CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE

Esercizi

Dott.ssa CATERINA CONIGLIANIFacolta di EconomiaUniversita Roma Tre

1 Esercizi su sintesi di distribuzioni semplici

Esercizio 1.1 Data la seguente distribuzione di frequenze relative degli abbonati alla pay perview 1997-1998 per squadra di calcio:

Squadra Bari Bologna Lecce Milan Piacenza Roma Sampdoria Vicenzaf i 0.027 0.076 0.023 0.512 0.013 0.259 0.053 0.037

rappresentarla graficamente e calcolare la moda [R: Mo = Milan].

Esercizio 1.2 Data la seguente distribuzione delle macchine vendute per casa produttrice:

Casa Fiat Ford Lancia Opel Renault Volkswagenni 77000 19800 14600 18700 13040 16500

rappresentarla graficamente e calcolare la moda [R: Mo = Fiat].

Esercizio 1.3 Data la seguente distribuzione dei medici a tempo definito secondo la qualificadegli Istituti generali regionali di cura pubblica 1991:

Qualifica Direttori Vice-direttori Primari Aiuti Assistentini 7 24 1287 4067 3289

rappresentarla graficamente e calcolare la moda e la mediana [R: Mo = Aiuti,Me = Aiuti].

1

Statistica n.o. - II canale 2Esercizio1.4 Data la seguente distribuzione di un insieme di scuole per tipo (Compendio 1996):

Tipo materna elementare media secondaria totni 26914 21418 9728 7887 65947

rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: Mo = materna,Me = elementare, Q1 = materna, Q3 = media].

Esercizio1.5 Data la seguente distribuzione dei suicidi per il titolo di istruzione (Compendio1996):

Tipo analfabeta elementare media superiore totni 195 1078 1225 428 2926

rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: Mo = media,Me = media,Q1 = elementare, Q3 = media].

Esercizio 1.6 Data la seguente distribuzione delle vendite di auto per tipo (Quattroruote, aprile1996):

X utilitaria media super lusson(X) 79730 63970 11540 400

rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: Mo = utilitaria, Me =utilitaria, Q1 = utilitaria, Q3 = media].

Esercizio 1.7 Rappresentare graficamente la seguente distribuzione relativa a tempi tra sbuffidi Geyser:

X 43-51 51-59 59-69 69-79 79-88 88-108n(X) 10 15 10 25 30 10

e individuare classe modale, mediana e media aritmetica. [R: µ = 72.7;Me = 75] .

Esercizio 1.8 Data la seguente distribuzione degli appartamenti dichiarati abitabili a Milanonel 1932 secondo l’ampiezza:

n. vani 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-15n(X) 530 2861 2034 917 354 144 86 78 29 29

rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana e quartili [R: Mo = 2, Me = 3, Q1 = 2,Q3 = 3].

Statistica n.o. - II canale 3Esercizio 1.9 Data la seguente distribuzione di un collettivo di 15 studenti secondo il votoottenuto all’esame di Statistica:

voto 18 20 23 24 26 27 28 30n(X) 1 1 1 2 3 4 2 1

a) rappresentare graficamente la distribuzione e la funzione di ripartizione;b) calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana;c) utilizzando i dati della tabella, costruire una distribuzione di frequenza in classi, con classi18-20, 21-23, 24-26, 27-30, rappresentarla graficamente, e calcolare la media aritmetica, la classemodale e la mediana nell’ipotesi di uniforme distribuzione del carattere all’interno delle classi;confrontare i risultati con quelli del punto b).[R: b) µ = 25.4, Mo = 27, Me = 26; c) µ = 25.63, Me = 26].

Esercizio 1.10 Data la seguente distribuzione di pontefici secondo la durata del pontificato (inanni):

durata (anni) 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 24 e piu totni 103 57 51 30 10 8 4 263

a) calcolare la mediana e la media aritmetica chiudendo l’ultima classe a 28;b) calcolare la mediana e la media aritmetica chiudendo l’ultima classe a 40, e commentare;c) calcolare lo scostamento quadratico medio (chiudendo l’ultima classe a 28);d) senza rifare tutti i calcoli, calcolare la mediana, la media aritmetica, lo scostamento quadraticomedio della durata del pontificato in mesi (chiudendo l’ultima classe a 28).[R : a) µ = 7.37, Me = 6; b) µ = 7.46, Me = 6; c) σ = 5.8; d) µ = 88.44, Me = 72, σ = 69.6].

Esercizio 1.11 Data la seguente distribuzione secondo il reddito (in milioni), per cui per ogniclasse e noto l’ammontare di reddito posseduto dagli individui della classe:

reddito 0-3 3-6 6-9 9-15 15-25 25-50 50-100 >100 totni 7976 8763 4130 1176 297 105 18 3 22468

ammontare 12792 40650 29320 12932 5580 3405 1172 532 106383

a) calcolare la media aritmetica utilizzando l’informazione sull’ammontare di reddito per ogniclasse;b) calcolare la media aritmetica ipotizzando l’uniforme distribuzione del reddito nelle classi;[R : a) µ = 4.73; b) µ = 4.81].

