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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA ELETTRICA TESI DI LAUREA MAGISTRALE

CONFRONTI TRA METODI DI CALCOLO DELL'IMPEDENZA ALLA SEQUENZA OMOPOLARE DI LINEE ELETTRICHE AEREE

RELATORE: PROF. ROBERTO BENATO

LAUREANDO: ZONTA CHRISTIAN

ANNO ACCADEMICO 2011--‐2012

i

Indice

Indice ....................................................................................................................................................... i

Sommario ............................................................................................................................................... v

Introduzione ......................................................................................................................................... vii

Capitolo 1 ............................................................................................................................................... 1

LINEE ELETTRICHE AEREE ............................................................................................................. 1

INTRODUZIONE ......................................................................................................................... 1

1.2 Percorso storico delle linee elettrice aeree ............................................................................... 1

1.3 Situazione attuale..................................................................................................................... 2

1.4 Problematiche .......................................................................................................................... 2

1.5 Elementi costitutivi di una linea elettrica ................................................................................ 3

1.5.1 I conduttori ....................................................................................................................... 3

1.5.2 Isolatori ............................................................................................................................ 9

1.5.3 Sostegni .......................................................................................................................... 12

1.5.4 Fondazioni ...................................................................................................................... 13

1.6 Costanti elettriche delle linee ................................................................................................ 14

1.6.1 Resistenza elettrica dei conduttori .................................................................................. 15

1.6.2 Induttanza dei conduttori ................................................................................................ 16

1.6.2.1 Coefficiente di autoinduzione di una linea trifase con struttura simmetrica ............. 16

1.6.2.2 Induttanza di esercizio di una linea trifase dissimmetrica con trasposizione delle fasi

.............................................................................................................................................. 17

1.6.3 Capacità tra conduttori e tra conduttori e suolo .............................................................. 18

1.6.3.1 Linea bifilare ............................................................................................................ 19

1.6.3.2 Linea trifase con i tre conduttori disposti secondo i vertici di un triangolo equilatero

.............................................................................................................................................. 20

1.6.3.3 Linea trifase con conduttori dissimmetrici ............................................................... 20

1.6.4 Conduttanza chilometrica trasversale ............................................................................. 21

Capitolo 2 ............................................................................................................................................. 23

ii

TECNICHE E TEOREMI UTILIZZATI PER LA DETERMINAZIONE DELL’IMPEDENZA

OMOPOLARE ...................................................................................................................................... 23

2.1 Trasposizione delle fasi ................................................................................................... 23

2.2 Tecnica di cancellazione dei conduttori passivi ..................................................................... 24

2.3 Teoria di Carson-Clem ........................................................................................................... 25

2.4 Teoria dei componenti simmetrici. ......................................................................................... 26

2.4.1 Bipolo alla sequenza diretta ............................................................................................ 30

2.4.2 Bipolo alla sequenza inversa ........................................................................................... 32

2.4.4 Bipolo alla sequenza omopolare ..................................................................................... 34

2.4.5 Matrici delle impedenze alle sequenze e alle fasi ........................................................... 36

Capitolo 3 .............................................................................................................................................. 39

METODI PER LA DETERMINAZIONE DELL’IMPEDENZA OMOPOLARE ........................... 39

3.1 Norma IEC 60909-2 ............................................................................................................... 39

3.1.1 Linea singola terna senza fune di guardia ....................................................................... 40

3.1.2 Linea singola terna con una fune di guardia ................................................................... 41

3.1.3 Linea singola terna con due funi di guardia .................................................................... 41

3.1.4 Linea doppia terna con una fune di guardia .................................................................... 42

3.1.5 Linea doppia terna con due funi di guardia .................................................................... 43

3.2 Nuove formule per il calcolo dell’impedenza omopolare delle linee elettriche aeree di AT .. 43

Premessa ....................................................................................................................................... 43

Il metodo ...................................................................................................................................... 43

Capitolo 4 .............................................................................................................................................. 49

CALCOLO DELL’IMPEDENZA OMOPOLARE PER DIVERSI TIPI DI LINEA ....................... 49

4.1 Linea singola terna con una fune di guardia in acciaio ................................................... 49

4.1.1 Analisi simbolica ............................................................................................................ 52

4.1.2 Analisi numerica ............................................................................................................. 54

4.1.3 Analisi parametrica ......................................................................................................... 56

4.2 Linea singola terna con una fune di guardia in All-Acc .................................................. 60

4.2 Linea singola terna con due funi di guardia............................................................................ 66


iii

4.2.2 Analisi numerica ............................................................................................................ 69

4.2.3 Analisi parametrica ........................................................................................................ 71

4.3 Linea doppia terna con una fune di guardia ........................................................................... 75


4.3.2 Analisi numerica ............................................................................................................ 79

Capitolo 5 ............................................................................................................................................. 81

CONFRONTO TRA LA DETERMINAZIONE SPERIMENTALE ED ANALITICA

DELL’IMPEDENZA OMOPOLARE ............................................................................................. 81

Introduzione................................................................................................................................. 81

5.1 Generalità .............................................................................................................................. 81

5.2 Misura di Z ..................................................................................................................... 86

5.2 Misura Z .......................................................................................................................... 87

5.3 Misura di 00Z ...................................................................................................................... 88

5.4 Risultati delle misure ............................................................................................................ 89

Conclusioni .......................................................................................................................................... 93

Appendice ............................................................................................................................................ 95

BIBLIOGRAFIA................................................................................................................................ 121

RINGRAZIAMENTI ......................................................................................................................... 123

v

Sommario

Lo sviluppo di questa tesi, dopo una panoramica sugli elementi e le caratteristiche elettriche, propone

un confronto tra diversi metodi per la determinazione dell’impedenza omopolare di linee elettriche

aeree, effettuando delle simulazioni su casi realmente esistenti.

Nel Primo capitolo vengono presentati in maniera generale gli elementi che costituiscono una linea

elettrica aerea e i parametri necessari per definirne il modello elettrico.

Nel Secondo capitolo vengono analizzate le teorie necessarie per la determinazione dell’impedenza

omopolare, ovvero la teoria di Carson-Clem, la tecnica di cancellazione dei conduttori passivi e la

teoria dei componenti simmetrici.

Nel Terzo capitolo vengono presentati i tre metodi utilizzati per la determinazione dell’impedenza

omopolare di linee elettriche aeree, ovvero la norma IEC 60909-2, le nuove formule per la

determinazione dell’impedenza omopolare di linee elettriche aeree in AT e l’applicazione della teoria

di Fortescue.

Nel Quarto capitolo vengono applicati i metodi presentati nel Terzo a casi di linee reali andando ad

analizzare in maniera critica i risultati ottenuti.

Nel Quinto capitolo viene proposto un confronto tra le misure sperimentali effettuate in un tratto della

linea a 380 kV La Spezia-Bonvisio e i risultati ottenuti tramite l’applicazione dei vari metodi analitici.

vii

Introduzione

L’instaurarsi di un cortocircuito in una rete di trasmissione è causa di importanti conseguenze nei

confronti della stabilità del parallelo e dell’integrità delle apparecchiature e degli impianti dovute

all’elevata intensità di corrente che si trova a circolare nei conduttori dando origine a sollecitazioni di

tipo termico ed elettrodinamico. La determinazione preventiva dell’entità di tali correnti è necessaria,

sia per la scelta e la taratura delle apparecchiature di protezione quali relè ed interruttori, sia per

valutare i disturbi che tale cortocircuito può indurre in altri sistemi circostanti.

Nelle reti di trasmissione i guasti dovuti a cortocircuito non simmetrico; fase-terra (monofasi), fase-

fase oppure fase-fase-terra (bifase) sono molto più frequenti di quelli simmetrici (cortocircuito

trifase). In maniera orientativa si può affermare che nelle linee aeree di trasmissione si verificano

mediamente 10 15 guasti all’anno per 100 km.

Tabella 1 Dati percentuali sui tipi di guasto in rete

TIPO DI GUASTO FREQUENZA

Cortocircuito monofase 80%

Cortocircuito bifase 12%

Cortocircuito trifase 8%

Nei sistemi con neutro a terra, cioè solitamente per le reti con , i guasti a terra non

simmetrici possono inoltre provocare la circolazione di elevate correnti nel terreno, negli impianti di

terra delle stazioni e negli schermi metallici di cavi; per la valutazione e la prevenzione di tali correnti

è necessaria a priori la conoscenza dell’impedenza omopolare [1].

1

Capitolo 1

LINEE ELETTRICHE AEREE

INTRODUZIONE

Ai sensi della norma CEI 11-4 (1998-09) si definiscono linee aeree esterne le “ linee installate

all’aperto, al di sopra del suolo e costituite da conduttori nudi con i relativi isolatori, dai sostegni ed

accessori”. Esse sono costituite da una o due terne (denominate semplice o doppia terna) sempre su

palificazione unica [2].

Le linee aeree assieme a quelle in cavo hanno la funzione di collegare due sezioni di una rete elettrica;

dal punto di produzione o di conversione al punto di utilizzo. Entrambe le tipologie presentano

problematiche diverse; in questa relazione prenderemo in esame le sole linee elettriche aeree in

corrente alternata.

Una linea elettrica aerea è costituita da conduttori non isolati posati in aria su appositi sostegni.

Esistono diversi tipi di linea elettrica, a seconda della funzione che ricoprono nella rete, e si possono

distinguere dunque in:

Linea di interconnessione con l’estero

Linea di trasmissione

Linea di subtrasmissione o di distribuzione AT

Linea di distribuzione MT

Linea di distribuzione BT

E’ necessario che la trasmissione e la distribuzione siano realizzate con sistemi tecnicamente ed

economicamente convenienti, cioè che comportino basse perdite di energia, limitate spese di impianto

e di esercizio, funzionamento sicuro e continuo sia degli impianti sia degli apparecchi di utilizzazione

[3].

1.2 Percorso storico delle linee elettrice aeree

Fu Alessandro Volta nel 1777 a realizzare per la prima volta una linea di trasmissione per l’energia

elettrica da Como a Milano costituita da conduttori in ferro e sostegni in legno; ma già nel 1882 fu

realizzata la prima linea di trasmissione di carattere industriale monofase lunga 25 km con pali

metallici, isolatori in porcellana montati su ganci fissati su traverse in quercia e Un=5 100 V tra Roma

e Tivoli. Due anni dopo nel 1884, Galileo Ferraris in occasione dell’Esposizione Internazionale di

2

Torino eseguì la prima dimostrazione di trasmissione a distanza di carattere sperimentale con una

linea monofase Un=3000 V tra Torino e Lanzo. Un importante passo avanti avvenne nel 1891 con la

realizzazione della prima linea di trasmissione sperimentale trifase ad alta tensione lunga 175 km con

Un=15 kV tra Lauffen e Francoforte; nel 1898 venne realizzata la prima linea trifase italiana con

sostegni in ferro “tipo a traliccio” ed isolatori di tipo delta a campate multiple con conduttori di rame

o bronzo lunga 32 km Un=13000 V. Con l’inizio del ‘900 si apre un periodo di grande sviluppo delle

linee elettriche: dal 1901 al 1911 fu realizzata la linea di trasmissione dei Giovi; dal 1911 al 1912 fu

realizzata la linea di trasmissione Sampierdarena-Ronco e dal 1941 al 1951 furono costruiti 2293 km

di linee a 220 kV in Italia. Nel 1957 fu realizzata la prima linea a 380 kV tra Rommerskirchen e

Ludwigsburg/Hoheneck. Nel 1967 in Quebec fu realizzata la prima linea a 735 kV. Nel 1982 viene

attivato in Unione Sovietica un elettrodotto da 1200 kV e nel 1986 entra in servizio la grande linea di

interconnessione a 380 kV Rondissone-Albertville tra Italia e Francia [4].

1.3 Situazione attuale

Ad oggi la situazione in Italia, per quanto riguarda lo sviluppo delle linee dal lontano 1777, vede in

funzione 62 000 km di linee ad alta tensione con circa 200 000 tralicci, mentre per quanto riguarda

l’evoluzione tecnologica degli elementi costitutivi delle linee trova riscontro nell’introduzione di

nuove tipologie costituite da materiali tradizionali con geometrie compatte e da materiali non

tradizionali con geometrie compatte e non compatte. Per quanto riguarda invece il futuro, è attivo in

Italia un campo di ricerca che riguarda le cosiddette “smart grid” ovvero reti di distribuzione

intelligenti capaci di indirizzare eventuali surplus energetici prodotti localmente altrove

massimizzando l’efficienza di produzione evitando così sprechi. Tali sistemi diventerebbero

indispensabili nel caso la rete elettrica dovesse integrare grandi contributi di produzione da parte di

fonti rinnovabili che hanno, a livello locale, caratteristiche di intermittenza e variabilità di produzione.

1.4 Problematiche

Esistono diverse problematiche relative alle linee elettriche aeree come ad esempio l’occupazione del

territorio da cui ne deriva una limitazione del suo uso, l’impatto visivo, il rumore acustico e le radio

interferenze derivanti dall’effetto corona e la presenza di campi elettrici e magnetici con le relative

conseguenze di quest’ultime sulle persone e sull’ambiente circostante.

Impatto visivo: tale aspetto deve essere considerato in fase di progetto preliminare in cui si

devono individuare le aeree a maggior rischio ambientale cioè quelle in cui l’impatto visivo

sulla popolazione o sul paesaggio possa essere più rilevante e quindi intervenire con

soluzioni diverse rispetto ad una linea elettrica aerea, come ad esempio l’applicazione per

quel tratto di una linea in cavo interrato.

http://it.wikipedia.org/wiki/1967

http://it.wikipedia.org/wiki/Quebec_%28provincia%29

http://it.wikipedia.org/wiki/Unione_Sovietica

3

Rumore acustico e radio interferenze: inconvenienti derivanti dall’effetto corona che si

presenta principalmente con determinate condizioni climatiche (elevata umidità dell’aria o

subito dopo il termine della pioggia). Si riscontra un livello elevato di rumore in prossimità

delle stazioni di interconnessione in AT, mentre anche nelle condizioni climatiche più

sfavorevoli si registra un livello di rumore che raramente supera i 55 dB(A) e comunque

sempre per un tempo limitato. Nelle condizioni di funzionamento normale si registra un

livello di circa 40 dB(A), che rappresenta il limite più restrittivo (notturno) nelle aree

protette. Per quanto riguarda le radio interferenze, queste possono essere ridotte da una buona

progettazione sia del sistema elettrico che dal dispositivo ricevente; nell’eventualità che

l’interferenza venisse avvertita la si può eliminare con l’adozione di opportuni filtri.

Campi elettrici e magnetici: in Italia esistono dei limiti definiti dal DPCM 23/4/92, che sono

5 kV/m per il campo elettrico e 100 μT per l’induzione magnetica in aree o ambienti in cui si

prevede una permanenza giornaliera significativa da parte della popolazione, mentre tali

livelli si innalzano a 10 kV/m e 1000 μT nel caso in cui sia prevista un’esposizione

giornaliera di poche ore [5].

1.5 Elementi costitutivi di una linea elettrica

Una linea elettrica aerea è costituita principalmente dai seguenti elementi:

CONDUTTORI

ISOLATORI

SOSTEGNI

FONDAZIONI PER I SOSTEGNI

1.5.1 I conduttori

La scelta dei conduttori rappresenta un punto chiave nella realizzazione di una linea elettrica in quanto

il loro contributo oscilla tra il 30 e il 35 % dell’investimento totale.

La scelta ottima nasce da un compromesso tra proprietà meccaniche ed elettriche come anche il

compromesso tra costo dell’investimento e perdite di energia nell’arco di vita della linea [6].

Un buon conduttore deve possedere alcuni requisiti in merito alla resistività elettrica, di valore più

basso possibile in modo da presentare una resistenza elettrica ridotta i; al peso specifico, di valore più

basso possibile in modo tale che il peso totale dei conduttori sia il più possibile contenuto ed in fine un

adeguato valore del carico di rottura meccanico, in relazione agli sforzi a cui il conduttore è soggetto.

4

I conduttori possono essere sia a filo unico sia a corda; la prima soluzione è ormai stata abbandonata

per lasciar spazio alla seconda che risulta avere maggior flessibilità e facilità di posa in opera. Un

conduttore a corda è formato da più fili elementari detti trefoli avvolti elicoidalmente in strati

successivamente sinistrorsi o destrorsi. La composizione del conduttore è indicata mediante la

formazione corrispondente al numero di fili costituenti la corda per il loro diametro espresso in

millimetri (per esempio 19×2,52).

Figura1.1 Esempio di corde in Alluminio-Acciaio

Per i conduttori a corda si può fare un’ulteriore distinzione nei riguardi del materiale utilizzato; infatti

le corde possono essere realizzate con un unico materiale “corde monometalliche” oppure con due

materiali differenti “corde bimetalliche”. Solitamente per le corde monometalliche vengono utilizzati

come materiali il rame incrudito, l’alluminio e leghe di alluminio come l’aldrey. Per le corde

bimetalliche invece si utilizza acciaio galvanizzato per il nucleo e per il mantello esterno più strati di

alluminio o leghe dello stesso Figura1.1 [7].

5

Di seguito vengono riassunti rispettivamente nella Tabella 1.1 le tipologie di conduttori tradizionali e nella

Tabella 1.2 le nuove tipologie:

Tabella 1.1 Tipologie di conduttori tradizionale [5]

SIGLA

CONDUTTORE DESCRIZIONE CARATTERISTICHE

TIPOLOGIE TRADIZIONALI

AAC Costituito da uno o più mantelli

di Alluminio 1350 tempra H19

Alluminio 99,5% 1350-H19

Coeff. Esp. Lineare :23×10-6

[1/°C]

Max. temperatura in esercizio continuo:

90°C

Max. resistività a 20°C:2,8264×10-5Ωm

ACSR

Costituito da una corda di

acciaio zincato avvolto da uno o

più mantelli esterni in

Alluminio 1350-H19

Coeff. Esp. Lineare :11,5×10-6

[1/°C]


200÷250°C

AAAC

Costituito da una lega di

Alluminio, Magnesio e Silicio

denominato Al-Mg-Si


[1/°C]


90°C


(Tipo A)


(Tipo B)

ACAR

Costituito da una corda avente i

fili elementari in lega Al-Mg-Si

e uno o più mantelli esterni in

Alluminio 1350-H19

Alluminio 99,5% 1350-H19


[1/°C]


90°C


6

Tabella 1.2 Tipologie di nuovi conduttori [5]

SIGLA CONDUTTORE DESCRIZIONE CARATTERISTICHE

NUOVE TIPOLOGIE CON MATERIALI TRADIZIONALI

OMOGENEI

AAC/TW Come conduttore

AAC

Geometria compatta

Restanti caratteristiche uguali a quelle

della tipologia tradizionale

AAAC/AèroZ Come conduttore

AAAC Come conduttore precedente

NON

OMOGENEI

ACAR/TW Come conduttore

ACAR Come conduttore precedente

ACSR/TW Come conduttore

ACSR Come conduttore precedente

NUOVE TIPOLOGIE CON MATERIALI NON TRADIZIONALI

OMOGENEI ACSS

Costituito da una corda

avente i fili elementari

in acciaio zincato

rinforzato ricoperto da

uno o più strati esterni

in Alluminio ricotto

1350-0

Alluminio ricotto 1350-0:


[1/°C]


250°C


Acciaio zincato:

Coeff. Esp. Lineare :11,5×10 6[1/°C]


340°C

NON

OMOGENEI

TACSR



in acciaio zincato

ricoperto da uno o più

strati esterni in lega di

alluminio e zirconio ad

alta resistenza termica

tipo TA1

Lega di alluminio (Al+Zr):


[1/°C]


150°C

Max. temperatura in emergenza: 180°C


ZTACIR



in Invar zincato


Lega di Invar (Fe+Ni):


[1/°C]


210°C

7




tipo ZTA1

Max. temperatura in emergenza:240°C


XTACIR



in Invar zincato





tipo XTA1

Lega di Alluminio (Al+Zr):


[1/°C]


230°C

Max. temperatura in emergenza:310°C


Lega di Invar (Fe+Ni):


[1/°C] per

temperatura inferiori o uguali a 90°C


[1/°C] per

temperatura superiori a 90°C

Le tipologie di nuovi conduttori, nella condizione di geometria compatta presentano migliori

prestazioni sia dal punto di vista elettrico che meccanico. Modificando la sezione del singolo filo

costituente il fascio, e, modellandola con un profilo trapezoidale o a Z, è possibile ridurre gli spazi

vuoti tra i trefoli contigui che in un normale conduttore con fili a sezione circolare rappresentano circa

il 25% della sezione totale. Quindi, a parità di diametro esterno aumenta la quantità di materiale

conduttore e ciò si riflette in una maggior capacità di trasporto del conduttore di circa 10÷15%. A

parità invece di superficie conduttiva, il diametro esterno è inferiore del 9% rispetto a quello di un

conduttore tradizionale e ciò corrisponde a una minore superfice esposta all’azione del vento con

conseguenti minori carichi sui sostegni [5].

