e uno sforzo di taglio massimo pari a

Tsoll=30 KN.

Verifica a flessione:

Verifica a taglio:

183

Il collegamento così concepito, dunque, rispetta tutte le verifiche stabilite dalle normative tecniche

di riferimento. Il problema maggiore è rappresentato dalla realizzabilità dello stesso. Difatti

osservando la geometria definitiva, è possibile constatare la difficoltà di operare la saldatura del

piatto passante e dei piatti sagomati alla piastra di base.

184

Fig. 8.42: Geometria del collegamento nella versione definitiva

La problematica viene risolta realizzando dapprima la saldatura alla piastra di base dei due piatti

passanti che fungono anche da irrigidimenti. La geometria di tali elementi è illustrata nella figura

riportata qui di seguito:

185

Fig. 8.43: Geometria dei piatti passanti

Successivamente vengono saldati, partendo da una parte esterna, i piatti sagomati inferiori che sono

caratterizzati da delle riseghe per consentire tale operazione come mostrato nella figura seguente:

Fig. 8.44: Geometria dei piatti sagomati

186

La geometria dell’unione a perno consente solo la parziale saldatura degli elementi sagomati.

Questo aspetto potrebbe generare problemi in presenza di sforzi di trazione. Nel caso in

oggetto,però, il collegamento è sovradimensionato rispetto a tale sforzo, dato che il più vincolante

in fase di progettazione è stato quello di compressione. Di conseguenza lo stato tensionale agente

sui piatti sagomati e su quelli passanti risulta essere piuttosto modesto come dimostrano le verifiche

eseguite:

Le verifiche del caso sono state eseguite utilizzando delle approssimazioni a favore di sicurezza.

E’ stato utilizzato un coefficiente γM maggiore pari a 1,25 per membrature tese indebolite da fori.

E’stata considerata esclusivamente la situazione peggiore rappresentata dai piatti interni che

possono essere saldati solo su un lato, trascurando il contributo del piatto passante irrigidente.

187

8.3. Collegamento trave-colonna

Nell’unione trave-colonna oggetto del nostro studio si definisce un “nodo-cerniera” in grado di

trasferire lo sforzo di taglio, dall’anima della trave (HEB300) all’ala della colonna (HE800x444) e

dall’anima della trave (HEB200) all’anima della colonna (HE800x444), collegando i due elementi

strutturali con squadrette in angolari e bulloni.

8.3.1 Predimensionamento unione all’anima

I profili interessati in tale collegamento sono la trave secondaria HEB200 e la colonna HE800x444

relativa al primo impalcato.

Il dimensionamento del nodo-cerniera si traduce praticamente nella scelta della squadrette e dei

bulloni compatibilmente con le caratteristiche geometriche degli elementi da collegare,nel rispetto

delle limitazioni riportate in Tab.4.2.XIII di seguito riportata, e nella verifica degli elementi che

concorrono staticamente alla definizione del collegamento ( bulloni, squadrette, trave secondaria e

colonna ).

188

In fase di predimensionamento dell’unione, la scelta dei bulloni è stata eseguita nel rispetto della

prescrizione (§11.3.4.9) “Specifiche per acciai da carpenteria in zona sismica” in cui è scritto che i

collegamenti bullonati devono essere realizzati con bulloni ad alta resistenza di classe 8.8 o 10.9,

per cui si sono scelti bulloni di casse 8.8, le cui tensioni di snervamento e rottura sono riportate

nella tabella seguente:

Il numero dei bulloni necessari è stato determinato considerando che la sollecitazione di taglio

proveniente dalla trave secondaria agisce su due sezioni di taglio data la simmetria dei bulloni.

189

Scelto il diametro del bullone (d = 12 mm) con Ares=84 mm2 ( da CNR10011) si calcola la

resistenza a taglio di ciascun bullone determinando così il numero di bulloni , nota la sollecitazione

di taglio F =55000 N.

Determinato il diametro dei bulloni è possibile determinare anche le dimensioni della squadretta:

Si procede con il calcolo della resistenza a taglio, trazione, rifollamento relative al nodo in

questione per poter procedere alle verifiche:

- La resistenza di calcolo a taglio dei bulloni e dei chiodi Fv,Rd, per ogni piano di taglio che

interessa il gambo dell’elemento di connessione, può essere assunta pari a:

- La resistenza di calcolo a rifollamento Fb,Rd del piatto dell’unione, bullonata o chiodata, può

essere assunta pari a:

190

- nelle unioni bullonate soggette a trazione è necessario verificare la piastra a punzonamento;

ciò non è richiesto per le unioni chiodate. La resistenza a punzonamento del piatto collegato è pari a

dove dm è il minimo tra il diametro del dado e il diametro medio della testa del bullone; tp è lo

spessore del piatto e ftk è la tensione di rottura dell’acciaio del piatto.

La resistenza complessiva della singola unione a taglio è perciò data da min(Fv,Rd; Fb,Rd), mentre la

resistenza della singola unione a trazione è ottenuta come min(Bp,Rd; Ft,Rd).

Nel caso di presenza combinata di trazione e taglio si può adottare la formula di interazione lineare:

con la limitazione

dove con Fv,Ed ed Ft,Ed si sono indicate rispettivamente le sollecitazioni di taglio e di trazione agenti

sull’unione; per brevità, le resistenze a taglio ed a trazione dell’unione sono state indicate con Fv,Rd

ed Ft,Rd.

191

La geometria del nodo si potrà meglio comprendere nell’elaborato grafico numero 3.

8.3.2 Predimensionamento unione all’ala

I profili interessati da tale collegamento sono la trave principale HEB300 e la colonna HE800x444

relativa al primo impalcato.

Il dimensionamento del nodo-cerniera si traduce praticamente nella scelta della squadrette e dei

bulloni compatibilmente con le caratteristiche geometriche degli elementi da collegare,nel rispetto

delle limitazioni riportate nel paragrafo precedente, e nella verifica degli elementi che concorrono

staticamente alla definizione del collegamento ( bulloni, squadrette, trave secondaria e colonna ).

192

La geometria del nodo si potrà meglio comprendere nell’elaborato grafico numero 3.

La modellazione ad elementi finiti del collegamento è stata eseguita con il codice di calcolo SAP

2000 V12 utilizzando degli elementi “shell” (lastra-piastra) per modellare la colonna, la trave, il

controvento e le squadrette, elementi “frame” per i bulloni. Sono stati utilizzati anche dei braccetti

rigidi per connettere i frame rappresentanti i bulloni con le shell al fine di riprodurre l’effettivo

contatto che esiste tra i vari elementi. Ad essi sono stati rilasciati i momenti all’estemità a contatto

con i piatti. Per tener conto del comportamento reale dei braccetti, funzionanti solo per sforzi di

compressione, è stato assegnato ad essi il limite di tensione.

L’analisi è consistita nell’applicare gli spostamenti del punto medio della trave principale, dovuti

alla combinazione di carico più gravosa, e nella lettura delle sollecitazioni sui bulloni e sulle

squadrette al fine di confrontare suddette sollecitazioni con quelle massime imposte dalla

normativa.

Di seguito si riportano i modelli eseguiti in SAP2000 e le immagini con i risultati delle analisi.

193

Fig. 8.45: Modello del collegamento

Fig. 8.46: Modello del collegamento

194

Fig. 8.47: Tensioni Von Mises nella trave

Fig. 8.48: Tensioni Von Mises in una squadretta

I risultati dell’analisi confermano le considerazioni svolte in fase di predimensionamento, in quanto

le tensioni sia nei bulloni che sugli elementi di collegamento risultano minori delle tensioni

massime previste dalla normativa.

195

8.4 Collegamento colonna-controvento verticale

Il nodo in esame ha lo scopo di collegare i controventi UPN 220 alla colonna, costituendo un

vincolo di cerniera. La scelta è stata quella di saldare all’ala della colonna un fazzoletto

opportunamente sagomato su cui sono bullonati i controventi. Inoltre è opportuno inserire degli

irrigidimenti sulla trave secondaria anche qualora non espressamente necessari ai fini del calcolo.

Lo schema è il seguente:

La modellazione ad elementi finiti del collegamento è stata eseguita con il codice di calcolo SAP

2000 V12 utilizzando degli elementi “shell” (lastra-piastra) per modellare la colonna, la trave, il

controvento , le squadrette e il fazzoletto, elementi “frame” per i bulloni. Sono stati utilizzati anche

dei braccetti rigidi per connettere i frame rappresentanti i bulloni con le shell al fine di riprodurre

l’effettivo contatto che esiste tra i vari elementi. Ad essi sono stati rilasciati i momenti all’estemità a

contatto con i piatti. Anche in questo caso per tener conto del comportamento reale dei braccetti,

funzionanti solo per sforzi di compressione, è stato assegnato ad essi il limite di tensione.

