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Concetti fondamentali di risk management

Tutti i concetti della lezione odierna sono presi da McNeil, Frey,Embrechts (2005), Quantitative Risk Management, Princeton,Princeton University Press, cap. 2.

Il risk management è la disciplina che si occupa dellamisurazione e gestione del rischio.

Ha assunto particolare rilevanza in finanza sia per lafrequenza e l’ammontare delle perdite, sia per la pressionedelle autorità di vigilanza. I progressi nella misurazione delrischio sono stati inoltre resi possibili dallo sviluppo dell’IT.Riferimenti storici:

Il Comitato di Basilea è fondato nel 1974.Il primo “accordo di Basilea” è emesso nel 1988.Il VaR nasce nel 1993.Nel 1996 il First Amendment al primo accordo di Basileaintroduce la possibilità di calcolare internamente il VaR.

Marco Bee Corso di Risk Management

Concetti fondamentali di risk management

Si distinguono principalmente tre tipi di rischio finanziario.(i) Rischio di mercato. E’ il rischio di cambiamento di valore di

una posizione dovuto a cambiamenti di valore deisottostanti da cui la posizione dipende (prezzi di azioni odobbligazioni, tassi di cambio e di interesse, prezzi dicommodity , ecc.).

(ii) Rischio di credito. E’ il rischio di: (i) non ricevere rimborsipromessi a fronte di investimenti già effettuati, quali prestitiod obbligazioni, a causa del fallimento (default) dellacontroparte; (ii) variazioni dei prezzi di strumenti finanziaricausati dalla variazione del merito di credito; (iii) perdita incaso di default .

(iii) Rischio operativo. Rischio di perdite derivanti da processi osistemi interni inadeguati o non andati a buon fine, da erraticomportamenti di persone o da eventi esterni.


Perché gestire il rischio finanziario?

Perché gestire il rischio finanziario?

Dal punto di vista della società civile: per assicurare unosviluppo stabile ed ordinato dell’economia e della società;questa motivazione ha portato soprattutto al massicciointervento delle autorità di vigilanza.

Dal punto di vista degli azionisti: per incrementare il valoredella banca.Le sfide:

(i) stimare valori estremi. From the point of view of the riskmanager, inappropriate use of the normal distribution canlead to an understatement of risk, which must be balancedagainst the significant advantage of simplification. [...]Improving the characterization of the distribution of extremevalues is of paramount importance. (A. Greenspan, 1995)


Le sfide

(ii) La natura multivariata del rischio.

(iii) Gli aspetti computazionali.

(iv) L’interdisciplinarità: sono richieste competenze“quantitative” (statistica, matematica finanziaria eattuariale, econometria finanzaria, economia finanziaria) e“non quantitative” (capacità di comunicare, conoscenza dipratiche di mercato e dettagli istituzionali).


Fattori di rischio e distribuzione di perdita

La perdita del portafoglio per il periodo [s, s + ∆] è data da

L[s,s+∆] = −(Vs+∆ − Vs).

La distribuzione di tale quantità è la distribuzione diperdita. La quantità −L[s,s+∆] è il Profit & Loss (P&L).Il valore del portafoglio Vt è funzione del tempo e di unvettore aleatorio di fattori di rischio Z t = (Zt ,1, . . . , Zt ,d)′:

Vt = f (t , Z t). (1)

I fattori di rischio sono diversi a seconda del tipo di rischio:(i) nel rischio di mercato, sono di solito rendimenti di strumenti

finanziari, tassi di cambio e tassi di interesse;(ii) nel rischio di credito sono la Probabilità di Default , la Loss

Given Default e la Exposure at Default;

La scelta di f e di Z t dipende da vari fattori: in particolare iltipo di portafoglio e la precisione desiderata.


La distribuzione di perdita

La (1) è definita una mappatura dei rischi.

Problema: bisogna assumere che la composizione delportafoglio sia costante nel tempo!

La distribuzione di perdita può essere condizionata o noncondizionata.

La distinzione è collegata all’orizzonte temporale diriferimento: su orizzonti temporali brevi è più utile ladistribuzione condizionata, per analisi di lungo periodo siricorre di solito alla distribuzione non condizionata.

La distribuzione non condizionata si ottiene come mediadelle distribuzioni condizionate su un orizzonte temporalelungo.

Se i rendimenti sono iid, le due distribuzioni coincidono.