Nelle linee AAT si utilizzano conduttori a fascio, cioè più conduttori in parallelo per una stessa fase,

definiti subconduttori, in modo da ottenere un unico conduttore equivalente di diametro maggiore dei

singoli conduttori costituenti il fascio. Definito con n il numero di subconduttori costituenti il fascio,

con R la circonferenza su cui essi sono disposti simmetricamente ed r il raggio del subconduttore si

può facilmente determinare tramite la (1.1) il diametro equivalente:

n n

e RrnD 12 (1.1)

8

Questa soluzione porta alcuni vantaggi:

1. Tensione critica maggiore;

2. Impedenza d’onda maggiore ciò comporta una minore caduta di tensione e quindi una

maggiore capacità di trasmissione (il conduttore a fascio ha una minore induttanza e una

maggiore capacità rispetto ad un conduttore unico);

3. Aumento meno rapido dell’effetto corona e delle interferenze radio all’aumentare della

tensione;

e alcuni svantaggi:

1. Maggior costo;

2. Maggior potenza capacitiva a vuoto.

Una considerazione a parte va fatta per le funi di guardia, le quali possono essere costituite da corde di

filo di acciaio zincato o di alumoweld costituito da acciaio ricoperto da uno strato di alluminio. Alla

fune di guardia non si richiede una resistenza elettrica molto bassa ma un buon carico di rottura.

Inoltre si sta diffondendo l’utilizzo di funi di guardia, all’interno delle quali scorrono fibre ottiche con

la funzione di trasportare segnali relativi alla diagnostica della rete e segnali relativi alla rete internet.

Figura 1.2 Fune di guardia da 11,5mm formata da 7 trefoli e munita di 24 fibre ottiche

9

1.5.2 Isolatori

Per quanto riguarda gli isolatori questi possono essere costruiti con diversi materiali tra cui porcellana,

vetro pyrex, vetro bianco hardex, vetro verde speciale, vetro temprato e composti polimerici o in

silicone. Il compito a cui devono adempiere non riguarda solamente quello di isolare le parti a diversa

tensione ma anche quello di collegare meccanicamente i conduttori al sostegno, impedendo che le

varie distanze tra le parti in tensione, anche in seguito ad oscillazioni dei conduttori, possano ridursi

pericolosamente.

Caratteristiche elettriche:

Rigidità dielettrica di massa e di superficie: valori dell’intensità del campo elettrico capaci di

determinare rispettivamente la scarica attraverso la massa del materiale e la scarica

superficiale, cioè la scarica che avviene lungo la superficie dell’isolante. Tali valori

dipendono dal tipo di materiale impiegato e sono influenzati in modo marcato dalla presenza

di umidità e/o eventuali impurità presenti sulla superficie.

Costante dielettrica: è un valore molto importante in quanto, essendo in presenza di due

mezzi isolanti differenti aria ed isolatori, caratterizzati da costanti dielettriche differenti

devono essere posizionati in maniera opportuna in modo tale da mantenere le sollecitazioni

entro valori tollerabili.

Resistività di massa e superficiale: sono valori che risentono della presenza di umidità,

impurità e dell’aumento di temperatura. Si deve avere un’elevata resistenza di isolamento

onde evitare dispersioni a terra e quindi perdite dovute all’imperfetta tenuta degli isolatori.

Queste perdite assieme all’effetto corona concorrono per ciascuna fase alla formazione della

conduttanza trasversale presente nello schema monofase alla sequenza diretta di una linea

aerea. Da ricordare inoltre che le dispersioni superficiali aumentano considerevolmente in

caso di nebbia, piogge e atmosfere inquinate come ad esempio zone industriali.

Linea di fuga: questo valore indica la distanza più breve lungo la superficie di un isolatore

passante tra due parti conduttrici.

Caratteristiche meccaniche:

Devono presentare grande resistenza meccanica soprattutto per gli isolatori che hanno la

funzione ulteriore di sostegno o ancoraggio di linee aeree, in relazione agli sforzi su di essi a

causa della tensione meccanica dovuta al peso dei conduttori e ai sovraccarichi dovuti al

vento, neve e al ghiaccio. A volte devono essere considerate le forze elettrodinamiche che

entrano in gioco tra conduttori a seguito di un guasto.

Caratteristiche chimiche:

Sono molto importanti relativamente al materiale che costituisce l’isolatore in quanto

reazioni chimiche più o meno lente possono originare nel tempo variazioni di tipo meccanico

e o elettrico che ne alterano le prestazioni (invecchiamento).

10

L’isolamento degli elettrodotti in AT ed AAT viene realizzato con isolatori a cappa e perno in vetro

temprato di tipo normale o antisale, connessi tra loro a formare catene di elementi. Per le linee in

pianura e in condizioni medie il numero di isolatori da impiegare nelle catene in sospensione può

essere determinato empiricamente con la formula:

115

kVUn (1.2)

dove kVU è la tensione concatenata in kV.

Figura 1.3 Catena di isolatori cappa e perno doppia e singola.

Per catene a V la formula empirica fornisce un valore troppo alto di isolatori, ad esempio per una linea

in AAT con 380kVU kV le due catene che formano la V possono essere equipaggiate con 21

elementi al posto dei 27 forniti dalla (1.2). Nelle catene ad amarro, cioè le catene che svolgono

l’ulteriore onere di sopportare il tiro di una tratta di linea (sezionatore meccanico) il numero di

isolatori può essere aumento di una o due unità. In montagna invece il numero di isolatori viene

aumentato in modo tale da sostenere in modo efficace le sovratensioni dovute alle fulminazioni.

Analogamente vengono aumentati per linee attraversanti zone industriali oppure vicine al mare a

causa dei depositi salini che si possono formare (vedi Tabella 1.3 ) la formula (1.2) rimane ancora

valida nel caso di catene doppie, il cui utilizzo è obbligatorio nel caso la linea elettrica passi al di

sopra di reti ferroviarie, strade e autostrade ovvero dove l’art. 2.3.06 del Regolamento di esecuzione

per linee aeree esterne prescrive l’impiego di rinforzi in modo da evitare la caduta del conduttore in

caso di rottura di un isolatore. Alcune volte per limitare le oscillazioni della catena in sospensione essa

viene equipaggiata con un contrappeso.

11

Tabella 1.3 Tenuta degli isolatori [8]

LIVELLO DI

INQUINAMENTO DEFINIZIONE

MINIMA SALINITA’ DI

TENUTA (kg/m2)

Nullo o leggero

Zone prive di industrie e con

scarsa densità di abitazioni

dotate di impianto di

riscaldamento;

Zone con scarsa densità di

industrie e abitazioni, ma

frequentemente soggette a

piogge e/o venti;

Zone agricole;

Zone montagnose

Occorre che tali zone distino almeno

10-20 km dal mare e non siano

direttamente esposte a venti marini.

10

Medio

Zone con industrie non

particolarmente inquinanti e

con media densità di abitazioni

dotate di impianto di

riscaldamento;

Zone ad alta densità di

industrie e/o abitazioni, ma

frequentemente soggette a

piogge e/o venti;

Zone esposte ai venti marini,

ma non troppo vicine alla costa

(distanti almeno alcuni

chilometri) .

40

Pesante

Zone ad alta densità industriale

e periferie di grandi

agglomerati urbani ad alta

densità di impianti di

riscaldamento producendo

sostanze inquinanti;

Zone prossime al mare e

comunque esposte a venti

marini di entità relativamente

forte

160

Eccezionale

Zone di estensione

relativamente modesta,

soggette a polveri o fumi

industriali che causano

depositi particolarmente

conduttivi;

Zone di estensione

relativamente modesta molto

vicine a coste marine e battute

da venti inquinanti molto forti;

Zone desertiche, caratterizzate

da lunghi periodi di assenza di

piogge, esposte a tempeste di

sabbia e sali, e soggette a

intensi fenomeni di

condensazione.

(*)

12

1.5.3 Sostegni

Possono essere di diverso tipo, la cui scelta è condizionata da diversi fattori tra cui l’altezza che

dipende dal livello di tensione, il peso, la forma e la disponibilità di materiale per la loro

realizzazione. Si dividono principalmente in due categorie:

A PALO principalmente utilizzati in BT e MT costruiti in:

o cemento armato centrifugato

o cemento armato precompresso

o cemento armato vibrato

o acciaio a stelo unico

o vetro resina

o legno

A TRALICCIO utilizzati in AT e AAT raramente in MT e BT, hanno una struttura reticolare

realizzata con profilati di acciaio zincato del tipo a L a lati uguali. Sono formati da quattro

montanti che costituiscono un tronco di piramide a base quadrata, dai tralicci di collegamento

dei montanti e dalle mensole a cui sono sospesi gli isolatori; tali mensole possono essere

varie per ovviare a particolari esigenze quali altezza ingombro etc., hanno un basso rapporto

peso/altezza e hanno la possibilità di essere montati sul posto. Queste tipologie di sostegni

posso essere ulteriormente suddivisi in TRADIZIONALI o COMPATTI. La prima tipologia

installata fino agli anni ’70 è costituita da tralicci dalla forma a Y e a D costituiti da strutture

di tipo massiccio ed ingombrante. A partire dagli anni ’70, si è iniziato ad installare tralicci

che rispondessero ad esigenze ambientali mantenendo o migliorando, le caratteristiche

tecnico-strutturali e di costo dei precedenti. Questa tipologia di sostegni è stata realizzata per

l’utilizzo in zone ad alta densità di popolazione o in zone paesaggisticamente pregiate. Nei

sostegni compatti le sollecitazioni di tipo meccanico avvengono principalmente per trazione

o per compressione, gravando così in maniera ridotta, rispetto al sostegno tradizionale, sulle

fondazioni.

Ogni sostegno è caratterizzato da un numero diverso di elementi strutturali in funzione della sua

altezza:

parte comune: è l’elemento strutturale costituito dal tronco superiore fino all’attacco della

base relativa al sostegno di altezza 9 m. Esso ospita il gruppo mensole;

tronchi: sono costituiti da parti di struttura di 6 m di altezza, comprendono sempre 4 montanti

e due magli complete di tralicciatura per ogni faccia;

13

base: si intende un elemento strutturale composto soltanto da un riquadro di base e da alcuni

tralicci complementari al di sopra di esso, la base costituisce l’elemento di unione tra i piedi e

l’ultimo tronco;

piedi: i montanti di ciascun elemento strutturale “piede” si arrestano al piano di campagna.

Figura 1.4 Esempio di traliccio per doppia terna con una fune di guardia

1.5.4 Fondazioni

Nei sostegni tradizionali di tipo a traliccio, ciascun sostegno è dotato di quattro piedi e delle relative

fondazioni.

La fondazione è la struttura interrata atta a trasferire i carichi strutturali (compressione, trazione e

taglio) dal sostegno al sottosuolo.

Le fondazioni standard di tipo unificato sono utilizzabili su terreni normali, di buona o media

consistenza, mentre su terreni con scarse caratteristiche geo meccaniche, su terreni instabili o su

terreni allagabili le fondazioni vengono, di volta in volta, progettate ad hoc.

Ciascun piedino di fondazione è composto da:

a) un blocco di calcestruzzo armato costituito da una base, che appoggia sul fondo dello scavo,

formata da una serie di platee (parallelepipedi a pianta quadrata) sovrapposte; suddetta base è

simmetrica rispetto al proprio asse verticale;

b) un colonnino a sezione circolare, inclinato secondo la pendenza del montante del sostegno;

c) un “moncone” annegato nel calcestruzzo al momento del getto, collegato al montante del “piede”

del sostegno. Il moncone è costituito da un angolare, completo di squadrette di ritenuta, che si collega

14

con il montante del piede del sostegno mediante un giunto a sovrapposizione. I monconi sono

raggruppati in tipi, caratterizzati dalla dimensione dell’angolare, ciascuno articolato in un certo

numero di lunghezze [8].

Nel caso dei sostegni di tipo tubolare la fondazione è invece costituita da un blocco unico in cemento

armato.

1.6 Costanti elettriche delle linee

Il funzionamento di una linea elettrica può essere descritto attraverso alcuni parametri caratteristici e

sostanzialmente invariabili, che vengono chiamati costanti elettriche della linea e sono:

la resistenza elettrica e l’induttanza che devono essere considerati, a livello concettuale,

collegati in serie ai singoli conduttori di linea;

la capacità e la conduttanza di dispersione che devono essere considerati, a livello

concettuale, derivate fra ciascuna coppia di conduttori e fra ciascuno di essi e il suolo.

In generale tali grandezze possono essere considerate uniformemente distribuite lungo l’intero

sviluppo di un determinato tronco di linea che viene in questo modo caratterizzato indicando la

resistenza elettrica e l’induttanza per chilometro di lunghezza di ogni singolo conduttore e le

corrispondenti capacità e conduttanze derivate fra conduttori e tra conduttori e il suolo.

In questo modo ad ogni chilometro di linea si fa corrispondere, sempre in maniera concettuale, uno

schema elettrico Figura 1.5.

Figura 1.5 Modello monofase riferito alla sequenza diretta di una linea aerea

Va detto che i valori delle costanti elettriche di una linea dipendono dalle caratteristiche costruttive

della linea stessa, cosicché le capacità e le conduttanze di dispersione risultano particolarmente

15

importanti per le linee in cavo, mentre possono risultare trascurabili per le linee aeree, contrariamente

invece per le induttanze, il cui valore aumenta all’aumentare della distanza tra i conduttori, che

possono risultare trascurabili per linee in cavo ma non per linee aeree.

1.6.1 Resistenza elettrica dei conduttori

La resistenza elettrica di un conduttore filiforme della lunghezza di un chilometro e di sezione S

(mm2) è espressa da:

S

lr C 20

[Ω/km] (1.3)

dove con ρ viene definita la resistività del conduttore a 20°C in (Ω·mm2/km) e dipende in primo luogo

dal tipo di materiale utilizzato.

Solitamente però il valore della resistenza chilometrica del conduttore viene fornita dal costruttore;

essendo questa riferita alla temperatura di 20°C deve essere riportata alla temperatura di esercizio

tramite la seguente formula:

20120 Crr [Ω/km] (1.4)

in cui:

è la temperatura di esercizio alla quale si vuole determinare la resistenza [°C]

è il coefficiente di aumento della resistività con la temperatura [°C-1

]

Va tenuto conto che per un conduttore a fascio avente n subconduttori in parallelo si ha:

n

rrfascio

_

[Ω/km] (1.5)

La resistenza calcolata con le formule riportate sopra deve essere aumentata dal 2 al 3,5% in modo

tale da considerare:

la maggior lunghezza effettiva del conduttore rispetto alla lunghezza topografica della linea a

causa dei colli morti e delle frecce;

perdite addizionali dovute ai giunti;

effetto pelle;

perdite per isteresi e correnti parassite nell’anima di acciaio del conduttori bimetallici in

All-Acc.

16

1.6.2 Induttanza dei conduttori

Una linea di trasmissione percorsa da corrente può essere assimilata ad una o più spire molto allungate

e viene perciò a trovarsi concatenata con un determinato flusso: se le correnti in linea sono alternate o

comunque variabili, i lati di tali spire diventano sede di una determinata f.e.m. indotta, della quale può

essere tenuto conto attribuendo un opportuno coefficiente di autoinduzione ad ogni singolo

conduttore. Va anche tenuto conto del contributo fornito da tutti gli altri conduttori della linea, la cui

influenza sul primo da luogo all’effetto di mutua induttanza. Il flusso totale sul conduttore è dato dalla

somma dei vari contributi come riportato nella (1.6).

3132121111 iMiMiL (1.6)

in cui:

1 è il flusso totale concatenato con il conduttore 1;

11L è coefficiente fittizio di auto induttanza;

1312,MM sono i coefficienti fittizi di mutua induttanza rispettivamente tra il conduttore

1 e 2 ed il conduttore 1 e 3.

1.6.2.1 Coefficiente di autoinduzione di una linea trifase con struttura simmetrica

Inizialmente consideriamo una linea trifase con struttura simmetrica, cioè con conduttori disposti ai

vertici di un triangolo equilatero e con una distanza dal suolo sufficiente per poter trascurare gli effetti

delle correnti smagnetizzanti indotte, inoltre si assuma l’ipotesi che 0i ciò significa che non è

presente la componente di sequenza omopolare; sotto queste ipotesi il flusso concatenato con il

conduttore 1, di diametro d1, risulta applicando la (1.6):

13

3

12

2

1

112

1log46,0

2

1log46,0

1log46,005,0

Di

Di

di (1.7)

essendo dalle ipotesi DDD 1312 e

132 iii si ha:

1

132

1

11

2log46,005,0

2

1log46,0

1log46,005,0

d

Di

Dii

di (1.8)

Quindi nel caso di una linea trifase con neutro non percorso da corrente il coefficiente di

autoinduzione da attribuire a ciascun conduttore è:

17

d

D

iL

2log46,005,0

1

11 (1.9)

ponendo321 dddd .

1.6.2.2 Induttanza di esercizio di una linea trifase dissimmetrica con trasposizione delle fasi

Nel caso di dissimmetria della linea la si può suddividere in tre tronconi di uguale lunghezza e ruotare

in maniera ciclica la disposizione delle fasi; ovvero si effettua la trasposizione. Inoltre nell’ipotesi che

la linea sia costituita da conduttori aventi lo stesso diametro 321 dddd e che sia percorsa

da una terna di correnti priva di componente omopolare e costante lungo la linea, si può dimostrare

che, per l’intera linea, si può assumere un coefficiente di autoinduzione medio per chilometro

chiamato induttanza di esercizio definito da:

d

DL m

e

2log46,005,0 (1.10)

in cui mD è la distanza media geometrica tra le fasi (GMD), definita da:

3132312 DDDDm (1.11)

Il termine 0,05 mH/km dipende dal fatto che il conduttore è massiccio con corrente uniformemente

distribuita. Con corde bimetalliche, come ad esempio quelle in All-Acc, il nucleo in acciaio partecipa

solamente in minima parte alla conduzione della corrente e quindi non ha campo magnetico interno.

