Corso di Astroparticelle - Elementi di...

Corso di Astroparticelle - Elementi di Cosmologia

Aldo Morselli

INFN Roma II e Universita di Roma ”Tor Vergata”

A.A.04-05 03/05/04 v.3

1 Considerazioni geometriche introduttive

E noto che in uno spazio bidimensionale ogni punto e determinato dalla conoscenza di una coppia ordinatadi numeri. Che cosa questi numeri rappresentino dipende dal sistema di riferimento scelto; per esempio, inun sistema cartesiano ortogonale essi rappresentano i valori (x, y) delle ascisse e delle ordinate, in un sistemadi riferimento polare i valori (r, θ) del raggio e dell’angolo rispetto ad un asse di riferimento. Il modo dicalcolare la distanza tra due punti dipende dal sistema di riferimento scelto; vediamo come si calcola ladistanza infinitesima in alcuni esempi:1) Sistema cartesiano ortogonale (vale il teorema di Pitagora) :

ds2 = dx2 + dy2

2) Sistema polare:ds2 = dr2 + r2dθ2

3) Sistema cartesiano obliquo:ds2 = dξ2 − 2 cosχdξdη + dη2

essendo χ l’angolo formato tra gli assi η e ξ4) Sistema geografico: Differisce dai precedenti perche e definito su di una superficie sferica; chiamando conβ la latitudine e con λ la longitudine si ha:

ds2 = dβ2 + cos2 βdλ2

Generalizzando i precedenti esempi, nel caso di una superficie la distanza infinitesima di due punti si puoscrivere nella forma:

ds2 = g11dx21 + 2g12dx1dx2 + g22dx2

2

che rappresenta la generalizzazione del teorema di Pitagora ed in cui i coefficienti gij (i, j = 1, 2) possonoessere costanti, nulli, o funzioni delle coordinate. Come si e visto inoltre i gij definiscono anche il tipo dispazio bidimensionale; se sono come i primi tre esempi lo spazio sara piano, se sono come il quarto lo spaziosara curvo. Piu in generale si puo dimostrare che se uno spazio bidimensionale e piatto, i gij soddisfano unaparticolare equazione differenziale che qui omettiamo.

2 Anno Accademico 04-05, Marzo 04

1.1 Massa inerziale e massa gravitazionale

E noto che in meccanica classica il concetto di massa e definito in due modi profondamente diversi: misurandol’accelerazione prodotta su di un corpo di massa da una forza nota

Mi =F

a

oppure misurando la forza gravitazionale esercitata su di esso da un altro corpo, come la terra (MT )

F = GMgMT

r2; Mg =

Fr2

GMT

La prima e detta massa inerziale mentre la seconda e la massa gravitazionale. Nella Meccanica classica nonvi e alcuna ragione per cui esse debbano essere uguali ma un fatto sperimentale molto importante e che, finoad adesso , ed entro i limiti di precisione delle misure, la massa inerziale di tutti i corpi e proporzionale allaloro massa gravitazionale (e quindi uguale, scegliendo opportunamente il valore di G).

L’esperimento piu semplice che si puo realizzare consiste nel verificare che tutti i corpi cadono con lamedesima accelerazione . Infatti per un corpo che cade vicino alla superficie terrestre, si ha:

Mi(1)a(1) =GMT Mg(1)

R2T

mentre per un secondo corpo:

Mi(2)a(2) =GMT Mg(2)

R2T

e dividendo si ottiene:Mi(1)

Mg(1)=

Mi(2)

Mg(2)

a(2)

a(1)

poiche a(1) = a(2) si ha:Mi(1)

Mg(1)=

Mi(2)

Mg(2)

Vari esperimenti, prima di Eotvos e poi di Dicke hanno indicato che l’egualianza tra i due tipi di massae valida con una precisione di uno su 1010.

Massa gravitazionale dei fotoni. Poiche i fotoni, per il principio di equivalenza tra massa ed energiasono dotati di massa inerziale, se vale l’equivalenza tra le due masse dovranno anche essere dotati di massa

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gravitazionale. Si consideri un fotone ad un’altezza L dalla superficie della terra e con energia hν. Nel caderel’energia del fotone aumenta di MgL e diventa quindi hν′ dove

hν′ = hν +hν

c2gL

Se L = 20 m la variazione percentuale della frequenza e:

∆ν

ν=

gL

c2≈

(103)(2 · 103)

(3 · 1010)2≈ 2 · 10−15

Questo effetto piccolissimo e stato effettivamente osservato utilizzando una sorgente di raggi γ

Spostamento gravitazionale verso il rosso. Per la stessa ragione un fotone di frequenza ν che siallontana da una stella verra osservato all’infinito con una frequenza

ν′ ∼= ν

(

1 −GMs

Rsc2

)

dove Ms e Rs sono la massa ed il raggio della stella. Lo spostamento relativo calcolato per Sirio B e

∆ν

ν≈ −5.910−5

ed il valore osservato e −6.610−5, la differenza e dell’ordine di grandezza dell’incertezza in Ms e Rs.Un’altro effetto previsto dalla Relativita Generale e la curvatura delle traiettorie dei raggi luminosi nel

passaggio vicino a sorgenti di campo gravitazionale ( figura 1). Quindi la presenza di massa ed energia curva

lo spazio. Quest’effetto e stato verificato sperimentalmente fin dal 1919 osservando la deflessione della luceproveniente dalle stelle distanti a causa della massa del sole.

Fig. 1. Curvatura delle traiettorie dei raggi luminosi nel passaggio vicino a sorgenti di campo gravitazionale

Una conseguenza importante del principio di equivalenza tra le masse e che possiamo sempre annullare”localmente” l’effetto di un campo gravitazionale mediante un’opportuna scelta di un sistema di riferimento.Ad esempio sulla Terra se ci mettiamo in un ascensore in caduta libera, una massa interna all’ascensorerimarrebbe nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Se consideriamo pero regioni di spazioestese, il campo gravitazionale puo variare da punto a punto e da istante a istante e puo non essere piupossibile trovare un tale sistema di riferimento.

