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Cosmologia teorica(1)

1 Spazio tempo di Minkowski

Lo spazio-tempo di Minkowski (M4 o semplicemente M) è un oggetto matematico utile a

modellizzare lo spaziotempo della relatività ristretta. Prende il nome dal suo creatore, il

matematico tedesco Hermann Minkowski. Fino all'epoca pre-einsteiniana lo spazio

tridimensionale era tenuto ben distinto dal tempo ed entrambi erano considerati assoluti. I

lavori di Jules-Henri Poincaré, Lorentz e, soprattutto, la relatività speciale (1905) di Albert

Einstein mostrarono invece un legame indissolubile fra spazio e tempo, ed entrambi i concetti

persero il loro carattere assoluto. Prima di Einstein, l'universo poteva essere rappresentato da

uno spazio euclideo tridimensionale R3, ovvero a 3 dimensioni, e la variabile temporale

considerata indipendentemente da tale spazio. L'avvento della relatività speciale indusse però

alla necessità di creare una struttura matematica diversa e quadridimensionale, comprensiva

delle relazioni fra spazio e tempo: questa struttura matematica, denotata con M4 o R

1,3, fu

introdotta nel 1907 da Hermann Minkowski. Lo spazio-tempo di Minkowski fornisce un

semplice modello "locale" per la relatività ristretta. Non è tuttavia utilizzabile per descrivere

l'universo nel suo complesso: la relatività generale (1915), incorporando la forza di gravità,

descrive infatti l'intero spazio-tempo come uno spazio "curvo" (cioè una varietà), di cui lo

spazio-tempo di Minkowski è soltanto la versione "locale" o "piatta", cui si può ricorrere per

approssimare lo spazio-tempo curvo nell'intorno di un evento. Come in ogni modello di spazio-

tempo, ogni punto dello spazio ha quattro coordinate , tre delle quali rappresentano

un punto dello spazio, e la quarta un preciso momento temporale: intuitivamente, ciascun punto

rappresenta quindi un evento, un fatto accaduto in un preciso luogo in un preciso istante. Il

movimento di un oggetto puntiforme è quindi descritto da una curva, con coordinata temporale

crescente, detto linea di universo. Nello spazio-tempo galileiano, la distanza fra due oggetti

nello spazio e fra due eventi nel tempo è una quantità assoluta, che non dipende dal sistema di

riferimento inerziale in cui è posto l'osservatore. Nella relatività ristretta, ambedue queste

quantità diventano invece relative. I cambiamenti di coordinate fra sistemi di riferimento sono

infatti più complicati, descritti dalle trasformazioni di Lorentz. Vi è comunque una "distanza"

che non dipende dal riferimento (cioè che non viene modificata da una trasformazione di

Lorentz): questa "distanza" fra due eventi e è detta separazione

spazio-temporale ed è la quantità

2

dove c è la velocità della luce. Questo numero reale d2, che può

essere positivo, negativo o nullo, è la separazione spazio-temporale fra i due eventi,

o intervallo, e non dipende dal riferimento su cui è posto l'osservatore. A differenza dello

spazio-tempo galileiano, ciascuna delle due componenti – spaziale e temporale – date

da e non è però invariante. La

separazione spazio-temporale è una quantità invariante per tutte le trasformazioni del gruppo di

Poincaré (comprendente le trasformazioni di Lorentz e le usuali traslazioni dello spazio).

Figura:Il cono di luce in una versione tridimensionale dello spaziotempo di Minkowski

Fonte:Wikipedia

3

Figura: La linea di universo percorsa da un corpo nello spaziotempo di Minkowski. Il corpo

non può in nessun istante viaggiare più veloce della luce: la tangente alla curva in ogni punto è

quindi sempre un vettore tempo.

Fonte:Wikipedia

Poiché può assumere valori negativi, la separazione spazio-temporale non è un'usuale

distanza

L'intervallo fra due eventi e può essere

positivo, nullo o negativo: il vettore è quindi detto:

di tipo spazio se ,

di tipo luce (anche detto isotropo o nullo) se ,

di tipo tempo se .

I vettori di tipo luce uscenti da formano il cosiddetto cono di luce centrato in P.

Dato che la rappresentazione in quattro dimensioni risulta essere graficamente difficile, nelle

descrizioni si usa abbandonare per semplicità una o due coordinate spaziali, rappresentando ad

esempio il sistema bidimensionale o tridimensionale . Nella descrizione

tridimensionale, il cono di luce è effettivamente un (doppio) cono, uscente da . Fissando

4

l'origine in , il cono di luce nel sistema tridimensionale è formato da tutti i punti tali

che , ovvero

Figura:Versione tridimensionale dello spaziotempo di Minkowski.

Fonte:Wikipedia

I vettori di tipo tempo uscenti da P possono essere ulteriormente scomposti in due classi: i

vettori temporali futuri, la cui componente temporale t è positiva, e quelli passati, con t

negativo. Analogamente, il cono di luce contiene i vettori nulli futuri, aventi (t>0), ed i nulli

passati (t<0).

Il movimento di un oggetto puntiforme è descritto come una curva, con coordinata temporale

sempre crescente. Una siffatta curva è detta linea di universo. Poiché secondo la teoria

della relatività ristretta tale oggetto non può viaggiare più veloce della luce, in ogni punto il suo

vettore tangente è di tipo tempo futuro, o al limite nullo futuro, se l'oggetto viaggia alla velocità

della luce. Per questa restrizione, se due eventi e hanno distanza positiva, cioè è di

tipo spazio, questi non possono essere correlati da nessuna linea di universo: in altre parole,

l'evento in non può in nessun modo condizionare l'evento in , che è quindi irraggiungibile

per . L'insieme dei punti al di fuori del cono di luce è a volte detto altrove assoluto, oppure

presente relativo. La coordinata temporale è generalmente moltiplicata per per ottenere

quattro coordinate fisicamente omogenee (tutte spaziali). Inoltre, nei modelli iniziali dello

spazio di Minkowski la coordinata temporale era anche moltiplicata per l'unità immaginaria i e

messa al primo posto, così da ottenere quattro coordinate con , ove

le altre tre coordinate sono usuali coordinate spaziali reali.

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La moltiplicazione per i è un artificio per ottenere, tramite applicazione della normale distanza

euclidea fra vettori e , la separazione spazio-temporale:

Scegliendo, invece, di porre la coordinata , senza l'unità immaginaria, l'intervallo

prende la seguente forma:

Con il passare del tempo, si è preferito abbandonare la coordinata immaginaria e definire lo

spazio-tempo di Minkowski matematicamente come un usuale spazio euclideo a coordinate

reali, su cui è però definita una distanza differente da quella euclidea. Tale distanza è ricavata

da un prodotto scalare differente da quello ordinario. Più precisamente, oggi si definisce uno

spazio-tempo di Minkowski come uno spazio affine di dimensione 4, dotato di un prodotto

scalare con segnatura , ossia (-,+,+,+). Tale prodotto scalare è pertanto non degenere, ma

non è definito positivo . Molti matematici e fisici definiscono lo spazio-tempo di Minkowski

come lo spazio dotato del prodotto scalare opposto, di segnatura , cioè (+,-,-,-), tant'è che

non esiste una vera convenzione sulla segnatura: le proprietà fondamentali dello spazio sono

comunque le stesse in entrambi i casi e questo prodotto scalare è chiamato pseudo-euclideo.

Un esempio di spazio-tempo di Minkowski è lo spazio dotato del prodotto scalare

Detto spazio si denota a volte con il simbolo M4 o R

3,1;

L'esempio citato è fondamentale: difatti, per il teorema di Sylvester, ogni spazio-tempo di

Minkowski è isomorfo a R3,1

. Un isomorfismo è costruito a partire da una qualsiasi base

ortogonale tale che:

Una base ortogonale di questo tipo viene spesso chiamata base ortonormale, e può essere

costruita tramite l'algoritmo di Lagrange.

In notazione tensoriale, una base ortonormale è una base che soddisfa

l'identità:

dove e variano fra i valori e la matrice è data da:

6

Relativamente ad una base ortonormale, le componenti di un vettore sono scritte tramite le

loro coordinate . Usando la notazione di Einstein, si scrive brevemente:

La componente è chiamata componente temporale di , mentre le altre sono le componenti

spaziali. Queste componenti dipendono dalla base scelta e non sono intrinsecamente legate a :

questo è un concetto fondamentale nello spazio-tempo di Minkowski, legato al fatto che spazio

e tempo non sono assoluti. Per evidenziare questa differenza con l'ordinario spazio euclideo, i

vettori di uno spazio-tempo di Minkowski sono spesso chiamati quadrivettori.

Il prodotto scalare fra due vettori e scritti in coordinate è quindi:

7

2 Principio cosmologico Le evidenze trovate fino ad ora suggeriscono che l'universo e’ omogeneo (densita’ costante in

funzione del solo tempo cosmico), isotropo (proprieta’ che non dipendono dalla direzione di

osservazione in un determinato istante cosmico) e in espansione uniforme (tasso di espansione

H0 uguale per tutte le direzioni di osservazione). Queste proprieta’ sono state trovate da un

osservatore particolare (noi) al tempo t-t0 (quale che sia la scala del tempo cosmico).

L'assunzione alla base del modello cosmologico prende il nome di Principio Cosmologico e

consiste nell'indipendenza di queste proprieta’ dall'osservatore: qualsiasi osservatore in

qualsiasi parte dello spazio e in qualsiasi tempo deve ottenere dalle osservazioni gli stessi nostri

risultati.

Figura : Significato della velocita’ di recessione: lo spazio e’ rappresentato dalla quadrettatura.

Le galassie si mantengono ferme" nella loro posizione ma l'espansione dello spazio da luogo ad

una velocita’ apparente di allentamento. Questa velocita’ di recessione e’ osservata

indifferentemente da tutte le galassie.

Fonte: Introduzione alla Cosmologia. Alessandro Marconi

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L’Universo appare lo stesso in tutte le direzioni a tutti gli osservatori fondamentali che si

trovino ad osservare al medesimo tempo cosmico. Ovviamente, da quanto visto in precedenza,

il Principio vale solo su scale spaziali grandi (superiori ad un centinaio di Mpc almeno), in

quanto su scale piu' piccole si manifestano deviazioni dall'omogeneita' che sono sempre piu'

rilevanti man mano che si scende in scala.

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3 Legge di Hubble Le lunghezze d'onda delle transizioni atomiche e molecolari presenti negli spettri erano

sistematicamente piu’ grandi dei valori di laboratorio, ovvero erano sistematicamente spostate

verso il rosso (redshif-ted); il redshift z cosi’ definito era proporzionale alla distanza D delle

galassie.