Per ovviare a ciò si introduce il termine 'k che tiene conto del flusso interno al conduttore ed è quindi

influenzato dalla formazione del conduttore stesso e della permeabilità del materiale da cui esso è

costituito. Sotto queste considerazioni l’induttanza di esercizio diventa:

2/

log46,0 10

'

d

GMDkLe [mH/km] (1.12)

Se il termine 'k viene espresso da:

''10

' 1log46,0

kk (1.13)

18

la (1.12) può essere riscritta nella forma:

''10

2/log46,0

kd

GMDLe

[mH/km] (1.14)

Il termine ''2/ kd viene definito raggio medio equivalente (GMR) ovvero il raggio di un

conduttore fittizio senza flusso interno (conduttore cavo), che equivale al conduttore reale agli

effetti dell’induttanza.

1.6.3 Capacità tra conduttori e tra conduttori e suolo

Nelle linee elettriche di trasmissione ogni conduttore riferito ad un altro conduttore o alla terra

costituisce una forma particolare di condensatore del quale i due conduttori considerati, oppure il

conduttore e la terra, sono le armature, e l’aria o altro mezzo che le separa ne è il dielettrico. Ogni

linea di trasmissione si presenta in generale come un sistema più o meno complesso di condensatori,

derivati fra le varie coppie di conduttori e fra ciascun conduttore e il suolo; nella realtà però il sistema

in questione risulta ulteriormente complicato a causa della presenza degli isolatori, dei sostegni e di

altri conduttori connessi a terra oppure a potenziali determinati, posti nelle vicinanze.

Per tener conto della capacità effettivamente presentata dal sistema, possiamo supporre che lungo la

linea a determinati intervalli regolari, siano derivate fra ciascuna coppia di conduttori, e fra ciascun

conduttore e la terra, dei veri condensatori di capacità equivalente a quella corrispondente ai tronchi

successivi in cui la linea è stata idealmente suddivisa. Per una linea a due conduttori si ha lo schema di

Figura 1.6.

Figura 1.6 Schema elettrico equivalente della distribuzione delle capacità dei conduttori di una linea bifilare.

19

Se la linea considerata è adibita al trasporto di corrente alternata, fra le armature di ciascun

condensatore agisce una determinata d.d.p. pure alternata, e attraverso ciascun condensatore si avrà

pertanto una determinata corrente capacitiva, di valore efficace CVIc e sfasata di 90° in

anticipo rispetto alla tensione che la produce. In ciascuno dei tronchi di linea quindi, la corrente totale

risulta così dalla sovrapposizione delle correnti di esercizio che la linea trasmette e dalle correnti

assorbite da tutti i condensatori derivati a valle del tronco considerato; procedendo da un tronco

all’altro la corrente totale in linea varia quindi in modulo e fase. Essendo le capacità uniformemente

distribuite lungo la linea la corrente risulta in realtà variabile con continuità in modulo e fase.

1.6.3.1 Linea bifilare

Nel caso di linea bifilare composta da due conduttori di diametro uguale d, posti fra loro alla distanza

D ad una altezza h dal suolo sono caratterizzati da una capacità totale equivalente:

h

Dd

DC

21

2log

075,12

10

'

12 [nF/km] (1.15)

Nell’espressione (1.15) vengono inclusi gli effetti delle capacità parziali derivate rispettivamente fra i

due conduttori e fra questi e il suolo. Facendo riferimento alla Figura 1.6 si ha la seguente relazione di

equivalenza:

'

20

'

10

'

20

'

10'

12

'

12cc

cccC

(1.16)

nella quale si descrive il parallelo di '

12c con la serie tra'

10c '

20c .

Nel caso in cui h sia sufficientemente grande rispetto a D, così da poter ritenere trascurabile l’effetto

del suolo la (1.15) risulta essere pari a:

d

DC

2log

075,12

10

'

12 [nF/km] (1.17)

20

1.6.3.2 Linea trifase con i tre conduttori disposti secondo i vertici di un triangolo equilatero

Si deve innanzitutto determinare la capacità totale equivalente tra due conduttori come nella (1.15),

assumendo come h l’altezza dal suolo del baricentro del triangolo Figura 1.7.

Figura 1.7 Schemi per la determinazione delle capacità equivalenti di una linea trifase simmetrica.

Come si può notare dalla Figura 1.7 si possono avere due tipi di collegamento:

Triangolo Figura 1.7b '

12

'

3

2CC

(1.18)

Stella Figura 1.7c '

12

' 2CCY (1.19)

Unendo la (1.18) e la (1.19) si ricava la relazione tra le capacità equivalenti a triangolo e a stella come

riportato nella (1.17):

'' 2 CCY

(1.20)

1.6.3.3 Linea trifase con conduttori dissimmetrici

In questa situazione si assume al posto di D la distanza media geometrica fra i tre conduttori come

riportato nella (1.11). Per i conduttori disposti in piano orizzontale o verticale con i due conduttori

esterni disposti in maniera simmetrica rispetto al conduttore centrale si ha:

123

12 26,12 DDD (1.21)

21

1.6.4 Conduttanza chilometrica trasversale

Le perdite di potenza che dipendono direttamente dall’entità della tensione di esercizio in una linea

aerea non sono solamente quelle dovute all’eventuale effetto corona, ma anche quelle dovute agli

isolatori (perdita di conduttanza superficiale e in piccola parte, perdite nel dielettrico). La somma di

queste perdite viene descritta come:

ic ppp [W] (1.22)

Tali perdite per km di linea si assegna una conduttanza chilometrica data da:

22 E

pp

E

pg ic [Siemens/km] (1.23)

con E si indica la tensione efficace stellata in V [9].

23

Capitolo 2

TECNICHE E TEOREMI UTILIZZATI PER LA

DETERMINAZIONE DELL’IMPEDENZA

OMOPOLARE

2.1 Trasposizione delle fasi

In molti teoremi viene richiesta la simmetria strutturale della linea elettrica, simmetria che si ottiene o

disponendo i conduttori ai vertici di un triangolo equilatero (soluzione non sempre possibile) oppure

attraverso la trasposizione delle fasi. Tale trasposizione si ottiene suddividendo la linea in esame in tre

tronchi di uguale lunghezza e variando la posizione di ogni singola fase in maniera ciclica Figura 2.1.

Figura 2.1 Schema semplificativo di una trasposizione delle fasi

La trasposizione delle fasi si effettua usualmente nelle linee di AT e di AAT.

24

2.2 Tecnica di cancellazione dei conduttori passivi

L’applicazione di questa tecnica ci permette di determinare il valore delle impedenze alle sequenze

quando nel sistema sono presenti conduttori passivi come le funi di guardia. In questa breve

spiegazione la matrice alle impedenze determinata con la teoria di Carson, viene sostituita con una

matrice simbolica per rendere più facili e comprensivi i vari passaggi.

UR

=

Z11 Z12 Z13 Z14

•

iR

US Z21 Z22 Z23 Z24 iS

UT Z31 Z32 Z33 Z34 iT

UFune Z41 Z42 Z43 Z44 iFUNE

Ipotizzando che la tensione UFune sulla fune di guardia sia nulla (ipotesi che risulta ragionevole in

considerazione del fatto che essa è a terra ad ogni campata) si può scrivere:

Uf

=

Zff Zfg

•

if

0 Zgf Zgg ig

gggggf

gfgffff

iZiZ

iZiZu

0

fgfggg

gfgffff

iZZi

iZiZu

1 (2.1)

sostituendo la seconda nella prima si ricava:

fgfggfgfffgfggfgffff iZZZZiZZZiZu

11 (2.2)

in cui il termine tra parentesi è la matrice alle impedenze ridotta, cioè una matrice in cui

compaiono i soli conduttori di fase ma con inglobati gli effetti dei conduttori passivi [10].

gfggfgffridotta ZZZZZ1

[Ω/km] (2.3)

25

2.3 Teoria di Carson-Clem

Le linee elettriche aeree fanno capo a trasformatori ubicati nelle varie cabine primarie della rete

magliata che hanno il centro stella a terra.

A differenza della situazione in corrente continua dove l’assenza di effetto di prossimità tra linea e

terreno determina delle linee di corrente che fluiscono tra gli estremi delle cabine per il percorso più

breve, nel caso della corrente alternata ciò non accade e le linee di corrente si addensano nella zona

sottostante la linea aerea seguendola in tutte le evoluzioni del tracciato. Quindi è chiaro come nel

calcolo dell’impedenza omopolare bisogna considerare la resistività del terreno e la distribuzione della

corrente in esso.

Figura 2.2 Distribuzione della corrente omopolare di ritorno

Tale problema trova soluzione andando a determinare le auto (2.4) e le mutue (2.5) impedenze del

nostro sistema mediante le formule semplificate di Carson-Clem[11]:

GMR

DjfrZ e

iiii ln10210987,0 43 [Ω/km] (2.4)

ij

eij

d

DjfZ ln1021099,0 43 [Ω/km] (2.5)

26

I cui termini che compaiono si riferiscono a:

iir resistenza chilometrica espressa in [Ω/km] del conduttore i;

ir raggio del conduttore i in [m];

ijd distanza del conduttore i dal conduttore j in [m];

eD denominata distanza di Carson, rappresenta la distanza dei conduttori dal

baricentro delle correnti che ritornano nel terreno. Tale valore viene determinato

dalla:

f

D tCarson

658 [m] (2.6)

t resistività del terreno in [Ω·m]

f è la frequenza della corrente che percorre i conduttori in [

Va tenuto conto che le formule di Carson-Clem possono essere applicate fintantoché le distanze

massime tra i conduttori siano minori a CarsonD135,0 . Nel caso generale di una linea elettrica aerea

alla frequenza di 50 HZ con una resistività del terreno compresa tra 100 1000 Ω·m si ha una

2950930CarsonD [m], quindi per poter applicare la teoria di Carson-Clem la distanza ijd tra i

conduttori deve essere inferiore a circa 125 m per una resistività di 100 Ω·m e di circa 398 m per una

resistività di 1000 Ω·m; sapendo che le distanze massime a cui si possono trovare i conduttori di una

linea elettrica aerea ad AAT oscillano nell’intorno dei 20 m si può concludere dicendo che la teoria in

oggetto più essere tranquillamente utilizzata per il calcolo dell’impedenza omopolare di linee

elettriche aeree in AAT [7].

2.4 Teoria dei componenti simmetrici.

Nel normale funzionamento le tensioni sono simmetriche ed i carichi sono equilibrati. Nel caso in cui

si hanno carichi squilibrati, guasti o interruzioni di fasi si vengono ad avere squilibri e dissimmetrie.

Nel caso di carichi squilibrati è necessario valutare come essi producano squilibri nelle correnti e

dissimmetrie nelle tensioni delle macchine e delle linee. Per analizzare tali situazioni, torna utile

l’impiego della teoria dei componenti simmetrici.

Tale teoria è stata introdotta per la prima volta da C.L. Fortescue nel 1918 durante la 34a Annual

Convention of the American Institute of Electrical Engineers. Egli provò che “ un sistema di n vettori

può essere scomposto, quando n è un numero primo, in n differenti gruppi o sistemi simmetrici, uno

27

dei quali costituito da n vettori uguali e i rimanenti (n-1) costituiti da n vettori equi spaziati che con il

primo gruppo menzionato di vettori formano un ugual numero di sistemi n-fase simmetrici”.

Nella nostra situazione operativa abbiamo a che fare con un sistema di tre vettori dissimmetrici che,

seguendo la teoria di Fortescue, possono essere scomposti nella somma di tre terne simmetriche di

fasori:

Una terna simmetrica di fasori di uguale ampiezza e sfasati di 120° l’uno dall’altro secondo il

senso orario, definita SEQUENZA DIRETTA;

Una terna simmetrica di fasori di uguale ampiezza e sfasati di 120° l’uno dall’altro secondo il

senso antiorario, definita SEQUENZA INVERSA;

Una terna di fasori uguali in ampiezza senza reciproco sfasamento, definita SEQUENZA

OMOPOLARE O ZERO.

Figura 2.3 Scomposizione di una terna generica alle sequenze

28

Osservazioni

Le stelle che hanno gli stessi vertici differiscono per la terna omopolare;

La stella con terna omopolare nulla ha il centro nel baricentro del triangolo che ha gli stessi

vertici delle stelle, tale stella è detta pura.

Il vettore che caratterizza la terna omopolare di una stella è rappresentato dal segmento che

unisce il centro della stella al baricentro del triangolo;

Le considerazioni finora fatte sulle tensioni valgono anche per le correnti;

Per le reti simmetriche si può definire un’impedenza alla sequenza diretta, un’impedenza alla

sequenza inversa e un’impedenza alla sequenza omopolare.

Tutte queste osservazioni possono essere tradotte in linguaggio matematico introducendo l’operatore

120je che corrisponde ad una rotazione antioraria di 120° del fasore con il quale viene

moltiplicato senza variarne l’ampiezza. A questo punto possiamo scrivere:

SEQ. DIRETTA ,,1,,1,, 2

11

2

1111 TSRTSR UUUUUU

SEQ. INVERSA 2

2

2

22222 ,,1,,1,, TSRTSR UUUUUU

SEQ. OMOPOLARE 1,1,11,1,1,, 200000 TSRTSR UUUUUU

Quindi la terna dissimmetrica iniziale può essere scritta come somma delle tre terne alle sequenze

appena determinate:

2

2

10210

21

2

0210

210210

RRRTTTT

RRRSSSS

RRRRRRR

UUUUUUU

UUUUUUU

UUUUUUU

. (2.7)

Sommando membro a membro le tre equazioni e sapendo che 01 2 si ricava la

componente di sequenza zero in funzione dei fasori di fase ovvero:

3

3 00TSR

RRTSR

UUUUUUUU

(2.8)

Sommando membro a membro e moltiplicando la seconda equazione per e la terza per 2 si

ottiene:

3

32

11

2 TSRRRTSR

UUUUUUUU

(2.9)

29

Infine sommando membro a membro e moltiplicando la seconda equazione per 2 e la terza per

si ottiene:

3

32

22

2 TSRRRTSR

UUUUUUUU

(2.10)

Raggruppando la (2.8), (2.9) e la (2.10) si ottiene:

3

3

3

2

2

2

1

0

TSRR

TSRR

TSRR

UUUU

UUUU

UUUU

(2.11)

I due sistemi (2.7) e (2.11) sopra descritti possono essere rappresentati tramite matrici non appena si

definisce la matrice di Fortescue come:

2

2

1

1

111

3

1F e la sua inversa

2

21

1

1

111

F

Considerando ora due vettori,

T

S

R

f

U

U

U

U ed

2

1

0

R

R

R

s

U

U

U

U , il primo rispondente alle tensioni di

fase mentre il secondo alle grandezze alle sequenze, si possono scrivere in forma matriciale i sistemi

(2.7) e (2.11) descritti sopra:

fS UFU e Sf UFU 1

(2.12)

Se una rete trifase è simmetrica, l’applicazione in essa di una terna di tensioni di una data sequenza vi

produce solo terne di correnti della stessa sequenza. Si assume generalmente che gli elementi delle

normali reti trifasi (alternatori, linee, trasformatori) godano di queste proprietà, in conseguenza delle

loro caratteristiche costruttive trascurando effetti secondari. La stessa ipotesi si può assumere per i

normali carichi trifasi (come ad esempio motori asincroni e carichi equilibrati in generale). Inoltre si

può assumere le tre fasi in condizione di simmetria rispetto al terreno [7].

30

2.4.1 Bipolo alla sequenza diretta

Considerando una linea generica attiva trifase e simmetrica e supponiamo, come generalmente accade,

che nel normale funzionamento le tensioni impresse dai generatori siano costituite da terne di

sequenza diretta e che in base a ciò vengano contrassegnate le fasi. In corrispondenza di una sezione

generica S nella rete, si evidenziano i morsetti R,S,T ordinati secondo il senso ciclico e il morsetto 0

corrispondente a seconda dei casi al terreno o al conduttore di neutro.

Generalmente le tensioni a vuoto vTvSvR EEE ,, del generatore equivalente formano una terna di

tensioni di sequenza diretta vvv EEE 11

2

1 ,, che è presente ai morsetti R,S,T,0 nel normale

funzionamento che si sta considerando Figura 2.4.

Figura 2.4 Circuito equivalente per una rete simmetrica alla sequenza diretta

Qualora la terna di tensioni a vuoto fosse dissimmetrica, è possibile scomporla nelle sue terne di

componenti diretta, inversa ed omopolare applicando, vista la linearità del sistema, il principio di

sovrapposizione.

Le tre impedenze 1Z alla sequenza diretta, sono quelle che si potrebbero misurare dai morsetti

R,S,T,0 una volta annullata la terna vvv EEE 11

2

1 ,, cioè annullando le forze elettromotrici di tutti

i generatori della rete reale, diseccitandoli ma mantenendoli in rotazione. A questo punto se si applica

una terna di tensioni alla sequenza diretta '

1

'

1

2'

1 ,, EEE si ottiene così una terna di correnti

'

1

'

1

2'

1 ,, III di sequenza diretta tali che

1'

1

'

1 ZI

E (2.13)

31

Tale 1Z viene definita impedenza alla sequenza diretta. Quanto sopra descritto viene riassunto nella

Figura 2.5.

Figura 2.5 Circuito per la determinazione dell'impedenza alla sequenza diretta in una rete simmetrica, resa

passiva.

Si può concludere dicendo che qualsiasi regime permanente alla sequenza diretta del generatore

equivalente di Figura 2.4 è definito in modo completo da quello della fase 1, cioè quello del bipolo

attivo alla sequenza diretta Figura 2.6, per il quale si può scrivere:

1111 EIZE v (2.14)

Figura 2.6 Bipolo equivalente alla sequenza diretta.

[7]

32

2.4.2 Bipolo alla sequenza inversa

Facendo riferimento alla linea generica presa in considerazione per il bipolo alla sequenza diretta, il

suo comportamento alla sequenza inversa vista ai morsetti R,S,T,0, può essere ricondotta al generatore

equivalente di Figura 2.7. La terna di sequenza inversa deve essere nota non solo in ampiezza ma

anche in fase, con riferimento alla terna di tensioni a vuoto alla sequenza diretta.

Le tre impedenze 2Z alla sequenza inversa, sono quelle che si potrebbero misurare dai morsetti

R,S,T,0 annullando le forze elettromotrici di tutti i generatori della rete reale (diseccitandoli ma

mantenendoli in rotazione). A questo punto se si applica una terna di tensioni alla sequenza inversa

'

2

2'

2

'

2 ,, EEE si ottiene così una terna di correnti '

2

2'

2

'

2 ,, III di sequenza inversa Figura 2.8

tali che

2'

2

'

2 ZI

E (2.15)

Tale 2Z viene definita impedenza alla sequenza inversa.

Figura 2.7 Circuito equivalente per una rete simmetrica alla sequenza inversa

E’ importante ricordare che il valore di 2Z è diverso da quello di 1Z tutte le volte che nella rete

sono presenti macchine rotanti; tuttavia, in certi casi, sarà accettata l’ipotesi semplificativa 21 ZZ .

Inoltre quando sulla rete sono presenti trasformatori con gruppo diverso da zero la terna di sequenza

inversa subisce, nel passaggio da primario a secondario, uno sfasamento contrario a quello della terna

diretta.

33

Figura 2.8 Circuito per la determinazione dell'impedenza alla sequenza inversa in una rete simmetrica, resa

passiva.