1.2 Curvatura dello spazio tempo

Estendendo le considerazioni svolte nel caso bidimensionale, in uno spazio quadrimensionale avremo:

ds2 = gµνdxµdxν con ν ≥ µ

dove come di consueto µ, ν = 1, 4 e gli indici in alto ed in basso indicano la sommatoria . Abbiamo scrittoν ≥ µ perche poiche i dxµ commutano tra loro, si possono sempre ridefinire i gµν in modo da comprenderei simmetrici; questo comporta che dei 16 gµν possibili solo 10 sono realmente indipendenti. Nella relativitaristretta abbiamo visto che in un sistema di riferimento inerziale si ha :

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 − c2dt2


per cui : gij = δij , g44 = −1. Per avere un sistema di riferimento perfettamente inerziale, cioe in cuiun corpo continua nel suo stato di quiete o di moto uniforme, deve essere completamente assente qualsiasicampo gravitazionale. Eliminare il campo gravitazionale in tutto lo spazio significa supporre che in esso nonvi siano ne masse ne energia ma poiche il nostro universo non e vuoto, non e possibile scegliere un sistemadi coordinate in cui sia eliminabile in una zona sufficientemente grande e quindi in generale sara

ds2 = gµνdxµdxν con gij 6= δij

In altre parole la presenza di masse gravitazionali e di energia fa si che la metrica dello spazio non sia piuquella euclidea. Proprio questa fusione tra concetti completamente separati quali la metrica, ossia le proprietageometriche dello spazio-tempo, ed il campo gravitazionale, rappresenta il risultato piu significativo dellateoria della relativita generale.

2 Cosmologia

2.1 La distribuzione delle galassie

Hubble ha anche misurato il numero di galassie in diverse direzioni e con diverse luminosita. Egli trovoapprossimativamente lo stesso numero di deboli galassie in ogni direzione, anche se c’era un evidente eccessodi galassie luminose nell’emisfero boreale celeste. Quando una distribuzione e la stessa per ogni direzione,si dice isotropa. E quando Hubble cerco galassie con un flusso luminoso piu intenso di F/4 egli trovoapprossimativamente 8 volte il numero di galassie rilevato quando cercava quelle con flusso piu intensodi F. Dato che un flusso luminoso 4 volte piu piccolo implica una distanza doppia, e quindi un volume 8volte maggiore, cio indica che l’Universo e omogeneo (ha densita uniforme) su larga scala.

Fig. 2. Illustrazione di un Pattern omogeneo ma non isotropo (a sinistra), e di uno isotropo ma non omogeneo (adestra)

La figura 2 a sinistra mostra un pattern omogeneo ma non isotropo e a destra uno isotropo ma nonomogeneo. Se una figura e isotropa da piu di un punto (due, se sferica), allora deve essere anche omogenea.

Ovviamente l’Universo non e completamente isotropo ed omogeneo, poiche contiene regioni dense come laTerra. Ma puo esserlo in senso statistico, come il campo simulato di galassie di figura 3, il quale e omogeneoed isotropo, una volta trascurati i dettagli fini.

Peacock e Dodds (1994, MNRAS, 267, 1020, astro-ph/9311057) hanno indagato le fluttuazioni di densitarelative nell’Universo vicino in funzione del raggio di un filtro passa-basso, e hanno ricavato il grafico difigura 4

Dunque per regioni piu estese di 100 Mpc l’Universo e omogeneo entro qualche punto percentuale. LeRedshift survey di regioni estremamente ampie confermano questa tendenza verso l’omogeneita su largascala.

2.2 La radiazione cosmica di fondo

La visione di un Universo omogeneo e isotropo ha ricevuto una notevolissima conferma dopo l’annunciodi Penzias e Wilson della scoperta di una radiazione cosmica di fondo (Cosmic Microwave Backgroundabbreviata con CMB) nel 1965. Essi, lavorando ad una antenna per microonde originalmente costruita


Fig. 3. Distribuzione di galassie

Fig. 4. Le fluttuazioni relative sono minori del 3% per regioni piu estese di 100 Mpc

per comunicazioni col satellite Echo, per rivelare radio-onde ad elevate latitudini galattiche, osservaronoun eccesso di flusso alla lunghezza d’onda di 7.35 cm equivalente ad una radiazione di corpo nero conuna temperatura di 3.7± 1 gradi Kelvin. Il segnale era indipendente dalla direzione e dallora del giorno.Casualmente vennero a conoscenza dei calcoli di P. Peebles, un teorico di Princeton, che suggerivano lesistenza di un fondo di rumore radio a T¿10 Kelvin residuo fossile del Big Bang. Predizioni analoghe eranogi state formulate nel 1948 da Alpher ed Herman (collaboratori di G. Gamow), e nel 1964 in Russia da Ja. B.Zeldovich, e da F. Hoyle e R.J. Taylor in Inghilterra. Contemporaneamente, Dicke, Roll e Wilson, stimolatidai calcoli di Peebles, stavano installando a Princeton una piccola antenna per cercare rivelare la radiazionedi fondo. Messisi in contatto, i due gruppi decisero di pubblicare due comunicazioni abbinate sui risultati diPenzias e Wilson: una sulle osservazioni (Penzias e Wilson) ed una sull interpretazione cosmologica (Dicke,Peebles, Roll e Wilkinson). La misura fu pubblicata sullAstrophysical Journal nel Giugno del 1965. Penzias eWilson ricevettero il premio Nobel per la loro scoperta nel 1978. Numerosi gruppi scientifici hanno misuratol’intensita della CMB a diverse lunghezze d’onda. In figura 5 e riportato lo spettro della CMB misurate dallostrumento FIRAS a bordo del satellite COBE.

