Corso di Fisica per Medicina - Lezione 15 - Gas ideali (cod....

Corso di Fisica per MedicinaLezione 15 - Gas ideali (cod. y87pa7)

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

19 novembre 2018

Indice

Termodinamica 3Gas ideali 4Diagramma Pressione-Volume 6Teoria cinetica dei gas 21

2/27 CORSO DI FISICA PER MEDICINA Lezione 15 - Gas ideali (cod. y87pa7) – Dr. Cristiano Fontana – 19 novembre 2018

Indice

Termodinamica 3Gas ideali 4Diagramma Pressione-Volume 6Teoria cinetica dei gas 21


Gas ideali

Gas idealeUn gas ideale è un gas le cui variabili termodinamiche soddisfano la relazione, dettaequazione di stato:

pV = nRT (1)

ove p è la pressione, V il volume, n il numero di moli, T la temperatura ed R è una costantechiamata costante dei gas.

R = 8.31J

mol K(2)

Il comportamento dei gas reali è tipicamente ben descritto dalla legge dei gas ideali.


Condizioni di applicabilità

Le condizioni di applicabilità della legge dei gas ideali per un gas reale sono:I bassa densità del gas (dimensioni dei costituenti è trascurabile);I i costituenti (atomi, molecole, . . . ) non sono interagenti tra loro (interazione a distanza

trascurabile, bassa densità, alta temperatura e quindi energia media);I l’interazioni con le pareti sono di tipo elastico (l’energia cinetica è conservata);I i costituenti sono identici fra loro.


Diagramma di Clapeyron

25 30 35 40V [L]

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

P [

atm

]

-120.000 -60.000 0.000

60.000

120.000

180.000

240.000

La legge dei gas ideali vincola la relazione tra le coordinate termodinamiche p, V , e T ; chepuò essere graficata in un diagramma detto di Clapeyron o p-V .


Diagramma pressione-volume del ventricolo sinistro del cuore ILe

ft V

entr

icula

r Pr

ess

ure

[To

rr]

Left Ventricular Volume [mL]

140

ESPV

R

EDPVR

80

20

120

100 120 16060

40

60

80

100

LVP

[Torr

]Time [s]

120

0

20

A

B

C

D

70

EC

G [

a.u

.]

0.1 0.2 0.3 0.4-0.1-0.2

A

BC

DStroke WorkSW E

DV

ESV

I EDPVR: End-diastolic pressure-volumerelationship.

I ESPVR: End-systolic pressure-volumerelationship.

I EDV: End-diastolic volume.I ESV: End-systolic volume.I SV = EDV - ESV: Stroke volume.I SW: Stroke work.


Diagramma pressione-volume del ventricolo sinistro del cuore II

Left

Ventr

icula

r Pr

ess

ure

[To

rr]


140

ESPV

R

EDPVR

80

20

120

100 120 16060

40

60

80

100

LVP

[Torr

]

Time [s]

120

0

20

A

B

C

D

70

EC

G [

a.u

.]

0.1 0.2 0.3 0.4-0.1-0.2

A

BC

DStroke WorkSW E

DV

ESV

I A: Valvola mitrale si chiude,I B: Valvola aortica si apre,I C: Valvola aortica si chiude,I D: Valvola mitrale si apre.

I A-B: Contrazione isovol.,I B-C: Espulsione,I C-D: Rilassamento isovol.,I D-A: Riempimento.


Diagramma pressione-volume del ventricolo sinistro del cuore IIILe

ft V

entr

icula

r Pr

ess

ure

[To

rr]


140

ESPV

R

EDPVR

80

20

120

100 120 16060

40

60

80

100

LVP

[Torr

]Time [s]

120

0

20

A

B

C

D

70

EC

G [

a.u

.]

0.1 0.2 0.3 0.4-0.1-0.2

A

BC

DStroke WorkSW E

DV

ESV

Nota BeneIl sangue è un liquido approssimativamente incomprimibile, infatti nelle transizioni B-C eD-A si ha, rispettivamente, perdita e guadagno di materia. Nei diagrammi pV che si vedonotipicamente in termodinamica non c’è perdita di massa.


Derivazione della legge dei gas ideali

La legge del gas ideale è stata dedotta da un’insieme di leggi sperimentali, vediamoI La legge di Boyle-Mariotte [pag. 11];I la prima legge di Gay-Lussac [pag. 12];I la seconds legge di Gay-Lussac [pag. 12];I la legge di Avogadro [pag. 16].