L’effetto Doppler e’ la modifica delle lunghezze d’onda dei fotoni a seguito del moto relativo

sorgente osservatore e stabilita in base alla trasformata di Lorentz risulta essere:

λλ

c

vc

v

−

+=

1

1

0

Ove λ e 0λ sono la lungh onda emessa e osservata. Per v piccola rispetto a c si ottiene:

zc

v

c

vc

v

e ≡≅−

−

+=

−=

−=

∆1

1

1

0

00

ν

νν

λ

λλ

λ

λ

Hubble trovo’ inoltre che

Dzem

emoss αλ

λλ=

−=

Con _oss e em valori osservati e emessi. Interpretando il redshift come effetto Doppler, si

poteva ottenere una relazione tra la velocita’ di recessione delle galassie Vgal e la loro distanza

DHDcczVgal 0=== α

H0 e’ nota con il nome della costante di Hubble e misure recenti la pongono

H0 =70 kms-1

Mpc-1

(1pc=3.08567758 × 1016

m)

Si ottiene inoltre la distanza delle varie galassie se v<<c e z<<1 con la sola misura del redshift

effettuabile con spettrografi

[ ]MpczzH

cD 4300

0

≅=

10

Il nostro universo ha una eta’ finita, e cio’ si ricava dalle datazioni degli elementi radioattivi,

datazione della popolazione stellare e delle nane bianche e dalla stessa espansione di Hubble

con cv <<

τ

DDHzcv === 0

Immaginando di ricostruire il moto generale di espansione a ritroso nel tempo con velocita’ di

espansione costante, possiamo chiederci quanto tempo le galassie vicine abbiano impiegato a

percorrere 1 Mpc (1Mpc=3.08567758 × 1022

m )alla velocita’ di 70 Km/sec: a quel tempo tutte

le galassie dovevano essere in contatto tra loro. Otteniamo in questo modo, il tempo di Hubble

Gyrs

s

cm

cm

v

D14

107

1008.3

6

24

=

⋅

⋅==τ

Il raggio di Hubble dell’universo e’ invece il percorso effettuato dalla luce durante questo

tempo

MpccmH

ccRH 43001031014103

7910

0

=⋅⋅⋅⋅⋅=== τ

Che corrisponde alla relazione precedente

zzH

cD 4300

0

≅=

In conclusione l'espansione universale contiene in se una indicazione per un Universo di eta'

finita. Questa ancora non e' certamente una prova, ma solo un indizio, in quanto niente dice che

la velocita' di espansione sia stata costante nel passato.

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Figura: Distribuzione delle galassie nell’universo vicino, con velocita’ di recessione <15.000

Km/sec (200 Mpc).

Circa 14.000 galassie appaiono in questa figura. La posizione della Via Lattea e’ al centro. La

zona di avoidance dovuta al piano galattico e’visibile. Nel piano del grafico sono proiettate

tutte le galassie con declinazione compresa tra 8.5 e 44.5 gradi.

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

La legge di Hubble indica che tutte le galassie si allontanano da noi con una velocita’ radiale

che e’ proporzionale alla distanza ma indipendente dalla direzione verso cui facciamo le

osservazioni: per esempio una galassia distante 10Mpc si allontana da noi con una velocita’ di

recessione pari a 700 kms-1

. La legge di Hubble indica quindi che l'universo e’ in espansione

uniforme, almeno dal nostro punto di vista. Non e’ immediato capire il significato

dell'espansione e come la legge di Hubble possa valere per una qualsiasi osservatore se

apparentemente, noi siamo il centro dell'espansione. In realta’, non esiste alcun centro

dell'espansione, tutto lo spazio e quindi tutte le distanze in esso misurate si espandono

uniformemente nel tempo Un concetto implicito in tutto cio’ e’ quello relativo all’esistenza di

un tempo cosmico universale, che denotiamo con t Possiamo in prima approssimazione

pensare che il tempo cosmico corrisponda alla scala temporale in uno spazio-tempo

quadridimensionale di tutti i sistemi di riferimento dotati di moto nullo rispetto al fluido

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cosmico locale. L’Universo puo’ cosi’ essere concepito come una varieta’ quadridimensionale

di tipo spazio, che ha come sezioni a tempo costante sottospazi a 3 dimensioni.

L’importante differenza rispetto a trattazioni basate sulla Relativita’ Speciale e’ che in ambito

cosmologico ha senso fare riferimento ad un tempo assoluto, che e’ quello che accomuna tutti

gli osservatori fondamentali che vedono la stessa pittura dell’Universo. E’ importante

sottolineare che questo non e’ solo un concetto astratto, ma che esistono osservazioni che

permettono di sincronizzare tutti gli osservatori fondamentali. La piu’ ovvia di queste

osservazioni riguarda la temperatura della radiazione cosmica di fondo nelle microonde, una

componente radiativa che permea l’Universo: noi possiamo ad es. immaginare di informare

altri osservatori in altri punti dello spazio-tempo con i quali noi veniamo in contatto, dicendo

che noi “ci troviamo al tempo cosmico corrispondente ad una temperatura della radiazione di

fondo di TCMB=2.728 K”.

Considerate due qualsiasi distanze il e jl misurate a due qualsiasi tempi t1 e t2 risulti:

)(

)(

)(

)(

1

2

1

2

tl

tl

tl

tl

j

j

i

i =

questo e’ il significato dell'espansione uniforme: tutte le lunghezze variano dello stesso fattore

in un dato intervallo di tempo. Questo significa che

)()(

)(

)(

)(

1

2

1

2 tatl

tl

tl

tl

j

j

i

i ==

ovvero il rapporto tra due qualsiasi lunghezze deve rimanere costante nel tempo, e questo non

puo’ essere altro che una funzione universale )(ta del tempo, indipendente dalla posizione.

Ogni galassia vede allontanarsi le altre a velocita’ costante: questa non e’ una vera velocita’,

perche’ tutte le galassie stanno ferme nella loro posizione, ma e’ la conseguenza dell'espansione

dello spazio. Scegliamo un riferimento centrato su di noi e consideriamo una data galassia; il

modulo del vettore posizione della galassia varia a causa dell'espansione e pertanto la velocita’

di recessione dall’origine della galassia1 e’ quindi:

[ ] )(1)(

1)(

)()()()(10

12

1

1

2

12

1

12

12

1 trHtt

tr

tr

tr

tt

tr

tt

trtrv i

i

i

iiii =−−

=

−

−=

−

−= α

Cio’ vale per qualsiasi punto e quindi:

13

[ ] )(1)(

10

12

1 trHtt

trv n

nn =−

−= α

Immaginiamo che la materia nell’universo venga diffusa omogeneamente, come appunto in un

fluido: questo fluido ideale e’ chiamato il substrato cosmico. Un osservatore fondamentale e’

un sistema di riferimento solidale con il substrato. Se il substrato e’ in moto, allora

l’osservatore fondamentale sara’ detto comovente (comoving) con il substrato. Un modello

cosmologico e’ una descrizione formale dell’universo come visto da un osservatore

fondamentale. In pratica identifichiamo osservatori fondamentali con galassie, ma occorre

tenere in conto che esse presentano sempre, sovrapposto al moto generale di espansione, un

moto proprio indotto dalle disomogeneita’ locali nella distribuzione della materia gravitante.

Se dHv 0= dove v e’ la velocita’ del moto di espansione di Hubble e d la distanza tra due

punti tra i quali io misuro tale velocita’ di recessione. La relazione sottintende il fatto che il

fattore H, che lega la velocita’ di recessione con la distanza, possa dipendere dal tempo

DtHdt

dD)(=

e se rtR

tRtD

)(

)()(

0

=

dove R(t) un fattore di scala per l’espansione,

t=tempo cosmico,

t0=tempo cosmico attuale,

r =sistema di coordinate fisso nel tempo

si ottiene

rtR

tRtHr

tR

r

dt

tdR

)(

)()(

)(

)(

00

=

Verificata se si pone

dt

tdR

tRtH

)(

)(

1)( =

La funzione R(t) e' detta fattore di scala universale, e stabilisce come si espanda o si contragga

l'universo al trascorrere del tempo. Il sistema di coordinate r e' chiamato sistema comovente

(comoving), nel quale la posizione di osservatori fondamentali non cambia con il tempo

14

cosmico: tali osservatori hanno per definizione moto nullo in questo sistema di riferimento. Lo

si puo' immaginare come un sistema di etichette, o bandierine, associate agli osservatori

fondamentali, che non cambia con t .

Pertanto, il volume in unita' fisiche (unita' proprie) sara' proporzionale a R(t)3, quindi la densita'

del substrato cosmico evolvera' nel tempo come:

33

00

3 )()()()()( −− ∝∝ tRtRttRt ρρ

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4 Spazi curvi isotropi

Per rappresentare la struttura geometrica dell'Universo, lasciando a paragrafi successivi il

problema di trattare la sua dinamica, si parte dalla caratteristica fondamentale che e' stata

espressa nel Principio Cosmologico: realizzare una rappresentazione formale di questa

situazione, ovvero ottenere una espressione per il tensore µλ ,g che la rappresenti e realizzi.

Sottolineiamo come, nella trattazione che segue, non viene utilizzata in nessun modo una teoria

della gravitazione, quale potrebbe essere la Relativita' Generale, ma puramente le condizioni

di simmetria imposte dal Principio Cosmologico.

