COOPERAZIONE TRA DUE GIOCATORI:

IL MODELLO BASSETTI – TORRICELLI APPLICATO ALLE

SCOMMESSE IPPICHE.

Abbiamo due giocatori: A e BIl giocatore A:

• È un soggetto NON avverso al rischio e ha una funzione di utilità del tipo:

U [E (ŵ) ] < E [ U (ŵ) ]

• La funzione di utilità è convessa

Il giocatore B:

• è un soggetto avverso al rischio e presenta una funzione di utilità del tipo:

U [E (ŵ) ] > E [ U (ŵ) ]

• La funzione di utilità è concava

Il giocatore A

• Gioca prevalentemente cavalli “vincenti”

• Giocare un vincente significa scommettere che un cavallo arriverà o primo o secondo o terzo

• Le quote dei vincenti sono di solito più alte rispetto a quelle dei “piazzati” perché incorporano un maggior premio per il rischio

Il giocatore B

• Gioca prevalentemente cavalli “piazzati”

• Giocare un piazzato significa scommettere che quel cavallo riuscirà a salire sul podio

• Le quote dei piazzati oscillano tra un margine massimo e un margine minimo

• La quota che viene applicata è una media dei due limiti

Esempio:

assumiamo che le quote siano di 1,85 per il vincente e di 1,44 per il piazzato. A gioca solo il vincente, B solo il piazzato. Entrambi giocano 30 euro. Possiamo ipotizzare tre esiti

diversi per la scommessa:

• il cavallo vince: A incassa (30 * 1,85) = 55,5 euro con una vincita netta di 25,5 euro, mentre B incassa (30 * 1,44) = 43,2 euro con una vincita netta di 13,2 euro

• il cavallo arriva secondo o terzo: A perde la sua puntata, mentre B incassa la stessa somma che avrebbe incassato se il cavallo fosse arrivato primo

• il cavallo si ritira: entrambi i giocatori perdono le loro puntate

Le soluzioni a confronto:

Come si può ben notare solo nel primo caso entrambi i giocatori hanno un guadagno. Il giocatore A

incassa una somma maggiore che incorpora il suo premio al rischio, mentre il giocatore B incassa una

cifra più bassa anche in virtù delle maggiori possibilità che un cavallo ha di ottenere un

piazzamento. L’unico caso in cui nessuno dei due vince qualcosa è il terzo.

Dopo un intero pomeriggio passato in agenzia ippica, i due giocatori, che si conoscono bene, decidono di effettuare una scommessa in società. Decidono di

dividere la somma da puntare in parti uguali e, in caso di vittoria, spartiranno la vincita in parti anch’esse

uguali. Per vedere come i due amici possono mettersi d’accordo per la giocata possiamo dunque applicare il

modello di Bassetti – Torricelli.

Il modello Bassetti - Torricelli

L’ipotesi che sta alla base di questo modello è che l’investitore di fronte alle scelte di portafoglio sia

caratterizzato da due personalità: da un lato è attratto da investimenti ad alto rendimento con

rischio elevato (personalità meno avversa al rischio), dall’altro è attratto da investimenti a rischio ridotto e

con rendimento basso (personalità più avversa al rischio).

Il modello Bassetti - Torricelli

• Per ottenere il portafoglio ottimo per l’individuo occorre massimizzare l’utilità congiunta delle due personalità e quindi occorre massimizzare le utilità dei due soggetti.

• La funzione di utilità adottata nel modello e coerente con la definizione data da Von Neumann e Morgenstern è, per l’individuo:

PEAPEPU P22

2

1

Il modello Bassetti - Torricelli

A è il coefficiente di avversione al rischio di Arrow-Pratt:

Per la personalità più avversa ( B ) risulterà:

 

Per la personalità meno avversa ( A ) risulterà:

,

~'

,~

''

REU

REUA

PEAPEAPU P22

11 2

1,

PEAPEAPU P22

22 2

1,

Il modello Bassetti - TorricelliLa rappresentazione delle curve di utilità dei due soggetti sarà

la seguente:

Il modello Bassetti - TorricelliNella figura possiamo notare tre punti:

X ( U1X ; U2

X ) ; Y ( U1Y ; U2

Y ) ; Z ( U1Z ; U2

Z )

Ogni punto sulla frontiera efficiente ha un diverso valore di utilità per i due individui.

Attraverso una trasformazione è possibile rappresentare i punti della frontiera , sul piano rendimento atteso – deviazione standard , nel piano U1 – U2:

222121 :,, BPUUAAU

Il modello Bassetti - TorricelliIl parametro A è ricavato in modo endogeno sfruttando la condizione di tangenza tra la frontiera e la curva d’utilità

dell’individuo. Il portafoglio ottimo si ottiene utilizzando la trasformazione inversa. La soluzione ottima è data dal massimo

prodotto tra le due utilità.

Qual è la strategia migliore?

La strategia migliore che i due amici possono seguire è quindi quella che prevede di giocare allo stesso tempo il cavallo sia vincente che piazzato. Puntando contemporaneamente

anche sul piazzamento, i due potranno cercare di “coprirsi” nel caso il suo cavallo non dovesse vincere e cercare il più possibile di recuperare la somma giocata.

Riprendendo l’esempio di prima…

Esempio se decidono di giocare 25 euro a testa, la giocata di A e B

potrebbe essere la seguente:

20 euro vincente + 30 euro piazzato = 50 euro di giocata

Se assumiamo che le quote siano le stesse dell’esempio precedente, abbiamo i soliti tre possibili esiti:

1. 1.      in caso di vittoria i due vincono una somma pari a: 

(20 * 1,85) + (30 * 1,44) = 37 + 43,2 = 80,2€

con un somma netta guadagnata pari a 30,2 euro da dividere tra loro

Esempio

• 2.      in caso di piazzamento la vincita è di:

(20 * 0) + (30 * 1,44) = 43,2 

con una perdita netta pari a 6,8 euro e quindi 3,4 euro a testa

 

• 3.   nel caso in cui il cavallo non riesce a piazzarsi o si ritiri dalla gara, la perdita netta dei giocatori è pari all’importo della loro giocata e cioè 50 €.