corso di laurea in fisica tesi di laurea triennale Studio...

corso di laurea in fisica

tesi di laurea triennale

Studio delle incertezze nella sezione d’urto diproduzione di Higgs tramite fusione di gluoni

Relatori:

Dott. Alessandro Vicini

Prof. Stefano Forte

Autore:

Federico Demartin

matr. 705466

Anno Accademico 2008/2009

Ringraziamenti

Desidero ringraziare di cuore la mia famiglia e i miei amici per tutto il supporto che mihanno dato in questi anni, senza il quale non sarei certamente arrivato a questo traguardo.

Ringrazio sinceramente Alessandro Vicini per la disponibilita con cui mi ha seguito inquesto lavoro e la pazienza con cui ha cercato di spiegarmi i vari aspetti della fisica su cuisi basa. Piu che un relatore, per me e stato un compagno di avventura, con cui ho scopertogiorno per giorno un nuovo mondo.

Ringrazio tantissimo anche Stefano Forte, per i suoi preziosi consigli e tutte le informa-zioni tecniche sulle PDF che mi ha fornito.

Un ringraziamento speciale a Paola Carcano, che per prima ha stimolato il mio interesseverso questo incredibile modo di vedere e descrivere il Mondo che ci circonda.

Grazie mille a tutti voi

Federico

Sommario

Il Modello Standard delle interazioni fondamentali e una della teorie di maggiorsuccesso dell’ultimo mezzo secolo, per quanto riguarda la fisica delle particelle e dellealte energie. Il bosone di Higgs e un ingrediente chiave di questo modello, perchepermette di generare le masse dei campi mediatori delle interazioni, senza romperel’invarianza di gauge su cui si basa la formulazione della teoria. Nonostante l’enormesuccesso del Modello Standard, finora questa particella non e stata osservata speri-mentalmente. La sua scoperta e da diversi anni uno degli obiettivi principali dellafisica delle alte energie, in particolare degli esperimenti che si svolgono al Tevatron eche presto inizieranno anche a LHC.

Avere dei calcoli affidabili sulla sezione d’urto di produzione del bosone di Higgs inquesti due acceleratori e fondamentale, sia per determinare quanti esperimenti sononecessari per osservare il segnale del bosone di Higgs sopra il rumore di fondo, siaper confermare la sua evenutale scoperta, sia per essere in grado di escludere la suapresenza in un dato intervallo di masse nel momento in cui non si osserva il segnale.E quindi necessario non solo prevedere con accuratezza il valor medio della sezioned’urto, ma anche avere una stima affidabile della sua incertezza.

Nel presente lavoro vengono studiate alcune fonti di incertezza, sia di naturateorica che sperimentale, nella predizione della sezione d’urto di produzione di unbosone di Higgs tramite fusione di gluoni. In particolare vengono considerate leincertezze dovute alla parametrizzazione del contenuto partonico del protone (PDF)legate

• agli errori sperimentali dei dati da cui le PDF vengono estratte

• alle diverse parametrizzazioni disponibili in letteratura.

Inoltre viene considerata l’incertezza teorica dovuta al fatto che lo sviluppo pertur-bativo della sezione d’urto viene troncato a un ordine fisso.

La tesi si articola nel seguente modo:

1. Nel primo capitolo viene fatta una breve panoramica su alcuni aspetti del Mo-dello Standard, per introdurre i concetti fondamentali su cui si basa il lavorosvolto. In particolare ci si sofferma sulla QCD, necessaria a descrivere protonie antiprotoni, le particelle da cui hanno origine i processi studiati al Tevatrone a LHC.

2. Nel secondo capitolo si giustificano le potenzialita di Tevatron e LHC di os-servare questa particella e si descrivono i processi di produzione che possonoavvenire in queste macchine, soffermandosi sulla fusione di gluoni.

3. Nel terzo capitolo si descrivono sommariamente le tecniche di calcolo dellasezione d’urto.

4. Nel quarto capitolo vengono confrontate le sezioni d’urto calcolate al NLO contre diverse parametrizzazioni disponibili in letteratura, fornite dalle collabora-zioni CTEQ, MRST-MSTW e NNPDF.

5. Nel quinto capitolo si valuta il contributo di pseudo-dati simulati di LHeC sulgluone a piccolo x, sfruttando una versione modificata di NNPDF.

1

6. Nel sesto capitolo si confrontano le sezioni d’urto calcolate a LO, NLO e NN-LO, sfruttando la parametrizzazione delle PDF fornita da MSTW. In par-ticolare si studia la dipendenza del risultato dalle scale di fattorizzazione erinormalizzazione ai vari ordini perturbativi (errore teorico).

7. Nell’ultimo capitolo si raccolgono le conclusioni in una visione d’insieme e siespongono gli obiettivi su cui puntare per migliorare il calcolo della sezio-ne d’urto di produzione dell’Higgs, che emergono dall’analisi delle incertezzeconsiderate.

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Indice

1 Modello Standard 51.1 Teorie di gauge e meccanismo di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Struttura del protone e QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Esperimenti di deep inelastic scattering e modello a partoni . . . . . 71.2.3 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Moderni set di PDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Produzione del bosone di Higgs 182.1 Limiti alla massa del bosone di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Produzione del bosone di Higgs a Tevatron e LHC . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Meccanismi rilevanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Produzione tramite fusione di gluoni . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Sezione d’urto di produzione adronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Calcolo numerico della sezione d’urto 28

4 Studio dell’errore sperimentale 294.1 Incertezza legata alle PDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 Tevatron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.2 LHC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Studio del contributo di dati raccolti a LHeC 565.1 Upgrade di LHC a LHeC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Studio di alcune incertezze teoriche 646.1 Errori legati alle scale di fattorizzazione e rinormalizzazione . . . . . . . . . 646.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Riepilogo 84

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Convenzioni utilizzate

Si usano unita di misura tali per cui c = 1 e ~ = 1.In questo sistema [lunghezza] = [tempo] = [massa]−1 = [energia]−1 .Massa ed energia si misurano in eV (soprattutto nei suoi multipli).

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1 Modello Standard

1.1 Teorie di gauge e meccanismo di Higgs

Nota la lagrangiana (o equivalentemente l’hamiltoniana) d’interazione di un dato processo,possiamo calcolare l’operatore di evoluzione temporale S(t, t0). A parte per pochi processimolto semplici, solitamente e impossibile calcolare in modo esatto l’ampiezza di transizione〈f | S(t, t0) |i〉 da uno stato iniziale |i〉 a uno finale |f〉. Per questo sviluppiamo l’interazioneattraverso una serie perturbativa, che approssima l’interazione totale attraverso una seriedi sottoprocessi di complessita crescente. Siamo in grado di rappresentare graficamenteciascuno di questi attraverso un diagramma di Feynman, avendo cosı a disposizione unpotente strumento per visualizzarli. L’ordine di un sottoprocesso nella serie e legato alnumero di interazioni che presenta, pari al numero di vertici nel corrispondente diagrammadi Feynman.

Il parametro di espansione della serie perturbativa e solitamente indicato con α, dettacostante di accoppiamento. Essa dipende dal tipo di interazione che stiamo descrivendo eci da informazioni sulla sua intensita. Si tronca sempre la serie perturbativa ai primi ordini,che solitamente sono gli unici che si riescono a calcolare, quindi si vorrebbe poter trascurarei contributi dei termini esclusi. Percio e necessario che il parametro di espansione dellaserie sia sufficientemente piccolo (α � 1 ), in modo che i contributi dati dai sottoprocessidecrescano abbastanza velocemente all’aumentare del loro ordine nella serie perturbativa.

Un problema legato a questo tipo di rappresentazione sorge quando consideriamo tuttii cammini possibili che uniscono lo stato iniziale |i〉 allo stato finale |f〉. Spesso capitadi poter collegare |i〉 a |f〉 con infiniti cammini, in particolare in presenza di particellevirtuali, ovvero particelle che non compaiono negli stati |i〉 o |f〉, ma solo all’interno deldiagramma. Infatti in questo caso si possono avere divergenze nel calcolo dell’ampiezza ditransizione. Se le tipologie di divergenze che compaiono sono in numero finito e sono lestesse a qualsiasi ordine perturbativo, si dimostra che e possibile riassoribirle in un numerouguale di osservabili fisiche. Questo metodo e noto come rinormalizzazione e ci assicura chegli enti fisici e le quantita che consideriamo sono ben definiti e non divergenti. Il risultatodel processo di rinormalizzazione e che, al costo di alcune osservabili fisiche necessarie come“input” per definire la lagrangiana, la teoria diventa predittiva per tutte le altre osservabililegate ai processi che descrive.

Il Modello Standard ha avuto finora un enorme successo nell’interpretare tre delle quat-tro interazioni fondamentali (elettromagnetica, nucleare debole, nucleare forte) alla basedei processi fisici. Esso e formulato come teoria di gauge, che e rinormalizzabile e quindipredittiva, requisito a cui difficilmente possiamo rinunciare. In questa formulazione, ogniparticella e rappresentata da un campo. Si descrivono le simmetrie che una data inte-razione presenta attraverso l’invarianza della lagrangiana sotto l’azione di un opportunogruppo matematico. L’invarianza sotto trasformazione locale viene garantita inserendo

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nella lagrangiana opportuni campi, che sono identificati come i mediatori dell’interazione.La prima teoria di gauge ad essere formulata fu l’elettrodinamica quantistica (quantumelectrodynamics - QED), poi unificata all’interazione debole nel modello elettrodebole diGlashow, Weinberg e Salam, risalente agli anni ’60. In questo modello le interazioni sonomediate da quattro campi vettoriali: il fotone e i tre bosoni massivi W+, W− e Z0.

Successivamente alla teoria elettrodebole e stata formulata anche la cromodinamicaquantistica (vedi sez. 1.2.3).

La struttura della teoria di gauge presenta pero una notevole difficolta: funziona solose le particelle mediatrici dell’interazione hanno massa nulla. Inserire forzatamente untermine di massa nella lagrangiana romperebbe l’invarianza di gauge. Per ovviare a que-sto problema, nel 1964 Peter Higgs e, indipendentemente, altri fisici hanno proposto diintrodurre nel modello un opportuno campo scalare H. L’interazione di un altro campocon H fa comparire spontaneamente nella lagrangiana un termine interpretabile come lamassa della particella descritta. Il bosone di Higgs rappresentato dal campo H e quindi laparticella che permette di dare massa alle altre presenti nel Modello Standard. L’accop-piamento di una particella col campo di Higgs e tanto maggiore quanto maggiore e la suamassa.