L’operatore perdita

Sia X t = Z t − Z t−1 la serie storica dei cambiamenti deifattori di rischio e FXt+1|t la distribuzione condizionata di Xal tempo t + 1 data tutta l’informazione disponibile altempo t . La distribuzione condizionata di perdita è allora laperdita indotta dalla distribuzione FXt+1|t .

Esempio. Se si ipotizza che la varianza dei fattori di rischioevolva secondo il modello σ2

t = α + βr2t−1, la distribuzione

di perdita al tempo t + 1 è influenzata dal quadrato delrendimento al tempo t .

L’operatore perdita è definito come:

lt(x ) = −(f (t + 1, Z t + x )− f (t , Z t)), x ∈ IRd .

Si noti che Lt+1 = lt(X t+1).


La distribuzione di perdita

Se f è derivabile, l’approssimazione del primo ordine dellaperdita e l’operatore di perdita linearizzato sono:

L∆t+1 = −

(ft(t , Z t) +

d∑i=1

fzi (t , Z t)Xt+1,i

);

l∆t (x ) = −

(ft(t , Z t) +

d∑i=1

fzi (t , Z t)x

),

dove i deponenti t e Zi indicano una derivata parziale.

Esempi di mappatura dei rischi .Portafoglio azionario. Sia Zt ,i = ln(St ,i), dove St ,i è ilprezzo dell’azione. Allora Xt+1,i = rt+1,i , cioè i rendimentilogaritmici. Sia λi il numero di azioni del titolo i-esimo inportafoglio. Allora Vt =

∑di=1 λieZt,i . Quindi

Lt+1 = −(Vt+1 − Vt) = −d∑

i=1

λiSt ,i(eXt+1,i − 1).


La perdita di un portafoglio azionario

La perdita linearizzata è data da:

L∆t+1 = −Vt

d∑i=1

wt ,iXt+1,i ,

dove wt ,i = (λiSt ,i)/Vt dà la percentuale del valore delportafoglio investita nel titolo i al tempo t .Infine, l’operatore di perdita linearizzata è dato dal∆t (x ) = −Vt

∑di=1 wt ,ixi = −Vtw ′

tx .Se E(X t) = µ e cov(X t) = Σ, abbiamoE(l∆t (x )) = −Vtw ′µ e var(l∆t ) = V 2

t w ′Σw .A seconda che valore atteso e matrice di covarianza di Xsiano calcolati sulla base della distribuzione condizionata onon condizionata di X , si ottengono i primi due momentidella distribuzione di perdita condizionata o noncondizionata del portafoglio.


La perdita di un portafoglio crediti

Supponiamo che un portafoglio crediti contenga Ncontroparti, ognuna con esposizione ηi . L’orizzontetemporale ∆ è tipicamente pari ad un anno. Per semplicità,supponiamo che tutti i prestiti siano rimborsati alla stessadata T . Sia

Li =

{1 la controparte fallisce in[0, T ];

0 la controparte non fallisce in[0, T ].

Come si tiene conto del rischio di default nel prezzare ilprestito? Scontandolo ad un tasso più alto dello yieldy(s, T ) relativo ad un bond zero-coupon risk-free:

p(s, T ) = e−(T−t)y(t ,T )+ci (t ,T )ηi ,

dove ci è il credit spread del bond e si ipotizza p(T , T ) = 1.


La perdita di un portafoglio crediti

Ipotizziamo che ci(t , T ) = c(t , T ) ∀i = 1, . . . , N. Allora ilvalore del portafoglio è

Vt =N∑

i=1

(1− Lt ,i)e−(T−t)y(t ,T )+c(t ,T )ηi .

Quindi il vettore Z t in questo caso potrebbe essereZ t = (Lt ,1, . . . , Lt ,N , y(t , T ), c(t , T ))′.

Data la lunghezza dell’orizzonte temporale, le perditelinearizzate sono poco importanti. La principale difficoltà ètrovare la distribuzione congiunta delle v.c. L1, . . . , LN .


La misurazione del rischio

Perché si misura il rischio?Per determinare il capitale regolamentare (riserve).Per gestire l’ammontare complessivo di rischio di un’unitàall’interno dell’azienda.Per determinare premi assicurativi.