L’analisi è consistita nell’applicare una forza di trazione nel baricentro del controvento, dovuta alla

combinazione di carico più gravosa, e nella lettura delle sollecitazioni sui bulloni, sul fazzoletto e

sull’anima del controvento al fine di confrontare suddette sollecitazioni con quelle massime imposte

dalla normativa.

196

Di seguito si riportano i modelli eseguiti in SAP2000 e le immagini con i risultati delle analisi.

Fig. 8.49: Geometria collegamento

Fig. 8.50: Geometria collegamento

197

Fig. 8.51: Tensioni Von Mises nel fazzoletto

Fig. 8.52: Tensioni Von Mises nel controvento

198

Dai risultati dell’analisi possiamo notare come le tensioni sugli elementi costituenti il fazzoletto, il

controvento e sui bulloni sono inferiori alle tensioni massime previste dalla norma.

Le verifiche sono di seguito riportate.

8.5 Dimensionamento dell’armatura della platea di fondazione

Le sollecitazione massime ottenute dal modello di calcolo alle quali è sottoposta la platea di

fondazione di altezza pari a 2,5 m realizzata in CLS C25/30 sono le seguenti:

(momento flettente agente su una striscia di 1 m)

Solitamente si utilizza un quantitativo di armatura pari almeno allo 0,3 % dell’area di calcestruzzo.

Nel caso in oggetto, l’inserimento di un tale quantitativo di armatura sarebbe stato troppo oneroso

sia in termini economici che realizzativi data la dimensione considerevole della platea di

fondazione. Di conseguenza sono state predisposte esclusivamente le barre di armatura necessarie

per assorbire i momenti flettenti massimi forniti dall’analisi, e delle reti elettrosaldate con armature

di parete per evitare che si formino fessure da ritiro.

Si è scelto di predisporre un reticolo di armature dello stesso diametro sia superiormente che

inferiormente alla platea per evitare innanzitutto problemi di posizionamento delle stesse e quindi

agevolare il montaggio della gabbia,oltre a cautelarsi nei confronti della eventuale formazione di

meccanismi “strut and tie”in cui l’armatura inferiore funge da tirante.

In base al calcolo tradizionale dell’armatura a flessione di una sezione di altezza pari a 2,5 m e

larghezza pari a 1 m sono state inserite 6 Ф 20 superiormente e 6 Ф 20 inferiormente.

Dunque si è deciso di inserire due reti di Ф 20 a passo 20 cm con copri ferro di 5 cm sia nella parte

superiore che nella parte inferiore della platea di fondazione:

Parte superiore della platea Ф 20/20 cm Mresistente= 18366 KNm

Parte inferiore della platea Ф 20/20 cm Mresistente= 18366 KNm

199

8.6 Dimensionamento dell’armatura dei pali di fondazione

I pali di fondazione posti in asse alle colonne sono caratterizzati da un diametro di 800 mm

(A=5024 cm2) e un lunghezza di 28 m. Le sollecitazioni derivanti dall’analisi alle quali sono

assoggettati sono le seguenti:

Msollecitante= 100 KN m

Tsollecitante = 110 KN

Nmassimo = 6879 KN

Nminimo = 4297 KN

Nel caso dei pali di fondazione la norma stabilisce che:

As (armatura longitudinale) 1% ACLS = 50,24 cm2

Tale armatura deve essere mantenuta per una distanza dalla testa del palo pari a 10 Ф

Per la parte del palo restante invece il limite è pari a:

Gli altri limiti imposti dalla normativa tecnica di riferimento sono i seguenti:

200

Nel caso di elementi strutturali a contatto con ambienti aggressivi quali il terreno di fondazione si

utilizzano copri ferri pari a 4÷5 cm quindi si ha:

i (interasse tra le barre longitudinali) =

La lunghezza di ancoraggio è stata calcolate con la seguente relazione stabilita dalla norma:

L’armatura longitudinale predisposta nei pali di fondazione è la seguente:

16 Ф 20 (As=50,27 cm2) per i primi 10,8 m a partire dalla testa del palo e

8Ф 20 (As=25,13cm2) per la restante parte dello stesso con una lunghezza di ancoraggio pari a

1200 mm.

La verifica a pressoflessione è stata effettuata utilizzando il programma di calcolo VCA SLU i cui

risultati sono illustrati di seguito:

204

La verifica a taglio invece è stata eseguita considerando una sezione equivalente di forma quadrata:

Palo a sezione circolare di diametro pari a 800 mm (A=5024 cm2):

205

L (sezione quadrata)=

Quindi utilizzo una sezione 70x70 cm in cui il taglio sollecitante è Tsollecitante = 110 KN

L’armatura a taglio predisposta è caratterizzata da delle staffe Ф 8 mm con passo di 150 mm avente

Tresistente= 153 KN. Di seguito viene illustrata la predisposizione dell’armatura del palo:

206

Capitolo 9

NON LINEARITA’ e

http://www.zonasismica.it/approfondimenti/edificioCDA/cap1-4.htm - _top#_topANALISI

di PUSHOVER

9.1 Introduzione

Per ottenere una previsione accurata e realistica della risposta sismica di una struttura è necessario

disporre di strumenti di analisi che permettano di coglierne il comportamento non lineare e la sua

evoluzione nel tempo.

L’analisi dinamica non lineare al passo è indubbiamente lo strumento più completo ed efficace

(assumendo ovviamente che il modello strutturale riproduca con accuratezza il sistema reale): la

risposta della struttura viene determinata mediante integrazione al passo delle equazioni del moto di

un sistema a molti gradi di libertà (MDOF) non lineare.

Questa presenta però alcuni aspetti che ne impediscono un diffuso impiego nella pratica

professionale:

• la scelta dei parametri che intervengono è delicata ed influenza sensibilmente i risultati dell’analisi

stessa;

• sono necessarie numerose analisi impiegando differenti accelerogrammi opportunamente

selezionati per ottenere un risultato rappresentativo della risposta attesa;

• l’accuratezza dell’analisi va a scapito della semplicità e della rapidità di esecuzione;

• l’interpretazione dei risultati è complessa ed onerosa.

I codici sismici consentono infatti di utilizzare analisi elastiche lineari (statiche e dinamiche) che

conseguentemente, pur con i relativi limiti, risultano ancora procedure largamente diffuse.

Un’alternativa, recentemente introdotta anche in normativa, è l’uso di procedure di analisi statiche

non lineari che, pur conservando la notevole semplicità d’uso e di interpretazione dei risultati tipica

delle analisi statiche lineari, consentono stime più realistiche ed affidabili della risposta strutturale

anche in campo non lineare. In effetti, è sempre più frequente la loro applicazione sia nella

progettazione che nella verifica strutturale.

Questo tipo di analisi comprende essenzialmente due aspetti:

1. la determinazione di un legame forza-spostamento (curva di capacità o curva di pushover),

rappresentativo del reale comportamento monotono della struttura, per la cui definizione si richiede

un’analisi di spinta o di push-over ;

207

2. la valutazione dello spostamento massimo o punto di funzionamento (performance point)

raggiunto dalla struttura a fronte di un evento sismico definito tramite uno spettro di risposta

elastico in accelerazione.

L’analisi di spinta consente quindi di descrivere il comportamento della struttura tramite un

semplice legame monodimensionale forza-spostamento detto curva di capacità. In tal modo l’analisi

della risposta della struttura viene ricondotta a quella di un sistema ad un solo grado di libertà

(SDOF) equivalente alla struttura di partenza.

I metodi statici non lineari permettono di individuare lo spostamento massimo di tale sistema SDOF

equivalente e quindi la risposta della struttura (punto prestazionale) soggetta ad un evento sismico

descritto dal relativo spettro di risposta in accelerazione.

9.2 Analisi di Push Over

L’analisi di push-over o analisi di spinta (letteralmente pushover significa “spingere oltre”) è una

procedura statica non lineare impiegata per determinare il comportamento di una struttura a fronte

di una determinata azione (forza o spostamento) applicata.

Essa consiste nello “spingere” la struttura fino a che questa collassa o un parametro di controllo di

deformazione non raggiunge un valore limite prefissato. La “spinta” si ottiene applicando in modo

incrementale monotono un profilo di forze o di spostamenti prestabilito.

In sostanza l’analisi di spinta è una tecnica di soluzione incrementale-iterativa delle equazioni di

equilibrio statico della struttura in cui la forzante è rappresentata dal sistema di spostamenti o forze

applicato.

L’analisi di spinta consente di definire un legame scalare forza-spostamento caratteristico del

sistema studiato, detto curva di capacità, che permette di ricondurre la ricerca dello spostamento

massimo di un sistema soggetto ad una certa azione esterna a quella di un sistema SDOF

equivalente.