La variabile sull’asse x e il numero d’onda ovvero 1/[lunghezza d’onda in cm]. La variabile sull’asse y e lapotenza per unita di area per unita di frequenza per unita di angolo solido in in MegaJansky per steradiante.1 Jansky e 10-26 Watt per metro quadrato per Hertz. Le barre d’errore sono state amplificate di un fattore


Fig. 5. Misura dell’intensita in funzione della frequenza della radiazione cosmica di fondo

400 in modo da risultare visibili, ma i punti sono consistenti con la radiazione emessa da un corpo nero contemperatura di T0 = 2.725 K.

La temperatura della CMB e quasi la stessa in tutto il cielo. La figura 6 a sinistra mostra una mappadella temperatura in una scala tale che un punto a 0 K e bianco, a 4 K e nero. Al centro la stessa figura conla componente isotropa rimossa ed il contrasto aumentato di 400 volte. Si evidenzia la componente di dipolodovuta al moto del sistema solare rispetto al flusso di Hubble e l’emissione del piano galattico. A destra lastessa figura, rimossa la componente dipolare e l’emissione galattica, contrasto aumentato di 6667 volte: orasono visibili le fluttuazioni della CMB

Fig. 6. Mappa della temperatura in una scala tale che un punto a 0 K e bianco, a 4 K e nero( a sinistra) . Al centrola stessa figura con la componente isotropa rimossa ed il contrasto aumentato di 400 volte. A destra la stessa figura,rimossa la componente dipolare e l’emissione galattica, contrasto aumentato di 6667 volte.

Ma perche secondo il Big Bang dovrebbe esistere una radiazione cosmica di fondo ? Se supponiamo chel’Universo, dopo l’esplosione iniziale si espanda raffreddandosi, a temperature T¿3000 K ( E 1 eV) l urtocontinuo di fotoni con elettroni mantiene la materia (elettroni e nuclei carichi) ionizzata (plasma). A causadelle continue diffusioni la radiazione non si propaga liberamente. A temperature un po inferiori, l energiadei fotoni diventa insufficiente per ionizzare, si formano atomi neutri e l Universo improvvisamente diventatrasparente alla luce. I fotoni reduci dall ultimo processo di diffusione danno luogo a una radiazione fossile. Ifotoni si propagano indisturbati ma subiscono un redshift di un fattore ∼1000 prima di raggiungere le nostreantenne (vedi la figura 7. Quindi la loro temperatura iniziale di ∼ 3000 K viene vista a ∼ 3K, come vedremomeglio nel prossimo capitolo.


Fig. 7. Differenza di comportamento dei fotoni prima e dopo la ricombinazione.

2.3 L’evoluzione dell’Universo

Assumendo come ipotesi l’universo omogeneo e isotropo nel 1992 Friedman e Lemaitre ricondussero leequazioni di Einstein alla seguente forma:

(

R

R

)2

= 8/3 π G ρ −K

R2(1)

dove G e la costante di gravitazione universale e ρ e la densita di materia ( o di energia ).R(t) e la funzione di scala della metrica tale che, se indichiamo con r0 la distanza tra due punti al tempo

t0, da distanza al tempo t e data dar(t) = R(t)r0

La metrica che descrive un universo omogeneo ed isotropo e quella di Robertson e Walker

ds2 = dt2 − R2(t)

[

dr2

1 − K · r2+ r2(dθ2 + sin2 θ dφ2)

]

che nel caso di K =0 ritorna ad essere la metrica euclidea. Nel cas di K <0 definisce una curvatura negativa,ovvero una geometria iperbolica ( tipo selle di cavallo), e per K >0) ha curvatura positiva, ovvero unageometria sferica, come illustrato nella figura 8.

L’equazione (1) ha una chiara analogia nella meccanica classica :Sia data una sfera di raggio R con massa M . Su una particella di unita di massa che si trova sulla

superficie della sfera agisce la forza di gravitazione:

d2R

dt2= −

GM

R2(2)

con M = 4π3 ρR3 ; integrandola ad un tempo fissato otteniamo la legge della conservazione dell’energia 1 :

1

2

(

dR

dt

)2

−G M

R= K ′ (3)

1 infatti se si moltiplica per R ambo i membri si ha :∫

RRdt = −GM

∫

Rdt

R2

e poiche dR = Rdt e d(1/R) = −1/R2Rdt ho la (3)


Fig. 8. I tre tipi di curvatura, e a fianco l’evoluzione dei corrispondenti fattori di scala R(t)

Sostituendo M abbiamo:

1

2

(

dR

dt

)2

−4

3πρGR2 = K ′

che e equivalente2 alla (1) con K ′ = −1/2K. Da questa analogia possiamo anche vedere il significato deitermini. Il primo termine a sinistra e l’energia cinetica dell’unita di massa , il secondo termine a sinistra(negativo) e la sua energia potenziale; la costante e l’energia totale dell’unita di massa sulla superficie dellasfera.

Da qui si vede bene che se K < 0 l’energia cinetica della massa unitaria m e maggiore di quella potenzialee quindi essa continua ad espandersi. Per K > 0 le forze gravitazionali hanno il sopravvento di modo chel’Universo, dopo una eventuale fase espansiva, si contrae, mentre per K = 0 si espandera fino all’infinito maci arrivera con energia cinetica nulla.

2.4 Legge di Hubble

Secondo la (1) quindi l’Universo ora sarebbe in una fase o di espansione o di contrazione. Quello che estato visto sperimentalmente e che lo spostamento verso il rosso osservato in molte galassie e linearmenteproporzionale alla loro distanza rispetto alla terra; interpetando questo risultato in termini di effetto Dopplered indicando con v la velocia di allontanamento delle galassie, avremo:

v = H0r

che e chiamata legge di Hubble perche fu lui che scoprı l’effetto nel 1929. Il grafico seguente (fig 9) mostra idati originali di Hubble del 1929.