Possibili approcci:Approccio dell’ammontare nozionale.Misure di sensitività rispetto ai fattori di rischio: derivateprime di funzioni di prezzo (es.: Greche, duration).Misure basate su distribuzioni di perdita. Sonodecisamente preferibili perché le distribuzioni di perdita:(i) sono il principale oggetto di studio del risk management;(ii) sono appropriate a qualsiasi livello di aggregazione;(iii) riflettono effetti di compensazione e diversificazione;(iv) possono essere stimate e paragonate su portafoglidiversi.


Misure di rischio

Sia FL(l) la funzione di ripartizione della distribuzione diperdita. Possiamo definire varie misure di rischio basate sutale distribuzione: la più usata è il Value at Risk (VaR).Il VaR è la massima perdita a cui è soggetto un portafoglio,con probabilità data, su un orizzonte temporale predefinito.Definizione . Dato un livello di confidenza α ∈ (0, 1), il VaRal livello di confidenza α è il numero VaRα tale che laprobabilità che la perdita L ecceda VaRα sia uguale a(1− α):

VaRα = k ∈ IR : P(L > k) = 1− α.

In termini probabilistici, il VaR è un quantile di L. Nelrischio di mercato, α è di solito uguale a 0.95 o 0.99 el’orizzonte temporale è pari a 1 o 10 giorni; nel rischio dicredito e operativo α è per lo più uguale a 0.99 o 0.999, el’orizzonte temporale pari ad un anno.


Quantili

Definizione . Un numero x0 ∈ IR è il quantile α delladistribuzione F se e solo se F (x0) = P(X ≤ x0) = α. Se Fè continua, si ha x0 :

∫ x0−∞ f (x)dx = α.

Come si calcolano i quantili?

Per via analitica, cioè risolvendo analiticamente l’integrale.

Per via numerica (deterministica), cioè risolvendol’integrale con tecniche di analisi numerica.Tramite simulazione Monte Carlo. In quest’ultimo caso, siprocede come segue:

(i) si simulano B osservazioni da F ;(ii) si ordinano le osservazioni in senso crescente;(iii) si calcola il quantile empirico, che è l’osservazione simulata

x∗0 tale che α% delle osservazioni simulate è minore di x∗

0 e(1− α)% è maggiore di x∗

0 .


VaR e quantili

Esempio. Supponiamo X ∼ N(0, σ2). Allora VaRα è taleche P(X ≤ VaRα) = α. Sia Z = X/σ; alloraP(X ≤ VaRα) = α ⇔ P(Z ≤ VaRα/σ) = α ⇔ VaRα/σ =zα, dove zα è il quantile α della normale standard. QuindiVaRα = σzα.Il VaR è semplice da calcolare e fornisce rapidamenteun’informazione di base sulla rischiosità delladistribuzione. Soffre tuttavia di almeno due difetti:

(i) Siano L1 e L2 le distribuzioni di perdita di due portafogli. SiaL = L1 + L2 la distribuzione di perdita del portafoglioottenuto fondendoli. Non è sempre vero cheVaR(L)

α ≤ VaR(L1)α + VaR(L2)

α .(ii) Il VaR non ci dà alcuna informazione sull’entità delle perdite

che eccedono il VaR.


Expected Shortfall

Una misura migliore è l’Expected Shortfall (ES).Definizione . Dato un livello di confidenza α ∈ (0, 1), ES allivello di confidenza α è il valore atteso delle perdite cheeccedono il VaRα:

ESα = E(X |X ≥ VaRα).

Se X ∼ N(µ, σ2), si ha

ESα = µ + σφ(Φ−1(α))

1− α.

Per calcolare ES tramite simulazione Monte Carlo siprocede come segue:

(i) si simulano B osservazioni da F ;(ii) si ordinano le osservazioni in senso crescente;

(iv) si calcola il VaR;(iii) si calcola la media delle osservazioni maggiori del VaR.


VaR ed Expected Shortfall

Le figure illustrano le seguenti due proposizioni. Date duev.c. X1 ed X2 con curtosi rispettivamente pari a k1 e k2 conk1 > k2, si ha che:(1) se il livello di confidenza α è “sufficientemente alto”,

VaRX1α > VaRX2

α e ESX1α > ESX2

α ;(2) può accadere, per livelli di confidenza “non troppo alti”, che

(a) VaRX1α < VaRX2

α e ESX1α > ESX2

α o anche che(b) VaRX1

α < VaRX2α e ESX1

α < ESX2α .

La prima figura illustra il caso (1), la seconda figura è unesempio del caso (2a), la terza un esempio del caso (2b).