I risultati che otterremo sulla geometria saranno quindi molto generali e varranno

indipendentemente dalla teoria esatta della gravita'. Iniziamo a considerare un caso

semplificato, ovvero uno spazio bidimensionale curvo, che possa rappresentare un sottospazio

di tipo "spazio" della varieta' quadridimensionale che rappresenta l'Universo su grande scala. Il

caso piu' semplice ed intuitivo di un tale sottospazio a 2D e' rappresentato dalla superficie di un

sfera, uno spazio, come vedremo, a curvatura positiva

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Figura: Rappresentazione della superficie di una sfera come spazio curvo a 2 dimensioni (2D). I 3

segmenti AB, AC, BC sulla superficie rappresentano geodetiche, ovvero curve di lunghezza

minima tra questi punti. Il triangolo ABC disegnato sulla superficie ha una somma di angoli interni

pari a 270 gradi, trattandosi di un triangolo massimo posto entro uno spazio curvo. Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

Occorre elaborare una procedura tramite la quale definire (misurare) il parametro cruciale di

questo spazio, che e' la sua curvatura (teniamo in mente che tale curvatura sara' alla fine

proporzionale al campo di gravita' medio che opera nello spazio). Operiamo il trasporto

parallelo sul contorno di un triangolo "massimo", facendo ruotare ogni volta il vettore indicato

nel punto A in modo tale da riportarlo parallelo alla direzione iniziale. Facendo viaggiare il

vettore da A a C ortogonalmente alla superficie della sfera, nel punto C dovremo effettuare una

rotazione di 90 per riportarlo alla direzione iniziale, cosi' nei punti B e infine A: la rotazione

complessiva sara' quindi di 270 , anziche' i 180 di un triangolo piano. Supponiamo ora che

l'angolo in A, invece che 90 , sia un angolo ϑ : allora si vede immediatamente che la rotazione

complessiva non sara' 270 , ma 180 +ϑ . Importante ora considerare la dipendenza di

proporzionalita' che c'e' tra l'angolo di rotazione (o la somma degli angoli interni del triangolo)

dall'area racchiusa dal triangolo, che e': A=ϑ 2

cR . Se ϑ =0, A=0 e la somma degli angoli interni

e' 180 , se ϑ =90 , A=π 2

cR e la somma 270 . Possiamo cosi' individuare la regola generale

di proporzionalita' tra area racchiusa e differenziale dell'angolo conseguente al trasporto

parallelo (o della somma degli angoli interni) rispetto al caso di uno spazio piatto:

(somma angoli interni-180 ) ∝ (area del triangolo)

Ovviamente la costante di proporzionalita' in questa relazione, stabilendo l'angolo di deviazione

dal caso piatto in funzione dell'area della figura, dipendera' sostanzialmente dal grado di

curvatura dello spazio.

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Figura: (a) Rappresentazione del trasporto parallelo in uno spazio qualunque. Si noti che gli

angoli in A e in B sono di 90 . b) Effetto della dipendenza dall'area racchiusa nel definire la

somma degli angoli interni della figura, e quindi la curvatura stessa dello spazio: l'angolo di

rotazione differenziale dβ e' proporzionale all'area della figura e si annulla quando l'area e'

infinitesima.

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

Vediamo ora una generalizzazione di questo risultato al caso di uno spazio curvo generico (pur

sempre in una semplificazione bidimensionale che facilita la rappresentazione), considerando

una quadrilatero ABCD posto entro uno spazio curvo (Fig.precedente). Data la generalita' della

situazione, definiamo una funzione sconosciuta del raggio vettore r , ( )rξ , che stabilisca come

scalano le distanze AB o BC all'aumentare di r. Operiamo quindi il trasporto parallelo del

vettore che sta lungo r nel punto A originariamente ortogonale ad AB, lungo il quadrilatero,

operando al solito le rotazioni per riportarlo ortogonale al lato. Nel punto B la rotazione per

portarlo ortogonale a BC sara' semplicemente di un angolo pari a 90 - β , ove β sara' dato da

come cambia la distanza ( )rξ : dr

dξβ = . In C la rotazione sara' di un angolo 90 + β + βd , ove

βd stabilisce quanto cambia β aumentando la coordinata radiale di dr: drdr

d2

2ξβ = Infine

spostando il vettore in D e infine in A avremo, per costruzione, due rotazioni di 90 .

Complessivamente la rotazione totale del vettore sara' stata pari alla somma degli angoli interni

della figura in uno spazio piatto (nel caso pari a 360 ) sommata algebricamente alla quantita'

angolare

- β + β + βd = βd = drdr

d2

2ξ

Questa differenza βd rispetto al caso piatto stabilisce il grado di curvatura dello spazio. Tale

risultato e' alquanto intuitivo se si consideri che solo se la derivata seconda di ( )rξ e' diversa da

zero lo spazio e' curvo (se =0 significa che le semicurve in Fig. sono in realta' semirette e lo

spazio e' piatto).

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Occorre a questo punto sfruttare il concetto che il grado di curvatura sia proporzionale all'area

racchiusa dalla figura (vedi Fig.), tramite una costante che, per quanto detto a proposito della

relazione (somma angoli interni-180 ) ∝ (area del triangolo), definira' il grado di curvatura

dello spazio. L'area del quadrilatero nel nostro caso e': ( )drrdA ξ= . Potremo cosi' stabilire la

seguente relazione:

βd = drdr

d2

2ξ= drkξ−

ove k e' una costante generica di proporzionalita', presa con segno meno per comodita'. Il segno

meno stabilisce il fatto che, se il differenziale βd e' negativo, lo spazio e' a curvatura sferica

(somma degli angoli interni >360o) e la costante k>0 ; viceversa nel caso di βd positivo, che

implica costante di curvatura negativa. La relazione e' una ovvia equazione di un moto

armonico, che ha come soluzione

( ) ( )rkr2/1

0 sinξξ =

in cui la costante 0ξ si trova facilmente considerando l'espressione limite nel caso Euclideo, che

corrisponde ad aree del quadrilatero molto piccole, ovvero r piccolo: avendo posto ( ) rr /ξϑ = ,

se k e' definito positivo si ottiene

( ) ( )rkk

r2/1

2/1sin

ϑξ =

Se invece il parametro di curvatura k e' negativo, occorre risolvere l'eq. in termini del suo

opposto k'=-k utilizzando, anziche' le funzioni trigonometriche, quelle iperboliche

( ) ( )rkk

r2/1

2/1'sinh

'

ϑξ =

Nel caso di spazio piatto, tutto si riduce all'andamento Euclideo

( ) rr ϑξ =

19

Figura (a) Rappresentazione dei tre tipi diversi di curvatura per spazi omogenei, con k>0, k

immaginario, e k=0 in senso orario.

(b) Rappresentazione di uno spazio curvo a curvatura positiva, finito ma illimitato (un raggio di

luce puo' viaggiare per un tempo infinito e compiere una serie di cicli ritornando a tempi diversi

nella stessa posizione).

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

20

Figura:Superficie di una sfera come piu' semplice caso di uno spazio 2D a curvatura positiva.

della figura, e quindi la curvatura stessa dello spazio.

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

Il risultato ottenuto e' estremamente generale e include tutti i possibili spazi a curvatura

positiva, nulla o negativa, che avranno quindi la costante k positiva, nulla o negativa. Tale

quantita' sara' costante nello spazio se e solo se lo spazio e' omogeneo e isotropo (come

abbiamo dimostrato essere lo spazio universale reale almeno su grandi scale). Diversamente k

dipendera' dalla posizione. La stessa costante, in riferimento all'analogia con quanto avviene

alla superficie della sfera, sara' legata al raggio di curvatura dello spazio dalla relazione:

2/1

1

kRc =

con Rc che e' positivo, infinito o immaginario nei tre casi, rispettivamente. I tre casi di spazio

corrispondenti sono illustrati nella Figura: a parte il caso ovvio piatto-Euclideo, un modello a

curvatura positiva e' rappresentato molto bene dall'analogia con quanto accade alla superficie di

21

una sfera, mentre il caso a curvatura negativa ha una analogia con quanto accade alla superficie

di una sella. Si parla rispettivamente di spazi sferici, piatti e iperbolici. In quest'ultimo caso la

somma degli angoli interni di un triangolo sulla superficie e' <180o, mentre e' >180

o nel caso di

un modello sferico a curvatura positiva.

Una volta chiarito il significato del parametro di curva k ovvero Rc , il nostro successivo passo

sara' di definire in questo spazio la metrica, che corrisponde a definire la distanza generalizzata

in termini di un tensore metrico. Con riferimento alla Fig, il sistema di coordinate naturale in

questo spazio isotropo a 2 dimensioni e' il sistema sferico illustrato nella figura, la cui origine

sta nel polo, con coordinata radiale

cRϑρ = , cosicche' l'elemento metrico si scrive

22222 sin φρ

ρ dR

Rddlc

c

+= In questo caso Rc > 0.

Analogamente a quanto visto sopra, per Rc = ∞ (k=0) ,

2222 φρρ dddl +=

e se Rc immaginario

( ) 22222 /sinh φρρ dRRddl cc+=

Per motivi che vedremo, e' piu' frequente e naturale usare la seguente forma alternativa per la

misura di distanza radiale sulla superficie:

( )cc RrRx /sin=

( ) ( ) ρρρρ dRdR

RRdx c

c

cc /cos1

/cos ==

Si ottiene con calcoli da φxddl =

[ ]2222222 sinsin φϑϑρ

ρ ddR

Rddlc

c +++= oppure

[ ]2222

2

22 sin

1φϑϑ ddx

kx

dxdl ++

−=

Occorre ricordare quanto segue:

22

Figura:Significato geometrico della funzione seno e coseno iperbolici. Le due funzioni fanno

riferimento al ramo di destra dell’iperbole x2 – y

2 =1. Si noti la differenza con le funzioni sin e

cos che fanno invece riferimento alle coordinate dei punti su un cerchio centrato nell’origine,

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

Il seno iperbolico e’ definito come ( ) ( )2

sinhaa

eea

−−=

Mentre ( ) ( )2

coshaa

eea

−+=

23

Figura:Andamento della funzione seno iperbolico sinh(a). La funzione e’ completamente

simmetrica sull’argomento a e l’argomento puo’ assumere valori tra ∞− e ∞+ con la

funzione che diverge esponenzialmente ai due limiti.

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

24

Figura:Andamento della funzione arcoseno iperbolico arcsinh(a).

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

( ) ( )1lnarcsin 2 ++= aaah

( ) ( )1lnarccos 2 −+= aaah

( )1

1arcsin

2 +=

aah

da

d

( )1

1arccos

2 −=

aah

da

d

25

5 Relativita’ generale: equazione di campo Con la relatività ristretta, Einstein sostituisce lo spazio-tempo newtoniano con lo spazio-tempo

di Minkowski. Le dimensioni sono sempre quattro, ma la novità sta nel "mescolamento" fra le

tre dimensioni spaziali e quella temporale, la cui "separazione" varia a seconda del sistema in

cui sta l'osservatore. Da un punto di vista matematico, lo spazio-tempo di Minkowski è

dotato di un prodotto scalare lorentziano, cioè con segnatura(3,1). Non avendo lo spazio-tempo

un origine preferita, si parla più precisamente di spazio affine.

Nella relatività generale, lo spazio-tempo di Minkowski è solo un modello che approssima

localmente lo spazio-tempo, che è in realtà "distorto" dalla massa. Tutte queste nozioni

utilizzano concetti matematici rigorosi ma non banali, sviluppati all'inizio del Novecento. La

nozione matematica che descrive un spazio-tempo quadridimensionale localmente modellato

su è quella di varietà. Le varietà sono oggetti di dimensione arbitraria abitualmente studiati

in topologia. Secondo la relatività generale, lo spazio-tempo è una varietà lorentziana di

dimensione 4. Il termine "lorentziano" sta ad indicare che lo spazio tangente in ogni punto è

dotato di un prodotto scalare di segnatura (3,1). Informalmente, questo sta ad indicare che lo

spazio-tempo è localmente modellato sullo spazio-tempo di Minkowski. Questo prodotto

scalare di segnatura (3,1) è più precisamente un tensore, detto tensore metrico.