La pendenza della retta che interpola queste misure e ora nota come costante di Hubble H0. Dato chesia i kilometri che i Megaparsec sono unita di distanza ( 1Mpc = 3.084 · 1024cm), l’unita di misura di H0 e1/tempo, ed il fattore di conversione e dato da

1/H0 = (978 miliardi di anni)/(H0 in km/s/Mpc)

Per questo motivo, il valore di 464 km/s/Mpc ottenuto da Hubble era equivalente a circa 2 miliardi di anni.Dal momento che tale valore dovrebbe approssimare l’eta dell’Universo, e noi sappiamo (era noto anche nel1929) che l’eta della Terra supera i 2 miliardi di anni, il valore di H0 trovato da Hubble porto ad un generale

2 qui pero R rappresenta il raggio effettivo e non il fattore di scala


Fig. 9. I dati originali di Hubble del 1929

scetticismo nei confronti dei modelli cosmologici, e fornı una motivazione a favore del modello stazionario.Tuttavia, pubblicazioni successive misero in luce alcuni errori: Hubble aveva confuso due tipi diversi divariabili Cefeidi usate per calibrare le distanze, inoltre aveva considerato come stelle molto luminose regioniHII in galassie lontane; per di piu le singole galassie hanno velocita peculiari di diverse centinaia di km/s, ei dati di Hubble arrivavano solo a 1.200 km/s. La correzione di questi errori porto ad un ridimensionamentoverso il basso del valore della costante di Hubble. Attualmente ci sono principalmente due gruppi scientificiche utilizzano le Cefeidi per determinare H0: l’HST Distance Scale Key Project team (Freedman, Kennicutt,Mould et al, 2001) che ha ottenuto il valore di 72 ± 7 km/s/Mpc, mentre il gruppo di Sandage, che usaanche osservazioni del telescopio spaziale per calibrare supernovae di tipo Ia, ha ottenuto il valore di 57± 4 km/s/Mpc. Altri metodi per determinare la scala di distanza includono il ritardo temporale nelleimmagini multiple delle lenti gravitazionali e l’effetto Sunyaev-Zeldovich negli ammassi distanti: entrambisono indipendenti dalla calibrazione delle Cefeidi e forniscono valori consistenti con la media dei due gruppiche usano HST: 65 ± 8 km/s/Mpc. Con questo valore di H0, l’eta approssimativa dell’Universo 1/H0 e di15 miliardi di anni. Nel grafico sottostante sono mostrati i dati sulle supernovae di tipo Ia da Riess, Pressand Kirshner (1996)

E bene precisare che il termine ”costante” per H0 indica che H0 non dipende dalla distanza, mapuo essere funzione del tempo. La legge lineare redshift-distanza trovata da Hubble e compatibile con lavisione copernicana dell’Universo: la nostra collocazione non e speciale. Innanzitutto nota che la velocitadi allontanamento e una quantita simmetrica: se A vede B allontanarsi, allora B vede A allontanarsi, comeillustra la figura 11:

L’allontanamento aumenta proporzionalmente alla distanza perche in realta e la metrica, cioe il fattoredi scala che sta crescendo. La situazione e analoga a quella illustrata, per due dimensioni, in figura 12.Ciascun punto sulla superficie del pallone in alto a sinistra rappresenta una galassia. Quando il pallone sigonfia (in alto a destra), la distanza tra due punti qualsiasi aumenta proporzionalmente alla loro distanzainiziale. Qualunque sia il punto prescelto (per esempio A o B), tutti gli altri punti si allontanano da essouniformemente in tutte le direzioni sulla superficie, ossia l’espansione non ha un centro. Mentre il pallone sigonfia, la distribuzione geometrica dei punti non varia. Un pallone con in superficie un disegno (in basso asinistra) conserva lo stesso disegno anche se gonfiato (in basso a destra).

2.5 Densita critica

Assumiamo che ad un tempo t0 siano note le quantita H0, ρ0 e R0.


Fig. 10. Come si e evoluto il grafico della legge di Hubble (1996)

Fig. 11. ....se A vede B allontanarsi, allora B vede A allontanarsi

dR/dtt=t0= H0R0 all’istante t0 e M = 4π/3R3

0ρ0 e quindi

K ′ =1

2

(

dR

dt

)2

t=t0

− G4π

3

ρ0R30

R0=

1

2H2

0R20 − G

4π

3ρ0R

20

e sostituendo K ′ nella (3):

(

dR

dt

)2

=8π

3

Gρ0R30

R−

8π

3GR2

0

(

ρ0 −3H2

0

8πG

)

Esaminiamo qualitativamente l’andamento di (dR/dt). Attualmente (dR/dt) e positivo, quindi R nel passatoera piu piccolo e Gρ0R

30/R era maggiore. Di conseguenza dR/dt era maggiore nel passato rispetto al presente

e vi fu un momento in cui

R = 0 ,dR

dt= +∞

La previsione per il futuro dipende dal segno di (ρ0 −3H2

0

8πG) al secondo membro. Si definisce

ρc =3H2

0

8πG

e anche Ω = ρ0/ρc.Se ρ0 > ρc allora ρ0 − ρc e positivo e ci sara un momento in cui (dR/dt)2 si annulla per poi diventare

negativo. In quel momento l’espansione si arrestera per poi divenire compressione.


Fig. 12. Illustrazione in due dimensioni dell’effetto dell’aumento del fattore di scala

Se ρ0 < ρc l’espansione continuera all’infinito e anche nel caso ρ0 = ρc l’espansione continuera solo cheall’infinito si avra energia cinetica nulla. Conoscendo i valori di ρ0 e H0 si puo quindi sapere se l’espansionee infinita o finita (figura 13).

Fig. 13. Andamento di R(t) per i diversi valori di ρ0


Per iI valore della costante di Hubble detto precedentemente il valore della densita critica e ρc =10−29 ÷ 10−30 g/cm3. La densita media nell’Universo dovuta alla materia nelle galassie non e meno diρ0 = 10−31 g/cm3. In questo caso si avrebbe ρ0 < ρc. Riprenderemo questa discussione nel paragrafo 5.

2.6 Durata dell’espansione.

Determiniamo l’istante t∞ nel passato dove R = 0. Se la velocita dell’espansione fosse costante ed uguale alvalore attuale si avrebbe:

R0 =

(

dR

dt

)

t=t0

(t0 − t∞) = H0R0 (t0 − t∞)

da cui

T = (t0 − t∞) =1

H0= 4 · 1017 sec ∼= 1010anni

ed e questa che e quotata come l’eta dell’Universo.

