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1Prof. Mara Bruzzi – OndeLaurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni a.a.08-09

Corso di Fisica

Onde – Interferenza e Diffrazione

Corso di Laurea in IngegneriaElettronica e delle Telecomunicazioni

a.a.08-09


SOMMARIO

1. Esercizi sulle onde2. Diffrazione3. Interferenza4. Diffrazione con Raggi X su cristalli e legge di Bragg


1. Esercizi sulle onde

2. Scrivere l’espressione di un’onda sinusoidale y che viaggia lungo una corda nel verso negativo dell’asse x con le seguenti caratteristiche ymax = 8cm, λ = 80cm; f = 3Hz, y(0,0) = 0.

La formula generale è: ( )φω ++= tkxsenAy . Osservo che: A = ymax , 185.72 −== mkλ

π;

s

radf ππω 62 == . Inoltre poiché y(0,0) = 0 allora φ = 0, da cui: ( )txseny π685.708.0 += .

3. Riscrivere l’espressione dell’onda di cui all’esercizio sopra nel caso in cui y(x,0) = 0 nel punto x = 10cm. L’espressione è: ( )φπ ++= txseny 685.708.0 . Se y(x,0) = 0 per x = 10cm si ha:

( )φ+= xsen 85.708.00 da cui otteniamo φ = -0.785 rad. Si ha: ( )785.0685.708.0 −+= txseny π

1. Un’onda è descritta dall’espressione: ( )tkxAseny ω−= con A = 0.02 m; k = 2.11 rad/m ; w =

3.62 rad/s . Determinare la lunghezza d’onda , la frequenza e la velocità dell’onda.

Si ha mk

98.22

==π

λ ; Hzf 576.02

==π

ω;

s

mf 72.1== λυ .


4. Due onde sinusoidali sono descritte da: [ ]11101 φω −−= txksenAy ; [ ]22202 φω −−= txksenAy

con: A0 = 5m; k1 = k2 = 4π m

1; ω1= ω2 =1200π s; φ1=0; φ2 = 0.25π rad. (a) Qual è l’ampiezza

dell’onda risultante ? (b) Qual è la frequenza dell’onda risultante ?

La funzione dell’onda risultante ha la forma:

−−

=+=

22cos2 2

112

021

φω

φtxksenAyyy con

ampiezza

=

2cos2 2

0

φAA =9.24m e frequenza ==

π

ω

21f 600Hz.

5. Due altoparlanti sono azionati da un oscillatore a 800Hz e sono l’uno di fronte all’altro a distanza di D =1.25m. Trovare i due punti lungo il segmento che li unisce dove si aspetterebbero dei minimi relativi ( velocità del suono v = 343 m/s).

La lunghezza d’onda è: mf

429.0==υ

λ . Per avere minimo, la differenza di cammino deve essere

un numero dispari di mezza lunghezza d’onda. Quindi , se X è la distanza di uno dei due

altoparlanti dall’ascoltatore, la differenza di cammino delle due onde è: ( ) ( )2

12λ

+=−− nxxD con

n numero intero. Otteniamo, per n = 0,1,2,-1,-2, i seguenti punti di minimo: x = 0.518m; 0.303m; 0.089m;0.732m;0.947m.


6. Due onde sono date da: [ ]tkxAy ω−= cos1 ; [ ]tkxAy ω+= cos2 con x e y in metri e t in secondi,

A = 0.015m; k = 0.5 m

1; ω = 40 s. (a) determinate la posizione dei nodi dell’onda stazionaria

risultante. (b) Qual è lo spostamento massimo per 0.4m ? L’onda stazionaria risultante è data dalla somma delle due: ( ) )cos(cos2 021 tkxAyyy ω=+= .

(a) I nodi si formano dove y = 0 , cioè 02

cos =

x quindi per: ( )

212

2

π+= n

x. Avremo perciò

nodi per : x = π m; 3 π m ; 5 π m ..

(b) Per x = 0.4m l’onda ha ampiezza : .0294.02

4.0cos03.0 my =

=

7. A quale distanza da una sorgente isotropa ( cioè che irradia allo stesso modo in tutte le direzioni ) di onde elettromagnetiche di potenza 30W l’ampiezza del campo elettrico sarà Em = 10V/m ?