Anche se i numerosi studi fatti negli ultimi decenni hanno portato ad accettare ilmeccanismo di Higgs, finora non e stato possibile ottenere un’evidenza sperimentale direttadel bosone di Higgs.

Ottenere l’evidenza sperimentale dell’esistenza di questa particella e uno degli obiettivimaggiori degli attuali esperimenti di fisica alle alte energie, perche rappresenta il test finaleper il modello elettrodebole, l’unico aspetto della teoria che non e ancora stato verificato.La scoperta del bosone di Higgs sarebbe inoltre particolarmente significativa in quantoconsacrerebbe il meccanismo di Higgs per generare le masse delle particelle. D’altra partela mancanza di evidenza sperimentale spingerebbe la teoria verso nuovi sviluppi1, quindil’importanza della ricerca del bosone di Higgs e indipendente dal suo esito effettivo.

Particolare molto importante, la massa del bosone di Higgs e uno dei parametri chevanno forniti inizialmente alla teoria, uno dei suoi gradi di liberta, quindi e necessariomisurarla sperimentalmente.

1.2 Struttura del protone e QCD

1.2.1 Modello a quark

La scoperta del neutrone nel 1932 e della forza nucleare forte che lega protoni e neutroni nelnucleo dell’atomo e stata solo l’inizio di una serie di scoperte di nuove particelle. Questeparticelle, tutte fortemente interagenti, sono dette adroni e si suddividono a loro volta

1Dagli anni ’60 fino ad oggi sono stati raccolti in letteratura svariati lavori che propongono alternativeal meccanismo di Higgs per generare la massa delle particelle.

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in barioni e mesoni. La grande varieta di adroni osservati e le simmetrie che li leganoportarono, fin dai primi anni ’60, a creare un modello che riuscisse a classificare questeparticelle partendo da entita piu elementari. Queste entita vennero chiamate quarks ela classificazione degli adroni venne fatta sulla base di una simmetria SU(3)flavour. Inparticolare furono ipotizzati 3 tipi diversi di quark, o sapori (flavours): up, down e strange.I barioni vennero descritti come combinazioni di 3 quarks mentre i mesoni come coppiequark-antiquark. Questa simmetria non e esatta, altrimenti tutti i barioni e tutti i mesonidovrebbero avere la stessa massa; la rottura della simmetria esatta e causata in primoluogo dalla maggiore massa dello strange rispetto a up e down (che hanno massa diversama molto simile).

In realta questo modello, oltre ad essere approssimato per la mancanza di simmetriaesatta, e incompleto. Infatti successivamente furono scoperti altri 3 sapori: charm, bottome top. Tuttavia, per via della loro elevata massa e instabilita, questi ultimi 3 tipi noncontribuiscono in maniera significativa a generare gli adroni conosciuti allora. Per questomotivo il modello a 3 quarks ebbe notevole successo, anche se inizialmente questi eranoconsiderati piu come oggetti matematici necessari alla descrizione che come particelle fisicheosservabili.

1.2.2 Esperimenti di deep inelastic scattering e modello a partoni

Le prime evidenze sperimentali dell’esistenza dei quarks arrivarono dagli esperimenti diurto profondamente anelastico tra la fine degli anni ’60 e l’inizio degli anni ’70. In questiesperimenti vengono usati fasci di leptoni per sondare la struttura dei nucleoni. A energiesufficientemente alte, che corrispondono a lunghezza d’onda (risoluzione) e tempo di inte-razione sufficientemente piccoli, si nota che i leptoni smettono di interagire coerentementecon tutto il nucleone, rivelandone una struttura interna (l’urto da elastico diventa anela-stico). I risultati degli esperimenti possono essere spiegati se si assume che il nucleone siacostituito da particelle puntiformi (partoni) e che a energie sufficientemente alte il leptoneabbia lunghezza d’onda e tempo d’interazione molto minori della distanza media e del tem-po medio di interazione tra i partoni stessi. In questo modo l’urto avviene elasticamentetra il leptone e un solo partone, mentre gli altri non vengono coinvolti. Questo presupponeche a piccole distanze (entro il raggio del nucleone) i partoni siano debolmente interagentitra loro. Il modello a partoni fu inizialmente proposto da Bjorken e Feynman.

Gli esperimenti di deep inelastic scattering possono essere fatti sia usando leptoni carichi(elettroni, muoni), sia usando neutrini, per sondare la distribuzione di partoni all’internodel nucleone. Entrambi i tipi di esperimenti portano a concludere che circa meta dell’impul-so del nucleone e portata da particelle di spin 1

2, cariche elettricamente e debolmente (oltre

che colorate, vedi sez. 1.2.3), che identifichiamo con i quarks della simmetria SU(3)flavour.La frazione restante deve essere portata da partoni elettricamente e debolmente neutri, cheidentifichiamo con i quanti che mediano l’interazione tra quarks, detti gluoni.

Possiamo caratterizzare un singolo partone sulla base della frazione che porta dell’im-pulso del nucleone. Indichiamo questa frazione longitudinale con x, con 0 ≤ x ≤ 1. Perogni tipo f di partone ci sara una funzione ff (x) che esprime la densita di probabilita di

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trovare all’interno del nucleone quel tipo di partone, con frazione longitudinale dell’impul-so pari a x. Le ff (x) sono dette funzioni di distribuzione partonica (parton distributionfunctions - PDF ).

Consideriamo un urto tra leptone e nucleone. Indichiamo con k il 4-impulso del leptone,P il 4-impulso del nucleone, q il 4-impulso trasferito dal leptone al partone. DefiniamoQ2 ≡ −q2, che e positivo e invariante sotto trasformazioni di Lorentz. L’impulso longitudi-nale del partone e p = xP e la quantita (p+k)2 e anch’essa invariante e puo essere espressaa partire dall’energia del centro di massa

√s del sistema leptone-nucleone (trascurando le

masse)(p+ k)2 = 2pµk

µ = 2xPµkµ = xs. (1.1)

Sperimentalmente non e possibile misurare l’impulso p del partone urtato, poiche none possibile osservare partoni liberi negli stati iniziale e finale. Tuttavia, grazie al fatto chead alte energie la massa del partone e trascurabile rispetto a s e Q2, e possibile scrivere [2]

0 ≈ (p+ q)2 = 2pµqµ + q2 = 2xPµq

µ −Q2 (1.2)

da cui

x =Q2

2Pµqµ. (1.3)

Quindi e possibile calcolare x a partire dall’impulso iniziale P del nucleone, noto l’impulsotrasferito q.

In realta le PDF non dipendono solo da x. La nostra risoluzione della struttura delnucleone e legata alla lunghezza d’onda della particella che lo sonda. Aumentando l’energia,quello che prima ci poteva apparire come un singolo partone, ad esempio un quark, poi puoapparire come un quark accompagnato da un gluone, e questi due si dividono la frazionedell’impulso che prima era portata dal solo quark. Al crescere di Q, si possono risolveresempre di piu tutti i processi quantistici che avvengono all’interno del nucleone. Ad esempioil gluone che accompagna il quark puo materializzare coppie virtuali quark-antiquark, ecosı via. Il nucleone e quindi formato da 3 quark “di valenza” come previsto dal modelloa quark, a cui si aggiunge un “mare” di gluoni e coppie virtuali. Le PDF dipendono cosıanche dall’energia del processo che si sta considerando. Questa dipendenza e logaritmica,quindi variano lentamente al variare dell’energia. Solitamente le PDF si esprimono infunzione di x e di Q o di Q2 ⇒ ff = ff (x,Q).

1.2.3 QCD

La cromodinamica quantistica (quantum chromodynamics - QCD) si occupa di descriverel’interazione tra i partoni all’interno di un adrone.

Come grado di liberta per descrivere l’interazione si aggiunge una nuova carica, dettacolore, anche se non ha niente a che vedere con il colore visivo che intendiamo comunemente,

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Figura 1: Esempio di urto tra leptone (elettrone) e nucleone (protone) nell’approssi-mazione di partoni non interagenti. Il singolo quark e i due quark rappre-sentati non sono dei veri stati finali osservati, perche a causa dell’interazionecromodinamica (vedi sez. 1.2.3) l’energia del fotone γ scambiato viene con-vertita in una coppia quark-antiquark; l’antiquark si unisce al singolo quarkper formare un mesone, il quark agli altri due per formare un barione.

ma e solo un nome come un altro per indicare questo nuovo grado di liberta2. Ci sono tretipi diversi di colore, convenzionalmente rosso, verde e blu, a cui corrispondono le carichedi segno opposto antirosso, antiverde e antiblu. Ogni sapore di quark e quindi presente intre tipi diversi di colore, ad esempio un quark up puo essere sia rosso che verde che blu.Tutti i tipi di colore si attraggono tra loro.

Poiche non sono mai state osservate particelle colorate libere, i partoni di ciascun adronedevono essere opportunamente combinati in modo che la carica totale di colore sia nulla,convenzionalmente “bianca”. Questo porta a concludere che i mesoni sono coppie quark-antiquark con un dato colore e il corrispondente anticolore, ad esempio un quark rosso e unantiquark antirosso, mentre i barioni sono stati di singoletto per 3 quarks di 3 colori diversi,ad esempio rosso, verde e blu; analogamente gli antibarioni sono formati da 3 antiquarkscon anticolori diversi.

Al pari della teoria elettrodebole, anche la cromodinamica e formulata come teoria digauge, basata su un gruppo SU(3)colour. I gluoni sono gli otto campi di gauge corrispondentiai generatori della simmetria SU(3)colour e mediano l’interazione di colore tra i quarks.

I partoni nascono come particelle a massa nulla. Tuttavia per spiegare molti fenomeni

2“The idiot physicists, unable to come up with any wonderful Greek words anymore, call this type ofpolarization by the unfortunate name of ‘color’, which has nothing to do with color in the normal sense.”R. Feynman

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e necessario descrivere i quarks come particelle dotate di massa. Viene quindi usato ilmeccanismo di Higgs per generare la massa dei quarks, mentre i gluoni restano privi dimassa.

(a) (b) (c)

Figura 2: La composizione in quarks colorati dei mesoni (a), dei barioni (b) e degliantibarioni (c). La polarizzazione totale e nulla, ovvero la carica di coloretotale e bianca.

I quarks possono cambiare colore emettendo gluoni: ad esempio un quark rosso puodiventare verde emettendo un gluone rosso-antiverde. In ogni caso la carica di colore totaleall’interno dell’adrone resta bianca. Poiche a differenza dei fotoni i gluoni hanno caricadi colore non nulla, essi interagiscono tra loro oltre che con i quarks. Questo spiega lanetta differenza tra l’interazione elettromagnetica, che si fa piu debole all’aumentare delladistanza tra le cariche, e quella cromodinamica, che cresce linearmente come la forza dirichiamo di una molla.