−6 −4 −2 0 2 4 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Valore a Rischio ed Expected Shortfall al 99% per la normale e la t di Student con 4 gradi di libertà

Normale(0,2)t4VaR0.99 normale

VaR0.99 Student

ES0.99 normale

ES0.99 Student



−6 −4 −2 0 2 4 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35



VaR0.95 Student

ES0.95 normale

ES0.95 Student



−6 −4 −2 0 2 4 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35



VaR0.85 Student

ES0.85 normale

ES0.85 Student


Metodi standard per il rischio di mercato

Sono possibili fondamentalmente tre approcci al problema:

(i) approccio parametrico;(ii) approccio non parametrico (simulazione storica);(iii) approccio Monte Carlo;

Nell’approccio parametrico svolge un ruolo fondamentalel’ipotesi di normalità multivariata per i cambiamenti deifattori di rischio: X t ∼ Nd(µ,Σ). La densità normalemultivariata è data da:

f (x ;µ,Σ) = (2π)−d/2(det(Σ))−1/2e−12 (x−µ)′Σ−1(x−µ).

Si tratta dell’estensione della normale univariata al casomultidimensionale. La proprietà fondamentale per i nostriscopi è la seguente: qualsiasi combinazione lineare deglielementi di X ha distribuzione normale univariata:Y = w ′X =

∑di=1 wiXi ∼ N(w ′µ, w ′Σw ).


L’approccio varianze-covarianze

Si ipotizza X t+1 ∼ Nd(µ,Σ). Si ipotizza inoltre che laperdita linearizzata sia un’approssimazionesufficientemente accurata della distribuzione di perdita.L’operatore di perdita linearizzato ha la forma:

l∆t (x ) = −(ct + b ′tx )

per qualche costante ct e qualche vettore b t . Per esempio,nel caso del portafoglio azionario, ct = 0 e b t = w t , i pesidel portafoglio.

Poiché una funzione lineare di un vettore normalemultivariato ha distribuzione normale univariata, ne segueche la perdita linearizzata L∆

t+1 ha distribuzione normaleunivariata:

L∆t+1 = l∆t (X t+1) ∼ N(−ct − b ′tµ, b ′tΣb t).


Il VaR di un BTP

Vogliamo misurare il VaR giornaliero al 99% di unaposizione su un BTP decennale con valore nominale di100000 Euro, duration modificata pari a 6 e prezzo pari a120 Euro, sapendo che la volatilità giornaliera del tassodecennale σF è pari allo 0.15%. Si ha

VaR0.99 = 2.326 · 120 · 6 · 0.0015 = 2.512.

A rigore, nel caso dell’obbligazione con cedole, l’approccioparametrico (più accurato e complicato) prevede che lasingola posizione obbligazionaria venga scomposta nellerelative componenti elementari, ognuna delle quali èlegata, in termini di sensitività, alle variazioni di uno solodei fattori di mercato considerati.Il rischio della posizione è determinato sulla base dei rischidelle singole componenti, aggregati per mezzo dellecorrelazioni tra i rendimenti dei fattori di mercato coinvolti.


Il VaR di un BTP

La posizione in BTP viene prima scomposta nei singoliflussi di cassa (cedole più valore di rimborso) per poterprendere in considerazione la volatilità dei nodi della termstructure.La modellizzazione utilizzata da RiskMetrics consiste nellascomposizione dello strumento in una serie di cash flow.Ogni cash flow è legato ad uno o più fattori di rischio. IlVaR dello strumento composto si può quindi calcolaretrattando i singoli cash flow come singoli strumenti.Considerando uno strumento finanziario che comporta duecash flow di valore attuale uguale rispettivamente a 100Euro dopo un mese e a 200 Euro due mesi dopo la data dicalcolo del VaR, il rendimento atteso dello strumentofinanziario composto (o del portafoglio) può esserecalcolato nel modo seguente:

r =13

r1m +23

r2m,


Il VaR di un BTP

Il VaR dello strumento viene quindi calcolato come il VaRdel portafoglio composto da due strumenti diversi,corrispondenti ai due cash flow distinti. Si ottiene

VaR = zα ·√

19σ2

1m +49σ2

2m +49σ1mσ2mρ,

dove ρ è la correlazione tra il tasso ad un mese ed il tassoa due mesi e α è il livello di confidenza scelto.


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