Come nelle varietà riemanniane, il tensore metrico governa tutta la geometria dello spazio:

definisce una "distanza" fra punti e quindi una nozione di geodetica, intesa come "cammino più

breve" fra due punti (queste nozioni sono un po' più sottili nel contesto lorentziano perché la

distanza può essere "negativa"). La geometria locale vicino ad un punto dello spazio-tempo non

è però indipendente dal punto, come accade nello spazio newtoniano e in quello di Minkowski.

La geometria locale qui è determinata dalla quantità di massa (e energia) presente nel punto: la

massa genera curvatura, che viene misurata da alcuni strumenti matematici raffinati

quali tensore di Riemann, il tensore di Ricci e la curvatura sezionale.

Tutte queste nozioni vengono definite in modo formale: lo spazio-tempo e la sua curvatura sono

descritti tramite equazioni. Da un punto di vista visivo purtroppo le nostre possibilità di

immaginazione sono limitate dallo spazio tridimensionale in cui viviamo: l'unico modello che

riusciamo a raffigurare correttamente è quello di un universo a una dimensione spaziale (invece

di tre) ed una temporale. In questo caso l'universo ha dimensione 1+1=2 e può essere

raffigurato come una superficie nello spazio. Un punto materiale in movimento (o fermo!) è

rappresentato da una linea (detta linea di universo), che fornisce la sua posizione per ogni

26

istante. La curvatura della superficie incide sulla traiettoria del punto in movimento in modo

simile a quanto succeda effettivamente nello spazio-tempo. Se la superficie non contiene massa,

allora è piatta e gli oggetti si muovono lungo linee rette. Se la superficie è curva, la geometria

cambia e le linee di universo possono comportarsi in modo molto diverso, come accade

nelle geometrie non euclidee.

Fra le complicazioni concettuali della teoria, c'è da sottolineare che la curvatura dello spazio-

tempo non è solo spaziale: tutte e quattro le dimensioni sono "piegate", inclusa quella

temporale (non potrebbe essere altrimenti, visto che spazio e tempo sono "mescolati" già nella

versione senza massa di Minkowski).

Matematicamente, la relatività generale descrive lo spazio-tempo come uno spazio pseudo-

riemanniano a 4 dimensioni; l'equazione di campo lega la curvatura in un punto dello spazio-

tempo al tensore energia impulso che descrive la densità e il flusso di materia e di energia in .

Nella forma con la costante cosmologica, l'equazione di campo è

dove:

è il tensore di curvatura di Ricci;

la curvatura scalare, ossia la traccia di ; cioe’ µγµγ

RgR =

il tensore metrico;

la costante cosmologica;

il tensore stress-energia;

la velocità della luce;

la costante di gravitazione universale.

Il tensore descrive la metrica dello spazio-tempo: l’equazione di campo e’ un’eq.

differenziale con incognita . Il tensore di Ricci e la curvatura scalare misurano la curvatura

dello spazio-tempo e dipendono dal tensore metrico e dalle sue derivate parziali prime e

seconde (eq. secondo ordine). ll tensore metrico ha 10 componenti indipendenti, ma i gradi di

libertà di questo sistema sono in numero minore. Si deve infatti tenere conto delle identità di

Bianchi e della libertà di gauge della teoria: è possibile effettuare una trasformazione qualunque

sulle quattro coordinate, il che porta a sei le componenti del tensore metrico effettivamente

indipendenti. Le quattro identità di Bianchi, che implicano la conservazione del tensore di

Einstein, riducono ulteriormente le componenti libere del campo gravitazionale a due, lo stesso

numero dei gradi di libertà del campo elettromagnetico.

27

In analogia a quanto espresso dall'equazione di Poisson,

ρπφ G42 =∇

che formalizza la relazione tra sorgenti del campo gravitazionale e campo stesso in meccanica

Newtoniana, i tensori di Riemann, di Ricci e lo scalare di curvatura R che compaiono al primo

membro contengono essenzialmente derivate prime e seconde del tensore metrico , mentre

il tensore metrico stesso e' l'equivalente del potenziale gravitazionale della teoria Newtoniana.

Sempre in analogia con la Poisson, il secondo membro e' il termine sorgente del campo

gravitazionale ed e' linearmente proporzionale alla densita' di massa-energia. La relazione

generalizza la Poisson alla condizione di invarianza in forma dell'equazione dinamica per

qualunque trasformazione di coordinate (tra sistemi in qualunque moto tra loro ed in un

arbitrario campo gravitazionale).

28

6 Metrica di Friedmann-Robertson-Walker: trattazione generale

Le relazioni forniscono la parte spaziale della metrica per uno spazio 3D omogeneo e isotropo.

Per generalizzare al caso di uno spazio-tempo quadridimensionale, occorrera' aggiungere la

componente temporale 2222

/ cdldtds −=

[ ]

+

+−= 222222

2

22sinsin

1φϑϑ

ρρ dd

RRd

cdtds

c

c

[ ]

++

−−= 2222

2

2

2

22 sin1

1φϑϑ ddx

kx

dx

cdtds

Il problema con questa relazione e' che, a causa della velocita’ finita di propagazione della luce,

noi vediamo un qualunque oggetto ad una certa distanza appartenere al nostro cono-luce

passato, quindi non osserviamo oggetti al tempo attuale ma come erano nel passato. La

relazione ultima invece si riferisce a distanze misurate ad una singola epoca cosmica. Da questo

punto di vista le distanze definite con i simboli ρ ed x sopra non hanno un reale significato

applicativo (sarebbero idealmente misurabili da una catena di osservatori fondamentali posta in

sequenza lungo la coordinata radiale, che misurassero la distanza propria tra loro ad un

determinato tempo cosmico - ad es. quando la radiazione di fondo ha T=2.728 K, e facessero la

somma delle misure di ciascuno).

Dalle relazioni precedenti con 2

Rx ∝ e 2−∝ RRc si ottiene ancora la metrica di RW

( ) [ ]

++

−−= 2222

2

2

2

0

2

2

22 sin1

1φϑϑ ddr

kr

dr

R

tR

cdtds

ove la coordinata radiale comoving r e' stata riscalata in modo tale da far si' che il parametro di

curvatura positiva, nulla o negativa. I tre casi vanno sotto i nomi rispettivamente universi

sferici, piatti e iperbolici.

A seconda del parametro di curvatura k:

• Caso con k=0 . La sezione spaziale della RW diviene semplicemente l'usuale spazio

Euclideo (Rc(t)→∞, k=0)

[ ]222222 sin φϑϑ ddrdrdl ++=

29

Il volume racchiuso da un tale universo, per ogni valore del tempo cosmico e’ dato

dall’integrale di dl ed e’ quindi infinito

• Caso con k=+1 . La sezione spaziale della RW e'

[ ]2222

2

22 sin

1φϑϑ ddr

r

drdl ++

−=

dove ovviamente r puo' assumere solo valori compresi tra 0 e 1, altrimenti l'elemento di

distanza radiale 21/ rdr − andrebbe ad assumere valori immaginari. Quindi, se pure un fotone

si muove in senso radiale rispetto ad un certo osservatore fondamentale, la sua coordinata

radiale aumentera' sino ad un valore massimo, oltre quale un successivo apparente

allontanamento corrispondera' in realta' ad una avvicinamento all'osservatore: al crescere di ρ

oltre il massimo la distanza diminuisce. In un universo di questo tipo e' possibile per un fotone,

in linea di principio, navigare nello spazio-tempo ed incrociare piu' volte un osservatore

fondamentale, che cosi' raccoglierebbe piu' immagini dello stesso oggetto con fotoni che hanno

compiuto cammini ottici molto diversi tra loro.

• Caso con k=-1 . La sezione spaziale della RW e'

[ ]2222

2

22 sin

1φϑϑ ddr

r

drdl ++

+=

Con r che puo’ assumere qualunque valore. E’ un universo formalmente infinito quindi con una

superficie totale e un volume infiniti ad ogni istante di tempo cosmico

Quanto possiamo ritenere le rappresentazioni fisico-matematiche sopra discusse rappresentative

dell'Universo reale? Ad esempio, i modelli di Universo con curvatura nulla o immaginaria

(k=0, k=-1) implicano volumi e un'estensione spaziale infinita. Ma quanto e' verificabile questa

previsione? Nonostante, come vedremo, possiamo svolgere osservazioni in grado di stabilire

con grande precisione queste caratteristiche geometriche, non possiamo dire nulla al momento

(e verosimilmente mai) riguardo alla totalita' della struttura spaziale dell'Universo, e,

particolarmente per i casi a curvatura nulla e negativa, se ad esempio siano davvero illimitati e

infiniti come il modello prevederebbe. Come si e' detto piu' volte, noi abbiamo una visione

dell'Universo limitata al nostro cono-luce passato. Cosi', pur se possiamo le caratteristiche di

questa parte dell’Universo, non siamo realmente in grado di vincolare la sua struttura esterna al

cono-luce, e stabilire se in zone molto piu’ spazialmente remote rispetto allo stesso le

caratteristiche di omogeneita’ e isotropia assunte siano ancor valide o addirittura se vi possa

essere un limite spaziale alla sua estensione cosi’ come vedremo esservi un limite temporale

30

7 Metrica di Friedmann-Robertson-Walker: trattazione dinamica Newtoniana

La metrica di Robertson-Walker, per come e' stata ottenuta, ovvero solo sulla base di

considerazioni geometriche e di simmetria dell'Universo, fornisce solo una rappresentazione

generale della metrica universale, ma non dice come essa evolva nel tempo, ossia come evolva

il fattore di scala R(t) e non stabilisce se l'Universo sia chiuso, piatto o aperto (k=1, 0, -1). Per

ottenere queste cruciali informazioni occorre impostare e risolvere condizioni ed equazioni

dinamiche sull’universo. Per raggiungere questo risultato sono possibili varie strade: possiamo,

a livello euristico, fare ricorso ad un approccio semplificato che utilizza essenzialmente una

trattazione Newtoniana, oppure in alternativa uno piu' completo e auto-consistente che si basa

sulla trattazione generale-relativistica della gravita' ed utilizza le cosiddette equazioni di

campo della Relativita' di Einstein. Consideriamo l'approccio semplificato, e la trattazione piu'

completa. Anticipiamo che la trattazione dinamica considerera' essenzialmente la situazione

dell'Universo locale, che, e' dominato energeticamente dalla materia gravitante. Situazioni

dinamiche diverse, quali quelle verificatesi in remote epoche passate, verranno discusse

successivamente.