Legge di Boyle-MariotteLa legge di Boyle-Mariotte afferma che

pV∣∣∣T=cost.

= cost.︸︷︷︸=nRT

(3)

T = cost.

(V0,p0)

(V1,p1)

V [L]

ovvero

p ∝ 1V

∣∣∣∣T=cost.

(4)

V ∝ 1p

∣∣∣∣T=cost.

(5)


Leggi di Gay-Lussac ITemperatura espressa in gradi centigradi

I Prima legge di Gay-Lussac:

V = V0 (1 + αT )p=cost. [T ] = [◦C] (6)

I Seconda legge di Gay-Lussac:

p = p0 (1 + βT )V=cost. [T ] = [◦C] (7)

300 250 200 150 100 50 0 50T [°C]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

V [

L]

300 250 200 150 100 50 0 50T [°C]

0

1

2

3

4

5

6

P [

atm

]


Leggi di Gay-Lussac IIOsservazioni sperimentali

300 250 200 150 100 50 0 50T [°C]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

V [

L]

300 250 200 150 100 50 0 50T [°C]

0

1

2

3

4

5

6P [

atm

]

Sperimentalmente si vede chele rette descritte si congiungonotutte a T0 = −273.15 ◦Cgiungendo a V = 0:

0 = V0 (1 + αT0) (8)

α = − 1T0

=1

273.15 ◦C(9)

ed analogamente per lapressione:

β = − 1T0

=1

273.15 ◦C(10)


Leggi di Gay-Lussac IIITemperatura espressa in Kelvin

Ricordiamo cheTKelvin = Tcentigradi − T0︸︷︷︸

−273.15 ◦C

(11)

e vediamo come cambiano le formule

V = V0(1 + αTcentigradi

)= V0 (1 + αTK + αT0) (12)

ma, se α = − 1T0

, allora

V = V0

(1 + αTK −

T0

T0

)= αV0TK (13)

ed analogamente per la pressione:

p = αp0TK (14)

ricordando che α = β = − 1T0

.


Pan di spagnaUn’applicazione della prima legge di Gay-Lussac

Figura: Pan di spagna [wiki]

IngredientiI Fecola di patate, 75 g;I Zucchero, 150 g;I Sale fino, 1 pizzico;I Baccello di vaniglia;I 5 Uova a temperatura ambiente;I Farina 00, 75 g.

Unire in una ciotola uova, zucchero, sale, semini dellavaniglia. Montare tutto fino ad ottenere un impastogonfio e spumoso. Unire farina e fecola setacciate.Cuocere in forno a 180 ◦C per 40 min.


Legge di Avogadro

Sperimentalmente si vede inoltre che, per tutti i gas ideali, alle condizioni standard ditemperatura e pressione

p0 = 101 325 Pa (15)T0 = 0 ◦C (16)

il volume è descritto dalla legge detta di Avogadro:

V0 = nVm (17)

ove n è il numero di moli del gas e Vm = 22.4 L.


Deduzione della legge del gas ideale I

Sapendo, per la prima legge di Gay-Lussac, che

V = αV0TK = − 1T0

V0TK (18)

Moltiplicando ambo i membri per p0 e ricordando la seconda legge di Gay-Lussac

p0V = −p0TK

T0︸︷︷︸=p

V0 (19)

p0V = pV0 (20)

ricordando che la legge di Boyle-Mariotte vale per T costante possiamo estendere larelazione per V e p generiche:

pV = p0V = pV0 con T = cost. (21)


Deduzione della legge del gas ideale IIPossiamo quindi riscrivere la (21) esplicitando p0 e V0:

pV = −p0V0TK

T0(22)

inserendo la relazione del volume molare otteniamo

pV = −p0 V0︸︷︷︸=nVm

TK

T0= n−p0Vm

T0︸︷︷︸=R

TK = nRTK (23)

ove abbiamo definito una nuova costante R come

R =−p0Vm

T0(24)

che non è altro che la costante dei gas. Otteniamo quindi la legge dei gas ideali

pV = nRT (25)


Legge di Dalton I

Data una miscela di gas ideali, la pressione p esercitata è pari alla somma delle dellepressioni parziali dei singoli gas. La pressione parziale di un gas è la pressione cheeserciterebbe se fosse il solo gas presente nel contenitore.

p =nRT

V=

(∑

i ni ) RTV

=(∑

i niRT )

V=

(∑

i piV )

V=∑

i

pi (26)

ove ni sono il numero di moli di ogni gas della miscela e pi le pressioni parziali.