Come visto per la rete alla sequenza diretta il comportamento alla sequenza inversa del generatore

equivalente è, a regime permanente, quello del bipolo attivo alla sequenza inversa Figura 2.9

esprimibile da:

2222 EIZE v (2.16)

Figura 2.9 Bipolo equivalente alla sequenza inversa

Come spesso accade vE 2 è nulla o trascurabile per cui il circuito di Figura 2.9 può essere

semplificato a quello del bipolo passivo alla sequenza inversa di Figura 2.10 per il quale vale la

seguente equazione:

222 EIZ (2.17)

34

Figura 2.10 Bipolo equivalente alla sequenza inversa in assenza di generatori di tale sequenza

[7]

2.4.4 Bipolo alla sequenza omopolare

Lo schema di Figura 2.11 rappresenta il generatore equivalente a cui può essere ricondotta la rete per

quanto riguarda il suo comportamento alla sequenza omopolare in regime permanente ai morsetti

R,S,T,0.

Figura 2.11 Circuito equivalente di una rete simmetrica alla sequenza omopolare

Anche in questo caso, come per la terna inversa , la terna di sequenza zero a vuoto deve essere

determinata sia in fase che in ampiezza rispetto a quella della terna di tensione a vuoto alla sequenza

diretta.

Le tre impedenze 0Z alla sequenza omopolare, sono quelle che si potrebbero misurare dai morsetti

R,S,T,0 annullando le forze elettromotrici di tutti i generatori della rete reale (diseccitandoli ma

mantenendoli in rotazione). A questo punto se si applica una terna di tensioni alla sequenza omopolare

'

0

'

0

'

0 ,, EEE si ottiene così una terna di correnti '

0

'

0

'

0 ,, III di sequenza omopolare Figura 2.12 tali

che

35

0'

0

'

0 ZI

E (2.18)

Tale 0Z viene definita impedenza alla sequenza omopolare.

Figura 2.12 Circuito per la determinazione dell'impedenza alla sequenza omopolare in una rete simmetrica, resa

passiva.

Dalla Figura 2.12 si può facilmente capire come siano influenti, nel funzionamento alla sequenza

omopolare, le caratteristiche del circuito di ritorno nel quale si sommano le tre correnti '

0I , dando così

una corrente risultante pari a'

03I . Ciò porta a capire il perché 0Z può assumere un valore assai

diverso dalla 1Z e dalla 2Z .

Dal generatore equivalente di Figura 2.11 si può passare al bipolo equivalente di Figura 2.13 sorretto

dall’equazione:

0000 EIZE v (2.19)

Figura 2.13 Bipolo equivalente alla sequenza zero

Nel caso in cui, come spesso accade, vE 0 sia nulla o trascurabile il bipolo di Figura 2.13 può essere

semplificato con quello passivo di Figura 2.14 sorretto dall’equazione:

36

000 EIZ (2.20)

Figura 2.14 Bipolo equivalente alla sequenza zero, reso passivo.

[7]

2.4.5 Matrici delle impedenze alle sequenze e alle fasi

Utilizzando le relazioni (2.12) e scrivendole anche per i vettori correnti fi e si così definiti:

T

S

R

f

I

I

I

i ;

2

1

0

R

R

R

S

I

I

I

i

è possibile scrivere le trasformazioni di Fortescue:

fS UFU ; fS iFi

(2.21)

Sf UFU 1

; Sf iFi

1

(2.22)

Si supponga di considerare un elemento della rete trifase che non ha forze elettromotrici interne e

possiede una struttura simmetrica, per esso si può scrivere la relazione matriciale (2.23) considerando

che la matrice delle impedenze alle sequenze ha struttura diagonale in quanto non contiene le mutue

impedenze tra le sequenze:

sSS i

R

R

R

ZU

R

R

R

I

I

I

Z

Z

Z

U

U

U

2

1

0

2

1

0

2

1

0

(2.23)

La (2.23) può essere riscritta considerando la prima delle (2.21) ovvero:

37

SSfSSfS iZFUiZUFU1

A questo punto considerando la seconda delle (2.22) si ha:

fffSf iZiFZFU 1

(2.24)

La (2.24) contiene la relazione che lega la matrice delle impedenze alle fasi con quella alle sequenze

ovvero:

fS ZFZF 1

(2.25)

Dalla (2.25) si ottiene inoltre:

Sf ZFZF 1 (2.26)

A questo punto si può determinare quali siano le impedenze alle sequenze SZ di un tripolo

simmetrico la cui matrice delle impedenze alle fasi fZ abbia auto impedenze tutte uguali a aZ e

tutte mutue impedenze uguali a mZ :

amm

mam

mma

f

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z

Applicando la (2.26) si ottiene:

ma

ma

ma

FZ

amm

mam

mma

F

S

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z

f

00

00

002

1

1

111

1

1

111

3

1

1

2

2

2

2

Ovvero le tre equazioni:

22

11

00 2

RmaR

RmaR

RmaR

IZZU

IZZU

IZZU

(2.27)

le quali mostrano che le tre reti alle sequenze sono disaccoppiate tra loro e possono quindi essere

studiate facendo ricorso a tre circuiti monofase [12].

39

Capitolo 3

METODI PER LA DETERMINAZIONE

DELL’IMPEDENZA OMOPOLARE

Per la determinazione dell’impedenza omopolare di una linea elettrica aerea in AT e AAT, si può

procedere prendendo come riferimento diverse teorie e quindi diverse formulazioni.

Le diverse formulazioni implementate derivano da:

Norma IEC 60909-2;

Nuove formule per il calcolo dell’impedenza omopolare delle linee elettriche aeree di AT di

F.M. Gatta, F. Iliceto e S. Lauria;

Teoria di Fortescue (già trattata nel paragrafo 2.4)

Tali formule sono state applicate sotto l’ipotesi di struttura della linea simmetrica; simmetria ottenuta

con la trasposizione delle fasi, inoltre per la determinazione delle auto e mutue impedenze necessarie

per la costruzione della matrice alle impedenze sono state applicate le formule semplificate di Carson-

Clem.

3.1 Norma IEC 60909-2

La norma IEC 60909-2 permette di determinare in modo diretto, cioè tramite l’applicazione di una

formula, l’impedenza omopolare partendo dai dati relativi ai conduttori, quali le sezioni e le distanze

tra gli assi degli stessi. Tale norma fornisce le relazioni per la determinazione delle impedenze nelle

diverse tipologie di sostegni:

Linea singola terna senza fune di guardia

Linea singola terna con una fune di guardia

Linea singola terna con due funi di guardi

Linea doppia terna con una fune di guardia

Linea doppia terna con due funi di guardia

Prima di andare ad analizzare caso per caso si devono considerare alcuni dati della linea quali:

3323121 LLLLLLm dddD [m] distanza media geometrica tra le fasi;

n n

E RrnR 1 [m] raggio equivalente del conduttore a fascio o raggio del conduttore di fase;

40

cR ed QR rispettivamente la resistenza del conduttore di fase e della fune di guardia in [Ω/km] a

20°C;

Qr raggio della fune di guardia [m];

rQ permeabilità relativa del materiale di cui è composta la fune di guardia;

t resistività del terreno supposto omogeneo [Ωm];

f frequenza in [Hz];

n numero sub conduttori;

f 2 pulsazione;

7

0 104 permeabilità magnetica dell’aria;

fD t

Carson

658 [m] distanza dei conduttori dal baricentro delle correnti che ritornano nel

terreno;

3QTQSQRQL dddd [m] distanza dei conduttori dalla fune di guardia.

3.1.1 Linea singola terna senza fune di guardia

3 2

00'

)0( ln34

1

28

3

ME

Carsonc

DR

D

nj

n

RZ

[Ω/km] (3.1)

Nella relazione (3.1) sopra riportata si può notare che il termine 8

3 0 non è altro che tre volte

la resistenza di ritorno delle correnti nel terreno mentre il termine n4

1

2

0

tiene conto del

campo magnetico all’interno del conduttore (ciò è valido solo per conduttori massicci o corde

monometalliche) .

Nel caso più frequente in cui il conduttore è bimetallico si deve considerate il fatto che il nucleo di

acciaio non partecipa che in minima parte alla conduzione della corrente e quindi non ha campo

magnetico interno. Per questo motivo nella formula sotto riportata viene introdotto il termine che

tiene conto del flusso interno al conduttore e quindi è influenzato dalla formazione del conduttore

stesso (massiccio, a corda mono o bimetallica) e dalla permeabilità del materiale da cui esso è

costituito.

41

3 210

'60'

)0( log46,03108

3

ME

Carsonc

DR

D

n

kj

n

RZ

[Ω/km] (3.2)

3.1.2 Linea singola terna con una fune di guardia

E’ importante ricordare che la presenza di una o due funi di guardia in All-Acc riduce il valore della

0X in misura tanto maggiore quanto più bassa è la resistenza della fune stessa (se le funi sono

costituite in solo acciaio l’effetto delle stesse sull’impedenza omopolare è trascurabile). Questo

effetto è riconducibile al fatto che, le correnti che si inducono nelle funi di guardia tendono, per la

legge di Lenz, ad opporsi alla causa che le ha generate e quindi tendono a smagnetizzare il campo

prodotto dalle correnti di fase e di conseguenza anche il flusso magnetico. Inoltre il vantaggio

dell’impiego di funi di guardia si riscontra nel fatto che mettono in parallelo tutti i sostegni così da

ridurre la resistenza totale di terra della linea [13].

QQE

QLEfg

Z

ZZZ

2

0

1

0 3 [Ω/km] (3.3)

Dove 0Z è l’impedenza di una linea a singola terna senza fune di guardia determinata nella (3.1) o

nella (3.2);

Q

CarsonrQ

QQQEr

DjRZ ln

428

00

[Ω/km] (3.4)

QL

CarsonQLE

d

DjZ ln

28

00

[Ω/km] (3.5)

3.1.3 Linea singola terna con due funi di guardia

EQQ

LEQQfg

Z

ZZZ

21

2

21

0

2

0 3 [Ω/km] (3.6)

Dove 0Z è l’impedenza di una linea a singola terna senza fune di guardia determinata nella (3.1) o

nella (3.2);

42

21

0021 ln

8282QQQ

CarsonrQQ

EQQdr

Dj

RZ

[Ω/km] (3.7)

6222111

0021 ln

28TQSQRQTQSQRQ

CarsonLEQQ

dddddd

DjZ

[Ω/km] (3.8)

Nella (3.7) 21QQd si riferisce alla distanza in metri tra le funi di guardia mentre nella (3.8)

TQSQRQTQSQRQ dddddd 222111 ,,,,, sono le distanze tra le fasi R, S e T e le funi di guardia 1Q e

2Q [13].

3.1.4 Linea doppia terna con una fune di guardia

QQE

QLE

LM

fg

Z

ZZZZ

2

0

1

0 63 [Ω/km] (3.9)

Dove 0Z si riferisce a quella determinata nella (3.1) o nella (3.2) mentre QQEZ e QLEZ sono quelle

determinate rispettivamente nella (3.4) e nella (3.5). Per quando riguarda il termine LMZ questo

viene determinato nel modo seguente:

LM

CarsonLM

d

DjZ ln

28

00

[Ω/km] (3.10)

in cui

311

2

21 MmLMmLLM ddd [m] (3.11)

Per meglio comprendere il significato dei singoli termini viene

riportata in Figura 3.1, a titolo di esempio, una testa di palo di una

linea a doppia terna con una fune di guardia:

333221111 MLMLMLMmL dddd [m] (3.12)

332132121 MLMLMLMmL dddd [m] (3.13)

Figura 3.1 Sostegno per linea a

doppia terna con una fune di

guardia

43

3.1.5 Linea doppia terna con due funi di guardia

EQQ

LEQQ

LM

fg

Z

ZZZZ

21

2

21

0

2

0 63 [Ω/km] (3.14)

Dove 0Z si riferisce a quella determinata nella (3.1) o nella (3.2) mentre per LEQQZ 21 si rimanda

alla (3.8) e per EQQZ 21 alla (3.7) [13].

3.2 Nuove formule per il calcolo dell’impedenza omopolare delle linee

elettriche aeree di AT

Premessa

Partendo dalla considerazione che le funi di guardia delle linee elettriche aeree in AT sono usualmente

collegate a terra attraverso gli impianti di terra dei sostegni e delle stazioni terminali, risulta chiaro

che, tali funi, influenzano il valore dell’impedenza omopolare della linea. In generale però, come nei

due metodi descritti sopra, le funi vengono considerate al potenziale di terra così da trascurare l’effetto

delle resistenze di messa a terra dei sostegni e delle stazioni.

Nell’articolo pubblicato ne “L’Energia Elettrica- Volume 79 (2002)-Ricerche” da Fabio Gatta,

Francesco Iliceto e Stefano Lauria viene proposta una nuova formulazione per il calcolo

dell’impedenza omopolare in cui vengono prese in considerazione anche le resistenze dei sostegni e

delle sottostazioni.

Il metodo

Il calcolo dell’impedenza omopolare avviene partendo dalla matrice simmetrica delle impedenze

longitudinali per unità di lunghezza i cui elementi, come già specificato in precedenza, vengono

calcolati con la teoria di Carson. Per una linea trifase dotata di tre conduttori di fase e una fune di

guardia, la matrice è la seguente:

333231

232221

131211

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z [Ω/km]

44

Il circuito equivalente a cui si fa riferimento è riportato in Figura 3.2; dove la conduttanza

dell’impianto di terra dei sostegni per unità di lunghezza, xg p , supposta uniformemente distribuita

e definita dalla relazione:

)(

11

, xrcRxg

piip

p

in cui ic è la lunghezza della campata vento relativa al sostegno i-esimo.

Figura 3.2 a)Circuito equivalente di una campata di una linea aerea; b)Circuito elementare di lunghezza dx del

sistema conduttori-FG-resistenze d terra dei sostegni.

In generale le grandezze )(xg p e )(xrp sono variabili lungo la linea, in maniera dipendente dalla

resistenza di terra dei singoli sostegni, piR , e della lunghezza ic della campata. Nonostante quanto

detto, al fine del calcolo di 0Z , è lecito sostituire a )(xg p e )(xrp i valori medi calcolati per

l’intera linea mg e

mr .

Se si trascura l’ammettenza trasversale verso terra dei conduttori di fase, la corrente I0 negli stessi è

costante in tutti i punti della linea. Scrivendo le equazioni della rete elementare di Figura 3.2b e

integrandole tra le due estremità della linea si ottengono le equazioni del doppio bipolo equivalente

alla sequenza omopolare dell’intera linea. Da quest’ultime si ricava il circuito equivalente di Figura

3.3, che tiene conto delle resistenze di messa a terra delle due stazioni alle estremità della linea 1sR e

2sR .

45

Figura 3.3 Circuito equivalente della linea alla sequenza omopolare tenendo conto degli impianti di terra dei

sostegni e delle stazioni.

Nella Figura 3.3 i simboli hanno il seguente significato:

faofpocaocpo EEEE ,,, tensioni omopolari conduttore-terra e la tensione fune-terra alla

partenza e all’arrivo della linea di lunghezza a;

0I corrente omopolare nel conduttore di fase;

3

1, faofpo II delle correnti alle estremità della FG;

mccocc ZZZ 2 somma tra l’auto e due volte la mutua impedenza;

aKA fcosh e aKZB fof sinh , in cui mfof gzZ / e

mff gzK ;

B

AY

1;

fpofpooo IAEAIAV 123 33 (3.15)

in cui:

aKK

zA f

f

mcf sinh1

;

1cosh2

aK

zz

A fff

mcf ;

aKaKzKz

Afffff

mcf

sinh

2

3

46

dall’espressione di oV si ottiene mediante sviluppi analitici:

o

s

f

f

mcf

o I

BY

aZZ

ZV

1

13

12

2

2

(3.16)

In cui 12sY è la serie delle ammettenze

1

1

1

s

pR

YY e

2

2

1

s

pR

YY .

Si ottiene a questo punto la seguente espressione dell’impedenza omopolare oZ :

aZ

Z

Z

ZZZZ

f

p

f

mcf

mcco 132

2

[Ω/km] (3.17)

In cui con pZ si indica l’impedenza parallelo tra B e 121 sY .

Analizzando la formula (3.17) si può osservare che:

1. Se le resistenze di terra 21 ss RR delle stazioni sono nulle, oppure se si assumono nulle le

resistenze di terra pR dei sostegni, risulta 21 pp YY , 0pZ e pertanto la (3.17)

coincide con le equazioni determinate dalla IEC e dalla teoria dei componenti simmetrici;

2. Se le funi di guardia sono isolate dai sostegni 0,,0 YaZBg fm , ma sono

collegate alle reti di terra delle stazioni alle due estremità di linea, poiché

risulta 2112 1 sss RRY , la oZ è tanto più vicina al valore delle IEC e della teoria

dei componenti simmetrici quanto più il valore di 1sR e

2sR è piccolo così da avere:

aZRR

aZZZZ

fss

mcf

mcco

21

2

32 [Ω/km] (3.18)

3. Se le funi di guardia non sono connesse alle reti di terra di stazione cioè

21 ss RR il valore di oZ dipende solo da pR e dalla lunghezza della linea

(oltre che da fZ e mcfZ ):

BYaZ

aZ

ZZZZ f

f

mcf

mcco12

132

2

2

[Ω/km] (3.19)

47

In quest’ultimo caso, per linee lunghe e/o dotate di pR basse, risultando

1cosh aK fla (3.17) si trasforma nella:

off

f

mcf

mcco ZaZaZ

ZZZZ 232

2

2

[Ω/km] (3.20)

in cui ofZ è l’impedenza caratteristica del sistema funi di guardia-resistenze di terra dei

sostegni [14].

49

Capitolo 4

CALCOLO DELL’IMPEDENZA OMOPOLARE

PER DIVERSI TIPI DI LINEA

4.1 Linea singola terna con una fune di guardia in acciaio

La linea in oggetto è una classica linea elettrica aerea italiana a 220 kV con fune di guardia in acciaio

e conduttori singoli in All-Acc. Per la caratterizzazione si veda quanto riportato sotto:

Frequenza Hz50

10pR resistenza di terra dei singoli sostegni

1,021 ss RR resistenza di terra di stazione

m100 resistività del terreno

mc 400 lunghezza campate.

Per le distanze tra i conduttori si faccia riferimento alla Figura 4.1 in cui

viene illustrato il traliccio utilizzato in Italia per linee a 220 kV singola

terna equipaggiato con una fune di guardia. Mentre per quanto riguarda la

fune di guardia e i conduttori si faccia riferimento rispettivamente alla

Figura 4.2 e alla Figura 4.3.

Figura 4.1 Traliccio

singola terna con una

fune di guardia per linea

a 220 kV

50

Formazione n° x d (mm) 19x2,30

Sezione (mm2) 78,95

Massa teorica (kg/m) 0,621

Resistenza elettrica a 20°C (Ω/km) 2,014

Carico di rottura (daN) 12,231

Modulo di elasticità finale (N/mm2) 175 000

Coefficiente di dilatazione (1/°C) 11,5x10-6

GMR (mm) 5,75

Figura 4.2 Caratteristiche della fune di guardia

Fune di guardia FUNE DI GUARDIA

51

Formazione n° x d (mm)

Alluminio:54x3,50

Acciaio:19x2,10

Sezioni Teoriche (mm2)

Alluminio:519,5

Acciaio:65,8

Totale:585,3

Massa teorica (kg/m) 1,982


Carico di rottura (kg) 17 161

Carico di rottura (daN) 16 835

Modulo di elasticità finale (kg/mm2) 6500

Coefficiente di dilatazione (1/°C) 19,3x10-6

GMR (mm) 12,836

Figura 4.3 Caratteristiche del conduttore di fase

Conduttore

52

4.1.1 Analisi simbolica

Per meglio comprendere come viene implementato e risolto il problema della determinazione

dell’impedenza omopolare, viene, in un primo tempo, analizzato mediante una notazione simbolica

(con l’ausilio di MATLAB simbolico) tale da facilitare la comprensione dei passaggi analitici;

successivamente, mediante l’analisi numerica, verrà risolto il problema nello specifico.