Nel caso in esame, sistema MDOF, la struttura viene “spinta” applicando un profilo di forze

orizzontali in corrispondenza di ciascun piano. Si valuta il comportamento della struttura soggetta a

due differenti distribuzioni di carico :

- forzante affine al primo modo di vibrare ( distribuzione triangolare);

- forzante con profilo proporzionale alle masse ( distribuzione rettangolare) per tener conto

dell’evoluzione delle forme modali in campo non –lineare.

Il monitoraggio dello spostamento in sommità ci consente di descrivere la risposta della struttura

durante il caricamento attraverso la curva di capacità o curva di push-over .

208

Per avere un buona rappresentazione della curva di push-over è indispensabile avere un certo

numero di steps,cui corrisponde la formazione di un certo numero di cerniere plastiche dovute a un

certo incremento di carico.

La cerniera plastica è il tronco di elemento che attinge le condizioni di plasticità, in particolare nei

modelli a plasticità concentrata il comportamento non lineare dell’elemento viene concentrato solo

nei punti in cui si verifica la formazione delle cerniere plastiche, mentre le altre porzioni

dell’elemento restano in campo elastico con conseguente vantaggio in termini computazionali.

È necessario scegliere opportunamente il legame costitutivo e la posizione da assegnare alle

cerniere plastiche assiali( se l’elemento è soggetto a solo sforzo assiale) o a presso-flessione ( se

l’elemento è soggetto a momento e sforzo assiale).

9.3 Applicazione

Allo scopo di saggiare le risorse in campo plastico della struttura, si effettua uno studio semplificato

su un telaio controventato del nostro edificio.

Ipotesi fondamentali:

- si studia il comportamento in campo elasto–plastico del sistema soggetto a forze orizzontali

considerando una sola direzione di quest’ultime;

- viene considerato il telaio piano trascurando gli elementi non complanari;

- per quanto concerne gli elementi tipo trave, si considera un vincolo di diaframma di piano,

che consente di tener conto del funzionamento a trave reticolare del sistema di travi e controventi di

piano;

- vengono modellati i soli controventi tesi, poiché quelli compressi possono considerarsi

instabilizzati già lungo il ramo elastico della curva di push-over

Il telaio della struttura oggetto del nostro studio è quello evidenziato nella figura seguente:

209

9.3.1 Modellazione del telaio

Con l’ausilio del programma di calcolo agli elementi finiti SAP2000 si è costruito un modello a

plasticità concentrata.

Il telaio presenta 8 campate di lunghezza 5 m, 6 m e 3 m, alcune delle quali presentano controventi

verticali. Tutti gli elementi strutturali sono stati modellati con elementi frame a cui sono state

assegnate le cerniere plastiche al fine di tener conto del comportamento non-lineare. Il modello di

calcolo ha subito notevoli variazioni rispetto a quello di partenza; le variazioni hanno interessato per

lo più gli elementi frame, in quanto si è proceduto con una serie di rastremazioni per le colonne e i

controventi al fine di ottenere una diversa distribuzione delle rigidezze che potesse consentire un

miglioramento della duttilità d’insieme, e variazioni anche a livello di vincoli, infatti si è passati da

un sistema a ritti pendolari a un sistema a colonne continue che quindi ha comportato la necessità di

sostituire nelle colonne le cerniere assiali con cerniere a pressoflessione.

Prima di raggiungere la soluzione finale l’analisi è stata eseguita su cinque diversi modelli ciascuno

dei quali rappresenta la sintesi di innumerevoli interventi sul cambio di sezioni, inserimento di

elementi e cambio di vincoli.

210

Modello 1: Ritti pendolari,colonne rastremate,2 file di controventi verticali UPN 220

Modello 2: Ritti pendolari,colonne rastremate,4 file di controventi verticali UPN 220

211

Tutti i cambiamenti applicati a ciascun modello ( dal modello 1 al modello 4) hanno portato

benefici sia alla resistenza che alla duttilità d’insieme del telaio, tuttavia non sono stati sufficienti a

risolvere il meccanismo del collasso di piano debole che nel sistema a ritti pendolari, seppur per

condizioni di carico e elementi strutturali diversi, si ripresentava puntualmente. Per cui il “ Modello

5” è frutto dell’ultimo e decisivo intervento, ossia la sostituzione dei ritti pendolari con le colonne

continue e dopo un opportuno studio delle rigidezze si è giunti a una soluzione accettabile.

Modello 3: Ritti pendolari,colonne rastremate,4 file di controventi verticali UPN rastremati , 1 outrigger ( piano 15°)

Modello 4: Ritti pendolari,colonne rastremate,4 file di controventi verticali UPN rastremati ,2 outrigger (piano 14-19°)

212

Anche su quest’ultimo modello si è intervenuti introducendo l’outrigger, ma poiché non vi era un

significativo miglioramento delle prestazioni, bensì un peggioramento dovuto all’eccessivo

irrigidimento del telaio con conseguente riduzione degli spostamenti e quindi della duttilità, esso è

stato rimosso. I risultati sono riportati al punto 9.3.4.

Modello 5: Colonne continue rastremate,4 file di controventi verticali UPN rastremati

213

9.3.2 Modellazione delle Azioni

I carichi applicati sul telaio sono carichi verticali uniformemente distribuiti sulle travi, carichi

orizzontali applicati ai nodi con distribuzione uniforme e variabile linearmente lungo l’altezza.

• Definizione dei tipi di carico :

a) Pesi propri: DEAD

b) carico TRIANGOLARE

c) carico RETTANGOLARE

d) carico VERTICALE

• Assegnazione dei carichi :

a) Alle Travi (carico VERTICALE q=15 KN/m);

214

b) ai nodi delle colonne a sinistra :

- la distribuzione rettangolare :

215

- la distribuzione triangolare :

• Definizione dell’Analisi Statica Non-Lineare :

- per il carico verticale

L’azione orizzontale parte da un valore di

1 N in sommità e varia linearmente fino

alla base. Nella tabella seguente sono

riportati i valori delle forze applicate ai

nodi.

N° Piano H F

mm N

19 62700 1.000

18 59400 0.947

17 56100 0.895

16 52800 0.842

15 49500 0.789

14 46200 0.737

13 42900 0.684

12 39600 0.632

11 36300 0.579

10 33000 0.526

9 29700 0.474

8 26400 0.421

7 23100 0.368

6 19800 0.316

5 16500 0.263

4 13200 0.211

3 9900 0.158

2 6600 0.105

1 3300 0.053

216

- per il carico orizzontale con distribuzione rettangolare

217

- per il carico orizzontale con distribuzione triangolare

Come si può notare delle finestre in alto, si è impostata l’Analisi Statica Non Lineare a controllo di

spostamento, in particolare si controlla lo spostamento del nodo in sommità consentendo uno

spostamento massimo di 100 m.

218

9.3.3 Caratterizzazione delle Cerniere Plastiche

Le cerniere plastiche definite nel codice di calcolo sono di due differenti tipologie : cerniere assiali

e cerniere a pressoflessione.

9.3.3.1 Cerniere Assiali

Le cerniere assiali sono state applicate ai controventi, in quanto sono soggetti solo a sforzo assiale,

in posizione centrale e con un’ estensione pari alla lunghezza del controvento.

Il legame costitutivo, nel nostro caso si è assunto rigido plastico simmetrico. I valori Strain/SF

rappresentano il rapporto tra la deformazione attuale e la deformazione a snervamento, avendo

utilizzato un acciaio S355 si ha che εSY sia pari a 0,1609 %, mentre per convenzione la

deformazione ultima εU si assume pari al 5%, quindi il rapporto tra questi due valori è 31.

Figura 9.6: Finestra di SAP sulla definizione di legame plastico

219

9.3.3.2 Cerniere a Presso-Flessione

Per la definizione delle cerniere plastiche a pressoflessione si è dovuto calcolare, per prima cosa, il

dominio di interazione tra il momento e lo sforzo normale.

Il dominio di resistenza è definito come l'insieme delle coppie di punti (N,M) che comportano

il collasso della sezione.

Con riferimento alla figura è possibile esprimere lo sforzo normale N ed il momento flettente M in

funzione della distanza d dell'asse neutro dall'asse baricentrico x.

Nel nostro caso si è approssimata la curvatura di dominio M-N con una retta, prendendo come

riferimento i punti di massimo momento Mpl e di massimo sforzo normale Npl ( di trazione) e

Nbuckling ( di compressione), quindi anche i rapporti tra le curvature sono stati forniti solo per questi

tre punti. Per i valori intermedi, di sforzo normale e di momento il dominio sarà approssimato da un

andamento lineare in quanto l’approssimazione è a favore di sicurezza.