In generale l’interazione cromodinamica e debole se i tempi di interazione tra quarkssono brevi o se l’impulso che si scambiano e elevato. Questo e consistente con l’ipotesi dacui siamo partiti di particelle libere negli esperimenti ad alte energie. Sotto questa ipotesi epossibile usare la teoria perturbativa per fare previsioni sui risultati sperimentali. A basseenergie invece la costante di accoppiamento dell’interazione forte diventa troppo grande(αs ≥ 1) per poter effettuare calcoli significativi, poiche i processi di ordine di complessitacrescente diventano sempre piu importanti.

La forza nucleare forte che lega tra loro gli adroni e un residuo di quella di coloretra quarks e, a differenza di quest’ultima, decresce esponenzialmente con la distanza; puoessere considerata l’equivalente della forza di van der Waals per l’interazione elettrostatica.

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(a) (b)

Figura 3: Le linee di forza del campo elettrico si diradano se la distanza tra le caricheaumenta (a), mentre quelle del campo di colore restano fitte e si tendonocome degli elastici a causa della loro autointerazione, finche l’energia for-nita dall’esterno per allontanare la coppia qq e sufficiente a materializzareuna nuova coppia qq (b). Questo comportamento ha impedito finora divedere particelle colorate libere e di valutare l’andamento dell’interazionecromodinamica a distanze molto maggiori del raggio medio degli adroni.

1.2.4 Moderni set di PDF

Molti studi di cromodinamica si concentrano sulla struttura partonica del protone, che el’adrone piu stabile e piu facilmente utilizzabile negli acceleratori di particelle. Informazionisulle PDF possono essere estratte da quei tipi di esperimenti che la QCD riesce a descrivere,in quanto avvengono in regime perturbativo. Ad esempio, oltre ai classici esperimenti dideep inelastic scattering, si possono estrarre informazioni dalle collisioni protone-protonein cui due partoni si scambiano un elevato impulso trasverso con la conseguente produzionedi jets adronici. Anche gli esperimenti di produzione di una coppia leptone-antileptone apartire dall’annichilazione di una coppia quark-antiquark (Drell-Yan) permettono di ana-lizzare il contenuto partonico del protone. Diversi tipi di esperimenti danno informazionipiu o meno accurate delle PDF, a seconda della scala di energia Q e della frazione x del-

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l’impulso longitudinale rilevanti per il processo in esame. Nella determinazione delle PDFe quindi opportuno eseguire un fit globale dei dati sperimentali.

Come e gia stato detto, le PDF variano lentamente (in scala logaritmica) rispettoa Q. L’evoluzione e calcolabile in QCD a partire dalle equazioni integro-differenziali diAltarelli-Parisi [2], che sono della forma

d

d logQff (x,Q) =

αs(Q)

π

∫ 1

x

dz

zF(fi

(xz,Q))

(1.4)

dove ff (x,Q) e la PDF di un dato partone f e F(fi(xz, Q))

e funzione di tutte le PDFdei partoni (i = t, b, c, s, u, d, g, d, u, s, c, b, t).

Le equazioni di Altarelli-Parisi permettono di calcolare l’evoluzione delle PDF a qual-siasi scala di energia note le condizioni iniziali. Nella pratica e necessario essere nell’ipotesiperturbativa, sia perche la teoria funziona solo sotto quest’ipotesi, sia perche e impossibilecalcolare le PDF a energie troppo basse (O(Q) < 1 GeV).

I primi fit dei dati sperimentali fatti negli anni ’70 erano basati su una forma funzionaledelle PDF molto semplice, del tipo

ff (x) ∼ xa(f)(1− x)b(f) (1.5)

dove i parametri a e b erano calcolati in modo da avere il miglior accordo coi dati. Ini-zialmente i calcoli vennero eseguiti al primo ordine non nullo in teoria delle perturbazioni(leading order - LO) per quanto riguarda la descrizione teorica dei processi studiati.

Col progresso della tecnologia degli acceleratori di particelle, i dati sperimentali hannoiniziato ad avere maggiore precisione e a spaziare su ampie scale di energia. Questo hapermesso di verificare la validita delle equazioni di Altarelli-Parisi e di migliorare i fit,confrontando l’evoluzione delle PDF calcolate a date energie con la misura sperimentaledelle stesse PDF a energie maggiori. Col passare del tempo la QCD e passata dall’esserefisica semiquantitativa ad essere fisica di precisione, richiedendo calcoli al successivo ordineperturbativo (next to leading order - NLO), sia nella descrizione dei processi da cui siottengono i dati sperimentali, sia per il kernel di evoluzione delle equazioni di Altarelli-Parisi. I fit globali hanno richiesto forme funzionali piu flessibili, con un maggior numero diparametri, per potersi adattare alla maggior precisione dei nuovi dati sperimentali. Inoltresi e iniziato a produrre set di PDF con bande d’errore, che permettessero di valutare leincertezze sul valor medio dovute ai dati sperimentali da cui le stesse PDF vengono estratte.La trattazione dell’errore sulle PDF e un argomento molto delicato, in quanto sono presentisvariate fonti di incertezza, sia di natura sperimentale che teorica, che non sono facilmenteseparabili.

Ormai alcuni set di PDF vengono prodotti basandosi su calcoli addirittura al secondoordine perturbativo dopo il LO (next to next to leading order - NNLO) [5]. Attualmenteeffettuare conti oltre il secondo ordine e pressoche impossibile. Inoltre al NNLO in QCDnon sono ancora disponibili tutti i calcoli partonici differenziali legati alle osservabili fisiche.Cio impedisce di estrarre coerentemente delle PDF al NNLO, perche alcune osservabilidevono essere confrontate con calcoli globali e non differenziali. Svariate collaborazioni

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hanno estratto PDF al NLO usando diverse metodologie. E interessante confrontare valorimedi e bande d’errore ottentute coi diversi approcci.

I files prodotti dalle varie collaborazioni che studiano la struttura del protone sonoperiodicamente raccolti online dopo la pubblicazione su siti come quello di LHAPDF [10],che offrono un’interfaccia comune alle varie PDF e permettono di usarle per i vari lavoriscientifici che ne necessitano.

Il lavoro di questa tesi si concentra su tre tra i piu diffusi set di PDF dotati di incertezze,prodotti e mantenuti in aggiornamento dalle collaborazioni MRST-MSTW [4, 5], CTEQ[6, 7] e NNPDF [8, 9].

MSTW e CTEQ adottano una trattazione classica delle PDF, usando una forma fun-zionale con pochi parametri, poco piu complessa della (1.5) usata agli inizi. Questo puoportare a delle limitazioni sul range di validita del fit, perche la forma funzionale adottatapuo essere inaccurata quando si evolvono le PDF a valori di Q e x diversi da quelli dei datisperimentali. La trattazione degli errori viene effettuata col metodo della matrice Hessia-na, discusso in [4]. In questo metodo si assume che il χ2 sia quadratico attorno al minimonello spazio dei parametri e che la propagazione degli errori sia lineare. Si fissa il livello diconfidenza che si vuole avere e si diagonalizza la matrice Hessiana del χ2 in funzione deiparametri; a partire dagli autovettori dell’Hessiana si ottengono le variazioni massime dellePDF in positivo e negativo rispetto al valor medio, entro il livello di confidenza fissato.

Recentemente la collaborazione NNPDF ha prodotto un set di PDF [8] innovativo chesi basa sul metodo Monte Carlo e su una forma funzionale molto piu flessibile e ridondante.Vengono riprodotti 1000 set di repliche dei dati sperimentali, in modo che le repliche diogni dato siano centrate sul suo valor medio e distribuite in accordo con l’errore speri-mentale. Per ciascun set si esegue un fit, estraendo cosı una replica della PDF. Infine siutilizzano tutte le repliche cosı ottenute per calcolare il valor medio della PDF e il suoerrore. Vengono anche studiate le possibili correlazioni tra le incertezze attraverso la ma-trice di covarianza dei dati sperimentali. Questo tipo di approccio dovrebbe garantire unatrattazione migliore delle fonti di incertezza nelle PDF, poiche non viene assunta a prioriuna propagazione lineare degli errori. D’altra parte NNPDF ha iniziato a produrre le suePDF piu recentemente rispetto alle altre due collaborazioni. A causa di cio deve ancoramigliorare diversi punti della trattazione; inoltre include solo i dati provenienti da esperi-menti di deep inelastic scattering, quindi sono esclusi dei dati che potrebbero influenzaresignificativamente le PDF.

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Figura 4: Esempi di PDF del protone a diverse scale di energia, per grandi e perpiccoli valori di x. Le bande d’errore sono comprese entro una deviazionestandard dal valor medio. E possibile notare l’evoluzione delle PDF al-l’aumentare della scala di energia Q, che diminuiscono il loro valore nelleregioni di x grande a favore delle regioni in cui x e minore. Si puo anchenotare come la PDF del gluone per x piccoli sia affetta da un notevole er-rore a basse energie, dovuto all’impossibilita di conoscere la distribuzionedei gluoni. Aumentando Q la zona con elevata incertezza si sposta versosinistra (x ancora piu piccoli) e scompare dal grafico.

17

2 Produzione del bosone di Higgs

2.1 Limiti alla massa del bosone di Higgs

La maggiore difficolta nello studio fenomenologico del bosone di Higgs negli acceleratoridi particelle sta nell’arbitrarieta della sua massa, che come e stato detto non e prevedibiledalla teoria e va necessariamente misurata sperimentalmente. Cio comporta a priori unavarieta di scenari possibili per la produzione e il decadimento della particella, che spazianodalle basse alle alte energie.

Gli studi fatti al CERN mediante il collisore e+e− LEP dal 1989 al 2000 hanno permessodi ridurre significativamente gli scenari possibili, ponendo come limite inferiore alla massadi Higgs [11]

mH > 114.4 GeV (95% c.l.).

Limitatamente alla validita del Modello Standard, e anche possibile porre un limitesuperiore alla massa di Higgs con argomenti teorici. Il bosone di Higgs fornisce contribu-ti virtuali all’ampiezza di alcuni processi di scattering tra bosoni vettori W. Misurandocon precisione le sezioni d’urto di questi processi e richiedendo che non venga violata lacondizione di unitarieta, si trova [11]

mH . 1.2 TeV.