HGFE

GADC

FDAB

DCBA

Z simbolica [Ω/km] (4.1)

Nella (4.1) è definita la matrice alle impedenze in notazione simbolica; andando ora ad applicare la

“Tecnica di eliminazione dei conduttori passivi” descritta nel capitolo 2 si ottiene la matrice ridotta:

H

GA

H

GFD

H

GEC

H

GFD

H

FA

H

FEB

H

GEC

H

FEB

H

EA

Z ridotta

2

2

2

[Ω/km] (4.2)

Moltiplicando la (4.2) per il vettore

1

1

1

; che corrisponde ad una terna di correnti omopolari, si

ottengono le tensioni omopolari delle tre fasi. Essendo il valore di corrente unitario, le tensioni

ottenute sono uguali al valore delle impedenze omopolari sulle tre fasi, quindi:

53

H

GF

H

GE

H

GDCA

H

GF

H

FE

H

FDBA

H

GE

H

FE

H

ECBA

Z

Z

Z

oT

oS

oR

2

2

2

[Ω/km] (4.3)

In conclusione il valore dell’impedenza omopolare è dato dalla media dei valori delle tre fasi:

H

GFEDCBA

ZZZZ oToSoR

o33

2

3

2

3

2

3

2

[Ω/km] (4.4)

Confrontando quest’ultima equazione con la corrispondente determinata dalle “Nuove formule per il

calcolo dell’impedenze omopolare di linee elettriche aeree in AT” si ha che:

Tabella 4.1 Tabella di confronto

SIMBOLICO IMPEDENZE GATTA-LAURIA-ILICETO DESCRIZIONE

3

AAA 3

332211 ZZZ

cZ media auto impedenze

3

DCB 12Z mcZ media mutue impedenze

H 44Z fZ auto impedenza fune di

guardia

3

GFE 3

342414 ZZZ

mcfZ media mutue impedenze

conduttori-fune

H

GFE

DCBAZ o

2

33

32

[Ω/km] (4.5)

f

mcf

mccoZ

ZZZZ

2

32 [Ω/km] (4.6)

54

Dalla Tabella 4.1 si nota immediatamente che le “Nuove formule per il calcolo dell’impedenze

omopolare di linee elettriche aeree in AT” a meno della parte relativa alle resistenze delle stazioni e

dei tralicci si basa sulla teoria di Fortescue.

4.1.2 Analisi numerica

Passando ora all’analisi numerica della linea in oggetto si ottiene la seguente matrice alle impedenze:

8260,00633,23507,00493,03714,00493,03954,00493,0

3507,00493,07755,01057,03605,00493,03880,00493,0

3714,00493,036050493,07755,01057,03684,00493,0

3954,00493,03880,00493,03684,00493,07755,01057,0

jjjj

jjjj

jjjj

jjjj

Z [Ω/km]

Tale matrice è necessaria per la determinazione dei parametri fmcc ZZZ ,, e mcfZ mentre per

l’applicazione della teoria di Fortescue è richiesta la determinazione, tramite la tecnica di

cancellazione dei conduttori passavi, della matrice ridotta:

6797,01335,02633,00794,02893,00821,0

2633,00794,06770,01382,02683,00848,0

2893,00821,02683,00848,06736,01443,0

jjj

jjj

jjj

Z ridotta [Ω/km]

Per quanto riguarda invece l’applicazione della norma IEC sono sufficienti i dati della linea.

Il valore dell’impedenza omopolare rilevato con i vari metodi viene riportato nella Tabella 4.2.

55

Tabella 4.2 Valori di impedenza rilevati con i vari metodi

METODO Zdiretta[Ω/km] Zomopolare[Ω/km]

IEC 0,0563+j0,4060 0,3021+j1,2221

ALGORITMO

MATRICIALE (AM) 0,0565+j4031 0,3029+j1,2241

ILICETO-GATTA-LAURIA

(L=50 km, Rp=10Ω,

Rs1=Rs2=0,1Ω)

0,3028+j1,2243


(L=100 km, Rp=10Ω,

Rs1=Rs2=0,1Ω))

0,3028+j1,2242


(L=200 km, Rp=10Ω,

Rs1=Rs2=0,1Ω))

0,3029+j1,2241

Dalla Tabella 4.3 si può verificare che le differenze dei valori ottenuti tra i vari metodi sono molto

basse sia che si considerino o meno le resistenze di messa a terra dei sostegni e delle sottostazioni.

Tabella 4.3 Confronto dei risultati ottenuti

METODI A CONFRONTO REALE

[%]

IMMAGINARIA

[%]

MODULO

[%]

IEC/AM 0,2641 0,1634 0,1692

IEC/ ILICETO-GATTA-LAURIA

(50km) 0,2312 0,1797 0,1826


(100km) 0,2312 0,1715 0,1749


(200km) 0,2641 0,1634 0,1692

AM/ ILICETO-GATTA-LAURIA

(50km) 0,033 0,0163

0,0135


(100km) 0,033 0,0081 0,0058


(200km) 0 0 0

Il confronto viene effettuato nel seguente modo:

1002

11%

valore

valoredifferenza (4.7)

56

4.1.3 Analisi parametrica

Le “Nuove formule per il calcolo dell’impedenza omopolare delle linee elettriche aeree di AT” ci

permettono di andare a studiare il sistema parametrizzando il valore della lunghezza, di pR e di

sR della linea e di riportare in un grafico i vari andamenti della parte reale e della parte immaginaria

dell’impedenza omopolare.

Figura 4.4 Variazione della parte reale ed immaginaria dell'impedenza omopolare al variare della lunghezza

Come si può vedere dalla Figura 4.4 già da lunghezze di circa 25 km i valori determinati con

l’algoritmo matriciale e con le formule di Iliceto-Gatta-Lauria possono essere considerati coincidenti

inoltre il confronto tra queste e la norma IEC porta a degli errori che sono trascurabili Tabella 4.3.

Per quanto riguarda invece l’andamento della curva relativa alla parte reale di Figura 4.4 possiamo

affermare che questa aumenta con la lunghezza in quanto, essendo la fune di guardia in acciaio,

57

l’accoppiamento induttivo tra questa e i conduttori risulta essere basso e ciò si ripercuote in un

aumento della parte reale dell’impedenza omopolare.

Figura 4.5 Variazione della parte reale ed immaginaria dell'impedenza omopolare al variare della resistenza delle

stazioni

La variazione della resistenza di sottostazione, come viene rappresentato nella Figura 4.5, da un valore

compreso tra 0,02 Ω e 3 Ω porta ad una variazione sia della parte reale che immaginaria

dell’impedenza omopolare di alcuni mΩ. Prendendo come riferimento i valori estremi della resistenza

in esame si può determinare che per 02,01sR il valore dell’impedenza omopolare risulta essere

pari a 2241,13029,0 jZo [Ω/km]; confrontando tale valore con quelli ottenuti dall’algoritmo

matriciale e dalla norma IEC si ha una differenza in termini di modulo rispettivamente dello 0,001 %

58

e dello 0,168%. Se ora imponiamo 31sR , il valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari

a 2250,13023,0 jZo [Ω/km] che confrontato con l’algoritmo matriciale e con la norma IEC

porta rispettivamente ad una differenza sempre in termini di modulo dello 0,055% e dello 0,222%.

Figura 4.6 Variazione della parte reale ed immaginaria dell'impedenza omopolare al variare della

resistenza dei tralicci

Analizzando ora il caso in cui sia la resistenza di messa a terra dei sostegni a variare Figura 4.6, da un

valore compreso tra 1 Ω e 30 Ω; si nota che anche in questo caso la variazione e di qualche decimo di

mΩ. Prendendo come riferimento i valori estremi della resistenza in esame si può determinare che per

Rp=1Ω il valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari a 22415,1302846,0 jZo

[Ω/km]; confrontando tale valore con quelli ottenuti dall’algoritmo matriciale e dalla norma IEC si ha

una differenza in termini di modulo rispettivamente del 4,67×10-3

% e dello 0,134%. Se ora

imponiamo Rp=30Ω il valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari a

59

22416,1302844,0 jZo [Ω/km] che confrontato con l’algoritmo matriciale e con la norma IEC

porta rispettivamente ad una differenza sempre in termini di modulo del 5,07×10-3

% e dello 0,171%.

Figura 4.7 Parte reale ed immaginaria dell'impedenza omopolare al variare della resistività del terreno

60

4.2 Linea singola terna con una fune di guardia in All-Acc

In questo caso la fune di guardia e i conduttori di fase sono dello stesso tipo (Figura 4.3); si vuole

perciò fare un confronto tra il caso in oggetto e il caso riportato nel paragrafo 4.1.

La matrice alle impedenze risulta essere:

7755,01057,03507,00493,03714,00493,03954,00493,0

3507,00493,07755,01057,03605,00493,03880,00493,0

3714,00493,03605,00493,077551057,03684,00493,0

3954,00493,03880,00493,03684,00493,07755,01057,0

jjjj

jjjj

jjjj

jjjj

Z [Ω/km]

alla quale corrisponde una matrice ridotta data da:

5931,00831,01698,00266,01878,00264,0

1698,00266,05760,00828,01587,00263,0

1878,00264,01587,00263,05548,00826,0

jjj

jjj

jjj

Zridotta[Ω/km]



IEC 0,0563+j0,4060 0.1358+j0.9190

ALGORITMO

MATRICIALE (AM) 0,0564+j0,4025 0.1357+j0.9189


(L=50 km, Rp=10Ω,

Rs1=Rs2=0,1Ω)

0.1378+j0.9189


(L=100 km, Rp=10Ω,

Rs1=Rs2=0,1Ω)

0.1368+j0.9189


(L=200 km, Rp=10Ω,

Rs1=Rs2=0,1Ω)

0.1357+j0.9189

61

Tabella 4.5 Confronto dei risultati ottenuti


[%]

IMMAGINARIA

[%]

MODULO

[%]

IEC/AM 0,0737 0,011 0,0122


(50km) 1,45 0,011 0,021


(100km) 0,731 0,011 0,0051


(200km) 0,073 0,011 0,011


(50km) 1,5239 0

0,0332


(100km) 0,8041 0 0,0173


(200km) 0,3671 0 0,0054

Il confronto dei valori della Tabella 4.5 viene eseguito applicando la (4.7).

62


Come si può vedere dalla Figura 4.8 i metodi sono praticamente coincidenti al di sopra dei 50 km per

la parte reale e al di sopra di circa 10 km per la parte immaginaria.

Per quanto riguarda l’andamento della curva relativa alla parte reale di Figura 4.8 possiamo affermare

che questa diminuisce con la lunghezza, a differenza del caso di fune in acciaio, in quanto

l’accoppiamento induttivo tra questa e i conduttori risulta essere molto alto e ciò si ripercuote in una

diminuzione della parte resistiva dell’impedenza. Inoltre per quanto riguarda la parte reattiva si nota

una diminuzione rispetto al caso di fune in acciaio ciò e spiegabile in quanto le correnti indotte nella

fune in All-Acc tendono, per la legge di Lenz, ad opporsi alla causa che le ha generate e quindi

tendono a smagnetizzare il campo prodotto dalle correnti di fase e conseguentemente anche il flusso

magnetico.

63

Figura 4.9 Variazione della parte reale ed immaginaria dell'impedenza omopolare al variare della resistenza di

stazione

La variazione della resistenza di sottostazione, come viene rappresentato nella Figura 4.9, da un valore

compreso tra 0,02 Ω e 3 Ω porta ad una variazione sia della parte reale che immaginaria

dell’impedenza omopolare di alcuni decimi di Ω. Effettuando un’analisi come nel caso precedente

per 02,01 sR Ω il valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari a

9189,01364,0 jZo [Ω/km]; confrontando tale valore con quelli ottenuti dall’algoritmo

matriciale e dalla norma IEC si ha una differenza in termini di modulo rispettivamente dello 0,11% e

del 3,22×10-3

%. Se ora imponiamo 31 sR Ω il valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari

a 9217,01440,0 jZo [Ω/km] che confrontato con l’algoritmo matriciale e con la norma IEC

porta rispettivamente ad una differenza sempre in termini di modulo dello 0,43% e dello 0,42%.

64


terra dei sostegni

Analizzando ora il caso in cui sia la resistenza di messa a terra dei sostegni a variare Figura 4.10, da

un valore compreso tra 1 Ω e 30 Ω; si nota che la variazione e di qualche centesimo di mΩ.

Prendendo come riferimento i valori estremi della resistenza in esame si può determinare che per

1pR Ω il valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari a 918939,0136714,0 jZo


una differenza in termini di modulo rispettivamente dello 0,02% e del 9,47×10-3

%. Se ora

imponiamo 30pR Ω il valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari a

91888,0136778,0 jZo [Ω/km] che confrontato con l’algoritmo matriciale e con la norma

IEC porta rispettivamente ad una differenza sempre in termini di modulo dello 0,015 % e

del 4,5×10-3

%.

65

Figura 4.11 Parte reale ed immaginaria dell'impedenza omopolare al variare della resistività del terreno

66

4.2 Linea singola terna con due funi di guardia

La linea in oggetto, installata in Gran Bretagna alimentata a 275 kV, è costituita da due funi di guardia

e la disposizione dei conduttori è lineare, come si può capire dal traliccio riportato in Figura 4.12. Per

la caratterizzazione si veda quanto riportato sotto:

Frequenza Hz50

10pR resistenza di terra dei singoli sostegni

1,011 ss RR resistenza di terra di stazione


mc 400 lunghezza campate.

n=2 numero sub-conduttori distanziati di 0,3 m

Figura 4.12 Traliccio per singola terna con due funi di guardia

Per le caratteristiche sia dei conduttori di fase che delle funi di guardia si faccia riferimento alla Figura

4.13.

L’analisi del problema viene affrontato, come nel problema del paragrafo 4.1, in prima battuta con

l’analisi simbolica, di più facile comprensione, successivamente mediante l’analisi numerica specifica

al problema da analizzare.

67

Formazione n° x d (mm) Alluminio:30x2,79

Acciaio:7x2,79


Alluminio:183,9

Acciaio:42,9

Totale:226,8

Massa teorica (kg/km) 846,7


Carico di rottura (kg) 7945

GMR (mm) 7,90965

Figura 4.13 Conduttore in All-Acc LYNX

LYNX

68


HLONM

LHGFE

OGADC

NFDAB

MECBA

Z simbolica[Ω/km] (4.8)

La (4.7) descrive la matrice alle impedenze in notazione simbolica.

Applicando la “Tecnica di eliminazione dei conduttori passivi” descritta nel capitolo due si ottiene la

matrice ridotta:

22

22

2222

2222

22

22

222222

22

2

2

2

LH

OLGOGHA

LH

OLFONGFHNLGD

LH

OLEOMGEHNLGC

LH

OLFONGFHNLGD

LH

NLFNFHA

LH

NLENMFEHMLFB

LH

OLEOMGEHMLGC

LH

NLENMFEHMLFB

LH

MLEMEHA

Z ridotta

Andando ora a moltiplicare la (4.8) per il vettore

1

1

1

; che corrisponde ad una terna di correnti

omopolari, si ottengono le tensioni omopolari delle tre fasi. Essendo il valore di corrente unitario, le

tensioni ottenute sono uguali al valore delle impedenze omopolari alle tre fasi, quindi:

LH

ONMGFEOG

LH

ONMGFEOGCBA

LH

ONMGFENF

LH

ONMGFENFCBA

LH

ONMGFEME

LH

ONMGFEMECBA

Z O

22

22

22

In conclusione il valore dell’impedenza omopolare è dato dalla media dei valori delle tre fasi:

LH

ONMGFE

LH

ONMGFEDCBAZ omedia

663

2

3

2

3

222

[Ω/km] (4.11)

(4.9)

[Ω/km](4.10)

69

Tabella 4.6 Tabella di confronto

SIMBOLICO IMPEDENZE GATTA-LAURIA-ILICETO DESCRIZIONE

3

AAA 3

332211 ZZZ

cZ media auto impedenze

3

DCB

12Z mcZ media mutue impedenze

H 44Z

22

4544 ZZLHZ f

auto impedenza fune di

guardia

L 45Z mutua impedenza tra le

funi di guardia

3

GFE 3

342414 ZZZ

mcfZ media mutue impedenze

conduttori-fune


Matrice alle impedenze:

]/[

8059,02068,03383,00493,03812,00493,03634,00493,03212,00493,0

3383,00493,08059,02068,03212,00493,03634,00493,03812,00493,0

3812,00493,03212,00493,06917,01281,03577,00493,03142,00493,0

3634,00493,03634,00493,03577,00493,06917,01281,03577,00493,0

3212,00493,03812,00493,03142,00493,03577,00493,06917,01281,0

km

jjjjj

jjjjj

jjjjj

jjjjj

jjjjj

Z

Ora applicando la teoria di cancellazione dei conduttori passavi si ricava la matrice ridotta:

]/[

4612,01138,01240,00344,00906,00328,0

1240,00344,04511,01138,01240,00344,0

0906,00328,01240,00344,04612,01138,0

km

jjj

jjj

jjj

Z ridotta

70

Come già indicato nel paragrafo 4.1.2 tali matrici servono rispettivamente per l’applicazione della

teoria di Fortescue e per l’applicazione delle “Nuove formule per il calcolo dell’impedenza omopolare

delle linee elettriche aeree di AT”.

I valori dell’impedenza omopolare del caso in esame rilevati con i vari metodi sono riportati nella

Tabella 4.7.



IEC 0,0788+j0,3497 0,1814+j0,6834

ALGORITMO MATRICIALE

(AM) 0,0799+j0,3449 0,1816+j0,6836


(L=100 km, Rp=10Ω,

Rs1=Rs2=0,1Ω)

0,1833+j0,6839


(L=200, Rp=10Ω, Rs1=Rs2=0,1Ω)

0,1824+j0,6838


(L=500 km, Rp=10Ω,

Rs1=Rs2=0,1Ω)

0,1819+j0,6837

Nella Tabella 4.8 sono riportati in termini percentuali le differenze, della parte reale, della parte

immaginaria e del modulo dei valori rilevati con i vari metodi.

Il confronto dei valori della Tabella 4.8 viene eseguito applicando la (4.7).

Tabella 4.8 Differenze percentuali sui valori rilevati


[%]

IMMAGINARIA

[%]

MODULO

[%]

IEC/ALG. MATRICIALE 0,11 0,029 0,034


(100km) 1,036 0,073 0,14


(200km) 0,55 0,058 0,091


(500km) 0,27 0,044 0,059


(100km) 0,927 0,044

0,10


(200km) 0,44 0,0292 0,056


(500km) 0,165 0,014 0,0245

71

4.2.3 Analisi parametrica


della linea

Come si può vedere dalla Figura 4.14 i metodi sono praticamente coincidenti al di sopra dei 50 km per

la parte reale mentre per quanto riguarda la parte immaginaria essa risulta praticamente coincidente al

di sopra dei 25 km.

Per l’andamento delle curve si rimanda alle considerazioni fatte per la Figura 4.8.