Statistica n.o. - II canale 4Esercizio 1.12 Data la seguente distribuzione relativa ai gradi di nuvolosita registrati pressoun osservatorio di Parigi in 2192 giorni:

gradi 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 totni 418 213 269 380 912 2192

a) calcolare la classe modale;b) calcolare la media aritmetica e la varianza;c) calcolare la mediana e i quartili.[R : a) Mo = (80− 100) ; b) µ = 60.5, σ2 = 972.31; c) Me = 70.3, Q1 = 32.2, Q3 = 88.0].

Esercizio 1.13 Consideriamo le temperature massime registrate a Catania negli anni 1982-1985:

Anno Temperatura1982 45.01983 41.01984 36.41985 38.01986 40.6

a) Calcolare media e lo scostamento quadratico medio.b) Senza rifare tutti i calcoli, calcolare media e scostamento quadratico medio delle temperaturemisurate in Farenhait (nota: F = 32 + C ∗ 9/5).[R: a) µ = 40.2; σ = 2.94; b) µ = 104.36;σ = 5.292]

Esercizio 1.14 In un pronto soccorso di un ospedale sono stati registrati il numero delle richiestedi intervento giornaliere (X) su un arco di 100 giorni, ottenendo la seguente distribuzione difrequenza:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n(X) 2 9 18 22 16 12 9 5 4 2 1

a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione e della sua funzione di ripartizione;b) calcolarne la media, la mediana e lo scostamento quadratico medio.[R: µ = 3.84; Me = 3; σ2 = 4.47]

Statistica n.o. - II canale 5Esercizio 1.15 In una classe di 24 studenti i voti riportati all’esame di maturita sono stati iseguenti:

37 42 37 38 50 52 58 40 46 50 52 4860 48 37 40 46 50 60 46 38 40 42 48

a) calcolare la mediana e la media aritmetica;b) costruire la corrispondente distribuzione di frequenza (modalita per modalita), e su di essacalcolare: mediana, media aritmetica, primo e terzo quartile, decimo e settantesimo percentile;c) dopo aver effettuato una suddivisione in classi di ampiezza 4, calcolare nuovamente gli indicidel punto b) ipotizzando l’uniforme distribuzione del carattere nelle classi.

Esercizio 1.16 Lungo una strada statale vi sono 7 distributori di benzina: due al km 8, tre alkm 40, uno al km 61 e uno al km 106. I distributori hanno uguale capienza, vengono rifornitiuno alla volta e richiedono rifornimenti con uguale frequenza. A quale km della strada si dovracostruire un deposito di benzina da cui partano le autobotti con i rifornimenti per i distributorise si vogliono minimizzare i costi di trasporto, supposti proporzionali alle distanze? Perche? [R:Me = km 40]

Esercizio 1.17 Data la seguente distribuzione delle frequenze cumulate relative di un collettivorispetto al carattere X:

X 0-2 2-4 4-6 6-10 10-20 20-30 30-50F(X) 0 0.08 0.32 0.64 0.86 0.96 1

a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione e della sua funzione di ripartizione;b) individuare la classe modale;c) calcolare mediana e media aritmetica;d) calcolare la media aritmetica e la varianza della variabile Z=1-3X;e) calcolare la proporzione di unita che presentano un livello di X≤12.[R: b) classe modale: (4-6); c) µ = 11.4, Me = 8.25; d) µz = −33.2, σ2

z = 659.16; e) F (12) =0.684]

Esercizio 1.18 Una sessione e costituita da tre appelli di esame, a cui si presentano, rispettiva-mente, 80, 100 e 50 studenti; tutti vengono promossi. Il voto medio riportato al primo appellorisulta pari a 26.4, con scostamento quadratico medio (s.q.m.) pari a 4.5. Al secondo appelloil voto medio risulta pari a 27.2. Al terzo appello si osserva uno s.q.m. pari a 5. Per l’interasessione il voto medio risulta pari a 27.a) Valutare il voto medio relativo al terzo appello.b) Sapendo che lo s.q.m. complessivo vale 5.5, determinare lo s.q.m. relativo al secondo appello.[R: µ3 = 27.56; σ2 = 6.36]

Statistica n.o. - II canale 6Esercizio 1.19 In una popolazione di 1000 alberghi a tre stelle in localita di montagna, maree citta, si e rilevato il prezzo medio (in migliaia di lire) di una stanza doppia per una notte(per il mese di settembre). I prezzi medi e gli scostamenti quadratici medi di ciasun gruppo edell’intera popolazione sono stati i seguenti:

Ubicazione n. alberghi prezzo medio sqmMontagna 170 125 12.2

Mare 300 131 10Citta 530 148

tot 1000 139 16

ricavare lo scostamento quadratico medio del prezzo degli alberghi in citta.[R: σcitta = 14.09]

Esercizio 1.20 Sia data la seguente distribuzione delle aziende per numero di addetti, per laquale siano note le medie e gli scostamenti quadratici medi delle classi:

Classi di addetti Aziende N. medio addetti S.q.m.fino a 5 735 3.1 1.56-10 1200 8.6 2.111-20 900 15.5 4.221-40 150 35.5 12.7piu di 40 15 70.2 20.4

a) Calcolare la media del n. di addetti per azienda.b) Calcolare la varianza del n. di addetti per azienda.[R: µ = 10.975; σ2 = 88.957;]