Risp. X = 4.24m

8. Un’onda radio trasmette 1.5 W/m2 di potenza per unità di area. Una superficie piana di area A è perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda. Calcolare la pressione di radiazione dell’onda nell’ipotesi che la superficie sia un assorbitore perfetto.

Risp. p = 5x10-9 Pa


9. Un impulso che viaggia su una corda in moto verso destra lungo l’asse x è rappresentato da una funzione:

1)3(

2),(

2 +−=

txtxy

Dove x e t sono misurati in metri e secondi rispettivamente. (a)mostrare che questa espressione rappresenta una funzione d’onda e determinarne la velocità. (b) Mostrare in grafico la forma d’onda negli istanti t = 0 e t = 2s.

Soluzione:

(a) si mostri che:

2

2

22

2 1

t

y

x

y

∂

∂=

∂

∂

υ

con v = 3 m/s. 0

0.5

1

1.5

2

2.5

-4 -2 0 2 4 6 8 10

x [m]

y(x,

t)

y(x,0)

y(x,2s)(b)


10. Una lampadina incandescente irradia 15W isotropicamente. Calcolare il valore massimo del campo elettrico e del campo magnetico alle distanze: (a) 1m; (b) 5 m dalla sorgente.

(a) E = 30 V/m; B = 0.1 µµµµT(b) E = 6 V/m; B = 0.02 µµµµT

11. Un’onda elettromagnetica piana ha un flusso di energia di 300 W/m2. Una superficie piana rettangolare di dimensioni 20cmx40cm è posta perpendicolarmente rispetto alla direzione di propagazione. Se la superficie assorbe metà dell’energia incidente e ne riflette la metà calcolare (a) l’energia totale assorbita dalla superficie in un minuto (b) la quantità di moto assorbita nello stesso tempo.

(a) 720J; (b) 2.4x10-6 kg m/s

12. La luce del sole esercita una pressione di radiazione tipica di 5x10-6 Pa. Calcolare la forza di radiazione su uno specchio orizzontale perfettamente riflettente di dimensioni 40cm x 80cm.

F = 3.2 µµµµN

13. Un filo lungo ha un raggio di 0.3mm e resistenza 5 ΩΩΩΩ è percorso da una corrente di 2 A. Determinare il valore e la direzione del vettore di Poynting del filo

S = 1.06x104 W/m2 diretto radialmente verso il filo.


2 . Diffrazione

Consideriamo una sorgente di onde elettromagnetiche S piane, i cui fronti d’onda incontrano un ostacolo come l'apertura in uno schermo opaco (fenditura). La fenditura abbia dimensioni lineari dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d’onda della radiazione elettromagnetica. Consideriamo il caso particolare Diffrazione di Fraunhofer ) dove la sorgente S e lo schermo C dove si visualizza il fenomeno della diffrazione siano a grande distanza dalla fenditura che supponiamo rettilinea, di larghezza a e lunghezza L>>a.

Fronti d’onda piana

Schermo opaco con fenditura

S

Schermo C

ka


Suddividiamo la fenditura in N strisce ciascuna di larghezza ∆∆∆∆y =a/N. Ciascuna striscia funge da sorgente di onde secondarie ( principio di Huygens-Fresnel) contribuendo con ampiezza ∆∆∆∆E al campo risultante Ep in un punto P dello schermo, individuato dai raggi uscenti ad angolo θθθθ rispetto alla normale al piano della fenditura.

I contributi relativi a due strisce adiacenti hanno nel punto P la differenza di fase, derivante dalla differenza di cammino ∆∆∆∆ysenθθθθ:


Metodo dei fasori

Possiamo rappresentare l’onda armonica

come un vettore, detto FASORE, di modulo E0/r, che ruota intorno all’origine con velocità angolare ωωωω. La proiezione del fasore sull’asse verticale dà, istante per istante, il valore E1(t).