Nella trattazione newtoniana consideriamo un qualunque osservatore fondamentale in un

generico punto-evento dello spazio-tempo, che chiamiamo O con coordinate( 000 ,,,0 tr φϑ= ).

Consideriamo una shell di particelle-eventi ad una distanza comoving r0 da O. Tale shell si

allontanera' da O con velocita'

0/)( RrtR•

e accelerazione

( ) 0/ RrtR••

Nella teoria Newtoniana della gravitazione sappiamo che, per il teorema di Gauss, la forza che

agisce su ogni particella della shell dipende solo dalla quantita' di materia gravitante contenuta

entro la sfera. Nell'ambito della Relativita' Generale e in un universo infinito si applica un

31

analogo teorema (di Birkhoff) che prova la validita' della stessa affermazione in condizioni piu'

generali. Cosi' avremo

3

43

−−•• −

=−

==xGm

x

xVGmxmF

ρπρ

Sostituendo ora il vettore di coordinate proprie

_

x con quello in coordinate comoving 0r ed

eliminando m

( ) ( )

0

03

4/

R

rtRGxRrtR

ρπ−==

••••

( ) ( )

0

03

4/

R

tRGRtR

ρπ−=

••

Sostituendo ora

( ) ( )3

0

0

−

=

R

tRt ρρ

si ottiene la prima equazione dinamica cosmica di Friedmann

( )( )2

3

00

1

3

4

tRRGtR ρ

π−=

••

Si puo' facilmente verificare che la seguente equazione, detta di Friedmann o seconda

equazione della dinamica cosmica, ne e' una soluzione generale:

( )( )

2

3

002

3

8kc

tR

RGtR −=

• ρπ

Infatti, se proviamo a differenziare questa seconda, abbiamo:

( )( )

( )tRR

RG

tRdt

dRGRRtR

dt

d ••••• −=

==

2

3

00

3

002 1

3

81

3

82

ρπρπ

e, semplificando si ottiene proprio la prima equazione dinamica cosmica,

2

3

00

1

3

4

RRGR ρ

π−=

••

In particolare, per un liquido perfetto omogeneo ed isotropo con densità di energia di massa a

riposo 2c⋅ρ e pressione p , e con il fattore di scala

0

)()(

R

tRta ≡

32

3

3

3

42

λρ

π+

+

−=

••

c

pG

a

a

33

82

2

2

λρπ+−=

•

a

kcG

a

a

La prima equazione dinamica e' evidentemente una equazione dinamica, che pone in relazione

l'accelerazione delle particelle del sistema con le forze in gioco. La seconda equazione

dinamica e' invece una equazione di conservazione dell'energia, il membro a sinistra ( )tR•2

corrisponde all'energia cinetica; il primo termine a secondo membro e' l'energia del potenziale

gravitazionale ( RGM /∝ ), mentre l'addendo 2

kc corrisponde ad una costante di integrazione al

momento arbitraria.

Prima di tentare di ottenere soluzioni di queste equazioni, procediamo ad una chiarificazione ed

un approfondimento del significato di queste equazioni in un ambito piu' generale.

Sottolineiamo che la deduzione di carattere euristico svolta in questo capitolo non puo' in ogni

caso essere considerata completamente autoconsistente.Vi e' infatti un fondamentale aspetto, tra

altri, ancora non chiarito per quanto riguarda la discussione delle proprieta' dinamiche

dell'Universo, e riguarda il significato delle costanti k che compaiono da una parte nella metrica

RW, e dall'altra nell'equazione di Friedmann. La deduzione della Friedmann, in particolare, non

ci dice nulla al proposito se non che si tratta di una costante di integrazione, non ovviamente

legata alla geometria dello spazio-tempo. Per chiarirne il significato, occorre utilizzare l'intero

armamentario della Relativita' Generale come teoria completa della gravitazione. Ovviamente,

oltre alla questione legata al parametro k , vi sono piu' ancora profonde motivazioni per fare

riferimento alla teoria della Relativita' Generale per una descrizione della dinamica

dell'Universo. Il semplice riferimento alla dinamica Newtoniana per una situazione di questo

genere non e' chiaramente del tutto auto-consistente, se consideriamo ad esempio il problema di

definire le condizioni al contorno, che nell'ambito di questa non e' possibile: se la velocita' di

propagazione dell'informazione gravitazionale e' infinita, per trattare la dinamica locale siamo

nella necessita' di includere contributi da un Universo illimitato che istantaneamente si

farebbero risentire in ogni punto dello stesso. Solo la Relativita', con l'assunzione fondamentale

33

di una velocita' di propagazione finita che limita sostanzialmente le porzioni d'Universo in

grado di influenzare la dinamica locale, ci permette di definire un sistema di condizioni al

contorno al nostro problema dinamico che sia auto-consistente. In seguito si tentera’ di

sviluppare alcuni passaggi fondamentali di questa complessa deduzione delle equazioni

dinamiche dalla teoria completa della Relativita'. La relazione completa tra sorgenti del campo

gravitazionale, quindi il contenuto di materia ed energia nell'Universo, e la metrica spazio-

temporale stessa, e' fornita dalle equazioni di campo della Relativita'. Nella forma con

la costante cosmologica, l'equazione di campo è

ijijijij Tc

GgRgR

4

8

2

1 π=Λ+−

ijR è il tensore di curvatura di Ricci;

R la curvatura scalare, ossia la traccia di ijR ; cioe’ ij

ijRgR =

ijg il tensore metrico;

ijT il tensore stress-energia;

c la velocità della luce;

G la costante di gravitazione universale.

Λ la costante cosmologica;

Il tensore ijT descrive il contenuto di massa a riposo, quantita' di moto, energia e pressione del

fluido cosmico. Assumendo che il fluido cosmico sia assimilabile ad un fluido perfetto, il

tensore energia-impulso ha la forma:

ikkiik pgUUcpT −+= )( 2ρ

dove p e 2c sono, rispettivamente, pressione e densità di energia della materia e iU è la

quadrivelocità del fluido. Sottolineiamo che alla gravita' contribuiscono non solo la massa

gravitante a riposo, ma anche termini di natura energetica, quali ad esempio la pressione e ogni

forma di energia. Sostituendo la metrica RW nelle eq. di campo, si ottengono un set di 2

equazioni (uno per la parte tempo ed uno per la parte spazio), che corrispondono alla prima e

seconda equazione dinamica, oltre ad altre regole di conservazione della massa-energia. La

cosa importante e' che la costante k che appare nella seconda equazione della dinamica e'

appunto la costante di curvatura che appare nella metrica di RW.

34

Un approccio alla dinamica cosmica che utilizzi la teoria completa di Einstein risultera' anche

necessario in relazione per un altro aspetto della dinamica che verra' discusso nel seguito e che

riguarda l'introduzione di un nuovo termine, la costante Λ.

L'equazione di campo indicata da Einstein non è l'unica possibile, ma si distingue per la

semplicità dell'accoppiamento tra materia/energia e curvatura. I modelli di universo in cui è

presente una costante cosmologica sono generalizzazioni del modello precedente, la cui metrica

è detta di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, o FLRW. L'assunto che l'universo sia

isotropo ed omogeneo a grande scala è noto come principio cosmologico.

Alcune soluzioni alle equazioni della dinamica conducono a:

• modello di universo di Milne in cui la densita’ di materia 1,0 −== kρ cioe’ un universo

di particelle di massa nulla (un universo di fotoni) e la seconda equazione della dinamica

diviene:

( )( )

222

3

002

3

8ckckc

tR

RGtR =−=−=

• ρπ

Che ha soluzione cttR ±=)(

ove

0)(0 =→= tRt

L’universo si contrae o si espande in modo lineare uniforme e monotono

Figura: Fattore di scala R(t) contro il tempo cosmico nel modello di Milne, nella soluzione

formale a contrazione (tratteggiata) e in quella ad espansione (continua). Tempo t=0 coincide

con l’istante del Big Bang, l’inizio dell’espansione.

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

• modello piatto di Einstein-DeSitter in cui lo spazio-tempo e’ a curvatura nulla con

∞→= cRk ,0 . Il modello e’ detto piatto in quanto rappresenta uno spazio Euclideo in

espansione

35

( )( )

03

83

002 ==•

tR

RGtR

ρπ

da cui

5.0cos −= tRdt

dR

cioe’ t

dt

dRRcos

5.0

=

ttdRR

tR

⋅=∫ cos

)(

0

5.0

Si ottiene 3

2

0

0)(

±=

t

tRtR

Figura: Modello di Einstein-deSitter. R(t) ha derivata infinita a ∞→t e nulla t=0. Il modello e' in

questa figura rappresentato da uno spazio piatto, perche' questo corrisponde formalmente al caso

k=0. Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

• modello aperto Corrisponde al caso di uno spazio-tempo con materia gravitante 0>ρ e

k=-1. In questo caso la Friedmann indica che il fattore di scala cosmico mantiene una

derivata con lo stesso segno ( ) 02 >•

tR per ogni valore di R, ovvero una espansione infinita e

monotona. Quando, al crescere di t, R(t) diventa molto grande, il termine 2kc tende a

dominare, cosicche' la soluzione diventa ( ) ctR ±=•

, quindi l'Universo tende

progressivamente al caso dell'universo di Milne. Infatti l'espansione dell'universo fa si' che la

densita' di materia tenda a zero al crescere del tempo e l'autogravita' dell'Universo ad

annullarsi

36

Figura: Modello di Universo aperto, k=-1. Sono mostrate le due soluzioni formali a collasso per

t<0 ed espansione per t>0. R(t) ha derivata infinita a t=0 (tasso di espansione infinito) e costante

per ∞→t Per tempi sufficientemente avanzati tende alla soluzione di Milne con densita’ di

materia nulla. La rappresentazione grafica del modello geometrico, corrisponde allo spazio a sella

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

• Modello chiuso Corrisponde al caso di uno spazio-tempo con materia gravitante 0>ρ e

k=+1. In questo caso la Friedmann indica che il fattore di scala cosmico a tempi

sufficientemente avanzati mostra una derivata prima nulla ( ) 02 =•

tR per un determinato valore

di R :

( )2

3

00

3

8

c

RGRtR c

ρπ==

e, poiche’ ( ) RtR ∀<••

02, dopo l’arrestarsi dell’espansione si avra’ una contrazione seguita alla

fine da un Big Crash.