La descrizione dell’Universo data dalla (1) e completa se si aggiungono le tre equazioni di stato che nelnostro caso sono quelle di un gas ideale quantistico di particelle prive di massa ad alta temperatura:

ρ =π2

30N(T ) T 4 (densita′ di energia)

s =2π2

45N(T ) T 3 (densita′ di entropia)

n =ζ(3)

π2N ′(T ) T 3 (densita′ delle particelle)

dove N(T ) = Nb +7/8Nf e N ′(T ) = Nb +3/4Nf con Nb e Nf gradi di liberta di spin bosonici e fermionicie ζ(3) = 1.202 e la funzione zeta di Riemann. L’entropia S e data da:

S = R3s =2π2

45N(T )T 3R3

Da notare che se l’universo si deve espandere in maniera omogenea ed isotropa, l’espansione deve essereadiabatica e la condizione di adiabaticita ha come conseguenza la conservazione dell’entropia

d

dt(R3T 3) = 0

Questo implica che3

(

R

R

)2

=

(

T

T

)2

Quindi l’equazione (1) si puo esprimere in termini della temperatura

(

T

T

)2

+ ǫ(T ) T 2 =4π3

45GN(T )T 4

con

ǫ(T ) =K

R2T 2= K

(

2π2N(T )

45 S

)2/3

(4)

Se consideriamo i primi istanti dell’universo nella (1), poiche ρ va come T 4 mentre il termine K/R2 vacome T 2, quest’ultimo si puo trascurare e rimane:

(

T

T

)2

=4π3

45G N(T ) T 4

3 da d/dt(R3T 3) = 0 si ha R3T 2T + R2RT 3 = 0 ⇒ RT + T R = 0 ⇒

(

R

R

)

= −

(

T

T

)

⇒

(

R

R

)2

=

(

T

T

)2

Inoltre RT + T R = 0 implica RT = cost


che integrata da la relazione tra tempo e temperatura:

T 2 =MP

2γ t(5)

con γ =√

445π3N(T ) e con G = 1/M2

P dove MP = Massa di Plank = 1019 GeV

Possiamo allora descrivere sommariamente cosa predice la teoria standard per il lasso di tempo che vada 10−2 a 200 secondi dall’esplosione analizzando alcuni momenti significativi.

A t = 10−2 s si ha una temperatura T ≃ 10 MeV e N(T ) = 43/4 perche’ ho in equilibrio termicoγ, e+, e− e, grazie alla alta densita, anche le tre specie di neutrini, mentre i barioni sono presenti inquantita irrilevante perche il rapporto tra barioni e fotoni e

nγ

np= 109

quindi N(T ) = 2 + 7/8(4 + 6) = 43/4 e quindi la densita e 4:

ρ = π2/30 · N(T ) · T 4 = 3.5T 4(MeV ) = 8.75 · 109gr/cm3

A questa temperatura si ha equilibrio tra coppie e+ e− e γ e inoltre grazie alla alta densita anche ineutrini sono in equilibrio termico

e+ e− ↔ ν ν

Poiche la differenza di massa tra protone e neutrone e ≃ 1 MeV il loro numero e uguale e anch’essi sono inequilibrio termico tramite le interazioni deboli

p + ν ↔ n + e+ , n + ν ↔ p + e−

I neutrini contribuiscono alla densita di energia per un fattore 7/8 · 3 · ργ (dove il 3 e dato dalle specie dineutrini presenti e il 7/8 dal fatto che sono fermioni).

A t = 1 s si ha T = 1010 K = 1 MeV i neutrini sono disaccoppiati e quindi i protoni e i neutroni sidistribuiscono secondo la statistica di Bolzmann

nn

np= exp

(

−M

KT

)

≃ 0.24

I fotoni sono disaccoppiati ma continuano ad essere creati da coppie e+ e− e questo aumenta un po la loroenergia.

A t = 100 s T = 109k = 0.1 MeV si ha

nn

np= exp

(

−M

KT

)

≃ 0.13

sono rimasti ν , γ e solo un piccolo eccesso di e− per neutralizzare i protoni.L’energia dei fotoni e del 35% superiore a quella dei neutrini a causa dell’annichilazione e+ e− . Si

incominciano ad avere le interazionip + n → d + γ

d + d → T + p, T + d → He4 + n

d + d → He3 + n → T + p

il cui risultato consiste nella formazione di He4.

La densita relativa di He4 dipende in modo critico dal tempo trascorso da quando i protoni e i neutronisi sono disaccoppiati dai neutrini a quando sono incominciati i processi di fusione (avendo il neutrone untempo di decadimento di 15 minuti).

4 Si ricorda che 1MeV = 1010 K. In unita naturali le conversioni sono :

1cm ≃ 5 · 1013GeV −1 , 1sec = 1024GeV −1 , 1gr = 5 · 1023GeV

per cui T 4(Mev) = 2.5 · 104T 4(Mev)(gr/cm3).


Poiche il tempo trascorso dipende anche dal numero di specie di neutrini esistenti, si puo porre un limitesuperiore e risulta

Nν ≤ 4

Da notare che il limite piu preciso su Nν viene dal decadimento dello Z0 ed e Nν = 3.10 ± 0.09I nuclei piu grandi di He4 sono instabili e quindi non si hanno altri cambiamenti per 105 anni, finche

cioe non diventa possibile la combinazione tra ioni ed elettroni.

A questo punto l’universo diventa trasparente alla radiazione e la materia incomincia ad espandersi ingalassie.

2.7 Problemi della teoria standard

Se si potesse risalire fino all’istante dell’esplosione il quadro evolutivo sarebbe completo. Ma il modellostandard ha una singolarita iniziale per t → 0 poiche T → ∞ .