Esercizio 1.21 Al censimento del 1981 le famiglie italiane secondo il numero di componenti(X) sono risultate cosı distribuite:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 e piun(X) 3323 4402 4117 4008 1773 629 224 154

a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza e della funzione di ripar-tizione.b) Calcolare moda, mediana e media aritmetica.c) Calcolare i quartili e il decimo e il trentesimo percentile.[R: b) Mo = 2, Me = 3, µ = 2.985; c) Q1 = 2, Q3 = 4, P10 = 1, P30 = 2]

Statistica n.o. - II canale 7Esercizio 1.22 Data la seguente tabella:

X 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-15 15-30n(X) 15 13 15 12 15 10 15

a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza e quella della sua funzionedi ripartizione.b) Calcolare: la mediana, il primo e il terzo quartile.[R: Me = 3.67; Q1 = 1.64; Q3 = 10.5; ]

Esercizio 1.23 Sia data la seguente distribuzione dei redditi:

Classi di reddito (milioni) Frequenze relativefino a 10 0.195

10-20 0.41920-30 0.22130-40 0.09540-50 0.041

oltre 50 0.029Totale 1.000

Calcolare media, s.q.m., un indice di asimmetria e la proporzione di unita con reddito compresonell’intervallo (µ− σ, µ + σ). Commentare i risultati. [R: µ = 19.84; σ = 12.87; γ = 1.41;F (µ + σ)− F (µ− σ) = 0.725]

Esercizio 1.24 Data la seguente distribuzione di frequenza:

X 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-15 15-20 20-30 30-40 40-50 50-100ni 15 13 12 11 10 10 8 6 6 5 4

a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione;b) fare la rappresentazione grafica della funzione di ripartizione;c) calcolare la mediana e la media aritmetica;d) calcolare lo scostamento quadratico medio;e) calcolare un indice di asimmetria.[R: c) Me = 4.8, µ = 13.26; d) σ = 17.61; e) γ = 2.006]

Statistica n.o. - II canale 8Esercizio 1.25 In una cittadina degli Stati Uniti e stata rilevata la concentrazione mediagiornaliera di ozono (X in parti di miliardi) fra l’1/5/74 e il 13/9/74, ottenendo la seguentedistribuzione di frequenza:

X 0-50 50-75 75-100 100-150 150-200 200-250n(X) 35 29 25 28 11 8

a) Fare la rappresentazione grafica delle frequenze relative e delle frequenze relative cumulate.b) Calcolare un indice di dimensione, uno di variabilita ed uno di asimmetria a vostra scelta.c) Calcolare la proporzione di giorni con concentrazione media compresa nell’intervallo (µ− σ, µ + σ) .d) Calcolare media e scostamento quadratico medio della variabile Z = 2X − 150.[R: b) µ = 88.97; σ = 56.19; γ = 0.78; c) F (µ + σ) − F (µ− σ) = 0.672; d) µz = 27.94,σz = 112.38]

Esercizio 1.26 In un campione di 100 aziende della provincia di Milano e stata rilevata lasuperficie, ottenendo i seguenti risultati:

Classe di superficie Numero di aziende0-10 3310-50 4350-100 12100-500 10500-1000 2

a) Si rappresentino graficamente i dati nel modo che si ritiene piu opportuno.b) Si determini la classe modale.c) Si calcolino la mediana e un indice di asimmetria.d) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie ≤50.e) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie ≤40.f) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie >60

[R: b) classe modale: (0-10); c) Me=25.814,µ−Me

σ= 0.33; d) F (50) = 0.76; e) F (40) = 0.65;

f) 1− F (60) = 0.22]

Statistica n.o. - II canale 92 Esercizi su concentrazione e numeri indici

Esercizio 2.1 Data la seguente distribuzione unitaria:

i 1 2 3 4ai 10 50 20 20

a) calcolare un indice di concentrazione;b) costruire la corrispondente distribuzione di frequenza e su di essa calcolare un indice diconcentrazione.[R: a) R = 0.4; b) R = 0.4]

Esercizio 2.2 Data la seguente distribuzione per superficie(in m2

)degli appartamenti esistenti

nel comune di Bologna al 30/06/57:

classi di superf. <35 35-50 50-65 65-80 80-95 >95 totni 3445 4894 4645 3679 2202 6688 25553

superf. tot. 93363 213543 269168 267855 193091 1055362 2092382

calcolare un indice di concentrazione [R: R = 0.315]

Esercizio 2.3 Data la seguente distribuzione del reddito familiare (X) in Italia nel 1977 (inmilioni):

X 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-12 12-20fi 0.011 0.060 0.099 0.123 0.128 0.108 0.090 0.072 0.062 0.049 0.075 0.123

calcolare un indice di concentrazione [R: R = 0.34]

Esercizio 2.4 Data la seguente distribuzione di 9 emittenti radio secondo gli introiti pubblicitari:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9Xi 339 461 697 1320 1524 1798 1857 1889 1994

calcolare un indice di concentrazione [R: R = 0.2885]

Statistica n.o. - II canale 10Esercizio 2.5 La distribuzione dei redditi di 150 famiglie e risultata la seguente:

Classe di reddito N.di famiglie Reddito medio della classe10-20 95 11.220-30 35 24.330-40 15 36.840-50 5 49.5

Rappresentare la spezzata di concentrazione e calcolare il rapporto di concentrazione di Gini.[R: R = 0.2827]

Esercizio 2.6 La tabella seguente riporta le distribuzioni degli investimenti in termini percentu-ali in due industrie A e B:

Classe di inv. A B10-20 34.4 29.920-40 42.2 45.840-60 23.4 24.3

tot 100 100

Calcolare, sia per A che per B, il rapporto di concentrazione di Gini. [R: RA = 0.2426;RB =0.222]

Esercizio 2.7 I seguenti dati esprimono il fatturato annuo (in migliaia di euro) di 8 imprese:

9700 3500 3900 5200 2400 7200 6600 8700

Calcolare un indice di concentrazione.