Figura: Modello di Universo chiuso, k=+1. R(t) ha derivata nulla ad un determinato tempo cosmico

e a tempi successivi ricollassa su se stesso. Il riquadro a destra mostra la rappresentazione grafica

del modello, corrispondente allo spazio sferico Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

Da notare che qualunque sia il valore di k, il primo addendo della eq. di Friedmann tende a

dominare per valori sufficientemente piccoli di R(t) , quindi la soluzione coincide in questo

limite con il modello Einstein-deSitter. La stessa cosa si verifica anche per il modello aperto

(non pero’ per quello di Milne), per cui possiamo concludere che l'evoluzione del fattore di

scala e’ univoca per piccoli valori di R e t , ed e' quella prevista dalla soluzione Einstein-de

Sitter. Quest'ultimo, quindi, riveste un interesse del tutto particolare per una varieta' di motivi,

non ultimo quello di costituire il caso di riferimento per epoche antiche dell'Universo.

Sottolineiamo ancora l'importante caratteristica di tutte queste soluzioni (ricordiamo che si

tratta per il momento di soluzioni formali, cui non abbiamo ancora attribuito un significato

37

fisico particolare): i vari modelli che obbediscono alla seconda equazione dinamica cosmica

sono tutti modelli a Big Bang, ossia prevedono una singolarita’ R(t) → 0 ad un tempo finito nel

passato. Cio’ consegue dal fatto che ( ) RtR ∀<••

02 ossia R(t) e’ concava verso il basso in

funzione del tempo, come in Figura

Figura: Un universo che include materia gravitante ha un tempo di vita (compreso tra il Big

Bang ed oggi) inferiore a 0

0

1

H=τ .Infatti il contenuto di materia gravitante implica una

decelerazione nel ritmo di espansione e quindi una curvatura verso il basso di ( )tR

Fonte: Struttura dell’universo Franceschini

Il Big Bang non e’ da considerare un’esplosione entro un volume pre-esistente vuoto: l’ipotesi

di omogeneita’ insita nel Principio Cosmologico implica che l’intero Universo si espande e non

vi e’ un volume esterno vuoto entro il quale l’espansione avviene. E' lo spazio-tempo nel suo

insieme che sta subendo una progressiva dilatazione.

38

8 Metrica di Friedmann-Robertson-Walker: trattazione dinamica relativistica

Nella teoria della Relativita Speciale, l'intervallo invariante tra due eventi di coordinate (t,x,y,z)

e (t+dt, x+dx, y+dy, z+dz) e' definito da

( )222

2

22 1dzdydx

cdtds ++−=

dove ds e' invariante per cambiamento di sistema di coordinate e nel caso della propagazione

dei fotoni (particella di massa nulla e velocita' c ) e' nullo. Il percorso di una particella materiale

tra due eventi e' tale da rendere stazionario il valore di ∫ ds ; questo corrisponde al percorso che

minimizza la distanza quadri-dimensionale tra due punti. La gravita' esercita la stessa forza per

unita' di massa su tutti i corpi e l'essenza della teoria di Einstein e' la trasformazione di questa

da campo di forze a proprieta' geometriche dello spazio-tempo quadri-dimensionale.

Lo spazio-tempo non e' necessariamente piatto come nel caso di Minkowski, ma e' in generale

incurvato dalla presenza di materia gravitante. In questo caso l'intervallo tra due eventi deve

essere generalizzato a

µλµλ

µλ dxdxgds ∑=

=4

1,

,

2

ove le tre dimensioni 3,2,1, =µλ sono spaziali e ove la quarta costituisce la coordinata

temporale. Le funzioni µλ ,g dipendono dalla posizione e dal tempo e determinano la curvatura

dello spazio, che e' proporzionale all'intensita' del campo di gravita'. L'elemento generalizzato

di distanza spazio-temporale ds2 e' cosi calcolato sulla base di un tensore λµg detto tensore

metrico, che rappresenta in modo completo le caratteristiche geometriche dello spazio. Il

tensore λµg variera' da punto a punto nello spazio, ad esempio in conseguenza della variazione

della sua curvatura in quel punto. Il percorso espresso, nel caso generale di una particella libera

in uno spazio-tempo non Minkowskiano, e' una geodetica, ovvero una linea d'universo che

minimizza la distanza spazio-temporale tra due eventi:

0=∫ dsδ

e che si dimostra sia descritta dall'equazione del moto

02

2

=Γ+ds

dx

ds

dx

ds

xdγβ

αβγ

α

39

dove αβγΓ e' il simbolo di Christoffel, una quantita' lineare nelle derivate prime del tensore

metrico, e definito da

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=Γ

ε

γβ

β

γε

γ

βεαεαβγ

x

g

x

g

x

gg

2

1

e

αβεβ

αε δ=gg

ove αβδ e' il simbolo, o delta, di Kronecker, che e' uguale all'unita' per βα = e zero negli altri

casi. La geodetica, linea di percorso generalizzato minimo tra due eventi (punti nello spazio

quadri-dimensionale), si riduce ad una linea retta nel caso di uno spazio Minkowskiano, ma

sara' una curva piu' in generale. Si noti che le equazioni precedenti contengono solo una regola

sul comportamento del moto orbitale di particelle materiali entro una certa metrica spaziale.

Una particella libera si muove lungo una geodetica, ma la metrica µλ ,g e' essa stessa

determinata dalla materia. Il fattore chiave delle equazioni di Einstein, consiste quindi nella

relazione tra la distribuzione della materia e la metrica che descrive la geometria dello spazio-

tempo. In Relativita' Generale, cosi' come nella Speciale, tutte le equazioni sono tensoriali. In

generale un tensore e' una quantita' che trasforma come segue quando si opera un cambio di

coordinate da ix a i

x ' :

....

...''

''...'

... .... mn

rsq

s

p

r

n

l

m

kkl

pq Ax

x

x

x

x

x

x

xA

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

dove gli indici in alto sono detti controvarianti e quelli in basso covarianti. Questa

formalizzazione delle equazioni garantisce il rispetto del carattere fondamentale che queste

devono avere, ossia quello della covarianza generale : l'origine di questo termine non e' chiara,

ma il suo significato lo e': le equazioni devono mantenere la loro validita' qualunque sia il

sistema di riferimento (inerziale o non-inerziale) rispetto al quale le varie quantita' sono

definite. Ricordiamo che un identico concetto era stato espresso nell'ambito della teoria

Speciale, nella quale si parla di covarianza speciale o invarianza di Lorentz, facendo

riferimento in questo caso all'insieme dei sistemi di riferimento inerziali e alle conseguenti

trasformate di Lorentz.

Nella fisica Newtoniana e nella Relativita' Speciale, un ruolo chiave e' giocato dalle leggi di

conservazione di massa, energia e momento. Lo scopo quindi e' ottenere relazioni simili anche

40

per la Relativita Generale. Grazie all'equivalenza tra massa ed energia, le leggi di

conservazione posso essere scritte in termini molto generali come

0=∂

Γ∂k

ik

x

dove ikΓ e' il tensore energia-impulso che descrive la distribuzione della materia e le sue

proprieta' fisiche. Per un fluido perfetto, di pressione p e densita' ρ , la definizione del tensore

energia-impulso e':

ikkiik pgUUcp −+=Γ )( 2ρ

dove il quadrivettore iU e' la quadri-velocita del fluido, espressa come

ds

dxgUgU

k

ik

k

iki ==

con ( )sxk linea Universo dell'elemento di fluido, cioe' la traiettoria seguita dalla particella nello

spazio-tempo.

La derivata di un tensore non e' un'espressione corretta in Relativita' Generale, dato che non e’

un tensore. Esiste tuttavia una derivata a carattere tensoriale che prende il nome di derivata

covariante. La derivata covariante di un tensore e' definita come

.........

...

...

...

...

...

....

.......

...; −Γ−Γ−+Γ+∂

∂= kl

ps

s

qj

kl

rq

r

pj

ml

pq

k

mjj

kl

pqkl

jpq AAAx

AA

Il simbolo " ; " rappresenta la derivazione covariante rispetto alla coordinata j in questo caso. Il

simbolo " , " rappresenta invece la derivata parziale usuale jx∂

∂ La forma un po' intricata

diviene, ad esempio, nel caso di un tensore a due indici:

ij

j

kljk

j

illikij

j

kljk

j

ill

iklik AAAAA

x

AA Γ−Γ−=Γ−Γ−

∂

∂= ,;

1)La legge di conservazione puo’ quindi essere riscritta nella forma completamente covariante

0; =Γk

ki

Einstein costrui' una relazione tra materia e metrica, uguagliando ikΓ al tensore ottenuto dalla

metrica ikg , che contiene solo le prime due derivate della stessa e ha derivata covariante nulla.

Nel limite appropriato, l'equazione sulla legge di conservazione si riduce a quella di Poisson

che descrive la gravita' Newtoniana:

ρπφ G42 =∇

che dovrebbe essere lineare nelle derivate seconde della metrica.

41

2)Procediamo quindi a costruire la quantita' tensoriale da uguagliare a ikΓ . Le proprieta' dello

spazio possono essere esplorate grazie al tensore di Riemann-Christoffel definito come

n

kl

i

nm

n

km

i

nlm

i

kl

l

i

kmi

klmxx

R ΓΓ−ΓΓ+∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

che definisce localmente la curvatura e puo' quindi essere usato per determinare se lo spazio e'

curvo o piatto.

3)Dal tensore di Riemann-Christoffel si ottiene il tensore di Ricci, contraendo il primo e il terzo

indice:

l

ilkik RR =

4)mentre contraendo il tensore di Ricci con la metrica si puo' quindi ottenere lo scalare di Ricci

ik

ikRgR =

5)Possiamo ora definire il tensore di Einstein

RgRGik

ikik2

1−=

6)L'identita' di Bianchi inoltre pone

0; =k

kiG

7)Il tensore kiG ; contiene le derivate prime e seconde della metrica ikg . Con una non banale

deduzione, si verifica che le equazioni del campo gravitazionale, dette equazioni di campo di

Einstein, prendono la forma

ik

ik

ikik Tc

GRgRG

4

8

2

1 π=−=

dove il termine 4

8

c

Gπ assicura che l'equazione di Poisson nella sua forma standard risulti come

condizione limite per campo gravitazionale debole.

8)Successivamente Einstein propose la seguente forma alternativa delle sue equazioni

ikik

ik

ikik Tc

GgRgRG

4

8

2

1 π=Λ−−=

dove Λ rappresenta la costante cosmologica , ossia un parametro costante che non dipende da

nessuna delle 4 coordinate spazio-temporali (in particolare non dipende dal tempo cosmico).