Quando T e dell’ordine della massa di Planck ( T ≥ 1019 GeV, t = 10−45sec.) le equazioni del modellostandard perdono di significato poiche non si possono piu trascurare gli effetti della gravita quantizzata. Magia a T = 1017 GeV la teoria impone condizioni iniziali molto restrittive per non essere in contrasto con idati sperimentali. Ci sono in particolare tre gravi problemi:

— problema dell’orizzonte

— problema della curvatura

— problema dei monopoli

Problema dell’orizzonte. Regioni che all’inizio erano causalmente sconnesse, poiche lontano una dall’altrapiu della loro ”distanza di orizzonte” ct, non dovrebbero essere oggi omogenee, in contrasto con l’omogeneitadella radiazione a 2.7 k

Indicando con LP e con SP le dimensioni attuali dell’ universo e l’attuale valore di entropia laconservazione dell’entropia permette di conoscere le dimensioni delll’universo al tempo t in cui si avevaT = 1017 GeV

L(t) =

(

sp

s(t)

)1/3

Lp

e ricordando che S = R3s = 2π2

45 N(T )T 3R3

L(t) =

(

Np

N(T )

)1/3

·

(

Tp

T

)

Lp

Da notare che un segnale luminoso al tempo t avra percorso5

l(t) = R(t)

∫ t

0

dt′

R(t′)= 2t

(

R ∝ t1

2

)

Utilizzando la (5) e con

Np = 29/4 , N(T ) ≃ 100 , Tp ≃ 3 k ≃ 3 · 10−13 GeV , Lp = 1010anni

ho ( Per T ≃ 3 k ho i γ e le tre specie di neutrini, mentre a T ≥ 100 GeV ho anche e+, e− ,µ+, µ−, τ+, τ−, W+, W−, Z e i sei quarks con relativi anti quarks, quindi N(T)=423/4 )

l(t)

L(t)=

2 t(

Sp

S(t)

)1/3

Lp

≃6 10−41

10−13= 0.4 10−28 e

l(t)3

L(t)3= 10−83

Questo significa che il volume connesso causalmente e 1083 volte piu piccolo del volume dell’universo e visono quindi 1083 regioni causalmente sconnesse.

In questo modo non si puo spiegare, se non ponendola come condizione iniziale, l’omogeneita dell’universo.

5 ds2 = dt2−R2(t)dr2. Poiche per un raggio luminoso ds2 = 0 ho dr = dt/R(t) ⇒ L(t) = R(t)∫

dt = R(t)∫

t

o

dt′

R(t′)=

2t


Problema della curvatura. Sperimentalmente il valore attuale della densita ρ e vicino a ρc;infatti 0.1 ≤ Ω = ρ/ρc ≤ 10 ρ/ρc = ρ · 8πG/(3H2)

(

R

R

)2

= H2 = 8/3 π G ρ −K

R2

sia ρ < 10 ρc

∣

∣

∣

∣

K

R2

∣

∣

∣

∣

< 9H2 ; per K = ±1

R >1

3H−1 = 3 · 109 anni

Tγ = 2.7k, 3 specie di neutrini privi di massa

S > 1086

dalla (4) ho, grazie alla conservazione dell’entropia

ǫ ≃ 10−58 (N(T ))2/3

Prendendo T = 1017 GeV∣

∣

∣

∣

ρ − ρc

ρ

∣

∣

∣

∣

= ǫ45

4π3GN(T )T 2= 10−55

Il punto e che la condizione Ω = 1 e instabile.Un universo sopravvive 1010 anni solo accordando i valori iniziali ( a T = 1017 GeV ) di ρ ed H con unaaccuratezza di una parte su 1055.

Problema dei monopoli. Quando si cerca di collegare la teoria standard con le teorie di grande unificazione(G.U.T) sorge un terzo problema. Le G.U.T in realta non sono ancora state verificate sperimentalmente eanzi il loro modello minimale SU(5) ha fornito una stima errata per la vita media del protone. Tuttavia visono buoni motivi per credere che un modello G.U.T possa fornire una descrizione unificata e completa dellanatura. Innanzitutto esse fanno parte dello stesso gruppo di teorie di SU(2) e di SU(3). La prima e la teoriaunificata delle forze elettromagnetiche e deboli che ha portato alla scoperta del W e dello Z0 ; la secondae QCD, la teoria che descrive le interazioni forti. L’idea che sta sotto queste teorie e quella che poiche sifa l’ipotesi di operare con teorie di campo locali, anche le simmetrie globali della teoria devono essere reselocali. Si scopre che questo porta alla formazione di nuovi campi, cioe a nuove particelle di scambio nonmassive.

La teoria di Yang e Mills e stata per molto tempo priva di applicazioni proprio perche creava particelleprive di massa che non servono a descrivere forze a corto raggio.

Higgs ha scoperto che, introducendo un opportuno numero di campi scalari, si puo cambiare laconfigurazione energetica in modo che, per basse energie, lo stato di minina energia ( il vuoto ) si ha per unvalore non nullo dei campi scalari. Questo introduce dei nuovi termini nella Lagrangiana che corrispondonoa dei termini di massa per i bosoni vettori. Questo processo si chiama della rottura spontanea di simmetriapoiche il campo di Higgs si orienta verso una direzione privilegiata rompendo la simmetria iniziale ed e statoproprio questo meccanismo a portare alla previsione teorica del W e dello Z0.

Il secondo motivo che giustifica le G.U.T e che in base alle estrapolazioni ad alte energie fatte grazie aimodelli SU(2) e SU(3), le costanti di accoppiamento dovrebbero convergere verso un unico valore all’energiadi 1015 GeV (vedi figura 14).

Quando si cerca di collegare le G.U.T alla teoria standard sorge un altro problema. Abbiamo visto che perT = 1017 GeV ci sono 1083 regioni casualmente sconnesse e in ogni zona il campo di Higgs si puo orientare inmaniera diversa. Quando le varie zone vengono in contatto si creano dei difetti topologici che si presentanocome dei monopoli di massa molto elevata ( M ≥ 1016 GeV ) e stabili. Solo i monopoli darebbero in questocaso una densita 1012 volte piu grande della densita critica in aperto contrasto con le previsioni.