72

Figura 4.15 Variazione della parte reale ed immaginaria dell'impedenza omopolare al variare della resistenza

delle stazioni

Analizzando la Figura 4.15 con le stesse modalità usate per le figure precedenti si ha,

imponendo 02,01 sR Ω, un valore dell’impedenza omopolare pari a 6838,01826,00 jZ


una differenza in termini di modulo rispettivamente dello 0,07% e dello 0,099%. Se ora imponiamo

il 31 sR Ω valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari a 6902,01934,00 jZ

[Ω/km] che confrontato con l’algoritmo matriciale e con la norma IEC porta rispettivamente ad una

differenza sempre in termini di modulo dell’ 1,34% e dell’ 1,37%.

73


messa a terra dei tralicci.

Analizzando ora il caso in cui sia la resistenza di messa a terra dei sostegni a variare Figura 4.16, da

un valore compreso tra 1 Ω e 30 Ω; si nota che la variazione e di qualche centesimo di mΩ.

Prendendo come riferimento i valori estremi della resistenza in esame si può determinare che per

1pR Ω il valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari a 6839,018318,00 jZ


una differenza in termini di modulo rispettivamente dello 0,11% e dello 0,14%. Se ora imponiamo

30pR Ω il valore dell’impedenza omopolare risulta essere pari a 68391,018335,00 jZ

[Ω/km] che confrontato con l’algoritmo matriciale e con la norma IEC porta rispettivamente ad una

differenza sempre in termini di modulo dello 0,1 % e dello 0,13 %.

74

Figura 4.17 Variazione della parte reale ed immaginaria dell'impedenza omopolare al variare della resistività del

terreno

75

4.3 Linea doppia terna con una fune di guardia

La linea in oggetto è installata in Gran Bretagna; è costituita da una doppia terna con una fune di

guardia e la disposizione dei conduttori è schematizzata in Figura 4.18. Per la caratterizzazione si

veda quanto riportato sotto:

Frequenza Hz50


n=4 numero sub-conduttori distanziati di 0,3 m

Figura 4.18 Testa di palo della linea in esame

76

Formazione n° x d (mm) Alluminio:54x3,18

Acciaio:7x3,18


Alluminio:427,5

Acciaio:55,4

Totale:482,9

Massa teorica (kg/km) 1619


Carico di rottura (kg) 13245

GMR (mm) 11,66265

Figura 4.19 Conduttore in All-Acc ZEBRA

ZEBRA

77


La matrice simbolica del caso in esame è una 7×7 in cui sono espresse le auto e le mutue impedenze

dei conduttori e della fune di guardia.

VUTSRQP

UADCOLG

TDABNIF

SCBAMHE

RONMADC

QLIHDAB

PGFECBA

Z simbolica (4.12)

Applicando alla (4.12) la tecnica di cancellazione dei conduttori passivi si ottiene la matrice ridotta:

V

UA

V

UTD

V

USC

V

URO

V

UQL

V

UPG

V

UTD

V

TA

V

TSB

V

TRN

V

TQI

V

TPF

V

USC

V

TSB

V

SA

V

SRM

V

SQH

V

SPE

V

URO

V

TRN

V

SRM

V

RA

V

RQD

V

RPC

V

UQL

V

TQI

V

SQH

V

RQD

V

QA

V

QPB

V

UPG

V

TPF

V

SPE

V

RPC

V

QPB

V

PA

Z ridotta

2

2

2

2

2

2

(4.13)

moltiplicando la (4.13) per il vettore

0

0

0

1

1

1

; che corrisponde ad una terna di correnti omopolari nella

terna colpita dal guasto, si ottiene:

78

V

UR

V

UQ

V

UPOLG

V

TR

V

TQ

V

TPNIF

V

SR

V

SQ

V

SPMHE

V

RQ

V

RP

V

RCBA

V

RQ

V

QP

V

QCBA

V

RP

V

QP

V

PCBA

Z o

2

2

2

(4.14)

La matrice (4.14) rappresenta le auto (prime tre righe) e le mutue (ultime tre righe) impedenze

omopolari.

V

RQPDCBAZ oauto

332

2

(4.15)

V

UTSRQPONMLIHGFEZ omutua

3333 (4.16)

La (4.15) e la (4.16) rappresentano la media delle auto e delle mutue impedenze descritte nella (4.14).

79


La matrice alle impedenze che si ricava con i dati di inizio paragrafo è:

7093,01154,02708,00493,02319,00493,02141,00493,02141,00493,02319,00493,02708,00493,0

2708,00493,05181,00659,02792,00493,02434,00493,02283,00493,02412,00493,02644,00493,0

2319,00493,02792,00493,05181,00659,02913,00493,02398,00493,02404,00493,02412,00493,0

2141,00493,02434,00493,02913,00493,05181,00659,02528,00493,02398,00493,02283,00493,0

2141,00493,02398,00493,02398,00493,02528,00493,05181,00659,02913,00493,02434,00493,0

2319,00493,02412,00493,02404,00493,02398,00493,02913,00493,05181,00659,02792,00493,0

2708,00493,02644,00493,02412,00493,02283,00493,02434,00493,02792,00493,05181,00659,0

jjjjjjj

jjjjjjj

jjjjjjj

jjjjjjj

jjjjjjj

jjjjjjj

jjjjjjj

Z

Applicando la teoria di eliminazione dei conduttori passivi si ottiene la matrice ridotta:

4148,00450,01907,00288,01618,00289,01467,00289,01528,00288,01611,00285,0

1907,00288,04425,00459,02216,00297,01701,00297,01647,00294,01528,00288,0

1618,00289,02216,00297,04538,00465,01885,00300,01701,00297,01467,00289,0

1467,00289,01701,00297,01885,00300,04538,00465,02216,00297,01618,00289,0

1528,00288,01647,00294,01701,00297,02216,00297,04425,00459,01907,00288,0

16110285,01528,00288,01467,00289,01618,00289,01907,00288,04148,00450,0

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

Z ridotta

I valori di impedenza determinati tramite l’implementazione matriciale e l’applicazione della norma

IEC sono riportati nella Tabella 4.9.

Tabella 4.9 Valori di impedenza


IEC 0,0165+j0,2459 0,1917 + j1,3021

ALGORITMO

MATRICIALE (AM) 0,0167+j0,2457 0,1915 + j1,3042

Tabella 4.10 Confronto dei valori di impedenza omopolare ottenuti


[%]

IMMAGINARIA

[%]

MODULO

[%]

IEC/AM 0,11 0,16 0,16

Per effettuare un confronto valido tra i due metodi (Tabella 4.10) il valore dell’impedenza omopolare

ricavata dall’applicazione dell’algoritmo matriciale è dato come somma dell’auto e della mutua

impedenza all’omonima sequenza (valori medi). Ciò è dovuto al fatto che nella formula (3.9) fornita

dalla Norma IEC 60909-2 relativa al caso in questione, non viene determinata l’auto e la mutua

impedenza omopolare in maniera distinta, ma il tutto viene inglobato in un unico valore. Ciò equivale

[Ω/km]

[Ω/km]

80

a moltiplicare la ridottaZ per un vettore

1

1

1

1

1

1

così da ottenere il vettore

2278,11888,0

3423,11921,0

3425,11937,0

3425,11937,0

3423,11921,0

2278,11888,0

j

j

j

j

j

j

; ovvero

ipotizzando che il guasto coinvolga entrambe le terne, situazione che si verifica solo ai due estremi del

tronco di linea esaminato. Per quanto riguarda invece l’algoritmo matriciale, la ridottaZ viene

moltiplicata per un vettore

0

0

0

1

1

1

, ovvero si ipotizza che il guasto coinvolga una sola terna. Si ottiene

così il vettore

4605,00861,0

4875,00878,0

5053,00886,0

8372,01051,0

8548,01043,0

7673,01026,0

j

j

j

j

j

j

in cui i primi tre valori si riferiscono alle auto impedenze

omopolari mentre i secondi tre si riferiscono alle mutue impedenze omopolari.

Riassumendo, nel modello che vede l’applicazione della teoria di Fortescue si suppone di alimentare

con una terna di sequenza omopolare soltanto la terna in cui è avvenuto il guasto, mentre nel modello

che prevede l’applicazione della norma IEC 60909-2 si suppone di alimentare con una terna di

correnti alla sequenza omopolare sia la terna in cui è avvenuto il guasto sia la terna sana. La scelta di

alimentare entrambe le terne con una corrente omopolare ha la conseguenza di fornire un valore della

corrente di guasto corretto soltanto agli estremi della linea, mentre nel caso in cui il guasto sia

localizzato lungo la linea, tale valore non ha senso e risulta necessaria la conoscenza distinta delle

auto e delle mutue impedenze omopolari.

81

Capitolo 5

CONFRONTO TRA LA DETERMINAZIONE

SPERIMENTALE ED ANALITICA

DELL’IMPEDENZA OMOPOLARE

Introduzione

In questo capitolo verrà fatto un confronto tra i valori determinati sperimentalmente da A. Bossi e G.

Greselin su un tratto della linea a 380 kV La Spezia-Bovisio con quelli ottenuti implementando i

parametri di tale linea con la Teoria di Fortescue e le norme IEC. La linea in questione è caratterizzata

da una disposizione lineare dei conduttori i quali possono essere di tipo a fascio (trinato) oppure a

singolo conduttore.

5.1 Generalità

Essendo il sistema in esame costituito dalla disposizione lineare dei conduttori è necessario fare

alcune precisazioni, in quanto possono essere introdotte alcune semplificazioni rispetto ad un caso più

generale.

Le cadute di tensione presenti alle estremità di una linea trifase e le correnti circolanti nelle singole

fasi relativamente ai termini dei loro componenti simmetrici si ottengono le seguenti relazioni:

2221210202

2121110101

202101000

IZIZIZV

IZIZIZV

IZIZIZVo

(5.1)

In cui 10, VV e 2V sono le componenti alle sequenze delle c.d.t.,

10, II e 2I le corrispondenti

componenti delle correnti alle sequenze mentre le Z sono le auto e le mutue impedenze di sequenza

della linea.

82

Analizzando il problema partendo dalle c.d.t. ba VV , e

cV presenti tra le estremità delle fasi a, b

e c di una linea che sono funzioni lineari delle correnti circolanti ba II , e

cI si ha:

cccbcbacac

cbcbbbabab

cacbabaaaa

IZIZIZV

IZIZIZV

IZIZIZV

(5.2)

In cui vengono definite le auto iiZ e le mutue jiij ZZ impedenze tra le fasi. La (5.2) può

essere scritta in forma matriciale come:

fff IZV (5.3)

Applicando ora la teoria di Fortescue (vista nel capitolo 3) che esegue la trasformazione di una terna

di grandezze vettoriali nei componenti di sequenza omopolare, diretta ed inversa, considerati

nell’ordine, dalla (5.3) si deduce la:

1

FZFZ fs (5.4)

in cui sZ è definita come:

222120

121110

020101

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z s (5.5)

denominata matrice alle impedenze di sequenza.

Per le linee con disposizione dei conduttori in piano, assunta la fase centrale come riferimento (fase a)

risulta che:

ccbbaa ZZZ (5.6)

acab ZZ (5.7)

L’ipotesi fatta nella (5.6) è valida soltanto nella circostanza in cui si stia considerando linee prive di

funi di guardia altrimenti ccbbaa ZZZ ma essendo l’entità dell’errore assolutamente

trascurabile si può ammettere valida la (5.6) anche per linee equipaggiate con funi di guardia.

Giunti a questo punto possiamo semplificare la (5.4) nelle relazioni:

83

abbcaa ZZZZZ 23

12211

(5.8)

abbc ZZZZ 3

22112

(5.9)

abbcaa ZZZZ 23

200

(5.10)

211202012010

2

1

2

1ZZZZZZ (5.11)

dalle formule sopra descritte si può facilmente dedurre come la matrice alle impedenze secondo i

componenti simmetrici contiene solo i tre parametri indipendenti 1211, ZZ e 00Z .

Per la determinazione sperimentale dei tre parametri indipendenti 1211, ZZ e 00Z si preferisce

applicare il metodo dei componenti 0, α e β in quanto si basa su semplici misure monofasi delle auto e

delle mutue impedenze secondo i componenti sopra citati.

I componenti 0, α e β di tre vettori Va , Vb e Vc sono definiti da:

cb

cba

cba

VVV

VVVV

VVVV

3

1

3

1

3

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

10

(5.12)

Indicando con b la matrice

31310

112

111

3

1 (5.13)

che effettua la trasformazione di una terna di grandezze vettoriali nei sui componenti 0, α e β si

deduce che:

cfc IbZbV 1

(5.14)

in cui:

84

V

V

V

Vc

0

e

I

I

I

I c

0

Andando ad esprimere la (5.14), che rappresenta le c.d.t. presenti tra le estremità di una linea trifase e

le correnti circolanti nelle singole fasi in termini dei loro componenti 0, α e β, in modo esteso si

ottengono le relazioni:

IZIZIZV

IZIZIZV

IZIZIZV

00

00

000000

(5.15)

in cui iiZIIIVVV ,,,,,, 00 e ijZ sono rispettivamente le c.d.t le correnti e le auto e

mutue impedenze della linea secondo i componenti 0, α e β.

Dalla (5.14) si può ricavare:

1

bZbZ fc (5.16)

in cui cZ denominata matrice alle impedenze secondo i componenti 0, α e β è definita come:

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z c

0

0

0000

(5.17)

nel nostro caso, cioè di linea con disposizione in piano dei conduttori, si è visto che valgono le (5.6) e

(5.7) e quindi la (5.16) si semplifica nelle relazioni:

abbcaa ZZZZ 43

1 (5.18)

bcaa ZZZ (5.19)

abbcaa ZZZZ 23

200 (5.18)

85

ZZZZZZ bcaba 2

1

3

22 00

(5.19)

0000 ZZZZ (5.20)

quindi si può notare come la matrice delle impedenze 0, α e β contiene come parametri indipendenti le

sole autoimpedenze:

ZZ ,00 e Z .

Si può inoltre dimostrare, sempre nell’ ipotesi di linea con disposizione dei conduttori in piano,

tramite la (5.4) e la (5.16) le relazioni che legano le impedenze secondo i componenti 0, α e β con

quelle secondo i componenti simmetrici.

Dalla (5.4) e dalla (5.16) si ha:

11

abZbaZ cs (5.21)

la (5.21) esprime le impedenze secondo i componenti simmetrici in funzione di quelle secondo i

componenti 0, α e β.

A questo punto sotto le ipotesi fatte si possono ricavare le relazioni seguenti:

ZZZZ 2

12211

(5.22)

ZZZZ 2

12112

(5.23)

Mentre, per quanto riguarda l’impedenza alla sequenza omopolare, questa coincide con l’auto

impedenza secondo il componente 0 per definizione.

Si può a questo punto affermare che, tenendo conto della (5.22) della (5.23) e della (5.11), la

determinazione sperimentale di 0201201021122211 ,,,,,,, ZZZZZZZZ può essere fatta attraverso la

misura di Z e Z . Per quanto riguarda invece 00Z essendo comune ai due sistemi, cioè ai

componenti simmetrici e ai componenti 0, α e β può essere determinato direttamente [15].

86

5.2 Misura di Zαα

Tale misura viene effettuata applicando ad una estremità una tensione sinusoidale V tra il conduttore

centrale e gli altri due collegati tra loro, mentre all’altra estremità i tre conduttori di fase sono collegati

tra loro Figura 5.1.

Figura 5.1 Schema di misura dell'impedenza alla sequenza diretta

La corrente I che circola nel conduttore centrale si ripartisce in parti uguali nei due conduttori laterali;

quindi le componenti 0 e β delle correnti sono nulle ed il circuito è rappresentato dall’equazione:

IZV (5.24)

relazione che si ottiene dalle (5.15) ponendo 00 II .

Dalle equazioni (5.12) si deduce che:

VV3

2 (5.25)

e quindi

I

VZ

3

2 (5.26)

Come si può notare per determinare l’impedenza alla sequenza diretta sono sufficienti un voltmetro,

un amperometro ed un wattmetro [15].

87

5.2 Misura Zββ

Tale misura si effettua isolando la fase centrale e applicando una tensione sinusoidale tra i due

conduttori laterali collegati tra loro in entrambe le estremità.

Figura 5.2 Schema di misura dell'impedenza alla sequenza inversa

Come si può notare dalla Figura 5.2 sia la corrente che la caduta di tensione hanno ampiezza uguale e

segno contrario sui due conduttori laterali così da avere:

00 II e 00 VV (5.27)

Inoltre si può verificare che vale:

VV3

1 e II

3

2 (5.28)

Per cui dalla terza delle (5.15) si ottiene:

I

VZ

2

1 (5.29)

Anche per questa misura sono necessari solamente un voltmetro, un amperometro e un wattmetro

[15].

88

5.3 Misura di Z00

Per la misura di 00Z si pone in corto-circuito ad entrambe le estremità il tratto di linea da analizzare;

di cui una di queste viene posta a terra direttamente, mentre tra l’altra e la terra viene applicata una

tensione alternata sinusoidale.

Figura 5.3 Schema di misura dell'impedenza alla sequenza omopolare

Il circuito è descritto dall’equazione:

2021010000 IZIZIZV

(5.30)

Considerando che:

021 III (5.31)

000201 ZZZ (5.32)

La relazione (5.30) può essere semplificata cosi da ottenere:

0000 IZV (5.33)

Da cui

89

I

VVZ 21

00 3

(5.34)

Dove I è la corrente totale e V1 e V2 sono le tensioni verso terra misurate alle due estremità della linea.

Per l’esecuzione della misura sono quindi necessari due voltmetri, un amperometro e due wattmetri

[15].

5.4 Risultati delle misure

Le misure effettuate sono state eseguite su due tronchi della linea a 380 kV La Spezia-Bonvisio uno

armato con conduttore singolo, l’altro con conduttore trinato entrambi disposti in piano come riportato

in Figura 5.4.

Figura 5.4 Distanze e disposizione dei conduttori nei due casi in esame

La situazione descritta nella Figura 5.4A è caratterizzata da conduttori singoli disposti in piano con

conduttori in All-Acc aventi Φ=50 mm, r20°= 0.02914 [Ω/km] e k’’=0.852; mentre per quanto riguarda

le funi di guardia queste sono costruite in acciaio zincato aventi Φ=12.5 mm, r20°= 2.25154 [Ω/km] ; la

resistività del terreno è di 300 [Ω·m].

I valori determinati mediante le misure e mediante l’implementazione al computer sono riportati in

Tabella 5.1.

90

Tabella 5.1 Valore di impedenza ottenuti sperimentalmente ed analiticamente

TIPO DI

CONDUTTORE GRANDEZZE

SINGOLO

Z11 [Ω/km] Z00 [Ω/km]

MISURA 0,031+j0,404 0,31+j1,19

IEC 0,030 +j0,400 0,31+j1,16

ALGORITMO

MATRICIALE (AM) 0,030+j0,398 0,31+j1,16

Tabella 5.2 Confronto dei valori ottenuti

METODI A

CONFRONTO Impedenza diretta Impedenza omopolare

REALE

[%]

IMMAGINARIA

[%]

REALE

[%]

IMMAGINARIA

[%]

100

MISURA

MISURAIEC -3,22

-0,99

0 -2,52

100

MISURA

MISURAAM -3,22 -1,48 0 -2,52

Analizzando ora il caso di Figura 5.4B questo è caratterizzato da conduttori a fascio (trinato) disposti

sempre in piano con conduttori in All-Acc aventi Φ=31,5 mm, r20°= 0.05564 [Ω/km]; mentre per

quanto riguarda la fune di guardia si rimanda ai valori del caso A; la resistività del terreno è di 100 [

Ω·m].