Questa modifica, che venne proposta da Einstein per realizzare una soluzione di Universo

statico nella quale forza di gravita' e forza di repulsione dovuta alla costante Λ si bilanciano,

puo' avere un significato non banale. Infatti e' l'unica generalizzazione delle equazioni di campo

che mantenga un carattere di covarianza generale delle equazioni.

42

9)Per accordare la Relativita' Generale al Principio Cosmologico, richiesto dal nostro modello

di Universo, e' necessario studiare le proprieta' di uno spazio omogeneo ed isotropo. A questo

scopo e' utile considerare l'Universo come un fluido continuo, assegnando a ciascun elemento

di fluido tre coordinate spaziali αx con 3,2,1=α dette coordinate comoventi e un parametro

temporale che prende il nome di tempo proprio misurato con un orologio comovente

all'elemento di fluido. Le proprieta' geometriche dello spazio tempo sono descritte dalla metrica

di Robertson-Walker che, nel caso di un Universo in cui valga il Principio Cosmologico,

assume la forma

[ ]

++

−−= 2222

2

22

2

22 sin1

)(1

φϑϑ ddrkr

drta

cdtds

dove sono state usate le coordinate sferiche ϕϑ ,,r come coordinate comoving, t e' il tempo

proprio, )(ta e' il fattore di scala cosmico o parametro di espansione, definito da

( )

0

)(R

tRta ≡

e dove k e' il parametro di curvatura, una costante che assume i valori 1, 0 o -1, avendo

opportunamente riscalato la normalizzazione della coordinata radiale r. E' importante ricordare,

pero', che la metrica esprime solo le proprieta' di simmetria del Principio Cosmologico e non

una teoria specifica della gravita' quale quella espressa dalle equazioni di campo.

10)La metrica di Robertson-Walker e' diagonale, ossia non sono presenti termini misti del tipo

tempo-spazio. Ponendo per semplicita' 1≡c , possiamo scrivere per le varie componenti della

metrica:

Componente tempo-tempo: 100 =g

Componente mista spazio-tempo: 000 == αα gg

Componente spazio-spazio: αβαβ

≈

−= gtag )(2

dove αβ

≈

g rappresenta la metrica diagonale di uno spazio tridimensionale la cui struttura

dipende dal valore di k con 3 possibili soluzioni (chiuso, piatto e aperto), e le cui componenti

sono

21

1

krg

rr−

=≈

2rg =

≈

ϑϑ

43

ϑϕϕ22 sinrg =

≈

che serviranno per calcolare il tensore di Ricci, nel caso di un Universo omogeneo e isotropo.

11)Le equazioni della Relativita' Generale di Einstein legano le proprieta' geometriche dello

spazio-tempo con il tensore energia momento ikT che descrive il contenuto dell'Universo (le

sorgenti del campo di gravita'). In particolare, per un liquido perfetto omogeneo ed isotropo

con densita' di energia di massa a riposo 2c⋅ρ e pressione p , la soluzione delle equazioni di

Einstein e' fornita delle equazioni dinamiche di Friedmann.

Per risolvere le equazioni di Einstein si possono seguire due strade diverse.

• Procedimento diretto: consiste nel risolvere le equazioni partendo da ikT (che descrive le

proprieta delle sorgenti e il modo in cui il sistema reagisce alle perturbazioni della metrica) e

ricavando da esse la geometria dello spazio. Tale procedimento e' pero reso assai complicato

dalla non linearita' delle equazioni di Einstein, ossia dal fatto che da una parte la massa-energia

determina il campo di gravita', ma a sua volta il campo di gravita' influenza le proprieta'

energetiche del sistema.

• Procedimento inverso: sulla base delle simmetrie dello spazio, si deduce la metrica RW

(in modo analogo a quanto gia’ fatto precedentemente) e questa si introduce nelle equazioni del

campo esplicitando le sorgenti del campo stesso (ossia il tensore ikT ).

Di seguito seguiremo il secondo procedimento, che presenta meno difficolta' rispetto al primo.

Cerchiamo quindi di esplicitare i due lati dell'equazione di Einsten per un Universo omogeneo e

isotropo. Cominciamo a calcolare il membro a sinistra delle equazioni. Esaminiamo quindi il

tensore di Ricci, il quale, dipendendo dalle derivate seconde della metrica, nel caso della

metrica diagonale di Roberson-Walker risultera' esso stesso diagonale, cioe' privo di termini

misti. Le componenti del tensore di Ricci risultano cosi', da una serie di derivazioni operate

secondo il tensore di Christoffer, uguali a:

Componente tempo-tempo: a

aR

••

−= 300

Componente mista spazio-tempo: 000 == αα RR

Componente spazio-spazio: αβαβαβ

≈•••≈

++= gaaaRR )2( 2

12)Ricaviamo a questo punto lo scalare di Ricci contraendo il tensore di Ricci con la metrica

.......00

00 =+== αβαβ

RgRgRgR ik

ik

44

13)A questo punto siamo nelle condizioni di calcolare le componenti del tensore di Einstein:

Componente tempo-tempo: ......2

1 00

0000 =−= RgRG

Componente spazio-spazio: ......2

1=−= RgRG

αβαβαβ

14)Abbiamo cosi' interamente esplicitato il lato sinistro dell'equazione di Einstein. Possiamo a

questo punto inserire il membro di destra, ossia l'espressione del tensore energia-impulso, che

per un fluido perfetto abbiamo visto essere uguale a

ikkiik pgUUcp −+=Γ )( 2ρ

e che possiamo riscrivere come

abbaab phUU −=Γ ρ

Dove oltre alla densita’ e pressione abh e' uno spazio ortogonale alla direzione definita dal

tempo proprio e si puo' esprimere come

baabab UUgh −=

15)Per un fluido generico l'espressione del tensore energia-impulso presenta termini aggiuntivi

dovuti alla presenza di stress anisotropo.

Isoliamo anche in questo caso le diverse componenti del tensore energia-impulso, ricordando

che la metrica di Roberson-Walker e' quella di un osservatore comovente al fluido cosmico, e

di conseguenza la quadrivelocita’ ha componenti

)0,0,0,1(=aU

Quindi per il tensore energia-impulso otteniamo

Componente tempo-tempo: ρ=00T

Componente spazio-spazio: αβαβ phT −=

16)Eguagliamo ora le componenti di tipo tempo-tempo e spazio-spazio del tensore

Componente tempo-tempo: ......8 0000 == GTG π

Componente spazio-spazio: ......8 == αβαβ πGTG

Si ottengono finalmente le eq. di Friedmann

33

82

2

2

λρπ+−=

•

a

kcG

a

a

3

3

3

42

λρ

π+

+

−=

••

c

pG

a

a

45

9 Parametri cosmologici e geometria

I parametri che descrivono l’evoluzione dinamica dell’Universo:

il parametro di Hubble e’ una misura del tasso di espansione cosmico al tempo t ed e’ legato

alla derivata prima del fattore di scala

)(

)()(

tR

tRtH

⋅•

≡

La costante di Hubble non e’ altro che H(t) al tempo cosmico attuale t0.

Il secondo parametro e’ legato invece alla derivata temporale seconda del fattore di scala, e

quindi all’accelerazione (o decelerazione) dell’espansione:

•

••

−≡

)(

)()()(

2tR

tRtRtq

Il suo valore al tempo attuale e’ indicato come parametro q0.

Il terzo e’ chiamato parametro di densita’, in quanto e’ proporzionale alla densita’ di materia

presente nell’Universo:

)(3

)(8)(

2tH

tGt

ρπ≡Ω

Inserendo queste definizioni nelle I e II equazioni dinamiche si ottiene:

)(2)( tqt =Ω

Quindi la densita' di materia e' legata alla decelerazione dell'espansione, cosa piuttosto

intuitiva essendo il rallentamento dell'espansione dovuto al contenuto di materia gravitante nel

volume medio d'Universo, e quindi all'autogravita' dell'Universo.

Una questione assai rilevante e' quella che riguarda la relazione tra parametri cosmologici, che

sono i parametri fisici che descrivono lo stato dinamico dell'Universo, e le sue proprieta'

geometriche. Ricordiamo ancora una volta che questa relazione e' ottenibile nell'ambito di un

approccio relativistico alla gravitazione, mentre invece non e' ricavabile nell'ambito della teoria

Newtoniana, nella quale la geometria e' comunque quella piatta di Euclide. La relazione tra

geometria e parametri fisici si ottiene facilmente dalla II dinamica di Friedmann , ricordando

che la costante k che appare coincide con la costante di curvatura della RW

46

( )( )2

3

00

1

3

4

tRRGtR ρ

π−=

••

( )( )

2

3

002

3

8kc

tR

RGtR −=

• ρπ

Si ottiene:

]1)([)(222 −Ω= tRtHkc

Da notare che, essendo la costante k invariante nel tempo, si avra' parimenti.

]1[ 0

2

0

2

0

2 −Ω= RHkc

Si avra' quindi un Universo piatto se k=0, che implica Ω0=1 → q0=0.5 . Se cio' si verifica ad un

qualunque tempo cosmico, il parametro di densita' rimarra' Ω(t)=1 per qualunque valore di t.

E' evidente che questa condizione si verifica per un certo valore della densita' locale media di

materia. Applicando la definizione )(3

)(8)(

2tH

tGt

ρπ≡Ω al tempo attuale t=t0 , la situazione Ω(t0)=1

corrisponde al caso in cui la densita' di materia coincida con il valore

2

0292

00

sec//7010

8

3

≅== −

Mpckm

H

G

Hc π

ρρ in gr/cm3

Pertanto cρ

ρ00 =Ω

ovvero al parametro di densita' eguale all'unita' corrisponde una densita' di materia pari alla

densita' critica 0ρρ =c , una costante k=0 e un modello geometrico di Universo piatto, il

modello di Einstein-de Sitter. Da un punto di vista fisico, quindi, le caratteristiche geometriche

dell'Universo riflettono il rapporto relativo ai due ingredienti energetici fondamentali, il

contenuto di materia gravitante come sorgente di potenziale gravitazionale, e l'energia cinetica

media dovuta al moto di espansione. Nel caso queste due quantita' di energia per unita' di

volume siano esattamente identiche, si ottiene una sorta di equilibrio dinamico (l'equilibrio del

modello E-deS. che comporta moto nullo di espansione dopo un tempo infinito dal Big Bang),

che a sua volta comporta la piattezza geometrica dell'Universo. Piattezza che ad es. si

comprende bene considerando la situazione che si verifica dopo un tempo infinito ∞→t

nel

modello EdS, con la densita' di materia nulla ( 0=ρ ) e velocita' nulla di espansione (H=0),

ovvero un universo Euclideo. Questa piattezza deve quindi essere correttamente interpretata,

non come relativa ad un semplice modello d'universo statico in cui vale la geometria classica

euclidea, ma uno in espansione in cui il bilancio tra le due energie produce un appiattimento

della metrica, in un senso general-relativistico.

