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Costruzioni in ZonaSismicaLezione 9

Sistemi a più gradi di libertàOscillazioni libere non

smorzate

Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate

Ogni insieme di N vettori indipendenti può essere utilizzatocome una base per rappresentare qualunque vettore di ordineN

Espansione modale degli spostamenti

Segue dunque che I modi naturali di vibrazione possonoessere utilizzati come una base per descrivere i vettori

spostamento:

dove qr sono scalari detti coordinate modali.

Per un determinato vettore u è possibile determinare qr:


E considerando l’ortogonalità dei modi, tutti I termini dellasommatoria svaniscono tranne I termini per i quali r=n:

scalari


Giocano un ruolo importante sia nelle oscillazioni libere sianelle oscillazioni forzate



esempioEspansione modale del vettore u=<1 1 >T



EXAMPLEDetermine the modal expansion of the displacement vectoru=<1 1 >T



Oscillazioni libere in assenza di smorzamento

u(t)

Sovrapponendo la risposta di ogni singolo modo


sono 2N costanti di integrazione che possono esseredeterminate sulla base delle condizioni iniziali.

Considerando anche la velocità:


E ponendo t=0:

Ognuno di questi due set di equazioni rappresenta Nequazioni algebriche nelle incognite An e Bn.


Considerando che:

dove:

Possiamo scrivere:


Poichè queste equazioni sono equivalenti, segue:


conseguentemente:

O in forma compatta:

dove:

È la variazione nel tempo delle coordinate modali, analogo alcaso del sistema a un grado di libertà


esempi

Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Con riferimento al telaio shear-type riportato in figura, si determinino:- Le pulsazioni naturali- I modi di vibrazione normalizzati rispetto la matrice

delle masse- La risposta della struttura soggetta a vibrazioni

libere con spostamenti iniziali sia diversi dai modi e sia uguali ai modi di vibrazione

0.70711.4142

1

2

0.4082 0.57740.8165 -0.5774

Lezione 9

Svolgimento utilizzando Matlab

Lezione 9

%modi di vibrazione e oscillazioni libere - telaio shear type a due pianiclear allclc%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%k=1;m=1;% matrice delle rigidezzeK=[3*k -k; -k k]%matrice delle masseM=[2*m 0; 0 m] K =

3 -1-1 1

M =

2 00 1


Lezione 9

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%risoluzione problema agli autovalori[Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K)%%riordino autovalori-autovettori[OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p))OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATIfor ii=1:2

Fi(:,ii)=Fi_p(:,index(ii));endFiOM=sqrt(OM_q)

Fi_p =

0.7071 0.4472-0.7071 0.8944

OM_q_p =

2.0000 00 0.5000


Lezione 9

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%risoluzione problema agli autovalori[Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K)%%riordino autovalori-autovettori[OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p))OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATIfor ii=1:size(OM_q,1)


OM_q_p =

0.50002.0000

index =

21


Lezione 9



OM_q =

0.5000 00 2.0000


Lezione 9



Fi =

0.4472 0.70710.8944 -0.7071

OM =

0.7071 00 1.4142


Lezione 9

%matrice modale delle masseMf=Fi'*M*Fi%matrice modale delle rigidezzeKf=Fi'*K*Fi%normalizzazione modifor ii=1:size(K,2)

Fim(:,ii)=Fi(:,ii)*1/sqrt(Mf(ii,ii));endFimFim'*M*FimFim'*K*Fim

Mf =

1.2000 00 1.5000

Kf =

0.6000 0.00000 3.0000


Lezione 9

%matrice modale delle masseMf=Fi'*M*Fi%matrice modale delle rigidezzeKf=Fi'*K*Fi%normalizzazione modifor ii=1:size(K,2)

Fim(:,ii)=Fi(:,ii)*1/sqrt(Mf(ii,ii));endFimFim'*M*FimFim'*K*Fim

Fim =

0.4082 0.57740.8165 -0.5774

ans =

1 00 1

ans =

0.5000 -0.00000 2.0000

%figurefigure(1)axis([-3 6 0 5]);X1=[0 0 0]';Y1=[0 2 4]';X1m=[0 Fi(1,1) Fi(2,1)]';X2m=[0 Fi(1,2) Fi(2,2)]';hold onplot(X1, Y1,'-*')plot(X1m, Y1,'r-*')plot(X2m, Y1,'g-*')