Esercizio 2.8 La distribuzione percentuale di lavoratori autonomi in 10 circoscrizioni romanee risultata la seguente:

I II III IV V VI VII VIII IX X16.26 17.81 6.82 10.97 6.18 9.56 5.99 4.23 14.59 7.59

Calcolare un indice per misurare la concentrazione dei lavoratori autonomi [R: R = 0.278]

Statistica n.o. - II canale 11Esercizio 2.9 La distribuzione per continente dei casi accertati di AIDS nel 1982 e nel 1987era la seguente:

Continente 1982 1987Africa 3 8693

America 1411 56890Asia 2 224

Europa 92 8767Oceania 2 742

Valutare se la concentrazione della malattia nelle diverse aree geografiche sia variata tra il 1982e il 1987. [R: R82 = 0.9629;R87 = 0.8057].

Esercizio 2.10 La tabella seguente riporta i prezzi e le quantita vendute di due merci A e B in4 anni:

A Banni Pi Qi Pi Qi

1 20 500 25 20002 18 700 28 16003 26 500 21 22004 24 600 18 2500

a) costruire i numeri indici semplici dei prezzi per le due merci, sia a base fissa all’anno 1 che abase mobileb) calcolare i numeri indici sintetici dei prezzi con i metodi di Laspeyres, Paasche e Fisher conbase l’anno 1.[R : 2IL = 1.083, 2IP = 1.063; 3IL = 0.917, 3IP = 0.911; 4IL = 0.80, 4IP = 0.797].

Esercizio 2.11 La tabella seguente riporta i prezzi e le quantita vendute di tre beni in duetempi diversi:

tempo 0 tempo 1beni Pi Qi Pi Qi

1 4 10 6 92 8 6 5 123 2 12 2 11

Calcolare i numeri indici sintetici dei prezzi (con base il tempo 0). [R: IL = 1.018, IP = 0.883]

Statistica n.o. - II canale 12Esercizio 2.12 Data la serie dei prezzi di un certo bene dal periodo 1 al periodo 6:

anno 1 2 3 4 5 6prezzi 1240 1520 1700 2100 2450 3000

a) determinare la serie dei numeri indici con base 2b) a partire dalla serie del punto a), determinare la serie dei numeri indici con base 4c) a partire dalla serie del punto b), determinare la serie dei numeri indici a base mobile.d) cosa e accaduto al prezzo del bene tra il periodo 3 e il periodo 6? Calcolare la variazionepercentuale del prezzo e valutare se vi e stata una perdita del potere di acquisto della moneta.

Esercizio 2.13 La tabella seguente riporta i prezzi e le quantita vendute di due merci A e B in4 anni:

A Banni Pi Qi Pi Qi

1989 2100 10000 950 1500001990 2300 9000 800 1900001991 2380 8000 770 2040001992 2500 4000 710 291000

a) costruire la serie dei numeri indici dei prezzi di Laspeyres e di Paasche con base 1989;b) calcolare la serie dei numeri indici dei prezzi di Fisher e confrontarla con le due precedenti.[R : 90IL = 0.87, 90IP = 0.87; 91IL = 0.85, 91IP = 0.84; 92IL = 0.80, 92IP = 0.76].

Esercizio 2.14 La tabella seguente riporta una serie di numeri indici dei prezzi al consumo:

Anno 1993 1994 1995 1996 1997Base 1990 1.588 1.756 1.907Base 1995 1.061 1.100

ricondurli tutti (dal 1993 al 1997) a base 1995.

Esercizio 2.15 Per tre diversi titoli azionari, T1, T2 e T3, quotati alla borsa di milano in duediverse giornate (G1 e G2), disponiamo delle seguenti informazioni:

G1 G2Quotazioni in euro Valore scambiato Quotazioni in euro

T1 13.5 6850 13.3T2 4.7 49980 4.9T3 4.3 42900 3.9

Calcolare l’indice sintetico dei prezzi di Laspeyres.

Statistica n.o. - II canale 13Esercizio 2.16 Con riferimento al prezzo delle ciliegie, la serie dei numeri indici a base mobilee la seguente:

1997 1998 1999 2000 20011.08 1.09 1.10 1.05 1.10

a) ricavare la serie a base fissa con base 1996 per gli anni 1997-2001;b) cosa e accaduto al prezzo delle ciliege tra il 1996 e il 2000? Calcolare la variazione percentualedel prezzo e valutare se vi e stata una perdita del potere di acquisto della moneta.c) ricavare la serie a base fissa con base 1998 per gli anni 1997-2001.d) cosa e accaduto al prezzo delle ciliege tra il 1998 e il 2000? Calcolare la variazione percentualedel prezzo e valutare se vi e stata una perdita del potere di acquisto della moneta.[R : 96I97 = 1.08, 96I98 = 1.18, 96I99 = 1.29, 96I00 = 1.36, 96I01 = 1.50; 98I97 = 0.92, 98I98 = 1,

98I99 = 1.10, 98I00 = 1.15, 98I01 = 1.27].