In realta esistono argomenti molto piu stringenti legati al fit globale del modello elettrode-bole con i dati sperimentali. Il limite superiore varia in base all’inclusione o all’esclusionedei risultati ottenuti al LEP; in ogni caso tutti gli scenari possibili portano a concludereche il bosone di Higgs previsto dal Modello Standard abbia massa [12]

mH . 200 GeV.

Questi limiti restringono lo scenario ai processi che possono avvenire nei collisori adro-nici ad alte energie, attualmente Tevatron al Fermilab di Batavia (Stati Uniti) e LHC alCERN di Ginevra (Svizzera). In particolare LHC e progettato per studiare processi consezioni d’urto superiori a qualche decina di fb e scale di energia comprese tra 100 GeV e 1-2TeV. Cio lo rende la macchina ideale per studiare il bosone di Higgs previsto dal ModelloStandard. D’altra parte anche Tevatron, seppure in grado di raggiungere energie inferiori aLHC (

√s = 1.96 TeV contro un ipotetico 14 TeV di LHC), e un ottimo candidato a scoprire

questa particella e ha il vantaggio di essere gia in funzione e di aver ristretto ulteriormentel’intervallo possibile della massa di Higgs con i suoi esperimenti [13].

Lo studio fatto in questa tesi si focalizza sui processi che possono avvenire in questidue acceleratori di particelle e copre l’intervallo 100 GeV ≤ mH ≤ 1 TeV. Ricordiamocomunque che la ricerca del bosone di Higgs e concentrata tra 100 e 200 GeV, quindi ciconcentreremo maggiormente sui risultati in questo intervallo di masse.

18

2.2 Produzione del bosone di Higgs a Tevatron e LHC

2.2.1 Meccanismi rilevanti

Come gia detto, l’accoppiamento tra il campo di Higgs e il campo di un’altra particellae tanto maggiore quanto piu la massa di quest’ultima e grande. Questo significa che ilbosone di Higgs tende a interagire preferibilmente con particelle molto pesanti, mentre lasua interazione con quelle leggere e trascurabile. Ci sono pochi meccanismi di produzioneche danno sezioni d’urto sufficientemente grandi da essere rilevanti nei colliders adronici.Si basano tutti sulla tendenza del bosone di Higgs ad accoppiarsi con particelle pesanti.Essi sono [3]

1. fusione di gluoni: gg → H,

2. fusione di bosoni vettori: qq → Hqq (via W+W− → H o Z0Z0 → H),

3. produzione associata a bosoni vettori: qq → W±H o qq → Z0H,

4. produzione associata a quark top: gg → Htt o qq → Htt.

I diagrammi di Feynman al LO per questi processi sono rappresentati in fig. 5.

2.2.2 Produzione tramite fusione di gluoni

Il diagramma di Feynman presenta gia al LO un loop di quark, che tende a sopprimere laprobabilita che questo processo avvenga rispetto ad altri piu semplici, come quelli nelle figg.5b e 5c. Nonostante cio, la fusione di gluoni resta il meccanismo dominante a Tevatrone LHC. Infatti la soppressione del processo e compensata dalla maggiore probabilita ditrovare gluoni all’interno del protone rispetto agli altri partoni, come si puo vedere nellafigura 4: la PDF del gluone e oltre un ordine di grandezza superiore alle altre nella regionecon x < 0.1. La regione 0.1 < x < 1 invece ci interessa di meno. Se definiamo la rapiditay come

y ≡ 1

2ln

(E − pzE + pz

)(2.1)

dove z e la direzione longitudinale (lungo la quale si muovono gli adroni), allora abbiamoche per un urto tra due partoni, descritto da un sistema con rapidita y, energia del centrodi massa

√s e massa invariante m, valgono le [3]

x1 =m√s

exp(y) x2 =m√s

exp(−y). (2.2)

La rapidita e l’equivalente relativistico della velocita, ci informa su quanto e boostato ilsistema lungo la direzione longitudinale. I sistemi di due partoni interagenti avranno una

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(a) (b)

(c) (d)

Figura 5: I meccanismi rilevanti di produzione del bosone di Higgs in un collideradronico: (a) fusione di gluoni, (b) fusione di bosoni vettori, (c) produzioneassociata con W± o Z0, (d) produzione associata con coppia tt nel caso difusione di gluoni gg → Htt.

rapidita distribuita simmetricamente attorno a 0. Infatti il centro di massa dei due adroniresta fermo, ma non e detto che una coppia di due partoni, ciascuno pescato da uno dei dueadroni, abbia ancora centro di massa fermo. Se usiamo le (2.2) per valutare i valori di x1 ex2 a

√s = 14 TeV, per un bosone di Higgs con massa mH = 140 GeV, nel caso di sistema

fermo (y = 0), otteniamo x1 = x2 = 10−2, mentre se y = 2 abbiamo x1 = 10−1, x2 = 10−3.Questo significa che entro una rapidita y = 2 i valori rilevanti della frazione longitudinaledell’impulso cadono nell’intervallo 10−3 < x < 10−1. Se la rapidita e troppo elevata ilsistema uscira dalle estremita aperte del detector prima di essere analizzato e non produrradati raccoglibili. Quindi, in un collider come LHC, l’intervallo 0.1 < x < 1 e meno rilevanteai fini della produzione di un bosone di Higgs leggero.

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Figura 6: Sezioni d’urto di produzione del bosone di Higgs a LHC, a 10 TeV e 14TeV, calcolate al NLO [14].

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I calcoli numerici delle sezioni d’urto dei vari processi confermano la predominanzadella fusione di gluoni sugli altri, come si puo vedere in fig. 6. Possiamo notare chenella sezione d’urto del processo di fusione di gluoni e presente una risonanza quando lamassa del bosone di Higgs e attorno al doppio della massa del quark top (mt = 170.9 GeV).

2.3 Sezione d’urto di produzione adronica

Questo lavoro si occupa di studiare la sezione d’urto di produzione dell’Higgs mediante lafusione di gluoni. Viene studiata la sezione d’urto inclusiva h1h2 → Hx, per i processipartonici ij → Hx descriventi la fusione di gluoni al LO e le sue correzioni di QCDfino al NLO/NNLO. Cio significa che si considerano tutti gli stati finali contenenti unbosone di Higgs, ma che possono contenere anche altre particelle (x). Al Tevatron si hah1 = p, h2 = p, mentre a LHC si ha h1 = h2 = p.

Introducendo una dipendenza dalla scala di energia Qfac e possibile esprimere la sezioned’urto in forma fattorizzata, come prodotto tra PDF e sezione d’urto partonica, all’internodi un integrale di convoluzione. L’espediente di introdurre una scala di fattorizzazione edi natura matematica e ci permette di scrivere la sezione d’urto in una forma che siamo ingrado di calcolare. Solitamente si pone Qfac pari alla scala di energia tipica dei processi ingioco.

La sezione d’urto partonica e sviluppabile attraverso la serie perturbativa come

σij→Hx(mH ,√s,Qren) = σ0 + αs(Qren)σ1 + α2

s(Qren)σ2 + . . . (2.3)

dove Qren e la scala di energia a cui avvengono i processi, quindi la scala a cui si effettua larinormalizzazione della teoria per permettere che sia in grado di descriverli. La dipendenzadalla scala di rinormalizzazione e di natura fisica, perche strettamente legata ai fenomeniche consideriamo.

Fatte queste considerazioni, la sezione d’urto inclusiva h1h2 → Hx per tutti i processipossibili nei colliders adronici e data dalla somma degli integrali di convoluzione

σh1h2→Hx(mH ,√s,Qren, Qfac) =

=∑i,j

∫ 1

0

∫ 1

0

dxdy fh1, i (x,Qfac) fh2, j(y,Qfac) σij→Hx(mH ,√s,Qren)

(2.4)

dove i, j variano su tutti i partoni possibili (i, j = t, b, c, s, u, d, g, d, u, s, c, b, t). Nei processidi produzione del bosone di Higgs l’energia in gioco e dell’ordine di grandezza della massadi questa particella, quindi poniamo Qren = Qfac = mH .

Il troncamento perturbativo della (2.4) viene fatto in modo consistente per le PDF eper la sezione d’urto partonica. Questo significa che se calcoliamo σh1h2→Hx al LO, usiamosia PDF che σij→Hx calcolate al LO, e analogamente per gli ordini successivi.

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Restringiamoci ora al caso della fusione di gluoni. Nel calcolo al LO l’unico processoche contribuisce e gg → H mediata da un loop di quark. Si considerano solo i loop diquark top e bottom, perche l’accoppiamento tra il bosone di Higgs e gli altri quarks piuleggeri e trascurabile. Consideriamo poi tutte le correzioni al processo di fusione di gluonifino al NLO-QCD o al NNLO-QCD, a seconda dell’ordine a cui decidiamo di troncare losviluppo perturbativo; esse comprendono i processi gg → Hx, qg → Hx , qq → Hxe qq → Hx .

Al LO, la sezione d’urto inclusiva per urti pp a Tevatron o pp a LHC e

σp1 p2( )→H(mH ,√s) =

∫ 1

0

∫ 1

0

dxdy fp1, g(x,mH) f p2( ), g(y,mH) σgg→H(mH ,√s) (2.5)

Poiche la PDF del gluone e identica nel protone e nell’antiprotone, al LO avremo lo stessorisultato nei due colliders. Le PDF dei quarks e degli antiquarks sono invece invertite,quindi dal NLO in poi ci saranno piccole differenze nella sezione d’urto a partita di energianel centro di massa

√s, dovute ai processi che non partono da due gluoni nello stato

iniziale.Altre correzioni alla sezione d’urto provengono da processi non cromodinamici, come

quelli elettrodeboli, e da trattamenti avanzati della serie perturbativa (risommazione). Uncalcolo quasi completo con tutte le correzioni note fino al NNLO e stato recentementeeffettuato in [15]. Questi contributi non sono stati invece considerati nel presente lavoro.Poiche lo scopo della tesi non e ottenere la migliore predizione sulla sezione d’urto, mastudiare come le sue incertezze sono legate alla trattazione teorica e agli errori sperimentalidelle PDF, non si ritiene che l’inclusione di questi contributi possa portare a conclusionidiverse da quelle ottenute.

I risultati sulla sezione d’urto sono fortemente influenzati dalla PDF del gluone. Equindi interessante confrontare le PDF prodotte dalle varie collaborazioni ad una scala dienergia verosimile per la massa dell’Higgs (Q ∼ 102 GeV).