Lezione 9

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5


Lezione 9

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% oscillazioni libere %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%condizioni inizialiu_0=[Fi(1,1) Fi(2,1)]';up_0=[0.0 0.0]';%%coordinate modali all'istante inizialeq1_0=(Fi(:,1)'*M*u_0)/(Fi(:,1)'*M*Fi(:,1))q2_0=(Fi(:,2)'*M*u_0)/(Fi(:,2)'*M*Fi(:,2))q1p_0=(Fi(:,1)'*M*up_0)/(Fi(:,1)'*M*Fi(:,1))q2p_0=(Fi(:,2)'*M*up_0)/(Fi(:,2)'*M*Fi(:,2))OM_1=OM(1,1);OM_2=OM(2,2);

q1_0 =

1

q2_0 =

0

q1p_0 =

0

q2p_0 =

0


Lezione 9index=1;for t=0:0.2:25

u(1:2,index)=(Fi(:,1)*q1_0*cos(OM_1*t)+OM_1^-…1*Fi(:,1)*q1p_0*sin(OM_1*t))+(Fi(:,2)*q2_0*cos(OM_2*t)+OM_2^-1*Fi(:,2)*q2p_0*sin(OM_2*t));

T(1,index)=t;figure (2)grid onhold onplot(T(1,:),u(1,:)','b-*')plot(T(1,:),u(2,:)','r-+')legend('piano 1', 'piano 2')index=index+1;

end

0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

piano 1piano 2

Vibrazioni libere in presenza di smorzamento

Lezione 9

Vibrazioni libere smorzate

Equazioni del moto:

E condizioni iniziali:

Considerando i modi di vibrazione in assenza dismorzamento:

E pre-moltiplicando per T si ottiene:

Lezione 9

La matrice quadrata C può essere o non essere diagonale,a seconda della distribuzione dello smorzamento nelsistema.

se C è diagonale, la (*) rappresenta N equazionidifferenziali disaccoppiate nelle N coordinate modali qn, e ilsistema viene detto classicamente smorzato.

(*)


Lezione 9

Questi sistemi posseggono gli stessi modi di vibrazione delcaso di assenza di smorzamento

Sistemi con smorzamento tale che C non risulta diagonalevengono detti non classicamente smorzati: hanno modi divibrazione diversi dal caso non smorzato.

(*)


Lezione 9

esempio 1: sistema non classicamente smorzato


Lezione 9

Esempio 1: sistema non classicamente smorzato

Modi naturali


Lezione 9


C non è diagonali e le equazioni risultano accoppiate!


Lezione 9


Spostamenti iniziali proporzionali al primo modo di vibrare


Lezione 9


Spostamenti iniziali proporzionali al secondo modo di vibrare


Lezione 9


osservazioni: La deformata iniziale varia durante le oscillazioni.


Lezione 9


osservazioni: Il moto per ogni grado di libertà non è più un’armonica

semplice smorzata con un’unica frequenza.


Lezione 9

Esempio 2: sistema classicamente smorzato

Solo una differentedistribuzione di smorzamentonella struttura


Lezione 9

Sono lestesse

È diverso



Lezione 9

i modi naturali sono gli stessi



Lezione 9

C è diagonale e le due equazioni sono disaccoppiate



Lezione 9

Ognuna delle N equazioni differenziali incoordinate modali risulta:

ha la stessa forma del caso dell’oscillatore semplice.



Lezione 9

Può essere definito un rapporto dismorzamento per ogni modo di vibrazionecome nell’oscillatore semplice:



Lezione 9

Spostamenti iniziali proporzionali al primo modo di vibrare



Lezione 9

Spostamenti iniziali proporzionali al secondo modo di vibrare



Lezione 9

osservazioni: La deformata iniziale si conserva durante le oscillazioni



Lezione 9

osservazioni: Il moto di ogni massa è simile a quello del sistema senza

smorzamento ma l’ampiezza del moto decresce



Lezione 9

osservazioni: Il moto di ogni piano è un’armonica semplice smorzata con

un’unica frequenza come nel caso dell’oscillatoresemplice.



Lezione 9

Soluzione equazioni del moto: sistemiclassicamente smorzati


Lezione 9

Dividendo per Mn:

è della stessa forma delle equazioni che governano l’oscillatoresemplice con smorzamento:

where:


Lezione 9

L’effetto dello smorzamento sulle frequenze naturali e suiperiodi è trascurabile per valori di n inferiori al 20%


Lezione 9

L’ampiezza dello spostamento relativo a ogni grado di libertàdiminuisce ad ogni ciclo è la riduzione dipende dal rapporto dismorzamento legato ad ogni modo.


Lezione 9

Metodi di risoluzione per il problema agli autovalori


Lezione 9

Equazionecaratteristica

La valutazione degli N coefficienti può richiedere un elevatoonere computazionale con radici numericamente molto sensibili

Sono stati sviluppati molti metodi basati sutecniche iterative


Lezione 9

Quoziente di Rayleigh

(è diverso da zero poichè m è definita positiva)


Lezione 9

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