Legge di Dalton II

nR = 10np = nRRT = 10nRT

nR+G = nR+nG = 6n+4np = pR + pG = 10nRT

La condizione è che i gas siano gas ideali e la loro miscela sia un gas ideale, quindi:I la densità dei gas deve essere bassa;I i gas non devono essere interagenti tra loro.


Teoria cinetica dei gas I

mv'⃗

mv ⃗

L

AreaL²mv ⃗

I gas sono costituiti da molecole in continuo movimentoche urtano le pareti dei contenitori. La pressione èdovuta al continuo bombardamento molecolare (effettomacroscopico dei fenomeni molecolari).


Teoria cinetica dei gas IIMomento trasferito alle pareti

mv'⃗

mv ⃗

L

AreaL²mv ⃗

Le pareti del contenitore si comportano come un murodi massa infinita per le particelle del gas, queste ultimerimbalzano sulle pareti con urti elastici. In questi urti lacomponente perpendicolare alla parete si riflette.Momento trasferito dalla parete alla molecola:

∆~p = ~p′ − ~p = −2~px (27)= −2m~vx . (28)

mv'⃗

mv ⃗

p'⃗ p ⃗

Δp ⃗

p'⃗x px⃗


Teoria cinetica dei gas IIITempo tra urti

L

Urtoappenaavvenuto

Prossimourto

v ⃗

vx⃗

Il tempo che intercorre tra due urti di un costitutentesulla stessa faccia sarà

∆t =2Lvx. (29)

che è il tempo che intercorre traI l’urto appena avvenuto, quindi subito dopo l’urto,I ed il prossimo urto.


Teoria cinetica dei gas IVEspressione della forza

Ricordando il momento trasferito dalla parete:

∆~p = −2m~vx . (30)

e la relazione tra forza e quantità di moto, calcoliamo la forza media che subisce unamolecola dalle pareti del contenitore:

⟨~F⟩

molecola=

∆~p∆t

= −2m~vxvx

2L= −mv2

x

L~ux (31)

invece la forza che la molecola esercita sulla parete è uguale ed opposta, per il principio diazione e reazione:

⟨~F⟩

parete= −

⟨~F⟩

molecola= −∆~p

∆t(32)

= 2m~vxvx

2L=

mv2x

L~ux (33)


Teoria cinetica dei gas VVelocità media nel gas

v ⃗

L

Facciamo un ragionamento statistico sulla velocitàmedia di un numero molto grande di molecoleN = nNA, ove

NA = 6.022 · 1023 molecole/mol (34)

è il cosiddetto numero di Avogadro. Per un numerocosì grande di molecole la velocità media sarà nulla

⟨~v⟩

=1N

∑

i

~vi = 0 (35)

Visto che mediamente per ogni coordinata⟨~vx⟩

= 0⟨~vy⟩

= 0⟨~vy⟩

= 0 (36)

poiché ce ne saranno metà che vanno in una direzionee metà nell’altra direzione.


Teoria cinetica dei gas VIVelocità quadratica media nel gas

0 500 1000 1500 2000 2500 3000|v| [m/s]

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Figura: Distribuzione del modulo dellavelocità per elio a T = 25 ◦C

Diversamente se calcoliamo la media del quadratodella velocità

⟨v2⟩ =

⟨v2

x + v2y + v2

z⟩

(37)

=⟨v2

x⟩

+⟨v2

y⟩

+⟨v2

z⟩

(38)

(39)

che saranno mediamente uguali tra loro perché non visono direzioni privilegiate. Quindi

⟨v2⟩

sarà pari a

⟨v2⟩ ≈ 3

⟨v2

x⟩

(40)

ovvero

⟨v2

x⟩≈⟨v2⟩

3(41)


Teoria cinetica dei gas VIIPressione ed energia

La forza media dovuta alle N particelle sulla parete sarà quindi

F =∑

i

〈F 〉paretei = N 〈F 〉 (42)

= nNAm⟨v2

x⟩

L=

13

nNAm⟨v2⟩

L(43)

ove 〈F 〉 rappresenta la media di tutte le forze medie 〈F 〉paretei esercitate da ogni molecola.

Calcoliamo la pressione sulla faccia laterale di area L2:

p =FL2 =

13

nNAm⟨v2⟩

L3 =13

nNA

V2

12

m⟨v2⟩

︸︷︷︸=〈Ek〉

(44)

=23

nNA

V〈Ek〉 (45)

ove 〈Ek〉 indica l’energia media delle singole molecole. Quindi la pressione è proporzionaleall’energia media delle singole molecole.


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