Applicando le formule descritte si sono ottenuti i seguenti risultati per le varie sezioni delle

colonne:

220

Le cerniere a presso-flessione sono state applicate alle colonne continue nel modello n°5, in quanto

queste sono soggette sia a sforzo normale che a momento flettente. La lunghezza delle cerniere

assegnate agli estremi delle colonne, ove il momento raggiunge il valore massimo, è pari all’altezza

della sezione della colonna stessa considerata.

Per ciascuna sezione adottata è stata definita una diversa cerniera plastica, in quanto, i dati di input

dipendono dalle caratteristiche geometriche della sezione.

Di seguito si riportano a titolo d’esempio le fasi principali per definire la cerniera plastica della

colonna HEB.

- in questa finestra inseriamo la lunghezza delle cerniera plastica pari all’altezza della sezione

e la curvatura di snervamento:

221

- Si definisce per quanti valori di sforzo normale si sono forniti i dati necessari, nel nostro caso sono soltanto 3: il valore massimo di trazione e di compressione e quello nullo:

222

- Si definisce la curva di interazione momento-sforzo normale, questa può essere definita come suggerita da varie norme tecniche o definita dall’utente

Nel nostro caso si è preferita definirla personalmente:

223

In questa schermata il programma richiede la curva di interazione M-N esprimibile come

rappresentazione di spezzate che hanno come vertice i vari valori calcolati. Nel nostro caso sono

sufficienti 3 punti. Inoltre il programma richiede i valori di interazione e questi possono essere

espressi normalizzati rispetto al valore massimo del momento e dello sforzo normale,

rispettivamente.

Infine il programma richiede il legame tra il momento e la curvatura al variare dello sforzo normale.

Anche in questo caso il legame scelto è rigido plastico con il termine “Curvature/SF” che indica il

rapporto tra la curvatura attuale rispetto alla curvatura di snervamento.

9.3.4 Risultati

Come esposto in precedenza, gli interventi sul modello di partenza sono stati molteplici, per cui con

un lavoro di sintesi si sono individuati cinque modelli .

La numerazione progressiva è rappresentativa dell’evoluzione riscontrata nei risultati in termini di

duttilità e resistenza. Per i primi quattro modelli, in cui si è rispettato lo schema statico dell’edificio

a ritti pendolari, il meccanismo di collasso si manifestava dopo pochi cicli di carico in seguito alla

formazione delle cerniere plastiche nei controventi e nelle colonne ai livelli più bassi.

Con i numerosi interventi realizzati il comportamento della struttura ha subito dei miglioramenti,

che però non sono stati sufficienti ad eliminare meccanismi di piano debole che si sviluppavano a

livelli sempre più alti e con un aumento delle cerniere plastiche che interessava anche i controventi.

224

Si riporta per i primi quattro modelli lo step finale, relativo al carico triangolare e rettangolare, in

cui è visibile il numero di cerniere e il loro stato di plasticizzazione, in seguito al quale si genera il

collasso del telaio.

La diversa colorazione delle cerniere plastiche indica i diversi stati limite relativi alla

plasticizzazione.

Fig. Modello 1- Carico triangolare Fig. Modello 1 - Carico rettangolare

225

Fig. Modello 3 - Carico triangolare Fig. Modello 3 - Carico rettangolare


226

L’andamento delle curve di push-over per i primi quattro modelli sono i seguenti:


228

Infine adottando le colonne continue e assegnando quindi le cerniere plastiche a pressoflessione agli

estremi delle colonne si è ottenuto il Modello 5 in cui la formazione delle cerniere, nel rispetto della

gerarchia delle resistenze, interessa prima i controventi verticali, sviluppandosi dall’alto verso il

basso, e poi le colonne. Per meglio cogliere la bontà dei risultati si riporta per le due tipologie di

carico applicato, gli steps salienti e la curva di push over.

Fig. Modello 5 - Carico triangolare Fig. Modello 5 - Carico rettangolare Prima cerniera plastica Prima cerniera plastica

229

Fig. Modello 5 - Carico triangolare Fig. Modello 5 - Carico rettangolare Step intermedio Step intermedio

Fig. Modello 5 - Carico triangolare Fig. Modello 5 - Carico rettangolare Step intermedio Step intermedio

230

Di seguito si riporta l’andamento della curva di push-over e i relativi valori :

Resistenza & Duttilità

modello 5-tri 5-rett

q = Fu/Fy 1.533038 1.239483

µ=δu/δy 11.93578 3.044491

Il valore significativo, in quanto rispondente alle realtà, è il valore della duttilità relativo al carico

con distribuzione triangolare:

Fig. Modello 5 - Carico triangolare Fig. Modello 5 - Carico rettangolare Step finale Step finale

232

Valori forze-spostamento:

Modello 5-tri Modello 5-rett

d P d P

m kN m kN

0 0 0 0

0.002392 0 0.002392 0

0.276844 3574.611 0.292255 5373.391

0.398302 4757.145 0.321066 5837.795

0.432463 4932.634 0.354928 6083.36

0.472784 5034.518 0.407182 6275.658

0.516681 5097.249 0.446104 6348.934

1.012297 5359.3 0.536072 6451.802

1.479473 5449.939 0.889769 6660.226

1.58954 5454.734 0.890769 5291.273

3.304354 5480.014 0.898619 5344.1

3.305354 4418.407 0.970114 5610.033

3.344091 4523.722 1.047371 5760.528

3.429277 4635.714 1.048371 4439.37

3.483379 4671.714 1.138563 4700.394

3.523856 4682.385 1.343004 4982.189

3.958621 4722.285 1.471599 5064.262

3.959621 3752.207 1.472599 4012.933

4.030791 3897.143 1.495818 4056.209

4.087864 3957.104 1.511934 4072.328

4.115466 3975.283 1.891966 4252.708

4.141227 3982.045 4.35574 4322.819

4.532933 4012.703 5.022504 4214.122

4.763944 4022.834 5.773942 3922.303

4.803325 4022.876 6.561119 3419.26

4.86425 4021.594 6.582592 3412.763

5.038274 4006.348 6.98162 3250.357

5.450972 3922.552 7.152624 3233.16

5.556967 3884.959 7.287832 3205.49

5.576029 3853.76 7.397174 3153.578

8.512619 2375.232

8.572937 2353.263

8.593643 2351.659

8.633019 2351.022

10.05784 2351.531

11.60695 2166.618

16.60695 2168.404

21.60695 2170.19

26.60695 2171.976

31.60695 2173.761

233

APPENDICE A

1. PLASTICITA’

Esercizio 1: Sistema reticolare a tre aste

Ipotizzando un legame costitutivo di tipo elastico perfettamente plastico trovare il carico ultimo

della struttura in figura analiticamente e confrontarlo con quello ottenuto tramite un’analisi statica

non lineare del tipo incrementale ottenuto con il codice di calcolo.

Dati:

Materiale (Fe360) Geometria

E = 2,1 * 105 N/mm2 H = 5 m

σy = 240 N/mm2 Sezione circolare

εu = 5 % d = 10 cm

La struttura che si sta considerando è formata da tre aste incernierate ad un estremità e collegate tra

loro nell’altra sempre tramite un vincolo di tipo cerniera. La struttura è simmetrica, un’asta è

verticale e le altre due sono inclinate rispetto a questa di 45°. All’estremità in comune delle tre aste

è applicato un carico concentrato P in direzione verticale.

Il sistema reticolare, considerato nel piano, è una volta iperstatico.

g.d.l. = 3*3 = 9

n. vincoli = 3*2 + (3-1)*2 = 10

5 12 3

P

45°

Il reticolo di aste ha un’altezza complessiva di 5 m questo comporta una differenza di estensione tra

l’asta 1 e le aste 2 e 3.

l1 = 5 m

234

l2 = l3 = 5 2 m

Metodo degli spostamenti (metodo analitico):

d

Si applichi uno spostamento verso il basso al vertice in comune tra le tre aste pari a δ in direzione

verticale; questo produrrà nelle tre aste degli sforzi che tenderanno a riportare il sistema nella

configurazione indeformata, pari a:

FF

F2

1

3

P

z

x

δλ

EAF =1

,

132 2

1

4cos

2F

EAFF ===

πδ

λ ;

E’ possibile scrivere le equazioni di equilibrio nella cerniera di vertice:

221 FFP +=

L’unica non nulla è quella lungo l’asse z; in direzione x si hanno due componenti uguali e contrarie

e non vi sono momenti data la natura del vincolo.

Le due equazioni risolventi del problema saranno:

235

=

+=

21

21

2

2

FF

FFP

Considerando la struttura in campo elastico (σ < σr), si avranno degli sforzi di trazione nelle aste

pari a:

222

+=

PF

; 22

21

+=

PF

Si nota come nell’asta 1 si raggiunge un valore di tensione pari al doppio delle altre due aste poiché

questa lavora nella stessa direzione del carico P.