Fig. 14. Andamento delle costanti di accoppiamento in funzione dell’energia per il modello Standard delle particelleelementari e per il Minimo Modello Supersimmetrico Minimale

3 Universo inflazionario

Anche se non esiste ancora un modello standard di G.U.T il fatto importante e che sia prevista una transizionedi fase a Tc ≃ 1015 GeV per cui per T > Tc ho il valore di aspettazione nel vuoto < φ >= 0 e se T < Tc ho< φ > 6= 0. Si puo allora avere la transizione dal falso vuoto al vero vuoto (vedi figura 15). Per alcuni valoridei parametri liberi delle G.U.T questa transizione puo avvenire molto lentamente rispetto alla velocita diraffreddamento (questo e un fenomeno noto; l’acqua puo essere superraffreddata prima di congelarsi, ecc).Questo aggiunge un termine costante all’ equazione (1), termine che diventa rapidamente piu importantedegli altri termini che vanno come potenze della temperatura. Rimane allora:

(

R

R

)2

= 8/3 π G ρ0

da cuiR = exp

(

(8/3 π G ρ0)1/2 t

)

= exp(χ t)

con χ ≃ 1010 GeV .L’espansione esponenziale e responsabile della produzione di entropia che permette di risolvere i problemi

di cui si e parlato ; infatti eliminiamo la condizione di espansione adiabatica e supponiamo che l’entropiaaumenti secondo la formula

Sp = Z3S0

Avevamoρ − ρc

ρ= ǫ

45

4π3GN(T )T 2= 10−55

con

ǫ(T ) = K

(

2π2N(T )

45 S

)2/3

(4′)

che se si prende Z = 3 · 1027 diventaρ − ρc

ρ= Z2 · 10−55 ≃ 1

Per cui Ω = 1 non e piu un punto di instabilita.


Fig. 15. Passaggio dal falso vuoto al vero vuoto

Fig. 16. Stessa immagine di figura 15 in tre dimensioni

Analogamente avevamol(t)

L(t)=

2 t(

Sp

S(t)

)1/3

Lp

che ora devo moltiplicare per Z3 e se Z ≃ 5 1027 ottengo :

(

l(t)

L(t)

)3

= 1.2

Per cui non ho piu regioni causalmente sconnesse.

Torniamo alla descrizione dell’inflazione. Secondo Guth durante l’espansione esponenziale le fluttazioniquantistiche (effetto Tunnel) permettono di superare la barriera di potenziale in una piccola regione di spazioche diventa cosı una regione di vero vuoto. La densita di energia non e piu costante e ha termine l’espansioneesponenziale ; tuttavia essa e piu rapida della velocita di formazione e crescita delle bolle che non hanno iltempo di collidere.


Fig. 17. Andamento della temperatura, della densita di energia e delle distanze per il modello standard e per ilmodello inflazionario.


Le collisioni sono necessarie per ridistribuire il calore latente rilasciato dopo la transizione di fase. Senzaqueste collisioni avremmo una disomogeneita nella distribuzione di energia dell’universo maggiore di quellaosservata. Il nuovo modello elaborato indipendentemte da Linde e da Steinhardt e Albrecht prevede unandamento del potenziale piu piatto in corrispondenza del falso vuoto, analiticamente espresso dalla formula

V (φ) = Bφ4(lnφ2

σ2−

1

2) +

18 T 4

π2

∫

∞

0

dp p2 ln

(

1 − exp

[

−(p2 +25g2φ2

T 2)1/2])

che fa si che una singola regione di espansione esponenziale possa contenere tutto l’universo osservato. Unavolta raggiunta la parte piu ripida del potenziale i valori della densita di energia incominciano ad oscillareintorno al vero vuoto.

Questo corrisponde al decadimento delle particelle di Higgs nelle particelle elementari che compongonoil gas primordiale ipotizzato dalla teoria del Big Bang. Essa da ora in poi continua a descrivere l’evoluzionedell’universo che e tornato, dopo il rilascio del calore latente, a una temperatura prossima a 1014 GeV . Lafigura 17 riassume l’andamento della temperatura, della densita di energia e delle distanze per il modellostandard e per il modello inflazionario.

Fig. 18. Descrizione del modello del Big Bang

4 L’origine dell’ipotesi dell’asimmetria tra barioni e antibarioni

Sappiamo che le G.U.T. prevedono l’esistenza di un bosone X , particella vettore, con numero barionico0, ponte tra le particelle con colore forte e le particelle con colore elettrodebole. Alla fine dell’inflazionel’universo e abbastanza caldo da produrre bosoni X e X, che durante il raffreddamento decadono in coppiedi quark (q) o un quark piu un leptone:

X → q + q o X → q + l , X → q + q o X → q + l


Definendo r come la frazione di decadimenti in q + q , (1 − r) e la frazione di decadimenti in q + l .In presenza di violazione di CP abbiamo r 6= r e abbiamo un eccesso di quark sugli antiquark. Un

altra condizione necessaria affinche ci sia effettivamente asimmetria e quella di non essere in condizione diequilibrio termodinamico per evitare che reazioni inverse del tipo qq → X o ql → X abbiano la stessavelocita.

Entrambi queste condizioni possono essere realizzate nella teoria del Big Bang giustificando l’ipotesi diun universo asimmetrico nel contenuto di barioni e antibarioni. L’annichilazione di q e di q porta poi allaproduzione di radiazione. Il piccolo eccesso di q e l rimasti fornisce la materia di cui e fatto il presenteuniverso.

L’ipotesi simmetrica La presenza di una violazione di CP in questo periodo dell’evoluzionedell’universo sembra ormai essere completamente necessaria a livello teorico (senza di essa tutti i barioni siriannichilerebbero e non si potrebbe spiegare il rapporto tra fotoni e barioni sperimentalmente osservato).Se pero la violazione di CP proviene da un meccanismo di rottura spontanea della simmetria, essa puo averesegni diversi in in diverse regioni causalmente disconnesse.