I valori determinati mediante le misure e mediante l’implementazione al computer sono riportati in

Tabella 5.3.

91

Tabella 5.3 Valori si impedenza determinati con il metodo sperimentale ed analitico

TIPO DI

CONDUTTORE GRANDEZZE

Trinato

Z11 [Ω/km] Z00 [Ω/km]

MISURA 0,020+j0,27 0,27+j1,03

IEC 0,018+j0,269 0,28+j1,00

ALGORITMO

MATRICIALE (AM) 0,019 + j0,268 0,28+j1,00

Tabella 5.1 Confronto dei valori ottenuti

METODI A

CONFRONTO Impedenza diretta Impedenza omopolare

REALE

[%]

IMMAGINARIA

[%]

REALE

[%]

IMMAGINARIA

[%]

100

MISURA

MISURAIEC -10

-0,37

3,7 -2,91

100

MISURA

MISURAAM -5 -0,74 3,7 -2,91

Delle nove impedenze che caratterizzano una linea, nel caso di disposizione in piano dei conduttori

solo tre sono indipendenti ovvero 1211,ZZ e 00Z . Per la determinazione sperimentale di questi

parametri risulta conveniente applicare il metodo dei componenti 0, α e β che si basa su semplici

misure monofasi.

93

Conclusioni

Nel presente lavoro viene fatto un confronto tra diversi metodi analitici per la determinazione

dell’impedenza omopolare. Si è potuto riscontrare, attraverso casi reali, che la differenza tra i valori

determinati con l’ausilio di formulazioni che omettono le resistenze di terra dei sostegni e le resistenze

di terra delle stazioni terminali (algoritmo matriciale, norma IEC 60909-2) rispetto a formulazioni

nelle quali questi valori vengono considerati è inferiore all’1% per tronchi di linea superiori a 50 km.

Essendo le linee elettriche aeree di AT e ATT, quasi nella totalità dei casi di estensione maggiore,

possiamo affermare che, nel calcolo dell’impedenza omopolare le resistenze di messa a terra dei

sostegni e delle stazioni terminali possono essere omesse senza commettere errori rilevanti.

Una considerazione a parte va fatta per l’applicazione della norma IEC 60909-2 a casi in cui siano

presenti linee a doppia terna, in quanto essa prevede nel caso di guasto dissimmetrico, la circolazione

di correnti omopolari in entrambe le terne. Questa ipotesi porta ad una determinazione di impedenza

omopolare che risulta vera se il guasto si verifica a monte o a valle della linea ma se il guasto si

presenta in un punto intermedio del tronco considerato tale valore non è più valido e risulta necessaria

la conoscenza distinta tra auto e mutue impedenze alla sequenza zero.

In fine, dai risultati ottenuti tra la misura sperimentale e la determinazione analitica dell’impedenza

omopolare, si può affermare che i metodi analitici si avvicinano in maniera soddisfacente ai risultati

ottenuti dalle misure, ed essendo quest’ultime di non facile applicazione il compito della

determinazione dell’impedenza omopolare di linee elettriche aeree può, sotto opportune ipotesi, essere

demandato ai suddetti metodi.

95

Appendice

Di seguito vengo riportate le procedure scritte con il noto programma MATLAB utilizzate per la

determinazione dell’impedenza omopolare.

Il programma nel suo complesso è così formato:

1) Programma principale “main” nel quale vengo richiamati i sottoprogrammi;

2) Sottoprogramma “matrix” nel quale viene costruita la matrice alle impedenze relativa al caso

in esame e vengono determinate le distanze tra i vari conduttori;

3) Sottoprogramma “ridotta” nel quale viene definita la matrice ridotta secondo la tecnica di

cancellazione dei conduttori passivi;

4) Sottoprogramma “fortescue” nel quale viene determinata, attraverso la teoria dei componenti

simmetrici, la matrice delle impedenze alle sequenze;

5) Sottoprogramma “iecsingolaterna” nel quale viene determinata l’impedenza alla sequenza

omopolare secondo la norma IEC 60909-2 relativa ad una linea a singola terna;

6) Sottoprogramma “newformule” nel quale viene determinata l’impedenza alla sequenza

omopolare considerando le resistenze di messa a terra dei sostegni e delle stazioni terminali;

7) Sottoprogramma “newformuleparametrico” nel quale viene determinata l’impedenza

omopolare al variare della resistività del terreno, della resistenza di messa a terra dei

sostegni, della resistenza di messa a terra della stazione terminale e della lunghezza della

linea riportando i valori così determinati in appositi grafici;

8) Sottoprogramma “iecdoppiaterna” nel quale viene determinata l’impedenza alla sequenza

omopolare secondo la norma IEC 60909-2 relativa ad una linea a doppia terna.

9) Programma per l’analisi simbolica delle diverse tipologie di linea in esame;

10) File dati relativi ai casi analizzati.

97

1)

SO

TT

OP

RO

GR

AM

MA

MA

TR

IX

% SOTTOPROGRAMMA MATRIX

FileDati=input('Nome del file dati(.m)=','s');

eval(FileDati)

% determinazione raggio equivalente

if sub==1 % sub=numero di subconduttori

dc=(CONDUTTORI(1,5))/1000;

df=(CONDUTTORI(n,5))/1000;

GMR=((CONDUTTORI(1,5))/2000)*k2;

GMRf=((CONDUTTORI(n,5))/2000)*k2;

else

dc=2*(sub*((CONDUTTORI(1,5))/2000)*(R^(sub-1)))^(1/sub);

df=(CONDUTTORI(n,5))/1000;

GMR=(sub*((CONDUTTORI(1,5))/2000)*k2*(R^(sub-1)))^(1/sub);

GMRf=((CONDUTTORI(n,5))/2000)*k2;

end

% Ciclo for per determinare le distanze tra i conduttori

for i=1:n

for j=0:(n-1)

d(i,n-j)=sqrt((CONDUTTORI(i,2)-CONDUTTORI(n-j,2))^2+(CONDUTTORI(i,3)-CONDUTTORI(n-j,3))^2);

end

end

98

% Determinazione delle Auto e Mutue impedenze per la matrice alle impedenze

if (CONDUTTORI(n,5))==(CONDUTTORI(1,5))

for k=1:n

for j=1:n

if k==j

if k&&j>(n-b)

z(k,j)=CONDUTTORI(k,4)+pi^2*1E-4*f+1i*(4*pi*1E-4*f*log(dcarson/GMRf)); %[ohm/km]

else

z(k,j)=CONDUTTORI(k,4)/sub+pi^2*1E-4*f+1i*(4*pi*1E-4*f*log(dcarson/GMR));

end

else

z(k,j)=pi^2*1E-4*f+1i*(4*pi*1E-4*f*log(dcarson/d(k,j))); %[ohm/km]

end

end

end

else

for k=1:n

for j=1:n

if k==j

if k&&j>(n-b)

z(k,j)=CONDUTTORI(k,4)+pi^2*1E-4*f+1i*(4*pi*1E-4*f*log(2*dcarson/df)); %[ohm/km]

else


end

else


end

end

end

end

99

2) SOTTOPROGRAMMA PER LA DETERMINAZIONE DELLA

MATRICE RIDOTTA

% SOTTOPROGRAMMA PER LA DETERMINAZIONE DELLA MATRICE RIDOTTA

% zff for k=1:(n-b) for j=1:(n-b) zff(k,j)=z(k,j);

end end

%zfg for j=n-(b-1):n for k=1:(n-b) zfg(k,j-(n-b))=z(k,j);

end end

%zgf for j=1:(n-b) for k=n-(b-1):n; zgf(k-(n-b),j)=z(k,j);

end end

%zgg for k=n-(b-1):n for j=n-(b-1):n

zgg(k-(n-b),j-(n-b))=z(k,j); end end

zred=zff-zfg*zgg^-1*zgf; % Matrice ridotta

100

3) SOTTOPROGRAMMA IN CUI VIENE APPLICATA LA TEORIA

DEI COMPONENTI SIMMETRICI

%SOTTOPROGRAMMA IN CUI VIENE APPLICATA LA TEORIA DEI COMPONENTI

SIMMETRICI

a=-.5+1i*(sqrt(3)/2); % operatore alpha if tern==1 % tern indica il numero di terne della linea

F=1/3*[1,1,1;1,a,a^2;1,a^2,a];

else

F=1/3*[1 1 1 0 0 0 1 a a^2 0 0 0 1 a^2 a 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 a a^2 0 0 0 1 a^2 a]^-1;

end

disp(' Zo ottenuta utilizzando la teoria di Fortescue') zfort=F*zred*inv(F); zdfort=(zfort(2,2)+zfort(3,3))/2 zomatriciale=zfort(1,1)

101

4)

SO

TT

OP

RO

GR

AM

MA

IN

CU

I V

IEN

E I

MP

LE

ME

NT

AT

A L

A N

OR

MA

IE

C 6

0909

-2 P

ER

LIN

EE

A S

ING

OL

A T

ER

NA

%SOTTOPROGRAMMA IN CUI VIENE IMPLEMENTATA LA NORMA IEC PER SINGOLA TERNA

Dm=(d(1,2)*d(2,3)*d(1,3))^(1/3);

dmld=(d(1,4)*d(2,4)*d(3,4))^(1/3);

disp('Zo ottenuta utilizzando la norma IEC')

switch cond

case 1 % Conduttore monometallico

Zo=(CONDUTTORI(1,4)/(1000*sub)+3*w*uo/8+1i*(w*uo/(2*pi)*(1/(4*sub)+3*log(dcarson/(((dc/2)*Dm^2)^(1/3))))))*1000

; % Zo singola terna senza fune di guardia

if b==1 % b indica il numero di funi di guardia

Zld=(w*uo/8+1i*w*uo/(2*pi)*log(dcarson/dmld))*1000;

Zd=(CONDUTTORI(4,4)/1000+w*uo/8+1i*(w*uo/(2*pi)*(uf/4+log(dcarson/df))))*1000;

ZoIEC=Zo-3*Zld^2/Zd

%Zo

singola

terna

con

una

fune

di

guardia

[ohm/km]

else

Zq1q2e=((CONDUTTORI(4,4)/2000)+(w*uo/8)+1i*((w*uo/(2*pi))*(uf/8+log(dcarson/((df*d(4,5))^(0.5))))))*1000

;

%[ohm/km]

Zq1q2le=((w*uo/8)+1i*(w*uo/(2*pi)*log(dcarson/((d(1,4)*d(2,4)*d(3,4)*d(3,4)*d(2,4)*d(1,4))^(1/6)))))*1000

;

%[ohm/km]

ZoIE=Zo-3*(Zq1q2le^2/Zq1q2e)

%Zo

singola

terna

con

due

funi

di

guardia

[ohm/km] %[ohm/km]

end

102

case 2 % Conduttore bimetallico

Z1=((CONDUTTORI(1,4)/(1000*sub))+1i*((w*uo/(2*pi))*(1/(4*sub)+log(Dm/(dc/2)))))*1000

Zo=(CONDUTTORI(1,4)/(1000*sub)+3*w*uo/8+1i*w*1E-6*(k1/sub+3*0.46*log10(dcarson/(((dc/2)*Dm^2)^(1/3)))))*1000;

% Zo singola terna senza fune di guardia con bimetallico

if b==1


Zd=(CONDUTTORI(4,4)/1000+w*uo/8+1i*(w*uo/(2*pi)*(uf/4+log(dcarson/(df/2)))))*1000;

ZoIEC=Zo-3*Zld^2/Zd %Zo singola terna con una fune di guardia

else

Zq1q2e=((CONDUTTORI(4,4)/2000)+(w*uo/8)+1i*((w*uo/(2*pi))*(uf/8+log(dcarson/((GMRf*d(4,5))^(0.5))))))*1000

;

%[ohm/km]

Zq1q2le=((w*uo/8)+1i*(w*uo/(2*pi)*log(dcarson/((d(1,4)*d(2,4)*d(3,4)*d(3,4)*d(2,4)*d(1,4))^(1/6)))))*1000

;

%[ohm/km]

ZoIEC=Zo-3*(Zq1q2le^2/Zq1q2e)

%Zo

singola

terna

con

due

funi

di

guardia

[ohm/km]

end

otherwise ('situazione non riconosciuta')

end

103

5) SOTTOPROGRAMMA IN CUI VENGONO IMPLEMENTATE LE

NUOVE FORMULE DI GATTA-ILICEO-LAURIA

%SOTTOPROGRAMMA IN CUI VENGONO IMPLEMENTATE LE NUOVE FORMULE DI %GATTA-ILICETO-LAURIA

zc=(z(1,1)+z(2,2)+z(3,3))/3; %valore medio delle autoimpedenze zmc=(z(1,2)+z(1,3)+z(2,3))/3; %valore medio delle mutue impedenze if b==1 zf=z(4,4); else zf=(z(4,4)+z(4,5))/2;%media tra auto e mutue impedenze fune-

fune end

zmcf=(z(1,4)+z(2,4)+z(3,4))/3; %media tra mutue impedenze

conduttori-fune gm=1/Rp; Zof=sqrt(zf/gm); %impedenza caratteristica kf=sqrt(zf*gm); %costante di propagazione A=cosh(kf*lun); B=Zof*sinh(kf*lun); Y=(A-1)/B; Yp1=Y+1/Rs1; Yp2=Y+1/Rs2; Ys12=1/((1/Yp1)+(1/Yp2)); zp=B/(Ys12*B+1); z12=zc+2*zmc-3*zmcf^2/zf; disp(' Zo ottenuta utilizzando la formula di GATTA ILICETO e

LAURIA') zolau=zc+2*zmc-(3*zmcf^2/zf)*(1-zp/(zf*lun)) %impedenza omopolare

104

6) SOTTOPROGRAMMA PER L’ANALISI PARAMETRICA

% SOTTOPROGRAMMA PER LA DETRMINAZIONE PARAMETRICA DELLE "NUOVE

FORMULE"

%GRAFICO DI Zo IN FUNZIONE DI Rp

s=1; for Rp=1:0.1:30 Rs1=0.1; Rs2=0.1; gm=1/Rp;

if b==1 Zf=z(4,4); else Zf=(z(4,4)+z(4,5))/2; end kf=sqrt(Zf*gm); Zof=sqrt(Zf/gm); A=cosh(kf.*lun); B=Zof*sinh(kf.*lun); Y=(A-1)/B; Yp1=Y+1/Rs1; Yp2=Y+1/Rs2; Ys12=1/((1/Yp1)+(1/Yp2)); Zcc=(z(1,1)+z(2,2)+z(3,3))/3; Zmc=(z(1,2)+z(1,3)+z(2,3))/3; Zmcf=(z(1,4)+z(2,4)+z(3,4))/3; Zp=B/(Ys12*B+1); Zocc=Zcc+2*Zmc; Zo=(Zcc+2*Zmc)-3*Zmcf^2/Zf*(1-Zp/(Zf*lun)); Xo=imag(Zo); Ro=real(Zo); X(1,s)=Xo; R(1,s)=Ro; s=s+1; end

Rp=1:0.1:30;

figure(1) subplot(2,1,1) plot(Rp,R,'m'); xlabel('Rp [ohm]'); ylabel('Ro [ohm/km]');

grid on;

title('Parte reale di Zo in funzione di Rp');

subplot(2,1,2) plot(Rp,X,'m'); xlabel('Rp [ohm]'); ylabel('Xo [ohm/km]'); grid on;

title('Parte immaginaria di Zo in funzione di Rp');

105

%GRAFICO DI Zo IN FUNZIONE DI Rs

s=1; for Rs1=0.02:0.05:3 Rp=10; Rs2=0.1; gm=1/Rp;

if b==1 zf=z(4,4); else zf=(z(4,4)+z(4,5))/2; end kf=sqrt(Zf*gm); Zof=sqrt(Zf/gm); A=cosh(kf.*lun); B=Zof*sinh(kf.*lun); Y=(A-1)/B; Yp1=Y+1/Rs1; Yp2=Y+1/Rs2; Ys12=1/((1/Yp1)+(1/Yp2)); Zcc=(z(1,1)+z(2,2)+z(3,3))/3; Zmc=(z(1,2)+z(1,3)+z(2,3))/3; Zmcf=(z(1,4)+z(2,4)+z(3,4))/3; Zp=B/(Ys12*B+1); Zocc=Zcc+2*Zmc; Zo=(Zcc+2*Zmc)-3*Zmcf^2/Zf*(1-Zp/(Zf*lun)); Xo=imag(Zo); Ro=real(Zo); X1(1,s)=Xo; R1(1,s)=Ro; s=s+1; end Rs1=0.02:0.05:3; figure(2) subplot(2,1,1) plot(Rs1,R1,'m'); xlabel('Rs1 [ohm]'); ylabel('Ro [ohm/km]');

grid on; title('Parte reale di Zo in funzione di Rs1'); subplot(2,1,2) plot(Rs1,X1,'m'); xlabel('Rs1 [ohm]'); ylabel('Xo [ohm/km]');

grid on; title('Parte immaginaria di Zo in funzione di Rs1');

%GRAFICO DI Zo IN FUNZIONE DELLA DISTANZA s=1; for lun=0:1:200 Rp=10; Rs1=0.1; Rs2=0.1; gm=1/Rp;

106

if b==1 Zf=z(4,4); else Zf=(z(4,4)+z(4,5))/2; end kf=sqrt(Zf*gm); Zof=sqrt(Zf/gm); A=cosh(kf*lun); B=Zof*sinh(kf*lun); Y=(A-1)/B; Yp1=Y+1/Rs1; Yp2=Y+1/Rs2; Ys12=1/((1/Yp1)+(1/Yp2)); yu=B/(B*Ys12+1); Zcc=(z(1,1)+z(2,2)+z(3,3))/3; Zmc=(z(1,2)+z(1,3)+z(2,3))/3; Zmcf=(z(1,4)+z(2,4)+z(3,4))/3; Zp=B/(Ys12*B+1); Zocc=Zcc+2*Zmc; Zo=(Zcc+2*Zmc)-3*Zmcf^2/Zf*(1-Zp/(Zf*lun)); Xo=imag(Zo); Ro=real(Zo); X1(1,s)=Xo; X2(1,s)=imag(ZoIEC); X3(1,s)=imag(zomatriciale); R1(1,s)=Ro; R2(1,s)=real(ZoIEC); R3(1,s)=real(zomatriciale); s=s+1; end lun=0:1:200; figure(3) subplot(2,1,1) plot(lun,R1,'m'); hold on; plot (lun,R2,'c'); plot (lun,R3,'b'); xlabel('Lunghezza [km]'); ylabel('Ro [ohm/km]');

grid on;

legend('Iliceto-Gatta-Lauria','Norma IEC','Algoritmo matriciale'); title('Parte reale di Zo in funzione della lunghezza'); subplot(2,1,2) plot(lun,X1,'m'); hold on; plot (lun,X2,'c'); plot(lun,X3,'b'); xlabel('Lunghezza [km]'); ylabel('Xo [ohm/km]');

grid on;

legend('Iliceto-Gatta-Lauria','Norma IEC','Algoritmo matriciale'); title('Parte immaginaria di Zo in funzione della lunghezza');

107

%GRAFICO DI Zo IN FUNZIONE DELLA RESISTIVITA' DEL TERRENO

s=1;

Rp=10;

Rs1=0.1;