Al limite del campo elastico, cioè quando l’asta 1 raggiunge il valore di plasticizzazione σr, le altre

due aste si muovono ancora lungo il tratto elastico; il massimo valore di carico P applicabile alla

struttura tale che sia raggiunto il massimo valore di tensione il campo elastico è:

rAF σ=1 ; r

e AP

σ=+ 22

2

;

+=

2

21re AP σ

;

Superato il primo valore di snervamento, l’asta 1 comincerà a muoversi lungo il tratto di curva

plastico che, dato il modello elasto-plastico perfetto, porta ad incrementi di spostamento senza

incrementi di tensione. La conseguenza di questo comportamento è che ulteriori incrementi di

carico andranno ad interessare solo le due aste inclinate fino a che, anche loro non raggiungono il

valore di tensione di snervamento.

Il valore del carico applicato per portare a snervamento tutte e tre le aste è:

22

rc

r

APAF

σσ

−==

; )12( += rc AP σ

Svolgimento:

Materiale Geometria

Fe 360 H 5 m

σy 240 N/mm2 d 100 mm

E 2,10E+05 N/mm2 A 7853,98 mm2

εu 0,05

εy 1,14E-03

Lunghezza delle aste

l1 5000 mm

l2 7071 mm

l3 7071 mm

236

Deformazione

∆l1y 6 mm ∆l1u 256 mm

∆l2y 8 mm ∆l2u 511 mm

∆l3y 8 mm ∆l3u 511 mm

carico prima cerniera plastica carico seconda cerniera plastica

Pe 3E+06 N Pc 4550685 N δ 5,71 mm δ 11,43 mm

F1 2E+06 N F1 1884956 N

F2 -F3 942478 N F2 -F3 1884956 N

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

δ [δ [δ [δ [ m m ]

σ [

σ [

σ [

σ [

a st a 1

a st a 2 e a st a 3

0

400

800

1200

1600

2000

0 2000 4000 6000 8000Mi g l i a i a

P (N)

F (

N)

F1

F2 e F3

Analisi statica non lineare di tipo incrementale:

Per lo svolgimento dell’analisi incrementale si è usato il SAP2000.

Il prima battuta è stata definita la geometria e il materiale così come descritto inizialmente

rispettando la sezione, i vincoli esterni ed interni, la lunghezza delle aste e le proprietà meccaniche

dell’acciaio.

A questo punto occorre definire la posizione e il numero di cerniere plastiche nell’intera struttura,

intorno alle quali il programma svolgerà la sua analisi incrementale. Per fare questo si definiscono

due tipi di cerniere plastiche chiamate nel programma “Hinges”, una per l’asta 1, l’altra per le due

aste inclinate.

Il SAP2000 permette di inserire negli elementi frame delle cerniere plastiche puntuali; occorre

quindi sapere già da prima dove si formerà la cerniera plastica così da posizionarla nel punto

preciso. Nel caso in esame non vi sono particolari problemi poiché la cerniera si forma per sforzi

assiali e l’elemento è a sezione costante; la cerniera verrà definita e inserita in mezzeria di ogni asta.

237

In questa schermata ci può definire il comportamento della cerniera in un diagramma forze-

spostamenti. Dato il legame elasto-plastico perfetto, il ramo plastico deve essere perfettamente

orizzontale; il materiale acciaio risponde ugualmente a trazione e a compressione e dunque il

diagramma sarà simmetrico.

Viene richiesto di definire diversi punti individuati da delle lettere dalla A alla E; ognuna di queste

definisce uno stato preciso nel materiale:

Il punto A è sempre l’origine

Il punto B rappresenta lo snervamento. Non serve applicare uno spostamento poiché la cerniera

plastica entra in gioco solo dopo aver raggiunto la tensione di snervamento

Il punto C rappresenta le capacità ultime del materiale per l’analisi di pushover

Il punto D rappresenta la riserva di resistenza per l’analisi di pushover

Il punto E rappresenta il punto ultimo di collasso.

Per la struttura in questione non sono stati considerati i valori di C e D perché non necessari per i

risultati richiesti. I punti C, D e E corrispondono tutti allo stesso punto.

E’ possibile adimensionalizzare il diagramma usando il valore della forza di smervamento (A*σyd) e

della deformazione ultima (εu = 5 %).

I valori di Immediate Occupancy, Life Safety e Collapse Prevention non hanno potere sul

comportamento della struttura ma permettono solo di rappresentare dei punti di tensione quando

raggiunti e superati.

Facendo girare il programma è possibile esaminare la successiva creazione delle cerniere plastiche

attraverso gli steps di analisi del programma.

238

Le cerniere vengono rappresentate a metà di ciascuna asta anche se non è detto sia la loro reale

posizione. L’analisi dei vari steps può servire, soprattutto in strutture più complesse, per studiare

l’ordine nella formazione delle varie cerniere e sapere a che punto la struttura diventa isostatica o

labile.

239

TABLE: Pushover Curve

Step Displacement BaseForce

mm KN

0 0 0

1 5,714 3217,9

2 11,429 4550,79

3 41,429 4550,81

4 71,429 4550,83

5 101,429 4550,85

241

Esercizio 2: TELAIO

Ipotizzando un legame costitutivo di tipo elasto-plastico perfetto, valutare analiticamente e

confrontare con il risultato ottenuto da opportuna analisi con il codice di calcolo il moltiplicatore

ultimo dei carichi del telaio riportato, di caratteristiche assegnate.

H

V

A

C

B

D

L

L L

Dati:


E = 2,1 * 105 N/mm2 L = 5 m

σy = 235 N/mm2 IPE 200

εu = 5 %

242

Svolgimento:

Geometria Materiale IPE 200

h 200 mm E 2.10E+05 N/mm2

h1 183 mm σy 235 N/mm2

b 100 mm σu 360 N/mm2

sa 5.6 mm εu 0.05

e 8.5 mm εe 1.12E-03 I 19430000 mm

A 2850 mm2 L 4000 mm

Me 43371370.3 Nmm

Mp 49270006 Nmm χp 0.0000121 1/mm χu 0.0005 1/mm

χu /χp 41.41


L’analisi incrementale si svolge con l’ausilio del programma SAP2000.

In prima battuta si definiscono le cerniere plastiche così come fatto negli altri casi. Sono tutte

cerniere reagenti a momento M3 ed hanno tutte le stesse caratteristiche

Si applicano ad inizio e fine di ogni frame così da averne due per ogni vertice più due in mezzeria

dell’architrave. Ciò rispecchia in pieno le ipotesi teoriche prima trattate.

243

Si applicano due forze unitarie, orizzontale e verticale così come rappresentato ad inizio

esercitazione. Si combinano nell’analysis cases per definire l’analisi di push-over tramite un

coefficiente moltiplicativo pari ad 1 per V e uno pari a 0,8 per H.

244

Dal programma di calcolo ne segue il seguente sviluppo delle cerniere plastiche :

245

Step l d

- - cm

0 0 0

1 14.175 2

2 28.35 4

3 36.169 5.1033

4 36.277 5.1402

5 39.369 6.791

6 40.736 9.3023

7 41.824 11.3023

8 42.064 11.7431

9 42.064 14.9531

10 42.064 16.9531

11 42.064 18.9531

12 42.064 20.9531

13 42.064 22.9531

14 42.064 24.9531

15 42.064 26.9531

16 42.064 28.9531

17 42.064 32.0042

18 42.064 34.0042

19 42.064 37.3902

20 42.064 39.3902

21 42.064 41.3902

22 42.064 43.9931

23 42.064 45.9931

24 42.064 47.9931

25 42.064 49.9931

26 42.064 50.1304

27 30.582 50.1314

28 30.811 50.5072

29 31.395 52.5072

30 31.548 53.0335

31 31.548 55.0335

32 31.548 57.0335

33 31.548 58.1495

34 15.774 58.1505

….. ….. ….

49 0.000115 85.2576

50 0.000117 87.2576

51 0.00012 89.2576

52 0.000123 91.2576

53 0.000125 93.2576

54 0.000128 95.2576

55 0.000131 97.2576

56 0.000133 99.2576

57 0.000134 100

246

Si riporta di seguito la prima plasticizzazione e la configurazione di collasso:

247

Esercizio 3: Trave doppiamente incastrata

Trovare la risposta in campo elasto-plastico di una trave doppiamene incastrata di caratteristiche

date soggetta a carico .

Dati:


E = 2,1 * 105 N/mm2 L = 4 m

σy = 235 N/mm2 IPE 200

εu = 5 %

Metodo analitico:

La trave doppiamente incastrata è una struttura iperstatica

g.d.l. = 3

n. vincoli = 2*3 = 6

Il sistema è 3 volte iperstatico e dunque la trave non arriva a collasso prima della formazione di tre

cerniere plastiche.