47

E' di ovvio interesse confrontare questi concetti di dinamica con dati osservativi sullo stato

attuale, per comprendere quale possa essere la dinamica dell'Universo nel quale ci troviamo. Si

era calcolata la densita' media di materia, tramite, le funzioni di luminosita' e di massa delle

galassie

33232938

, /104.3/104.3/105 cmgmkgMpcM solstellamateria

−− ⋅=⋅=⋅=ρ

cmgmkgMpcM soloscuramateria /104.3/104.3/105 3132839

,

−− ⋅=⋅=⋅=ρ

Quindi confrontati questi valori con quello della densita' critica

329 /10 cmgc

−=ρ

la materia normale, barionica, racchiusa in galassie risulta dare un contributo di solo lo 0.5%

circa a quanto necessario per chiudere l'universo, mentre la materia oscura contenuta nella

galassie stesse arriva a circa il 5%:

034.0/,, ≅=Ω cgalassieoscuragalassieoscura ρρ

Notiamo che, per quanto riguarda la materia oscura, il valore sopra menzionato costituisce in

realta' solo un limite inferiore, poiche' si limita a quanto misurato all'interno delle galassie,

mentre non si puo' escludere che materia oscura sia presente in modo piu' diffuso nello spazio

intergalattico. Da considerazioni che effettueremo nell'ambito dei corsi della Magistrale, si

evincera' che il valore piu' attendibile oggi per la quantita' media di materia oscura per unita' di

volume si aggira su valori di circa

34.0/,, ≅=Ω ctotoscuratotoscura ρρ

comunque non in grado di chiudere l'Universo. A queste osservazioni e considerazioni

preliminari, l'Universo nel quale viviamo appare dominato dalla materia (in particolare dalla

materia oscura), anche se questa non sembra sufficiente per produrre uno spazio chiuso, e

neppure uno spazio piatto di Einstein-de Sitter. I dati raccolti sinora indicano quindi un

Universo aperto e dominato dalla materia.

48

10 Eta’ dell’Universo

Avendo accertato che un momento assolutamente peculiare nella storia evolutiva dell'Universo

si deve essere inevitabilmente verificato, un istante di singolarita' nel quale i valori dei

parametri fisici come la densita' di materia-energia, ecc. assunsero valori infiniti, istante da cui

poi si e' svolta l'intera sua storia evolutiva, e' ora interessante provare a calcolare, sulla base

delle nozioni dinamiche che abbiamo sinora acquisito, quando questo istante si sia verificato.

Chiamiamo tempo di Hubble t0 quello che ci separa dal Big Bang. Possiamo scrivere,

ovviamente,

∫∫ •==

00

000

Rt

R

dRdtt

ove la derivata del fattore di scala e' direttamente ricavabile dalla Friedmann. Ad es. si puo'

usare

( )( )

2

3

002

3

8kc

tR

RGtR −=

• ρπ con )(

)()(

tR

tRtH

⋅•

≡

e )(3

)(8)(

2tH

tGt

ρπ≡Ω

e •

••

−≡

)(

)()()(

2tR

tRtRtq

e pertanto si ottiene il seguente tempo di Hubble:

∫−

+−=

1

0

2/1

00

00 122

qx

qdxt τ con

0R

Rx ≡ e Gyryear

H⋅≡⋅≡≡ 141014

1 9

0

0τ

49

Figura:Dipendenza dell'eta' dell'Universo dal parametro di densita', espresso come rapporto 0

0

τ

t.

All'aumentare di Ω , aumenta la curvatura verso il basso del fattore di scala R(t) e quindi aumenta

la correzione dovuta a questa curvatura rispetto al valore nel limite lineare di t0 (n.b. Ω =1

universo piatto = 10Gyr; a 2/0τ=t la densita’ aumenta notevolmente

Fonte: Dinamica cosmica: Franceschini

Come abbiamo discusso, le ultime campagne osservative con Hubble Space Telescope hanno

permesso di valutare la costante 0H con notevole precisione

6710 ±≅H km/sec/Mpc (dove 1Mpc=3.08 cm) cioe’

117

190 10/

103

70671 −−≡

⋅≅±≅ s

km

skmH

Notiamo che questo valore della costante di Hubble e' oggi confermato da una varieta' di test

cosmologici, e addirittura precisato riducendone l'incertezza a pochi percento. In termini

euristici, possiamo chiederci in quanto tempo questa distanza e’ stata percorsa dal moto di

espansione:

GyryearH

⋅≡⋅≡≡≡ 141014sec101 917

0

0τ

Si ottengono facili soluzioni dell’integrale nei due casi piu’ semplici.

Se Ω0=1 q0=0.5 si ha t0 =10.0Gyr (E.-de S.)

Se Ω0=0 q0=0.0 si ha t0 =14.6Gyr (Milne)

L’integrale e’ comunque risolvibile analiticamente per qualunque valore di q0.

Gli andamenti del tempo di Hubble t0 sono riportati in funzione del parametro di densita’. Un

semplice calcolo mostra che, per un modello aperto e per un modello di Einstein de Sitter i

tempi sono sicuramente piu’ brevi dell’eta’ degli ammassi globulari più antichi. Si apre cosi’ un

problema piuttosto fondamentale nella nostra interpretazione del cosmo: sembrano esservi

sorgenti piu’ antiche di quanto non risulti essere l’eta’ complessiva dell’Universo. Cio’

ovviamente contraddice l’ipotesi che nessuna sorgente o struttura cosmica (tanto meno

ammassi globulari nella nostra Galassia) possa essere sopravvissuta ad una eventuale fase

precedente il Big Bang. Torneremo nel seguito, a considerare altri dati e diverse soluzioni della

modellistica cosmica, forse in grado di risolverci questo enigma. Per fare questo, pero',

dobbiamo prima dotarci di una serie di concetti e tecniche (oltre alle sofisticate tecnologie

necessarie per le osservazioni) necessarie per effettuare misure quantitative riguardanti

l'Universo lontano.

50

11 Il modello dello Stato Stazionario

Accenniamo al modello dello Stato Stazionario, un modello d'Universo che ha oggi un valore

essenzialmente storico (anche se e' stato recentemente ripreso nell'ambito di discussioni

riguardanti modelli inflazionari dell'Universo primordiale), ma che ha avuto un ruolo

importante durante la fase di definizione delle sue caratteristiche dinamiche. E' stato introdotto

e a lungo discusso e difeso negli anni '50 e '60 da Hoyle, Bondi, Gold, Sciama, ed e' stato per la

prima volta proposto da T. Gold, H. Bondi (due cosmologi austriaci rifugiati in Inghilterra

durante la 2a guerra mondiale) e indipendentemente F. Hoyle nel 1948. Si basa su una

estensione estrema del Principio Cosmologico al cosiddetto Principio Cosmologico Perfetto,

per il quale non solo l'Universo avrebbe dovuto apparire identico in qualunque direzione

osservato da un qualunque osservatore ad un determinato tempo cosmico, ma identico a

qualunque osservatore fondamentale a qualunque tempo, ovvero il principio assume perfetta

omogeneita' e isotropia non solo spaziale ma anche temporale per l'Universo. E' indubbiamente

un postulato di grande valore "formale".

Per prima cosa la condizione che viene imposta e' che la costante di Hubble sia realmente una

costante indipendente dal tempo:

tetR

tRtH tancos

)(

)()( ==

•

ha soluzione )/exp()( τttR ∝

Una prima cosa che questo modello "cura" e' quindi l'inizio, il Big-Bang: l'andamento

esponenziale e' una curva tangente a y=0 per −∞→t

, e che aumenta esponenzialmente su un

tempo-scala τ , curva senza quindi origine nel tempo.

Un'altra conseguenza del principio e' che anche la densita' di ogni componente del fluido

cosmico, cosi' come ogni suo parametro termodinamico, sia costante. Differenziando la

relazione di conservazione della massa :

3

00 )/( −= RRρρ

HR

R

R

R

R

R

dt

dρρρ

ρ33)(3

0

0

0

1

0

0 −=−=−=

••

−

che deve essere nullo per il principio perfetto. Pertanto, per annullare quest’ultima, occorre

inserire un termine di creazione di materia C che annulli il secondo membro

51

( )τ

ρρρρ 3

1)/(

3

0

3

3

00 ==== −C

dt

Rd

RRR con

1−= Hτ

La relazione stabilisce cosi' il tasso con il quale la materia deve essere continuamente creata per

compensare l'espansione.

Si puo' vedere anche che la curvatura del sottospazio fisico 3D e' 2R

k, per cui deve essere k=0 ,

diversamente la curvatura varierebbe con il tempo. La metrica spazio-temporale risulterebbe

cosi' essere:

( )222

2

0

2

22 )/2exp(1dzdydx

R

t

cdtds ++−=

τ

La soluzione delle equazioni dinamiche porta ad una condizione sulla densita' e su τ che si

ottiene ponendo eguale a 1 il parametro di densita' Ω .

Infatti k=0 implica modello piatto di Einstein-DeSitter in cui lo spazio-tempo e’ a curvatura

nulla con ∞→= cRk ,0

. Il modello e’ detto piatto in quanto rappresenta uno spazio Euclideo

in espansione

Dalla ( )( )

2

3

002

3

8kc

tR

RGtR −=

• ρπ si ottiene ( )

( )0

3

83

002 ==•

tR

RGtR

ρπ

da cui 5.0cos −= tR

dt

dR cioe’ t

dt

dRRcos

5.0

= ttdRR

tR

⋅=∫ cos

)(

0

5.0

Si ottiene 3

2

0

0)(

±=

t

tRtR

K=0 implica )(3

)(8)(

2tH

tGt

ρπ≡Ω =1

per cui 18 2 =ρτπG , che se τ =10 Gyrs, implica una densita'

329 /10 cmgr−≅ρ Cio' ci permette di stimare il tasso di creazione continua di materia

necessario, che risulterebbe cosi' pari a ~1 atomo/m3 per miliardo d'anni! Un tasso quindi non

osservabile in realta'. Il modello dello Stato Stazionario aveva la caratteristica di evitare

un'origine all'Universo. Una lunga serie di osservazioni ha pero' provato la sua erroneita', come

in parte abbiamo gia' visto e come vedremo piu' quantitativamente.