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Figura 7: Confronto tra le PDF del gluone prodotte dalle tre collaborazioni, calco-late al NLO, alla scala di energia (Q = 100 GeV). Le bande d’errore sonocomprese entro una deviazione standard dal valor medio. Il primo graficomostra il gluone a grande x per CTEQ 6.6, MSTW 2008 e NNPDF 1.0.Il grafico successivo mostra le stesse PDF nell’intervallo 10−5 < x < 0.7,normalizzate al valore centrale di MSTW 2008 per cogliere meglio le diffe-renze. Sono riportati grafici simili che mettono a confronto le attuali PDFdi CTEQ e MSTW con le loro versioni piu vecchie CTEQ 6.1 e MRST 2001E. L’ultimo grafico mostra gli errori percentuali sulle PDF.

Si puo notare dal primo grafico di fig. 7 che a grandi x CTEQ fornisce una PDF delgluone apprezzabilmente superiore a NNPDF e MSTW.

Dal secondo grafico emergono, al variare di x, differenze significative tra il gluone diCTEQ 6.6, quello di MSTW 2008 e quello di NNPDF 1.0. Le tre bande sono in buon accor-do solo attorno a x = 10−2. Per x < 10−3 le bande di MSTW e CTEQ restano sovrapposte,mentre il gluone di NNPDF si discosta maggiormente, non essendoci sovrapposizione dellasua banda con le altre.

L’evoluzione storica di CTEQ ha portato a un cambiamento significativo nei valori medisolo per x < 10−3 e x > 0.1, e comunque le bande d’errore restano in buon accordo tra

26

loro. Invece MSTW 2008 presenta molte differenze dalla sua precedente versione MRST2001 E, specialmente nella regione 10−3 < x < 0.1, dove le bande si sovrappongono soloper un piccolo tratto.

Dall’ultimo grafico si vede come MSTW tenda a dare su un ampio intervallo un errorepercentuale sulla PDF minore rispetto alle altre due collaborazioni.

27

3 Calcolo numerico della sezione d’urto

La sezione d’urto (2.4) e stata calcolata mediante un algoritmo numerico programmato inlinguaggio FORTRAN. Questo programma e stato sviluppato inizialmente da M. Grazzinie poi modificato da R. Bonciani, G. Degrassi e A. Vicini. Le modifiche includono i risultatiesposti in [17] e l’algoritmo e stato impiegato per ottenere i risultati pubblicati in [18]. Illavoro di questa tesi ha necessitato di ulteriori modifiche dell’algoritmo.

Il programma includeva al suo interno alcuni files delle PDF pubblicate in letteratura esi linkava direttamente ad essi. Questo lo rendeva poco flessibile, sia perche conteneva soloalcune delle PDF disponibili in letteratura, sia perche era necessario effettuare modifichee nuovi link ogni volta che si voleva includere un nuovo set di PDF per rimpiazzare quelleobsolete. Le modifiche apportate hanno migliorato notevolmente la flessibilita del progam-ma, interfacciandolo esternamente alla libreria LHAPDF. I comandi contenuti nel codicesono universali per tutte le PDF contenute nella libreria e permettono quindi di sfruttarequalsivoglia set a disposizione in letteratura. Per includere le nuove PDF pubblicate esufficiente aggiornare la libreria scaricando l’ultima versione di LHAPDF, senza bisogno diulteriori modifiche all’algoritmo.

E stato inoltre sviluppato un programma esterno di gestione dei calcoli. Questo pro-gramma ha permesso di sfruttare l’algoritmo di calcolo della sezione d’urto in modo daottenere sia il suo valor medio, sia l’incertezza che si desiderava esaminare, e di coprirel’intervallo 100 GeV ≤ mH ≤ 1 TeV. Con un primo input sono determinati il tipo dierrore che si desidera calcolare, il collisore (Tevatron o LHC) e il set di PDF. Poi un cicloesterno si occupa di far variare la massa del bosone di Higgs, mentre uno piu interno eseguegli specifici calcoli richiesti dalla tipologia di errore scelta (vedi sezz. 4.1 e 6.1).

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4 Studio dell’errore sperimentale

4.1 Incertezza legata alle PDF

Una prima fonte di incertezza sulla sezione d’urto (2.4) e data dagli errori sui dati da cuivengono estratte le PDF. Questa, assieme alle masse dei quarks, e la principale fonte diincertezza di natura sperimentale sul calcolo della sezione d’urto.

I set di PDF forniti da LHAPDF e dotati di incertezze si possono distinguere in duecategorie, a seconda di come queste incertezze vengono rappresentate: quelli che seguonoil metodo HEPDATA, usato di default nel database omonimo [16] e legato al calcolo deglierrori attraverso la matrice Hessiana, e quelli che invece usano il metodo Monte Carlo. Inentrambi i casi vengono forniti per ogni partone i un insieme di PDF f

(k)i con k = 1, ..., Ni ,

piu la PDF che rappresenta il valor medio f(0)i . Il valor medio di una funzione F(fi) delle

PDF e dato da〈F(fi)〉 = F(f

(0)i ). (4.1)

Il caso di nostro interesse e ovviamente F = σh1h2→Hx.

Nel metodo HEPDATA le f(k)i con k > 0 forniscono le variazioni in eccesso e in difetto

(per k pari e dispari) rispetto a f(0)i , corrispondenti agli autovettori della matrice Hessiana

nello spazio dei parametri. La deviazione standard si calcola a partire dai quadrati diqueste variazioni con la seguente formula

σHEPDATAF =1

2

Ni/2∑k=1

[F(f

(2k−1)i )−F(f

(2k)i )

]21/2

. (4.2)

Questo metodo di calcolo degli errori e stato usato con le PDF fornite da CTEQ e MRST-MSTW. Se le deviazioni vengono fornite entro il 90% c.l. anziche entro 1σ (68% c.l.), comenel caso di CTEQ, e necessario dividere ulteriormente la (4.2) per

C90 ≡ Erf−1(0.90) = 1.64485.

Nel metodo Monte Carlo si producono molte repliche dei dati sperimentali e su ciascunareplica viene eseguito un fit, ottenendo cosı altrettante repliche delle PDF. Il valor medioe quindi calcolato a partire da tutte le repliche delle PDF attraverso la

〈F(fi)〉 = F(f(0)i ) =

1

Ni

Ni∑k=1

F(f(k)i ) (4.3)

mentre la deviazione standard e calcolata con la

σMonte CarloF =

1

Ni − 1

{Ni∑k=1

[F(f

(k)i )−F(f

(0)i )]2}1/2

. (4.4)

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Questo metodo e stato utilizzato per le PDF fornite da NNPDF. Come abbiamo detto, ilmetodo Monte Carlo ha il pregio di non assumere a priori una propagazione lineare deglierrori. D’altra parte, l’elevato numero di repliche richiede una potenza di calcolo deci-samente piu elevata per ottenere i risultati negli stessi tempi (o tempi molto maggiori aparita di potenza di calcolo), perche il numero di membri nella sommatoria (4.4) e moltomaggiore di quello nella (4.2).

4.2 Risultati

La collaborazione MSTW fornisce le sue PDF fino al NNLO, mentre NNPDF e CTEQ sifermano al NLO. Quindi per consistenza sono state confrontate le sezioni d’urto calcolateal NLO, che e l’ordine piu alto in comune.

I calcoli sono stati effettuati per gli esperimenti di collisione pp al Tevatron, con√s =

1.96 TeV, e per gli urti pp a LHC, con√s = 8, 10, 14 TeV. Si e ritenuto interessante

effettuare i calcoli per LHC anche a energie minori di 14 TeV per due motivi. In primis,data la complessita e delicatezza della macchina, occorreranno sicuramente molti anni ditest ed esperimenti prima di poter sfruttare al meglio la sua tecnologia e spingersi (se maisara possibile) fino ai livelli di energia previsti dal progetto. In secundis, in questo modoe possibile apprezzare meglio l’andamento dei risultati al variare dell’energia nel centro dimassa. Tutte le bande d’errore disegnate nei grafici rappresentano l’incertezza sul valormedio della sezione d’urto di produzione di Higgs entro una deviazione standard (68% c.l.).

Per i calcoli sono state usate le PDF piu recenti (al momento del lavoro) fornite dallevarie collaborazioni, ovvero MSTW 2008 nlo, CTEQ 6.6 e NNPDF 1.0, disponibili nellaversione LHAPDF 5.7.0, aggiornata al febbraio 2009. Verso la fine del lavoro e statapubblicata LHAPDF 5.7.1, contenente versioni ancora piu aggiornate di NNPDF e MSTW,che pero non sono state usate in questa sezione. NNPDF 1.2 e stata usata per studiare glieffetti di un upgrade di LHC a LHeC (vedi sez. 5).

Oltre a calcolare i risultati attraverso le PDF piu recenti, abbiamo scelto di eseguire iconti anche con le versioni piu vecchie MRST 2001 E e CTEQ 6.1. Questo ci ha permessostudiare l’evoluzione storica delle PDF e di valutare la stabilita dei risultati rispetto aicambiamenti delle PDF.

30

Figura 8: Sezioni d’urto di produzione dell’Higgs per gli urti pp a√s = 1.96 TeV che

avvengono al Tevatron. Il primo grafico mette a confronto i risultati delcalcolo della sezione d’urto di produzione dell’Higgs al NLO per CTEQ 6.6,MSTW 2008 nlo e NNPDF 1.0 1000. Nel secondo grafico sono mostrate lestesse bande del primo, normalizzate al valor medio della banda di MSTW2008 nlo, per apprezzare meglio le differenze tra i risultati ottenuti a partiredai vari set. Il terzo grafico e un ingrandimento del secondo nell’intervallo100 GeV ≤ mH ≤ 500 GeV. Successivamente sono riportati grafici similiai primi tre, che mostrano le differenze tra CTEQ 6.1 e CTEQ 6.6, e traMRST 2001 E e MSTW 2008 nlo. In questi grafici e stata inserita anche labanda ottenuta da NNPDF 1.0 1000, per il quale non esiste una versioneprecedente, per confronto con le versioni storiche delle altre due collabora-zioni. Gli ultimi due grafici mettono a confronto gli errori percentuali sullasezione d’urto (il secondo e un ingrandimento del primo nell’intervallo 100GeV - 500 GeV).

38

Figura 9: Stessi grafici di fig. 8, ma per urti pp a√s = 8 TeV a LHC.

43

Figura 10: Stessi grafici di fig. 9, ma con√s = 10 TeV.

48

Figura 11: Stessi grafici di fig. 9, ma con√s = 14 TeV.

4.2.1 Tevatron

Per i grafici relativi a Tevatron possiamo notare come le bande d’errore tendando adallargarsi rapidamente al crescere della massa del bosone di Higgs. Questo rispecchia lecaratteristiche tecniche del Tevatron (la sua luminosita), che non e adatto a studiare unbosone di Higgs con massa elevata.