Esaminando il diagramma dei momenti si vede come i primi punti che raggiungono il valore di

momento plastico sono le due estremità incastrate; a questo punto la struttura si può ricondurre ad

una trave semplicemente appoggiata con momenti Mp applicati all’estremità.

L’analisi può essere divisa in due fasi: una, sul sistema incastrato considerando un carico distribuito

p tale da far raggiungere la plasticizzazione degli incastri; la seconda su una trave semplicemente

appoggiata con un carico distribuito ∆p tale da plasticizzare la sezione di mezzeria attraverso un

∆M che si aggiunge a quello della trave doppiamente incastrata. E’ possibile usare la

sovrapposizione degli effetti solo procedendo con una variazione dello schema statico.

248

Nella trave incastrata soggetta al carico distribuito p1 il momento plastico è pari a:

12

21λp

M p =.

Nota la geometria della sezione, è possibile calcolarsi il momento plastico; invertendo l’espressione

precedente si ricava l’entità del carico distribuito da applicare per raggiungere la prima

plasticizzazione; sempre in funzione del momento plastico, si ricava la freccia in mezzeria:

21

12

λ

pMp =

, EI

Mf

p

32

2

1

λ=

Passando allo schema statico di trave semplicemente appoggiata, ci si calcola l’incremento di

momento e di freccia in mezzeria in funzione di ∆p:

2

8

1λpM ∆=∆

, EI

pf

2

384

5 λ∆=∆

Si procede ora con la sovrapposizione degli effetti per il momento di mezzeria:

824

221 λλ pp

M p

∆+=

E’ noto ora il valore di incremento di carico da applicare alla trave dopo la plasticizzazione delle

estremità:

2

4

λ

pMp =∆

Il carico a collasso della struttura è dato dalla somma del carico di plasticizzazione delle estremità e

dell’incremento di carico per la plasticizzazione della mezzeria.

221 16)412(λλ

pp MMppp =+=∆+=

Mentre la freccia massima è pari a:

EI

Mfff

p

2

1 385

20

32

1 λ

+=∆+=

Geometria Materiale sezione IPE 200

h 200 mm E 2.10E+05 N/mm2

h1 183 mm σy 235 N/mm2

b 100 mm σu 360 N/mm2

sa 5.6 mm εu 0.05 -

e 8.5 mm εe 1.12E-03 -

I 19430000 mm χp 1.21E-05 1/mm

A 2850 mm2 χu 0.0005 1/mm L 4000 mm χu/χp 41.41 1/mm

249

p d ANALITICO

KN/m mm

trave incastrata 0 0

trave appoggiata 36.952505 6.037546994

trave a tre cerniere 49.270006 16.07398875


In SAP2000 si procede attraverso un’analisi non lineare della trave dove si studia l’evoluzione delle

cerniere plastiche all’aumentare del carico distribuito.

In primo luogo si definisce la geometria, i vincoli e le proprietà del materiale.

Bisognerà definire le cerniere plastiche che verranno posizionate alle due estremità ed in mezzeria.

In questo caso sono cerniere che rispondono a sollecitazioni flessionali M3

250

Nella definizione delle cerniere, si sceglie di inserire il valore di momento plastico

adimensionalizzato e si assegna il rapporto tra la curvatura di prima plasticizzazione e quella

relativa alle deformazione ultima.

Si applica un carico unitario uniformemente distribuito alla trave così come richiesto dal problema.

Il nodo monitorato sarà quello in mezzeria nel suo abbassamento fino ad uno spostamento massimo

di 0,3 m. I risultati che si ricavano confermano la correttezza del metodo analitico. Di seguito si

riporta la successione nella formazione delle cerniere.

Numerico

251

Carico, p δ

KN/m mm

0 0

36.9525 6.855

49.27 17.189

49.27 47.189

49.27 77.189

49.27 107.189

49.27 137.189

49.27025 167.189

49.27025 197.189

49.27025 201.507

49.27025 201.508

24.10225 201.511

24.51775 204.969

24.51775 221.075

24.51775 221.076

0.00015938 221.079

0.000181 251.079

0.00020263 281.079

0.00021628 300

Esercizio 4: TRAVE APPOGGIATA

252

Ipotizzando un legame di tipo elasto-plastico perfetto valutare analiticamente, e confrontare con i

risultati ottenuti da opportuna analisi con il codice di calcolo, il moltiplicatore ultimo di carico

concentrato applicato nella mezzeria di una trave appoggiata di caratteristiche date.

Dati:


E = 2,1 * 105 N/mm2 L = 5 m

σy = 235 N/mm2 H = 20 cm

εu = 5 % B = 10 cm

La struttura in esame è una trave appoggiata a sezione rettangolare a cui è applicato in mezzeria un

carico concentrato crescente.

L’analisi verrà condotta assumendo un modello a plasticità concentrata , con il codice di calcolo sap

, e un modello a plasticità diffusa, con il codice di calcolo ansys.

Si riporta di seguito la geometria della sezione, le proprietà del materiale e i valori delle grandezze

calcolate in quanto esse rappresentano i dati di input del codice di calcolo.

Considerata una lunghezza di trave pari ad L, il tratto elasticizzato è pari a:

253

LL p

−=

γ

11

Il carico ultimo è pari a:

e

eu

u PL

M

L

MP γγ ===

Analogamente, il calcolo della rotazione della cerniera riferito a un legame elasto-plastico perfetto

è:

eeeu kk ϑχµ

µχϑ ==

−+= λλ

2

1111

2

1

Metodo degli spostamenti (metodo analitico):

Si prenda in considerazione la trave rettangolare appoggiata. In prima istanza si calcolano il

momento elastico e il momento plastico della sezione:

[ ]

[ ]2

2

4

6

bhM

bhM

y

p

y

e

σ

σ

=

=

Il diagramma dei momenti di una trave siffatta soggetta a un carico puntuale in mezzeria raggiunge

il valore massimo in mezzeria , pari a :

0== BA MM λpM C 4

1=

Ciò significa che all’aumentare del carico, la struttura arriverà a collasso per la formazione della

cerniera in mezzeria e quindi si ha il collasso per la presenza di tre cerniere allineate cerniere.

euu PMP γ== 41

λ

Svolgimento:

DATI

l 5 m → L p 1.67 m

I 6.66667E-05 m4

E 210000000 KN/m2

so 235000 KN/m2

Me 156.67 KN m

My 235 KN m

χe 0.0112 1/m → χy/χe 1.5

χy 0.0168 1/m → χu/χy 29.79

χu 0.5 1/m → χu/χe 44.68 → Lc 0.014 m

ANALITICO P,conc δ,conc P,diff δ,diff

254

KN - KN -

Stato iniziale 0 0 0 0

Stato limite elastico 188 0.020982 125.3333 0.013988

Stato ultimo 188 0.027976 188 0.027976

Le grandezze calcolate sono state inserite nel codice di calcolo sap, nel definire la cerniera plastica:

I risultati ottenuti dall’analisi statica non lineare incrementale sono i seguenti:

SAP2000

P δ

255

kN -

0 0

5.884 0.000657

11.768 0.001313

17.653 0.00197

23.537 0.002627

29.421 0.003284

35.305 0.00394

…… ……

158.874 0.017731

164.758 0.018388

170.643 0.019045

176.527 0.019702

182.411 0.020358

188 0.020982

188 0.021422

188 0.021862

188 0.022598

188 0.023038

188 0.023478

188 0.023918

188 0.024358

188 0.02495

188 0.02539

188 0.02583

188 0.02627

188 0.02671

188 0.02715

188 0.02759

188 0.027988

256

2. INSTABILITA’

Esercizio 1: studio del comportamento post critico di un’asta vincolata

a) Comportamento post critico stabile. L’asta è vincolata con una cerniera, e una molla rotazionale

(il vincolo può essere assimilato ad un semincastro, a seconda della rigidezza della molla)

Viene introdotta un’imperfezione nell’asta, per ripristinare l’unicità della soluzione:

Asta imperfetta

l 5 m

f0 0,1 m

f0/l 0,02

J0 0,0200 rad

k 100 kNm/rad

257

- Biforcazione dell’equilibrio (analisi di buckling)

Analisi di Buckling

Pcr [kN]

Analitico SAP2000

20 19,98

Dalla letteratura sappiamo che : KNP

l

kP 20=→=

Per quanto riguarda il calcolo automatico, è stato impostato mediante il codice di calcolo SAP. Si è

definito un caso di analisi di buckling del primo ordine

258

- Comportamento asintotico (imperfezione con effetti P-∆)

Il carico critico, si ricava mediante la seguente espressione nota in letteratura:

ϑ

ϑϑα

ϑ

ϑϑ 00

/

−==⇒

−=

lk

P

l

kP

Comportamento asintotico (P-∆)

Analitico SAP2000

θ[rad] α[-] θ[rad] P [kN] α[-]

0,019997 0 0 0 0

0,071691 0,721061 0,01 6,848 0,3424

0,123384 0,837926 0,02 10,59 0,5295

0,175077 0,88578 0,03 14,269 0,71345

0,226771 0,911817 0,04 16,059 0,80295

0,278464 0,928187 0,05 17,161 0,85805

0,330157 0,939431 0,06 17,899 0,89495

0,38185 0,94763 0,07 18,053 0,90265

0,433544 0,953875 0,08 18,82 0,941

----

---

----

---

----

---

----

---

----

---

Le curve sono state tracciate diagrammando α n funzione dello spostamento (angolo).

