CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA

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LE BASI FONDAMENTALI • INSIEMI • INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali e

reali) • CALCOLO LETTERALE • RICHIAMI DI TRIGONOMETRIA • I NUMERI COMPLESSI • ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA • EQUAZIONI • DISEQUAZIONI • PERCENTUALI 2

INSIEMI

INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme.

Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme

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Simbologia

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A1, A2, B1…

gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 …

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Rappresentazione di un insieme

Un insieme A si può rappresentare: • elencando tutti gli elementi che

appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d}

• Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme

Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}

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I Diagrammi di Eulero-Venn

Servono per rappresentare graficamente un insieme.

Esempio: a b c d

A

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Il simbolo di appartenenza:

Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive:

a A si legge “a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento

dell’insieme A si scrive: b A

si legge “b non appartiene ad A". 7

ALCUNI SIMBOLI

contenuto in senso lato contenuto in senso stretto; contenente in senso lato; contenente in senso stretto; U insieme universale insieme vuoto per ogni esiste non esiste ; (oppure :) tale che implica, segue che deriva, discende da se e solo se (in inglese iff, if and only if)

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CONFRONTO TRA INSIEMI

Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive:

B A (oppure A B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A"

("A contiene o è uguale a B")

se ogni elemento di B è un elemento di A b B b A

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CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto :

Insieme privo di elementi

(qualunque sia A)

Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: oppure

se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se

aA : a B

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OPERAZIONI TRA INSIEMI • UNIONE • INTERSEZIONE • DIFFERENZA • COMPLEMENTAZIONE • PRODOTTO CARTESIANO

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UNIONE TRA INSIEMI

• L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B

• L’unione di A e B si scrive: A B = {x : x A e/o x B }

Se A = B A B = A Se A B A B = B 12

UNIONE TRA INSIEMI

• Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

0 1

2 3

A B

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UNIONE TRA INSIEMI

• Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {0, 1, 2, 3}

0 1

2 3

A B

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INTERSEZIONE TRA INSIEMI

• L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B

• L'intersezione di A e B si scrive: A B = {x : x A e xB }

Se A = B A B = A Se A B A B = A Se A B = A e B si dicono disgiunti. 15

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

A B

0 1

2 3

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INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {1, 2}

A B

0 1

2 3

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DIFFERENZA TRA INSIEMI

• La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B:

• La differenza di A e B si scrive A B = A \ B = {x : x A e x B }

Se A = B A \ B = Se A B A \ B =

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DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio:

A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

0 1

2 3

A B

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DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio:

A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0}

0

1 2

3

A B

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DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio:

A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3}

0

1 2

3

A B

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DIFFERENZA SIMMETRICA • La differenza simmetrica di due insiemi A e B è

l'insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A e B, meno gli elementi comuni ad A e B:

• La differenza simmetrica di A e B si scrive AB = (AB) \ (AB) = (A – B) (B – A)

• A B = B A • Se A = B A B = • Se A B A B =B \ A

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DIFFERENZA SIMMETRICA

Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

23

0 1

2 3

A B

DIFFERENZA SIMMETRICA

Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = B A = {0, 3}

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0 1

2 3

INSIEME COMPLEMENTARE

• Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale.

• sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA =A’ =U \ A = {x : x U e x A }

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INSIEME COMPLEMENTARE

• Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}

0 3 5 1 2

U A

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INSIEME COMPLEMENTARE

• Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} CUA =U \ A = {0, 3, 5}

0 3 5

U A 1 2

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A

PRODOTTO CARTESIANO

• Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) (y,x)

• Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B

A B = {(x, y) : x A, y B} 28

PRODOTTO CARTESIANO

Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}

A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

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ESERCIZI • Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}

• Calcolare:

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A B = {2, 4}

A \ B =

{1, 3, 5} B \ A =

{6} 30

INSIEMI NUMERICI

• NATURALI • INTERI O RELATIVI • RAZIONALI • IRRAZIONALI • REALI • COMPLESSI

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I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,…..}

• Si definisce sistema algebrico un insieme nel

quale sono state definite alcune operazioni.

• Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni:

1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di “minore o uguale” (m<n (se e solo se) p N: m+p=n)

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I NUMERI NATURALI • m, n, p N Le operazioni di addizione e

moltiplicazione godono delle proprietà: 1) Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m • n) • p= m • (n • p) 2) Commutativa: m + n = n + m m • n = n • m 3) Distributiva: m • (n + p)= m • n + m • p 4) Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione: 1 N: 1 • m = m

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I NUMERI INTERI • L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto

all’addizione e alla moltiplicazione. • Non è però chiuso rispetto alla sottrazione: sistema algebrico dei numeri interi.

Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}

Z + = {+1, +2, +3, …} = N Z - = {-1, -2, -3, …} Z = Z + Z - {0}

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I NUMERI INTERI

Valgono le proprietà 1), 2) , 3) e 4) e inoltre: 5) Esiste l’elemento neutro dell’addizione: 0 Z : x + 0 = x, x Z 6) Esiste l’opposto: x Z, y Z : x + y = 0, 7) Chiuso rispetto alla sottrazione: x – y = x + (-y)

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I NUMERI RAZIONALI

• PROBLEMA: Dati due numeri x,y Z non è sempre possibile

trovare un numero q Z : x • q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione

Q= {q = x/y : x Z, y Z \{0}}

• ogni numero decimale finito o periodico è un

numero razionale. 36

NUMERI RAZIONALI

• Q è denso: q1, q2 Q, q Q : q = (q1+ q2)/2

0 -2 -1 3 2 1

• Ne Z sono discreti:

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NUMERI REALI

• PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero

razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 !

• Numeri reali: R= Q I dove I è l’insieme dei numeri irrazionali

Ie,,2 38

NUMERI REALI Supponiamo per assurdo che esista un numero

razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che: p2/q2=2 p2=2 q2

p è pari, p = 2k 22 k2 = 2 q2

2 k2 = q2

ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.

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NUMERI REALI

• L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, :

Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale.

Non vale il viceversa!

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