I valori medi delle sezioni d’urto calcolati con CTEQ 6.6, MSTW 2008 e NNPDF 1.0 sisovrappongono per mH ≈ 2mt. Questo fatto e puramente casuale, infatti non sussiste per igrafici equivalenti di LHC. Le PDF non sono estratte da dati forniti dal Tevatron sul quarktop, quindi non vi e motivo per cui siano vincolate a restituire questo curioso risultato.Un’ulteriore conferma della casualita di questo fatto viene dalle versioni precedenti diMSTW e CTEQ, che non lo riproducono, restituendo valori medi della sezione d’urtodifferenti.

Nonostante le PDF del gluone di MSTW 2008 e NNPDF 1.0 fossero abbastanza diffe-renti, le sezioni d’urto sono in accordo tra loro, quindi possiamo ipotizzare che le regioni di xcon marcate differenze tra le PDF non abbiano avuto grande peso nel calcolo dell’integraledi convoluzione a

√s = 1.96 TeV.

Mentre le bande calcolate con MSTW 2008 e NNPDF 1.0 sono sempre sovrapposte,quella di CTEQ 6.6 si differenzia in modo abbastanza significativo. La differenza e legataalla scelta di CTEQ di dare molto peso ai dati legati alla produzione di jets adronici, mentreMSTW da piu peso agli esperimenti di deep inelastic scattering e NNPDF usa solo quelli.A seconda dei dati che si utlizzano e del peso che viene dato loro nel fit globale, si ottieneun diverso errore sulle PDF per determinati intervalli di x. Questo puo portare a differenzeapprezzabili nelle PDF a scale di energia superiori a quella iniziale dei dati, poiche unabanda d’errore molto stretta permettera di avere sotto stretto controllo l’evoluzione, mentreuna piu larga dara spazio a diversi scenari evoluti.

A causa di cio, anche se per ogni banda l’errore percentuale sulla sezione d’urto e circail 3-4% a mH = 100 GeV, la differenza tra i valori medi calcolati con diversi set di PDFpuo essere superiore: il divario tra CTEQ e le altre due e circa dell’8-9%. Questa differenzatra i valori medi e rilevante nell’intervallo 100 - 200 GeV, mentre oltre i 200 GeV e copertadall’allargamento delle bande d’errore. Si puo anche notare come per mH molto grande lasezione d’urto fornita da CTEQ 6.6 sia significativamente maggiore di quella fornita dallealtre due collaborazioni. Questo si spiega notando come la PDF del gluone di CTEQ siamaggiore rispetto alle altre due per grandi valori di x (vedi fig. 7), che sono predominantiper ottenere un bosone di Higgs molto massivo (vedi eq. (2.2)). Tuttavia questa zona non

53

e interessante perche e sperimentalmente impossibile osservare al Tevatron un Higgs cosıpesante.

Facciamo ora il confronto con le versioni storiche di CTEQ, CTEQ 6.1, e MSTW,MRST 2001 E. I valori medi forniti da CTEQ 6.6 tendano ad essere minori di quelliforniti da CTEQ 6.1, rispecchiando il fatto che la PDF del gluone per CTEQ 6.6 e sempreinferiore o uguale a quella di CTEQ 6.1 per x > 3 × 10−3 (vedi fig. 7). In ogni casosia le PDF del gluone che le sezioni d’urto di CTEQ 6.1 e 6.6 sono in accordo entro unadeviazione standard, quindi possiamo dire che i risultati prodotti da CTEQ sono rimastistabili rispetto a miglioramenti nella trattazione e all’eventuale inclusione di nuovi datisperimentali. Il gluone di MSTW 2008 presenta invece differenze significative da quellodi MRST 2001 E, quindi non e rimasto stabile in seguito all’evoluzione storica del set.Tuttavia per la sezione d’urto di produzione dell’Higgs le bande di MRST 2001 E e MSTW2008 sono in buon accordo, quindi, come per il confronto tra MSTW 2008 e NNPDF 1.0,possiamo ipotizzare che le regioni con differenze significative nelle PDF del gluone nonabbiano avuto molto peso. Di conseguenza la sezione d’urto e rimasta abbastanza stabilerispetto all’evoluzione storica.

4.2.2 LHC

Passiamo ora ad analizzare cosa succede a LHC. La prima cosa che si nota e una notevolediminuzione dell’errore precentuale: le bande d’errore sono significativamente piu strette.Grazie al fatto che l’energia nel centro di massa di LHC e maggiore rispetto al Tevatron,le frazioni longitudinali x rilevanti per la produzione dell’Higgs coprono una regione incui la PDF del gluone e determinata con maggiore precisione. Gli errori percentuali ditutte le bande, tranne quella di MSTW 2008, presentano dei minimi molto vicini, che sispostano verso destra (valori di mH maggiori) all’aumentare di

√s. Evidentemente questi

minimi sono legati a quei valori di mH tali per cui l’integrale di convoluzione riceve ilmaggior contributo possibile dalla regione dove la PDF del gluone e meglio determinata.Se riguardiamo gli errori percentuali sulla PDF del gluone in fig. 7, notiamo che il minimoper MSTW 2008 e piu spostato a sinistra rispetto agli altri, quindi non e osservabile nelgrafico, perche sarebbe in corrispondenza di una massa dell’Higgs minore di 100 GeV.

Per quanto riguarda le sezioni d’urto calcolate con CTEQ 6.6 e MSTW 2008, il problemaosservato al Tevatron diventa qui ancora piu rilevante. A

√s = 8 TeV, le bande d’errore

non si sovrappongono per mH < 400 GeV, che diventano 600 GeV se raggiungiamo√s =

14 TeV. Le differenze tra i valori medi rispecchiano il fatto che l’errore commesso neldeterminare le PDF e legato soprattutto al tipo di trattazione dei dati fatta dalle variecollaborazioni, alla scelta di includerne o meno alcuni e al peso che viene loro dato.

Al Tevatron NNPDF 1.0 mostrava buon accordo con MSTW 2008, nonostante le dif-ferenze nella PDF del gluone. A LHC queste differenze sono invece visibili nel risultatosulla sezione d’urto. Per un bosone di Higgs pesante (mH > 500 GeV) NNPDF tende adare un valor medio superiore del 2-4% rispetto a quello di MSTW, anche se in accordoentro l’errore sperimentale. Per un bosone di Higgs leggero, invece, NNPDF tende ad avvi-

54

cinarsi al valor medio calcolato con CTEQ all’aumentare dell’energia nel centro di massa,discostandosi significativamente dalla banda di MSTW.

Se osserviamo l’evoluzione storica di CTEQ, possiamo ripetere le stesse considerazionifatte al Tevatron. Viceversa, nel caso di MRST 2001 E - MSTW 2008 le differenze nellaPDF del gluone si fanno sentire per mH < 300 GeV, dove le bande d’errore non si sovrap-pongono. Quindi la sezione d’urto non e rimasta stabile in seguito all’evoluzione da MRST2001 E a MSTW 2008.

4.3 Conclusioni

Alla luce di quanto osservato possiamo concludere che:

• Il calcolo della sezione d’urto di produzione dell’Higgs rispecchia fortemente la nostraconoscenza del gluone. In particolare, se la PDF e determinata con un basso erroreper i valori di x che ci interessano, sara possibile calcolare la sezione d’urto con buonaprecisione.

• E bene evitare di affidarsi ai risultati forniti da una sola collaborazione per stabilire senegli acceleratori e stato osservato o meno il segnale del bosone di Higgs a determinativalori di mH , per confermare la sua scoperta o escludere la sua presenza in un certointervallo di masse. A priori, non abbiamo motivo di preferire i risultati di unadeterminata collaborazione piuttosto che quelli di un’altra, quindi e necessario tenereconto del fatto che, in certi casi, le differenze tra i valori medi previsti sono maggioridell’errore sugli stessi fornito da ciascuna collaborazione.

55

5 Studio del contributo di dati raccolti a LHeC

5.1 Upgrade di LHC a LHeC

LHeC (Large Hadron Electron Collider) e il progetto proposto per un nuovo acceleratore,che opererebbe al CERN parallelamente a LHC. L’obiettivo e sfruttare uno dei due fasciadronici di LHC e un fascio molto energetico di elettroni, per effettuare esperimenti dideep inelastic scattering. Il progetto prevede due alternative per accelerare gli elettroni:l’aggiunta di un altro anello o la costruzione di un LINAC. In entrambi i casi si porterebberogli elettroni a energie di decine di GeV, permettendo di esplorare la struttura del protoneben oltre i limiti raggiunti da HERA, il “microscopio” per partoni piu potente finoracostruito. Un acceleratore lineare permetterebbe di avere energie nel centro di massamaggiori, mentre uno circolare avrebbe dalla sua la maggiore luminosita. In ogni casosarebbe possibile indagare le PDF in nuove regioni di x e Q.

Figura 12: Regione cinematica coperta dagli pseudo-dati simulati di LHeC (i pallinirossi in basso a sinistra), assieme agli altri dati sperimentali reali inclusinel fit di NNPDF 1.2 [19].

Ci interessa studiare come i dati forniti da LHeC possano migliorare la determinazionedella sezione d’urto di produzione del bosone di Higgs. In particolare, vogliamo valutaredi quanto viene ridotto l’errore sperimentale sulla sezione d’urto, in seguito alla maggiorprecisione con cui possono essere determinate le PDF. A tal fine sfruttiamo una versionemodificata di NNPDF 1.2, NNPDF 1.2 LHeCa [19]. In questa versione, oltre ai normali

56

dati di deep inelastic scattering usati da NNPDF per estrarre le PDF, vengono inclusi nelfit anche alcuni pseudo-dati simulati di LHeC. Come si puo vedere nella fig. 12, i datidi LHeC inclusi coprono una regione finora inesplorata, permettendo di ottenere nuoveinformazioni sulla struttura del protone a piccolo x. Nota che questi dati coprono solo unaparte della regione cinematica accessibile a LHeC.

57

Figura 13: PDF del gluone fornite da NNPDF 1.0, NNPDF 1.2 e NNPDF 1.2 LHeCa.Nel primo grafico sono presenti le PDF normalizzate al valore centrale diNNPDF 1.2 LHeCa. Le bande rappresentano l’errore sperimentale entrouna deviazione standard. Nel secondo grafico sono visualizzati gli erroripercentuali.