Nel caso analitico ϑ

ϑϑα 0−

= , mentre con il codice di calcolo si lk

P

/=α .

È stata impostata un’analisi di buckling che rileva gli effetti del secondo ordine

259

Nel codice di calcolo è stata assegnata come sezione all’elemento una HE 500-A

Nel seguito è riportato il confronto tra le due curve ottenute:

- Comportamento post critico (imperfezione con grandi spostamenti)


ϑ

ϑϑα

ϑ

ϑϑ

sin/sin00 −

==⇒−

=lk

P

l

kP

Comp. postcritico (grandi spostamenti)

Analitico SAP2000


0,019997 0 0 0 0

0,071691 0,721679 0,0314 11,822 0,5911

0,123384 0,840056 0,047179 13,88 0,694

0,175077 0,890321 0,062959 14,944 0,7472

0,226771 0,919679 0,078738 15,674 0,7837

0,278464 0,940292 0,094517 16,228 0,8114

0,330157 0,956717 0,110296 16,65 0,8325

0,38185 0,971057 0,126076 16,984 0,8492

0,433544 0,984425 0,141855 17,257 0,86285

----

---

----

---

----

---

----

---

----

---

Con il codice di calcolo è stata impostata un’analisi non lineare come mostrato nel seguito.

260

Nel seguito è riportato il confronto tra le due curve ottenute:

261

b) Comportamento post critico instabile. L’asta è vincolata inferiormente con una cerniera, e

superiormente con una molla estensionale.


Analisi di Buckling

Pcr [kN]

Analitico SAP2000

250 250

Dalla letterata sappiamo che : KNPlkP 250=→⋅=

Per quanto riguarda il calcolo automatico, è stato impostato mediante il codice di calcolo SAP.

La procedura seguita è del tutto analoga a quella adottata in precedenza.

- Comportamento asintotico (imperfezione con effetti P-∆)


ϑ

ϑϑα

ϑ

ϑϑ 00 −==⇒

−=

kl

PklP

Comp. asintotico (imperfezioni con effetti P-∆)

Analitico SAP2000


0,019997 0 0 0 0

0,058767 0,65972 0,0075 71,765 0,28706

0,097537 0,794978 0,015 119,825 0,4793

0,136307 0,853292 0,0225 146,082 0,584328

0,175077 0,88578 0,03 185,007 0,740028

262

0,213847 0,906488 0,0375 194,027 0,776108

0,252617 0,920839 0,045 214,945 0,85978

0,291387 0,931372 0,0525 228,006 0,912024

0,330157 0,939431 0,06 226,051 0,904204

----

---

----

---

----

---

----

---

----

---

Graficando le due curve



ϑ

ϑϑα

ϑ

ϑϑ

tan

sinsin

tan

sinsin 00 −==⇒

−=

kl

PklP

Comp. post-critico (grandi spostamenti)

Analitico SAP2000


0,019997 0 0 0 0

0,058767 0,658408 0,02355 130,442 0,521768

0,097537 0,790889 0,039329 168,409 0,673636

0,136307 0,844936 0,055109 180,489 0,721956

0,175077 0,87167 0,070888 193,204 0,772816

263

0,213847 0,885145 0,086667 201,484 0,805936

0,252617 0,890797 0,102446 209,094 0,836376

0,291387 0,891176 0,118226 212,731 0,850924

0,330157 0,887643 0,134005 215,574 0,862296

----

---

----

---

----

---

----

---

----

---

Graficando le due curve

c) Comportamento post critico asimmetrico.

L’asta è vincolata inferiormente con una cerniera, e subisce superiormente una forza di richiamo

trasmessa da una molla estensionale come mostrato in figura.

264


Analisi di Buckling

Pcr [kN]

Analitico SAP2000

284857,5 1513,61

Dalla letterata sappiamo che : KNPlkP 5,2848572/ =→⋅=

La molla è stata modellata nel codice di calcolo mediante un frame equivalente della stessa sezione

dell’asta (IPE200). Quindi, per il calcolo analitico è stato necessario calcolare la rigidezza da usare:

Proprietà molla equivalente (IPE 200)

l 7,07 m

A 0,00285 m2

E 2,00E+08 kN/m2

k 80569,87 kN/m

Per quanto riguarda il calcolo automatico, è stato impostato mediante il codice di calcolo SAP,

come detto precedentemente utilizzando per rappresentare la molla un frame equivalente.

Per l’implementazione dell’analisi, si è proceduto come nei casi precedenti.

- Comportamento asintotico (imperfezione effetto P-∆)

Vengono definite due tipologie di aste imperfette, introducendo un’anomalia oraria

265

Asta imperfetta (+θ0) Asta imperfetta (-θ0)

l 5 m l 5 m

f0 0,1 m f0 -0,1 m

f0/l0 0,02 - f0/l0 -0,02 -

J0 0,0200 rad J0 -0,0200 rad

In letteratura:

+

+−==⇒

+

+−=

ϑ

ϑ

ϑα

ϑ

ϑ

ϑ 1

11

1

1

11

1 00

kl

PklP

Vengono studiati nel seguito i diversi comportamenti associati ad una imperfezione in senso orario

e antiorario.

Anomalia oraria e antioraria:

Comportamento asintotico (imperfezione con effetto P-∆)

Teorico SAP2000 Teorico SAP2000

J[rad] α[-] J[rad] P [kN] α[-] J[rad] α[-] J[rad] P [kN] α[-]

0.020 0 0 0 0 -0.020 0 0 0 0

0.059 0.314457 0.02355 31.94 0.0737567 -0.059 0.34691896 -0.02041 23938.88 0.01031895

0.098 0.368797 0.027475 34.2 0.1326843 -0.098 0.43137393 -0.02198 25638.48 0.04609186

0.136 0.385601 0.0314 36.01 0.1765326 -0.136 0.47838212 -0.02355 27318.99 0.07717719

0.175 0.390233 0.035325 37.44 0.2103311 -0.175 0.5137791 -0.02512 28980.61 0.10445419

0.214 0.389626 0.03925 38.58 0.2370973 -0.214 0.54479857 -0.02669 30623.57 0.1285952

0.253 0.386427 0.043175 39.47 0.2587515 -0.253 0.57437291 -0.02826 32248.09 0.15012316

0.291 0.381853 0.0471 40.17 0.2765737 -0.291 0.6040241 -0.02983 33854.36 0.16945093

0.330 0.376532 0.051025 40.72 0.2914502 -0.330 0.63472591 -0.0314 35442.61 0.1869088

0.369 0.370816 0.05495 41.15 0.304014 -0.369 0.66723253 -0.03297 37013.03 0.20276412

0.408 0.364913 0.058875 41.47 0.3147292 -0.408 0.70223287 -0.03454 38565.83 0.21723567

0.446 0.35895 0.0628 41.72 0.3239439 -0.446 0.74044155 -0.03611 40101.21 0.23050416

0.485 0.353006 0.066725 41.9 0.3319244 -0.485 0.78266992 -0.03768 41619.37 0.24272019

0.524 0.347134 0.07065 42.02 0.3388776 -0.524 0.82989848 -0.03925 43120.49 0.25401027

0.563 0.341365 0.074575 42.11 0.344967 -0.563 0.88336766 -0.04082 44604.78 0.26448143

0.602 0.335719 0.0785 42.17 0.3503232 -0.602 0.94470636 -0.04239 46072.42 0.27422486

0.640 0.330209 0.082425 42.19 0.3550521 -0.640 1.01612933 -0.04396 47523.59 0.28331872

0.679 0.324841 0.08635 42.2 0.3592403 -0.679 1.10075892 -0.04553 48958.49 0.2918304

0.718 0.319619 0.090275 42.19 0.3629592 -0.718 1.2031819 -0.0471 50377.29 0.29981829

0.757 0.314543 0.0942 42.16 0.3662684 -0.757 1.33047909 -0.04867 51780.18 0.30733326

0.795 0.309611 0.098125 42.13 0.3692178 -0.795 1.49429175 -0.05024 53167.33 0.3144198

0.834 0.304822 0.10205 42.08 0.3718499 -0.834 1.71543683 -0.05181 54538.92 0.32111704

0.873 0.300172 0.105975 42.03 0.3742007 -0.873 2.03586094 -0.05338 55895.11 0.32745949

.….. .….. …… ……….. …… …….. …… …… ……. ……..