Esercizio 2.17 Data la seguente serie di numeri indici a base fissa (1990):

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 20010.9501 0.9076 0.9604 0.9597 0.9185 0.8889 0.8651 0.8528 0.8399 0.7456 0.7424

a) ricavare la serie a base mobile;b) ricavare la serie a base fissa con base 1996 per gli anni 1997-2001.[R : I91 = 0.95, I92 = 0.95, I93 = 1.06, I94 = 1.00, I95 = 0.96, I96 = 0.97, I97 = 0.97, I98 = 0.98,I99 = 0.98, I00 = 0.89, I01 = 1.00; 96I97 = 0.97, 96I98 = 0.96, 96I99 = 0.94, 96I00 = 0.84,

96I01 = 0.83].

Esercizio 2.18 La serie degli indici a base mobile degli occupati nell’industria manifatturierain 5 anni successivi e stata la seguente:

1 2 3 4 50.98 1.00 1.02 0.92 0.95

a) determinare la variazione percentuale tra il quarto ed il quinto anno del numero degli occupati;b) costruire la serie degli indici a base fissa con base al tempo zero.

Esercizio 2.19 La tabella seguente riporta i prezzi e le quantita scambiate di tre merci (A, B,C) in 3 anni:

A B Canni Pi Qi Pi Qi Pi Qi

1995 110 25 2000 200 10000 1001996 120 20 2000 210 9000 1201997 130 5 2000 200 9500 140

Calcolare sia per il 1996 che per il 1997 gli indici dei prezzi di Laspeyres e di Paasche prendendoil 1995 come anno base. [R : 96IL = 0.93, 96IP = 0.93; 97IL = 0.96, 97IP = 0.96].

Statistica n.o. - II canale 14Esercizio 2.20 Le quotazioni del prezzo del petrolio “brent” ($ al barile) in 10 giorni successivisono state le seguenti:

giorni 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10quotazioni 27.22 28.25 29.3 29.2 28.89 29.95 30.36 30 29.39 29.52

a) determinare la serie dei numeri indici a base mobile;b) a partire dalla serie del punto a), determinare la serie dei numeri indici a base fissa con base4.

Esercizio 2.21 La seguente tabella riporta la serie trimestrale del Prodotto Interno Lordo (inmilioni di euro) nel 2003 e 2004 (a prezzi costanti 1995):

Anno Trimestre PIL2003 I 260016

II 259566III 260575IV 260479

2004 I 261813II 262620III 263663IV 262591

Calcolare la variazione congiunturale (variazione percentuale rispetto al periodo precedente)e la variazione tendenziale (variazione percentuale rispetto allo stesso periodo dell’anno prece-dente) nel secondo trimestre 2004.

Esercizio 2.22 Sapendo che il valore dell’Indice dei prezzi al consumo per l’intera collettivita’a marzo 2005 era 1.264, a febbraio 2006 era 1.287, a marzo 2006 era 1.290, calcolare il tasso diinflazione congiunturale e tendenziale a marzo 2006. [R : +0.2%, +2.1%].

Statistica n.o. - II canale 153 Esercizi sulle distribuzioni doppie

Esercizio 3.1 Data la seguente tabella a doppia entrata relativa ai caratteri reddito mensile inmilioni di lire (X) e numero di weekend dedicati a viaggiare (Y):

YX

0− 1 2− 3 4

0-1.5 20 15 31.5-2.5 13 21 6

2.5-4 18 10 8

calcolare:a) la media e la varianza di X, la media e la varianza di Y, la Cov(X,Y), il coefficiente dicorrelazione di Bravais;b) la media di X quando Y e tra 2 e 3 weekend;c) la media e la varianza di Z=X+Y e di W=X-Y.[R: a) µx = 1.98, σ2

x = 1.01, µy = 1.83, σ2y = 1.67, σxy = 0.11, r = 0.08; b) µx|y∈(2−3) = 1.86; c)

µz = 3.81; σ2z = 2.9; µw = 0.15; σ2

w = 2.46]

Esercizio 3.2 Data la seguente distribuzione doppia:

YX

1 2 3

6 2 0 012 0 2 118 0 0 124 0 1 1

a) calcolare la media delle due distribuzioni marginali, le varianze, la covarianza, il coefficientedi correlazione di Bravais.b) determinare la distribuzione del rapporto W=X/Y e calcolarne media e varianza.[R: a) µx = 14.25, µy = 2.125, σ2

x = 44.44, σ2y = 0.61, σxy = 3.47, r = 0.67; b) µw = 6.75;

σ2w = 4.937]

Esercizio 3.3 Data la seguente distribuzione doppia:

YX

0− 2 2− 4 4− 6

2 2 12 66 3 18 9

10 5 30 15

a) calcolare la media delle due distribuzioni marginali, le varianze, la covarianza, il coefficientedi correlazione di Bravais;b) calcolare la media di X quando Y cade nella terza classe;c) determinare la distribuzione della combinazione lineare Z=X+Y e calcolarne media e varianza;d) verificare le proprieta delle combinazioni lineari.[R: a) µx = 7.2, µy = 3.4, σ2

x = 9.76, σ2y = 1.44, σxy = 0, r = 0; b) µx|y∈(4−6) = 7.2]

Statistica n.o. - II canale 16Esercizio 3.4 Data la seguente tabella a doppia entrata relativa ai caratteri spese mensili pergeneri alimentari (X) e per generi non alimentari (Y ) in milioni di lire (valori centrali delleclassi) rilevate su un collettivo di 150 famiglie:

YX

1.5 2.5 3.5

0.5 18 15 120.8 30 26 221.2 5 8 14

a) calcolare la media e la varianza di X, la media e la varianza di Y , la Cov(X, Y ), il coefficientedi correlazione di Bravais;b) calcolare la media e la varianza di X quando Y = 2.5;c) costruire la tabella relativa alla distribuzione della spesa complessiva familiare Z = X + Y , ecalcolarne media e varianza;d) calcolare media e varianza di Z a partire dalle quantita calcolate al punto a) e verificare chesi ottengono gli stessi risultati del punto c).[R: a) µx = 0.782, µy = 2.467, σ2

x = 0.055, σ2y = 0.671, σxy = 0.035, r = 0.183; b) µx|y=2.5 =

0.773, σ2x|y=2.5 = 0.054; c) µz = 3.249; σ2

z = 0.796]

Esercizio 3.5 In un collettivo di 50 famiglie e stata rilevata la distribuzione congiunta deiredditi mensili da lavoro del marito (X) e della moglie (Y ) espressi in migliaia di euro (valoricentrali delle classi):

YX

0 1 2

1 6 8 62 2 10 23 10 6 0

a) fare la rappresentazione grafica delle tre distribuzioni della X condizionate da Y = 0, Y =1, Y = 2, e calcolarne le medie;b) calcolare Cov(X,Y ) e il coefficiente di correlazione di Bravais;c) calcolare il numero di famiglie per le quali il reddito del marito e pari ad almeno 2 mila euroe quello della moglie ad almeno mille;d) costruire la tabella relativa alla distribuzione del reddito complessivo familiare Z = X + Y ,e calcolarne media e varianza.[R: a) µx|y=0 = 2.22, µx|y=1 = 1.92, µx|y=2 = 1.25; b) σxy = −0.216, r = −0.369; c) 18; d)µz = 2.72; σ2

z = 0.7616]

Esercizio 3.6 Per la seguente serie di coppie di valori:

X 1 2 6 10 X5

Y 7 12 32 Y4 67

si sa che il coefficiente di correlazione rxy=1. Si determinino i due valori mancanti X5 e Y4. [R:X5 = 13; Y4 = 52]

Statistica n.o. - II canale 17Esercizio 3.7 Si consideri il valore dei depositi in miliardi nelle aziende di credito e presso leamministrazioni postali in Italia nel 1987:

Aziende di credito Amministrazioni postaliTotale 460 000 78 000

I due tipi di deposito sono cosı distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni del Centro-Nord e Mezzogiorno:

Aziende di credito Amministrazioni postaliCentro-Nord 79.9% 65.9%Mezzogiorno 20.1% 34.1%Totale 100% 100%

a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiuntamente i valoridei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito.b) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri.[R: χ2 = 7585.39]

Esercizio 3.8 Data la seguente tabella a doppia entrata:

YX

2 4 6 tot

1 42 6 103

tot 10 100

completarla nell’ipotesi di indipendenza assoluta tra i due caratteri. Calcolare poi la mediaaritmetica e la mediana di Y. [R: µy = 4.4; Mey = 4]

Esercizio 3.9 Data la seguente tabella:

YX

1 6 tot

1 703 507 30

tot 100 50 150

a) riempirla in modo che risulti χ2rel=1;

b) senza svolgere i calcoli, quanto vale χ2?[R: χ2 = 150]

Statistica n.o. - II canale 18Esercizio 3.10 Data la seguente tabella a doppia entrata:

YX

1 3 tot

1 903 507 60

tot 150 50 200

a) riempirla in modo che risulti χ2rel = 1;

b) calcolare poi χ2. [R: χ2 = 200]

Esercizio 3.11 Per saggiare il giudizio sulla corrispondenza fra documentazione statistica erealta dei medici, e stato chiesto a un campione di essi se le statistiche ufficiali italiane sullemalattie infettive rappresentino la situazione reale:

GiudizioRuolo

Tutte Solo alcune Nessuna Tot

Medico condotto 14 33 8 55Mutualistico 35 88 22 145Ospedaliero 33 89 30 152

Altri 5 14 3 22Tot 87 224 63 374

Valutare se vi e dipendenza tra giudizio e ruolo dei medici. [R: χ2 = 1.74]

Esercizio 3.12 In 115 supermercati sono stati rilevati il prezzo di vendita (X) ed il numerodelle confezioni vendute (Y) di un certo tipo di prodotto ottenendo la seguente distribuzionedoppia:

YX

50-100 101-170 171-190 Tot

0.60-0.70 5 13 21 390.70-0.80 8 40 2 500.80-0.90 20 6 0 26

Tot 33 59 23 115

a) Valutare se vi e dipendenza assoluta e dipendenza lineare tra prezzo di vendita e numero diconfezioni vendute. Commentare i risultati.b) Quanti supermercati hanno venduto almeno 170 confezioni ad un prezzo non superiore a0.80?