Rs2=0.1;

lun=100;

for ro_t=50:10:1000

dcarson=658*sqrt(ro_t/f);

if (CONDUTTORI(n,5))==(CONDUTTORI(1,5))

for k=1:n

for j=1:n

if k==j

if k&&j>(n-b)

z(k,j)=CONDUTTORI(k,4)+pi^2*1E-4*f+1i*(4*pi*1E-4*f*log(dcarson/GMRf)); %[ohm/km]

else


end

else


end

end

end

108

else

for k=1:n

for j=1:n

if k==j

if k&&j>(n-b)

z(k,j)=CONDUTTORI(k,4)+pi^2*1E-4*f+1i*(4*pi*1E-4*f*log(2*dcarson/df)); %[ohm/km]

else


end

else


end

end

end

end

gm=1/Rp; %Valore medio conduttanza dell'impianto di terra dei sostegni

if b==1

Zf=z(4,4);

else

Zf=(z(4,4)+z(4,5))/2;

end

kf=sqrt(Zf*gm);

Zof=sqrt(Zf/gm);

A=cosh(kf.*lun);

B=Zof*sinh(kf.*lun);

Y=(A-1)/B;

Yp1=Y+1/Rs1;

Yp2=Y+1/Rs2;

Ys12=1/((1/Yp1)+(1/Yp2));

Zcc=(z(1,1)+z(2,2)+z(3,3))/3;

Zmc=(z(1,2)+z(1,3)+z(2,3))/3;

Zmcf=(z(1,4)+z(2,4)+z(3,4))/3;

109

Zp=B/(Ys12*B+1); Zocc=Zcc+2*Zmc; Zo=(Zcc+2*Zmc)-3*Zmcf^2/Zf*(1-Zp/(Zf*lun)); Xo=imag(Zo); Ro=real(Zo); X5(1,s)=Xo; R5(1,s)=Ro; s=s+1; end

ro_t=50:10:1000;

figure(5) subplot(2,1,1) plot(ro_t,R5,'m'); xlabel('ro_t [ohm*m]'); ylabel('Ro [ohm/km]');

title('Parte reale di Zo in funzione di ro_t');

subplot(2,1,2) plot(ro_t,X5,'m'); xlabel('ro_t [ohm*m]'); ylabel('Xo [ohm/km]');

title('Parte immaginaria di Zo in funzione di ro_t');

110

7)

SO

TT

OP

RO

GR

AM

MA

IN

CU

I V

IEN

E I

MP

LE

ME

NT

AT

A L

A N

OR

MA

IE

C 6

0909

-2 P

ER

LIN

EE

A D

OP

PIA

TE

RN

A

%SOTTOPROGRAMMA IN CUI VIENE IMPLEMENTATA LA NORMA IEC PER DOPPIA TERNA

dml1m1=(d(1,4)*d(2,5)*d(3,6))^(1/3)

dml1m2=(d(1,5)*d(3,4)*d(2,6))^(1/3);

dlm1=(((d(1,5)*d(3,4)*d(2,6))^(2/3))*(d(1,4)*d(2,5)*d(3,6))^(1/3))^(1/3);

dlm2=(((d(1,5)*d(1,6)*d(2,6))^(1/3))*(d(1,5)*d(2,6)*d(3,6))^(1/3))^(1/2);

dlm=(dml1m1*dml1m2^2)^(1/3);

Zlme=((w*uo/8)+1i*((w*uo)/(2*pi))*log(dcarson/dlm))*1000;

disp(' Zo ottenuta utilizzando la norma IEC')

switch cond

case 1 %doppia terna 1 fg monometallico

Z1=(CONDUTTORI(1,4)/(1000*con)+1i*((w*uo/(2*pi))*(1/(4*n)+log(Dm*dml1m2/(dml1m1*dc)))))*1000 %Zdiretta IEC

Zo=(CONDUTTORI(1,4)/(1000*con)+3*w*uo/8+1i*(w*uo/(2*pi)*(1/(4*con)+3*log(dcarson/((dc*Dm^2)^(1/3))))))*1000; %

Zo singola terna senza fune di guardia

if b==1 %n° funi di guardia


Zd=(CONDUTTORI(4,4)/1000+w*uo/8+1i*(w*uo/(2*pi)*(uf/4+log(dcarson/df))))*1000;

Zo_fg1=Zo+3*Zlme-6*(Zld^2/Zd) %[ohm/km]

else

Zq1q2e=(CONDUTTORI(4,4)/(1000*2)+(w*uo/8)+1i*((w*uo/(2*pi))*(uf/8+log(dcarson/(((df/2)*d(7,8))^(0.5))))))*1000;

%[ohm/km]

Zq1q2le=((w*uo/8)+1i*(w*uo/(2*pi)*log(dcarson/((d(4,7)*d(5,7)*d(6,7)*d(4,8)*d(5,8)*d(6,8))^(1/6)))))*1000;

%[ohm/km]

Zo_fg2=Zo+3*Zlme-6*(Zq1q2le/Zq1q2e) %[ohm/km]

end

111

case 2 %bimetallico 1 fune di guardia

Dm=(d(1,2)*d(2,3)*d(1,3))^(1/3);

Z1=((CONDUTTORI(1,4)/(1000*sub))+1i*((w*uo/(2*pi))*(1/(4*n)+log(Dm/(dc/2)))))*1000 %Zdiretta IEC

Zo=(CONDUTTORI(1,4)/(1000*sub)+3*w*uo/8+1i*w*1E-6*(k1/sub+3*0.46*log10(dcarson/((dc/2*Dm^2)^(1/3)))))*1000; %

Zo singola terna senza fune di guardia con bimetallico

if b==1

dmld=(d(1,7)*d(2,7)*d(3,7))^(1/3);


Zd=(CONDUTTORI(7,4)/1000+w*uo/8+1i*(w*uo/(2*pi)*(uf/4+log(dcarson/(df/2)))))*1000;

Zo_fg1=Zo+3*Zlme-6*(Zld^2/Zd) %[ohm/km]

else %bimetallico 2 funi di guardia

Zq1q2e=(CONDUTTORI(n,4)/(1000*2)+(w*uo/8)+1i*((w*uo/(2*pi))*(uf/8+log(dcarson/(((df/2)*d(7,8))^(0.5))))))*1000;

%[ohm/km]

Zq1q2le=((w*uo/8)+1i*(w*uo/(2*pi)*log(dcarson/((d(4,7)*d(5,7)*d(6,7)*d(4,8)*d(5,8)*d(6,8))^(1/6)))))*1000;

%[ohm/km]

Zo_fg2=Zo+3*Zlme-6*(Zq1q2le^2/Zq1q2e) %[ohm/km]

end

otherwise ('situazione non riconosciuta')

end

112

8) PROGRAMMA PER L’ANALISI SIMBOLICA

%PROGRAMMA PER L'ANALISI SIMBOLICA clc clear all A=sym('A'); B=sym('B'); C=sym('C'); D=sym('D'); E=sym('E'); F=sym('F'); G=sym('G'); H=sym('H'); I=sym('I'); L=sym('L'); M=sym('M'); N=sym('N'); O=sym('O'); P=sym('P'); Q=sym('Q'); R=sym('R'); S=sym('S'); T=sym('T'); U=sym('U'); V=sym('V'); Z=sym('Z'); W=sym('W'); X=sym('X'); K=sym('K'); Y=sym('Y'); J=sym('J'); A1=sym('A1'); A2=sym('A2');

tern=input('1) singola terna; 2) doppia terna\n'); funi=input('1) una fune di guardia; 2) due funi di guardia\n'); if tern==1

switch funi case 1 %SINGOLA TERNA 1 FUNE DI GUARDIA

Zc=[ A B C E; B A D F; C D A G; E F G H]; %MATRICE SIMBOLICA

zff=Zc(1:3,1:3); zfg=Zc(1:3,4); zgf=Zc(4,1:3); zgg=Zc(4,4); Zredsingola1f=zff-zfg*zgg^-1*zgf %MATRICE RIDOTTA z=Zredsingola1f*[1;1;1] %MATRICE IMPEDENZE OMOPOLARI zo=(z(1,1)+z(2,1)+z(3,1))/3 %MEDIA IMPEDENZE OMOPOLARI

113

case 2

%SINGOLA TERNA 2 FUNI DI GUARDIA

Zc1=[ A B C E M; B A D F N; C D A G O; E F G H L; M N O L H]; %MATRICE SIMBOLICA

zff=Zc1(1:3,1:3); zfg=Zc1(1:3,4:5); zgf=Zc1(4:5,1:3); zgg=Zc1(4:5,4:5);

Zredsingola2f=zff-zfg*zgg^-1*zgf %MATRICE RIDOTTA z=Zredsingola2f*[1;1;1] %MATRICE IMPEDENZE OMOPOLARI zo=(z(1,1)+z(2,1)+z(3,1))/3; %MEDIA IMPEDENZE OMOPOLARI

otherwise ('situazione non riconosciuta') end else

switch funi case 1

%DOPPIA TERNA CON UNA FUNE DI GUARDIA

Zc2=[ A B C E F G P; B A D H I L Q; C D A M N O R; E H M A B C S; F I N B A D T; G L O C D A U; P Q R S T U V]; %MATRICE SIMBOLICA

zff=Zc2(1:6,1:6); zfg=Zc2(1:6,7); zgf=Zc2(7,1:6); zgg=Zc2(7,7);

Zreddoppia1f=zff-zfg*zgg^-1*zgf %MATRICE RIDOTTA z=Zreddoppia1f*[1;1;1;0;0;0] %MATRICE AUTO E MUTUE IMPEDENZE

OMOPOLARI

zoauto=(z(1,1)+z(2,1)+z(3,1))/3 %MEDIA AUTO IMPEDENZE OMOPOLARI

zomutue=(z(4,1)+z(5,1)+z(6,1))/3 %MEDIA MUTUE IMPEDENZE OMOPOLARI

114

case 2 %DOPPIA TERNA DUE FUNI DI GUARDIA

Zc2=[ A B C E F G P Z; B A D H I L Q W; C D A M N O R X; E H M A B C S K; F I N B A D T Y; G L O C D A U Y; P Q R S T U V A1; Z W X K Y J A1 A2]; %MATRICE SIMBOLICA

zff=Zc2(1:6,1:6); zfg=Zc2(1:6,7:8); zgf=Zc2(7:8,1:6); zgg=Zc2(7:8,7:8);

Zreddoppia2f=zff-zfg*zgg^-1*zgf %MATRICE RIDOTTA z=Zreddoppia2f*[1;1;1;0;0;0] %MATRICE AUTO E MUTUE IMPEDENZE

OMOPOLARI zoauto=(z(1,1)+z(2,1)+z(3,1))/3 %MEDIA AUTO IMPEDENZE OMOPOLARI zomutue=(z(4,1)+z(5,1)+z(6,1))/3; %MEDIA MUTUE IMPEDENZE OMOPOLARI

otherwise ('situazione non riconosciuta') end end

115

9)

FIL

E D

AT

I D

EI

CA

SI

PR

ES

I IN

ES

AM

E

SIN

GO

LA

TE

RN

A C

ON

UN

A F

UN

E D

I G

UA

RD

IA I

N A

CC

IAIO

f=50; %frequenza [Hz]

w=2*pi*f; %pulsazione

uo=4*pi*1E-7; %permeabilità magnetica dell'aria [H/m]

ro_t=100; %resistività terreno [ohm*m]

dcarson=658*sqrt(ro_t/f); %distanza equivalente di Carson [m]

%R=12; %raggio su cui giacciono i sub conduttori [m]

sub=1; %n° sub conduttori

b=input ('quante funi di guardia sono installate?\n');

uf=1; %permeabilità relativa fune

k2=0.815;

k1=0.46*log10(1/k2);

c=0.4; %lunghezza campate [km]

lun=100; %lunghezza linea [km]

Rp=30; %resistenza di messa a terra dei pali [ohm]

Rs1=0.1; %resistenza di messa a terra stazione 1 [ohm]


iF=[1;1;1];

% n°conduttore x[m] y[m] r[ohm/km] d [mm]

CONDUTTORI= [ 1 -3.8 6 0.05631 31.5

2 4 3 0.05631 31.5

3 -5 0 0.05631 31.5

4 0 9.9 2.014 11.5];

n=size(CONDUTTORI,1) ;

con=n-b;

116

SIN

GO

LA

TE

RN

A C

ON

UN

A F

UN

E D

I G

UA

RD

IA I

N A

LL

-AC

C






%R=12; %raggio su cui giacciono i sub conduttori [m]




k2=0.815;

k1=0.46*log10(1/k2);






iF=[1;1;1];


CONDUTTORI= [ 1 -3.8 6 0.05631 31.5

2 4 3 0.05631 31.5

3 -5 0 0.05631 31.5

4 0 9.9 0.05631 31.5];


con=n-b;

117

S

ING

OL

A T

ER

NA

CO

N D

UE

FU

NI

DI

GU

AR

DIA

f=50; % frequenza [Hz]




dcarson=658*sqrt(ro_t/f); % distanza equivalente di Carson [m]

R=0.15; % raggio su cui giacciono i sub conduttori [m]

sub=2; % n° sub conduttori



k2=0.2351;

k1=0.46*log10(1/k2);




Rs1=0.1; %resistenza di messa a terra della stazione [ohm]

Rs2=0.1; %resistenza di messa a terra della stazione 2

[ohm]

iF=[1;1;1];


CONDUTTORI= [ 1 -9.91 19.86 0.1575 19.53

2 0 19.86 0.1575 19.53

3 9.91 19.86 0.1575 19.53

4 -6.75 25.9 0.1575 19.53

5 6.75 25.9 0.1575 19.53];


con=n-b;

118

DO

PP

IA T

ER

NA

CO

N U

NA

FU

NE

DI

GU

AR

DIA



uo=4*pi*1E-7; %permeabilità magnetica dell'aria


dcarson=sqrt(ro_t/f)*658.87; %distanza equivalente di Carson [m]

R=0.3*sqrt(2); %raggio su cui giacciono i sub conduttori [m]




k2=0.815;

k1=0.46*log10(1/k2);

iF=[1;1;1;1;1;1];

%n°conduttore x[m] y[m] r[ohm/km] d [mm]

CONDUTTORI= [ 1 -6.93 39.61 0.066037 28.62

2 -10.16 29.14 0.066037 28.62

3 -8.33 20.3 0.066037 28.62

4 8.33 20.3 0.066037 28.62

5 10.16 29.14 0.066037 28.62

6 6.93 39.61 0.066037 28.62

7 0 50.04 0.066037 28.62];


con=n-b;

119

L

A S

PE

ZIA

-BO

VIS

IO C

ON

CO

ND

UT

TO

RI

SIN

GO

LI






R=0.2309; %raggio su cui giacciono i sub conduttori [m]




k2=0.852;

k1=0.46*log10(1/k2);


iF=[1;1;1];


CONDUTTORI= [ 1 -9.6 0 0.02985 50

2 0 0 0.02985 50

3 9.6 0 0.02985 50

4 -6 7.5 2.3625 12.5*1E-3

5 6 7.5 2.3625 12.5*1E-3];


con=n-b;

120

LA

SP

EZ

IA-B

OV

ISIO

CO

N C

ON

DU

TT

OR

I A

FA

SC

IO

f=50; % frequenza [Hz]





R=0.2309; %raggio su cui giacciono i sub conduttori [m]

sub=3; % n° sub conduttori



k2=0.8095238;

k1=0.46*log10(1/k2);

lun=100; %lunghezza linea km

iF=[1;1;1];


CONDUTTORI= [ 1 -7.2 0 0.0547918 31.5

2 0 0 0.0547918 31.5

3 7.2 0 0.0547918 31.5

4 -4.7 6.9 2.36 12.5*1E-3

5 4.7 6.9 2.36 12.5*1E-3];


con=n-b;

121

BIBLIOGRAFIA

[1] A. Paolucci: Lezioni di trasmissione dell’energia elettrica, CLEUP EDITORE, Padova 1998.

[2] Comitato Elettrotecnico Italiano: CEI 11-4 Esecuzione delle linee elettriche aeree

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[3] A. Paolucci: Lezioni di impianti elettrici, Parte Prima, CLEUP Editore, Marzo 1997.

[4] Terna direzione relazioni esterne e comunicazione: 150 ANNI, La rete che unisce l’Italia,

Affaritaliani, Marzo 2011.

[5] CESI: Analisi dell’evoluzione delle linee di trasmissione a livello internazionale e

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[6] P.Nefzger, J.F. Nolasco, U. Kaintzyk, F.Kiessling: Overhead Power Lines, Springer, 2003.

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0618-9.

[8] TERNA: Caratteristiche generali delle linee aeree facenti parte della RTN, 2011.

[9] L. Olivieri, E. Ravelli: Impianti di generazione e trasporto dell’energia elettrica, Edizioni

CEDAM, 1975.

[10] S. Dambone, relatore R. Benato: Studio multiconduttore matriciale di cavi sottomarini in

corrente alternata, Tesi di laurea specialistica in ingegneria Elettrotecnica, 2010.

[11] R.Benato, L. Caciolli, E. Zaccone: Sequence impedance computation by means of

multiconductor cell analysis. 8th

International Conference on Insulated Power Cables, 2011.

[12] R. Benato, L. Caciolli: “Sequence impedances of insulated cables: Measurments versus

computations”, IEEE PES T&D Conference 2012, Orlando, Florida, Paper 2012TD0427.

[13] IEC 60909-2: Short-circuit in three-phase a.c. systems. Part 2: Data of electrical equipment

for short circuit current calculations. 2 edizione, 200 .

[14] F.M. Gatta, F. Iliceto, S. Lauria: Nuove formule di calcolo dell’impedenza omopolare delle

linee elettriche aeree in AT, L’Energia Elettrica, Volume 79, 2002.

122

[15] A. Bossi, G. Greselin: Considerazioni sulla determinazione delle impedenze di sequenza di

linee aeree con disposizione dei conduttori in piano, Rendiconto della LXVII riunione

annuale AEI, 1966.

123

RINGRAZIAMENTI

Desidero innanzitutto ringraziare il mio relatore Prof. Roberto Benato per la disponibilità

dimostratami durante la realizzazione di questo lavoro, Sebastian e Fabio per la pazienza e

il tempo speso a dirimere i miei dubbi, Stefano ed Alessandro fidi compagni nel cammino

alla laurea.

Un percorso molto lungo e non sempre facile della mia vita si sta per concludere, in queste

poche righe desidero ringraziare tutti coloro che mi hanno sostenuto, stimolato e spronato

affinché riuscissi a raggiungere questo importante traguardo. Il primo ringraziamento lo

voglio dedicare ai miei genitori, artefici di questo mio importante traguardo sia dal punto di

vista economico sia dal punto di vista morale, sempre sensibili nel capire quando

necessitavo di una spronata o di un momento di conforto. Un ringraziamento speciale va ad

Eleonora protagonista della mia vita sentimentale, per essere sempre al mio fianco e per la

stima dimostrata nei miei confronti; sei speciale. A mia sorella Maria Giovanna per il tempo

e l’impegno rivolto all’organizzazione di questo giorno speciale con l’immancabile

complicità di Mattia e per avermi, più di qualche volta, consolato dicendomi “non ti

preoccupare se vieni bocciato puoi sempre rifarlo, no!”. Al Nonno Chicchi per il senso di

serenità e di tranquillità che sei sempre riuscito a trasmettermi. Ai miei amici Rudy, Diego,

Sandro, Marco, Paolo, Sara, Laura, Marianna, Martina e Lucia per l’affetto e

l’interessamento che mi avete sempre dimostrato. Simone, Camilla, Andrea e Jessica per le

dritte e i consigli nell’elaborazione delle immagini. Zie, Zii e cugini per il continuo e costante

interessamento.

Un grazie di cuore a tutti

Christian

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