Con riferimento alla figura, gli N fasori che rappresentano le ampiezze ∆∆∆∆E delle singole sorgenti secondarie, in cui è suddivisa la fenditura, costituiscono una poligonale di N lati. L’angolo formato tra ciascun fasore e il successivo è dato da :

La differenza di fase tra l’onda emessa dall’estremo B e l’estremo A è :

Per ∆∆∆∆y → ∞ ed N → ∞ la poligonale diventa un arco di circonferenza di raggio ρρρρ con angolo al centro pari a αααα. Dalla figura l’ampiezza del campo eletrico risultante è pari alla corda che sottende l’arco:


1.

2.

Esercizi sulla diffrazione

1.

2.

3.

3.


3. Interferenza di onde: esperimento di Young

In questo esperimento la luce uscente dalla sorgente S viene diffratta alle fenditure S1 ed S2. La luce emessa da S1 ed S2 produce su uno schermo C, posto a distanza L >> d ( d = separazione fenditure) una figura di interferenza consistente in strisce chiare (massimi di intensità luminosa ) e scure (minimi) alternate, detta figura di interferenza.


Siano E1, E2 onde prodotte dalle sorgenti S1 ed S2:

La differenza di fase tra le due onde è:

I massimi di interferenza si hanno quando la differenza di percorso dsenθθθθ èun multiplo intero della lunghezza d’onda λλλλ. In questa condizione le due onde risultano infatti in fase.


Esercizi sull’ interferenza

1.

2.

3.

2.

3.

1.


Durante il corso di chimica vi è stato mostrato come i solidi, in forma cristallina, si

dispongano in strutture tridimensionali ordinate. Un reticolo cristallino molto comune

in natura è per esempio il reticolo cubico a facce centrate (FCC).

Cu

a

Si 2 FCC

compenetrati di ¼

della diagonale di

corpo

NaCl 2 FCC

compenetrati di 1/2

lato del cubo

4. Diffrazione X dei Cristalli

C ( diamante ) 3.57 Si 5.43Ge 5.66α-Sn 6.49GaAs 5.65

a (Å)


E’ possibile esplorare la struttura microscopica

dei cristalli utilizzando un fascio di raggi X,

radiazione elettromagnetica con lunghezza d’onda

di circa 1Ǻ, lo stesso ordine di grandezza della

costante reticolare a nei cristalli. La teoria della

diffrazione X è stata sviluppata da Sir William

Bragg nel 1913. Bragg mostrò che un piano di

atomi nel cristallo riflette la radiazione nello

stesso modo nel quale la luce viene riflessa da uno

specchio, percui l’angolo in uscita θθθθr è uguale

all’angolo incidente θθθθi.

Fascio incidente

Fascio riflesso

Θi Θr = Θi

Piano di Bragg a

kcristallo

Fronte onda piana


θθθθ θθθθ

θθθθA

B

Cd

Se si considera la radiazione come riflessa da piani di Bragg paralleli e successivi, è possibile che i fasci riflessi dai vari piani interferiscano costruttivamente.

Perché si abbia interferenza costruttiva, la differenza di cammino tra le due onde riflesse deve essere tale che:

AB + BC = nλλλλ

ossia deve valere la legge di Bragg:

2d sen θ = θ = θ = θ = nλλλλ

Poiché la distanza tra piani d corrisponde a qualche Å il fenomeno non si osserva con luce visibile ( ~ 5000 Å). E’ necessario usare fotoni X.

Legge di Bragg


1. Lo ioduro di potassio ha stessa struttura cristallina di quella del NaCl, con d = 0.353 nm. Un fascio monocromatico di raggi X mostra un massimo di diffrazione per primo ordine quando l’angolo di incidenza è 7.6°. Calcolare la lunghezza d’onda dei raggi X.

λλλλ = 0.934nm

2. Un fascio monocromatico di raggi X incide sulla superficie di un cristallo di NaCl. Nel fascio riflesso il massimo del secondo ordine si trova ad un angolo di 20.5° tra il fascio incidente e la superficie. Determinare la lunghezza d’onda dei raggi X.

λλλλ = 0.984nm

3. Raggi monocromatici X di lunghezza d’onda λλλλ = 0.166nm incidono su un cristallo di KCl. Se la distanza tra i piani è di 0.314nm a quale angolo rispetto alla superficie del cristallo bisogna dirigere il fascio per poter osservare un massimo del secondo ordine ?

α = 32α = 32α = 32α = 32°°°°

Esercizi sulla Diffrazione nei cristalli

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