Statistica n.o. - II canale 19Esercizio 3.13 Per la seguente tabella:

YX

Y1 Y2 Y3 Y4

5 5 0 20 016 0 12 0 10

senza svolgere i calcoli, determinare χ2 e χ2rel. [R: χ2 = 47;χ2

rel = 1]

Esercizio 3.14 Data la seguente distribuzione doppia:

XY

1 2 3 4

-1 0 9 9 00 5 0 0 51 4 0 0 4

commentare i valori che si ottengono per il χ2 e per rxy.[R: χ2rel = 0.5; rxy = 0]

Esercizio 3.15 Valutare se vi e dipendenza tra la regione di provenienza e la facolta di iscrizioneper un campione di studenti iscritti al I anno dell’Universita di Bologna nel 1974:

ProvenienzaFacolta

Sud-Isole Centro Nord Tot

A 10 41 29 80B 34 148 185 367C 86 122 170 378D 21 35 38 94

Tot 151 346 422 919

[R: χ2 = 31.294]

Statistica n.o. - II canale 204 Esercizi sulla regressione

Esercizio 4.1 In 5 famiglie sono stati rilevati i seguenti redditi (X) e risparmi (Y):

X 80 110 90 60 60Y 16 18 21 27 35

a) determinare l’equazione della retta di regressione di Y su X;b) stimare il presumibile valore del risparmio per una famiglia con reddito pari a 50: Y(50);c) determinare il valore del coefficiente di correlazione rxy.

[R: Y=45-0.27X; Y(50)=31.5; rxy = −0.75]

Esercizio 4.2 Per due variabili statistiche X e Y si hanno le seguenti coppie di osservazioni:

X 1 3 4 7 8 10Y 5 4.9 4.5 3 2.2 2

Determinare i parametri della retta di regressione Y =a +bX e valutarne la bonta di adattamentotramite l’indice R2. Posto poi che si osservi X=12, sulla base della retta stimata, qual’e ilpresumibile valore della Y?[R: a = 5.75, b = −0.39; R2 = 0.94; Y(12)=1.07]

Esercizio 4.3 Per una distribuzione doppia si e stimata la retta di regressione Xi=10-2Yi.Individuare quale, fra le seguenti, e la possibile equazione della retta di regressione di Y su X emotivare la scelta:a) Yi= 4+0.4Xi

b) Yi= -7-0.8Xi

c) Yi= -3-0.4Xi

d) Yi= 0.8+0.5Xi.

Esercizio 4.4 Con riferimento ai dati dell’esercizio 3.2, determinare i parametri della retta diregressione di X su Y.

Esercizio 4.5 Con riferimento ai dati dell’esercizio 3.3, determinare i parametri della retta diregressione di X su Y e quelli della retta di regressione di Y su X.

Statistica n.o. - II canale 21Esercizio 4.6 Con riferimento ai dati dell’esercizio 3.5, determinare i parametri della retta diregressione di Y su X.

Esercizio 4.7 Con riferimento ai dati dell’esercizio 3.12, determinare i parametri della retta diregressione di X su Y.

Esercizio 4.8 Data la variabile statistica doppia (X,Y), per cui e noto che var(X)=81var(Y),indicare quali tra i seguenti valori del coefficiente angolare della retta di regressione di X su Y:

−2, 0, 15

non sono accettabili, motivando la risposta fornita.[R: il valore 15 non e accettabile].

Esercizio 4.9 Al fine di stabilire se esiste una relazione statistica tra l’altezza degli alberi diciliegie (Y) ed il diametro medio delle ciliegie prodotte (X), si considerino le osservazioni dellaseguente tabella:

Diametro (cm.) 3.4 4.3 3.0 3.2 2.1Altezza (m.) 5.5 6.0 5.6 5.1 4.5

a) Calcolare la retta di regressione di X su Y. Stabilire se X e Y sono: incorrelate, correlatepositivamente oppure correlate negativamente.b) Calcolare la varianza residua, la varianza spiegata e l’indice di accostamento lineare.c) Si preveda, sulla base della relazione trovata al punto a), il diametro delle ciliegie prodotteda un albero di altezza 3.5. Commentare il risultato.d) Si esprima l’altezza delle piante in centimetri e si indichi con W la corrispondente variabilestatistica. Senza rifare i calcoli, a partire dai parametri della funzione di regressione trovata alpunto a), determinare la funzione di regressione lineare di X su W.[R: X = 1.26y − 3.53, σxy = 0.326;V arres = 0.0898, V artot = 0.5, R2 = 0.82; X (3.5) = 0.88;X = 0.0126w − 3.53]

Statistica n.o. - II canale 22Esercizio 4.10 In un campione di 12 famiglie si sono rilevati i pesi del padre (X) e del figlioprimogenito (Y) qui di seguito riportati:

X 75 73 77 74 78 72 80 76 78 77 79 81Y 78 76 78 75 79 76 78 75 81 77 78 80

Stimare i parametri della retta di regressione della Y sulla X e calcolarne l’R2.[R: Y = 38.48 + 0.51x, R2 = 0.46]

Esercizio 4.11 In un campione di 15 famiglie si e rilevato il reddito annuo e la spesa per generialimentari:

Reddito 25 40 20 32 60 18 24 42 45 36 15 21 34 25 58Spesa 8.0 11.4 6.5 9.6 16.2 6.0 7.5 12.0 15.0 12.2 6.0 7.5 10.0 8.0 14.1

Si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per alimenti in funzione del redditonetto annuo e si determini la bonta di adattamento della relazione stimata.[R: Y = 2.41 + 0.23x, R2 = 0.93]

Esercizio 4.12 In una indagine campionaria si sono rilevati i seguenti dati sulla superficie inettari (X) e sul rendimento in q/ha (Y) di 10 aziende cerealicole:

(3, 27) (2, 26) (4, 30) (3, 28) (4, 32)(2, 30) (6, 33) (5, 29) (4, 31) (6, 31)

Si stimino i parametri della retta di regressione del rendimento in funzione della dimenzioneaziendale.[R: a = 25.64, b = 1.04]

Esercizio 4.13 Si considerino i seguenti dati relativi al numero di ore di studio (X) di un cam-pione casuale di 8 studenti per la preparazione dell’esame di statistica ed il voto (Y) riportato:

X 100 95 100 80 75 150 130 160Y 24 22 21 20 18 30 28 30

trovare la retta di regressione delle votazioni riportate sulle ore di studio[R: Y = 8.55 + 0.14x]

Esercizio 4.14 Si siano osservate le seguenti coppie di valori per le variabili X e Y:

X 1 3 4 6 8 9 11 14Y 1 2 4 4 5 7 8 9

Determinare l’equazione della retta che esprime la Y in funzione della X. Rappresentare sulpiano cartesiano i punti osservati e la retta interpolante.[R: β0 = 0.548, β1 = 0.636]

Statistica n.o. - II canale 23Esercizio 4.15 I voti in Economia (X) ed in Statistica (Y) riportati da 10 studenti sono stati iseguenti:

X 20 24 28 27 18 22 29 30 23 21Y 22 24 27 28 18 23 30 29 21 19

Sapendo che Var(X)=15.16, Var(Y)=16.09, Cov(X,Y)=14.78, determinare l’equazione dellaretta che esprime la Y in funzione della X.[R: a = 0.505, b = 0.975]

Esercizio 4.16 Negli anni 1987-1993, l’ascolto di televisione (Y) nella fascia 19-20 ha avuto ilseguente andamento (dati Auditel, in milioni di ascoltatori):

Anno 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993Y 0.7 0.8 0.9 1.1 1.4 1.6 2.0

Interpolare tale distribuzione con una funzione di tipo Y =abt e sulla base di questo modelloprevedere il numero di ascoltatori (in milioni) per l’anno 1996.[R: a = 0.66, b = 1.20; Y (1996) = 3.4]

Esercizio 4.17 Per le seguenti 5 coppie di osservazioni:

X 1 2 3 4 5Y 1 5 8 15 28

si vuole interpolare la Y con la funzione Y =c0+c1X2.a) determinare i parametri c0 e c1;b) valutare la bonta di adattamento di tale funzione.[R: c0 = −0.546, c1 = 1.086;R2 = 0.98]

Esercizio 4.18 Date le seguenti coppie di osservazioni:

X 1 2.5 3 3.5 5Y 3 19 29 41 87

a) interpolare con la funzione Y =a+bX2;b) confrontare la varianza residua (cioe il danno) che si ha interpolando con tale parabola conquella che si ha interpolando con la retta Y =a+bX. Che cosa possiamo concludere?[R: a = −2.078, b = 3.54; V arres

(X2

)= 0.81, V arres (X) = 47.74]

Esercizio 4.19 Date le seguenti coppie di valori (X, Y):

(3, 5) (6, 12.5) (9, 14) (15, 35) (25, 65)

sulla base dei quadrati dei coefficienti di correlazione individuare quale di queste due funzioni

Y=a1 + b1XY=a2 + b2X2

approssima meglio la relazione esistente tra X e Y, e stimarne i parametri.[R: si adatta meglio la prima funzione, con R2 = 0.984, a1 = −5.832, b1 = 2.77].

Statistica n.o. - II canale 24Esercizio 4.20 Per un campione di 8 famiglie con i seguenti redditi Y (in euro):

3.000; 3.250; 3.500; 3.750; 4.000; 4.250; 4.500; 4.750

si sono riscontrate, rispettivamente, le seguenti spese per il vestiario X (in euro):

285; 320; 350; 380; 415; 450; 455; 485

a) si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per vestiario (X) in funzione delreddito (Y), e si determini la bonta di adattamento della relazione stimata;b) senza rifare tutti i calcoli, si stimino i parametri della retta di regressione della spesa pervestiario in lire in funzione del reddito in lire.[R: a) R2 = 0.986, α = −53.125, β = 0.115; b) α = −102864.344, β = 0.115]