.….. …... ………… ………. …… ……. …… …… ……. …….

267


Vengono definite due tipologie di aste imperfette, introducendo un’anomalia oraria

Asta imperfetta (+θ0) Asta imperfetta (-θ0)

l 5 m l 5 m

f0 0,1 m f0 -0,1 m

f0/l0 0,02 f0/l0 -0,02

J0 0,0200 rad J0 -0,0200 rad

In letteratura:

+

+−==⇒

+

+−=

ϑ

ϑ

ϑα

ϑ

ϑ

ϑ sin1

sin11

tan

1

sin1

sin11

tan

1 00

kl

PklP

Vengono studiati nel seguito i diversi comportamenti associati ad una imperfezione in senso orario

e antiorario.

Anomalia oraria e antioraria :

Comportamento postcritico (grandi spostamenti)

Teorico SAP2000 Teorico SAP2000

θ[rad] α[-] θ[rad] P [kN] α[-] J[rad] α[-] θ[rad] P [kN] α[-]

0.020 0 0 0 0.0000 -0.020 0 0 0 0.0000

0.059 0.313839 0.02355 31.4 0.3489 -0.059 0.34622 -0.02041 22559.78 0.0103154

0.098 0.36694 0.027475 30.98 0.3442 -0.098 0.4291 -0.02198 24055.01 0.0460742

0.136 0.381932 0.0314 30.9 0.3433 -0.136 0.473526 -0.02355 25520.64 0.07714444

0.175 0.384239 0.035325 31.02 0.3447 -0.175 0.50519 -0.02512 26957.45 0.10440528

0.214 0.380841 0.03925 31.23 0.3470 -0.214 0.531163 -0.02669 28366.23 0.12852903

0.253 0.374431 0.043175 31.49 0.3499 -0.253 0.554179 -0.02826 29747.7 0.15003859

0.291 0.366264 0.0471 31.76 0.3529 -0.291 0.575523 -0.02983 31102.58 0.16934678

0.330 0.357003 0.051025 32.04 0.3560 -0.330 0.595884 -0.0314 32431.56 0.18678385

0.369 0.34703 0.05495 32.31 0.3590 -0.369 0.615665 -0.03297 33735.3 0.20261714

0.408 0.33658 0.058875 32.57 0.3619 -0.408 0.635122 -0.03454 35014.45 0.2170654

0.446 0.325804 0.0628 32.81 0.3646 -0.446 0.654425 -0.03611 36269.61 0.23030933

0.485 0.314804 0.066725 33.03 0.3670 -0.485 0.673698 -0.03768 37501.39 0.24249951

0.524 0.30365 0.07065 33.23 0.3692 -0.524 0.693029 -0.03925 38710.37 0.25376242

0.563 0.29239 0.074575 33.42 0.3713 -0.563 0.712491 -0.04082 39897.09 0.26420511

0.602 0.281062 0.0785 33.59 0.3732 -0.602 0.732139 -0.04239 41062.1 0.27391873

0.640 0.269689 0.082425 33.74 0.3749 -0.640 0.752023 -0.04396 42205.92 0.28298143

0.679 0.258293 0.08635 33.88 0.3764 -0.679 0.772184 -0.04553 43329.05 0.2914606

…… …… …… …… …… …… …… …… …… ……

269

Esercizio 2: Andamento del carico critico in funzione della rigidezza del vincolo

a) Trave incernierata

Alla trave vengono assegnate le seguenti caratteristiche geometriche:

Profilo IPE200

l 5 m

E 2.10E+08 kN/m2

J 1.94E-05 m4

k* 322.17 kN/m

Dalla letteratura è noto che :2

2

l

EIPn ξ=

Con il codice di calcolo viene eseguita l’analisi di buckling sull’elemento frame discretizzato in 10

sotto elementi. Sotto è riportato il confronto tra i risultati dell’analisi eseguita con il codice di

calcolo e quelli ottenuti analiticamente.

270

Pcr [kN] k [kN/m]

Analitico SAP2000

0 0.00 0.00

25 125.00 125.00

50 250.00 250.00

75 375.00 375.00

100 500.00 500.00

125 625.00 625.00

150 750.00 750.00

175 875.00 875.00

200 1000.00 1000.00

250 1250.00 1250.00

300 1500.00 1500.00

322.17 1610.84 1507.13

330 1610.84 1507.13

350 1610.84 1507.13

400 1610.84 1507.13

450 1610.84 1507.13

500 1610.84 1507.13

600 1610.84 1507.13

1000 1610.84 1507.13

1500 1610.84 1507.13

2000 1610.84 1507.13

a) Trave incastrata

Alla trave vengono assegnate le seguenti caratteristiche geometriche:

Profilo IPE200

l 5 m

E 2.10E+08 kN/m2

J 1.94E-05 m4

k* 322.17 kN/m

Dalla letteratura è noto che :2

2

l

EIPn ξ=

271

Con il codice di calcolo viene eseguita l’analisi di buckling sull’elemento frame discretizzato in 10

sotto elementi. Sotto è riportato il confronto tra i risultati dell’analisi eseguita con il codice di

calcolo e quelli ottenuti analiticamente.

SAP2000 Analitico

k ξ Pcr ξ Pcr

[kN/m] [-] [kN] [-] [kN]

0 0.00 400.93 0.00 402.71

25 0.88 501.80 0.75 476.90

50 1.24 601.70 0.85 497.91

75 1.52 700.57 0.95 521.51

100 1.75 798.33 1.05 547.67

125 1.96 894.88 1.15 576.38

150 2.14 990.13 1.25 607.60

175 2.32 1083.97 1.35 641.32

200 2.48 1176.28 1.45 677.51

250 2.77 1355.86 1.55 716.13

300 3.03 1527.78 1.65 757.15

322.17 3.14 1601.26 1.75 800.52

350 3.27 1690.87 1.85 846.21

400 3.50 1848.90 1.95 894.16

450 3.71 1985.71 2.05 944.31

500 3.91 2115.32 2.15 996.60

272

600 4.29 2335.87 2.25 1050.96

650 4.46 2426.96 2.35 1107.31

700 4.63 2506.13 2.45 1165.56

750 4.79 2574.47 2.55 1225.61

800 4.95 2633.23 2.65 1287.36

900 5.25 2727.09 2.75 1350.67

1000 5.53 2796.92 2.85 1415.41

1500 6.78 2970.00 2.95 1481.43

2000 7.83 3035.76 3.05 1548.55

3000 9.59 3089.72 3.15 1616.59

4000 11.07 3112.93 3.25 1685.33

5000 12.38 3125.80 3.35 1754.55

6000 13.56 3133.97 3.45 1823.99

7000 14.64 3139.62 3.55 1893.38

8000 15.66 3143.75 3.65 1962.44

9000 16.60 3146.91 3.75 2030.85

10000 17.50 3149.40 3.85 2098.29

15000 21.44 3156.68 …. …

20000 24.75 360.22 14.95 3263.381

273

Esercizio 3: Andamento della curva carico-spostamento di un arco a tre cerniere ribassato

DATI

Hp: non linearità precritica

L0 [m] 2

H0 [m] 0.2

H0/L0 0.1 ribassamento

θ0 [rad] 0.100 anomalia

λ 50 snellezza

n 18 discretizzazione

Dalla letteratura sono note le relazioni da utilizzare per il calcolo dei parametri necessari a

individuare il comportamento del sistema :

Al variare della snellezza degli elementi strutturali varia il meccanismo di instabilità, per cui si

riporta separatamente, per le aste tozze e snelle, prima il confronto tra i risultati ottenuti

analiticamente e quelli ottenuti dall’analisi con il codice di calcolo e successivamente si riportano

sullo stesso grafico i risultati relativi a snellezze diverse ( λ = 50 , λ = 75 ).

Asta tozza (λ=50)

λ 50 snellezza

ρ [mm] 40 raggio giratore d'inerzia

E [MPa] 210000 modulo elastico

Profilo HE 1000A

I [cm4] 553800 momento d'inerzia

n 40 numero di punti

ϑϑϑη tancossin 000

−==L

v

)tancos(sin2tancossin

tancossin2)]([ 0

2

00

02 ϑϑϑληϑϑϑ

ϑϑϑλϑη −=

−

−=p

ϑπ sin2 2=Ep

λρ

ρλ 00 LL

=⇒=

274

Asta snella (λ=75)

λ 75 snellezza ρ [mm] 26.67 raggio giratore d'inerzia

E [MPa] 210000 modulo elastico

Profilo HE 650A

I [cm4] 175200 momento d'inerzia

n 40 numero di punti

Costruzioni Metalliche - Iorio Di Mauro Stellavato

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