Se il modello e giusto, il problema e molto simile e connesso al problema della presenza dei monopoli.

5 Materia ed Energia oscura

Negli ultimi anni si e scoperto che oltre alla materia barionica ci deve essere sia un contributo sostanziale diun’altra forma di materia debolmente interagente (chiamata materia oscura) e anche un termine addizionaledi pura energia, una costante cosmologica.

Le misure piu recenti che hanno portato a questo risultato sono state la misura delle anisotropie del fondodi radiazione cosmico (esperimenti Boomerang e Maxima) e la misura della luminosita delle Supernovae agrande distanza.

Secondo queste misure nell’Universo ρ0 = ρc, ma le stelle luminose contribuiscono solo per un 0.5%; ibarioni solo per un 4.4%± 0.4%; la materia oscura per un 22.6%± 4%; i neutrini per meno del 0.15% e lacomponente di energia per un 73%± 6%.

Come si sono ricavati questi valori?

5.1 Misura della luminosita delle Supernovae

La luminosita tipica di una Supernova raggiunge 1010 luminosita solari e puo risplendere piu intensamentedella Galassia ospite. Nel 1998 i primi dati di Supernove a grande redshift rivelarono luminosita inferioria quanto estrapolabile dalle misure di H0 a basso redshift. Questo fatto puo essere interpretato come unaindicazione che l’Universo oggi e in una fase di accelerazione dell’espansione. Un’espansione piu lenta nelpassato implica che una galassia raggiunge una data velocita (redshift) in un tempo maggiore, e quindi adistanze maggiori rispetto a quanto predicibile basandosi sulla attuale velocita di espansione.

Nell’Aprile del 2001 fu scoperto che l’analisi di una Supernova dall’Hubble Space Telescope nel 1997, laSN piu remota mai osservata, forniva una evidenza diretta di una passata fase di decelerazione dell’Universo.Alla base di questa deduzione sta il fatto che la SN1997ff, ad un redshifi z ∼ 1.7 risulta piu luminosa diquanto implicato da una accelerazione. Questo esclude che l’attenuazione della luminosita delle SN a z ∼ 0.5sia dovuta a polveri cosmiche, ed indica come il fenomeno dell’accelerazione sia relativamente recente. Ilpunto di inversione di tendenza fornisce indicazioni su quando c’ stato il cambio di predominio e quindi sulrapporto tra materia ed energia. Si puo dedurre che l’energia del vuoto (l’energia oscura) abbia cominciatoa dominare sulla materia a z ∼ 0.5 e che oggi il contributo a Ω dell’enrgia oscura (ΩΛ) sia ΩΛ ∼ 0.7ed ilcontributo della materia sia ΩM ∼ 0.3 (vedi figura 19)

5.2 Misura delle anisotropie del fondo di radiazione cosmico

Abbiamo mostrato in figura 6 le fluttuazioni del fondo di radiazione cosmico (CMB). Queste fluttuazionihanno una grandezza di scala calcolabile. Infatti prima della ricombinazione se in un punto c’e’ una leggeraoverdensita, questa sara un punto di aggregazione e quindi la densita tendera a crescere, ma questo provocaun aumento della temperatura che a sua volta provoca un aumento della pressione e quindi si ha unariespansione che cessera quando la temperatura sara scesa abbastanza da far prevalere di nuovo la gravitasulla pressione dei fotoni e ricomincia l’oscillazione. Dopo la ricombinazione i fotoni sono disaccoppiati dallamateria e la loro pressione non controbilancia pi la gravit. Le perturbazioni possono crescere e formare lagerarchia di strutture (cluster di galassie e galassie) che osserviamo nell’Universo vicino (figura20) .


Fig. 19. Legge di Hubble per le SuperNovae a grande redshift.

Fig. 20. Perturbazioni della densita prima e dopo la ricombinazione

Ci aspettiamo che la grandezza tipica delle perturbazioni sia legata all’orizzonte acustico cst allaricombinazione. Perturbazioni piu’ grandi sono causalmente disconnesse e non possono oscillare, sono comecongelate. La dimensione fisica rs dell’orizzonte acustico alla ricombinazione puo essere calcolato dalla fisicadel plasma e dalla dinamica dell’Universo (equazioni di Friedmann) e si trova che e ∼30000 anni luce. Questosignifica che esiste una grandezza conosciuta a distanza cosmologica che puo essere usata per stabilire in chetipo di geometria di Universo siamo (figura 21) se si conosce il periodo di tempo trascorso dalla ricombinazione(∼ 14 Gly). Ma se la geometria e di tipo sferico, come si ha nel caso in cui Ω > 1, rs apparira piu grande,mentre se la geometria e di tipo iperbolico, come si ha nel caso in cui Ω < 1, rs apparira piu piccolo (figura22).

In figura 23 e mostrata una simulazione della grandezza delle fluttuazioni nei tre casi.Ma cosa ha generato le perturbazioni primordiali che si riflettono nelle perturbazioni del fondo di

radiazione cosmica? Una ipotesi potrebbe essere che a causa dell’inflazione si vedono le fluttuazioniquantistiche alla scale di 1019 GeV passate dalla scala microscopica a quella macroscopica a causa


dell’inflazione, ma non affronteremo quest argomento. La cosa che ci interessa e che il fondo di radiazionecosmico e stato misurato recentemente dagli esperimenti BOOMERanG, Maxima e WMAP che hannoverificato che la dimensione misurata tipica delle fluttuazioni e di ∼ 1 grado e quindi Ω=1.

Fig. 21. In una geometria euclidea, l’angolo sotteso alla dimensione fisica rs dell’orizzonte acustico e ∼ 1 grado

Fig. 22. In una geometria euclidea, l’angolo sotteso alla dimensione fisica rs dell’orizzonte acustico e ∼ 1 grado

Letture consigliate

– S. Weinberg, I primi tre minuti

– L.Bergstrom and A.Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics


Fig. 23. Simulazione della grandezza delle fluttuazioni se Ω > 1, Ω = 1 e Ω < 1.

Fig. 24. Astroparticelle

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