Facciamo un confronto tra le PDF del gluone fornite da NNPDF 1.0, NNPDF 1.2 e NNPDF1.2 LHeCa. Innanzi tutto possiamo valutare la stabilita del gluone passando da NNPDF 1.0a 1.2: i valori medi della PDF non si discostano piu del 2% nell’intervallo 10−5 < x < 0.7,differenza ampiamente coperta dalle bande d’errore. L’aggiunta degli pseudo-dati simulatidi LHeC non influenza in modo significativo i risultati sul valor medio della PDF. Questo econsistente col fatto che, essendo dati simulati, i loro valori medi devono essere in accordocon quelli dei dati reali in nostro possesso, quindi non ci sorprende ne risulta interessante.

Valutiamo ora le bande d’errore. NNPDF 1.2 mostra una banda d’errore piu largarispetto a NNPDF 1.0. La differenza e comunque piccola: inferiore al 2% per x > 10−5

e allo 0.5% per x > 10−3. L’influenza dei dati di LHeC e importante per x < 10−3,dove l’errore percentuale si riduce da poco meno di 1 punto per x = 10−3, fino a pocopiu di 5 punti per x = 10−5, passando dal 7% a meno del 2%. Per x > 10−3, invece, labanda d’errore viene migliorata per meno dell’1%; la differenza da NNPDF 1.2 si riduceall’aumentare di x, fino ad annullarsi.

Dalle PDF del gluone possiamo gia fare una previsione sul risultato che otterremo cal-colando la sezione d’urto. Anche avendo a disposizione due fasci di protoni da 7 TeV aLHC, la regione con maggior peso per il calcolo della sezione d’urto e quella per x > 10−3, esi sposta verso x sempre piu grandi diminuendo l’energia nel centro di massa

√s. Poiche in

questa regione la PDF del gluone non viene influenzata particolarmente dai dati di LHeC,e verosimile che la sezione d’urto che otterremo non cambiera in modo significativo.

5.2 Risultati

Abbiamo effettuato il calcolo solo per LHC a√s = 14 TeV, che e lo scenario, tra quelli

considerati, in cui si ha la maggiore influenza da parte dei dati di LHeC.Tutte le bande d’errore disegnate nei grafici rappresentano l’incertezza sperimentale

sul valor medio della sezione d’urto di produzione di Higgs entro una deviazione standard(68% c.l.).

59

Figura 14: Sezioni d’urto di produzione dell’Higgs a LHC a√s = 14 TeV, calcolate

con NNPDF 1.0 1000, NNPDF 1.2 1000 e NNPDF 1.2 LHeCa 100. Ilprimo grafico riporta le sezioni d’urto con bande d’errore sperimentale(68% c.l.). Nel secondo grafico sono mostrate le stesse bande del primo,normalizzate al valor medio della banda di NNPDF 1.2 LHeCa 100. Gliultimi due grafici mettono a confronto gli errori percentuali sulla sezioned’urto (il secondo e un ingrandimento del primo nell’intervallo 100 GeV -500 GeV).

Dai primi due grafici di fig. 14 possiamo notare quanto poco cambi la previsione sullasezione d’urto fornita dalle tre versioni. In particolare, il secondo ci mostra come i valorimedi siano differenti al piu dello 0.5%. Questo rispecchia l’accordo delle PDF nella regionedominante 10−3 < x < 10−1. D’altra parte i valori medi non sono interessanti, comeabbiamo gia detto; cio che ci interessa studiare sono gli errori. Dagli ultimi due graficipossiamo notare come la banda calcolata con NNPDF 1.2 LHeCa sia piu stretta di quelladi NNPDF 1.2 per appena lo 0.35%, a mH = 100 GeV. Per masse dell’Higgs maggiori ladifferenza si riduce, fino ad annullarsi, consistentemente col fatto che i gluoni con piccolox diventano sempre meno importanti all’aumentare di mH .

Abbiamo dunque la conferma di cio che ci aspettavamo gia osservando le PDF del gluo-ne: i dati simulati di LHeC inclusi non contribuiscono in modo significativo a migliorare laprecisione nel calcolo della sezione d’urto. Questi dati sarebbero utili a migliorare la preci-sione dei calcoli se studiassimo l’Higgs in un collider adronico molto piu potente, diciamoa√s & O(100 TeV), dove il gluone a piccolo x diventerebbe piu importante. Per colliders

come Tevatron o LHC sarebbero piu significativi dati a medio-alto x, che non sono statiinclusi in NNPDF 1.2 LHeCa.

62

5.3 Conclusioni


• Esperimenti in grado di migliorare la conoscenza del gluone per x < 10−3 non au-mentano la precisione con cui si determina la sezione d’urto di produzione dell’Higgsa Tevatron e a LHC. Per migliorare i risultati e necessario migliorare la precisionecon cui si determina la PDF del gluone per x > 10−3.

• I dati provenienti da tutta la regione cinematica accessibile a LHeC, che copre anchex > 10−3 (vedi fig. 15), potrebbero lo stesso portare a miglioramenti nella conoscenzadel gluone e quindi nella sezione d’urto di produzione dell’Higgs. Per valutare l’ef-fettivo contributo di LHeC, bisognera ripetere il calcolo nel momento in cui avremoa disposizione una versione di NNPDF contenente un set completo di dati simulati.

• Un altro modo per migliorare la conoscenza del gluone ad alto x e attraverso una nuo-va generazione di esperimenti di Drell-Yan e di produzione di jets adronici, possibiligia allo stesso LHC.

Questi risultati sono stati presentati al 2 nd workshop on the LHeC, tenutosi a Divonne(Fr) dall’1 al 3 settembre 2009.

Figura 15: Regione cinematica coperta dalla totalita degli pseudo-dati simulati diLHeC disponibili (gli asterischi rossi), assieme agli altri dati sperimentalireali [20].

63

6 Studio di alcune incertezze teoriche

La sezione d’urto di produzione del bosone di Higgs e soggetta ad errori di naturanon sperimentale, legati al modello teorico utilizzato per descriverla. Naturalmente none possibile valutare in modo esatto l’errore teorico che si commette. Cio sarebbe fattibilesoltanto conoscendo gia il risultato esatto, che invece cerchiamo di calcolare usando degliespedienti semplificativi, che sono fonti di errore teorico. Tuttavia, e possibile dare unastima di alcuni tipi di errore teorico commessi, valutandone l’ordine di grandezza.

L’errore piu importante che commettiamo, quando descriviamo un processo attraversouna serie perturbativa, e legato al troncamento della stessa a un ordine fissato al momentodi calcolare le osservabili fisiche. Come abbiamo gia detto, fermarsi ai primi ordini va benefintanto che la serie e convergente e converge molto velocemente. In ogni caso, anche se αse molto piccola, quando tronchiamo la serie perturbativa non siamo in grado di prevedere,per un termine scartato di ordine superiore, la presenza di una costante che compensi lapotenza di αs. In questo caso il termine escluso non sarebbe trascurabile, perche darebbeun contributo alla serie dello stesso ordine di grandezza del membro al LO. Non e possibiledare una stima dell’incertezza teorica che tenga conto di problemi di questo tipo, anchese le costanti che possono apparire in un termine di ordine n elevato devono essere decisa-mente grandi per compensare (αs)

n−nLO . E quindi piu verosimile che problemi di questotipo sorgano nel calcolo dei primi ordini perturbativi, anziche a ordini elevati.

6.1 Errori legati alle scale di fattorizzazione e rinormalizzazione

Due errori di natura teorica nel calcolo della sezione d’urto (2.4), che siamo in grado distimare, sono legati alla scelta delle scale di fattorizzazione e rinormalizzazione.

Come gia detto, la scala Qfac compare durante la fattorizzazione della sezione d’urto inprocesso partonico (σij→Hx) per densita di partoni (PDF). Se fossimo in grado di calcolaretutti i termini della serie perturbativa, il risultato finale non dipenderebbe da questa scala.Tuttavia, poiche tronchiamo la serie a un ordine fissato, introduciamo una dipendenza delrisultato da Qfac, commettendo un errore.

La scala di rinormalizzazione Qren determina il valore di αs = αs(Qren). I processi diproduzione del bosone di Higgs avvengono a un’energia dell’ordine di grandezza della suamassa. Porre Qren = mH e la scelta piu naturale, ma non e a priori l’unica o la migliore;Qren puo tenere conto di tutte le scale di energia del processo (massa invariante totale,impulso trasverso, ecc...). E quindi necessario valutare quanto la scelta di questa scalainfluisca sulla predizione che facciamo.

E possibile stimare l’ordine di grandezza di questi due errori variando le scale Qren eQfac di un fattore fissato, diciamo 2, per vedere come cambiano di conseguenza i risultati

64

che otteniamo. Usiamo quindi la formula (2.4) per il calcolo della sezione d’urto, solo chestavolta non manteniamo fissate Qren = Qfac = mH . Il valore centrale che consideriamo eil valor medio calcolato durante lo studio degli errori legati alle PDF; e quindi dato dalla(4.1) ponendo Qren = Qfac = mH . Calcoliamo poi la variazione che subisce moltiplicandoo dividendo le scale di un fattore 2, indipendentemente tra loro, per un totale di quattrocombinazioni possibili:

Qren = 2mH , Qfac = 2mH



Qren = 12mH , Qfac = 1

2mH .

Indichiamo con σ0 il valore centrale, mentre con σ1, σ2, σ3 e σ4 le altre quattro sezionid’urto, che si ottengono variando le scale di energia. A questo punto definiamo l’erroreteorico (la sua stima) attraverso le

∆+ ≡ max {σi − σ0} ∆− ≡ min {σi − σ0} , i = 1, 2, 3, 4. (6.1)

Non esiste una relazione semplice che leghi i valori assoluti di ∆+ e ∆−, in particolare nonvi e motivo per cui questi siano uguali tra loro. Di conseguenza l’errore teorico e rappre-sentato da una banda asimmetrica rispetto a σ0.

6.2 Risultati

Lo studio dell’errore teorico diventa interessante nel momento in cui confrontiamo la suastima a un dato ordine perturbativo con la sezione d’urto effettiva calcolata all’ordinesuccessivo. Con i risultati disponibili finora in letteratura ed inseriti nel programma, siamoin grado di calcolare la sezione d’urto partonica a LO, NLO e NNLO. L’unico set di PDF anostra disposizione che ci permette di valutare l’errore teorico consistentemente con questiordini e quello fornito da MSTW. Abbiamo quindi effettuato i calcoli con le versioni MSTW2008 lo, nlo e nnlo.

Come nello studio dell’errore sperimentale, anche in questo caso i calcoli sono statieffettuati per il Tevatron, a

√s = 1.96 TeV, e per LHC, a

√s = 8, 10, 14 TeV.

65

Figura 16: Confronto fra le sezioni d’urto di produzione dell’Higgs calcolate a LO,NLO e NNLO con MSTW 2008. Sotto ai grafici delle sezioni d’urtocon banda d’incertezza teorica, sono presenti gli stessi grafici normaliz-zati al valor medio della sezione d’urto al LO, per apprezzare meglio lasovrapposizione delle bande ai vari ordini perturbativi.

70

Figura 17: Confronto fra gli errori relativi sulle sezioni d’urto a LO, NLO e NNLO. Epossibile notare l’asimmetria nelle bande d’errore rispetto al valor medio,rappresentato dalla linea grigia tratteggiata (lo zero). Si nota anche comel’incertezza teorica percentuale diminuisca sia all’aumentare dell’energianel centro di massa, sia eseguendo il calcolo a ordini perturbativi piuelevati.

73

Figura 18: Confronto dei diversi contributi all’errore teorico, a seconda delle possibilicombinazioni delle variazioni di Qren e Qfac. Sono presenti separatamen-te i grafici per LO, NLO e NNLO. Si puo notare come a bassa energia(Tevatron) la stima piu conservativa sia quella per la scelta dello stessofattore moltiplicativo per entrambe le scale, mentre a energie maggiori(LHC) la scelta dei fattori moltiplicativi incrociati diventa rilevante permH piccola (100 - 200 GeV).

81

Osserviamo i grafici di fig. 16.Passando dal LO al NLO, il valor medio della sezione d’urto aumenta tra il 70% e il

120%, con un incremento maggiore per√s minore (Tevatron). Questo salto notevole e

legato alla presenza nel termine NLO di un fattore costante che compensa la potenza di αsin piu rispetto al LO. Si nota come le bande calcolate al LO e al NLO non si sovrapponganolungo l’intervallo dei possibili valori della massa dell’Higgs, variando anche l’energia delcentro di massa da

√s = 1.96 TeV a

√s = 14 TeV (l’unico contatto e al Tevatron per

mH > 500 GeV, ma questa zona e poco interessante). Questo significa che troncando laserie al LO l’errore stimato e minore di quello commesso effettivamente. Al Tevatron lebande sono molto larghe; si sovrappongono parzialmente per mH > 500 GeV, restandocomunque vicine per mH piu leggero. A LHC invece le bande sono molto piu strette,quindi, anche se l’incremento percentuale del valor medio e minore rispetto al Tevatron, lebande al LO e al NLO non si toccano e i loro estremi restano ben distanziati. Possiamoanche notare come per entrambi gli acceleratori la banda d’errore al NLO sia leggermentepiu larga di quella al LO.

Passando dal NLO al NNLO, il valor medio della sezione d’urto subisce un ulterioreincremento, compreso tra il 40% e il 60% circa del valor medio al LO. Poiche la sezioned’urto al NLO e circa il doppio di quella al LO, l’incremento tra NLO e NNLO e quindiintorno al 20-30%, molto minore di quello tra LO e NLO. La banda d’errore al NNLO risultapiu stretta rispetto al NLO, mostrando una minore dipendenza del risultato dalle scale Qren

e Qfac. Questi dati sono incoraggianti, perche fanno sperare che la serie inizi a comportarsibene e ci si possa avvicinare ad un buon risultato per la sezione d’urto. Se osserviamo lebande al Tevatron, notiamo che non solo quelle di NLO e NNLO si sovrappongono, maanche che il valor medio calcolato al NNLO cade entro la banda d’errore calcolata al NLOper Higgs non troppo massivo, che e cio che ci interessa maggiormente. A LHC, con

√s

maggiore, l’accordo tra i calcoli al NLO e al NNLO non e altrettanto buono, comunque lebande si sovrappongono parzialmente.

Portiamo l’attenzione ai grafici di fig. 17. Possiamo notare come l’errore teorico percen-tuale diminuisca sensibilmente includendo piu ordini perturbativi nel calcolo: aumentandol’ordine, il risultato dipende sempre meno dalle scale Qren e Qfac. Gli errori percentualidiminuiscono anche aumentando l’energia (LHC) e la differenza si fa sentire maggiormenteagli ordini perturbativi piu bassi. Al LO si passa da un errore del 40-75% circa, per ilTevatron, a circa il 25-35% per LHC. Al NLO l’errore e del 30-40% al Tevatron, 15-25% aLHC. Al NNLO l’incertezza si riduce fino al 10-15% per entrambi i collisori. Notiamo chel’incertezza teorica tende ad essere piu stabile di quella sperimentale al variare della massadell’Higgs dipendendo dalle scale di energia e non dalle PDF.

Per finire, osserviamo i grafici di fig. 18. Si puo vedere come variando√s e mH cam-

bi notevolmente il contributo delle possibili combinazioni delle scale di energia. A bassaenergia (Tevatron) risultano dominanti le scelte con stesso fattore moltiplicativo per le duescale (2 e 2 oppure 1

2e 1

2), su tutto l’intervallo di masse dell’Higgs. A LHC, invece, per

mH piccola risulta dominante la scelta coi fattori incrociati (2 e 12

oppure 12

e 2). In lineadi massima possiamo concludere che la scelta coi fattori incrociati domina se la massa delbosone di Higgs e molto minore dell’energia

√s raggiungibile con l’acceleratore, mentre

82

in caso contrario prevale la scelta con gli stessi fattori. In ogni caso, per dare una stimaconservativa, e bene esplorare tutte le casistiche possibili e scegliere poi i risultati che sidiscostano maggiormente dal valor medio.

6.3 Conclusioni


• Per valutare l’errore teorico, e bene considerare tutti gli scenari possibili, variandoindipendentemente tra loro le singole fonti di incertezza. Per essere conservativa, lastima dell’incertezza teorica deve tenere conto della massima variazione della sezioned’urto tra tutti questi possibili casi. In particolare, per il bosone di Higgs previstodal Modello Standard (mH < 200 GeV), a Tevatron la stima piu conservativa siha moltiplicando le scale Qren e Qfac per lo stesso fattore (2 e 2 oppure 1

2e 1

2). A

LHC, invece, la scelta coi fattori incrociati (2 e 12

oppure 12

e 2) fornisce la maggiorevariazione della sezione d’urto per un bosone di Higgs leggero.

• Il calcolo della sezione d’urto migliora sensibilmente aumentando l’ordine perturba-tivo a cui viene svolto. Sarebbe interessante disporre dei calcoli al N3LO, per motividiversi a seconda dell’acceleratore. Al Tevatron si ha buon accordo gia tra le bandeal NLO e al NNLO, ma queste bande sono molto larghe, quindi un calcolo al N3LOpermetterebbe di ridurre significativamente la dipendenza del risultato dalle scale dienergia. A LHC, invece, le bande sono piu strette, quindi c’e meno dipendenza dallescale Qren e Qfac, ma la sovrapposizione tra NLO e NNLO non e del tutto soddisfa-cente; e quindi probabile che col N3LO si possa avere un altro incremento significativoal valor medio della sezione d’urto. In ogni caso, con un calcolo al N3LO potremmofare affidamento su un risultato maggiormente stabile. Tuttavia e poco probabileche i calcoli completi (o quasi) delle PDF e della sezione d’urto partonica al N3LOsiano disponibili entro pochi anni, quindi verosimilmente dovremo fare affidamentosui conti al NNLO.

• Per mH < 200 GeV l’incertezza teorica risulta decisamente superiore a quella speri-mentale, sia al Tevatron che a LHC. Per il Tevatron, al NLO abbiamo un’incertezzateorica del 20-30%, contro il 3-8% di quella sperimentale. Per LHC, sempre al NLO,abbiamo il 15-25% di quella teorica, contro meno del 3% per quella sperimentale.Anche eseguendo i calcoli al NNLO, l’incertezza teorica risulta maggiore di quellasperimentale calcolata all’ordine precedente.

83

7 Riepilogo

Riassumiamo e confrontiamo tra loro le conclusioni sinora tratte, per ottenere una visioned’insieme:

• Per avere un basso errore sperimentale sulla sezione d’urto di produzione dell’Higgs,dobbiamo conoscere con buona precisione la PDF del gluone nell’intervallo deglix rilevanti per il calcolo. Per il bosone di Higgs previsto dal Modello Standard(100 GeV< mH < 200 GeV) un buon livello di precisione e gia stato ottenuto. Perbosoni di Higgs piu pesanti e necessario migliorare la precisione a grande x, attraversonuove generazioni di esperimenti di Drell-Yan e di produzione di jets adronici, possi-bili gia a LHC. E ancora da valutare il beneficio che si puo ottenere dagli esperimentidi deep inelastic scattering di LHeC.

• I valori medi cambiano a seconda della collaborazione che fornisce le PDF; a volte ledifferenze tra questi valori medi sono superiori rispetto ai loro stessi errori. L’erroresperimentale fornito da una singola collaborazione non e quindi affidabile, perche ladipendenza del valor medio dalla trattazione delle PDF e ancora troppo elevata.

• La dipendenza del risultato dalle scale di energia introdotte non e banale. E im-portante separare tra loro le fonti d’errore teorico e stimare l’incertezza variandociascuna scala in modo indipendente.

• Le fonti d’errore maggiore per un bosone di Higgs standard sono di natura teorica,legate alla dipendenza del risultato dalle scale Qren e Qfac. E necessario ridurrequesta dipendenza aumentando l’ordine perturbativo a cui viene eseguito il calcolo.Sarebbe auspicabile avere a disposizione un calcolo di PDF e sezione d’urto partonicaal N3LO, ma difficilmente questo sara possibile a breve. In particolare, per quantoriguarda le PDF, attualmente non e ancora stato raggiunto il NNLO dalla maggiorparte delle collaborazioni, quindi un calcolo al N3LO appare futuristico.

Gli obiettivi su cui puntare attualmente sono quindi due:

• Avere una trattazione delle PDF statisticamente rigorosa e che includa il maggiornumero possibile di dati, per diminuire la dipendenza dei valori medi di PDF esezione d’urto di produzione dell’Higgs dalla scelta delle parametrizzazioni disponibiliin letteratura.

• Concentrare gli sforzi verso un calcolo delle PDF al NNLO, in modo da ridurrela dipendenza dalle scale Qren e Qfac. In questo modo potremmo confrontare irisultati forniti da diverse collaborazioni e non dovremmo basarci esclusivamentesulla parametrizzazione di MSTW.

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Rimane il desiderio di poter eseguire i calcoli al N3LO, ma difficilmente avremo a di-sposizione questi risultati in tempo utile, prima dell’eventuale scoperta del bosone diHiggs.

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